（基础数学专业论文）模形式及其构造.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 010 u n i v e r s i t yc o d e ： 10 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 1 7 e a s tc h i n an o r m a i 。u n i v e r s i t y m o d u l a rf o r m sa n dc o n s t r u c t i o n s d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s p e c i a l t y - p u r e m a t h e m a t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n ：n u m b e rt h e o r y s u p e r v i s o r ：p r o f z h i g u o l i u c a d i d a t e ：j i a n t a of e n g c o m p l e t e d i nm a y , 2 010 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文模形式及其构造，是在华东师范大学 攻读硕z 博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示感谢。 作者签名：；与蠢滔 日期：劢f 才 年f月 j9日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 模形式及其构造系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的 硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所以。本人同 v 意华东师范大学根据有关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构 如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论 文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全 国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编 出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本人为学论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审核核定的“内部”或“涉密”学位论文， 于年月日解密，解密后使用上述授权。 2 不保密，适用上述授权。 学位论文作者签名：马3 害得 导师签名： 铆f 夕年 幸“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或 保密委员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文”涉密”审批 表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 冯建涛硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 口寸f 金盏 教孑凌舜聋j 中蓖愆 主席 为彩乒、 教才委牟军睁范惑 聋众毳黟数弦 牟季忏花愆 模形式及其构造 摘要 本文研究了完全模群上的模形式与尖形式的性质，以及同余子群上 的模形式和尖形式的构造，利用e i s e n s t e i n 级数和p o i n c a r e 级数给出了 一些基本的模形式，再结合维数公式与尖形式空间的结构得到一些恒等 式 关键词：模函数，同余子群，基本区域，尖形式，e i s e n s t e i n 级数 m o d u l a rf o r m sa n dc o n s t r u c t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ef i r s ts t u d yt h ep r o p e l r t i e so fm o d u l a rf o r m sa n dc u s p f o r m sf o rt h ef u l lm o d u l a rg r o u p ，t h e nc o n s i d e rt h ec o n s t r u c t i o n so ft h e m o d u l a ro rc u s pf o r m sf o ri t sc o n g r u e n c es u b g r o u p s