（基础数学专业论文）泛阶化李超代数.pdf

中文摘要 对于给定的负阶化李超代数k 一，本文定义了k + 型的泛阶化李超代数 并证明了它的存在性。通过给k 一添加条件，又定义并讨论其它类型的泛阶 化李超代数，进而，由泛阶化李超代数的定义自然地引出了阶化的c a f t a n 型 李超代数，而且证得阶化的c a r t a n 型李超代数k ( 眠”，m a ) ，s ( m ，”) 和 h ( m ，”) 分别可以被某种泛阶化李超代数所刻划。 本文主要结论为： 吨理2 1 ：对任意给定的负阶化李超代数k 一，k 一型泛阶化李超代数是 w ( m ，n ，k 一) 的具有负部分，p ( k 一) 的唯一最大齐次子代数。 定理2 2 ：普通阶化的w ( m ，n ) ，即( r = 1 ) 是深度为1 ，宽度为5 的泛阶 化李超代数。 定理3 1 ：u ( k 一) = p ( m ，”，k 一) ( p ( k 一) ) 。 定理4 2 ：偶h e i s e n b e r g 型的泛阶化李超代数是接触c a f t a n 型超代数 k ( 聊n ，o j a ) ：= f 工叫( ，”，”，a 一) ix o j a ( ，”) a ) a ，州= 2 r + 1 f 。 定理5 3 ：c a f t a n 型李超代数s 伽，”) 和h ( m ，! ) 分别是s l ( ，”) 型和 o s p ( m ，”) 型泛阶化李超代数。y 关键词：李超代数；泛阶化李超代数；c a f t a n 型李超代数 、 a b s t r a c t f o rag i v e nn e g a t i v e l yg r a d e dl i es u p e r a i g e b r ak 一，t h eu n i v e r s a lg r a d e dl i es t l - p e r a l g e b r au o ft y p ek i sd e f i n e da n di t se x i s t e n c ep r o v e d b yp o s i n ga d d i t i o n a l c o n d i t i o n so nk 一，o t h e rt y p e so fu n i v e r s a lg r a d e dl i es u p e r a l g e b r a sa r ed e f i n e da n d d i s c u s s e d 。t h ec o n c e p to fu n i v e r s a lg r a d e dl i es u p e r a l g e b r al e a d sn a t u r a l l y 沁t h e g r a d e d ( ：a 姓a nt y p el i es u p e r a l g r e b r a sa n di ti sp r o v e dt h a tt h eg r a d e d c a r t a nt y p el i e s u p e r a l g r e b r a sk ( m ，n ，蝴) ，s ( m ，n ) a n dh ( m ，n ) c a nb ec h a r a c t e f i z e da sc e r t a i n t y p e so fu n i v e r s a lg r a d e dl i es u p e r a t g r e b r a s t h em a i nr e s u l t si nt l i sp a p e ra r et h ef 。l l o w i n g ： i h e o r e r a 2 1 ：f o ra n yg i v e nn e g a t i v e l yg r a d e dl i es u p e r a l g r e b r ak t h eu n i v e r - s a lg r a d e dl i es u p e r a l g r e b r ao ft y p ek i st h eu n i q u em a x i m a lh m x g e n e o u ss u b a l g e - b r a lo fu ( m ，n ，k 一) 诚血n e g a t i v ep a r tp ( k ) t h e r o r e r n2 2 ：w ( m ，n ) ，“t ht h eo r d i n a r yg r a d a t i o n ，i st h eu n i v e r s a lg r a d e d l i es u p e r a l g r e b r ao fd e p t h1m a db r e a d t hm 十n ( s ) t h e r o r 目n3 1 ：u ( k 一) = p w ( m ，n 。