（机械制造及其自动化专业论文）逆向工程中数控加工刀位轨迹生成方法的研究.pdf

西南科技大学硕士研究生论文第1 页 摘要 随着科学技术的发展，自由曲面已经是工程中最复杂而又经常遇到的曲 面，而自由曲面形成原理复杂，加工困难，精度不易保证，因此多采用数控 自动编程进行数控编程加工。具有复杂外形的零件加工时往往没有现成的图 纸或c a d 模型，近年来发展起来的逆向技术已成为这些产品获得c a d 模型的 重要手段。因此，逆向工程的自由曲面数控加工技术在航空、造船、汽车、 能源等等众多领域得到了广泛应用。 在自由曲面数控自动编程中，刀位轨迹是自由曲面数控加工中最重要同 时也是研究最为广泛深入的内容。刀位轨迹的优劣将直接影响其加工精度和 加工效率。然而，在保证刀位轨迹的精度的情况下则会导致加工效率的降低； 相反，保证了加工效率却又导致刀位轨迹精度的降低。因而，如何既保证刀 位轨迹的精度又提高加工效率成为了数控加工中需要解决的个关键问题。 针对以上问题，本文对逆向工程中自由曲线曲面理论、数控自动编程、 刀位轨迹生成进行了研究。对于不同形状特征的曲面片，本文提出用等参数 线法和等残留高度法两种刀具轨迹生成法分别进行加工。参数线法计算简单 速度快，而不足之处是当加工曲面的参数分布不均匀时，切削行轨迹也不均 匀，加工效率不高。等残留高度法由于控制了切削行的残留高度，所以加工 表面质量得到了保证。针对参数线法的缺点，本文引入一种控制残余高度的 球头刀刀位轨迹生成的非均匀偏置法。这些研究，为设计开发系统奠定了必 要的理论基础。 本文以o p e n g l 和v c + + 6 0 为开发环境，开发了一个基于w i n d o w s 的小型 c a m 系统，对引入的刀位轨迹算法进行了仿真验证。该系统可以显示具有真 实感的三维图形，运行稳定并具有丰富的人机交互功能。 关键词：逆向工程；数控自动编程：刀位轨迹 西南科技大学硕士研究生论文 第1 i 页 a bs t r a c t a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , f r e e f o r ms u r f a c e s i sa l r e a d yt h em o s tc o m p l i c a t e da n do f t e na p p l i e di nt h ee n g i n e e r i n g b u ts h a p i n g p r i n c i p l eo ff r e e f o r ms u r f a c e si sc o m p l i c a t e d ，i ti s d i f f i c u l tt om a c h i n ea n d g u a r a n t e ep r e c i s i o n s ot h en u m e r i cc o n t r o ls e l f - p r o g r a m m i n gs y s t e mi sw i d e l y u s e di nn u m e r i cc o n t r o lm a c h i n ef r e e f o r ms u r f a c e s t h e yg e n e r a l l yh a sn o b l u e p r i n to rt h ec a dm o d e lw h e nt h e s ep r o d u c t s a r ep r o c e s s e d t h er e v e r s e e n g i n e e r i n gt h a td e v e l o p e dr e c e n t l yh a sb e c o m et h ei m p o r t a n tw a y t oo b t a i nt h e c a dm o d e l t h e r e f o r e ，t h en u m e r i c a lc o n t r o lm a c h i n i n gt e c h n o l o g yo ff r e e f o r m s u r f a c e sw h i c hb a s e do nr e v e r s ee n g i n e e r i n go b t a i n st h ew i d e s p r e a da p p l i c a t i o n i nt h ef i l e do fa v i a t i o n ，s h i p b u i l d i n ga u t o m o b i l e ，a n de n e r g yi n d u s t r y i nt h en u m e r i cc o n t r o l s e l f - p r o g r a m m i n gs y s t e mc u t t e r - l o c a t i o n p a t h g e n e r a t i o nm e t h o dh a sb e e nt h em o s ti m p o r t a n ta n dt h em o