（工程力学专业论文）双周期热弹性平面焊接问题.pdf

摘要 摘要 双周期平面弹性问题的研究具有重要的理论意义，在岩石力学、混凝土力 学、固体力学和断裂理论中都占有重要地位，在实际工程设计中，也有着重要 的应用价值。然而由于数学上的困难及问题本身的难度，相关的研究却十分有 限。与此同时，现有的研究工作还没有考虑双周期平面弹性问题中温度变化这 一因素，而在实际工程中，由于不同材料之间热膨胀系数的差异，物体中必定 存在温度应力，而温度应力会对复合材料性能具有一定的影响。 双周期热弹性平面焊接问题可分为两个问题的叠加：一是考虑温度变化的 双周期夹杂问题，另一是没有温度变化的双周期焊接问题。本文首先分别研究 以上两个问题，应用热弹性平面问题的复变函数方法和分区全纯函数理论，结 合解析函数边值问题的研究成果，求得了上述问题的闭合解，作为特殊情形得 到了双周期单圆柱形夹杂时的精确解，并进一步给出一些特殊情形下的解析解， 然后再将以上两者叠加，进行综合考虑，最后根据上述理论结果进一步给出一 个具体问题的解析结果。本文的重点在理论研究上。 关键词：双周期；双周期夹杂；热弹性；平面焊接问题；复变函数方法 i i a b s t r a c t a b s t r a c t r e s e a r c ho nd o u b l yp e r i o d i ce l a s t i cp l a n ep r o b l e m sh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c ea n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nr o c km e c h a n i c s ，c o n c r e t em e c h a n i c s ，s o l i d m e c h a n i c sa n dt h et h e o r yo ff r a c t u r e i nt h ea c t u a ld e s i g no ft h ep r o je c t ，w h i c ha l s o h a sa l li m p o r t a n tv a l u e h o w e v e r , t h er e s e a r c hi sv e r yw e a k ，d u et om a t h e m a t i c a l p r o b l e m sa n dt h ed i f f i c u l t yo ft h ep r o b l e mi t s e l f a tt h es a m et i m e ，e x i s t i n gr e s e a r c h h a sn o ty e tc o n s i d e r e dd o u b l yp e r i o d i ce l a s t i cp l a n ep r o b l e m si nt h et e m p e r a t u r e c h a n g ef a c t o ri nt h ea c t u a lp r o j e c t ，d u et od i f f e r e n tc o e f f i c i e n to ft h e r m a le x p a n s i o n b e t w e e nt h em a t e r i a ld i f f e r e n c e sb e t w e e no b j e c t sm u s te x i s ti nt h et h e r m a ls t r e s s ， t e m p e r a t u r es t r e s sc o m p o s i t e sw i l lh a v es o m ei m p a c to n m a t e r i a lp e r f o r m a n c e o np l a n ew e l d i n gp r o b l e m so fd o u b l yp e r i o d i cp l a n et h e r m o e l a s t i c i t yc a nb ed i v i d e d i n t ot w oi s s u e s ：f i r s t ，c o n s i d e rt h et e m p e r a t u r eo fd o u b l yp e r i o d i ci n c l u s i o np r o b l e m ， a n dt h eo t h e ri st h ew e l d i n gi s s u e sw i t h o u tt e m p e r a t u r ec h a n g e t h i sa r t i c l ef i r s t s t u d i e dt h ei s s u ef o rm o r et h a nt w o ，b yt h ea p p l i c a t i o no ft h ec o m p l e xf u n c t i o n m e t h o da n dd i s t r i c