（基础数学专业论文）连续时滞系统的鲁棒h∞滤波器设计.pdf

摘要 摘要 实际控制系统不同程度地存在着各种类型的不确定因素。因而，对 于大多数实际控制系统，建立精确的数学模型是相当困难的。这必然导 致，完全依赖于精确数学模型的现代控制理论不能被广泛地应用。鲁棒 控制思想的出现使得现代控制理论和方法获得了生机，它架起了现代控 制理论与工程应用之间的桥梁。 本文的主要工作如下： 基于l m i 方法，针对连续时滞系统，给出最优鲁棒风滤波器的设计 方法。进而，分别考虑了由两类不确定性描述的时滞系统，一类是由多 胞型模型描述的不确定性，另一类是由范数有界描述的不确定性。对此 两类不确定时滞系统，给出了鲁棒玑滤波器的存在条件以及设计方法。 最后，分别通过对数值例子的计算，说明了本文设计方法的有效性。 第一章中，介绍了本文研究内容的理论和实际意义，以及国内外研 究现状。 第二章中，我们针对连续时不变时滞不确定系统，研究了鲁棒日。滤 波器的设计问题；其目的是设计一个线性稳定的玩滤波器，并保持滤波 误差动态系统是二次稳定的。进而给出了使得一类由多胞型模型描述的 不确定时滞系统的所有极点配置在一一个给定的l m i 区域中的且。滤波器设 计方法。最后，通过一个数值例子说明了所给方法的有效性。 第三章中，我们研究了不确定时滞系统的鲁棒玫滤波器的设计问 题。其中，所考虑的不确定系统是针对范数有界不确定时变时滞系统， 采用线性矩阵不等式处理方法，给出了鲁棒矾、滤波器的存在条件和设计 方法，同时保持了闭环系统是二次稳定的。最后，通过一个数值例子说 明了本章方法的有效性。 第四章中，对本文的研究内容做了总结，并对后续工作进行了展望。 关键词：时滞系统；不确定系统；滤波误差动态系统；多胞型；范数有 界；极点配置；巩滤波器；l i v l i 方法 连续时滞系统的鲁棒，t 滤波器设计 a b s t r a c t i nt h ed o m a i no fp r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s t h e r ee x i s tv a r i o u su n c e r t a i n t i e s i nd i f f e r e n t d e g r e e s f o rm a n yp r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s ，t h ea c c u r a t e m a t h e m a t i c a lm o d e l sa r eh a r d l ye s t a b l i s h e d t h e r e f o r e i ti sd i 瓶c u l tt oa p p l y w i d e l ym o d e mc o n t r o lt h e o r y , w h i c hd e p e n d e n to na c c u r a t em a t h e m a t i c a l m o d e l s ，t op r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s l u c k i l y , t h er o b u s t n e s sl i g h t e n st h e a p p l i e dr o a do fm o d e r nc o n t r o lt h e o r y , a n ds e tu pab r i d g eb e t w e e nm o d e m c o n t r o la n dp r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s t h em a i nr e s u i t si nt h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： t h ep r o b l e mo fr o b u s t h 。