k 4 ) ( o ( k 4 ) ) 。 t h e r o r e m4 2 ：t h eu n i v e r s a lg r a d e dl i ei ss u p e r a l g r e b r a0 fe v e nh e i s e n b e r g t y p e i se x a c t l y t h ec o n t a c t c a f t a n t y p ea 妊b r a 。k ( m ，n ，t o a ) ：= x 6 w ( m ，n ，a ) j 融准a ( m ，n ) a ，m = 2 r + 1 t h e m r e m5 3 ：t h ec a 矗a nt y p es u p e r a l g e b r a s s ( m ，n ) a n dh ( m ，n ) a l et h eu n l v e r a lg r a d e dl i es u p e r a 讯b r ao ft y p es i ( m ，n ) a n do s p ( m ，n ) ，r e s p e c t i v e l y ， k e yw o r d s ：d es u p e r a l g e b r a ，u n i z e r a lg r a d e dl i es u p 。r a l g e b r a ，c a f t a nt y p e l i es u p e r a l g e b r a ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 f 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位 龟斟雠徽：堡洼 日期：越；。生i 坌 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指尉劐币签各狱盘五 日规型i ：! 电话： 邮编： 1 预备 对于任意域f 的李超代数l ，令哑( l ) 表示l 的泛包络代数。 定义1 1若李超代数l = 0 是一上。满足( l 。l ) 至l 。，则称l 是。一 阶化的其中r s 是非负整数或o 。( 分别称为l 的深度和长度) ，l ：是l 的z 2 一阶化子空f o q ( 若l 0 ，则l r o ，厶0 ) 。设l 一= j - i ，l 卜= l 。， l + = 0 。 o l f 和l + ) = o f o l ；。另外我们称d i m l 一为l 的宽度。 本文约定，若某个表达式中出现了d e g z ，则表达式中的z 关于z 2 一阶化 是齐次元素，并且d e g x 是z 的z 2 一次数。若出现d e g x ，则z 关于z 一阶化是 齐次元素，d e g r 是z 的z 一阶化次数。 定义1 2设l = ol 。，l 7 = ol7 是z 一阶化李超代数，p 是l 到l 的同态，若满足9 ( l ) 互厶则称9 是阶化的。 以下我们将讨论z 一阶化李超代数，并将z 一阶化李超代数称为阶化 李超代数，除特殊声明文中所述同态均表示阶化同态。 定义1 3 若k 一= o k i 是一个负阶化李超代数，l = o l 。是阶化李超 代数，若l 一= o 。 o l 。同构于k ，则称l 是k 一型的阶化李超代数。 定义1 4设k 一是负阶化李超代数，若k 一型的阶化李超代数u = u ( k 一) 满足对任意的k 一型李超代数l 和l 一到u 的同构哕，存在唯一的 l u 的同态妒，使得帆= l u w ( f j | ，f 。分别是l 一一l 。u 一一u 的嵌入) 即图 j ? 一l 【f 一 是交换的 l + u 则称u ( k 一) 是k 一型的泛阶化李超代数。 显然，如果k 一型泛阶化李超代数存在，那么，在同构意义下是唯一的。 定义1 5阶化李超代数l 若满足c l ( l 一) nl + = 0 ，这里c ( l 一) 是 l 一在l 中的中心化子，则称l 是可迁。 