（交通信息工程及控制专业论文）混沌Duffing振子系统弱信号检测研究和应用.pdf

r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o no nt h ew e a ks i g n a ld e t e c t i o n c h a o s d u f f i n g o s c i l l a t o rs y s t e m ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：h ey i n g s u p e r v i s o r ：p r o f g u oy u a n s h u c h a n g a nu n i v e r s i t y , x i a n ，c h i n a 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何 未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 可凝如户年乡月牙日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 7 可敬 导师签名：井l 少 ， 弦户年占月罗日 v 以移年6 具毒日 摘要 微弱信号检测是科学技术发展的迫切需求，目的是从强噪声 针对传统的微弱信号的检测方法，噪声是测量微弱信号的主要障 限都很高，很难进一步降低。所以传统的测量方法虽然有用，但是检测相对噪声很小的 微弱信号有一定的困难。 将混沌理论用于信号检测，是信号处理领域近些年来一个新的发展方向，其中最重 要的是利用混沌对初始条件的敏感性和对噪声的抑制性这两个特征来检测微弱信号。 本文采用d u f f m g 混沌振子系统来检测微弱信号，主要利用系统从混沌态到大尺度 周期态相轨迹的变化检测微弱周期信号，通过确定系统是否从混沌态跃变到大尺度周期 态，传统的方法有直观分析法和定量分析法，直观分析法简单但阀值精度不高，定量分 析法精度较高但计算方法复杂。本文提出一种新的方法，采用l e b e s g u e 测度的性质，即 它可以表示成互不相交的可列个区间长度的并，应用到基于w i g n e r 变换的时频分析中， 定性和定量的确定混沌系统的阀值，从而识别出混沌态和大周期状态。 针对信号未知频率和幅值的检测，文中采用d u f f m g 混沌系统在大周期状态下，相 轨迹的运行时间与待测信号运行周期一致的原理，对信号做w i g n e r 变换，取幅值最大 的点对应的频率作为待测信号的频率。已知信号频率求幅值，本文提出一种基本方案， 通过实验仿真，取得了较为有效的结果，进一步提高了检测精度和信噪比。 关键词： 微弱信号，混沌，d u f f i n g 振子，l e b e s g u e 测度，w i g n e r 变换 a b s t r a c t t h ew e a ks i g n a le x a m i n a t i o ni sa l w a y sa l lu r g e n td e m a n do nt h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y d e v e l o p m e n t , t h eg o a li st h a tt h eu s e f u ls i g n a li se x a m i n e df r o mt h es t r o n gn o i s eb a c k g r o u n d f o rt r a d i t i o n a lm e t h o d so f d e t e c t i n go fw e a ks i g n a l ，n o i s ei st h em a i no b s t a c l ef o rm e a s u r i n g w e a ks i g n a l ，a n dt h et h r e s h o l di n p u ts n ri sh i g h ，i ti sd i f f i c u l tt of u r t h e rr e d u c ei t t h e r e f o r e ， a l t h o u g ht h et r a d i t i o n a lm e a s u r em e t h o d sa r eu s e f u l ，t h e r ea r es o m ed i f f i c u l t yi nd e t e c t i n g w e a ks i g n a l ，w h i c hi sr e l a t i v et ot h en o i s e c h a o st h