（基础数学专业论文）clifford分析中几类函数的性质及某些边值问题.pdf

宁夏大学颂十学位论文中文摘要 摘要 c l i f f o r d 分析作为单复变函数理论在高维空间的一种推j 研究的是从文向量空日j 映射到不 可交换的实c l i f f o r d 代数的函数理论，它有非常重要内理论意义和应用价值例如在m a x w e l l 方 稃、y a n g m i l l s 场理论以及量子力学等都应用过它的些结论，它已经发展成为由研究一个变量 到研究多个变量的函数体系 本文考虑了c l i f f o r d 分析中超正则函数，k 正则函数、调和函数( 超调和函数，忌调和函数，双曲 调和函数) 的性质及边值u j 题，在一定程度上推广了已有的结果 全文j 0 分四章内弈安排如卜： 第一章叙述了c 1 i 酬数、c l i f f o r d 分析的研究现状，给出了c l i f f o r d 4 数的基本理论，作为以 后各章节必要的预备知识 第二章根据修正的d i r a c 算子得到的超正则函数，讨论了c l i f f o r d 分析中超正则函数的一些性 质，) f l | 刚s c h a u d e r 不动点原理( 斥缩映射定理) 证明了超正则函数的一类带轭值带位移的1 f 线性边 值题解的存在住，给出了解的积分表达式 第三章首先讨论了c l i f f o r d 分析中豇正蜊函数的一些性质，其次给m 了七正则函数与超正则函 数的一些关系，最后研究了关于詹正则函数的奇异积分方程组 第四章给出了c l i f f o r d 分析中几类调和函数盼一些性质，利崩正则函数的边值f “题讨论了j “义 l a p t e 方程的边值l u j 题，得到了调和函数盼d i r i c h l e t 边值刚题的解 关键词：c l i f f o r d 分析，超正则函数，k i y 则函数，调和函数，边值闯题 宁夏大学硕十学位论文 英文摘要 a b s t r a c t c l i f f o r da n a l y s i sa so n ek i n do fp r o m o t i o nw h i c ht h et h e o r yo fs i n g l ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o n i nh i g h e rd i m e n s i o n s ，i ts t u d i e st h e o r yo ff u n c t i o nf r o mr e a lv e c t o rs p a c et or e a li n c o m m u t a b l ec l i f f o r d a l g e b r a c l i f f o r da n a l y s i sh a sv e r yi m p o r t a n tt h e o r ys i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e h a sa p p l i e d i t ss o m ec o n c l u s i o n si nm a n yp l a c e ss u c ha sm a x w e l le q u a t i o n , t h e o r yo fy a n g - m i l l sf i e l d , q u a n t u m m e c h a n i c sa n ds oo n n o w a d a y s , c l i f f o r da n a l y s i sh a sp r o v e nt ob eav a l u a b l ec o u n t e r p a r tt ot h et h e o r y o fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rs o m ep r o p e r t i e sa n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rh y p e r m o n o g e n i c f u n c t i o n s ，庇m o n o g e n i cf u n c t i o n sa n dh a r m o n i cf u n c t i o n so a y p e r h a r m o n i cf u n c t i o n s , kh a r m o n i cf u n c t i o n sa n dh y p e r b o l i ch a r m o n i cf u n c t i o n s ) i nc l i f f o r da