引理i 1设l 为阶化李超代数，则以下结论等价： 一1 一 ( 1 ) l 是可迁的 ( 2 ) l ( + 中没有l 的非零理想 ( 3 ) l ( + 1 中没有l 中的非零z 一齐次或z 2 一齐次理想( 以下称z 一齐 次或z 2 一齐次为齐次) 。 证明：设r 是包含于l ( + 中的l 的所有理想的和，则r 为l 的含于l + 1 中的极大理想。岛：l b 为自然投射，则可设r = 匕( r ) ，故r c r 7 c j3 一r l ( 川。 又对x iel i ，y r ，有露p d ( y ) = p n + j ( z ) ， j 故对v z l ，z = 亩五，z r 7 = z p d ( r ) i 一， 一r ， j 考察x i r = 墨p ，( r ) = p r i + j ( z 皿) p r 。+ a r ) c r ， j 5 一rj2 一， j2 7 则r7 为l 的理想，由r 的极大性可知：r = r7 且r = 尽n0 。 j # 一r 同理可设耽：l l 为自然投射， r 7 = p r 6 ( r ) op r i ( r ) 故rc r cl 又对却l p ，yer ，有印p r 口( r ) = p r + p ( 艰) 故对v zel ，z = z ioz i ， z r = z ( p r i ( r ) p r i ( r ) ) = ( z i z i ) ( p r 6 ( r ) p r i ( r ) ) = p r i ( 嘶r ) p r i ( x 6 r ) op r i ( x i p ) p r l ( x t r ) c p r i ( r ) op r i ( r ) = r 则r 为l 的理想，由r 的极大性可知：r = r7 ，且r = rn rn “ 故r 为l 的z 2 一齐次理想。 下证rn 为z 2 一阶化，即rn 与= rnbnl 6 rn 与nl t 设v zern 厶， 。r 与厶都为z 2 阶化 有z = z 6 + z i 如r 。，z = 工i + ：r t 7 ，工7 。e ( ) 。， 贝iz i + 工i = , 2 7 i + z i ，z 6 一z7 i = z7 i z i ， 一2 一 故有z i = z7 i ，z7 i = z i ， 则如r 。n ( ) 。， 即：rnl rnl jnl 8 rnl jnl t 。 又尺nl3rnl jn “o rn 与nl i ，显然。 故rnl 为z 2 一阶化子空间。 故由以上所述，可得r 为l 的z 一齐次( z 2 一齐次) 理想，所以( 2 ) ，( 3 ) 等 价。 接下来，我们证( 1 ) 、( 2 ) 等价。 ( 1 ) j ( 2 ) 若z 一阶化李超代数l 可迁，由定义可知c t ( l 一) nl ”2 0 ， 则对vi 0 ，z l ： 0 ，有j 0 ，j 。1 0 ，存在j 0 ，s t ，j 厶0 ，则j i j 0 ， 故有j 0 ，s t 0则( 2 ) 成立。 ( 2 ) j ( 1 ) 若l 不可迁，则c l ( l 一) nl 卜0 ， 故可设j = u ( l ) ，( c l ( l 一) nl + ) 则j 为l 的理想， ， 又l 一c l ( l 一) = 0 ， 则j = u ( l ) ( c l ( l 一) nl ) = u ( l + ) u ( l o ) u ( l 一) ( c t ( l 一) nl + ) c ( u ( l + ) u ( l o ) ( c j ( l 一) nl ( + ) ) cu ( l + ) u ( l o ) l + cl ( “， - 则， r ，与( 2 ) 矛盾 故( 2 ) 与( 1 ) 等价。证毕。 如果l 是阶化李超代数，s 是l 的所有包含在l + 中的理想的集合，且 若s 互s 则，s s ，特别地r = ，s r 是s 中唯一的最大的元，我 们称r 为l 的可迁根。 引理1 2若l 为阶化李超代数，r 是l 的可迁根，r 7 是l 的包含在l 卜 中所有齐次理想的和，则 ( 1 ) r = r 7 ( 2 ) r 是齐次的 1 一 ( 3 ) l r 是可迁的 与文献 1 的引理1 3 的证明相仿，我们可得以下引理： 引理1 3在定义1 4 中p 的唯一性等价于u ( k 一) 的可迁性。 在下面的章节中将证明对任意宽度为m + ”的负阶化李超代数k 一， u ( k 一) 是存在的并且同构于一般c a r t a ”型李超代数w ( m ，”) 的子代数，通 过计算u ( k 一) 还能被构造出来。