（工程力学专业论文）三维杆系结构回传波射矩阵法及其应用.pdf

摘要 对结构的动态响应，众多研究集中于结构的振动分析，且采用模态分析等方 法并考虑较长期的动力反应。对于结构的瞬态响应的精确预测，应借助波动特性 分析。本文发展了三维杆系结构动力学理论分析的回传波射矩阵法，并用于结构 的静动力响应分析中。 基于杆件中应力波模型，通过相关纵波、横波和扭转波的稳态问题的精确解 分析，建立了三维刚架结构在冲击载荷作用下散射矩阵、相位矩阵、转列矩阵及 回传波射矩阵的统一格式。用于计算杆件位移和内力响应的到达波矢量和离开波 矢量的确定，最终可通过计算一个回传波射矩阵来进行。回传波射矩阵反映了结 构中各种波的散射和传播特征。采用该模型可准确获得结构初期的瞬态响应。对 于静力问题，与散射矩阵对应的是传递分配矩阵，波矢量直接对应于杆端的位移 和转角。 回传波射矩阵法的特点是，先以确定节点处到达和离开波的系数，后应用精 确的波动解形式来计算任何节点的内力大小。同时，可根据波动解精确计算结构 任何部位( 截面) 上的力学变量，不必如其它方法用插值计算等格式。 本文编制了f o r t r a n 专用计算程序，可用于定量确定杆件上任何节点和部 位的内力大小，包括一个轴向力、两个横向剪力，以及一个扭矩和两个横向弯矩 随频率和时间的变化关系。作为一个应用，具有步时间函数动载作用的两层框架 结构被选取为计算模型。该框架结构由1 6 根梁组成，沿三个正交方向布置，长 度分别是7 f 。，4 1 。a n d2 l o ，截面均是直径为l o 2 的圆截面。 回传波射矩阵法的运用，在多方面表现其有效性和准确性。例如，应力波第 一次到达相应时间，节点处力和力矩平衡，以及动力响应逐渐接近其静力分析的 结果，等等。冲击载荷作用引起的结构初期瞬态响应能被准确计算，而运用其它 方法难于准确得到。同时，计算结果表明，在动态情况下结构扭矩会出现显著的 变化。 关键词：三维，框架结构，梁，散射矩阵，相位矩阵，转列矩阵，回传波射矩阵， 瞬态响应 a 1 ) s t r a c t a b s t r a c t t h ev a s tm a j o r i t yo fi n v e s t i g a t i o n so nd y n a m i cr e s p o n s ef o rs t r u c t u r e sa n d s t r u c t u r a lm e m b e r sf o c u so nv i b r a t i o nb e h a v i o ra n d l o n gt i m er e s p o n s eo nt h eb a s i so f m o d a la n a l y s i s i nt h ee f f o r tf o ra c c u r a t ep r e d i c t i o no ft r a n s i e n tr e s p o n s e ，t h e r ei sa n e e di na n a l y z i n gt h ef e a t u r e so fw a v em o t i o n si ns t r u c t u r e s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，a r e v e r b e r a t i o n - r a ym a t r i xm e t h o d ( r r m m ) ，越an e wm e t h o di ns t r u c t u r ed y n a m i c s ，i s d e v e l o p e df o r3 df r a m e ds t r u c t u r e s ，a n dh a sb e e na p p l i e dt oa n a l y s i so fs t a t i ca n d d y n a m i cr e s p o n s e so fs u c hs t r u c t u r e s b a s e do ne x a c te q u a t i o n so fw a v em o t i o n si n c l u d i n gl o n g i t u d i n a lw a v e ， t r a n s v e r s ew a v ea n dt o r s i o n a lw a v e ，c o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e dm a t h e m a t i c a lf o r m s f o rs c a t t e r i n gm a t r i x ，p h a s em a t r i x ，p e r m u t a t i o nm a t