（基础数学专业论文）仿射代数正则幺半群与仿射正则幺半群概形的若干研究.pdf

摘要 仿射代数群范畴与有限生成交换约化的h o p 玳数范畴是反等价的仿射群概形范畴 与交换h o p f 代数范畴是反变同构的f a n gl i 提出的弱h o p 玳数是h o p 玳数的推广，因 此我们可以类似的定义仿射代数正则幺半群和仿射正则幺半群概形，使得这两个范畴分 别与有限生成交换约化的弱h o p f 代数范畴反等价，与交换弱h o p 玳数范畴反变同构这 就是本文的主要内容本文的整体结构如下： 第一章主要介绍了代数幺半群的概念及其性质，讨论了连通代数幺半群，正则代数 幺半群和c l i f f o r d 半群以及代数群与代数半群的一种特殊关系 第二章我们定义了仿射代数正则幺半群及其李代数，得到了弱h o p 玳数同态定理， 并且得到了仿射代数正则幺半群范畴与有限生成交换约化的弱h o p 玳数范畴是反等价 的 第三章我们介绍了仿射群概形的定义、性质以及它与h o p 玳数、代数群的关系类 似的我们定义了仿射正则幺半群概形，并且证明了仿射正则幺半群概形范畴与交换 弱h o p f 代数范畴反变同构 关键词：h o p f 代数、弱h 叩f 代数、代数半群、仿射代数正则幺半群、仿射群概 形、仿射正则幺半群概形 i a b s t r a c t 1 h ec a t e g o r yo fa f f i n ea l g e b r a i cg r o u p s i sa n t i e q u i v a l e n tt ot h ec a t e g o r yo ff i n i t e l y g e n e r a t e dc o m m l 】t a t i r er e d u c e dh o p f a l g e b r a s t h ec a t e g o r y o fa f f i n eg r o u ps c h e m e s 1 s a n t i 也o m o r p k c t ot h ec a t e g o 巧o fc o m m u t a 如eh o p fa l g e b r a s t h e w e a kh o p fa l g e b r a s p r o p o s e db yf a n g l ii sae x t e n s i o no fh o p fa l g e b r a s s ow e c a nd e f i n ea f f i n ea l g e b r a i ? r e 舢l a rm o n o i da n da f f i n er e g u l a rm o n o i ds c h e m e s i m i l a r l ys u c ht h a tt h ec a t e g o r yo f a f f i n ea l g e b r a i cr e g u l a rm o n o i di sa n t i e q u i v a l e n tt ot h ec a t e g o r yo ff i n i t e l yg e n e r a t e d c o i n i n u t a t i v er e d u c e dw e a kh o p fa l g e b r a sa n dt h ec a t e g o r yo f a f f i n er e g u l a rm o n o i d s 出m e sb 删也o m 唧t o t h ec a t e g o r yo fc o 眦u t a 曲e w e a kh 叩fa l g e b r a s 。i 。l s m em 出c o n t e n to ft h i sp a p e r i nt h i sp a p e r , t h eo v e r a l l s t r u c t u r ei sa sf o u o w s ： f i h ef i r s t 出a p t e ri n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o no fa l g e b r a i cm o n o i d 越d i t sp r o p e 哆 w ed j s a l s sc o r u l e c t e da l g e b r a i cm o n o i d ，r e g u l a ra l g e b r a i cm o n o i da n d c 艇o r ds e r n l g r o u p i n a d d i t i o n 一 i nt h es e c o n dc h a p t e rw e