e o r yw i l lb eu s e df o rs i g n a ld e t e c t i o n ，c h a o st h e o r yi san e wd e v e l o p m e n ti n s i g n a lp r o c e s s i n ga r e ai nr e c e n ty e a r s ，o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti st w of e a t u r e st h a tt h e s e n s i t i v i t yt oi n i t i a lc o n d i t i o n sf o rc h a o sa n dt h es u p p r e s s i o na b i l i t yf o rn o i s et od e t e c t i n gt h e w e a ks i g n a l d e t e c t i n gw e a ks i g n a lb yu s i n gd u f f i n gc h a o t i co s c i l l a t o ri nt h i sp a p e r ，w h i c hm a i n l y u s e sc h a n g eo ft h ep h a s et r a j e c t o r yt h a tt h es y s t e mf r o mc h a o t i cs t a t et op e r i o d i cs t a t eo f l a r g e s c a l et od e t e c tw e a kp e r i o d i cs i g n a l ，t h i sn e e d st od e t e r m i n ew h e t h e rt h es y s t e mj u m p s f r o mc h a o t i cs t a t et oal a r g e - s c a l ep e r i o d i cs t a t e ，t h et r a d i t i o n a lm e t h o d sa r et h ei n t u i t i v e a n a l y s i sa n dt h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s ，t h ei n t u i t i v ea n a l y s i sm e t h o d sa r es i m p l eb u tt h e t h r e s h o l da c c u r a c yi sn o th i g h , t h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d sa l eh i 曲p r e c i s i o nb u ta r e c o m p l e x t h i sp a p e rp r o p o s e san e wm e t h o d ，u s i n gt h en a t u r eo fl e b e s g u em e a s u r e ，t h a ti tc a l l b ee x p r e s s e da sd i s j o i n tc o m b i n a t i o no far a n g eo fl e n g t h ，a n di s a p p l i e dt ot h es i g n a l s t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sb a s e do nw i g n e rt r a n s f o r m a t i o n d e t e r m i n i n gt h r e s h o l do ft h ec h a o s s y s t e mi no r d e rt od i s t i n g u i s ht h ec h a o t i cs t a t ea n dl a r g e - s c a l ep e r i o d i cs t a t e f o rs i g n a ld e t e c t i o no fu n k n o w nf r e q u e n c ya n da m p l i t u d e ，t h ep a p e ru s e sd u f f i n g c h a o t i cs y s t e m ，a n du s e st h ep r i n c i p l et h a tt h er u n