r i xa n d r e v e r b e r a t i o n r a ym a t r i x a r ef o r m u l a t e d i ns u c haw a v em o d e l ，t w ob a s i cv e c t o r s ，i e ，a r r i v i n gw a v ev e c t o r a n dd e p a r t i n gw a v ev e c t o r , a r ei n t r o d u c e dt oc a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n ta n di n t e r n a l f o r c e si nm e m b e r s ，a n dt h e yc a nb ed e t e r m i n e db ye v a l u a t i n gt h er e v e r b e r a t i o n r a y m a t r i x t h er e v e r b e r a t i o n r a ym a t r i xr e f l e c t se n t i r ei n f o r m a t i o ni n d u c e df r o mt h e s c a t t e r i n ga n dt r a n s m i t t i n gw a v e si nt h es t r u c t u r e s u s i n gt h ew a v em o d e l ，i n i t i a l t r a n s i e n tr e s p o n s ec a nb eo b t a i n e d a c c u r a t e l y e s p e c i a l l y , f o r as t a t i c e a s e ，t h e s c a t t e r i n gm a t r i xi sr e p l a c e db yac a r r y o v e ra n dd i s t r i b u t i o nm a t r i x a n db o t ht h e a r r i v i n ga n dd e p a r t i n gw a v ev e c t o r sr e p r e s e n tt h ed i s p l a c e m e n t sa n dr o t a t i o n a la n g l e s a tt w oe n d si nt h em e m b e r s ，r e s p e c t i v e l y i na p p l i c a t i o no fr r m m ，am a i nt a s ki st od e t e r m i n et h ea r r i v i n ga n dd e p a r t i n g w a v ev e c t o r sp r i o rt oc a l c u l a t i n gt h ei n t e r n a lf o r c e sa ta n yj o i n to nt h eb a s i so ft h e e x a c tw a v es o l u t i o nf o r m s m e a n w h i l e ，t h ed i s p l a c e m e n ta n di n t e r n a lf o r c e sa ta n y c r o s s s e c t i o ni nam e m b e rc a nb ed e t e r m i n e da c c u r a t e l yu s i n gt h ew a v es o l u t i o nf o r m i n s t e a do fo t h e re x i s t i n gi n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m s as p e c i a l i z e df o r t r a nc o d ef o r3 df r a m e ds t r u c t u r e si s c o m p i l e d t o d e t e r m i n es t e a d s t a t e0 1t r a n s i e n tr e s p o n s ev a l u e sf o ri n t e r n a lf o r c e sa n dm o m e n t sa t a n yj o i n t sa sw e l la sa ta n yc r o s s s e c t i o ni n am e m b