w em a k eu s eo f e i s e n s t e i ns e r i e sa n dp o i n c a r es e r i e st og i v es o m eb a s i cm o d u l a rf o r m s c o m b i n i n gw i t ht h ed i m e n s i o n a lf o r m u l a so fm o d u l a rf o r m sa n dt h e c o n s t r u c t i o n so ft h ec u s pf o r m s ，w eg e ts o m ei d e n t i t i e s k e yw o r d s ：m o d u l a rf u n c t i o n ，c o n g r u e n c e s u b g r o u p s ，f u n d a m e n t a l d o m a i n ，c u s pf o r m s ，e i s e n s t e i ns e r i e s 2 - 目录 1 引言1 2 相关理论与结果2 2 1 完全模群上的模函数与模形式。2 2 2 完全模群的同余子群9 2 3 一般整权模形式空间与维数公式。1 1 2 4 同余子群的模形式与e i s e n s t e i n 级数 1 l 2 5 关于| 9 函数与刁函数的恒等式与同余子群的尖形式。1 4 3 主要结果1 7 3 12 k 权模形式的应用。1 7 3 2 同余子群r 。( 矿) 的基本区域与生成元2 0 3 3 同余子群的模形式的构造2 6 3 4 同余子群的模形式的应用二 3 0 4 一些问题与展望 3 4 5 参考文献3 5 6致谢3 6 弓| 言。 1 ，引言 模函数与模形式，或者更一般的自守形式在当代的数论中起着很重 要的作用，它在f e r m a t 大定理的w i l e s 证明中起着关键的作用模形式与 解析数论，椭圆函数，t h e t a 函数理论都有密切联系它在函数论，表示论， 几何中也起着重要作用历史上著名的平方和问题可以应用整权的模形 式理论给出部分解答而e i s e n s t e i n 级数或p o i n c a r e 级数的理论能给出 一些模形式，而估计尖形式的f o u r i e r 系数是一个十分重要和有意义的 问题 本文的重点是应用同余子群关于完全模群的陪集分解给出一些同 余子群的基本区域以及生成元的计算，应用同余子群的e i s e n s t e i n 级数 与p o i n c a r e 级数的知识具体给出一些模形式的例子，以及由这些例子得 到的一些恒等式 模形式在一些问题中的应用也是十分有趣和重要的，本文给出两个， 一个是完全模群上的，另一个是同余子群上的 相关理论s 结果 2 ，相关理论与结果 本章介绍模形式理论的某些基本理论与相关结果，它们是本文的基 础大部分定理是熟知的，这些都能在文献 1 】， 2 1 ， 3 】中找到，而对某些定 理给出了证明 2 1 完全模群上的模函数与模形式 2 1 1 完全模群，模函数 我们知道，完全模群上的模函数是定义在格 a = a ( r o l ，彩2 ) = m ( o l + ”哆i 朋，”z ，i m ( c o l r 0 2 ) 0 ) 上的亚纯函数，它相当于在上半复平面h 上定义一个亚纯函数f ( f ) ，它 是在完全模群r 上保持着某种不变的性质，即对任意的 口r = ( ：三) i 耐- b c = l , a , b , c , d z ) ，都有f c 口c f ，= c c r ；口，f c f ，其中 j ( r ；o t ) = ( c f + d ) 这时称f ( r ) 为完全模群r 上的权为k 的模函数 根据完全模群的生成元为s = ( ? ：) ，丁= ( 三：) ，所以只要f ( f ) 满足 f ( f + 1 ) = f ( f ) ，f ( 1 r ) = l - k f ( f ) ，( f ) 就是r 上的权为k 的模函数完全模群 上的所有权为k 的模函数的全体记做圪( r ) 由于上半复平面h 与实数轴在模变换口( - ) = 旦三芒下不变，更进一步， 模变换群保持上半复平面与有理数的集合不变且映射的复合 口。