f i l t e rd e s i g nf o rc o n t i n u o u st i m e d e l a ys y s t e m s i sa d d r e s s e di nv i e wo fl m ia p p r o a c h f u r t h e r m o r e t w oc a s e sw i t h p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ， i n c l u d i n gp o l y t o p i c a n d n o r m b o u n d e d c h a r a c t e r i z a t i o n s h a v eb e e nt a k e ni n t oa c c o u n t f o rs u c hs y s t e m sw i t ht w o c a s e s ，ad e s i g nm e t h o da n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs u c h h 。， f i l t e ra r ep r o p o s e d f i n a l l y , s o f n en u m e r i c a le x a m p i e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t e t h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d s i nc h a p t e ro n e ，t h es i g n i f i c a n c eo ft h i sp a p e ri s i n t r o d u c e d ，n o to n l yi n t h e o r y b u ta l s oi n a p p l i c a t i o n s a n dt h ec o r r e s p o n d i n gd e v e l o p m e n ti s r e c a l l e db r i e f l y i nc h a p t e rt w o ，t h ep r o b l e mo fr o b u s t 虬f i l t e rd e s i g nf o rc o n t i n u o u s t i m e - - i n v a r y i n gs t a t e - - d e l a ys y s t e mw i t hu n c e r t a i n t i e s i sa d d r e s s e dv i al m i a p p r o a c h 。t h ea i mi st od e s i g nas t a b l el i n e a rf i l t e rs u c ht h a tt h ef i l t e r i n g e r r o rd y n a m i c ss y s t e mr e m a i n s q u a d r a t i c a l l ys t a b l e f u r t h e r m o r e ，a n a p p r o a c ho f 风f i l t e rd e s i g nf o rs u c hs y s t e m si sp r o p o s e db yc o n s t r a i n i n l g a l lt h ep o l e st ol i ei n s i d eag i v e nl m i r e g i o n f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei s g i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fr o b u s t 仉f i l t e rd e s i g nf o r u n c e r t a i n t i m e d e l a ys y s t e m s al m ia p p r o a c hi sa d a p t e dt os t u d yt h e n o r m b o u n d e du n c e r t a i nt i m e v a r y i n g s t a t e d e l a ys y s t e m ，a n dad e s i g n m e t h o da n ds o m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs u c h 一f i l t e ra r e p r o p o s e d s u c ha 也f i l t e ri sd e s i g n e dt or e m a i nt h ec l o s e d - l o o ps y s t e mi s q u a d r a