n i n gt i m eo ft h ep h a s et r a j e c t o r ya n dt h e s i g n a lu n d e rt h eo p e r a t i o nc y c l ea l et h es a m ei nal a r g e - s c a l ep e r i o d i cs t a t e ，u s i n gw i g n e r t r a n s f o r m a t i o na n dt a k i n gm a x i m u m p o i n t sc o r r e s p o n d i n gt ot h ea m p l i t u d eo ft h ef r e q u e n c y a st h es i g n a l f r e q u e n c y r e q u e s t i n gt h ea m p l i t u d eo ft h es i g n a li nk n o w ns i g n a lf r e q u e n c y i i i i v r e s u l t sb y 目录 第一章绪论1 1 1 论文的研究背景和意义一l 1 2 混沌理论及其在微弱信号处理中的发展及应用2 1 2 1 混沌理论及其在微弱信号处理中的发展。2 1 2 2 混沌理论在微弱信号检测中的应用4 1 3 混沌检测微弱信号的研究热点及存在问题5 1 3 1 混沌检测微弱信号研究热点5 1 3 2 混沌检测微弱信号存在的问题6 1 4 论文的主要内容及结构安排。8 第二章混沌特性及d u f f i n g 振子动力学特性。lo 2 1 混沌的定义及基本特性l o 2 1 1 混沌的定义1o 2 1 2 混沌的基本特征1 2 2 2d u f f i n g 振子动力学特性1 4 2 2 1 两种d u f f i n g 振子方程的比较。1 4 2 2 2d u f f m g 系统动力学特性分析1 6 2 3d u f f i n g 振子系统检测信号的能力2 0 2 4 本章小结2 1 第三章w i g n e r 分布及d u f f i n g 混沌系统的时频特性2 2 3 1w i g n e r - v i l l e 分布的定义和性质2 2 3 1 1w i g n e r - v i l l e 分布的定义2 2 3 1 2w i g n e r - v i l l e 分布的性质2 3 3 1 3 解析信号及w i g n e r - v i l l e 分布2 5 3 2 混沌信号统计特性分析2 6 3 2 1 混沌信号与随机信号的关系2 6 3 2 2 混沌信号统计特性分析2 6 3 3 基于w i g n e r - v i u e 分布的d u f f m g 混沌系统的时频特性。2 7 3 4 本章小结2 7 第四章基于l e b e s g u e 测度的微弱信号的混沌检测判据3 0 4 1 传统的混沌状态判别方法3 0 4 1 1 直观分析方法3 0 4 1 2 定量分析方法3 4 v 4 2 基于l e b e s g u e 测度的混沌判据3 7 4 2 1l e b e s g u e 测度的概述。3 7 4 2 2l e b e s g u e 测度在d u f f i n g 混沌系统中的应用4 0 4 2 3 结论4 2 4 3 本章小结4 3 第五章d u f f i n g 混沌系统微弱信号的频率检测4 4 5 1d u f f m g 振子频率检测原理4 4 5 2 基于w i g n e r 变换的频率检测4 5 5 3 仿真实验及分析4 6 5 4 本章小结4 6 第六章d u i i i n g 混沌系统微弱信号的幅值检测4 8 6 1 d u i f i n g 混沌系统的微弱信号的幅值检测原理4 8 6 1 1d u f f i n g 振子幅值检测原理4 8 6 1 2 仿真实验及分析。4 9 6 2 噪声背景下信号的混沌检测5 0 6 2 1 背景噪声对混沌相轨迹的影响5 0 6 2 2 白噪声背景下信号的混沌检测5 1 6 2 3 色噪声背景下信号的混沌检测5 4 6 3 本章小结5 8 结论5 9 参考文献6 2 致谢6 6 v l 长安大学硕士学位论文 1 1 论文的研究背景和意义 第一章绪论弟一早三百下匕 随着人们对科技的快速发展和对世界好奇的探知，检测微弱信号已经变的越来越重 要。研究目的就是检测淹没在噪声背景下的有用信号，提高信号的信噪比【1 埘。