s te x t e n s i v ea n d i n d e p t hc o n t e n tf o rt h ef r e e f o r ms u r f a c e sn c - m a c h i n i n g i ti n f l u e n c e so nt h e p r e c i s i o na n de f f i c i e n c yo fm a c h i n e b u ti nt h ec a s eo fg u a r a n t e e i n gp r e c i s i o n t h ee f f i c i e n c yo fm a c h i n em a yf a l l r e v e r s e l y , g u a r a n t e e i n ge f f i c i e n c yo f m a c h i n em a yi n d u c ep r e c i s i o nt of a l l s oh o wt og u a r a n t e ec u t t e r - l o c a t i o n - p a t h p r e c i s i o na n dm a n u f a c t u r ee f f i c i e n c yi sap i v o t a lp r o b l e mi nn c m a c h i n i n g b a s e du p o nt h e s ep r o b l e m sa b o v e ，t h et h e s i ss t u d i e st h ef r e e f o r mc u r v e s a n ds u r f a c e s o fr e v e r s ee n g i n e e r i n g ，t h en u m e r i cc o n t r o ls e l f - p r o g r a m m i n g s y s t e ma n dt h eg e n e r a t i o no fc u t t e r - l o c a t i o n p a t h t h et h e s i sp u t sf o r w a r dt h a t c u r v e ds u r f a c e sf o rd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c sa r em a c h i n e db yt h ei s o p a r a m e t r i e a n dt h ei s o s c a l l o pt o o l p a t hg e n e r a t i o nm e t h o d i s o p a r a m e t r i cm e t h o dm a k e s t o o l p a t hg e n e r a t i o nc a l c u l a t i o ns i m p l ya n dq u i c k l y ；b u tt h ed i s a d v a n t a g ei st h a t c u t t i n gr o u t e so ft o o l p a t h a r en o tu n i f o r m i t ya n dt h em e t h o dh a sl o w e r e f f i c i e n c yf o r u n e v e nd i s t r i b u t i n gp a r a m e t e r s i s o s c a l l o pm e t h o dh a sh i g h e r e f f i c i e n c yb yc o n t r o l l i n gr u d i m e n t a lh e i g h t a i m i n ga t t h ed i s a d v a n t a g eo ft h e i s o p a r a m e t r i cm e t h o d ，t h em e t h o do fn o n c o n s t a n to f f s e t f o r s p h e r e t o o l p a t h g e n e r a t i o nb yc o n t r o l l i n gt h ei s o s c a l l o pi si m p o r t e d t h e s ea r et h ef o u n d a t i o nf o r t h ed e v e l o p m e n tl a t e r t h et h e s i st a k e sv c + + 6 0a n do p e n g la st h ed e v e l o p m e n tk i t ，a n dd e v e l o p s 西南科技大学硕士研究生论文第1 i i 页 as m a l lc a m s y s t e mb a s e do nt h em i c r o s o f