t i c a l l ys t a b l e f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t et h e i i 摘要 e f f e c t i v e n e s so ft h es u g g e s t e dm e t h o d k e y w o r d s ：t i m e - d e l a ys y s t e m ；u n c e r t a i ns y s t e m ；f i l t e r i n ge r r o rd y n a m i c s s y s t e m ；p o l y t o p i c ；n o m b o u n d e d ；p o l ep l a c e m e n t ；h 。f i l t e r ；l m ia p p r o a c h 第一章引言 第一章引言 1 1国内外研究现状及意义 在过去的四十年里，滤波器问题被广泛研究，其目的是估计给定系统的不确定状 态变量或者是状态变量的线性组合。在系统状态空间模型中，系统的状态往往不能 直接测量得到，因此需要用系统的输入输出信息来重构系统的状态向量，或估计系 统状态向量的某个线性组合。这样的思想不仅可用在系统的控制中，而且在测量技 术的发展中也得到了深入的研究和应用，最优线性二次型k a l m a n 滤波器的提出为这 一思想的实现提供了方法和技术。众所周知，k a l m a n 滤波器 5 ，1 5 在实际应用中存 在着很大的局限性，因此，诸多学者先后给出了风滤波器 2 ，3 ，1 4 ， ，以b 滤波 器 1 ，1 1 ，厶k 滤波器 1 0 ，厶滤波器 1 7 等的存在条件和设计方法。 最近几年，尤其是日。滤波器问题已得到广泛关注 2 ，8 ，1 2 ，1 3 。人们逐渐认识 到了日。滤波器的优越性。对一个控制系统，如果系统和测量中存在的扰动是已知随 机过程，则可以用估计误差方差作为衡量滤波器好坏的一个性能指标，进而通过这 一性能指标的最小化来设计最优滤波器。若系统扰动的统计特性难以确定时，可以 将扰动看作是具有有限能量的任意信号，因此可以用扰动输入到估计误差的传递函 数的日。范数作为滤波器的性能指标，通过这一性能指标小于某个给定的值来设计系 统的也滤波器。对于h 。滤波器的设计方法，目前已给出了几种不同的方法，例如， 应用r i c c a t i 方程 1 4 ，1 6 处理方法，线性矩阵不等式方法。特别是近几年来，基于线 性矩阵不等式处理的变量替换方法被用来设计一般结构的滤波器，所考虑的系统从 线性定常系统推广到不确定参数系统，无时滞系统到时滞系统，单目标性能的滤波 器到多目标性能的滤波器，不断涌现出新的研究方法和结果。本文利用对偶原理， 针对对偶系统，借助线性矩阵不等式方法设计系统的只。滤波器。 1 2 本文研究工作 本文主要给出连续不确定时滞系统只。滤波器的设计方法。其中，分别考虑了由 两类不确定性描述的时滞系统，一类是由多胞型模型描述的不确定性，另一类是由 范数有界描述的不确定性，钊。对时变与时不变系统给出了矾滤波器的设计方法。文 献 2 ，8 中的不确定性是由多胞型模型描述的，没有考虑由范数有界描述的不确定 性；文献 3 只给出了一类由多胞型模型描述的不确定系统的以滤波器的设计，并 采用极点配置方法，使得所设计的h 。滤波器的所有极点配置在一个给定的线性矩阵 1 连续时滞系统的鲁棒虬滤波器设计 不等式区域内，但没有加入时滞情形。然而，本文也采用了极点配置方法，通过对 一类由多胞型模型描述的不确定时滞系统的分析，使得所设计的日。滤波器的所有极 点配置在一个给定的圆盘d ( 力中。最后，通过对给定数值例子的计算，说明了本 文所给设计方法的有效性。 1 3 本文的组织 本文以后各章的具体组织结构如下： 第二章针对连续时不变时滞不确定系统，研究了鲁棒。滤波器的设计问题：进 而给出了使得一类由多胞型模型描述的不确定时滞系统的所有极点配置在一个给定 的l m i 区域中的虬滤波器设计方法。最后，通过一个数值例子说明了所给方法的有 效性。 第三章中研究了不确定时滞系统的鲁棒e 。滤波器的设计问题。通过对范数有界 不确定时变时滞系统的分析，采用线性矩阵不等式处理方法，给出了鲁棒h 。滤波器 的存在条件和设计方法，同时保持了闭环系统是二次稳定的。最后，通过个数值 例子说明了本章方法的有效性。 第四章中，对本文的研究工作进行了总结，对未来的研究二 作进行了展望，并 针对同样的问题提出了一些新的研究课题。 1 4 符号说明 对于给定的对称矩阵x 和y ，x 0 ( 或y x o ) ， 即i ，一x 为正定矩阵( 或半正定矩阵) 。