e r , i n c l u d i n go n ea x i a lf o r c e ，t w o a b s t r a d t r a n s v e r s es h e a rf o r c e s ，o n et w i s t i n gm o m e ma n dt w ot r a n s v e r s eb e n d i n gm o m e n t s a sa l la p p l i c a t i o n ，at w o s t o r yf r a m e ds t r u c t u r eu n d e ras t e pt i m el o a d i n gi sc h o s e na s ac o m p u t a t i o n a lm o d e l t h es t r u c t u r ei sc o m p o s e do f1 6b e a mm e m b e mw i t hl e n g t h s 0 f7 f o ，4 t oa n d 2 o i nt h r e eo r t h o g o n a ld i r e c t i o n sr e s p e c t i v e l ya n dw i t ht h es a m e c i r c u l a rc r o s s s e c t i o nh a v i n gad i a m e t e ro f1 0 2 t h er r m ms h o w st h ea c c u r a c yi ns o m ea s p e c t s ，e g ，t h ef i r s ta r r i v a lt i m ef o r t h es t r e s sw a v e s ，l o n gt i m es a t i s f a c t i o no ff o r c ea n dm o m e n tb a l a n c e sa tj o i n t s ，a n d d y n a m i cr e s p o n s e ，i ng e n e r a l ，g r a d u a l l ya p p r o a c h i n gt o t h es t a t i cr e s u l t s ，e t c t h e n u m e r i c a ls o l u t i o n so fd y n a m i ca n a l y s i ss h o wt h a tt h ei n i t i a lt r a n s i e n tr e s p o n s ed u et o i m p a c tl o a d i n g c a nb ec a l c u l a t e da c c u r a t e l y , w h i c hi sv e r yd i f f i c u l tt ob eo b t a i n e db y a p p l y i n go t h e ra p p r o a c h e s o nt h eo t h e rh a n d ，n u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a t , a r e m a r k a b l ec h a n g ei i lt w i s t i n gm o m e n tp r o b a b l yo c c u r sf o rad y n a m i cc a s e k e y w o r d s ：3 df r a m e ds t r u c t u r e s ，b e a m ，s c a t t e r i n gm a r x ，p h a s em a t r i x ，p e r m u t a t i o n m a t r i x ，r e v e r b e r a t i o n r a ym a t r i x ，t r a n s i e n tr e s p o n s e i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 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对于圆柱、杆、板和圆柱壳等波导问题进一步的研究，如前所述，p o c h h a m m e r 和c h r e e 分别于1 8 7 6 年和1 8 8 9 年给出了圆柱体的频散关系，r a y l e i g h 和l a m b 在1 8 8 8 1 8 8 9 年间导出了板的频散关系，但对这些关系的详细分析和超越方程根 的计算，直到2 0 世纪6 0 年代前后才有人作出。