n a l y s i s ，a n dg e n e r a l i z es o m er e s u l t st oac e r t a i n d e g r e e t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w en a r r a t e dt h ec l i f f o r da l g e b r a ，t h ec l i f f o r da n a l y s i sr e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o n b e - s i d e s ，s o m en e c e s s a r ym a t e r i a l sw h i c hw i l lb en e e d e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，a c c o r d i n gt ot h eh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n sw h i c ho b t a i n sb yt h em o d i f i e do p e r a - t o r , s o 眦p r o p e r t i e so fh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n sa r ed i s c u s s e di nc l i f f o r da n a l y s i s w i t ht h eh e l po f s c h a u d e r f i x e d - p o i n t t h e o r e m , w e p r o v e t h e e x i s t e n c e o f t h es o l u d o n o f a n o n l i n e a r b o u n d a r y v a l u e p r o b - l e m a n dg e tt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no fi t ss o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w el 鱼r s t l yd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s ， s e c o n d l y , t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nkm o n o g e n i cf u n c t i o n sa n dh y p e r m o n o g e n i ef u n c t i o n s 批g i v e n , l i n a n yv c es t u d ys i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o ns e ta b o u t 知m o n o g e n i cf u n c t i o n s i nc h a p t e r4 ，w eg e ts o m ep r o p e r t i e sa b o u ts e v e r a lk i n d sh a r m o n i cf u n c t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s w i t ht h eh e l po f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rm o n o g e n i cf u n c t i o n s , w es t u d yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f g e n e r a l i z e dl a p l a c ee q u a t i o na n dg e tt h es o l u t i o no fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fd i r i c h l e tf o rh a r m o n i c f i l n c t i o n s k e yw o r d s ：c l i f f o r da n a l y s i s ，h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s ，七m