特别地，深计为i 的泛阶化李超代数就是 w ( m ，n ) 。对于深度为2 的泛阶化李超代数，如果k 一同构于m + 维 h e i s e n b e r g 型李超代数，则u ( k 一) 是接触c a r t a n 型李超代数k ( 扎”，a j a ) ，最 后讨论了硒型的泛阶化李超代数及硒在w ( m ，”) 中的伸张e ( 硒) ，从而 可知c a r t a n 型李超代数s ( m ，”) 和h ( m ，n ) 分别是s l ( m ，”) 型和o s p ( m ， 7 1 ) 型泛阶化李超代数。 l 一 2 u ( k 一) 的存在性 设k 一= k i 一，d i r n k 一= s = m + n o 。，是负阶化李超代数，且深度 l 0 为r ，设p 2 ，e 。与7 ，+ 1 t + 。分别为k nk 6 ，k nk i 的齐次基底， 可令= p ：，1 i m ，五= m ，m + 1 i m + ”，记d ( i ) = 一d e g z ：， d ( a ) = d ( i ) a = ( 叫) ( z + ) ” 若l 是阶化的k 一型李超代数，则 嚣 可看作l 一的齐次基底，且l 的z 一阶化诱导了哑( l ) 的z 一阶化，设垂= 谢( l ( + ) ，锄( l ) ；= h o m 口( ( 2 f ( l ) ，f ) ，因为中是余代数吨( l ) 的子余代数，所以哑( l ) ；是对偶 代数哑( l ) 的子代数，设v ：= f 哑( l ) ；i 至少有有限个i ，使得 ，( m ( l ) 。) 0 ，则v 也是z 一阶化的。且v = f vi ，( 吨( l ) 。) = 0 ，i 一j f ，对于a = ( 。l d 。) ( z + ) ”，记p 4 = 8 l 。- 8 2 。z p 。m 啦( l ) ，d e g e 。 = 一d ( a ) ，d ( a ) = 乏：d ( i ) a 。，d ( i ) = 一d e g z 。另外，记b ( ”) = “= ( “。， u 2 “，) i1 r n ，m + 1 “l “2 “，5 u 0 ，如果u = ( “l u r ) b ( 珂) ， 矿= 玑7 。：。7 叶u ( l ) ，d e g 可”= d ( “) = d ( 地) ，d ( 撕) = 一d e g u 。，设7 0 = 1 ，由李超代数的p 脚定理可知 矿矿 。；砘， i 。n o ”。“b ( t 1 ) 是在圣一模哑( l ) 的一组基底，可定义谢( l ) ；中 的元素t ( 。车，口n o “，“b ( ”) 使得t ( 。e ( “( p 9 矿) = ( 1 ) 艿( 口， 卢) 艿( “，u ) ，i “i = d ( “) ，显然i z 。( “ n n o m ，“b ( ”) 是啦( l ) ；的 一组f 一基，且有性质z ( a ) z ( p ) ：f8 + 卢) ( 。圳，z ( n ：和( “+ 1 1 a ， i s ，口n o “，= 一，+ 1 i ，s 则v 竺 ( m 7 f ) ，且v j z = ，u = ，口z 2 我们可定义超代数“( l ) ；的模结构： 一c ( m 。厂) ( u ) = ( 一1 ) 脚“( d 喀( 力+ 眦。厂( 删) ，“，可哑( l ) 相应的表示记为d ，仿 1 可得p ( l ) 互d e r f ( 哑( l ) ；) ，而且v 是锄( l ) ；的 l 一子模。l y j sv , - + j ，因此i d ：l d e r f ( v ) 为李超代数的阶化同态，且v 是 z 一阶化模，对任意的y l ，由计算可知p ( y ) 是v 的一个特殊导子，即 p ( y ) = h 。c 抽。d i ， f z ( 。e ( ”，1 i m 蹦订f 订) = 协) 掣，。+ 1 f ，一：( 巩t 记这些特殊导子p ( y ) 的集合为w ( mn ) ，则w ( m ，n ) 有阶化结构w ( m ， n ) ( j ) = w ( m , n 卜 则w ( m 川) 为d e r ，( v ) 的阶化李超子代数，我们把具有阶化结构的w ( m ， ”) 记作w ( m 。”，k 一) ，则p 是l w ( m ，n ，k 一) 的李超代数阶化同态，且 k e r p l ( + 为l 唯一的最大的包含于l 中的理想，因此有 命题2 1 ( 1 ) k e r p 是l 的可迁根，m p 是可迁的 ( 2 ) p i ，一是单射 ( 3 ) l 是可迁的当且仅当p 是单射 定义2 1上述同态j d 称作阶化李超代数l w ( m ，”，k 一) 的基础同 态。 