对于弹性介质，圆频率总是实数， 但人们进一步研究发现，对于杆和板中的波存在虚值和复数波数，表征频散关系 的曲线上因而出现许多波型的分支线，每支线从圆频率为零开始延伸至无限。 t i m o s h e n k o 在1 9 2 1 年考虑了剪切变形对梁的影响i ”，从而对前述的e u l e r 和 b e r n o u l l i 梁的弯曲波理论给予了修f ，这些修正理论对于近代有关杆的相关问题 的研究仍起着重要的作用。m i n d l i n 于1 9 5 1 年提出了一种处理板中波问题的近似 理论，该理论成为板的高阶理论和杆理论的广泛基础1 2 1 。 第一章绪论 此外，k e l l e r 在2 0 世纪5 0 年代中期把广泛应用于光学、电磁学中的射线理 论引入声学领域，发展了几何射线理论，并由于g a u t e s e n 等人【3 】杰出的工作使射 线理论可用于弹性波的散射研究。根据费尔马原理，一条几何射线通过波的最小 行进时间的路径将波源和接受体连接起来。由于波在离开波源时其波幅是衰减 的，在高频极限条件下用射线长度表示的衰减率可以计算出来。当射线被一障碍 物( 即散射体) 遮断时，辐射射线将在障碍物附近弯曲，同时有附加的能量进入 障碍物及其周围介质中。当射线沿切线进入和离开障碍物时，采用射线解与带有 同样几何形状和切点曲率的物体的精确解( 即正则解) 作对比，可用以确定波幅 的大小。对于板和杆，c e r a n o g l u 和p a o l 4 荆用广义射线理论和c a g n i a r d 方法对 平板中弹性脉冲和声发射的传播进行了详细的分析，r e e v e s 和g r e e n s p a n l 5 噪用 离散颗粒方法对应力波在细长杆中的传播进行了讨论，n a g a y a l 6 j 还研究了应力波 在任意形状截面杆的传播。w r i g l 】t 【1 7 增察了弱冲击波在非线性弹性杆或颗粒状材 料中的传播。s u g i m o t 0 1 8 9 l 等人运用指数函数和幂函数形式的松弛函数，研究了 扭转和纵向冲击波在粘弹性非线性弹性细圆杆中的传播问题。m a l i k 和s i n g h l l 0 1 分析了非线性波在杆中的传播。 弹性波对弹性介质中各类形状夹杂散射效应的分析研究最早的是著名学者 c l e b s c h 。早在1 9 世纪中叶，c l e b s c h 为弄清光波的散射，分析了球状夹杂物对 矢量波的散射效应。后来，r a y l e i g h 首次对声波的散射问题采用波函数展开法进 行了研究，讨论的散射体是刚性或充气的球形障碍物。对弹性波的散射给出一般 分析的首先是s e z a w a ”】。他早在1 9 2 7 年便完成了对球、圆柱和椭圆柱体引起的 入射p 波的散射的研究，利用特殊波函数构造了问题的解。在这以后，这方面的 工作一直很少有人问滓。 j a i n 和k a n w a l l l 2 , 1 3 】全面研究了圆柱形缺陷( 或内含物) 和球体对弹性波的 散射，得到了长波长情形下的位移场、应力场、远场幅度、动应力强度因子及散 射横截面的近似公式。这里，对圆柱体和球，求解的途径仍是采用波函数展开的 方法。p a o 等人【1 4 】运用广义射线法讨论了柱体的瞬态波散射，a c h e n b a c h 等人【1 5 j 采用波函数展丌与射线方法相结合的途径，研究了柱形孔涧对弹性波的高频散 射。黎在良和刘殿魁还建立了一个射线理论用来解各向异性介质中圆柱体对s h 波的散射问题i “i 。钟伟芳和聂国华【17 l 运用双重f o u r i e r 变换及反演技巧获得了反 第一章绪论 平面剪切运动的基本解，这个解由此成为利用边界元方法分析该类弹性固体中多 个各类形状的结构对波散射的问题的关键。获另外，t a n 博2 0 】采用弹性动力互等 定理对柱形体引起的弹性波的散射进行了广泛的研究，得到了包括散射远场及能 量关系在内的许多结果。p a n 和m o w 2 1 】还将正则振型与超声频谱分析理论应用 于柱体的散射问题分析之中。f r a n s s e n s 和l a g a s s e 2 2 】用有限元技术研究了由埋藏 在多层介质中圆柱形障碍物所引起的弹性波的散射问题。在所取有限元网格的边 界上采用积分形式的边界条件。b a r a k a t 2 3 】对椭圆柱的散射，通过计算获得了许 多有关中低频范围内的散射波能量密度的数值结果。s i m o n 2 4 j 运用积分方程方法 。研究了椭球壳对弹性波的散射。 有关弹性波对固体和结构的散射问题的分析见专著【2 5 】所述。 对于由杆件组成的杆系结构( 如框架、桁架结构) 在冲击载荷作用下的动力 响应问题的研究，主要采用两种方法：一种是将结构看作多连通分布体系或梁和 柱的连续体，另一种是将结构构件离散成有限元进行分析1 2 6 , z t i 。人们对结构的动 态响应，主要是研究结构的振动，大多采用模态分析法考虑较长期的反应。