tw i n d o w s a n dt h ei m p o r t e dm e t h o d o fc u t t e r - l o c a t i o n p a t hi sv a l i d a t e db yt h es y s t e m t h es y s t e mm a yd i s p l a yt h e t h i r dd i m e n s i o ng r a p h ，r u ns t e a d i l ya n dh a st h ea b u n d a n ti n t e r a c t i v ef u n c t i o n k e yw o r d s ：r e v e r s ee n g i n e e r i n g ；t h en u m e r i cc o n t r o ls e l f - p r o g r a m m i n g s y s t e m ；c u t t e r - l o c a t i o n p a t h 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西南科技大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： h ， 移 日期： 口。g ，弓 ， 关于论文使用和授权的说明 本人完全了解西南科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文的复印件，允许该论文被查阅和借阅；学校可以公布该论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 孝亳 西南科技大学硕士研究生论文第1 页 1绪论 1 1课题研究的意义及背景 随着工业技术的不断发展，作为产品设计制造的一种手段，在上世纪9 0 年代初，逆向工程技术开始引起各国工业界和学术界的高度重视，有关逆向 工程技术的研究与应用就一直受到政府、企业和个人的关注【l 】，特别是随着 现代计算机技术及测试技术的发展，这种从实物样件获取产品数学模型并制 造得到产品的相关技术已成为c a d c a m 系统中的一个研究及应用热点。 研究逆向工程技术的最终目的是进行生产加工，而此类产品多数具有复 杂曲面，由于曲面的复杂性，必须利用数控自动编程和加工技术。随着数控 技术的发展，传统的加工方法已经逐渐被数控加工技术而取代，因此，我们 在获得产品模型的同时，就要求能够生成可以用于数控机床进行加工的数控 代码，而数控代码生成的前提，是要获得正确的刀具轨迹。 刀具轨迹生成是逆向工程中自由曲面数控加工中最重要同时也是研究最 为广泛深入的内容。对于工程技术人员来说，根据实际工程应用要求，自行 研发出适合自己工程要求的逆向工程软件系统是一种省时、节约额外开支的 有效方法，有利于促进逆向工程在我国的发展，对于合理的利用有效资源， 具有现实意义。能否生成有效的刀具轨迹直接决定了加工的可能性、质量与 效率，这也是本课题研究的意义所在。 本课题来源于四川省科技攻关计划一数控加工系统中关于任意复杂曲面 反求技术的开发与研究此项目目的在于自主研制一个c a d c a m 系统。本文 所研究的内容是在分析现有c a d c a m 软件中数控自动编程技术及刀具轨迹生 成方法基础上，以v c + + 6 0 和o p e n g l 三维图形开发环境开发其中的c a m 系统 部分，以实现刀具轨迹的生成和模拟。 1 2 国内外发展动态 1 2 1逆向工程技术及其研究现状 逆向工程技术是2 0 世纪8 0 年代分别由美国3 m 公司、日本名古屋工业研 究所以及美国u v p 公司提出并研制开发成功的。进入2 0 世纪9 0 年代以来， 在对产品更新换代周期的迅速缩短的严峻形势下，逆向工程纷纷被放到增强 企业竞争能力的主要位置上【2 儿3 1 。逆向工程技术也被提到从未有的高度。逆向 西南科技大学硕士研究生论文第2 页 工程中的关键技术有很多，大致可以分为数据获取技术，预处理技术，曲线 曲面重构技术，实体建模技术和数控加工和快速成型技术。 在机械制造领域，逆向工程( r e v e r s ee n g i n e e r i n g ) 是指利用数字化的测 量手段获取实物模型的数字化模型，再利用数字化模型重构出c a d 模型，利 用c a d 模型进行后续的计算机辅助工程分析( c a e ) 和辅助制造( c a m ) 。 逆向工程的设计过程与传统的设计过程是不同的。传统设计过程是在市 场调研的基础上，根据功能和用途来设计产品，得到产品或c a d 模型，经检 查满意后制造出产品来，而逆向工程是从一件已经存在的零件或原型入手， 首先对其进行数字化处理( 用三维点数据集合表示) ，然后是构造c a d 模型， c a d 模型检查满意后，可根据后续需要输出图纸，最后进行制造。传统设计 过程和逆向工程设计过程如图1 - 1 、卜2 所示。 