相应于元素的次数，取基p l e 。，狲+ i 狲+ 。，即若1 i ，m ，或 m + l i s ，则有d ( i ) d ( j ) 由计算可得若i = s 或c ( k 一) ， p ( ) = d i ，1 i ，p ( ) l ( 。m2 ( 一1 ) ”1 d i ，m + 1 i s ，一般 p ( 2 1 ) f ( m 。) 。= ： ( 1 ) 。8 。+ 1 口+g ，7 5 毋+ d f ，) d ( ，) 0 ，。，。e “磅，( 对1 i m ，则必存在m + l i 7 s ，使得i 7 d d h ) l = r a i n j m + 1 ，5 f d ( j 一) d ( 。) ，m + l i s 则存在1 i ， 使得i = m i n l j7 1 ，n c f ( j7 ) c f ( i ) ) 6 g i 理2 1如果r = d e p t h l 一 d ( i ) p “，贝4j 0 ( 薯) 9 = d 。 1 f 1 命题2 2 设q w ( m ，n ，k 一) 是一个齐次子代数，且q 三p ( l 一) ，那 么q 是可迁的。 证明：取 z l l 如上，则| d ( ) ( 。札= ( 一1 ) 陕g , z “d ：+ c ：i ，9 7 2 ( r ) “q +g ，。z r “。q ，则d a = 0 ，z ，d l 靠 d f ) d ( j )d ( ) d f j ) = 0 。( 。- d e g 五一d ( 6 ) = 一dc i ) 0 d e 磊 d ( k ) d ( f ) d ( f7 ) ) 若有d = 口觑q ( “，满足 = 0 ，i = 1 m + n ，并 且d 0 ，那么存在口，0 ，5 ta = 0 ，k j i 对于n 觑，由于k j ，蹦= 0 z 7 h 7 ，d 正= 0 k j ，a = 0 ，l h 时a f ，= 0 所以有：产蹦= 0 。即d 尚= 0 i = 1 s 因此0 a j f 从而d e gn d = 0 一d ( j ) 0 ，一s z ，则k = 0 ：一。，称为 f ( ( t 在l 中的伸张，记为p l ( k ) 。 对于阶化李超代数l = o 厶，称l 。= o 。厶，为l 的f 一段。 命题3 1若k ( t 是t 一胚，如果t + 1 0 ，k 在l 中的伸张是l 的 唯一最大的具有t 一段k 0 的齐次子代数。 证明：首先证明p l ( k ( ) 是李超代数l 的子代数，当i t + 1 时，由定 义可知knk i 亡l 。nl nk i = ( l ：nl i ) n l i = k inl 5 k i nk ic ( k ：nl i ) c ( k i ) nl i 同理 knk ic ( k ) n l i 又k “) = ( k ( nl 6 ) o ( k “nl 1 ) 所以k = k 2 o ( k 。nk 6 0k 。nk i ) c k nl 60k n l f + 1 l o k lnl io k i nl ic k nl 6o k nl i f ，+ 1o t 十1 即 kck nl i0 knl i 下面对i + j 进行归纳以证明( k f ，k ) s k i 。 当i + j t 时。若i ，j t 结论显然， 若i t ，则j f 时，则对s 0 ，( k i ，k 一，) k i 一，和( k ，k 一，) k 一，则由 归纳假设可得( ( k i ，k ) ，k 一，) 互( ( k i ，k 一，) ，玛) + ( k ，( k ，k 一，) ) ( k i k ) + 0 时，由归纳假设 可知( l k 一， = ：k j k i f ，使得( z ，z 2 ) = ( z l ， z 2 ) z ，对于任意z 1 z 2 k 一1 。 定义4 1深度为2 的阶化李超代数l ，若满足d i m l 一2 = 1 ，则称l 为交 错型的李超代数。若双线性型( 、) 是非退化的，则弥l 为h e i s e n b e r g 型李超代 数。 设a 一是交错的负阶化李超代数，d i m a 一= m + h = s ，a 一2 = f m ，由 李超代数的交错型定理可知存在a ina 一的基底钆。2 ，和a 1n a f ：，) = 艿口锄，1 i j 2 r 的基底岛1 ，+ 。