第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案).pdf

第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5 5- -1 1 控制系统稳定性的概念控制系统稳定性的概念 5 5- -2 2 控制系统稳定的充要条件控制系统稳定的充要条件 5 5- -3 3 代数稳定判据代数稳定判据（劳斯判据和赫尔维茨劳斯判据和赫尔维茨） 5 5 4 4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据5 5- -4 4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 5 5- -5 5 延时系统的稳定性分析延时系统的稳定性分析 5 5- -6 6 由伯德图判断系统稳定性由伯德图判断系统稳定性 5 5- -7 7 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5. 1 控制系统稳定性的基本概念控制系统稳定性的基本概念 稳定稳定：如果系统受扰动作用偏离原平衡状态如果系统受扰动作用偏离原平衡状态，而当扰动消失后而当扰动消失后，经过充经过充 分长的时间分长的时间，系统能以一定的精度逐渐恢复到原来的状态系统能以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是则称系统是 稳定的稳定的；否则称系统是不稳定的否则称系统是不稳定的。 注意注意：控制理论研究的稳定性是指自由振荡下的稳定性控制理论研究的稳定性是指自由振荡下的稳定性，讨论自由振荡讨论自由振荡 是收敛是收敛，还是发散还是发散，即讨论零输入响应是否收敛即讨论零输入响应是否收敛。 稳定衰减过程稳定衰减过程临界临界（不不）稳定振荡过程稳定振荡过程不稳定发散过程不稳定发散过程 5. 1 控制系统稳定性的基本概念控制系统稳定性的基本概念 稳定平衡点稳定平衡点：扰动消失后，经过自由振荡，能得到恢复的平衡点。 不稳定平衡点不稳定平衡点：扰动消失后，不能恢复的平衡点。 稳定稳定：若控制系统在任何足够小的偏差的作用下若控制系统在任何足够小的偏差的作用下，其过渡过程随着时其过渡过程随着时 间的推移间的推移，逐渐衰减并趋于零逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能具有恢复原平衡状态的性能，则称系则称系 统稳定统稳定；否则称该系统不稳定否则称该系统不稳定。 大范围稳定大范围稳定：大范围稳定大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定小偏差稳定：小偏差稳定小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。 一一、系统稳定条件分析系统稳定条件分析 系统扰动输入到输出之间的传递函数系统扰动输入到输出之间的传递函数： 1 o2 011 1 12011 1 mm mm nn nn XsGsM sb sbsbsb N sGs Gs H sa sa sasaD s 1 ooo 011o 1 ddd ddd nn nn nn xtxtxt aaaa xt 描述系统扰动输入到输出之间关系的微分方程描述系统扰动输入到输出之间关系的微分方程 5. 2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 011o 1 1 011 1 ddd ddd ddd nn nn mm mm mm ttt n tn tn t bbbb n t ttt 与初始偏差状态相关的拉氏变换部分与初始偏差状态相关的拉氏变换部分 1221 d 0000 d n nnnnn n f t Ls F ssfsfsff t 零初始状态下的拉氏零初始状态下的拉氏 变换变换。闭环传递函数闭环传递函数 的分母的分母多项式多项式D(s)。 扰动消失后扰动消失后，n(t)=0，系统自由振荡输出的响应相函数系统自由振荡输出的响应相函数： 1 011o 0 nn nn a sa sasaXsC s o C s Xs D s n4对相同的复数根 j rr s n1个不同的实根 j ps 闭环传递函数的特征方程闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。 11 o C s Xs D s 扰动消失后扰动消失后，n(t)=0，系统自由振荡输出响应的相函数系统自由振荡输出响应的相函数： 5. 