厂 格叫 制造加工 图卜1传统设计过程 f i g 1 1 t r a d i t i o n a id e s i g nf io wc h a r t 图卜2逆向工程设计过程 f i g 1 2 r e v e r s ee n g i n e o r i n gf io wc h a r t 伴随着逆向工程及其相关技术的理论研究的深入进行，其成果的商业应 用也受到重视，而逆向工程技术的工程应用的关键是开发专用的逆向工程软 件。目前，面市的产品类型已达数十种之多，较具代表性的有由美国e d s 公 司的i m a g e w a r e ，美国r a i n d r o p 公司的g e o m a g i c ，英国d e l c a m 的c o p y c a d ， 韩国i n u s 公司的r a p i d f o r m ，它们被称为四大逆向工程软件。 计算机技术的发展使得逆向工程技术和先进制造技术的结合日趋紧密， 西南科技大学硕士研究生论文第3 页 如2 0 世纪8 0 年代初发展起来的快速原型技术、基于网络的异地设计及制造 技术等，在产品设计制造阶段都需要逆向工程技术的支持，同时逆向工程技 术也和计算机辅助测量( c a t ) 、辅助设计( c a d ) 、辅助制造( c a m ) 及计算机辅助 工程分析( c a e ) 密切相关。可以说逆向工程是c a t c a d c a m c a e 等先进的计算 机辅助技术集成应用的典型例子，也是计算机集成制造系统( c i m s ) 研究的一 个重要分支。如何将这些技术组成一个整体，即集成逆向工程系统，这是逆 向工程技术应用的较早做法，也是逆向工程技术应用研究的一个重要方向。 集成逆向工程流程如图1 - 3 所示。 在集成逆向工程的研究方面，l i a n g - c h i ac h e n1 9 9 7 年提出了将数字化 和造型结合，进行指导意义下的数字化的方法，即面向重建的路径规划；k w a n h l e e2 0 0 0 年提出一种逆向工程系统和快速原型系统直接集成的方案；a l a n c l i n1 9 9 8 年研究了由海量数据点直接生成n c 代码的方法：c h e ny h 1 9 9 9 年则提出了由测量数据直接生成s t l 文件的实现方法。国内方面，邢渊1 9 9 8 年提出了集成系统模型框架定义，将系统所需要的各种类型的数据和特征采 用类的方式进行定义，以解决逆向工程系统中不同数据的传递和异类数据库 之间联系的问题；邢青松2 0 0 0 年提出了两种面向反求的c a d c a m 一体化方案， 数控仿形加工和面向点触及扫描的商用c a d 解决方法【4 】。 图1 - 3集成逆向工程系统图 f i g 1 3i n t e g r a t e dr e v e r s oe n g in e e ri n gc h a r t 西南科技大学硕士研究生论文第4 页 集成逆向工程系统的构建和实现主要有两种方式，一是按照图卜3 中的 框架独立开发一个c a t c a d c a e c a m r p 的系统，这是一种无缝的集成系统， 具有统一的数据结构，主要难点在于需要强大的软件开发实力，通常一些著 名的c a d 软件商才具备这样的能力；二是基于成熟的商用c a d 软件进行，方 法是将逆向工程的数据测量、处理及转换与成熟的c a d c a e c a m 系统相集成， 可以有效地利用其系统的功能，而且这种集成是柔性的，下游可以根据应用 需求选择不同的c a d 系统，其数据模型也基本是统一的，有利于逆向工程的 成功应用。但是由于成熟的c a d c a e c a m 系统的内核数据不公开，使外围研 究者基于c a d c a e c a m 系统开发逆向工程系统存在困难，只能选择通用文件 格式转换的方式实现，如i g e g s t e p s t l 等，这种集成一般只能实现单向的 流程，集成是间接的，通过格式文件转换还会丢失特征信息，而且模型数据 也不一致，是一种简单的集成。 逆向工程技术于9 0 年代后期在我国得以发展和推广【5 】，这方面的研究主 要集中在几所高校，其中清华大学、浙江大学、南京航空航天大学的研究比 较深入，并取得了一定的成果。另外，由国内逆向工程领域专业人士参与开 发的逆向工程c a d 软件q u i c k f o r m 是国内逆向工程c a d 软件中较好的一个。 由于该软件具有先进的几何引擎、符合国内用户习惯的操作方式和其价格优 势，因而在同类软件中具有极强的竞争力。同时使用国产软件也是对国内制 造业和软件行业的巨大推动。 1 2 2数控加工自动编程技术的研究现状 数控自动编程软件也称为c a m 软件。自从第一台数控机床问世不久，美 国麻省工学院立即开始研究数控自动编程语言系统a p t ( a u t o m a t i c a l l y p r o g r a m m m e dt 0 0 1 ) 。至今，数控自动编程软件已经历了三个阶段：以a p t 为代表的语言编程，交互式语言编程和基于特征的c a m 系统。 第一代是以a p t 为代表的语言编程系统。