表示矩阵4 的转置。，表示适当维数的实 单位矩阵。d i a g x , ，置，k 表示对角块矩阵。r ”表示n 维欧几里德空间，r ”表 示n m 维实数矩阵的全体。对称矩阵中t 表示其对称位置上元素的转置。2 ( b ) 表示 矩阵b 的所有特征值的集合。 第二章连续时滞系统的带有极点约束的鲁棒儿滤波器设计 第二章连续时j 币4 4 4 - 系统的带有极点约束的鲁棒比滤波器设计 本文基于线性矩阵不等式方法，针对连续时滞系统，给出鲁棒日一滤波器的存在 条件和设计方法；通过对一类由多胞型模型掐述的不确定时滞系统的分析，给出其鲁 棒甘。滤波器的存在条件和设计方法。进而研究了使得此类系统的所有极点配置在一 个给定的l m i 区域中的h 。滤波器设计问题。最后，通过个数值例子说明了本文的 设计方法的有效性。 2 1 问题的提出 考虑由以下状态方程描述的线性时滞系统： j = 血( d + ，砸一回+ 蜀蛾x d = x ( 0 ) zo ， y o ) = c a x ( t ) + l m t ) ，( 2 1 1 ) 【z ( 0 = z a ( 0 ， 其中：x f 是系统的状态向量，y ( f ) f 是测量输出，喇彤是噪声信号，z ( f ) 掣 是待估计的信号向量，x 。是初始状态，假定k = o ，d 0 是系统的滞后时间。 假定系统( 2 1 1 ) 是渐近稳定的。对给定的常数y 0 ，设计一个渐迎m 矗l - 定的线性 滤波器： i i = 4 , 1 ( t ) + b i y ( 0 ，岛= i ( o ) = 0 ， 1i ( f ) ：c f i , ( o + 口如) ， ( 2 1 - 2 ) 则滤波误差动态系统是： 黧2 煞：鲁黧m 嘲铲瓣0 ( 2 1 3 ) l 印) = c 鄹) + 聊嘎 ”一“ 其中： 雄啪砂艰易，捌，嘲c 丐) ，西= 呜n 五书扯， 则鼠。滤波器的设计问题是要求设计滤波器( 2 1 2 ) ，使得滤波误差动态系统( 2 1 3 ) 是渐近稳定的，且扰动w 到估计误差莹的传递函数如( s ) = q 盯一两。秀+ 西满足 0 4 洲。 0 ，系统( 2 1 1 ) 存在一个巩滤波器( 2 1 2 ) 当 且仅当存在对称矩阵， 0 ，s 0 ，使得： p bc ip a 。 7 i d 。0 d- 7 1 0 o0s o ，进一步等价于 墨t 一剐= x - r 0 ， ( 2 2 8 ) 总结以上讨论，可得： 定理2 。2 2 ：对给定的常数y 0 ，系统( 2 1 1 ) 存在一个y 一次优日。滤波器当且 仅当存在对称矩阵r ，o ，z ，o ，s ，o 和矩阵m ，n ，z ，珥使得矩阵不等式( 2 2 7 ) 和 ( 2 2 8 ) 成立。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 关于未知矩阵变量是线性的。若r ，x ，s ，m ，n ，z ，d 是 l m i s ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 的可行解，矩阵一e ，s 。是可逆的，由( 2 2 2 ) 的奇异值分解可 得可逆矩阵日：和s 。：，利用( 2 2 3 ) 和( 2 2 6 ) 可得：a i = 鼻；2 ( s d 一，q = 乞( s ：) ， 口，= e ；1 z ，因此，滤波器的传递函数矩阵： 月( s ) = 2 ( ) s 1 一壤1 2 ( s d 一1 t 1 硝z + d ，= v p ( r 一一明。z + q e 连续时滞系统的鲁棒，撼波器设汁 那么具有系数矩阵： 4 = ( r 。1 m ，哆= ( r 一幻一z ，c x = n ， 的滤波器也是系统( 2 1 1 ) 的一个，一次优也滤波器 阵只：和s ：的值。 进而，通过建立和求解以下的优化问题： j m i ny l s u b j e c tt o ：( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) n ，( 2 2 g ) 无需再通过方程( 2 2 2 ) 求矩 ( 2 2 1 0 ) 这样由( 2 2 9 ) ，并利用问题( 2 2 1 0 ) 的最优解可以构造系统( 2 1 1 ) 的最优巩滤波 器。 因此，可将上述系统的h 。滤波器设计方法推广到由多胞型模型描述的不确定系 统，此时系统矩阵a , b , c , d 是不确定的。定义：r = ( ： ，且属于某个给定的多胞 型皿，即对任意的7 1 皿，存在满足丑= 1 的非负常数丑，如，使得r = 丑z 。 