2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 n3对不同的共轭复数根 j ll s n2重实根 k sp 3124 11 o 1010 eeesinesin j klr nnnn p t p tttkr jklllrrr jklr xtAC tBtD tt 结论结论：控制系统稳定的充分必要条件控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具系统特征方程式的根全部具 有负实部有负实部。 系统特征方程式的根全部具有负实部系统特征方程式的根全部具有负实部。 系统闭环传递函数的极点全部具有负实部系统闭环传递函数的极点全部具有负实部。 闭环传递函数的极点全部在闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面平面的左半平面。 0sD特征方程特征方程： n4对相同的复数根 j rr s n1个不同的实根 j ps 5. 2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 二二、控制系统稳定的充分控制系统稳定的充分必要条件必要条件 正实根正实根(-pj),对应项随时间单调增长对应项随时间单调增长。实部为正的复数根实部为正的复数根(-j)，对应项对应项 随时间作周期发散振荡随时间作周期发散振荡。 零根零根，对应一个常数项对应一个常数项，系统可在系统可在 任何状态下平衡任何状态下平衡。共轭虚根共轭虚根，对应项为等幅周期振荡对应项为等幅周期振荡。 n3对不同的共轭复数根 j ll s n2重实根 k sp 3124 11 o 1010 eeesinesin j klr nnnn p t p tttkr jklllrrr jklr xtAC tBtD tt n 1 o 011 1 i011 mm mm nn nn Xsb sb sbsb Xsa sa sasa 闭环传递函数闭环传递函数 特征方程特征方程 0 1 1 10 nn nn asasasasD 劳斯判据劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是线性系统稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数特征方程的各项系数ai 均为正值均为正值（ai0） ，并且由特征并且由特征方程系数组成方程系数组成的劳斯阵列的第一列的劳斯阵列的第一列 系数也为正值系数也为正值。 5. 2 代数稳定判据代数稳定判据 一一、劳斯判据劳斯判据 1 3021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 1 2131 1 b baab c 1 3151 2 b baab c 1 4171 3 b baab c 1 7061 3 a aaaa b 1 1 21 4321 4321 7531 6420 0 1 2 3 2 1 g f ee cccc bbbb aaaa aaaa s s s s s s s n n n n 劳斯阵列劳斯阵列 注意注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同相同，则该列元素符号变化的次数则该列元素符号变化的次数，就是特就是特 征方程所含实部为正的根的数目征方程所含实部为正的根的数目。 劳斯劳斯判据使用说明判据使用说明： 例例5-1 设控制系统的特征方程式为： 432 8171650D sssss 试应用劳斯判据判断系统的稳定性。 （1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论不会改变稳定性的结论。 解解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列： 4 3 1175 816 s s 117 816 15 8 15 2 1 0 155 40 3 5 s s s 由劳斯阵列的第一列可见，第一列中的系数符号全为正，所以该系统 稳定。 8 15 80 5 8 155 40 30 5 40 3 816 15540 153 例例5-2 设控制系统的特征方程式为： 432 23430D sssss 试应用劳斯判据判断系统的稳定性。 解解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列： 4 （2）劳斯阵第一列所有系数均不为零劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数的情况下但也不全为正数的情况下，特特 征方程式具有正实根或实部为正的共轭复数根的数目征方程式具有正实根或实部为正的共轭复数根的数目，等于第一列系数等于第一列系数 符号改变的次数符号改变的次数。 