微弱信号 应从两个方面来度量，第一是噪声中有用信号的幅度比噪声的幅度低，即就是有效信号 幅值的相应能量比噪声功率小多少可称之微弱，即对于有效正弦信号三彳2 t 暑w 与n z 1 4 2 ( 噪声功率) 的比例，1 0 k - 熹t = - 1 1 0 l g 弓争= 0 ( 2 1 ) ( 2 ) l i m i n f d ( f 一( 功，f ”) ) = o ( 2 2 ) ( 3 ) l i ms u p d ( f 一( x ) ，f ”( p ) ) 0 ( 2 3 ) 则称s o 是混沌集合，f 称为x 上l i y o r k e 意义下的混沌，其中d ( ，) 是x 上定义的距离， p e r ( f ) 是f 的周期点的集合口6 1 。 注意：这种混沌并非都是物理意义上可以观察的。若映射f 的s c h w a r a z 导数为负， 即 s 心三等一三3 话2 e 。在式中，取a = l ，b = k ， 1 - - 2 ，c i = - a ( a o ) ，c 2 = b 0 ，1 1 = 3 ，1 2 = 5 ，d = 丫，s 1f o ，t ) = c o s ( o d t ) ，e = a ，s 2 = - - s ，h = o ，0 2 为噪声平均功率，得到混沌振子( l - y ) 系统 j i + k 文一a x 3 + b x 5 = ? c o s ( t o t ) + a s + o n ( t ) ( 2 6 ) 证明可知，l y 系统方程存在唯一的周期解。随着系统运行时间的增大，在相态平 面上伴随主轨道的轨道族形成一个具有一定宽度的“闭环带，其“浓度 也逐渐增大。 1 4 长安大学硕士学位论文 该轨道的平均周期与主轨道周期非常接近。说明轨道族分布在主轨道两侧，含频率的关 系。 研究者在使用d u f f i n g 混沌时大多用的恢复力项为( - x + x 3 ) 的振子方程，在b i r x 以及表达j o s e p h o n 结构力学方程的时候，恢复力项用的是s i n x 。s i n x 的m a c l a n r i n 的展 开式为a l x - 6a 3 x 3 - i - + a z k + 1 x 2 k + 1 ，调整其中的保留系数即a 1 ，a 39 0o - 9a z k + 1 令 a l = - 1 ，a 3 = 1 ，a s = = a 2 k + 1 ：o ，就得到( - x + x 3 ) 。使用s i n x 的优点是x 幂可 以达到很高，缺点是系数不能调节。由上述可知，d u f f m g 振子方程有无限多种。下面 介绍两种d u f f r a g 振子方程： 一一一 一x - i - x 3 = 7 p ( 0 + a s ( t ) + o n ( 0 ( 2 7 ) 一x 3 + x 5 = v p ( 0 + a s ( t ) + o n ( 0 ( 2 8 ) 其q 丁y p ( t ) 为系统内置信号，a s ( t ) 为待检测信号，n ( 0 为加性随机噪声，0 2 为噪声平均功 率。衡量混沌振子检测信号的能力，包括两方面，一是检测系统的灵敏度，二是检测系 统的工作稳定性。式2 7 称为1 系统，式2 8 式称为2 系统。 ( 1 ) 灵敏度 待检信号为正弦信号，o = l h z ，0 2 = 1 0 - 1 4 w ，为低噪声，p ( t ) = c o s t ，未加噪声时调 内置信号临界值，2 系统为丫2 = o 7 2 5 6 1 6 1 5 ，1 系统为丫1 = 0 8 2 6 0 0 8 4 5 ，待检测信号的幅值 变化为1 0 9v _ 2 x1 0 9v 一5x1 0 9v _ 6x1 0 9v 。2 系统在4 种幅值所对应的 相态图依次为：混沌、大尺度周期、大尺度周期、大尺度周期。1 系统为：临界混沌、 临界混沌、临界混沌、大尺度周期。可见，2 系统在2x1 0 _ 9v 的幅度是就呈现大尺度 周期态，而1 系统在6x1 0 _ 9v 幅度时才呈大尺度周期态。 此外，研究表明d u f f i n g 振子系统在检测三角波，谐波，周期r i c k e r 子波时，2 系 统检测灵敏度均要高于1 系统。 ( 2 ) 工作稳定性 工作稳定性指检测系统大尺度周期相态时，随系统运行的时间增加而发生变化的情 形。 待检信号为谐波信号，1 = 5 n z ，2 = 2 0 h z ，其他条件相同。第一种检测信号时， 系统运行时间为8 0 0 s ，在a = 1 0 _ 5v 时，两种系统都呈大尺度周期相态，当运行时间增 加至1 5 0 0 s 时，1 系统呈混沌相态。第二种，在a = 1 0 5v 时，系统运行时间从8 0 0 s 增 1 5 第二章混沌特性及d u f f i n g 振子动力学特性 加至1 5 0 0 s ，两种系统都呈大尺度周期相态。 由上述可知，一般情况下，2 系统比l 系统具有更好的工作稳定性。在它们的待测 信号幅值相同的情况下，并不意味着1 系统不能使用，实际中可能用不到8 0 0 s 。