d e f i n et h ea f f i n ea l g e b r a i cr e g u l a rm o n o i d 狮d i t sl i e a l g e b r a w eo b t a i ns o m ew e a kh o p fa l g e b r ah o m o m o r p h i s m 龀o r e m ，趴d p r o v et h a t m ec a t e 印r yo fa f f ma l g e b r a i cm o n o i d i sa n t i - e q u a v i l e n tt oa f f i n ew e a kh 叩fa l g e b r a 1 nc h a p t e r ，w ei n t r o d u c e d t h ec o n c e p ta n dp r o p e r t yo fa f f i n eg r o u ps c h 哪e s w e 拙c u s sm er e l a 石嘶b e 柳e e n i ta n dh o p fa l g e b r a i nt h es a m ew a y , w ed e 甑ea 舳e r e m a rm o n o i ds c h e m e s w ep r o v et h a tt h ec a t e g o r y o fa f f i n er e g u l a rm o n o i ds c h e m e s l s 枷i i s o m o r p h i ct ot h ec a t e g o r y o fc o m m u t a t i v ew e a kh o p fa l g e b r a s k e vw 研d s ：h 。p fa l g e b r a , w e a kh 。p fa l g e b r a ，a l g e b r a i cs e m i g r o u p ，a 觚e a l g e 。 b r a i cr e g u l a rm o n o i d ，a f f i n eg r o u ps c h e m e ，a f 6 i i er e g u l a r m o n o i ds c h e m e 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙塑太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 海芳 签字日期： 哆 年岁月修日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝江太堂有权保留并向国家有关部门 或机构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权监 江太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传 播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 髑劣 导师签名： 签字日期：刀年岁月陟日 签字日期： 呜彳 丐其t 母 第1 章线性代数半群 1 1 定义，基本性质 代数群的研究起源于2 0 世纪5 0 年代，许多著名的数学家对其进行了深入研究代数 幺半群理论是抽象半群理论、代数几何和代数群理论的很好的交叉理论上世纪8 0 年 代起m o p h a ns p u t c h a 、l e xr e n n e r 等人对它进行了系统的研究在本章中，我们将介 绍代数半群的基本概念和基本性质，然后讨论连通幺半群和代数幺半群，主要参考文 献 6 1 1 4 1 、【1 6 1 、【1 8 1 1 2 2 在文本中，用兄表示实数集，用+ 表示正整数集，用k 表 示代数闭域 首先我们将介绍护上的z a r i s k i 拓扑【2 5 】 定义k 上钆维仿射空间护上的元素为属于k 的全部亿元组构成的集合元素 p = ( a 1 ，a 2 ，a n ) ，a t k 称为k n 的点，记为p k n 设a = k x 1 ，x 2 ，x n 是k 上他个变量的多项式环，把a 中的元素看成是礼维仿 射空间到k 的函数，定义为厂( p ) = s ( a 1 ，a 2 ，a n ) ，其中，a ，p k n 因此我们可 以讨论厂的零点集合，即z ( s ) = p k n ；s ( p ) = o ) 一般地，如果t 是a 的任一子集 合，定义丁的零点集合为t 中所有元素的公共零点的全体，即 z ( t ) = 尸k n ；f ( p ) = 0 ，对所有的，t ) - 如果是a 中由t 生成的理想，则有z ( t ) ：z ( i ) ，由a 中每个理想均有有限的 生成元集合 ，厶， ，从而z ( t ) 可表示成有限个多项式 ，厶， 的公共零点 集合 定义1 1 【2 5 】妒的子集合y 称作代数集合，是指存在子集合丁ca ，使得 y = z ( t ) 命题1 2 【2 5 1 两个代数集合的并集是代数集合任意多个代数集合的交集是代数集 合空集和整个空间妒都是代数集合 定义1 3f 2 5 】取所有代数集合的补集为护的开集，这是护的一个拓扑因为根据上 述命题，两个开集的交仍是开集，任意多个开集的并是开集，空集和整个空间均是开 集我们称妒的这个拓扑为z a r i s k i 拓扑下文中提到的护的拓扑均q 旨z a r i s k i 拓扑 设x 是k n 的闭子集，定义= ，科z 1 ，x 2 ，z n 】；s ( x ) = o ) ，k x = ke x l ，x 2 ， ， k x 称为x 的仿射代数，也称为x 的正则函数环 浙江大学硕士学位论文第1 章线性代数半群 定义1 4 【8 】设x 是拓扑空间，且对x 的任一非空开集u ，o ( u ) 是u 的后值函数 组成的结合后一代数，o ( 0 ) = o ) ，满足 ( 1 ) 如果d uc v 是开集，f o ( v ) ，则f l u o ( u ) ( 2 ) 设u 是非空开集，且有开覆盖 ，q f ，若f ：u _ k 使得对所有的q r ， 厂i o ( 睨) ，则f o ( u ) 则0 = 0 x 称为x 上的芽层函数，且x = ( x ，p ) 称为环空间此时，称p ( x ) 为x 的仿射代数 例1 1 s l 设x 是k n 的闭子集，u 是x 的非空开集，令o ( u ) = o x ( u ) = ( 咖： u k 对所有的z u ，存在u 的开子集v , x v ，以及f ，g k x 】使得g 在y 上恒 不为o ，且妒i v = f g ，则x = ( x ，p ) 是环空间，且o ( x ) = k x 】 定义1 5 设( x ，o x ) ，( y ；o v ) 均为环空间，则( v0 y ) 到( x ，o x ) 的态射包含一个 连续函数o t ：y _ x 以及七一代数态射q 钐：o x ( u ) 一p y ( y ) ，其中阢v 均是开集， u c x ，vcy ，且q ( y ) cu 定义1 6i s 设s 是同构于某个妒的闭子集的环空间，则s 称为仿射簇 注意：仿射簇的闭子集仍是仿射簇 定义1 7 设x ，y 是簇，称映射西：x _ y 是簇态射，如果对y 的任一开集v 以及 f o ( v ) ，u = - 1 ( y ) 是x 中的开集，且f 。咖o ( u ) 簇态射称为g 自0 ( d o m i n a n t ) ，如果( x ) = y 注意：( 1 ) 簇态射限制在其子簇上仍然是簇态射 ( 2 ) 设x ，y 是簇，玩( f ) 是x 的开覆盖，则映射矽：x _ y 是簇态射的充要条 件是对所有的q f ，i 是簇态射 定义1 8 设s 是仿射簇，0 ：s s _ s 是簇态射，且满足对任意的a ，b ，c s ，有 0 ( 0 ( n ，6 ) ，c ) = o ( a ，o ( b ，c ) ) ，则s = ( s ，0 ) 称为( 线性) 代数半群 定义1 9 设ss 7 均为代数半群，且西：s s 7 是半群态射及簇态射，则称 西：s _ s 7 是代数半群态射 定义1 1 0 设s 是半群，如果对任意的a s ，存在i z + 使得a i 属于s 的一个子 群，则称半群s 是强7 r 正则( s t r o n g l y7 r r e g u l a r ) ，简称为8 7 r r 一半群 2 浙江大学硕士学位论文第1 章线性代数半群 定义1 1 1 半群s 中的元素a 称为正则的，如果存在某个z s ，有a x a = q s 称) 0 9 - 更4 的，如果s 中的每个元素都是正则的 定义1 1 2 设s 是半群，a ，b s ，则称 ( 1 ) a 历b ，如果存在z ，y s 1 ，使得a x = b ，b y = a ，其中s 1 = su 1 ) ( 2 ) a i # b ，如果存在z ，y s 1 ，使得x a = b ，y b = a ( 3 ) 勿= 贸。