o n o g e n i cf u n c t i o n s , h a r m o n i cf u n c t i o n s ， b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导卜进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特挣j 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：扫壶_时 间：弘昭年钥f 日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时 间：丑，谚年易月日 时 间：7 时年6 月7 日幸函上喜 尘一 b 盘苷 宁夏大学硕十学位论史 第一章前言 1 1 文献综述 第一章前言 c l i f f o r d 代数出现丁2 0 世纪初，是一种可结合但不可交换的代数结构c l i 仃o r d 分析是上世纪 七十年代人们通过将占典复变函数的许多结果推j 到c l i f f o r d 代数的函数类可，中去而逐渐发展 起来的一个新兴数学分支，研究的是从文向量空问映射到不可交换的实c l i f f o r d 代数的函数理论， 后又拓展为从复向量空日j 映射刭复c u f f o r d 代数的函数理论，它是高维空f b j 的分析，是复变函数论 和四元数分析的推广1 1 1 1 c l i f f o r d 分析以研究d i r a c 算子腌1 卜零解为对象，它是解析函数在高维空间中的推j “正如单 复变函数论研究的主体是解析函数样，多复变函数论的重要分支c l i f f o r d 分析研究的主体是正 则函数，也叫单演函数，其定义于任意维空间，而在c u f f o r d 干l 数上赋值，是一类特殊的常系数椭 ! 一 a 圆型齐次线性偏微分方程组的强解，与j 义c a u c h y r i e m a n n 算子巩= 5 ：e i 1 1 有关1 9 7 0 年以 。i 。= 。o o x i 来，eb r a c l o ti z - 7 l ，r d e l a n g h e1 8 1 4 和es o m m e n1 1 5 2 0 1 在c l i f f o r d 分析方面作了大量的丁作，并 于1 9 8 2 年三人合作 h 版了第一本c l i f f o r d 分析方面的专著【2 】2 该书系统叙述了c l i f f o r d 分析中的基 本理论其中包括w e i e r s t m s s 定理、c a u c h y 定理和c a u c h y 积分公式、l a u r e n t 展丌式和t a y l o r 展 式，l i o u v i l l e 定理，m o r e r a 定理和p a i n l e v e 原理等，在菜种稃度上是对经典的复交函数理论的推广 1 9 9 2 年r d e l a n g h e ，f s o m m e n 和vs o u 6 e k 发表了一本c l i f f o r d 4 , 数的专著1 1 3 1 该书在多维空 f h j 中的函数理论方面，特别是与d i r a c 算子相关的函数理论方面，做了大量的下作，这使c l i f f o r d - 分 析理论作为一门独立的学科日葫庞人起来j r y 柚在文献( 2 2 l 中讨论了c m 空间中的d i r a c 算子的一 些性质，d c o n s t a l 韶，r d c a l m e i d a , r s k r a u _ 8 h a r 讨论了d i r a c 算子的解以及c a u c h y - r i e m a n n 方 枵( 见文献【2 3 】) 而对c l i f f o r d 分析中高阶题的研究也很活跃，eb r a c k x , r d e l a n g h e 在文 献【2 】中酋次推j 复平面中以南正则函数理论到c l i f f o r d 分析中，研究了c l i f f o r d 分析中詹正则函数 的c a u c h y 定理、c a u c h y 公式以及有关k i e 则函数的齐次多项式j r y a n 在文献【2 2 】也考察过类似 时题并构造了高阶多项式d i r a c 方稃解的c a u c h y 以, 分公式同时，h b e g e h r1 2 4 j 通过迭代的方法得 到c l i f f o r d 分析中灼高阶p o m p e i u 公式随后在1 9 9 0 年，曾岳生在文献 2 5 q a 研究了正则晒数的另一 种推j 形式，即左七单演函数，井得到了左七单演函数中的一个秋分算子的两个件质所谓左七单演 函数，指的是方程磷f = o f f 勺解瞳数，其中算子d ：= d 。