早期 的工作总结在n o w a c k i 的专著中【2 引。而对于结构的瞬态反应，应该考虑从波动 理论出发来分析。 b o l e y 和c h a o 2 9 1 在上世纪5 0 年代对桁架节点在冲击荷载作用下应力波的产 生、应力波在构件中的传播以及在构件另一端节点处发生散射等问题进行了系统 研究。他们通过计算应力波在节点之间所有可能的传播路径发现，桁架的动力响 应可以描述成桁架中回传的应力波的叠加。对于具体的桁架结构，波的传播可能 会有很多不同的路径，因而对所有回传波的计算非常复杂，因为当时没有出现电 子计算机，所以他们仅仅计算了两三个回传波。 随着计算机及计算技术的发展，使得计算大型复杂结构的弹性波的传播成为 可能。f l o t o w 首先提出了以波幅为未知量的波动模型【刈，用于研究平面刚架结 构的动态响应。b e a l e 和a c r s i 把f l o t o w 的模型推广到三维空间的刚架结构 中研究结构的功率流，通过和有限元结果相比较，可以看出，在中频段波动模型 比有限元的计算精度高。c a i 和l i n 3 2 】以及y o n g ，l i n 3 3 】则提出以系统状态变量 为未知量的波动模型，其中状态变量可以通过传递函数的特征矢量转换为波幅矢 量。 第一章绪论 近年来，大型柔性结构( 如空间结构、长跨度桥梁和高层建筑) 在工程上得 到广泛的使用。这类大、轻、柔的结构在承受扰动时，响应呈现明显的波动现象， 出于对该类结构进行局部控制和健康安全监测的需要，人们认识到对结构的瞬态 动力响应的精确分析有深入开展的必要。一些新的波动方法已经被应用到分析结 构的稳态响应问题中。n a g e m 和w i l l i a m s 在1 9 8 9 年对于平面结构提出了一种新 的矩阵表达形式【州，在他们的方法中，所有构件的传播矩阵与节点耦合矩阵一 起形成表示整个结构的稳态响应的系统矩阵。以系统矩阵为基础，计算给出了一 个结构算例的自然频率，并且结果比用以往的动力柔度矩阵或有限元方法确定的 频率更精确。 最近，p a o 等人提出了回传矩阵法的波动模型，用来分析二维刚架结构的动 态响应1 3 5 , 弘1 。h o w a r d 和p a o 对平面桁架中应力波进行了理论分析和实验研究闭。 他们依据沿结构构件传播并在节点处散射的轴向应力波来研究平面桁架的动力 响应。运用提出的波传法，由节点的动力方程和协调方程可以求得反映各节点处 轴向波的反射和传播的散射系数。结构中复杂的多重反射是在频域中通过回传矩 阵法来计算的。这个矩阵是散射系数及波传播的相位因数推导得出的，最后运用 傅立叶逆变化可以求得结构的瞬态响应。通过理论结果与实验数据比较，发现轴 向波理论仅在响应的初始时刻是有效的。并由此得到启发，如果改进散射系数， 使得节点处的波形由轴向波转换成弯曲波，可能就会获得理想的结果。 在此基础上，p a o 和k e h 以及p a o 和s u n 进一步用波传法来研究平面框架结 构的瞬态响_ 应【3 7 a s ! 。该方法的思路就是采用f o u r i e r 变换，在频域中对每个结构 单元进行波传播分析，然后利用节点的连续性条件将各个单元的波联系起来，从 而得到结构的响应。该方法的关键之处在于结合射线展开技术，将级数展开，根 据射线追踪进行截断来求得结构中瞬态波的动力响应结果。田家勇和苏先樾( 3 9 j 应用波传法方法时还考虑采用l a p l a c e 变换来分析框架结构的动力响应。 s u 和p a o 等人把用波传法方法进一步应用到层状介质中弹性被、声波传播 的研究 4 0 - 4 2 1 。最近，p a o 和n i e 等人又迸一步分析了三维框架结构的动力响应问 题1 4 3 】，其中考虑了扭转波的影响。 为了更好的求解框架结构的动力响应，得到更精确的瞬态响应结果，尤其是 结构初期( 如微秒量级) 响应，本文将建- ，| 十日天川传波的理论模型。因为在框架 第一章绪论 节点处波将发生多次散射，形成复杂的多重反射波，所以发展相关的三维回传波 射矩阵法来进行分析和计算。 1 2 本文的主要工作 早期人们对结构的动态响应，主要是研究结构的振动，大多采用模态分析 法考虑较长期的反应。而对于结构的瞬态反应的精确预测，应该从波动理论出发。 对于单个元件或简单结构的波传播，人们曾经进行了大量的研究。随着计算机及 计算技术的发展，使得计算大型复杂结构的弹性波的传播成为可能。本文的主要 工作在于发展三维回传波射矩阵法并用于三维杆系结构的静动力响应分析中，具 体研究内容安排如下： 1 ) 建立三维杆系结构静力分析的回传矩阵的统一格式。