a p t 语言是美国麻省工学院 ( m i t ) 设计的专门用于机械零件数控加工的程序编制语言，在此之后，a p t 在 工业界的广泛协作下，由m i t 组织美国各大公司共同开发，发展成为a p t - i i ， a p t 一( 支持立体切削) ，a p t - i v ( 支持多坐标曲面加工编程) ，a p t - i v s s ( a d v a n c e dc o n t o u r i n g ) 其中增加了切削数据库管理系统，以及a p t 一 ( s c u l p t u r es u r f a c e ) 支持雕塑曲面加工编程。a p t 能处理二维轮廓，三维轮 廓的铣削加工，包括刀轴摆动的多坐标加工【6 】 7 1 。 第二代数控自动编程系统是交互式图形系统。从这一时期开始c a m 软件 西南科技大学硕士研究生论文第5 页 同时以二条并行的路线发展。其中一条是专用的c a m 系统( d e d i c a t e dc a m p a c k a g e s ) ；另一条是向c a d c a m 集成化方向发展。专用c a m 系统的典范是美 国c n cs o f t w a r e 公司开发的m a s t e r c a m 。c n cs o f t w a r e 是推出以c a d 为核心 的软件系统的时候，其独辟蹊径的推出价格便宜的基于p c 机的专用c a m 系统， 由于该公司深厚的工程背景，推出的c a m 软件系统既简单又实用，很快得到 了广泛的应用，并占领一定规模的市场。其独特的客户驱动( c u s t o m e r d r i v e n ) 开发策略使得新版本不断推出，由当初的2 d 编程系统发展到目前的功能强大 的c a m 软件系统。与m a s t e r c a m 同时发展起来的还有s u r f c a m ，s m a r t c a m 等， 这些软件最初都是基于微机d o s 系统平台的，系统规模小，功能相对简单， 但较实用，适用于广大的中小型企业，特别是小型企业【8 】【9 1 。图形交互式编程 系统的另一个分支便是集成化的c a d c a m 发展方向，其代表有e d s 公司的u g i i 系统，s d r c 公司的i - d e a s ，p t c 公司的p r o e 等。 第三代是基于特征的c a m 系统。它又分为两类：一类是面向加工特征的 c a m 系统，另一类是建立在参数化特征造型基础上的c a m 系统。第二类c a m 系统的代表是g s s l 公司推出的c a m w o r k s 。它是一个与s o l i d w o r k s 无缝集成 的基于特征的c a d c a m 系统【l o 】【l l 】。 1 2 3 刀具轨迹生成技术的研究现状 曲面的数控加工中，刀具轨迹生成是首当其冲的任务。传统的数控加工 刀位轨迹生成方法主要是依靠手工编程，程序的校验和修改等各个阶段都需 要手工完成，这也是受到当时的计算机科学的发展所限，手工编程的零件的 几何要素较简单，如直线、圆弧，二次曲线曲面等。随着计算机科学的发展， 产生了自动编程，它大大节省了入力，同时编程的对象也要复杂得多，如参 数曲面和样条曲面。 ( 1 )等参数线法 该算法【1 2 】是由l o n e y 和o z s o y 首先提出来，它是多轴数控加工中生成刀 具轨迹的主要方法，用于参数曲面s ( u ，v ) 。刀具轨迹在u ，v 参数平面上，沿 着u 向，v 向排列，刀位可在曲面或曲面的等距面上求得。通过对自由曲面造 型理论及微分几何知识的学习研究发现，对于参数或样条曲面的等距面的求 取至今仍然没有有效可靠的方法，但对于这类曲面的加工多数是先求得刀具 与曲面的啮合点即刀触点，再偏置一个球头刀刀具半径得到刀位点。这种方 法是自动编程系统中广泛采用的方法，因为其算法简单速度快。缺点是刀具 轨迹排列较密，而且当零件表面由多张不规则的曲面拼接而成时，容易造成 西南科技大学硕士研究生论文第6 页 参数线分布不均匀，刀具轨迹可能产生自相交的现象。针对参数线过密这一 缺陷，以色列学者g e l b e r 提出利用等参数线法生成原始轨迹，然后采用轨 迹行距判断参数过密的刀具轨迹，有效的克服了用等参数线法生成刀具轨迹 所产生的轨迹冗余等缺点1 1 3 1 。 ( 2 )截面线法 b o b r o wj e 提出了截面线法【14 1 。该方法是指采用一组平行平面或曲面与被 加工曲面相交，截得一组交线，刀具与被加工曲面的接触点位于这组交线上。 对于复杂曲面的加工，该方法效果明显，容易实现曲面间的光滑走刀。不足 之处是计算较复杂，如果曲面求交算法的可靠性不高，那么可能导致计算结 果错误或轨迹不满足要求。而且此方法通常是预先确定好截平面的间距，间 距不易控制，难以和实际曲面的形状相吻合，导致在曲面的平坦处轨迹密集， 在陡峭处稀疏加工后的残留高度不一致，效率不高。 ( 3 )等残余高度法 不管是等参数线还是截面线法，都不能使加工后留下的残余高度均匀一 致，这时往往是选择较小的切削行距以得到较小的残余高度，但同时也限制 了加工效率，因此为了改善加工效率等残余高度法被提出。这种方法是在已 知一条轨迹线时，通过迭代算法求出另一条轨迹线，使相邻两条轨迹线间的 残余高度相等。 + ( 4 )离散网格法 该方法最早由d u n c a n 提出，这种方法将参数曲面离散成一系列满足逼近 精度要求的三角面片，即将曲面模型转化为多面体模型，再进行刀轨计算。 