，使得 ( ，弓) = 2 8 南， + 1 i ，r 引理4 1a 一及z ，( i = l ，2 ，+ ”) 如上所示，则有 f q ，r i m p ( 蜀) j 胁。2 d l 一墨哦，i 7 【( 一1 ) 4 + 1 ( d 。+ f n 。) ，i 十1 证明：( i ) r i m 时，因为 = 0 ，r i ，5 7 n ，则：为= 稍，故易知p ( ：1 ) = d ， ( i ) i 0 ，满足 ( 1 ) p ( k 一) = 0 ( 2 ) p ( k 一) = d w ( m ，”，k 一) 一l mea ( ，n ”) m i ( 3 ) 若p ( k ) 山7 a ( 珊，九) ，则c 【7 a ( m ，行) 甜+ 0 ，对任意( ，7 一】2 一 则u ( k 一) = d w ( 埘，力，k 一) o 缈a ( 删，站) 正明：设uzu ( k 一) = p 。，k ) ( 产( k “) ) ，u 7 = dew ( m ，”， k 一) i 珑a ( ， ) ，出( 2 ) 知，u 是验f 匕李超代数，且u “= p ( k 一) 下两由归缩法证明：uc 磁，设i 0 。当， 0 ，由归纳瑕没可知， c 礴；cu ， 鲰4 = p ( k ) ；( e ) a ( m ，) ， 赦( 3 ) 知m c c ，薹d ( m 。n ) c c j + 力o ， 又因为d e g u , m 0 ，所以u a ( m ，) * ，赠ue 盯i 敖有u cu 7 ，再由u 的极大性知u = u 7 。证毕。 由计算可得： 特别她，我们有 定理4 2偶h e i s e n b e r g 型的泛阶化李超代数是接触c a r t a n 墅超代数 k ( m ，封，甜 ) ：= z 甜( 7 ，”，a 一) l3 l ( o a ( ，n ，辨) 蝴拂= 2 r + l 。 一1 3 一 5 k o 型泛阶化李超代数 设l ：o 厶是k 一型的阶化李超代数，l d 是l 到u ( k 一) 的基础映射，则 p ( l o ) 是u ( k 一) o 的子代数。 定义5 1设k 0 是u ( k 一) o 的子代数，阶化李超代数u = u ( k 一，) 被 称为( k 一，k 。) 型的泛阶化李超代数，若满足对任意的k 一型阶化李超代数 l ，p ( l 0 ) k o ，i d 为l 的基础同态，存在唯一的李超代数阶化同态西：l 4 u 使图 l 一) g 叫r ( 一j lf 可交换 ：l 叫j 定理5 1 对于如上所述k - , k o ，p u ( k 一) ( k ) 是( k 一，k o ) 型的泛阶化 李超代数。 考虑深度为1 的情形，这时有泛阶化李超代数( m ，”) 的 o 一成分 w ( m ，”) 0 到纠( m ，n ) 的同构映射 ，历一日，1 i m ，1 j 5 垂： f p 一e d ，m + 1 i s ，i j sf 日一岛，m + 1 s ，j s 其中e d 表示( i j ) 位置为1 ，其余位置为0 的s 阶阵，因此w ( m ，n ) ( o ) 兰 ( 。，n ) 。对于( ，”) 的子代数k o ，u ( w ( m ，”) 一，k o ) 被简称为k o 型泛 阶化李超代数，记为u ( k o ) 若k o 是( m ，”) 的子代数；我们有 e ( 甄) = i n 皿w ( m ，一) 。j ( 一1 ) d e g e e ( ) 0 疡+ ( 一 1 ) a ( d 驰) o e 目 ( m ，n ) 0k o 是w ( ，n ，”) 的齐次子代数，且 称它为k o 在w ( m ，n ) 中的伸张。 定理5 2如果k o 是烈( m ，”) ( = w ( ， ，月) o ) 的子代数，k o = w ( m ，”) - 1 o k o ，则e ( k 0 ) = p ( 。，。) ( k o ) 特别，e ( k o ) 是k o 型的泛阶 化李超代数。 证明：设p = p ( 。，。) ( k o ) ，下面对i 进行归纳来证明p 。互e ( k o ) 当i 0 时，结论显然， 当i o 时，对任意的d = p 妇w ( m ，”) 。p 。，d k w ( m ，”) f ， 由归纳瑕设有( 珐，d = 昧( q ) 日p 。e ( k o ) ，即( 一 j l2 1j2 1 1 ) 。 e - e , ( d n a j ) q e d + ( 1 ) 。