劳斯判据使用说明劳斯判据使用说明： 4 3 2 1 0 133 24 13 2 3 s s s s s 由劳斯阵列可见，第一列中的系数符号不全为正，所以系统不稳 定。另外，第一列中的系数符号改变两次（+1-2-+3），说明闭环 系统有两个正实部的根，即在s右半平面内有两个闭环极点。 例例5-4 设控制系统的特征方程式为： 0122 234 sssssD 试应用劳斯判据判断系统的稳定性。 解解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列： 4 111 （3）劳斯阵某一行第一项系数为零劳斯阵某一行第一项系数为零，但其余系数不全为零的情况但其余系数不全为零的情况：可以可以 用一个有限小的正数用一个有限小的正数代替为零的那一项代替为零的那一项，然后根据上述公式计算下一行然后根据上述公式计算下一行 的各项的各项。如果如果第一列为零的上项和下项符号相反第一列为零的上项和下项符号相反，则计入一次符号改变则计入一次符号改变。 劳斯判据使用说明劳斯判据使用说明： 0 1 2 3 4 10 22 111 s s s s s 由于劳斯阵第一列系数不全为正，因此系统不稳定。第一列各元 素符号改变2次，因此特征方程有2个实部为正的根。 0 2 2 1 例例5-6 设控制系统的特征方程式为： 01616201282 23456 sssssssD 试应用劳斯判据判断系统的稳定性。 解解：列写劳斯阵： （4）劳斯阵某一行系数全为零劳斯阵某一行系数全为零，或某一行只有零的一项或某一行只有零的一项，则表明方程具有一些大则表明方程具有一些大 小相等而符号相反的根小相等而符号相反的根（如如：绝对值相等而符号相反的实根绝对值相等而符号相反的实根；模相等的共轭虚模相等的共轭虚 根根），可将不为零的最后一行的各项组成一辅助多项式可将不为零的最后一行的各项组成一辅助多项式，用辅助多项式各项对用辅助多项式各项对s求求 导所得系数导所得系数，代替全为零的一行的各项代替全为零的一行的各项，则可继续计算劳斯阵以下各行则可继续计算劳斯阵以下各行。特征方特征方 程大小相等程大小相等，符号相反的根可由求解辅助方程得出符号相反的根可由求解辅助方程得出。显然辅助方程的次数为偶数显然辅助方程的次数为偶数。 劳斯判据使用说明劳斯判据使用说明： 0 1 2 3 4 5 6 00 861 16122 162081 s s s s s s s 38 34 8 086 24 sssA令 js2 2, 1 js2 4, 3 系统特征方程具有两对共轭虚根系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界系统处于临界稳定稳定。（不稳定不稳定，对应的对应的 暂态分量为等幅振荡暂态分量为等幅振荡。) 86 24 sssA 3 d 412 d A s ss s 4 12 例例5-3：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为： 21 2 ssss K sG 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为： o 2 i 112 XsG sK s XsG ss sssK 系统的特征方程为： 0233 234 KsssssD 列写劳斯阵列： 劳斯判据使用说明劳斯判据使用说明： 列写劳斯阵列： Ks Ks Ks s Ks 0 1 2 3 4 792 37 23 31 根据劳斯判据，可知要使系统稳定必须满足： 0 0792 K K 使系统稳定的K的取值范围为： 9 14 0 K 二二、相对稳定性和稳定裕度相对稳定性和稳定裕度 应用应用代数判据只能给出系统是稳定还是不稳代数判据只能给出系统是稳定还是不稳 定定，即只解决了即只解决了绝对稳定性绝对稳定性的问题的问题。 相对稳定性相对稳定性（稳定裕度稳定裕度）问题问题：在在处理实际处理实际 问题时问题时，只判断系统是否稳定是不够的只判断系统是否稳定是不够的。因因 1 j 1 p 5. 2 代数稳定判据代数稳定判据 为为，对于实际的系统对于实际的系统，所得到的参数值往往所得到的参数值往往 是近似的是近似的，并且有的参数随着条件的变化而并且有的参数随着条件的变化而 变化变化，这样就给得到的结论带来了误差这样就给得到的结论带来了误差。为为 了考虑这些因素了考虑这些因素，往往往往希望知道系统距离稳希望知道系统距离稳 定边界有多少定边界有多少余量余量。 0 2 p 3 p 利用劳斯判据确定系统相对稳定性和利用劳斯判据确定系统相对稳定性和稳定裕度稳定裕度 方法方法： 以以s=z-1代代人人D(s)，写出关于写出关于z的的多项式多项式； 5. 