这表明， 在使用d u f f i n g 混沌振子检测微弱周期信号时，需要搞清楚系统所呈相态的稳定性情况， 以免对检测信号发生不必要的不良影响。例如实际中信号可测并且存在，但应用混沌系 统时，可检测信号的幅值为a 1 ，系统保持大尺度周期相态的时间为t 1 ，如果不知道t l ，可 在系统运行的时候t t 1 ，系统呈现混沌态，此时表明不存在微弱信号，与实际中的信号 存在矛盾。 两个系统的区别是： ( 1 ) 2 系统去掉了恢复力项的线性部分，且增加了x 5 部分。 ( 2 ) 2 系统在灵敏度和工作稳定性方面优于1 系统。 此外，恢复力项含更高次幂的系统在相同的条件下，灵敏度和工作稳定性方面几乎和2 系统相似。 2 2 2d u r i n g 系统动力学特性分析 近年来，基于混沌振子的信号处理及检测已成为一个重要的混沌应用方向，目前研 究最多的是d u f f i n g 振子。d u f f i n g 振子在非线性动力学系统的研究中占有重要的地位。 d u f f i n g 振子方程形式简单，却能呈现出丰富的非线性动态特性。 由前面可知，本论文选取h o l m e s 型d u f f i n g 振子作为信号检测系统模型，其一般形 式为： j + 七戈一x 3 + x 5 = r c o s ( c o o( 2 9 ) 设f d 为系统的临界值( 阀值) ，f d k 的解析值为一个常数4 1 1 ，实验证明了阻尼比k 的取值 范围为o 2 0 5 ，在这里选取k = - o 5 ，上式的状态方程形式如下，可用来将检测不同频率 的待测信号。 = 【_ 时+ ：群+】(210，)is,r c o s ( o o= ( i ) 【一i 秽+ z 3 + x 5 +】、“ 式中，y 为周期策动力的幅值，尼为阻尼比，一x 3 + z s 为非线性恢复力。 由式( 2 9 ) 的数学模型知，可建立该混沌系统检测微弱信号的仿真模型，如图2 1 所 示。为了简要说明其工作原理，取弦o s ( t ) 为周期策动力，即系统的频率a o = l r a d s 。 1 6 长安大学硕士学位论文 图2 1混沌系统检测微弱信号的仿真模型 在图2 1 系统中，取阻尼比k - - o 5 。在k 固定的情况下，系统状态随) ，的变化出现 有规律变化：历经同宿轨道、分叉、混沌轨道、临界周期轨道，大尺度周期轨道状态。 其各个状态的时域波形及相平面轨迹如图2 2 - - 图2 8 所示。具体分析上述系统可知： ( 1 ) 当y = o 时，线性系统的振荡极弱，它对非线性系统的作用也很弱，相平面的鞍 点为( o ，o ) ，中心点为( 1 ，o ) 和( - 1 ，o ) ，点( x ，两将围绕非线性系统的两个焦点之一以线 性振子的频率振荡( 如图2 2 和图2 3 所示) 。 ( 2 ) 当r o 时，非线性系统的影响只是使整个系统的这种围绕中心的振荡出现分频， 系统这种按外加周期力的周期或其倍周期振荡称为锁频，即振荡频率锁在外力的频率或 其分频上。也就是随着y 的增大，系统经历同宿轨道( 如图2 4 所示) ，周期分叉( 如 图2 5 所示) 直至混沌状态( 如图2 6 所示) 。这一过程随着y 的变化非常迅速。当y 进 一步增大，线性振子处于主导地位，非线性系统的影响是次要的，整个系统被束缚在外 加周期力的各分频上。当，再进一步增大，此时线性振子完全处于统治地位，非线性系 统的作用相对来说很弱，这时整个系统按线性系统上式运行，即它被锁在外加周期力的 频率上，此时系统处于大周期状态( 如图2 8 所示) 。 1 7 第二章混沌特性及d u f f i n g 振子动力学特性 ： i 、。 一n 5 口 i i。，一、 1 k ； y 一 。 ： 0 5 ； 口傅剪霜鞠 c ： 0 ，a ，b 的改变反映恢 复力项的变化，a ( 0 包括色噪声与待测信号。具体做法是：先令b = l ，变a ，然后对于最 佳的a 值变b ，并由s n 的改变确定最佳的a ，b 的值。 总之，同一阻尼比引起不同频率的检测误差变化较大，同一频率由不同阻尼比产生 的误差存在一个“误差带 ，频率误差表现影响到阻尼比的选择。对d u f f i n g 方程的恢复 力研究要综合考虑a ，b 对s n 的影响，然后选取最佳的a ，b 的值。 ( 2 ) 检测目标是频率和振幅都未知的同时检测，关键要在实施方案的可行性和合理 性。先检测频率后检测振幅是一条可行性方案。 ( 3 ) 应用领域很广，特别是实验性的研究工作。考察有效信号的种类、信号处理的 目的、技术的困难、检测指标等。比如纳米飞机的雷达信号的检测、生物病态医学信号 的监测、勘探地震学等领域都会应用混沌振子系统去检测。 2 4 本章小结 本章首先介绍了混沌基本的两种普遍的定义及基本特征，揭示了混沌的两个重要的 特征是：系统对初始条件的敏感性和内在确定的随机性特点。