t w i d ef u n c t i o no fp u r et h e o r y , c o m b i n e dw i t ht h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o ra n a l y t i cf u n c t i o n s ，t h ea b o v e m e n t i o n e di s s u e sc l o s e ds o l u t i o ni sd e r i v e d ， t h e n ，a sas p e c i a lc a s e ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o ni sg i v e nf o rd o u b l yp e r i o d i c s i n g l e c y l i n d e ri n c l u s i o ni s s u e a n dt h e ns u p e r i m p o s e do v e rt h et w o ，t a k e nt o g e t h e r , a c c o r d i n g t of i n a lr e s u l t so ft h ea b o v e m e n t i o n e dt h e o r i e sa r eg i v e naf u r t h e ra n a l y s i s o ft h er e s u l t so fs p e c i f i ci s s u e s t h i sa r t i c l ef o c u s e so nt h e o r e t i c a lr e s e a r c h k e yw o r d s ：d o u b l yp e r i o d i cd i s t r i b u t i o n ；d o u b l yp e r i o d i ci n c l u s i o n ；t h e r m o e l a s t i c i t y ；p l a n e e l a s t i c i t y ；c o m p l e xv a r i a b l em e t h o d 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：张明显签字日期： 腑年，月j ，e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：獗明星 导师签名( 手写) ：南南压 签字日期：坳够年7 月弓同 签字日期：湔年i p 月哆日 第1 章绪论 1 1 论文的研究背景 第1 章绪论 双周期平面弹性问题的研究具有重要的理论意义，在岩石力学、混凝土力 学、固体力学和断裂理论中都占有重要地位，在实际工程设计中，也有着重要的 应用价值。然而由于数学上的困难及问题本身的难度，相关的研究却十分有限。 与此同时，现有的研究工作还没有考虑双周期平面弹性问题中温度变化这一因 素，而在实际工程中，由于不同材料之间热膨胀系数的差异，物体中必定存在温 度应力，而温度应力会对复合材料性能具有一定的影响。并且，在航空航天等现 代工业和机械工程中，有许多与温度有关的问题，非均匀温度场的热弹性问题显 得日趋重要，所以，在研究弹性理论中的双周期问题时有必要考虑温度这一因素。 1 2 国内外有关双周期平面问题的研究综述 在国外，1 9 6 0 年，k o i t e r n l 研究了双周期基本胞腔中仅含一个孔洞的第一 基本问题。随后( 1 9 7 2 年) ，f i l s h t i n s k y 2 1 对基本胞腔中含若干个孔洞的双周期 平面问题进行了研究。下面我们主要看一下国内的研究情况。 1 9 8 6 年，路见可u 1 进一步给出了含空洞或裂纹的双周期平面弹性问题的两 个复应力函数的一般表达式，这样就给求解双周期的第一和第二基本问题提供了 数学依据。在此基础上，国内其他学者做了很多研究，也取得了丰硕的成果。 1 9 8 8 年，郑可“5 1 研究了单一材料具双周期分布孔洞或裂纹的平面弹性第 一、第二基本问题。他首先建立复应力函数的一般表达式，然后把寻求复应力函 数的问题归结为求解一唯一可解的地二类f r e d h o l m 积分方程，从而完全解决了基 本周期胞腔含任意形状的孔洞的一般情况下的第一，第二基本问题。 1 9 9 0 年，李星6 1 讨论了双周期基本胞腔中既含若干个任意形状孔洞，又具 若干条任意形状裂缝的平面弹性基本问题，将求解弹性平衡问题转化为寻求复应 力函数的问题，更进一步地应用推广的1 1 1cpmah 变换方法，这样又将寻求复 势的问题归结为求解正则的奇异积分方程，并证明了其解存在且唯一。 第1 章绪论 1 9 9 1 年，李星 1 讨论了各向同性弹性平面中的双周期焊接问题。他根据复 变函数方法，对此类问题建立了数学模型，进而化为r i e m a n n 边值问题，并得到 了问题的闭合解。 1 9 9 1 年，李星昭1 讨论了具双周期任意形状孔洞的不同材料弹性平面焊接的 第二基本问题。