2 代数稳定判据代数稳定判据 1 j 1 p 特征方程特征方程 0 1 1 10 nn nn asasasasD 1 1011 0 nn nn D zc zc zczc 利用利用劳斯判据判定劳斯判据判定z的的多项式多项式D(z-1)=0 的根的根zi（i=1n）是否是否都在都都在都在虚轴在虚轴的左的左 侧侧，即即zi的实部的实部Re(zi)是否小于是否小于0，也就也就 是是D(s)=0的的根根的的实部实部Re(si)=Re(zi)-1是是 否都小于否都小于-1。 0 2 p 3 p 例例：系统特征方程为：D(s)=s3+5s2+8s+6=0，试检查上述系统是否有裕度 =1。 解解：（1）判定系统的绝对稳定性 6 5 34 65 81 0 1 2 3 s s s 劳斯阵列为： （2）检查系统的稳定裕度 令：s=z-1代入原特征方程得： 0618151 23 zzz 列劳斯阵列： 022 23 zzz 二二、相对稳定性和稳定裕度相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据劳斯判据） 6 0 s 劳斯阵列第一列各项全为正值，故系 统稳定。 2 0 22 11 0 1 2 3 s z z z 根据劳斯判据可知，方程没有在复平面 右半平面的根，但有一对虚根，故原系统 刚好有的=1稳定裕度。 0618151 23 zzz022 23 zzz 二二、相对稳定性和稳定裕度相对稳定性和稳定裕度（劳斯判据劳斯判据） MATLAB多项式计算多项式计算 aa aa aaa aaa 20 31 420 531 0000 00 00 0 0 阶行列式nn 三三、赫尔维茨判据赫尔维茨判据 5. 2 代数稳定判据代数稳定判据 特征方程特征方程 0 1 1 10 nn nn asasasasD 赫尔维茨行列式赫尔维茨行列式 nn n aa a 2 1 000 0000 0000 系统稳定的充分必要条件为系统稳定的充分必要条件为： a00， 赫尔维茨行列式赫尔维茨行列式，及其主对角线上的各子行列式均具及其主对角线上的各子行列式均具 有正值有正值。 1 80 0 10a 例例5-7：设控制系统的特征方程式为：D(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0，试应用赫尔维茨 判据判断系统的稳定性。 aa aa aaa aaa 20 31 420 531 0000 00 00 0 0 nn nn asasasasD 1 1 10 81600 11750 08160 01175 解解： 2 816 1200 117 3 8160 11754000 086 20000 系统稳定。 nn n aa a 2 1 000 0000 0000 赫尔维茨行列式赫尔维茨行列式 MATLAB行列式计算行列式计算 det()函数计算行列式函数计算行列式（determinant）的值的值 A=8,16,0,0;1,17,5,0;0,8,6,0;0,1,17,5; dt=det(A); fprintf(dt4=%fn,dt) 作业作业（P186P186）：）： 习题习题5 5- -4 4（4 4） 习题习题5 5- -5 5（4 4） 一一、乃奎斯特稳定判据的基本原理乃奎斯特稳定判据的基本原理 1. 映射定理映射定理（幅角定理幅角定理）：设设为为s平面上不平面上不通过复变函数通过复变函数F(s)任何奇异点的封任何奇异点的封 闭闭曲线曲线，包围包围F(s)的的P个极点和个极点和Z个零点个零点。当当s以顺时针方向沿封闭曲线以顺时针方向沿封闭曲线移动移动 一周时一周时，记记F(s)平面上相应于封闭平面上相应于封闭曲线曲线的图象为的图象为，则则将以将以逆时针的方向围逆时针的方向围 绕原点旋转绕原点旋转R圈圈。其中其中：R、P、Z之间之间的关系为的关系为：R=P-Z。 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 1 2 j s平面平面 2 Im F(s)平面平面 1 1 m i i n j j sz F sK sp 1：绕原点绕原点R=P-Z=2-1=1圈圈，即逆即逆 时针绕原点时针绕原点1圈圈。 1：包围包围F(s)2个极点个极点、1 1个零个零点点； 2：绕原点绕原点R=P-Z=0-0=0圈圈，即不即不 包围原点包围原点。 2：包围包围F(s)0个极点个极点、0 0个零个零点点； 1 1 零点 极点极点 0 s平面平面 Re (s)平面平面 0 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为： K GsG s H s 开环传递函数的特征多项式开环传递函数的特征多项式： K12 DsD s Ds sG sH sR sC 系统的系统的闭环传递函数为闭环传递函数为： G s s 12 12 Ns Ns D s Ds 1 121 Ns D sDs Ns 2. 