( f ) = ( 筇) ( f ) ，其中妒是矩阵的乘法，这就表示模变换的作用于模群 的作用是同态实际上，若全体模变换群记为2 【，则吸兰r + ，) 我们可以考 虑在模变换下模函数的基本区域，即在此区域之外的点都是和区域中某 相关理论s 结果 个点等价的，但此区域内的点两两不等价具体的说，基本区域是这样的 区域f ：对f 诺f ，存在u f ，以及口f ，使得f = 口( d ) 而对i f 中的任意两点，都 不存在口f 模变换的不动点是指在模变换下不变的那些点，根据a ( o = f ，可得， 二次方程c l 2 + ( d 一口) f b = 0 ，此方程的判别式a = ( d 一口) 2 + 4 b c = ( d + 口) 2 4 ， 由于口，d 都是整数，所以当 0 时，方程有两个无理实根，称为双曲点，相应的变换称为双曲元由 于我们考虑的是h u q u ) ，所以双曲变换的不动点不属于这之中对于 椭圆点来说，本质上只有两个，就是f 和p = 一丢+ 半f ，其余的椭圆点都和 这两个是等价的前者是二阶椭圆点，因为它的稳定子群( 不变子群) 的阶 数是4 ( ! t l ：l 果是模变换群，商群的阶数就是2 ) ，后者是三阶椭圆点，它的稳 定子群( 不变子群) 的阶数是6 ( 模变换群的阶数是3 ) 对抛物点来说，本质 上只有一个，事实上所有的有理数都是等价的，且都与点0 0 等价这就可 归结为以下三个命题，证明可参见文献 1 】 命题1 ，当= _ 4 时，对应的椭圆点f 是二阶椭圆点，它的稳定子群是 仃- 1 s ”仃l 刀= o ，1 ，2 ，3 ，盯( f ) = i 命题2 ，当a = 一3 时，对应的椭圆点f 是三阶椭圆点，它等价于p ，稳定 子群仃f p o r ，f p = ( s 丁) ”) 命题3 ，所有的抛物点都与o o 等价，它们是q u o 。) 这里给出命题1 与命题3 的初等数论的证明： 相关理论s 维采 命题1 的证明：首先来证明i 是二阶椭圆点，且其稳定子群是 s ” 刀= 0 ，l ，2 ，3 ) 当d = a = o ，6 = 叩= 】时，= _ 4 ，显然此时不动点是i 将其代入 c z 2 + ( d a ) r b = 0 ，即得d = a , b + c = o ，再根据a d b c = 1 ，得到a = o ，b = l 或 口= + l 6 = 。，这些矩阵就是( 莒三) 与( 昙苫) ，即s ”，这是一个四阶循环 群 再来证明，如果f 是椭圆点，其稳定子群是r ，那么盯( f ) 也是椭圆点， 且稳定子群是r 巾) = o f ，矿一 最后证明，对于任意的二阶椭圆点f ，存在盯r ，盯( f ) ：i 由于不动点 f 满足c f 2 + ( d 一口) f b = 0 及b c ：一口z 1 ，可得f ：些如果要使r h ，必须 使c 与1 同号，或者说存在s ，t ，使得f ：坐，其中t 0 ，j z ：驴一1 ，现设 p ：fx _ ：1 ，则问题转化为求整数x , y , u , v , x v - y u = 1 ，使得 、u，j f l ( i ) ：兰掣：坐， 于是只要令1 7 = p - 1 ，就得到问题的解而这就等价于 w t y = 材， ( 1 ) t x - u s = v ， ( 2 ) ( 1 ) “+ ( 2 ) 1 ，得到材2 + v 2 = t ，x u + y v = 一s 现在我们考虑集合 s = s v + ”：o 1 ， 4 i ，o 甜 7 ) ， 在此集合中至多有，个元素，即i s l _ t ，于是存在，v o ，满足+ u o - o ( m o d t ) ， 且( u o ，v o ) = l ，由于j 2 兰一l ( m o d t ) ，故2 + 访三0 ( m o d t ) ，但因为iu ol 石，| l 打， 所以瑶+ 诺 l ，lr + 亍- l 1 ) 再加上其一半的 边界也就是f = 辟) u 一扣孚o 。务此即完全 上半平面关于完全模群r 的基本区域可以参见文献【1 】在此区域内，顶 点是椭圆点，和p ，以及抛物点( 尖点) o 。它是紧致的，并且拓扑同胚于球 面s 2 参看文献【2 】的第二章另外，注意到基本区域的边界上的顶点的稳 相关理论s 结果 定子群的生成元是丁和s ，这其实正是完全模群r 的生成元有以下命题： 命题4 ：完全模群r 的生成元就是h r 的不动点的稳定子群的生成 元组成的集合其中h = h u o 。) uq | 【1 】 此命题对同余子群也是成立的，即可以通过同余子群的基本区域求 出它的生成元这将在以后说明 2 1 3 完全模群的模形式空间，2 忌权模形式的维数定理 模函数在尖点处的取值情况决定了此模函数的性质，根据其在尖点 处是否是解析点，极点等可以将亚纯的模函数进行分类这就有了模形 式与尖形式的概念 由于变换z = e 2 腑将模函数f ( f ) 变成g ( z ) = f ( ( 1 ( 2 z i ) ) l o g z ) ，将区域 f eh ，o r e r 1 变为0 izl l ，它将点c o 映到0 ，于是任意的模函数在尖点 细处可以有l a u r e n t 展开，( f ) ：艺p ：撇，这个展开就是模函数f ( f ) 在无 穷远点处f o u r i e r 展开，a n 就是f o u r i e r 系数根据的取值情况，可以将尖 点i c o 分成本性奇点，极点或解析点当亚纯模函数f ( f ) 在上半复平面以 及尖点处都解析时，称其为模形式，其全体记作m k ( r ) ，而在尖点处取值 零，则称为尖形式，其全体记作( r ) 完全模群上的模形式的集合是c 上的线性空间，当给定权为2 七时， 它是有限维的而奇数权的模形式空间只有零空间即d i m m ：。