假定z = ( 暑盖 ，f = 1 ，g ，是多胞型皿的顶点，则以下定理给出了不确定时 滞系统鲁棒日。滤波器的存在条件和设计方法。 定理2 2 3 ：对给定的常数y 0 ，不确定系统( 2 1 1 ) 存在一个，次优鲁棒日。 滤波器，当且仅当存在对称矩阵r ，o ，肖，o ，s ，o 和矩阵m ，n ，z ，d ，使得矩阵不等式 ( 2 2 8 ) 和 r 4 + 硅肌sr 4 + 箕x 砻+ 埘+ s碣一g 谚一r 4 4 武x + x 4 + 强窖sx o + z z ? 一谚戳 44 一口瑷珥0 + 一订0 一j o , i ：h g ( 2 2 1 1 ) 成立。进而，如果对所有的i = l ，g ，矩阵不等式系统( 2 2 8 ) 和( 2 2 “) 有一个可 行解，则可以按( 2 2 9 ) 构造不确定时滞系统的y 一次优的鲁棒日。滤波器。 不确定时滞系统的最优鲁棒日。滤波器可以通过求解以下的优化问题得到： 兰兰塑竺竖竺塑塑堡皇塑竺堂塾堕鲨竺翌 f m i n ， i s u b j e c t t o ：8 ) ，q 2 1 1 ) ( f _ 1 ，d ( 2 2 1 2 ) 2 22 极点配置 下面，将讨论使闭环系统的极点配置在一个给定的以( 一_ ，o ) 为中心，以卢为半径 的圆盘d ( 口，p ) 中，节 o ，p o 。矩阵的所有特征值均在以原点为中心的单位圆盘中， 当且仅当满足离散型的l y a p u n o v 不等式，即若( 爿，b ，c ，d ) 皿，则存在j p o ， p e r 2 “2 ”，使得 碍礴一p 2 p 0 ，7 7 0 ，尸 0 ，不确定系统( 2 1 1 ) 存在，一次优巩 滤波器，且使得丑( 1 ) d ( 仉p ) ，当且仅当存在对称矩阵r o ，爿，o 和矩阵吖，z ，d ，使 得不等式( 2 2 8 ) ，( 2 2 1 1 ) 和 r r rz 4 7 r + e r 箕x + c z 十措十n r a , r r + r l r悬x + n x + ( j 2 础+ 袒冗4 + f i r x 4 + z q + m 七q rx + q x + 及 p z r r i rd x 对所确的i = 1 ，q 成立。 证：由定理2 2 3 ，可得( 2 2 8 ) 和( 2 2 1 1 ) 已满足滤波器的存在条件。 又五( 扫) d ( 口，p ) 的充分必要条件是存在对称矩阵j d o ，r p r 2 m “，使得不 等式( 2 2 1 3 ) 成立。由s c h u r 补性质，可得不等式( 2 2 1 3 ) 等价于 rpp j 、 pp z p l 中仉江l ，艚 ( 2 - 2 1 5 ) 则对上不等式左边的式子左乘d i a g v r ，) ，右乘其转置，可得不等式( 2 2 1 5 ) 等价于： 【，j ，& r p ，y 了p 7 ：j 户t 瓦p j j ) = f ，啊j r ，j ，了歹p 2 元) r j j 。，：，。 ( 。) l ，& 7 i ，7 了j u 卢坷 ( 2 - 2 1 6 又由( 2 2 ，2 ) 和( 2 2 3 ) 可得： 肌h ，乜”4 s 觋+ r s 办删, 4 , + r 褂l i 亿z 连续时滞系统的鲁棒滤波器设计 因而，不等式( 2 2 1 6 ) 等价于 墨， ， 5 彳+ 埔 4 + 堪 气，和，+ 五。q z + 享+ 啊 如：、+ 嫒、十e z榔肇+ z + r g 学卜卜“犹 昂4 5 。+ i 璃 昂4 + 艰晶+ 四1 、f ? 91 只、 内声，( d i 声r j 再对上不等式( 2 2 1 8 ) 的左边分别左乘和右乘d i a g f 1 ，。， ，并由( 2 2 ，6 ) 可得不 等式( 2 2 1 4 ) 。 这样，带有上述极点配置约束的最优鲁棒h 。滤波器可以通过求解如下优化问题 得到： f ：j 了 1 s u b j e c tt o ：( 2 2 8 x ( 2 、2 1 1 ) ，( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 9 ) 23 仿真例子 考虑以下系统： 蚴2 ( ? ! 捌x + ( ：珊卜力+ ( 淼 ，。， y ( f ) = ( oo 3 ) x ( f ) + w 0 ) ，z p ) = ( oo 4 ) x ( ) ， 其中，不确定参数善满足蚓o 3 ，系统( 2 3 1 ) 是定常时滞的，即办。是常数。设 计一个最优风。滤波器，使得对所有允许的参数不确定性，闭环系统的所有极点均位 于圆盘d ( 1 ，2 ) 中。 