他弓i 进函数北) = j 一南_ 2 z 寺一寺 ，构造了推广的 cpmah 变换，将问题归结为求解正则的奇异积分方程，并证明了其解存在且 唯一。所用方法简单，直观，而且由于是构造的，因而有利于具体的数值求解。 1 9 9 2 年，李正兴、李星四1 讨论了具相对位移的双周期平面弹性第二基本问 题。他们给出了基本问题的三种提法，多连通弹性区域的各个闭边界线上给出的 位移只是相对的，且允许各有一个不同的刚性移动。采用复变函数方法，构造了 复应力函数的形式，将提法二归结为正则型的奇异积分方程，同时给出了求解方 法。最后给出了一个特例，并绘制了应力曲线图。 1 9 9 2 年，李星u 0 1 讨论了三维各向同性不同材料带双周期孔洞的弹性焊接混 合边值问题。他将三维应力系统分解为线性独立的两组二维应力系统，然后把复 应力函数用于推广的cpm ah 方法，把寻求复应力函数的问题归结为求解正 则型奇异积分方程，并证明了解存在且唯一，由于所以方法是构造的，故有利于 数值计算。 1 9 9 3 年，李星n 讨论了双周期胞腔中含若干个任意形状裂纹的不同材料的 弹性平面焊接问题，根据路见可的方法，对这类弹性平面问题建立起了数学模型， 将求解弹性平面问题化归为寻求复应力函数的问题，并把路见可给出的复a i r y 的函数用于推广的i l icpm ah 方法，更进一步地将寻求复应力函数的问题归结 为求解正则型奇异积分方程，最后证明了其解存在且唯一。 1 9 9 4 年，李星2 1 讨论了双周期胞腔中含若干个任意形状孔洞的不同材料的 弹性平面焊接问题。根据路见可的方法，对这类弹性平面问题建立了数学模型， 将求解弹性平面问题化归为寻求复应力函数所满足的边值问题，然后运用推广的 h icpmah 方法，更进一步的归结为求解某种正则型奇异积分方程，最后证明 了其解存在且唯一。 1 9 9 7 年，郑可3 1 研究了双周期平面弹性混合问题。他用复变函数方法讨 2 第1 章绪论 论了带双周期分布孑l 洞和带双周期分布裂缝的无限弹性平面的混合边值问题。给 出了这类问题的正确提法。把寻求复应力函数的问题分别归结为求解某种 f r e d h o l m 积分方程和某种正则型奇异积分方程组，证明了解存在且唯一。 2 0 0 4 年，徐耀玲、蒋持平1 4 1 讨论了双周期圆截面纤维复合材料平面问题的 解析法。他们结合双准周期r i e m a n n 边值问题理论与e s h e l b y 等效央杂原理，为 双周期圆截面纤维复合材料平面问题发展了一个实用有效的解析方法，获得了问 题的全场级数解并与有限元结果进行了比较。该方法为非均匀材料的力学性质分 析和复合材料等新材料的微结构设计提供了一个有效的计算工具，也可用来评估 有限元等数值与近似方法的精度。 2 0 0 5 年，彭南陵、王敏中5 1 讨论了具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复 势。他们讨论了针对调和变温场的热弹性平面问题的复变函数方法，给出了受调 和变温时有限多连通与中复势的一般表达式。然后基于已知实部的双周期解析函 数及原函数的表示和多值性分析，导出了双周期和变温下具有双周期分布孔洞物 体平面弹性问题的两个复势函数的一般公式，并分离出了其中的多值部分与非周 期部分，从而为双周期热弹性平面问题的进一步研究提供了理论基础。最后又论 证了两种特殊情形下物体的温度应力为零。， 2 0 0 5 年，刘又文、王明斌、方棋洪1 们讨论了双周期分布圆形弹性夹杂平面 热弹性问题。他们研究了含双周期分布圆形弹性夹杂的无限弹性平面在均匀拉伸 和均匀温变下的弹性响应问题运用i s i d a 的区域单元法和复势函数的级数展开 技术，将问题转化为线性方程组的求解数值结果表明：相邻夹杂间距过大或过 小都不利于减小界面应力，当相邻夹杂中心间距与夹杂半径之比为2 2 2 8 时， 界面剪切应力与环向应力的极大值最小：比值为2 5 3 5 时，界面最大径向应力 值最小：并且该比值范围不随两相材料弹性模量之比和热膨胀系数之比而变化。 该文所得结论，对于复合材料的设计具有一定参考价值。 2 0 0 6 年，徐耀玲，蒋持平1 7 1 讨论了双周期圆柱形压电夹杂反平面问题的精 确解及其应用。他们研究了无限压电介质中双周期圆柱形压电夹杂反平面问题。 借鉴e s h e l b y 等效夹杂原理，通过引入双周期非均匀本征应变和本征电场，构造 了一个与原问题等价的均匀介质双周期本征应变和本征电场问题。利用双准周期 r i e m a n n 边值问题理论，获得了夹杂内外严格的电弹性解。作为压电纤维复合材 3 第1 章绪论 料的一个重要模型，预测了压电纤维复合材料的有效电弹性模量。 在航空航天等现代化工业和机械工程中，有许多与温度有关的问题，非均匀 温度场的热弹性问题同趋重要。关于热弹性理论，v e r r u i j t 跗证明了通解的完备 性，后来青春炳和王敏中n 9 1 又给出了热弹性通解完备性的一个新证明，此外， s c h i a v o n e 和t a i t 眨0 1 讨论过板的热效应。2 0 0 2 年2 月，刘杰、盖秉政眨利用复 变函数方法，分析了在二维半无限弹性平面附近施加稳态温度场条件下的圆形腔 孔表面的动态热应力分布问题，得到了汉克函数表示的此问题的解析解，给出了 相应的数值结果并进行了讨论。 