这种加工方法也适合于逆向工程中由测量数据预处理后生成的 s t l ( s t e r e o l i t h o g r a p h i c ) 格式文件的数控刀位轨迹规划【l5 1 。因为对于离散多 面体来说，每一曲面片在边界上一般为0 阶连续，无法构造等距面，用截面 线法无法生成数控加工的刀具轨迹。对于这类多面体的加工，一般采用平行 截面法，即先用一系列平行截面去截取待加工表面，生成一系列截交线，然 后设法使刀具与加工表面的切触点沿截交线运动，从而将曲面加工出来。该 方法的唯一不足是需要多面体能够精确逼近被加工表面才能保证刀位点的准 确性。 1 3论文研究的主要内容及组织结构 本文在分析现有商用软件中数控自动编程模块和前人刀具轨迹生成算法 西南科技大学硕士研究生论文第7 页 的基础上，以w i n d o w sx p 操作系统为平台，利用o p e n g l 技术，结合v c + + 功能 强大的面向对象程序设计的特点，开发一个可自动生成复杂曲面刀具轨迹的 软件。 1 3 1论文研究的主要内容 ( 1 ) 分析和研究逆向工程中b e z i e r ，b 样条曲线曲面造型的方法和特点， 为数控加工刀位轨迹的生成奠定基础。 ( 2 ) 分析研究三坐标机床数控加工自动编程的方法和步骤。 ( 3 ) 研究现有的常用刀位轨迹生成算法的理论和特点，并总结算法中的 优缺点，结合常用刀位轨迹生成算法的优点在系统中规划刀位轨迹。 ( 4 ) 研究计算机图形学基本原理和三维图形库o p e n g l 及其在微机上的使 用方法，实现在w i n d o w sx p 操作系统下，利用v c + + 和o p e n g l 技术开发系统。 1 3 2 论文的组织结构 本文首先研究分析自由曲面生成原理和特点，数控自动编程的方法及影 响加工误差的因素以及刀具轨迹规划中参数线法、等距面法、等残留高度法 确定刀位轨迹步长、行距的算法。然后在此基础上引入一种控制残余高度的 球头刀刀位轨迹生成的非均匀偏置法。最后介绍了软件系统的开发。其章节 安排见目录。 西南科技大学硕士研究生论文第8 页 2自由曲线曲面理论基础 b e z i e r 方法、b 样条和n u r b s ( 非均匀有理b 样条) 是曲面造型的数学方 法，同时也是数控加工编程中常用到的数学模式，尽管n u r b s 方法能实现二 次解析几何和自由曲线曲面的统一，许多商品c a d 软件也采用了n u r b s 方法， 但n u r b s 技术仍在发展中，如何确定合适的参数化和权因子，以及筒单规则 曲线、曲面用n u r b s 表示和处理带来的计算增加的问题，仍在进一步研究。 因此在c a d 曲面造型系统中，b e z i e r 和b 样条表示仍是曲面造型的基础。基 于此本章将详细研究有关b e z i e r 和b 样条曲线曲面的数学理论。 2 18 e zier 方法 2 1 1b e zie r 曲线曲面方程 b e z ie r 曲线曲面是参数多项式曲线曲面。由于它采用了一组独特的基函 数，使得它具有许多优良的性质。在诸多形式的参数多项式曲线曲面中独树 一帜。由于b e z i e r 方法一开始就是面向几何而不是面向代数，发展了一套自 由型曲线曲面的设计制造系统，并在汽车、飞机的曲面设计与造型中得到了 广泛的应用。 b e z i e r 是法国雷诺汽车公司的工程师，他于1 9 6 2 年提出了这种独创的 构造曲线曲面的方法，该法也同样能用来反求曲线、曲面。一个n 次b e z i e r 曲线由下式定义： 生 p ( “) = b 抽( z f ) 只0 球1 ( 2 - 1 ) f = 0 其中：b 抽 ) = 去“( 1 - u ) ”称为伯恩斯基函数，鼻为控制多边形。 i t n z j b e z i e r 曲面是b e z i e r 曲线向曲面的直接拓广。一张m x l 3 次的b e z i e r 曲面的张量积表示为： p ( u ，d = b i ，m ( u ) b j ，。( v ) 尸“0 砧，1 ，1 ( 2 - 2 ) i = oj - - - o 其中霉，为曲面的控制顶点或贝塞尔点，i = 0 , i ，m ；j = o ，l ，阼。依次用 线段连接点列b 中相临两点，从而这些控制点一起组成曲面的控制网格或贝 塞尔网格。 b e z i e r 曲面的矩阵形式： 西南科技大学硕士研究生论文第9 页 ， ，d ：陋。，。 ) ，马。 ) ，b 。，。 ) l e 。 l i 只。 f 召o ，m ( v 互。0 马，m ( d 0 0 厶_ j l 曰m ，m ( d ( 2 3 ) 一般应用中n ，m 不大于4 。式中b 抽( “) = “( 1 - u ) 州，b j ，。( v ) = c 。j v 7 ( 1 - j ) 册。 分别是n 次，m 次b e r n s t e i n 基函数，也称为调和函数；r ( u ，v ) 为nxm 次b e z i e r 曲面片。 双三次b e z i e r 曲面片的矩阵形式是【1 6 】： 0 “，1 ，1( 2 - 4 ) 其中u ：【“，“2 掰l 】，矿= 【v 3 v 2v1 】，射。