这样由上述可得描述多胞型模型的两个顶点矩阵： 4 = ( 0 埘4 = ( ；爿 通过求解优化问题( 2 2 1 9 ) ，并根据定理2 2 4 ，可得系统( 2 3 1 ) 的最优h 滤 波器的系数矩阵是： 4 = 臁8 2 1 29471，b(0删7217)1997 q 删8 0 2 如僦) ，纠0 5 6 8 ，同时 4 2 【1 ， ，l6 。9 5 7 6j ，q 2 ( o 0 8 0 2 如0 3 4 2 ) ，9 。1 0 5 6 8 ，同时 可得估计误差对输入噪声信号的抑制度是：尸+ = 1 0 5 6 9 ，并且可计算出 4 ) = 如1 4 3 z - 2 6 6 6 3 。 第二章连续时滞系统的带有极点约束的鲁棒，匕滤波器设计 2 4 本章小结 文献 3 给出了一类由多胞型模型拙述的不确定系统的玑滤波器的设计，并采 用极点配置方法，针对的是无时滞系统。不同于文献 3 ，本文研究了连续时滞系统 经闭环极点约束的h 。滤波器设计问题。通过对连续时不变时滞系统的分析，给出线 性稳定的h 。滤波器设计方法，不仅保持滤波误差动态系统是二次稳定的，而且还使 得闭环系统的所有极点配置在一个给定的圆盘及玑力中。其中，不确定性是由多胞 型模型描述的。最后，给出一个数值例子的。滤波器设计，说明了本文所给结论的 有效性i 本文的工作可以用同样的方法进一步推广到具有时变时滞不确定系统中。 连续时滞系统的鲁棒只。滤波器设计 第三章不确定d , - 1 i 带系统的鲁棒日。滤波器设计 本文通过对不确定时滞系统的分析，研究了此系统的鲁棒h 滤波器设计问题。 其中，针对范数有界不确定时变时滞系统，采用线性矩阵不等式处理方法，给出了 鲁棒日。滤波器的存在条件和设计方法。最后，通过一个数值例子说明了本文的设训 方法的有效性 3 1问题的提出 考虑由以下状态方程描述的不确定时滞系统： x ( t ) = ( 爿+ 印x o ) + ( 4 十冉) x 0 一啦”+ ( b + 功呻) ， y 0 ) = c x ( t ) 十d 扯) ， 啪：l x ( t ) ， ( 3 1 - 1 ) x ( t ) = 烈0 ，f 【一，0 】， 其中，x ( f ) s r ”是系统的状态向量，y ( ，) 月是测量输出，w e 月”是干扰信号， z ( t ) r 9 是待估计的信号向量，妒( f ) 是给定的初始向量值连续函数，d ( r ) 是一个滞后 函数，满足：0 ( ( f ) 孑 0 ，系统( 3 1 1 ) 存在一个风滤波器当且仅当存在 对称矩阵p 0 ，s 0 ，使得对所有允许的参数不确定性，以下矩阵不等式成立： 0 ( 3 2 1 ) 其中，不确定性由( 3 1 2 ) 给出，4 = f 坞苫蝎 ，e = ( 。) 。 可以根据这个日：滤波器的存在条件来设计所要求的正k 滤波器。显然，不等式 ( 3 2 1 ) 是一个非线性矩阵不等式。因此，首先，对矩阵p 和它的逆p 一，作以下分块： 尸= 陵驴1 = 陵黔 其中，晶f ”，s 胪”。 由p p - = ，可得 ，一片，s ，2 尼 ( 3 2 2 ) 定义气硝s l i 护= ( ：孙唧文 通过矩阵运算可得： 砌2 k 晶茹鬻。哪晶篇办，吨删篙皂d 驾l + 晶脚日辅，+ 皂z q 。十钧晶4 + 晶壤占fj ，。”一【晶z 十矗衄五十最肆d f 胜r 葛器蹋卜= 蕊卜脚：离1 定义 z = # ：哆，2 = 哆醴，2 = 母，( 3 2 3 ) 坶蹦o 。叫 1 一 d 伊w 。 施啊西。 腑e m 留c 驴 十p_ 丑 连续时滞系统的鲁棒垃，滤波器设计 则对不等式( 3 2 1 ) 左边的矩阵左乘d i a g ，t ， ，右乘其转置，可得 巾| l 西1 2b + h f e 2 + 西2 2 只1 b + z d + 只1 h f e ： + 一y ， $ s 1 1 1 一z 7 一s c 7 d ； 上一c 7 d ： 一d 7 d ： - v i a d + h 只1 4 + 日i h f e u 0 o o 0 ( 3 2 4 ) 冥中， o 】i = a s , l + s l a 7 + h f e l s t l + s 【1 曰f 7 h 7 + s 1 1 s s , l ， c ! b 1 2 = a + h f e l + s l i 一7 暑1 + 1 矸f 7 7 鼻】+ l c 7 z7 + 之7 + s 1 1 s ， 中2 2 = a t p 1 1 + 丘l a + z c + c 7 2 7 十s 十日f 7 7 只j + e i 田 进一步对上式左边的矩阵分别左乘和右乘d i a g 1 ， ，可得不等式( 3 2 4 ) 等价于： 面、l 南t 1s j ：b + s i j h f e 2 t c r d 1 一s ? 