1 3 论文的研究意义及其研究内容 1 3 1 论文的研究意义 弹性理论中的双周期问题的研究，在固体力学和断裂理论中都占有重要地 位，同时，在实际工程设计中，也有着重要的应用价值。但是，现有的研究工作 还没有考虑周期平面弹性问题中温度变化这一因素，而在实际工程中，特别是对 于含双周期分布柱状夹杂的复合材料，由于不同材料之间热膨胀系数的差异，物 体中必定存在温度应力而对复合材料性能具有一定影响。因而考虑温度的影响具 有极其重要的意义，具有研究的价值。 1 3 2 论文的研究内容 双周期热弹性平面焊接问题可分为两个问题的叠加：一是考虑温度变化的双 周期夹杂问题，另一是没有温度变化的双周期焊接问题。我们将首先分别研究以 上两个问题，并进一步给出一些特殊情形下的解析解，然后再将以上两者叠加， 进行综合考虑，最后根据上述理论结果进一步给出一个具体问题的解析结果。本 文的重点在理论研究上。 本论文针对双周期热弹性平面焊接问题进行研究，主要包括以下内容： 第一章“绪论归纳了弹性理论中的双周期平面问题的研究现状，论述了 本论文的研究意义，并说明了本论文的组成结构； 4 第l 章绪论 第二章“复变函数方法简单论述了本论文所要用的复变函数方法； 第三章“具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势应用复变函数的方 法，论述了具有孔洞的双周期热弹性平面问题的两个复势函数的一般表达式； 第四章“具有双周期分布柱状央杂物体的均匀变温问题”则应用热弹性平 面问题的复变函数方法和分区全纯函数理论，结合解析函数边值问题的研究成 果，求得了上述问题的闭合解，作为特殊情形得到了双周期单圆柱形夹杂时的精 确解； 第五章“不考虑温度效应时的双周期焊接问题”则应用复变函数方法和分 区全纯函数理论，结合解析函数边值问题的研究成果，求得了上述问题的闭合解， 作为特殊情形得到了双周期单圆柱形夹杂时的精确解； 第六章“考虑温度效应时的双周期焊接问题 则将以上两者叠加，进行综 合考虑，并给出了双周期单圆柱夹杂焊接问题的精确解，数值结果揭示了这类非 均匀材料力学性质随微结构参数变化的规律； 第七章“结论与展望 总结概括本论文完成的工作和研究价值，为完善和 发展弹性理论中的双周期问题的研究提出展望。 5 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 基于弹性理论的相关知识，本章概括的阐述了应力函数、应力、位移和边 界条件的复变函数表示，并介绍了考虑温度应力的平面弹性复变函数方法，为 后面的研究提供了理论基础。 2 1 应力函数的复变函数表示 在平面问题中，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数u ，它可以用复 变量z = x + i y 的两个解析函数缈( z ) 和v ( z ) 表示为( 见 5 0 3 ) ： u = r e 动( z ) + z ( z ) 】 ( 2 1 ) 其中r e 的意思是取“实部，z 表示z 的共轭x 一y ，少( z ) = z ( z ) 2 2 应力和位移的复变函数表示 假设不计体力，则应力分量吒，q ，勺与复变函数缈( z ) ， f ，( z ) 之间有关系式 ( 见 5 0 ) ： q + q = 2 伊( z ) + 伊( z ) 】= 4 r e f p ( z ) ( 2 2 ) q 一吒+ 2 f = 2 z c p ”( z ) + 沙( z ) 】 ( 2 3 ) 公式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 就是应力分量的复变函数表示。只要已知缈( z ) 和v ( z ) ， 就可以把公式( 2 3 ) 右边的实部和虚部分开，由虚部得到，由实部得到 o y q ，再利用公式( 2 2 ) 便可确定应力分量q 和q 。 对于平面应力问题，位移分量u 、1 ，与复变函数伊( z ) 、v ( z ) 之间有关系式( 见 6 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 5 0 ) ： 南( m ) = 等贴心而一雨 ( 2 4 ) 此即位移分量的复变函数表示，其中e 、分别为材料的弹性模量和泊松 比。如果己知伊( z ) 和少( z ) ，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得到“和 对于平面应变情况，须将该式中的e 改为f ，改为南。 2 3 边界条件的复变函数表示 设曲线a b 代表任一段边界，且从么点沿边界曲线a b 至曰点的走向为边界 正走向，而s 是从边界上彳点沿边界a b 到b 点量取的弧长。则有： x + i y = 一伊( z ) + z 缈( z ) + ( z ) 碍 ( 2 5 ) m = r e - z z q o ( z ) + z ( z ) 一矽( z ) 蟹 ( 2 6 ) 其中x 和】，是边界曲线a b 上面力的合力，m 是a b 段上面力对原点0 的合 力偶矩。公式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 就是应力边界条件的复变函数表示。 