能产生混沌的数学模型通 常有三种：d u f f i n g 混沌系统、l o r e n z 混沌系统以及l o g i s t i c 混沌模型，本章介绍常用到 的d u f f i n g 系统混沌模型，通过比较两种d u f f i n g 系统，证明恢复力项为( - x 3 + x 5 ) 的混 沌系统具有优越性，它在通信、雷达、信号处理等应用很广泛。通过对d u f f i n g 系统的 详细分析，深层分析了混沌系统的动力学特性行为。研究表明，d u f f i n g 混沌系统更适 合于微弱信号的检测，为后面研究混沌信号的非平稳特性，文中提到的新的混沌判据的 推导以及后续章节中的内容都提供了理论依据，奠定了理论基础。 2 1 统以及混 及其基本 检测信号 质，着重 稳特性， 所以采用w i g n e r 分布对d u f f i n g 混沌系统进行时频特性的研究，为解决实际问题提供了 一定的理论基础。 3 1 w i g n e r - v i l l e 分布的定义和性质 3 1 1 w i g n e r - v i l l e 分布的定义 1 9 4 8 年，v i l l e 将w i g n e r 在1 9 3 2 年提出的w i g n e r 分布引入信号处理的领域，提出 了另一种表示非平稳信号的方法，即w i g n e r - v i l l e ( w v d ) 分布。对于非平稳信号进行时 频分析的主要目的就是探索时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率 的能量。w i g n e r - v i l l e 分布是基本的时频分布，用它可以发展得到其他形式的时频分布。 w i g n e r - v i l l e 分布是一种基本的双线性变换的形式h 2 l 。连续的w i g n e r - v i l l e 为： w ( t , 0 = s ( t + 0s + ( 卜2 2 ，) e - z n f r d t ( 3 1 ) w i g n e r - v i l l e 分布符合测不准( h e i s n e b e r g ) 原理给出的下界，时间分辨率和频率分 辨率都达到最好的界限。可见w i g n e r - v i l l e 分布具有很好的时频聚集性，所以在实际中 的应用很广泛。 离散w i g n e r 分布的定义为： 设序列s ( n ) 的长度为n = 2 l + i ，或具有重复周期n = 2 l + i ，由于序列w i g n e r 分布是 频率分量的周期为的周期函数，所以n 点离散w i g n e r 分布定义为： w s ( 删) ：昙圭咖+ 枷一k ) e - ，n ，m z ( 3 2 ) 。k - - l 离散w i g n e r 分布有多种算法，这里介绍基于f f t 的快速算法。对非周期的长序列，进 行f f t 之前需要对序列加窗，即需要定义序列的离散伪w i g n e r 分布。 对窗函数h ( n ) ，序列 形s ( 玎， 其中窗函数h ( n ) 的宽 分布在频域的重复周期为 此得到x ( n ) 的离散伪w i g n e r 分布。 3 1 2 w i g n e r - v i l l e 分布的性质 ( 1 ) 对称性 w + ( t ，0 = w ( t ，0( 3 4 ) 可见，w ( t ，f ) 为实函数，计算w i g n e r 分布时，可以方便的减少计算量，使计算更方 便。 ( 2 ) 边缘特性4 3 j b ( t ) 三，w s ( t , c o ) d c o = i s ( t ) 1 2( 3 5 ) b ( c o ) 兰，w ；( t ，c o ) d t = i s ( c o ) 1 2( 3 6 ) 即 ，丁w s ( t , c o ) d t d t o = e ( 3 7 ) 从上式可以看出，某一特定频率的全部时间内的能量总和等于信号的能量谱密度， 而某一特定时刻的所有频率的能量和等于信号在该时刻的能量密度删。从边缘特性来看， w i g n e r - v i l l e 分布不能保证在整个时频平面上都是正的。 ( 3 ) 有限支撑特性 即定义域的同一性，对一般的时限信号来说，w ( t ，0 在时限以外的值为零，保证了 能量不向外界泄露。 ( 4 ) 条件矩 一阶条件矩就是对给定的时刻求所有频率分量的平均，如式3 8 所示，可以估计信 号的瞬时频率 存在。 ( 7 ) 交叉项分析 交叉项产生于两分量信号的时间和频率的中间位置上，有振荡的特点，是双线性时 频分布一种固有的性质。如果信号s ( t ) 及谱特性给出，在时频平面上信号就出现在有用 的地方，用w i g n e r - v i l l e 分布分析单分量信号时具有较好的时频聚集性，可交叉项如果 对于多分量信号而言，却会出现“虚假信号”，与原信号的物理性质相矛盾h 5 1 。 