1 1 1 分s 击山+ s 矗i - i f e a 击2 2 只i b + z d + 置1 h f e 2一c r d ； 鼻。4 d + 鼻l h f e e 十 一y 一d7d：0 一v 10 十+ 8 一( 1 一) s 其中， 面u = s i ：a + a t s 0 + s i h f e l + 醢f th 1 s 0 十s ， $ 12 = 1 a + a 7 # l + c 。z 7 十s + 瓯1 护+ 甄刎强+ 碍，矿墨 $ 2 2 = a r e l + 尸1 1 4 十z c + c 7 2 7 + s + 日f 7 h 7 # 】+ e l l l 嘲 再定义一组新变量： r = 1 ，z = 晶，m = z e , = 厨 将( 3 2 6 ) 代入矩阵不等式( 3 2 5 ) 可得： 西。，西】2r b + r h f e 2i f n 7 - c 7 珥r a o , + r h f e 。 4 西nx b + z d 七x h f e 2一c r d t f x ad + x h f e ? + + 一，一d 7 d ；0 4+ 一y 1 0 +4 九l o s 其中， 西l l = r a + a r r + r i t f e l 十e i f 7 h 7 r + s ， 函1 2 = r a + a r j + c 7 2 7 + m 7 + s + r h f e l + j e f 7 h 7 x 西2 2 = a r x + 剧+ c 7 z7 + z c + s + e 2 f 7 h 7 五十x h f e l 1 2 0 ( 3 2 5 ) ( 3 ，2 6 ) 0 ，即： 晶一1 = z r 0 ( 3 2 1 0 ) 定理3 2 2 对给定的常数y 0 ，系统( 3 1 1 ) 存在一个，一次优日。滤波器当且 仪当存在对称矩阵r o ， 0 ，s o 和矩阵尬，z ，d ，标量占 o j p 0 。使得对所有允 许的参数不确定性，线性矩阵不等式( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 0 ) 成立。 由( 3 2 3 ) 和( 3 2 6 ) 得 a ，= 只；1 2 ( s 二) ，c ，= 之( ) ，b ，= 只；1 z 1 3 邑& 。+ + + 兰竺竺堂至竺竺竺兰竺：塑兰兰兰! 因此，滤波器的传递函数矩阵： 如：三) s i 一1 2 雠广 _ i 巧1 z + d ，= 【s ( r 一一删。z + d 7 。 那么系数矩阵： 4 = 卵一1 必马= 一。z ，q = ， ( 3 2 1 1 ) 因此，若线性矩阵不等式( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 是可行的，则可直接构造系统( 3 1 1 ) 的 7 - 次优。滤波器。 进而，通过建立和求解以下的优化问题： j m i n y ( 3 2 1 2 ) 1 s u b j e c tt o ：( 3 2 9 ) ，( 3 2 l o ) - 由( 3 2 1 1 ) ，利用问题( 3 2 ，1 2 ) 的最优解可以构造系统( 3 1 1 ) 的最优巩滤波 器。显然，问题( 3 2 1 2 ) 是一个具有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化 问题。 3 3 仿真例子 考虑不确定时变时滞系统( 3 i 1 ) ， 其中： 4 镞斟b = ( 苫嚣卜销0 ：川，叫o o ， 。：，上：( 。，日= ( 。吉3 。：， ，岛= 易= 【：； ，马2 。，2 。s ， 希望设计一个最优日。滤波器，使得对所有允许的不确定性，闭环系统是渐近稳定的。 通过求解优化问题( 3 2 1 2 ) ，并根据定理3 2 2 ，可得具有上述系数矩阵的系统 ( 3 1 1 ) 的最优日。滤波器的系数矩阵是： 母= l - 捌5 0 8 4 ( ) 6 7 3 7 - 删2 9 5 9 4 8 3 6 户= l - 刁1 4 9 5 0 3 州2 9 1 c ，= ( - 0 。2 8 5 1 ) ，9 2 如。5 0 0 ， 相应的估计误差对输入干扰信号的抑制度是厂= o 0 5 0 0 。 3 4 本章小结 本文研究了连续时变时滞系统的日。滤波器设计问题。通过对范数有界不确定系 第三章不确定时滞系统的鲁棒只。