平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示为 南( 醵例= 若北h 雨一而】， ( 2 7 ) 对于平面应变情况，须将该式中的e 改为_ 笔，t 改为l 。 l 一。1 一t 2 4 考虑温度应力的平面弹性复变函数方法 7 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 命弹性体内各点的变温为t ( x ，y ，z ) ，即后一时刻的温度减去日可一时亥u 的温 度，以升温为正，降温为负，则物理方程为： = 扣1 一i t ( o y - i - o 川+ a t= 半。 = i 阢一，：) 】7 蟮= 半o ： 上 。 止 。= 扣叫吒训m 丁比= 半k t = * 叫吒+ o - y ) 埘= 半 ( 2 8 ) 其中口为弹性体的线膨胀系数。 对于平面应力问题有： 哎= 0 ，= 0 ，k = 0 ，t = 丁( 五y ) ( 2 9 ) 则由( 2 8 ) 得热弹性力学的物理方程： = 去( 吒一q ) + 口丁，q = 面1 ( q 一吒) + 口丁，= 塑笔盟 ( 2 1 0 ) 几何方程仍为： ：i o u ，s ，：宴，：呈+ i o u (“11)cx z2 i s y 2 i 2i + i l 0 x 钟 o ) c 钟 形变相容方程为： 氅+ 堡：盟 ( 2 1 2 ) 却2 。苏2苏咖 无体力时的平衡微分方程为： 堡+ 笠：o ，堡+ 堡：o ( 2 1 3 ) 出 砂砂0 x 下面按应力求解。将热弹性物理方程( 2 1 0 ) 代入形变相容方程( 2 1 2 ) 得 导c 竿埘，+ - 丽a 2c 竿埘，= 去c 半，( 2 1 4 a ， 8 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 再利用平衡微分方程，将( 2 1 3 ) 的第一式及第二式分别对x 、y 求导，然 后相加，得 2 鱼：一婆t a 2 了0 y ( 2 1 4 b ) 苏巩t g x 2却2 将( 2 1 4 b ) 代入( 2 1 4 a ) 得相容方程： v 2 ( 吒+ q ) + e 口v 2 丁= 0 ( 2 1 5 ) 其柑= 等芬。 此外，对于无体力时的平衡微分方程( 2 1 3 ) 可引入a i r y 应力函数u ( x ，j ，) ， 则有： 吒= 害，q = 可0 2 u ，= 一丽0 2 u ( 2 1 6 ) 吒2 萨 q 5 可2 一瓦万 屺j 叫 将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 5 ) ，就得用应力函数表示的相容方程： v 4 u + e a r 2 t = 0( 2 1 7 ) 对于无热源的平面稳定温度场t ( x ，y ) ，由于其满足调和方程【注：热传导 微分方程为：o _ t 一三v z 丁：里，其中r ：丁( x ，少，z ，) 为物体内各点的温度，形 讲 c pc p 为热源强度，户是物体的密度，c 是比热容，旯为导热系数，v 2 = 兰3 x 2 + 嘉+ 竺a z 2 。 无热源则：，稳定温度场则娶：，平面温度场则a _ r 0 0：0 ，从而有v 2 r ：0 】， 无热源则= ，稳定温度场则娑= ，平面温度场则= ，从而有v 2 r = 】， o t0 2 因而两个这样的温度场之差也满足调和方程，即变温丁满足v 2 t = 0 ，于是( 2 1 7 ) 简化为： 9 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 即与无温度应力时的形式一样，u ( x ，y ) 为双调和函数。 对于由两个无热源的平面稳定温度场之差引起的温度应力，注意到式 ( 2 1 8 ) 及式( 2 1 6 ) 与无温度应力时的形式一样，则有： u = r e 【印( z ) + z ( z ) 】= 去【印( z ) + z 妒( z ) + z ( z ) + z ( z ) ( 2 1 9 ) jq 也_ 2 泐i ( 力+ 些) 】- 4r e o ) ( 2 2 0 a , b ) 【q 一吼+ 2 2 2 印”( z ) + ( z ) 】 其中杪( z ) = z ( z ) ，缈( z ) 和( z ) 为复变量z = x + i y 的解析函数。 下面推导位移分量的表达式。仍考虑平面应力问题，由物理方程( 2 1 0 ) 和几何方程( 2 1 1 ) 有： e 塞= 吒一q + e 口丁= ( 吒+ 巳) 一( “) q + e 口丁 ( 2 - 2 1 a ) e 詈= 巳一q + e a t = ( 吒+ q ) 一( 1 + ) 吒+ e 口丁 ( 2 2 l b ) 丽e 瓦o v + 万o n ) = ( 2 2 1 c ) 注意到对两个无热源的平面稳定温度场之差t ( x ，y ) ，有v 2 t = 0 ，故r ( x ，y ) 为调 和函数，用f ( z ) 表示以t ( x ，y ) 为实部的解析函数，即： r e f ( z ) = 丁( x ，y ) ( 2 2 2 ) 再设 “。