( 磷_ 1 ) 后来杨不文 2 6 一矧，张忠祥【2 7 - 2 8 】 等人研究了左七单演函数的性质，并讨论了相应的某种边值问题以上结果都是建立在d i r a c 算子 的基础上，但是有些常h j 的函数，例如矿，n = 1 ，2 ，z 彤件l ，不是正则函数 s l e r i k s s o n b i q u e 和ht e u t w i l e r l 3 0 l 在修正的d i r a c 算子的基础上引入了超正则函数，并 且h 1 e u t w i l e r - 首先证明了幂晒数z m ( m n ) 不是正则函数，从而定义了超正则函数设算子 ，= 巩，+ 7 , 一1 i q ，方挥f = 0 的解称为超正则函数，所以超正则函数是单复变函数 论中全纯函数在高维空间中的另种推j 形式，是c l i f f o r d 分析中一类微分方释的解1 9 9 2 年h 1 e u t w i l e r 3 1 - 3 2 1 首先研究了冗3 中的超正则函数2 0 0 0 年s l e r i k s s o n b i q u e 和h 1 e u t w i l e r 把超正则 函数引入到c l i f f o r d 分析中，研究了它的一些性质，侵c l i f f o r d 分析中的函数理论在理论意义和应用 价值都有了进一步的发展( 地文献 3 0 9 随后又推广到惫超正则函数，即帆，= d ，+ 二q f = 0 宁夏大学硕十学位论文篼一章前言 的解称为七超正则函数，其中七= 0 ，1 ，n 一1 显然蠡= 0 时的解称之为正则函数 c 1 i 肋r d 代数的函数理论有1 卜常重要的理论意义和应用价值( 地文献【3 3 】) 例如在m a x w e l l 方 程、y a n g m i l i s 场理论以及量子力学等都应刖过它的一些结论，它已经发展成为由研究一个变量到 研究多个变量的晒数体系近年来对照多复分析的结果，如何把单复变函数理论推j 到高维中去， 国内外已经涌现了一大批学者从事丁这方面的研究1 9 8 9 年黄思训在文献f 3 4 1 中着重讨论了三维 空间上的c l i f f o r d 代数在力学上的许多重要应用，把平面问题中一些重要结果利用c l i f f o r d 代数这 一重要丁具推j “到三维或更高维空问中去从而体现出了c l i 肪r d 代数在弹性力学或流体力学中 的重大应用2 0 0 1 年，eb r a c k x , j s & c h i a h l m 和vs o u 芒e k 三人暇合推出了本介绍c l i f f o r d 分析 和应用的论文专辑f 3 j 该f 5 汇总了多人的研究成果详尽地阐述了c l i f f o r d 分析的基础知识和应用 背景，讨论了c l i f f o r d 分析在弹性力学( 例如处理m a x w e l l 方程) 、量子力学、t 程技术等中的j “泛 应用。是迄今为i 卜较为完善的一本关丁c l i f f o r d f r 析应用的数学专著 解析函数边佰问题是复分析中极为重要的分支之一1 9 8 0 年以后，前苏联学者n 1 m u s k h d i s h v i l l i1 3 5 l ，我国学者路见可【3 6 3 7 l 等在二维空间中解析函数的边值u j 题和奇异积分方程方面做了 大量的t 作1 9 8 7 年，徐振远在文献f 3 8 q ，首先研究了c l i f f o r d 分析中一个基本r i e m a n n 边佰u 】题 随后，闻国椿【圳，黄沙【4 0 _ 4 l l 。乔玉英，杨不文等研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的一系列性质和菜 些边值问题1 9 9 7 年，黄沙还研究了c l i f f o r d 分析中双正则函数的线性和非线性边值问题2 0 0 1 年， 张忠祥，杜金元在文献【4 2 中研究了c l i f f o r d 分析中正则函数的菜些边值u j 题与奇异积分方j 程，从 一定稃度上推了徐振远的_ t 作2 0 0 3 年，龚弧方住文献 4 3 1 中研究了j p 中一类p a e m a n n 边值问 题和h i l b e r t 边值f u j 题2 0 0 5 年乔玉英讨论了超正则函数的边值刚题阻1 同年黄沙、乔玉英、闻国 椿在文和复c l i f f o r d1 4 5 l 一1 1 5 中系统讨论了边值问题和奇异秋分方捍。