+ p ( d 砌，) 0 e d ( m ，”) k o ，设 i 2 ，n + 1 ， 1 耐= f ，爿( m ，n ) 。jf ( k o ) = o ，对于p l ( r ”，”) 中的元z = 堆f ， ，是作用在s 2 个变量粕上的线性函数，因此，可被扩张为 ( m ，n ) o p l ( m ，n ) 上的 ( m ， ) 一线性映射，所以，( d , d , a j ) = ( 一1 ) o ”p f ( d 。q ) = 0 ，因为八呐) ( m ，”) 均为齐次元素，所以有f ( d , a j ) = 0 ，v 任意， k 一， 则，( ( 一1 ) 凇蚴。舀+ ( 一1 ) 阳+ “d 口，o e o ) = 0 ， i = 1j = 1i ；m + i ，= 1 m，j 即( 一1 ) a , g e , d i a ；oe d + ( 一1 ) 9 + d + r ( ”。蚤，著d 一，0e d ( m ，n ) o i = 1j = 1 k o 即d e ( n o ) ， 所以p = e ( k o ) 证毕。 由于c a r t a n 型李超代数s ( ，”) 和h ( m ，”) 分别是s l ( m ，”) 和 o s p ( ，”) 在w ( m ，n ) 中的伸张，因而有： 定理5 3c a r t a n 型李超代数s ( ，n ) 和h ( 帆，j ) 分别是s l ( ，i ) 型 和o s p ( m ，”) 型泛阶化李超代数。 参考文献 1 f e iq i n g y u n ，o nn e ws i m p l el i ea l g e b r a so fs h e ng u a n g y u j ，c h i n a n n o f m a t h 1 9 8 9 ( 2 s 乜a d eh a n df a m s t e i n e rr ，m o d u l a rl i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n ， n e wy o r ka n db a s e l ：1 9 8 8 3 j e h u m p h e r y s ，i n t r o d u c t i o nt o l i ea l g e b r a sa n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y ， s p r i n g v e r l a g ，n e wy o r k 。i n e ，1 9 7 2 ( 4 j a c o b s o nn ，u ea l g e b r a s ，w i l e y ( i n t e r s c i e n c e ) ，n e wy o r k ，1 9 6 2 5 s h e ng u a n g y u ，a l g e b r a se x p l a n a t i o no ff x t e r i o rd i f f e r e n t i a l ，c h i n e s e 国a r t e r l y j o u m a io fm a t h e m a t i c s 1 9 9 1 ( 6 r j b l a r m e r ，i n d u c e da n dp r o d u c e dr e p r e s e n t a t i o n so fl i ea l g e b r a s ，t r a s a m e r m a t h s o c ( 1 9 6 9 ) ，4 5 7 4 7 4 7 r e b r o c ka n dr l w i l s o n ，o nf i l t e r e dl i ea l g e b r a sa n dd i v i d e dp m e r a l g e b r a s g m a l g e b r a s3 ( 1 9 7 5 ) ，5 7 1 5 8 9 ( 8 3l u n ，l i ea l g e b r a sk ( f ，u ) o fc a f t a nt y p eo fc h a r a c t e r i s t i cp = 2 a n & h e i rs u b a l g e b r a s ，j e a s t c h i n an o r m u n i v n a m r s c i e d ( 1 9 8 8 ) ，1 6 2 3 ( 9 s h e ng u a n g y u ，g r a