( x ，y ) + f u ( x ，y ) = f ( z ) d z = e ( z ) ( 2 2 3 ) 于是有： e ( z ) ：娑+ ，_ o r , = f ( z ) o xo x 再注意到c a u c h y r i e m a n n 条件便得： 1 0 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 娑：i o v ：r ( w ) ， 一= 一= f - i i ，- 叙却 7 c o u ,饥 一= 一一 o y 苏出 将( 2 2 0 a ) ，( 2 1 6 ) 及( 2 2 4 ) 代入( 2 2 1 a ，b ) 得： e 8 苏u2 眦) + 雨- ( 1 训害m 口豢o xoox ( 2 2 4 ) = 2 知z ) + 雨h 1 训害恤瓦o u , ( 2 2 5 a ) e 生o y = 2 缈( 卅雨- ( 1 训罂a y 】+ e 口娑o y - _ 2 z 知z ) 一雨】- ( 1 圳尝a y + 眈晏o y ( 2 2 5 b ) d v 将( 2 2 5 a ) ，( 2 2 5 b ) 分别对x ，y 积分，得： 眈：2 阮) + 雨】一( 1 + ) 掣o x + 眈时彳( y ) ( 2 2 6 a )一一v u e v = - 2 i 【缈( z ) 一雨】_ ( 1 + ) 掣c v + 眈v + 左( x ) ( 2 2 6 l u )厶厶u， 其中石、五为待定函数。将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 1 c ) ，并注意到( 2 1 6 ) 第三式、 ( 2 2 4 ) 第二式，得n - 一d r ( y ) ：d a ( x ) ：缈为常量 鲫d x 于是：彳( y ) = u o - c o y ，厶( x ) = v o + c o x ， 均为刚体位移。 不计刚体位移，由( 2 2 6 ) 得n - 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 e ( u + i v ) - 4 她) - ( 1 州( 掣o x + f 等m 帕川u ) ( 2 2 7 ) d v 二厶f ， 掣+ f 掣：2 掣：妒( 牝而+ 厕吲卅z 雨+ 而 ( 2 2 8 ) o xvo z 代入( 2 2 7 ) 得， e ( u + i v ) = ( 3 一) 妒( z ) 一( 1 + ) 【z 万可历+ 歹历 + e 口( 玑+ f u ) 最后得： 南( 川v ) = 等酢h 雨一雨+ 鲁似帆) ( 2 2 9 a ) 公式( 2 2 9 ) 是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，将e 换为 i ，换为f u i ， 口换为( 1 + ) 口得： _ = 一( “+ i v ) = ( 3 4 ) 矽( z ) 一z 妒( z ) - g ( z ) + e a ( u 。+ 肌) ( 2 2 9 b ) l + “ 综合( 2 2 9 a ) 、( 2 2 9 b ) 即： 2 g ( u + i v ) = r e ( z ) 一z 雨一一g ( z ) + 2 g a f ( z ) ( 2 3 0 ) 舯识= ( 1 + ：，口辜黧一 ( 3 竺力罩篡姿， g = 夏善j 为剪切弹性模量。 1 2 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 本章介绍文 1 5 的主要工作，该文应用复变函数方法，并基于对己知实部 的双周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析，导出了具有双周期分布孔 洞物体平面弹性i 、u j 题的两个复势烈z ) 、杪( z ) 的一般公式，分离出了其中的多值部 分与非周期部分，从而为双周期热弹性平面问题的进一步研究提供了理论基础。 3 1 受调和变温时的基本公式及有限多连通域中的复势 考虑无热源的平面稳定温度场t ( x ，y ) ，由热传导理论可知其满足调和方程 v 2 t = ( a ：+ a ；) 丁= 0 ，这样两个温度场之差也满足调和方程，即变温丁( x ，y ) ( 以 后t ( x ，y ) 均表示变温，即后一时刻温度减去前一时刻温度，以升温为正，降温 为负) 满足v 2 t = 0 而为单值调和函数。根据m u s k h e l i s h v i l i 4 2 的研究，可 引入解析函数f ( z ) 使其实部为t ( x ，y ) ，即 r e f ( z ) = t ( x ，y ) ( 3 1 a ) 再设其原函数 只( z ) = p ( z ) d z = “( x ，y ) + f v 。( x ，少) ( 3 1 b ) 然后令 u ( x ，j ，) = 甜7 ( x ，力+ a u ( 薯力， ，( 五夕) = 1 ，7 ( 工，少) + 矾u ( x ，少) ( 3 2 a ) 其中 饭= 。二，口：慧罴 组2 b ， 口为弹性体的线膨胀系数，p 为物体的泊松比，则函数吒，q ，和“，问满足 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 无变温时的平面弹性理论方程，并且甜，v 处于位移的地位。