通过节点的力平衡方程 及位移协调方程建立基于结构传递分配矩阵和载荷源向量的节点近端位移和 远端位移关系，并利用杆件局部坐标设定得到杆件近端位移和远端位移的另 一组关系，进而建立整体构件的回传矩阵，据此可求出结构各节点的位移及 内力的精确解； 2 ) 建立三维刚架结构在冲击载荷作用下散射矩阵、相位矩阵、转列矩阵及回传 波射矩阵的统一格式，这些矩阵将准确反映结构中的波的散射特征； 3 ) 用f o r t r a n 编制相关计算软件，计算梁和柱上任何节点的内力大小，包括 轴向力、两个垂直方向的剪力，以及扭矩和两个垂直方向的弯矩随频率和时 间的变化关系，并根据波动方程的解形式同时精确计算结构任何部位( 截面) 上的力学变量，这区别于有限元的插值计算等方法； 4 ) 针对一三维刚架结构模型，即由上下两层共8 根梁、8 根柱包含总共1 2 个节 点的三维刚架结构，讨论轴向波、扭转波和弯曲波到达时刻，杆件中的波型 转换和传播以及动态放大因子等。 第二章杆件坐标系和内力符号约定 第二章杆件坐标系和内力符号约定 2 1 刚架节点和杆件坐标系的设定 上，k ，) ；凡物理量与节点或杆件有关者，则将其置于上标。例如， ，7 表 0 ，) ，z ) “和 ，y ，z ) ”。x “表示原点在节点，沿着杆件，k 的中心线，以朝向 节点k 为正向的坐标轴。而y “和z “为杆件心横断面的两个主轴：石“表示原 y 。坐标的方向相反，则依据右手法则，z “与z ”为同向。此外，考虑方向向量 在局部坐标下表示为知x ，v y , v z p ，在总体坐标系下表示为p ，v ，v ： r ，通过几何 关系【1 9 】可推得局部坐标系和整体坐标系的关系如下： 薹骥 旺z ， 其中，= c o s o 。，巳表示埘部坐标i 轴和总体坐标j 轴的夹角。 第二章杆件坐标系和内力符号约定 z 图2 - 1 杆件的坐标系统 2 2 节点和杆件截面位移和内力 k 7 k 3y 对于三维杆系结构而言，其任意断面上具有六个自由度。故若杆件，k 以 局部坐标来看，在一断面上有轴向位移“o ) 、两方向横向位移v o ) 和w o ) 、扭 转角一扛) 、两方向挠曲角妒 ) 和妒“) ；其对应之内力为轴力c o ) 、两方向剪力 o ) 和t o ) 、扭矩m ，o ) 、两方向弯矩吖，( x ) 和m ：o ) 。依据先前文中所定义 的局部坐标系，杆件j k 上任点的何移或内力如图2 - 2 所示，可以两个坐标 第二章杆件坐标系和内力符号约定 g ，y ，z ) “和y ，z ) ”来表示，其有下列关系： u j k 0 ) 一一“( f z )舻o ) 甲( f x ) v “q a - v ”( 1 一砖 f j k q 4 一f q - x ) w “( x ) - w ”q - x ) ，0 ) 一一，夕( f x ) ( 2 3 ) 口“( 工) 一- 8 “u 一工)m ，o ) = m y ( 1 一工) 妒“o ) = 一矿“( f - x )m 严o ) = m 尸( f j ) 妒“o ) 一妒”o 一工)吖，o ) - 埘( f 一工) 为了求得杆件在总体坐标系下的内力和位移，可将局部坐标系下的内力或 位移乘上一转换矩阵，由( 2 2 ) 式可推得杆件j k 的转换矩阵r * 为： r “， dd吐 y 皿y y y7 y z y d7 ：y7 口 0o0 o0o o00 00o 000 000 ddd y 硝y y y ? y z 7 dyz y7 口 ( 2 4 ) 茎三兰堑壁坐堡墨塑查查笙呈丝窒 pm j xm ：“ f ， f x 脚 f _产尸 f ， m ：” m ，j 【，z 可 m ? g 7 k j y o m ，” ( b ) 7 图2 - 2 杆件的内力( a ) 轴力和剪力：( b ) 弯矩和扭矩 9 矿k 矿 上m m i m。f 忡 姗蓼够， 第三章杆系结构静力分析的同传波矩阵法 第三章杆系结构静力分析的回传波矩阵法 3 1 前言 静不定杆系结构经典分析方法通常有力法和位移法两种l 。前者以力为基 本未知量，借助位移协调方程来求解，后则是以位移为未知量而利用力的平衡方 程来求解。在2 0 世纪6 0 年代，发展了几种矩阵方法例如传递矩阵法，动力刚度 矩阵法，动力相容矩阵法等等i 嚣蕊4 5 闱。这些方法分析结构中的驻波，适用于 振动问题。发展结构中的波动方法，则更适用于瞬态响应问题。随着主动控制大 柔度空间结构的动力行为的研究向前发展【3 4 , 4 7 - 5 0 l ，以及在框架结构中采用超声波 无损检测方法的运用【5 “，对于在点阵类型结构中的瞬态波的传播的研究兴趣将 越来越广泛。另一方面，结合能量原理，发展出的有限元法，可对更复杂的结构 进行数值分析和计算【5 2 j 。 p a o 等人首先提出t - - 维平面结构的回传矩阵分析法【3 6 翮。该方法源于结构 中的应力波分析。先以行波法建立波动方程的稳态响应波幅系数在各节点处的散 射矩阵，进而组成在杆系结构中经节点多次反射与折射的回传波射矩阵，再经傅 立叶逆变换计算杆件中的波动时程关系。静力分析的回传矩阵法基于类似的处理 方式，波幅系数直接是杆端的位移和转角。