： 如图2 - 1 所示，为双三次b e z i e r 曲面及其控制网格。 一l3 36 33 1o 一31 30 o0 00 2 1 2b e zie r 曲面的性质 ( 1 ) 端点的位置。b e z i e r 网格的四个角点正好是b e z i e r 曲面的四个角 点，即p ( o ，o ) = p o o 尸( 1 ，0 ) = 已，0 ，p ( o ，1 ) = 咒p ( 1 ，1 ) = 巴矿 ( 2 ) 对称性。将b e z i e r 多边形顺序取反，定义同一个曲面，仅曲面方向 取反。 ( 3 ) 几何不变性。b e z i e r 曲面的形状和位置与坐标系的选择无关。 ( 4 ) 凸包性。一个点集的凸包被定义为由该点集的元素形成的所有的凸 组合的集合。b e z i e r 曲面的凸包性是指b e z i e r 曲面恒位于它的控制顶点的 凸包内。这一性质确定了b e z i e r 曲面的所在范围。 2 1 3b e zie r 曲线的递推( d ec a s t eija u ) 算法 计算b e z i e r 曲线上的点，可用曲线的矩阵方程，也可用d ec a s t e l j a u 算法。如图2 2 所示，设岛、露、只是一条抛物线上顺序不同的三个点。过 昂和点的两切线交于置点，在碍的切线交异e 和只只于硝和置1 ，则如下 比例成立： 一 一 只毋乞 y蹦 i l d 艿“ b只 ，触 ，鲫 = 力 r 西南科技大学硕士研究生论文第1 0 页 图2 - i双三次b e z i e r 曲面及其控制网格 f ；g 2 1 b i c u b icb e z i e rs u r f a c ea n dc o n t r o ig r i d d in g 监：丝：盥 爿e暑1 芝露墨1 这是所谓的抛物线三切定理。当尼、最固定， 为t ：( 1 - t ) ，即有： e o = ( 1 一f ) r + 媚 墨1 = ( 1 一f ) e + 幔 e 0 2 = ( 1 一f ) 爿+ 蜗1 ( 2 - 5 ) 引入参数t ，令上述比值 ( 2 6 ) t 从0 变到1 ，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们 是两条一次b e z i e r 曲线。将一、二式代入第三式得： p 0 2 = ( 1 一f ) 2 e o + 2 t o 一，) 只+ f 。最( 2 7 ) 当t 从0 变到i 时，它表示了由三顶点只、鼻、最三点定义的一条二次 b e z i e r 曲线。并且表明：这二次b e z i e r 曲线砰可以定义为分别由前两个顶 点( 咒，置) 和后两个顶点( 毋，忍) 决定的一次b e z i e r 曲线的线性组合。依次类推， 由四个控制点定义的三次b e z i e r 曲线日可被定义为分别由( p o ，只，) 和 ( 只，只，只) 确定的二条二次b e z i e r 曲线的线性组合，由( n + 1 ) 个控制点 只u = 0 ，l ，2 ) 定义的n 次b e z i e r 曲线搿可被定义为分别由前、后n 个控制点 定义的两条( n - i ) 次b e z i e r 曲线露q 与只”1 的线性组合： e o = 0 - t ) e o _ + 啦肛1f 【o ，l j( 2 8 ) 由此得到b e z i e r 曲线的递推( d ec a s t e l j a u ) 公式： 牡 ) 只k e - l + 谢矧，2 ，拶刎k = o ，1 ，心 ( 2 - 9 ) 西南科技大学硕士研究生论文第1 1 页 当n - - 3 时，d ec a s t e l j a u 算法递推出的晔呈直角三角形，从左向右递 推，最右边点露即为曲线上的点。 图2 - 2抛物线三切定理 fig 2 - 2p ar a b oiat h r e et a n g e n c yt h e o r e m 2 。2 b 样条曲线曲面及其性质 b - s p l i n e 曲线的方程定义为： l e ( u ) = f ，p ( “) 0 甜1 ( 2 1 0 ) i = 0 其中只：控制多边形的顶点，i = 0 ，1 ，玎。n 咖 ) ：p 次b s p li n e 基函 数，f = 0 ，l ，聆，其中每一个称为b 样条，它是一个称为节点矢量的非递减 的参数“的序列u ：甜。z f 。“。+ 州所决定的p 次分段多项式，也a p 为p 次 多项式样条。 b - s p l i n e 基函数的递推定义【1 7 】： m 炉 絮如l + l l 乒( “) = 旦n i ( “) + 当丛兰l + l )( 2 1 1 ) u i + 一u i1 j i + t + l u i + l 规定净 妇 ) 的双下标中第二下标p 表示次数，第一下标i 表示基函数的序号。 每一个基函数由u 取值范围内的p 个子区间来定义。 基函数性质： 西南科技大学硕士研究生论文第1 2 页 ( 1 ) 对任意一个基函数n i ，p ) ，只有节点u i , u ，h ，“即“对它有作用。 ( 2 ) 对任一个节点区间k ，“，+ 1 ) 至多有p + 1 段基函数在该区间上有定 义。