由此，若将关于 o x ，盯。，和甜，v 的问题称为“辅助问题 ，则对其便可采用通常( 无变温时) 的 复变函数方法，即有 仃。+ 仃，= 2 妒7 ( z ) + 缈( z ) 】= 4 r e d o ( z ) 仃，一仃，+ 2 i t 。= 2 z c p ”( z ) + 妙( z ) 】 2 p ( u + i v ) = 定驴( z ) 一z 缈7 ( z ) 一( z ) ( 3 3 a c ) 其中烈z ) 、( z ) 为关于z = x + i y 的两个解析函数( 称复势) ，为剪切模量，r 为 r ：j ( 3 一y ) ( 1 + y ) f o r p l a n es t r e s s ( 3 4 ) i3 4 y f o r p l a n es t r a i n 特别值得注意的是，应力仃，仃y ，在原问题与在辅助问题乃是一致的，但原问 题的位移分量“，1 ，与辅助问题的位移分量甜，y 7 不同，它们之间满足关系式 ( 3 2 a ) 。 此外，还有沿物体内弧段压上的合力公式 妒( z ) + z 歹丽+ 而】：= ，k ( 咒+ ，e ) 豳 ( 3 5 ) 注意，式中弧段乃的微元素幽上的力( x 。+ f e ) 豳指的是沿着此弧由a 到b 方 向前进时的右侧部分作用于其上的力。 图3 1 有限多连通区域示意图 f i 9 3 1t h ef i n i t em u l t i p l y c o n n e c t e dr e g i o n 现在讨论多连体的情形。设物体所占域s 由几 个互不相交的简单闭围线厶，厶，l m ，匕+ 。所 围成，其中围线l + 。包围其余诸围线( 图3 1 ) 。 气( 七= 1 ，2 ，所) 为在内边界厶内任意选取的定 1 4 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 点，l ：为在域s 中仅包含厶且不与其余边界相交的任意简单闭围线。 设以上多连体受调和变温t ( x ，y ) ，注意到在多连通域中，由式( 3 1 ) 引入的 解析函数f ( z ) 、只( z ) 可能是多值的，我们可以将其中的多值部分分离出来，并 将它们表示为 4 2 f ( z ) = 反t n ( z 一乙) + 全纯函数 ( 3 6 ) e ( z ) = 玑+ f u = z b kl n ( z - 乙) + ( 口：+ i f l k ) l n ( z 一气) + 全纯函数 ( 3 7 ) 膏= i七= i 其中毋，口：，厦均为实常数，当t ( x ，j ，) 已知时，这些实常数便是确定的a 当z 沿耳逆时针绕行一周时，由式( 3 7 ) 知 【阮+ 旭】雎= 2 万f ( 境z + + f 屏) 记号 雎表示括号内表达式当z 沿e 逆时针绕行一周时的增量a 注意到原问题的位移u + i v 是单值的，则由式( 3 2 a ) 有 再代入式( 3 8 ) ，得 【 + 加7 】瑶+ 口【甜+ 以】聪20 ( 3 8 ) 陋7 + i v7 k = _ 2 万f 瓴( 反z + 磁+ f 厦)( 七= l ；2 ，朋) ( 3 9 ) 式( 3 9 ) 表明，对多连体，辅助问题的位移甜7 + i v 可能是多值的 4 2 。由此 可推知，即便多连体所有边界上无位移约束且所受面力为零，而只受调和变温 场t ( x ，y ) 作用，仍可能产生温度应力。 不难推知满足应力单值而位移具有如式( 3 9 ) 所示多值性的两个复势为 缈( z ) = z a l n ( z z ) + 以l n ( z - z ) + 缈( z ) 扣1 扣1 ( 3 1 0 ) m 沙( z ) = 以l n ( z - z 女) + y ( z ) k = l 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 具甲 铲一等色， 儿= 一丽x , + i y k 一雨2 p a , ( 小佩肛瓮等一等( 小i f l * k ) ( 3 1 1 ) x 。+ f 圪表示作用于内边界厶上的面力主矢量，缈( z ) 和y + ( z ) 为域s 上的全纯函 斯 3 2 已知实部的双周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析 现在考察具有孔洞物体的双周期热弹性平面问题。记x y 平面内两个不同方 向基本周期为2 q 、2 哆( 均为复常数) ， f li m ( o ，) = 0 ，i m ( c 0 2 缈1 ) 0 ，其几何 意义为2q 沿实轴x 方向，且由2q 的方向逆时针转动0 万间某一角度后便为 2 哆的方向。在此平面上取定某一周期平行四边形作为基本周期平行四边形( 或 称“基本胞腔”) ，记为，其四个顶点分别为气、z 0 + 2 0 j l 、z o + 2 c o l + 2 0 9 2 、 z o 1 - 1 z o + 2u l 图3 2 基本周期平行四边形p f i 9 3 2t h ef u n d a m e n t a lp a r a l l e l o g r a mp o o 1 6 2c o2 z o + 2 0 ) 2 。