通过节点的力和力矩平衡方程及位移 协调方程建立基于结构传递分配矩阵和载荷源向量的节点近端位移和远端位移 关系，并利用杆件局部坐标设定得到杆件近端位移和远端位移的另一组关系，进 而建立整体构件的回传矩阵，据此可求出结构各节点的位移及内力的精确解。本 章将推导空间杆系结构的有关矩阵方程式，并给出了一固定梁的两端弯矩求解算 例。 3 2 回传波矩阵法及相关矩阵表示 3 2 1 节点的力和力矩平衡方程 m i 设 = f t t 结构系统共有n 个节点与m 根杆件以m7 表小十h 连j 竹点，的杆 件数| 1 作川n 卡丁件j k 的节点，上的外力与交会于节点，的符辛t 什的f 力须满 一1 0 - 足如下力平衡方程： m ， r “f “+ p 一0 6 i l ，= 1 2 一咒) ( 3 1 ) 幺 “。 其中，t “为6 6 阶的转换矩阵，表达式见式( 2 4 ) 。f “为6 x 1 阶的节点j 处 的计及固端外力影响的内力向量，p 7 为6 1 阶的作用于节点j 处的外力向量。 杆件的端点内力f “可进一步用杆件的近端和远端位移以及固端力表示如下： f “；a j 。a j k + d “d “ ( 3 2 ) 其中， 口；暑“( o l v “( o l ，( o l 一* ( o x “( o l 妒“( o ) f 和 d “= 岳“( f l v “( f l w “( f l 疗“( f x 爹“( f l 妒，r ( f 妒 分别代表杆件膳在- ，点的近端及远端位移。爿“与d “为6 x 6 阶矩阵，可由结 构力学空间杆系的刚度矩阵直接推得。将( 3 2 ) 式代入( 3 1 ) 式中可得： _ ， 善，“( 一芦口“+ d ，k ) + - o 一 ，2 1 ，2 ，疗) ( 3 3 ) 上式包含六个平衡方程，其中的未知变量总数为1 锄，包括近端位移及远 端位移各锄7 个。而对于所有相交于节点j 的杆件，可将各杆件的近端位移向量 4 “与远端位移向量d “僻= 1 , 2 ，l ) 组合成节点的近端及远端位移向量： 口，： 扩棚“ r d ，：p n 4 “彳m f ( 3 4 ) 由式( 3 3 ) 可进一步表示出节点j 处的力平衡关系 a ：a 7 + d i d 7 + 卢7 = 0 “l，= 1 2 n ) ( 3 5 ) 其中， 月? ：p “ d ：7 - 0 t “a “p a ” tj x d j x t j m j d j m j j 1 第三章杆系结构静力分析的回传波矩阵法 均为6 6 m 7 阶矩阵。 3 2 2 节点的位移协调方程 注意到各杆件在端点处的位移和转角须满足协调条件，对节点，应有 其中， 一；1 【，：= 0 o 丁”0 0丁“。 为6 m 7x 6 m 7 的矩阵 为6 ，1 7 6 m 。的矩阵 ( 3 6 ) ， 为6 x 6 阶单位阵； q 为6 1 阶向量，包括节点，的位移及转角。 利用静力平衡方程( 3 5 ) 和位移协调方程( 3 6 ) ，可导出节点的载荷源向量和传 递分配矩阵。 3 2 3 整体结构的矩阵形式 将所有节点的载荷源向量s 7 及传递分配矩阵s 组合成结构的载荷源向量5 及结构的传递分配矩阵s 。再将所有节点的近端位移向量a 。组合成一整体向量a ， 所有节点的远端位移向量d 7 组合成一整体向量d ，于是可得以下的关系【5 3 】： a = s d + s( 3 7 ) 3 2 4 结构的回传矩阵 式( 3 7 ) 包含1 2 研个方程，有2 4 m 个未知近端f 扛移及远端位移。对于同一根杆 件j k 而言，节点，的远端位移d ”实际j ：即怂竹点k 的近端位移口”，但是由 第三章杆系结构静力分析的回传波矩阵法 于上述坐标的设定，使得二者可有正、负号的差异。利用相位矩阵p 将两者关系 表示如下： d “一p a “( j 一1 ，2 - - - 9 m 。；kt 1 , 2 - - n ) ( 3 8 ) 将各节点的局部远端位移向量d 7 组合成整体的远端向量d 。再将各杆件的 近端位移向量a “组合成局部的近端位移向量彳7 ，然后进一步组合成整体的近端 位移向量万。故可建立向量d 与向量孑的关系如下： d 。p e ( 3 9 ) 其中，尸一 p0 0p ： ： 0 0 o o -： p 为1 2 mx 1 2 m 阶整体相位矩阵，且 p 4 口。 r 一( | | ； 口一【，一r 卜 ( 3 1 3 ) 第三章杆系结构静力分析的回传波矩阵法 端点内力的计算公式 ，t “+ o u e x t r ) - 1 5 ( 3 1 4 ) 3 3 算例分析 本节以一中问受集中力p 的两端固定的梁的两端弯矩求解过程来阐明回传 波方法。