假设一个信号由两个分量构成： s ( o = s l ( t ) + s 2 ( t ) ( 3 1 0 ) 它的w i g n e r 分布为： w ( t ，0 = v 吒1 ( t j f ) + w 2 2 ( t j f ) + v 吒2 ( t ，0 + w 2 l ( t ，f ) ( 3 1 1 ) 其中 w 1 2 ( t f ) = e s t ( t + s 2 ( t 一争e _ j 2 硫 ( 3 1 2 ) 称3 1 3 式为互w i g n e r 分布，把互w i g n e r 分布称为信号的交叉项，是有用信号的干扰信 长安大学硕士学位论文 息，要尽量避免。 时频平面上相距较远的两个信号分量，在对其进行w i g n e r 分布时，交叉性会对有 用信号的提取变得困难，所以交叉项对于时频分布来说是有害的，但并不是说交叉性只 有有害的一面。交叉性有用还是有害，取决于两个信号分量之间的相干程度，这种相干 是有用的信号还是无用的干扰。比如要探测漂浮在海面上的冰山时，用到相干雷达，这 时的交叉项用来探测冰山的实际存在，所以它又是有用的。 3 1 3 解析信号及w i g n e r - v i l l e 分布 为了有效的表示自然界中的实信号，即使信号的中心频率大致集中在能量谱密度的 尖峰中心附近，准确的表达信号的幅度和相位是非常重要的，应用得到只有正频率成分 的复信号，解析信号。混沌信号为非平稳信号，在进行w i g n e r 变换之前先将实信号变换 为复信号。 实信号s ( t ) 的解析信号为z ( 妒- a s ( t ) 】，其中a s ( t ) 】- s ( t ) 勺h 【s ( t ) 】，h s ( t ) 】是信号s ( t ) 的h i l b e r t 变换，定义为： h i s ( t ) 】- 【e s ( t u - u ) d u + e s ( t u - u ) d u 】 ( 3 1 3 ) 或者 h i s ( t ) 】- - p 1v 亡翟d t ( 3 1 4 ) 其中，p v 表示取积分的主值，t ，t 为实变量。 解析信号的实部和虚部是正交的，是希尔伯特( h i l b c r t ) 变换对，实部就是原信号或 者说是实际存在的信号，由此我们可以利用希尔伯特变换得到解析信号，再应用时频分 布来分析信号的特点，应用离散的w i g n e r 分布为： ( 他厂) = 2 e 忌一s ( n + k ) s + 一k ) e j 4 丌町 ( 3 1 5 ) 此时信号在频域上的分布的周期是以采样频率的一半即要，采用解析信号的优点： ( 1 ) 用复信号表示信号，构造解析信号可以减少一半的频带。 ( 2 ) 在消除负频率的同时，其交叉项也被抑制了： 在雷达信号中，对于中频信号需要变换成零中频的复信号，方法有正交变换法、希 尔伯特变换法、多相滤波法、插值法等多种方法，这时可以根据具体要求选取适当的方 法。不过这时的信号不一定要是解析的，但是实部和虚部需是正交的， 三章w i g n c r 分布及d u f f i n g 混沌系统的时频特性 3 2 混沌信号统计特性分析 3 2 1 混沌信号与随机信号的关系 混沌信号和随机信号既有共同点也有不同点，有效的区分这两类信号是非常重要的。 随机信号是一种非确定性的信号，如热噪声信号发生器输出的电信号，飞行器起飞时的 结构振动，以及起伏海面的波动高度等。随机信号和混沌信号似乎有许多相似之处，但 并非等同于混沌信号。一般认为混沌信号是介于确定信号和随机信号之间的一类信号， 不是由随机性外因引起的，而是由确定性系统( 内因，可由确定的非线性方程产生) 直 接得到的具有随机性( 在混沌吸引子的区域内的轨道永远不重复，不可预测) 的运动状 态决定的。或者说混沌是具有随机性的非周期振动。它们的共同特点就是无法预测其未 来某时刻的精确值。 混沌信号和随机信号的性质总结如下 4 6 4 7 4 8 】： ( 1 ) 由上述可知，混沌信号具有确定性，信号内部具有某种确定性的规律，而随机 信号是一种非确定性的信号。 ( 2 ) 混沌系统对初始条件敏感，而随机信号对初始条件不敏感。 ( 3 ) 从波形上看出，混沌信号的波形看起来貌似随机的，其实有一定的规律，而随 机信号波形是完全随机的，没有任何规律可循。 ( 4 ) 混沌信号在长期时间内不可预测，而随机信号是根本无法预测的。 ( 5 ) 对混沌信号的存在可以消除，而随机信号只能减少。 总而言之，混沌现象是“确定性系统 的一种“内在随机性”，有别于可能由系统 外部引入的不确定的随机影响而产生的外部随机性。 