辅助函数辅助函数 1 1 Ns G s D s 2 2 Ns H s Ds 闭环传递函数的特征多项式闭环传递函数的特征多项式： B1212 DsD s DsNs Ns 辅助函数辅助函数： 12 K 12 11 Ns Ns F sGs D s Ds 注意注意：考虑实际系统传递函数分母多项式的阶次n大于或等于分子多项式的 阶次m，所以辅助函数辅助函数F(s)分子分母阶次相同分子分母阶次相同。 系统的系统的闭环传递函数为闭环传递函数为： K 1 s Gs 12 1212 12 1 Ns NsD s DsNs Ns D s Ds 1212 12 D s DsNs Ns D s Ds B K Ds Ds 辅助函数的特点辅助函数的特点： 辅助函数辅助函数F(s)的零点的零点（方程方程DB(s)=0的解的解）为闭环传递函数的极点为闭环传递函数的极点。 辅助函数辅助函数F(s)的极点的极点（方程方程DK(s)=0的解的解）为开环传递函数的极点为开环传递函数的极点。 辅助函数F(s)与开环传递函数GK(s)之差为常量1，即F(s)=1+GK(s)。 sG sH sR sC 2. 辅助函数辅助函数 辅助函数辅助函数： K 11F sGsG s H s B K Ds Ds 几何几何意义意义：GK(s)的开环频率特性曲线（Nyquist曲线）向右平移单位距 离，即得F(s)在复平面上的曲线。 -1-0.500.511.522.533.5 -1 -0.5 0 Nyquist Diagram Real Axis K 2 1 Gs s K 1F sGs j 0 控制系统稳定的充分必要条件控制系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面。 B K K 1 Ds F sGs Ds 3. Nyquist路径路径 F(s)的零点的零点闭环传递函数的极点闭环传递函数的极点 F(s)的极点的极点开环传递函数的极点开环传递函数的极点 正虚轴s=j：频率从0变化到； 1 22 变化到从，R半径为无穷大的右半圆： j esR 2 3 4.s沿沿Nyquist路径变化时路径变化时， F(s)=1+GK(s)曲线分析曲线分析： 所对应的F(s)为点(1, j0)； 2 所对应的F(s)为所对应的F(s)关于实 轴的对称曲线； 3 开环频率特性GK(j) 的Nyquist曲线 0 U V Re Im 所对应的F(s)为：GK(j)右移一个单位； 0 U 1 1 F(s) Im Re 负虚轴s=-j：频率从- 变化到0 ； 3 设设F(s)在右半在右半s平面的零点数为平面的零点数为：Z 设设F(s)在右半在右半s平面的极点数为平面的极点数为：P 闭环在右半闭环在右半s平面的极点数平面的极点数 开环在右半开环在右半s平面的极点数平面的极点数 当当s沿沿Nyquist路径路径变化时变化时， 逆时针绕原点的圈数为逆时针绕原点的圈数为 幅角定理幅角定理 控制系统稳定的充分必要条件控制系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面。 B K K 1 Ds F sGs Ds F(s)的零点的零点闭环传递函数的极点闭环传递函数的极点 F(s)的极点的极点开环传递函数的极点开环传递函数的极点 j P Z 1sFsGK 若若闭环稳定闭环稳定，即即Z=0，则则有有：R=P，也就是也就是GK(s)逆时针绕逆时针绕(-1, j0)点点P圈圈。 若若闭环不稳定闭环不稳定，即即Z0，则有则有：闭环传递函数在右半闭环传递函数在右半s平面上的极点平面上的极点数为数为： Z=P-R 。 F(s)逆时针绕原点的圈数为逆时针绕原点的圈数为：R=P-Z 当当s沿沿Nyquist路径路径变化时变化时， GK(s)逆时针绕逆时针绕(-1,j0)的圈数为的圈数为：R=P-Z Nyquist路径路径 0 P 如果开环传递函数如果开环传递函数GK(s)在在原点和虚轴上没有极点原点和虚轴上没有极点， 记记开环传递函数开环传递函数GK(s)在在右半右半s平面上的极点数为平面上的极点数为P； Nyquist稳定判据稳定判据 （1）如果开环系统稳定如果开环系统稳定，即即P=0，则闭环系统稳定的充则闭环系统稳定的充 Nyquist路径路径 j 0 P 闭环系统稳定的充分必要条件闭环系统稳定的充分必要条件：Z=0 Z=P-R GK(s) Im 记记从从-变化到变化到+时时，开环频率特性开环频率特性GK(j) 的的Nyquist曲线及其镜象曲线及其镜象 围绕围绕（-1, j0）点的圈数为点的圈数为：R，且且逆时针为逆时针为“+”；顺时针为顺时针为“-”； 则有则有：闭环控制系统在右半闭环控制系统在右半s平面的极点数平面的极点数：Z=P-R （1）如果开环系统稳定如果开环系统稳定，即即P=0，则闭环系统稳定的充则闭环系统稳定的充 分必要条件是分必要条件是：R=0，即即GK(j)的的Nyquist曲线曲线及其镜像及其镜像 不包围不包围(-1, j0)点点。 （2）如果开环系统如果开环系统不稳定不稳定P0,则闭环系统稳定的充分则闭环系统稳定的充分 必要条件是必要条件是：R=P，即即Nyquist曲线曲线及其镜像按逆时针方及其镜像按逆时针方 向包围向包围(-1, j0)点点P圈圈。 总结总结： Z=P-R =0，闭环系统稳定闭环系统稳定； Z=P-R 0，闭环系统不稳定闭环系统不稳定。 GK(s) Re 0 -1 R圈圈 =- =+ =0 例例5-8：闭环系统的开环传递函数为：，判断系统稳定性。 15 123 K Gs sss 解解：（1）确定开环传递函数在右半确定开环传递函数在右半s平面的极点数平面的极点数P 开环传递函数特征方程：DK(s)=(s+1)(s+2)(s+3)=0。 开环传递函数极点：s1=-1，s2=-2，s3=-3。 开环传递函数在右半s平面的极点数：P=0。 （2）绘制开环绘制开环频率特性频率特性Nyquist曲线及其曲线及其镜像镜像 1 1.5 2 2.5 Nyquist Diagram K 32 15 586 Gs sss R=0 当当从从-变化到变化到+时时，开环开环频率特性频率特性Nyquist曲线曲线及其镜象不包围点及其镜象不包围点 （-1,j0），R=0。根据根据Nyquist稳定判据稳定判据， 闭环系统在右半闭环系统在右半s平面上的极平面上的极 点数点数：Z=P-R=0-0=0 ，因此闭环系统因此闭环系统稳定稳定。 （3）利用利用Nyquist稳定判据稳定判据判断闭环系统稳定性判断闭环系统稳定性 -1-0.500.511.522.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis Imaginary Axis 586sss MATLAB代码代码： num=15 den=1,5,8,6 nyquist(num,den) =0 =- =+ R=0 例例5-9：闭环系统的开环传递函数为：，判断系统稳定性。 K 15 123 Gs sss 解解：（1）确定开环传递函数在右半确定开环传递函数在右半s平面的极点数平面的极点数P 开环传递函数特征方程：DK(s)=(s-1)(s+2)(s+3)=0。 开环传递函数极点：s1=+1，s2=-2，s3=-3。 开环传递函数在右半s平面的极点数：P=1。 （2）绘制开环绘制开环频率特性频率特性Nyquist曲线及其曲线及其镜像镜像 0.1 0.15 0.2 Nyquist Diagram 32 15 46 K Gs sss R=-1 当当从从-变化到变化到+时时，开环开环频率特性频率特性Nyquist曲线曲线及其镜象顺时及其镜象顺时 针包围点针包围点（-1, j0）1圈圈，R=-1。根据根据Nyquist稳定判据稳定判据， 闭环系闭环系 统在右半统在右半s平面上的极点数平面上的极点数：Z=P-R=1-(-1)=2 ，闭环系统不稳定闭环系统不稳定。 （3）利用利用Nyquist稳定判据稳定判据判断闭环系统稳定性判断闭环系统稳定性 -2.5-2-1.5-1-0.50 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Real Axis Imaginary Axis MATLAB代码： num=15 den=1,4,1,-6 nyquist(num,den) =0 =- =+ 例例5-10：设单位反馈系统开环传递函数为：，试确定系统稳定性和K的关系。 K 1 K Gs Ts 解解：（1）确定开环传递函数在右半确定开环传递函数在右半s平面的极点数平面的极点数P 开环传递函数特征方程：01Ts开环传递函数极点： T p 1 开环传递函数在右半s平面的极点数：P=1 （2）绘制开环绘制开环频率特性频率特性Nyquist曲线及其曲线及其镜像镜像 jjarctan KK j 2 1 jee 11j1 1 T s sj KK GGsK TsT T K A 1 2 T K A KA0 0A Tarctan180 1800 90 K2 j j1 1 KKTK Gj T T 1 2 T K U 1 2 T KT V T U V 1 2 U V K U 2 2 2 22 K V K U 圆心圆心为为(-K/2,0)、半径为半径为K/2的圆的方程的圆的方程。 由上分析可知由上分析可知：开环开环频率特性频率特性Nyquist曲线为曲线为：位于复平面第位于复平面第3象限的圆心为象限的圆心为(-K/2,0)、半径半径 为为K/2的半圆弧的半圆弧，如下图所示如下图所示。其镜像如虚线所示其镜像如虚线所示。 （3）利用利用Nyquist稳定判据稳定判据判断闭环系统稳定性判断闭环系统稳定性 由图可知：当从-变化到+时 如果如果K1，开环频率特性Nyquist曲线及其镜象 逆时针包围点（-1,j0）1圈，R=1。根据奈奎斯 0 Im 1 例例5-10：设单位反馈系统开环传递函数为：，试确定系统稳定性和K的关系。 K 1 K Gs Ts ,j 特稳定判据，Z=P-R=1-1=0，闭环系统稳定。 如果如果K 0 。 2 K 2 1 1 1 K T s Gs sTs 试分析T1T2， T1T2时时：U()0， 270180 Nyquist曲线处于第2象限，如图（a）所示 开环频率特性Nyquist曲线及其镜像顺时针包围点(-1, j0)的2圈，R=-2； 根据Nyquist稳定判据，闭环系统在右半s平面的极点数：Z=P-R=2，闭环系统不稳定。 0 Re 1 0 0 图（a） T1T2 2R B）当当T1T2时时： U()0，V()0， 90180 Nyquist曲线处于第3象限，如图（b）所示 开环频率特性Nyquist曲线及其镜像不包围点(-1, j0) ，R=0； 根据Nyquist判据，闭环系统在右半s平面的极点数：Z=P-R=0，闭环系统稳定。 C）当当T1=T2时时： U()0，V()=0， 180 Nyquist曲线处于负实轴上，如图（c）所示 开环频率特性Nyquist曲线及其镜像经过点(-1,j0) ，闭环系统临界稳定。 21 180arctanarctanTT 2 1 2 2 2 1 1 1 KTT U T 2 1 12 1 T TTK V 0 图（b） T1T2 0R Re 0 0 Im 1 图（c） T1=T2 Re0 0 Im 1 0 Nyquist曲线经过 (-1,j0)点 0P 0P 开环频率特性Nyquist曲线及其镜像经过点(,j )闭环系统临界稳定 型系统型系统：从0-到0+按 顺时针方向补画半径为 无穷大的整圆 1. 若开环传递函数在虚轴上有极点，应对Nyquist路径作相应的改变。 在虚轴上的极点处作半径为无穷小的右半圆，使Nyquist路径不通过虚 轴上的极点，但仍包围右半s平面，则Nyquist判据仍可用。 三三、乃奎斯特判据的两种特殊情况乃奎斯特判据的两种特殊情况 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 2. 若开环频率特性Nyquist曲线穿过(-1, j0)点，说明闭环系统处于临界 稳定，此时闭环系统将有极点在虚轴上。 记开环传递函数记开环传递函数GK(s)在在右半右半s平面上的极点数为平面上的极点数为P； P Z=P-R 记记从从-变化到变化到+时时，开环频率特性开环频率特性GK(j) Nyquist曲线及其镜象曲线及其镜象 围绕围绕（-1，j0）点的圈数为点的圈数为：R，且且逆时针为逆时针为“+”；顺时针为顺时针为“-”； 则有则有：闭环控制系统在右半闭环控制系统在右半s平面的极点数平面的极点数：Z=P-R Z=P-R =0，闭环系统稳定闭环系统稳定； 四四、乃奎斯特乃奎斯特判据小结判据小结（0型系统型系统） 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 j 0 22 11 K0 22 11 121 121 iqqq iq l abbb ab Ksss Gs T sT sTs Z=P-R 0，闭环系统不稳定闭环系统不稳定。Nyquist路径路径 0型系统型系统 Im 0 Re -1 0 记开环传递函数记开环传递函数GK(s)在在右半右半s平面上的极点数为平面上的极点数为P； P Z=P-R 记记从从-变化到变化到+时时，开环频率特性开环频率特性GK(j) Nyquist曲线及其镜象曲线及其镜象 围绕围绕（-1，j0）点的圈数为点的圈数为：R，且且逆时针为逆时针为“+”；顺时针为顺时针为“-”； 则有则有：闭环控制系统在右半闭环控制系统在右半s平面的极点数平面的极点数：Z=P-R Z=P-R =0，闭环系统稳定闭环系统稳定； 四四、乃奎斯特乃奎斯特判据小结判据小结（型系统型系统） 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 j 0 22 11 K1 22 11 121 121 iqqq iq l abbb ab Ksss Gs sT sT sTs Z=P-R 0，闭环系统不稳定闭环系统不稳定。