p o o 的四条边 记为f = 鱼f 并以逆 记为= u ，并以逆 ，= i 时针方向为正，其余的 周期平行四边形记为 a m ，n ，( m 7 ，n 为整数) 。 设内有m 个孔洞， 其边界为三2 旦l 并 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面闯题的复势 以顺时针方向为正，l 在p m ，n ，中的双周期合同像记为l ( m ，n ) 。此外，在中 仍记气为在内边界厶内任意选取的定点，e 为仅包含厶而不与其余边界相交的 任意简单闭围线( 图3 2 ) 。 设物体受具有相同基本周期2 q 、2 哆的双周期调和变温场t ( x ，y ) 作用，且 t ( x ，y ) 可以表示为某个双周期解析函数f ( z ) 的实部( 见式( 3 1 a ) ) ，即f ( z ) 满 足 v ( z + 2 0 9 ，) = f ( z )( ，= 1 ，2 ) ( 3 1 2 ) 虽然f ( z ) 的实部t ( x ，y ) 为单值的，但其虚部却可能是多值的，我们须将f ( z ) 中 的多值部分分离出来，并保证其仍具有双周期性。经过研究得到如下表示式 f ( z ) = g ( z ) + f o ( z ) ( 3 1 3 ) 其中r ( z ) 为双周期单值解析函数，而g ( z ) 为 ( 3 1 4 ) 式中仃( ) 、f ( ) 分别为w e i e r s t r a s ss i g m a 和w e i e r s t r a s sz e t a 函数 5 1 ，满 足 嘶砌，) = - - e 2 q t ( z + $ 1 ) o ( z ) ，鬻矧z ) ( 3 1 5 ) f ( z + 2 劬) = f ( z ) + 2 r h ， 实常数反为 仇= f ( 劬) 万 鸱编一q 刁22 i 。 忍= 芴1 吼f ( z ) 比 ( z = 1 ，2 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 a ) 利用多连通域中的c a u c h y 定理并注意到f ( z ) 的单值双周期性，知有 1 7 第3 章具有孑l 洞的双周期热弹性平面问题的复势 且 ( 3 1 7 b ) 不难证明，式( 3 1 4 ) 的g ( z ) 确为实部单值、虚部多值的双周期解析函数， 【f ( z ) 】雎= g ( z ) 】4 = 2 n i b ( 尼= 1 ，2 ，聊) ( 3 1 8 ) 接下来考虑f ( z ) 的原函数e ( z ) 。首先，将式( 3 1 4 ) 的g ( z ) 积分可得 g i ( z ) = g ( z ) d z = 兰色 z l n c r ( z - z ，) 一日( z - - z j ) ) ( 3 1 9 ) j = l 它为一双准周期多值解析函数。其中日( ) 是我们定义的一个新的特殊函数，为 日c z ，= z q ( z ) d z = z + z w n ( 一言) + z + 互z 万2 + 3 z _ w l ： c 3 2 。， 式中w = 2 m 0 3 l + 2 n 缈2 ，7 表示在对整数m7 和n 7 求和时，必须删去朋= r l = 0 的项。 知式( 3 2 0 ) 的h ( z ) 为奇函数，且h ( o ) = 0 。注意h ( z ) 为一多值函数，具有 无穷多个双周期分布的多值分支点z = w ( z = 0 除外) ，且 【h ( z ) k = 2 z i w ( 3 2 1 ) 其中匕为只包含一个多值分支点z = w ( 0 ) 的简单闭围线。注意到在基本胞腔 中， 【h ( z z 纠鲇= 0 ( ，k = 1 ，2 ，聊) ( 3 2 2 ) 则由式( 3 1 9 ) 知有 【g ( z ) 】= 2 n i 最z ( 3 2 3 ) 其次，双周期单值解析函数f o ( z ) 的原函数日( z ) 可表示为 片( z ) = j f o ( z ) d z = 芝( 口：+ f 屏) l i l 仃( z z k ) + 双准周期单值解析函数 ( 3 2 4 ) 第3 章具有孔洞的双周期热弹性平面问题的复势 其中 口：+ f 屏= 刍咀e ( z ) 出 ( 3 2 5 a ) 为复常数。同样利用多连通域中的c a u c h y 定理并注意到f o ( z ) 的单值双周期性， 知其满足 ( 口：+ 锻) = 0 k = l ( 3 2 5 b ) 应用分部积分及修证的柯西公式e 5 2 1 ( 以5 - ( t - z ) 而不是以1 ( 1 一z ) 为积分核) ， 可证明有 口：+ f 群= 一i 兰( f ，z f7 ( z ) d z ( 3 2 6 ) z 死l “。女 因此口：+ 缓的值取决于f ( z ) 和异。的选取，而与乙( 后= 1 ，2 ，朋) 的选择无关。 式( 3 2 4 ) 的巧( z ) 为双准周期多值解析函数，且 露( z ) 】4 = 2 x i ( a k + f 群) ( 3 2 7 ) 最后，由式( 3 1 3 ) 、( 3 1 9 ) 和( 3