全1 5 七章，内容包括( i ) 实 和复c l i f f o r d 分析中的正则函数和调和函数( 1 1 ) 实c l i f f o r d 分析中j “义正则函数和双曲调和函数恂 边值f u j 题1 i i i ) 实c l i f f o r d 分析中j “义双正则函数的1 | 线性边值问题0 v ) 实c l i f f o r d j f f 析中古典域上 二阶偏微分方稃的边值问题) 实c l i f f o r d 分析中依参数的积分和奇异积分方捍( v i ) 实c l i f f o r d s 析中几类高阶奇异积分方挥和微积分方程( w l 】c l i f f o r d 分析与椭圆函数的关系 如何把二维空间中比较完备的，发展趋于成熟的单复变函数的许多理论推j 到多维空间，对 照多元复分析的结果来讨论c l i f f o r d 分析已经成为中外学者们研究的热r j 课题近年来，由丁它在 调和分析中有重人应用，国内外已经涌现m 了一人批学者从事这方面的研究1 9 9 2 年，h 1 e u t w i l e r 在 文献【3 1 q a 给出了实c l i f f o r d 分析中双曲调和函数的定义和一些性质1 9 9 6 年黄沙l 给m 了 c l i f f o r d 分析中双曲调和函数的一种边值f u j 题1 9 9 7 年，杨不文在文献 4 7 1 d p 给出了任意防域上正 则函数的d i r i c h l e t 边值f u j 题的可解条什及解的表达式接着，在文献【4 8 】中给m 了空f b j 中的正则 向量函数的d i r i c h l e t 边值i u j 题1 9 9 9 年，李玉成在文献f 4 9 d p 研究了c l i f f o r d 分析中的l a p l a c e 方程 及调和函数2 0 0 2 年eb r a c k x ，r d e l a n g h e 和es o m m e n 研究了欧几里得空日j 中的j k 轭调和晒 数阳1 2 0 0 5 年，c a n o l d e r j 5 1 1 把j e 轭调和函数的概念推j “到了c l i 肋r d 代数中 1 2 本文的主要工作 受上述t 作的启发，本文主要研究了c l i f f o r d 分析中趟正则函数、k i e 则函数，调和函数( 超调 和函数，七调和函甄双曲调和函数) 的性质及某些边倩问题，在定稗度上推j 。了前而的菜些下作 本文主要t 作j 分三部分： 一2 一 宁夏大学硕十学位论文第一章前言 第二章中，利崩文献【3 0 1 中由修正的d i r a e 算子得到的超正则函数的定义，我们讨论了 超正则函数中一些算子之日j 的关系，得到了等式只一1 ( d 。f ) = d f i l ( 只l i f ) ，q 。一1 ( b 。f ) = d t l 一1 ( q 。l ，) ，推j 了文献【3 0 ，【5 3 1 0 e 的结果，得到了超正则函数的一个充分必要条件，接着利 _ h j s c h a u d e r 不动点原理( 压缩映射定理) ( ! ! - 文献【5 4 1 ) 证明了趟正则函数的一类带轭值带位移的1 卜 线性边值问题解的存在件，给m 了解的积分表达式，扩展了文献f 5 5 的结果 第三章中，在文献1 2 2 2 3 】，f 2 6 】的基础上讨论了詹正则函数的一些性质，接着我们给m 了詹正则 函数与超正则函数的一些关系最后研究了关丁k 正则函数的奇异积分方捍组 第四章中，受惫正则函数定义的启发我们定义了七调和函数，给m 了调和函数，超调和函数，后调 和函数，双曲调和函数的一些件质，以及几种调和函数之间的关系，利用文献【4 7 】，【5 6 仲正则函数 的边值阿题讨论了l a p l a c e 方稃的边值问题，得到了调和函数的d i r i c h l e t 边值问题的解，把调和函 数的d i r i c h l e t 边值u j 题推j “到了高维空间 1 3c 仟o r d 代数基本理论 记以e o ，e l ，e ，l 为基底的文向量空间为r “+ 1 ，e o 为r n + 1 的单位元索，r n + 1 的元索为 实c l i f f o r d 代数研。是以 蕾= z o e 0 - - 戤色 i - 土- i e o ，e l ，e 2 ，e n ，e l e 2 ，e n l e n ，e l e 2 e n 为基的2 n 维空闭其基底由 = e o ，e a = e n l e 电e 口h ，a = a l ，口，1 ) 1 ，n ) ，1s 口l a s 其中= e o = 1 是a 。的单位元元素e l ，e 2 ，e n 满足卜列关系： e i e j + e j e i = 一2 也j ， ，j = 1 ，t 1 岛是通常的克罗内克变甄此关系也可改弓为 亏= - 1 ，歹= l ，2 ，t l ， e i e j + e j e i = 0 ，i j ， ，歹= 1 ，2 ，礼 将此乘积运算推j 到c k ，则a 。是一个可结合但不可交换的代数，称为实c l i 肺f d 代数，简称 c l i f f o r d 代数显然r ”+ 1cc l 。 