即基函数f 啊p ) ，m ，p ( “) 在区间b j ，甜“) 上不为零，其它基函数在该区 间上均为零。 ( 3 ) 0 m ，( ) 1 。 ( 4 ) 对任意节点区间k ，“) ，m ，p ) = 1 ，其中“k ，“。) 。 j i p ( 5 ) 在每个节点处，j 。p ) 满足p k 阶连续，k 为节点重复的次数，因 此，节点重复得越多在该节点处的连续性就越低，相反，连续性就越高。 ( 6 ) 除了p = 0 的情况外，m 。， ) 总能达到一个最大值。 2 2 1 b - s pl in e 曲线的性质 ( 1 ) 局部性质。由于b - s p l i n e 的局部性，p 次b s p l i n e 曲线上参数为 “k ，“州】的一点p ( u ) 至多与p + 1 个控制顶点p j ( j = f 一后，i - k + l ，f ) 有关， 与其它控制顶点无关；移动该曲线的第f 个控制顶点只至多影响到定义在区间 ( “，“m ) 上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。 ( 2 ) 可微性或参数连续性。b s p l i n e 曲线在每一曲线段内部是无限次可 微的，在对应节点的曲线段端点处是p 一，次可微的，是该节点的重复度。 ( 3 ) 比贝齐尔曲线更强的凸包性。b s p l i n e 曲线的凸包性是定义各曲线 段的控制顶点的凸包的并集。这样，其凸包区域要比同一组顶点的贝齐尔曲 线的凸包区域要小。 ( 4 ) 变差减小性质。设平面内，l + 1 个控制顶点只，只，构成b s p l i n e 曲线p “) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与p ) 的交点个数不多 于该直线和特征多边形的交点个数。 ( 5 ) 几何不变性。b s p l i n e 曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 2 2 2 b - s pi in e 的分类 b - s p li n e 曲线的种类比较多，主要有：均匀b s p li n e 、准均匀 b s p l i n e 、非均匀b s p l i n e 、有理b s p l i n e 、非均匀有理b s p l i n e 。 ( 1 ) 均匀b - s p l i n e 曲线 均匀b - s p li n e 是指节点区间分布均匀的b s p li n e 曲线曲面。它是 b - s p l i n e 方法中最基本的构造方法。例如节点矢量为： 0 0 ，0 2 ，0 4 ，0 6 ，0 8 ，i 0 西南科技大学硕士研究生论文第1 3 页 均匀b - s p l i n e 曲线的基函数呈周期性变化。每一个基函数仅仅是前一 个基函数的偏移。即： b 。，( “) = b i _ l , p ( “+ “) = b i 一2 ，p ( 材+ 2 “) ( 2 - 1 2 ) 图2 - 3三次均匀b s piin e 曲线 f i g 2 - 3 t h r i c eu n i f o r m i t yb s p iin ec u r v e 图2 - 3 是均匀b - s p l i n e 曲线实例。 均匀b - s p l i n e 曲线存在以下缺陷： 首先：它不能贴切地反映控制顶点的分别特点； 其次：当型值点分布不均匀时，难以获得理想的插值曲线。 对于这两种情况，可借助非均匀b s p li n e 曲线以取得良好的效果。 ( 2 ) 准均匀b - s p l i n e 曲线 准均匀b - s p l i n e 曲线位于均匀b s p l i n e 曲线和非均匀b s p l i n e 曲线之 间。它的节点矢量在端点处重复p 次，而在中间，相邻节点之间的距离是均 匀的。例如，节点矢量为： 0 ，0 ，l ，2 ，3 ，3 ) p = 2 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，2 ，2 ，2 ，2 ) p = 4 任意给定i 和p ( 多项式的次数) 的值，节点矢量可用如下公式2 一1 3 进 行计算： f o , o j i 歹- i + 1 ，f ，p ( 2 - 1 3 ) lp i + 2 ，j p 准均匀b - s p l i n e 曲线有与b e z i e r 曲线类似的性质。通过首末端点； 首点的切矢方向是首点与第二点连线的方向，末点处的切矢方向为倒数第二 点与末点连线方向；在某个位置上，增加控制点的个数会使曲线靠近该点； 首末端点重合可形成封闭的曲线。事实上，当p = n + 1 时，它就是b e z i e r 曲 线。图2 - 4 是准均匀b - s p li n e 实例。 ( 3 ) 非均匀b - s p l i n e 曲线 非均匀b - s p l i n e 曲线是指节点不等距分布的b s p l i n e 曲线。例如： 西南科技大学硕士研究生论文第1 4 页 0 ，1 ，2 ，3 ，3 ，4 。 非均匀b - s p li n e 曲线在控制形状方面提供了更多