滤波器设计 统的分析，给出线性稳定的日。滤波器的存在条件和设计方法，并保持闭环系统是二 次稳定的。与本文所不同的是，文献 3 给出了无时滞系统的e 。滤波器设计方法， 并且考虑的不确定性是由类多胞型模型描述的，同样文献 2 ，8 也考虑的是一类由 多胞型模型描述的不确定系统。最后，给出一个数值例子的h 。滤波器设计，说明了 本文所给结论的有效性。本文的工作可用相同的方法针对相同的不确定性，给出连 续时不变时滞系统的e 。滤波器设计方法；也可以用第一章中的极点配置方法使其极 点配置在一个给定的l m i 区域中。 连续时滞系统的鲁棒爿。滤波器设计 第四章工作总结与研究展望 4 1 工作总结 本文从由多胞型模型描述的不确定性和由范数有界描述的不确定性两个方面对 连续时滞系统进行了系统的分析和研究。基于线性矩阵不等式方法，着重研究了两 种不确定情形下的连续时滞系统的日。滤波器设计问题。对上述两章内容的工作总结 如下： ( 1 ) 第一章研究了连续时滞系统经闭环极点约束的日。滤波器设计问题。通过对 连续时不变时滞系统的分析，给出日。滤波器的存在条件和设计方法，采用极点配置 方法，使得闭环系统的所有极点配置在一个给定的圆盘以7 7 ，力中，并保持滤波误差 动态系统是二次稳定的。其中，不确定性是由多胞型模型描述的。也可以用同样的 方法给出具有时变时滞不确定系统的h 。滤波器的存在条件和设计方法。 ( 2 ) 第二章研究了连续时变时滞不确定系统的h 。滤波器设计问题。通过对范数 有界不确定系统的分析，给出日。滤波器的存在条件和设计方法，并保持闭环系统是 二次稳定的。本章的工作可用相同的方法针对相同的不确定性，给出连续时不变时 滞系统的h 滤波器漫计方法；也可以用第一章中的极点配置方法使其极点配置在一 个给定的l m i 区域中。 4 2 研究展望 在本文工作的基础上，还可以进一步考虑如下问题： ( 1 ) 本文所研究的是针对具有连续时不变时滞和连续时变时滞系统的h 。滤波 器设计问题，因此，也可用相同的方法研究连续或离散时滞依赖不确定系统的h 。滤 波器设计问题，并同时考虑两种不确定性。 ( 2 ) 本文的研究对象是针对线性系统而言的，因此，该研究方法可用于卜s 连 续( 离散) 模糊系统的也滤波器设计问题。 参考文献 参考文献 1 1 r mp a l h a r e sa n dpl d p e r e s ，l m ia p p r o a c ht ot h em i x e d 卫风f i l t e r i n gd e s i g n f o rd i s c r e t e t i m eu n c e r t a i ns y s t e m s ，i e e et r a n s ，a e r o s p a c ea n de l e c t r o n i cs y s t e m s ，2 0 01 ， 3 7 ( 1 ) ：2 9 2 2 c ，e d es o u z a ，r m p a l h a r e s ，pl d p e r e s ，r o b u s t 比f i l t e rd e s i g nf o ru n c e r t a i n l i n e a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e v a r y i n gs t a t ed e l a y s ，i e e et r a n s s i g n a lp r o c e s s ，2 0 01 ， 4 9 ( 3 ) ：5 6 9 - 5 7 6 3 r m p a l h a r e sa n dpl d p e r e s ，r o b u s t 也f i l t e r i n gd e s i g nw i t hp o l ep l a c e m e n t c o n s t r a i n tv i al m i s ，j o u r n a lo fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 9 ，1 0 2 ( 2 ) ： 2 3 9 2 6 1 4 】e tj e u n g ，j h k i ma n dh b p a r k ，虬o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g nf o rl i n e a r s y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y e ds t a