在c l i 肋f d 代数a 。中，每一个c l i f f o r d 元素口可表示为 给山a 。中的三种常见映射： n = a a e a ，口a r a 一3 一 bz 。：l = z 宁夏大学颁十学位论文 第一章前言 ( 1 ) 主对合：a a 7 e 么= ( - 1 ) 七e a ，若奄= i a i ； 口= ea a e 4 = ( 一1 ) i a l a a e a ， aa 其中l a l 表示a 中元索的个数，空集的指标为零易见 对任意( f j a 0 ，易得 ( 2 ) 反演：a a 特别f 包 由( 1 1 ) 式有 ( 3 ) 轭：n 一瓦 由( 1 1 ) 式有 特别的 晶= e o = 1 ，= 一e t ，i = 1 ，2 ，f 1 e i e a = l e e t a a ，e 龟i ，；i ca a ，, n v z r 。是一个仿向量ee i x e i = ( 1 一r t ) ：c 7 i = o e * a = e 口h e n 一1 e 盘t ，g ：e a = e a i e a 2 e a ； a = e a a e = a a e 口 h 1 i a e t = e i ，i = 0 ，1 ，n n = ( 一1 ) 洲1 口a e a ， a 醣= ( e ) + = ( e a ) ， 西= e n a 醣= n a 瓦 g a 。 aa 瓦= e ( - - 1 ) i a i l a i + a a e a a 荀= e o21 ，反= 一自，i = 1 ，2 ，n 由以上三种映射的定义可知，对于任意的口，b a 。，卜列性质成立： ( 1 ) 一a b = 硫( 2 ) ( n 6 ) 一6 ，( 3 ) ( a b ) + = b * a 4 ( 1 1 ) 宁夏大学顽十学位论义第一章前言 其中 注1 1 坛r ”+ 1 o ) ，定义z q 。奔为z 的逆，衄= 殛= 22 z ；称为e u c l i d e 锄平方 ；n n 任意z = 魏e i ，y = y i e i 酽+ 1 ，有 i - - - - 0 i = o x y 5 z ! ，+ z a y ， n z y = 一 = x i y i ， t 车0 z ay = e t 勺( 筑协一巧鼽) ， i j 即r 1 中任意两向量的秘可分解为一个纯量和一个双向量的和 上式也可写为 z 可= 互1 ( z y + y x ) ， 2 掣= 三( z y 一妒) 设七 o ，l ，n ，则 任意8 a 。也可以表示为 ( 点积) ( 义积) 删= 吐a 。i 口= a a e a i a l = k 口= 陬 七= o 其中h 七是a 在c l 譬上的投影，【口】七= ；k n a e a 称为七一向量故 c l 。= o c z 驴) k = o 因此o - 向量是标量，r ”+ 1 中的元索是l 一向量，形如l = ( 瓦，) ( z ) 一n ，- l f ( z ) ，+ 其中玩= 去一叠e t 瓦。是玩的j 轭算子 。卜- 列等式成立 d 。，+ - d n f ：2 要， 瓦，= ( 甏) ，+ 耋弓( 鼍) ，_ ( d t l ，) ， 容易得到 一m f = ( 靠，) 简记算子为= m ，= 日 定义2 2 f 4 】设q 为r ”+ 1 中的连通丌集，( 2 ) f 妒，苫，( z ) 满足 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 。，( z ) = 0 ， 则称， ) 为a n 中的调和函数，也称，扛) 在c f n 中调和其中n = 巩- n2 瓦d n 2 毛南是i n 伊 义l a p l a c e 算子 一l o 宁夏大学硕十学位论文 第一章c l i f f o r d 分析中的超萨则函数及其一类带共窜i l 带位移的边值问题 2 2 超正则函数的性质 本节主要讨论超正则函数中d i r a c 算子与投影算子r l q 。一1 z 删的关系以卜我们 记尸，一1 n = ( f k 一1 n ) ，q ：l 一1 n = ( q 。一l n ) 引理2 1 1 3 0 设a ，b c l 。，则 巳一l ( a b ) = ( p k l a ) p 一l b + ( q 。一l o ) q 。一1 ( 6 ，) ， q 。一1 ( 曲) = ( 只。一i a ) q 。一l b + ( q 。一1 ) 只。一l ( 6 ，) 定理2 1 设a ，b c l 。，则 证由引理2 1 得 同理可得 r l ( 曲) = a b + 2 ( r l a ) p n l b 一口r 1 6 一( r l a ) b ， q 。一l ( a b ) = a q 。一l b + ( q 。