Nyquist路径路径 Re0 Im 1 0 0 0 Re Im 1 0 0 型系统型系统： 从从0-变化到变化到0+： 补画补画半径为无穷半径为无穷 大的半圆大的半圆（顺时顺时 针方向针方向） 记开环传递函数记开环传递函数GK(s)在在右半右半s平面上的极点数为平面上的极点数为P； P Z=P-R 记记从从-变化到变化到+时时，开环频率特性开环频率特性GK(j) Nyquist曲线及其镜象曲线及其镜象 围绕围绕（-1，j0）点的圈数为点的圈数为：R，且且逆时针为逆时针为“+”；顺时针为顺时针为“-”； 则有则有：闭环控制系统在右半闭环控制系统在右半s平面的极点数平面的极点数：Z=P-R Z=P-R =0，闭环系统稳定闭环系统稳定； 四四、乃奎斯特乃奎斯特判据小结判据小结（型系统型系统） 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 j 0 22 11 K2 222 11 121 121 iqqq iq l abbb ab Ksss Gs sT sT sTs Z=P-R 0，闭环系统不稳定闭环系统不稳定。Nyquist路径路径 Re 0 Im 1 0 Re 0 0 Im 1 0 0 型系统型系统： 从从0-变化到变化到0+： 补画补画半径为无穷半径为无穷 大的整圆大的整圆（顺时顺时 针方向针方向） 0型系统 P=0 Im 五五、按正负穿越判断稳定性按正负穿越判断稳定性的的Nyquist稳定判据稳定判据 正穿越正穿越： Nyquist曲线在负实轴区间(-,-1)由上部穿越负实轴到下部。 负穿越负穿越： Nyquist曲线在负实轴区间(-,-1)由下部穿越负实轴到上部。 Im 正正 穿穿 越越 负穿越负穿越顺时针顺时针包围点包围点(-1,j0) 正穿越正穿越逆时针逆时针包围点包围点(-1,j0) 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 不稳定 0 Re 1-1-1 Re0 越越 顺时针包围 (-1, j0)点两圈 R=-2 记记：N =正穿越次数正穿越次数-负穿越次数负穿越次数 则则：N=R/2 或或 R=2N R为当为当从从-变化到变化到+时时Nyquist 曲线曲线及其镜像逆时针包围及其镜像逆时针包围(-1,j0) 点的圈数点的圈数。 Z=P-R=0时时，系统系统稳定稳定Z=P-2N=0或或 N=P/2 时时，系统系统稳定稳定 负负 穿穿 越越 负穿越负穿越1 次次（正 负穿越 次数之 差N=-1） Nyquist稳定判据稳定判据（正负穿越正负穿越）：设开环传递函数在右半设开环传递函数在右半s平面的极点平面的极点 数为数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为则闭环系统稳定的充分必要条件为：当当从从0变化到变化到+时时 Nyquist曲线曲线在实轴在实轴(- , -1)的正负穿越次数之差为的正负穿越次数之差为N=P/2。 如果闭环系统不稳定如果闭环系统不稳定，则闭环系统在右半则闭环系统在右半s平面的极点数为平面的极点数为：Z=P-2N 注意注意：对于零型系统对于零型系统： 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 半次负穿越半次负穿越： =0， Nyquist曲线开始于实轴(-1, - )段上的有限值， ，如果Nyquist曲线向第二象限去向第二象限去，则称为半次负穿越。 1800 半次正穿越半次正穿越： =0，Nyquist曲线开始于实轴(-1, - )段上的有限值， ，如果Nyquist曲线向第三象限去向第三象限去，则称为半次正穿越。 1800 Nyquist Diagram Imaginary Axis 0.5 1 2arctan180 12 2 2 A K 1 0.5 Gs s 例例： 按包围按包围(-1, j0)点的情况判断系统稳定性点的情况判断系统稳定性：P=1，逆时针包围1圈，R=1， Z=P-R=0， P=R，系统稳定。 2 21s jjarctan2 K 2 21 j2 2j1 21 Gee Real Axis Imaginary Axis -2-1.5-1-0.500.5 -1 -0.5 0 1 1R 按正负穿越按正负穿越(-,-1)区间的情况判断系统稳定性区间的情况判断系统稳定性：P=1， Nyquist曲线曲线始于始于(-，-1) 段段，向第向第3象限去象限去，有半次正穿越有半次正穿越，N=0.5。 Z=P-2N=0 ，系统稳定系统稳定。 开环传递函数包含开环传递函数包含重积分环节的处理重积分环节的处理（I型以上系统型以上系统）：从从=0+处处，沿沿 顺时针方向补画顺时针方向补画： 90o、半径半径为无穷大的圆弧为无穷大的圆弧，然后确定正负穿越次数然后确定正负穿越次数。 型系统的情况型系统的情况Im =0=0+ + Im =0=0+ + 5.4 乃奎斯特稳定性判据乃奎斯特稳定性判据 负穿越 1次 无穿越 Re 10 Re =0=0 1 0 一一、 延时环节串联在前向通道时的稳定性分析延