3 2 2 混沌信号统计特性分析 用相对简单的( - x + x 3 ) 为恢复力项的数学模型进行混沌信号统计特性分析 爻+ k 文一x - i - x 3 = y c o s ( c 0 0( 3 1 6 ) 采用摄动法( 小参数方法) 对此方程进行求解，是求含有小参数微分方程在整个区域 上一致有效渐近解的近似方法。应用摄动法可以求得【x ( t ) 】的均值和均方值如下： e 【x 】= j 二h 0 1 ) d t le h 0 2 ) d t 2 。 j 三e a c o s ( o ( t - t 1 ) a c o s ( i ) ( t - 2 ) a c o s o - ) c t - t 3 ) h 0 3 ) d r 3 ( 3 1 7 ) 长安大学硕士学位论文 输出信号的均方值 e 【x 2 】_ e ( x 0 2 ) 】+ 2 e x o x l 】( 3 1 8 ) 其中 e 【( x 0 2 ) 】= e a c o s c o ( t - t x ) a c o s c o ( t - t 2 ) 】h ( t 1 ) h ( r 2 ) d r 1d r 2 1 二j 三r ( t 1 一t 2 ) h ( t 1 ) h ( f 2 ) d r ld c z ( 3 1 9 ) 在这里，r 0 1 一t 2 ) 是周期策动力的自相关函数。 e x o x l 】= 一：e 【x o ( t ) ( x o s ( t d 】h d t = 一eh 0 1 ) d t l eh ( t 2 ) d t 2 eh ( t 3 ) 帆巴h 0 4 ) d ee a c o s ( j o ( t - 1 ：1 ) a c o s c o ( t - t t 2 ) a c o s o 【) ( t - 1 c - - t 3 ) a c o s c o ( t 下一) h ( d d ( 3 2 0 ) 由上述结果可知：d u f f i n g 混沌信号符合非平稳信号的定义，它的均值函数和均方 值函数都是随时间变化的函数，说明混沌振子产生的信号为非平稳信号【5 0 l ，在这里采用 w i g n e r 分布对d u f f i n g 混沌系统进行时频特性的研究。 3 3 基于w i g n e r - v i l l e 分布的d u f f i n g 混沌系统的时频特性 由上述可知，w i g n e r 分布具有很好的时频特性，所以采用w i g n e r 分布对混沌系统 做出的时频分布如下。 图3 1 展现了混沌系统输出量的能量分布情况，图中的横坐标代表混沌信号的频率， 纵坐标代表时间，从图中反映出d u f f m g 混沌系统输出的w i g n e r 分布图主要集中在低频 窄的区间内，这样可以把在这个主要频率以外的无用的信息( 噪声) 滤除掉，也就验证 了d u f f i n g 混沌系统具有对初始条件的敏感性和对噪声具有极强的免疫力，也是传统对 主要频率以外无用的信号所不能达到要求，说明d u f f i n g 混沌系统对噪声的抑制性这一 特点是非常重要的。 图3 2 是当混有非高斯噪声的信号的w i g n e r 分布图，由图可知，信号的频率分布范 围比较广，信号的能量几乎布满整个频域。图3 3 是混有非高斯噪声的信号经过d u f f i n g 混沌系统后，再对信号做w i g n e r 变换的时频分布的图形，从图中可清楚的看到，含有 非高斯噪声的信号同样经过d u f f i n g 混沌系统后的w i g n e r 分布图也主要集中在低频的窄 2 7 一0 20吼2 一o 2 频率，【k a z ) 图3 2 混有非高斯噪声的w i g n e r 分布图 3 4 本章小结 0仉2 频率k h z ) 图3 3 非高斯噪声通过d u f f i n g 系统 的w i g n e r 分布图 本章首先介绍了w i g n e r - v i l l e 分布的定义，随后分析了它的性质。为了将采样频率 降低一倍以及有效的抑制交叉项，文中提及用到解析信号。并分析了混沌信号与随机信 号的相同点以及不同点。文中采用特定系统d u f f i n g 混沌系统，通过时频特性分析和仿 真实验说明了此混沌系统具有低频窄带特性，频带以外的无用噪声可以通过混沌系统检 测微弱信号得到有效的抑制。本章还研究使用摄动法来分析d u f f i n g 混沌信号的特性， 从统计学方法上也证明了 理论内容提供了必要的补 提供了一个很好的方法。 第四章基于l e b e s g u e 测度的微弱信号检测的混沌判据 第四章基于l e b e s g u e 测度的微弱信号检测的混沌判据 由第二章介绍的d u f f m g 混沌系统的动力学特性得知，利用混沌对初始条件的敏感 性这一基本特性来检测微弱信号。混沌系统检测微弱信号关键的一步就是什么时候系统 从混沌状态跃变到周期态，在这一刻对应的系统的周期策动力