( r ) l 时，它是绝对收敛的，故求和次序无关考虑g 2 。( f ) 在i o o 的f o u r i e r 展开，有以下公式( 文献【l 】，【2 】) ： q = 硕砌+ 酱莩。( 妒砌， 其中f ( 2 七) 2 善砉是r i e m a n n f 函数吒( 行) = d i n d 为除数函数 所以g 2 。( 细) = 2 f ( 2 七) ，并且g 2 。( f ) 在h 内解析，所以g 2 。( f ) 是2 k 权模形式 记易“力2 霹拓g 2 “力，它将其单位化 根据上一节的重要定理( 定理a 和定理b ) ，可以得到一般2 k 权模形 式的具体形式，这在文献 1 中也给出了即如下的： 定理c ：( 1 ) m 2 i ( 1 1 ) = c 岛，k = 2 ，3 ，4 ，5 ，7 ； ( 2 ) 判别式函数= 百6 4 n - 1 2 ( 日一砭) 是权为1 2 的尖形式，对任意整数七， 足。( r ) = 心k - 1 2 ( r ) ； 特别地，s ：( r ) 是一维空间，且s ：( r ) = c a 根据以上的定理，可以得到关于臣。的恒等式，比如由茸m 。( r ) ，而 蠡仫( r ) ，已知坂( r ) = c 乓，所以存在复数口，使得霹= 噶，再根据 e 。( 细) = l ，所以a = l ，即日= 乓同理，可以得到巨。= 日色，巨。= e 巨。= 日色 因为巨：一层是权为1 2 的尖形式，所以根据定理c ，存在复数c ，使得 骂2 一层= c a 通过比较系数的具体计算，可以得到c = ( 2 万) 一2 2 6 3 5 7 2 6 9 1 相关理论s 结采 2 2 ，完全模群的同余子群 2 2 1 同余子群 完全模群的一类子群称为同余子群，它是r = 瓯( z ) 的某个指数有 限的子群，实际上，它们可以由z - - ) z 。的同态诱导出一个r = ( z ) 到 c z 。，= 口= ( ：三) 以6 疋d z 。，耐一6 c 兰- c m o d 刀母的同态，此同态的原像 就是同余子群通常主要考虑的同余子群有以下几种： c ，i 。c 刀，= 口= ( ：三) r ：刀ic ) ； c 2 ，r ，c 刀，= 口= ( ：三) r ：a - l ( m o d n ) , n c ) ； c 3 ，r c ”，= 口= ( ：三) r ：订三d 兰，c m o d n ) , b - c - o ( m o d n ) ) 显然r ( 胛) r ( 刀) 1 ，a 兰l ( m o d 4 ) ，我们有 ：且 鲁e 劢玎一12 ( a 1+ 1 ) ”=。1 ， 其中色是b e m 。u m 数即岛= ，尽= 一言，色= 薹( ：卜 证明：考虑权为+ 1 ) 的模形式e + ，由于e + 。( f ) = f ”1 e + 。( f ) ，而 a + l 暑2 ( m o d4 ) ，故乞+ ( f ) = 一乞+ 。( 砒即乞+ ，( f ) = o 另一方面，由g 2 。的表达式以 主要结果 及f ( 2 尼) = ( 一1 ) “1 ( 2 万) 2 后 2 ( 2 k ) ! 色七，可得 乞+ 。( f ) = 1 2 ( a + 1 1 吃+ 再对上式右端使用l a m b e r t 恒等式： 胛= l 刀口 o o c r 口( n ) e 拥 n = l 善五h k x n 了= 喜吒( 刀) x n ，就有 e 2 删一1 定理2 ：设p 是素数，k 是正整数，则 吃+ 。 2 ( a + 1 ) 驯一( 1 + p 2 k q 煽( 弘) + p 2 k - i 以p 2 z ) = _ 薏 证明：根据剐加1 - 薏 同理得到： n = l 毛斗毒 o - 2 川( 刀) 2 2 砌 吒川( 刀) p 2 砒，将z 变换为p z ，有 呸七一( 彬咖， n = - i 啄p z z ) _ 1 一善 于是，结合( 4 ) 和( 5 ) ，就可以得到 q ( 刀) p 2 御2 ， 瓦一( 1 + 矿一) 吆( 脚+ 乡犯1 瓦z ) 4 k 4 k = 一一 b 2 七 0 00 0 一。疵一瑟l + ) 枷+ 矿 o o a n p 2 州肥 门= l n = l 我们考虑括号里面的式子的f o u r i e r 系数a 门， 当( n ，p ) = 1 时，只有第一项即a 。= 吒( 刀) ， n = l ( 4 ) ( 5 ) 1 一。