一l a ) b r l ( 曲) = ( r 一1 a ) r l b + ( o 。一l 口) q 。l ( 6 ，) = ( f k l a ) p 一l b + ( q 。一l a ) e ( q 。一l b ) e 。 一( r l a ) r l b + ( n 一晶一l a ) ( b - r 1 6 ) = a b + 2 ( r l a ) r l b n r 1 6 一( r l n ) 6 q 。一l ( a b ) = ( r l n ) q 。一l b + ( q 。一l n ) 只；一l ( 6 ，) = 【g 一( q 。一l a ) e 。】q 。一l b + ( q 。一1 n ) 【6 ，一( q 。一l b ) e 。】 = a q 。一l b + ( 吼一l a ) b ( 2 3 ) ( 2 4 ) 定理2 2 设啦( i = 1 ，2 ，m ) c l 。，焉一1 ( a 1 9 2 a mm 1 ) 表示对口l 眈n m 中任意t 个 用尸作用，则 i r l ( a l a 2 ) = ( a l a 2 a 。) + ( 一1 ) “2 “一1 砭一l l 口2 n 。) t 暑l 证由数学归纳法和( 2 3 ) 可得 定理2 3 设戗“= 1 ，2 ，m ) c l , ，且知= n 。+ l = 1 ，则 ，n 仉一( a l a 2 n 。) = 口t 口i ( q 。一t 啦) n ：+ 。8 ，+ 。口：，i i 聋1 证由数学归纳法和( 2 4 ) 式可得 一 宁夏大学颐十学位论文第二章c l i f f o r d 分析中的超一则函数及其一类带共轭带位移的边值问题 注2 1 同理由( 2 3 式和( 2 4 ) 式可得 + q 。一l a l q 。l ( 畦口i ) ， + q 。一l a l f 一1 ( 4 口，n ) 引理2 2 a 0 1 设q 为r n + 1 中的连通丌集，( z ) ：q c l 。的分量是偏微的，则 r l ( 。，) = 巩一l ( p n l ，) 一o ( q 瓦- i i ) ， 乳- ( 刚= ( 乳- 卅警 定理2 4 设q 为r “+ 1 中盼连通丌集，若函数，( z ) ：n 一们。的分量是偏微的，则 r 一1 ( z k 力= 历。( r l ，) ， 如一l ( 玩，) = 现( 钒一1 ，) 证分解，= r ，+ ( q 。一l f ) e 。，则有 d f ：d ( p n 一1 ，) + 队f ( 瓴一l ，) e 。1 、， = 玩( p n - l ，) + ( n - - ! e i 去+ e t | 去) ( 乳t ，) e 。 i - - 0 一 = 巩( r t ，) + ( 玩“砚一t ，) + 笔亭) e f = 巩( r l ，) + ( 巩( q 。一l ，) ) e ，i ， 而队，= r l ( 巩，) + ( 一l ( 玩，) ) e 。得证 注2 2 由 鸶塑=(差)，10(qf-ii)ozi娟一( 差) ，o z t ，o z io z t ， 也可得证 推论2 1 设q 为r n + 1 中的连通丌集，( z ) 鼻妒，则 a ( r i f )o ( q 。一l f ) 7 瓦：。一矿， 一1 2 一 ，m 口 + o nq 0 nq2 0 一r 口 一r 一锄 + 鼍兰 口 一r2 一& 8 一r l i m 口 眈 口 一r ，m 口 畦一r啦一 nq 2 口 一& 口 一& 一础 + m n nq 函 一r 一r = m 窿口口 一吼 宁夏大学硕+ 学位论文 第一章c l i f f o r d 分析中的超正则函数及其一类带共轭带位移的边值问题 证因为 e 。掣：掣 o z l td z h 仇( ，) _ 岫( ，) + e 。堡掣， 玩( q 。一1 ，) = d n l ( 仉一l ，) + e 。百0 ( q - 1 f ) 结合引理2 2 可得证毕 定理2 5 设，是二次连续可微函数，则 证 m ( r i f ) = d 。( r i f ) ， m ( q 。一i f ) = d 。( q 。一l f ) m ( r 一1 ，) = 玩( r l ，) + n z - 。lq , 一l ( r t ，) = d n ( p n l ，) + 1 n - = - 1 ( q 。一( r 一1 ，) ) ， 而q n - - i r 一1 = 嘎得证同理可得第二式 推论2 2 设，是二次连续可微函数，则 m ( r l ，) = r l ( 三 r ，) ， m ( q 。一l ) = 骗一1 ( 巩，) 引理2 3 1 s 3 1 设，是二次连续可微函数，则 r “m ，) = z ：r 一( 巩( 轰) ) ， 引理2 4 1 3 0 l 设，为r “+ 1 中的一个连通开集q 上的二阶连续可微函数，则 一m m f = m m =