两端节点分别以“1 ”和2 表示，节点近端位移和远端位移( 转角) 矩阵是 口：( a 1 2 , a2 1 r ，d ，0 ”，d 2 1 ) r( 3 1 5 ) 根据图2 1 的坐标设定，可知 n ”( 0 ) 一d2 1 ( f ) a 2 1 ( 0 ) - d “( f )( 3 2 6 ) 因而可写出 d = p a ；p u a ( 3 2 7 ) 式中 n u 印 不考虑外载时，5 0 ，则有 a - 5 d + s 一5 矗 两端弯矩可表示为 m 1 2 ( o ) ：导k 1 2 ( 一4 ，) + d - ：( 创) 】 m 2 1 ( 0 ) ；等k2 1 ( 一甜) + d2 1 ( 型) 】 ( 3 1 9 ) 在两端都尢外力固端弯甜一忖睛况，分配矩阵为 故 进一步，有 第三章秆系结构静力分析的回传波矩阵法 如i f 0 r 。s p u 。l l 1 i 互 ( ，一r ) ；= 4 j ( 3 2 0 ) 0 2 1 ) r 3 2 2 ) 考虑中间受集中力p 的两端固定的梁，源矩阵可从式( 3 7 ) 通过令d ：0 得 到s 。a ，即由下式确定 结果为 由于 s = 阶盖1 两端弯矩通过式( 3 1 4 ) 可得到 肚e ，l i ( - 。4 0 。) ( ：；) = c ，4 + 。u p ，c ，一只，一l s ； f 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) o 1 2 1 2 o 、li_llj_， 1 2 1 1 1 2 o 0 ； _ 肼 1 8 1 8 + 一 甜 甜 一 一 ! n 口 口 日一r日一户 2 o ， 日一， 喜 d 第三章杆系结构静力分析的回传波矩阵法 上面结果与结构力学结果相同【删。 3 4 小结 本章依据结构回传波理论阐述了可用于静力分析的三维杆系结构的回传波 模型。通过节点的力和力矩平衡方程及位移协调方程建立了基于结构传递分配矩 阵和载荷源向量的节点近端位移和远端位移关系，并利用杆件局部坐标设定得到 杆件近端位移和远端位移的另一组关系，从而建立了整体结构的回传矩阵，据此 可求出结构各节点的位移及内力的精确解。该回传矩阵的静力分析方法可应用于 各种杆系结构的静力分析中，包括二维和三维结构。 第四章三维杆系结构的回传波模型 4 1 前言 第四章三维杆系结构的回传波模型 在二维结构的波动分析中【3 6 瑚】，针对每一个结构杆件只需同时考虑轴向( 纵 向) 波和弯曲( 横向和弯曲) 波，一共有3 种模式。对于三维框架结构，我们必 须另外考虑横截面主方向的弯曲和扭转波的影响。对于每一根杆件，波传播的模 式增加到6 种，在每个节点上的发射波和反射波均可分解成这6 种模式。这种多层 次离散波在所有节点之间的相互反射，在整个结构中形成一种非常复杂的稳态 波，即在时间和空间上的谐波。 本章将建立可用于三维杆系结构响应分析的回传波理论模型。具体地，对 每个元件，建立两个局部坐标，所有的波在每个坐标系统中被分解成两种波进行 传播。一个在节点的到达波( 入射波) ，另一个从节点的离开波( 反射或辐射波) 。 因为每种模式的谐波的相位矢量是指数函数，所有的波可用两个振幅矢量表示。 到达波矢量a 和离开波矢量d ，每个列矩阵有6 个元素，分别对应6 种不同的模式。 这些未知的振幅矢量由节点的条件和每个节点的相位关系来决定。前者指定节点 上的所有力( 力矩) 的平衡和所有位移的协调，由此引出a 和d 相互关联的散射 矩阵。后者利用的一个相位矩阵和另一个转列矩阵，将一个局部坐标下的a 与同 一杆件另一的局部坐标下的d 联系起来。由上述散射矩阵、相位矩阵和转列矩阵 等3 个矩阵的积将产生回传波射矩阵，它是一个含有f 2 x 6 m ) 2 个元素的方阵。这 里，小是结构杆件的总数。最近的研究表明1 5 4 1 ，相位关系是与在两个不同的局 部坐标系统中波矢量存在因果关系，该关系决定了在瞬态响应分析中对a 和d 进 行近似处理的限制条件。 4 2 结构杆件和节点的动力学方程 4 2 1 瞬态响应与稳态响应的关系 本文考虑的杆系结构，所仃外部载荷( 输入) 假设作用在节点，上，集中 第四章三维杆系结构的回传波模型 力记为厂7 ( f ) ，集中力偶矩记为, u j ( f ) 。不失一般性，假设，7 0 ) ( 肛7 ( f ) ) 的三 个分量有共同的时间函数f q ) ，对线性系统的输入可表示为f 7 - c j 厂( f ) ，这里c 7 为常矢量。如果力或力偶矩作用在杆件中的某点上，则该点作为力或力矩的不连 续点，将可处理为人工节点来连接同一杆件的两个部分。结构的响应( 输出) 是 由每根杆件在截面z 处的矢量“o ，f ) 和妒o ，f ) 的分量来表征。一般而言，这些分 量是互不相同的。我们用记号“0 ，f ) 表示结构响应的所有6 个分量，并研究它们 与时间函数，o ) 之间的关系。 对载荷作用时间和杆件各截面处响应的所有六个分量进行傅立叶变换和逆 变换。对应于参数m 的，( f ) 傅立叶变换可记为f ) ，其与f ( f ) 之间的关系可用 下面一对积分函数来表