( 彬枷i ， ) 咖 稍 奎 当( 刀，p ) = p 时，由c r 2 ( 刀) 是积性函数，所以 吒i i ( ，1 ) = 0 2 i l ( p 喝) = 0 2 i l ( p ) a z t l ( 刀i ) = ( 1 + p 2 一1 ) 吒t l ( 甩i ) 其中( 确，p ) = 1 ，于是口疗= 0 - 2 七- l ( 刀) 一( 1 + p 2 卜1 ) 吒( ，7 1 ) = 0 ， 当刀= p 口n o ，( n o ，p ) = 1 时，我们计算 呸( p 2 力) = 吒( p 口+ 2 ) = 吒七- l ( p 酣2 ) o - 2 ( ) = ( 1 + p 2 七一1 + + ( p 口) 2 七- 1 ) 吒t l ( ) + ( ( p 口“) 2 一1 + ( p 口+ 2 ) 2 扣1 ) o - 2 七一l ( ) = 0 2 女一l ( ，2 ) + ( ( p 口+ 1 ) 2 一1 + ( p 口+ 2 ) 2 一1 ) 哆t l ( ) ， 于是就有0 2 ( p 2 ，z ) = ( 1 + p 2 ) 吼川( p 胛) 一p 2 0 2 ( 胛) ， 这就证明了a 胛= 0 于是，我们有 驰) _ ( 1 + p 2 k - 1 心) + p 2 k - i 以p z z 卜瓦4 k 莓嘣矽砌 由此可得如下的， 定理3 ：对任意正整数k ，有 v 兰= 兰兰 ，绲1 + e 舸8 k + 4 r 上，4 后+ 2 3 2 同余子群f 。( 矿) 的基本区域与生成兀 现在根据2 2 1 的理论来求同余子群f o ( p 。) 的陪集分解和它的尖点 定理4 ：p 是素数，p 是正整数，那么，有以下陪集分解： r = u 1 1 。( p 8 ) 哆 ( 6 ) 其中 哆) 可取为 ，s 丁，k = o ，1 ，p 8 1 ， s t k p s ，k = 1 ，2 ，p 8 一一1 证明：只需证明对于任意的盯r ，存在7 r 。( ) ，使得盯= y a ，对某个 成立设仃= ( ：三) 如果c g p ) = t ，贝。由于s r = ( ：) ，设7 = ( 詈三) ，就可得至l j ( 竺二三：) = ( 詈三) ，由于c g 力= t ，所以对给定的盯= ( ：三) ，存在整数后， k = o 1 ，p 。1 ，使得c k 三d ( m o d p 。) ，取这样的k ，从而 a = a k b ，b = 口，c = c k d ，d = c 就满足要求； 如果( c ，) = ，我们考虑s 丁嚯= ( 一：) ，y = ( ：三) ，同样可得到 ( 詈三jl ( a c + + 却b k p 三) ，因为( c ，矿) = ，所以( d ，p ) = 一，设c = q ，( q ，力= ，则 同余方程d k - - q ( m o d p 1 ) 必存在解，取一个这样的解，= l ，2 ，矿- 1 ， 于是：取a = a + b k o p ，b = 6 ，c = c + 纸p ，d = d 就满足要求 容易证明，以上这些陪集都是两两不相交的证毕 应用此守坪可以证明下沭的： 定理5 ：r o ( p ) 有两个尖点：o ，o o ；f 。( p 2 ) 有p + 1 个尖点：o ，_ 1 ，其中 k = 1 ，2 ，p - 1 证明：( 1 ) n - f 以直接证明如下，对任意的有理数二，( ，- ，s ) ：1 ，则存在 甜，1 ，甜一$ v - - - - - i 首先，如果s 兰o ( m o d p ) ，则取仃：f ，v1 t o ( p ) ，仃( ) ：二；如果 sz f ，j ( s ，p ) = l ，则s x - - - - l ( m o d p r ) 存在解x = a + p r k ，于是麟= s a + s p r k ：l + ，可以 取仃2 ( p 。三一。r ) e f o ( p ) , 则有盯c 。，= ；另外，若存在口= ( ：d b ) e f o ( p ) 使 得口( o ) = o o ，则必有d = o ，于是沈= 一l ，这是不可能的所以r 。( p ) 的按等价 分类只有2 个尖点o ( 2 ) 同样的方法知道尖点o ，显然是不等价的，而对某个有理数三，若 s - - 0 ( m o d p 2 ) ，则按照上述同样的方法，可知它与等价，若( s ，p ) ：1 ，则它与 。等价( 考虑方程船薹l ( m o d p 2 r ) ) ，最后，如果( j ，p ) = p ，则一士这p 1 个点是 两两不等价的容易知道，如果两个尖点_ ，t 是r 。( p 2 ) 等价的，则一定有 = z 。c t 。( ) ， 2 = 儿呸( ) ，存在某个矿，使得丁啄1ef 。( p 2 ) ，即r 与口：属 f f - r 。( p 2 ) 的同一个右陪集对于尖点士，显然s t 咖s - 1 ( o o ) = 一圭，而对任 勋，(p。 意的t ，s t 咖s q t s = ( 一一+ 。) ，对 利= ( ，妒泖凹丁= ( 一却r 岍- s 。一0 它不是f o ( p 2 ) 的元素，而对 呸= s 丁中s = ( 一? ) ，s 丁如s 一丁5 c s t w s - 1 ，一= ( 一切+ l 。+ 一妇r s p + 。，甲一+ 。) ， 它要属于当且仅当七兰r ( m o d p ) ，由陪集的选取，知此时k = ，所以这就得 到了任意两个不同的尖点一士是不等价的而由命题7 ，不等价的尖点的 个数只有p + 1 个，就是这些 对于r 。( p 8 ) ( p 2 ) l 鬟- j 尖点以及宽度，有以下的： 定理6 ：一般地，对于