髟= i f0 勿，澎= 勿n i f ( 4 ) a l b ，如果存在z ，y s 1 ，使得x a y = b ( 5 ) a # g b ，如果a l b l a ；易= x s l a 夕z ) ( 6 ) 乒知，如果a l b 夕，勿，乡，澎，9 是等价关系，统称为格林关系 下面列出一f = 列定理中出现的一些记号：设s 是半群， ( 1 ) e ( s ) = e ee 2 = e ) ，设j 是s 的一个夕瑛，则e ( j ) = e ( s ) n j ( 2 ) 8 7 6 7 一半群的一个夕类j 称为正则的，如果e ( j ) 谚 ( 3 ) u ( s ) = jj 3 a s ，使得j = 六，且e ( j ) 乃) ( 4 ) 如果j u ( s ) ，定义一= ju o ，且对任意的a ，b j ，如果0 6 j ，则定 义aob = a b ；否则如果a b 6 j ，则定义aob = 0 ( 5 ) 半群s 称为完全0 一单的，如果s 是0 单的，且有本原幂等元 ( 6 ) 如果s 中含有极小理想m ，则称m 为s 的核 定理1 1 【5 】设s 是代数半群，则( 1 ) 3 n z + ，使得s 同构于螈( 后) 的闭子群 ( 2 ) 存在n z + ，对所有a s ，a n 属于s 的一个子群中 ( 3 ) u ( s ) = 了；3 a s ，使得j = 乒，x e ( j ) 历) 是有限的 ( 4 ) 如果j u ( s ) ，则j 。是完全0 单的 定理1 2 【5 】设s 是连通半群，则( 1 ) u ( s ) 是有限半格( 2 ) u ( s ) 中极大链的长度= e ( s 1 中极大链的长度 1 2 连通半群 定义1 1 3 【6 】设s 是k 上的代数半群，若s 作为闭子集是不可约的( 不能写成两个真 闭子集的并集) ，则称s 是k 上的连通半群 3v 浙江大学硕士学位论文第1 章线性代数半群 定理1 3 【1 2 】设s 是连通半群，则以下条件是等价的：( 1 ) e ( s ) 是有限的( 2 ) e ( s ) 是交换的( 3 ) e ( s ) c ( s ) 定理1 4 【1 6 l 设s 是连通幺半群，其单位群为g ，如果e ，e ( s ) ，则e 夕，的充要 条件是对某个z g ，x - i e x = 厂，并且集合 z 一1 e x l x g ) 对所有e e ( s ) 是闭的且是 不可约的 定理1 5 【1 6 】设s 是连通幺半群，其单位群为g ，a ，b s ，e e ( s ) ，且b 是正则的则 ( 1 ) a j b 对某个z ，y g ，x a y = b ( 2 ) 物6 兮对某个z g ，a x = b ( 3 ) n z 6 对某个z g ，x a = b ( 4 ) o 形6 对某个z g ，e z = x e = a 定理1 6 【1 6 】设s 是连通幺半群，且 ，如u ( s ) 使得山如，则( 1 ) 对所有的 e 1 e ( ) ，存在e 2 e ( j 2 ) ，使得e 1 e 2 ( 2 ) 对所有的e 2 e ( 如) ，存在e 1 e ( ) ，使得e 1 e 2 卫 注意：定理1 8 中，( 1 ) 对于抽象半群也成立，而( 2 ) 即使对于连通正则半群也不一定成 定理1 7 【5 】设s 是连通幺半群，其单位群为g ，则对所有的e e ( s ) ，( e ) 是 连通群 定理1 8 【1 1 1 设s 是连通幺半群，且对所有的，e ( s ) ，集合 e e ( s ) l e ，) 是有限的，则s 是阿基米德半群的半格 1 3 正则线性代数幺半群和l c l i f f o r d 半群 定义1 1 4 【5 】设s 是连通群，则s 称为半单( s e m i s i m p l e ) 的，如果s 没有闭连通的 非 1 ) 的正规可解子群 定义1 1 5 【5 l 设s 是连通群，则s 称为筒约( r e d u c t i v e ) 的，如果s 没有闭连通的非 1 ) 的正规幂幺( n o r m a lu n i p o t e n t ) 子群 定理1 9 【6 】设s 是有零元的连通代数幺半群，其单位群为g ，若g 是简约的4 = ks 是正则幺半群 4 浙江大学硕士学位论文第1 章线性代数半群 定义1 1 6 半群s 称为c l i f f o r d 半群，如果它是正则半群，并且s 的所有幂等元都属 于s 的中心c ( s ) 定理1 1 0 1 3 】设s 是连通c l i 怕r d 半群，e ( s ) ，则集合 e l e e ( s ) ，e ，) 是有 限的 定理1 1 1 【5 】设s 是连i 亟c l i f f o r d 半群，且核为m ，则以下命题等价：( 1 ) s 的每个 一类d 是交换的( 2 ) m 是交换的( 3 ) s 是交换的 定理1 1 2 【1 l 】， 1 3 】设s 是连通正则幺半群，则以下命题等价： ( 1 ) 对所有的，e ( s ) ，则集合 e l e e ( s ) ，e ，) 是有限的 ( 2 ) s 是c l i f f o r d 半群 对连通正则半群而言，上述定理是不成立的 定义1 1 7 【1 3 】正则半群s 的所有幂等元交换，则称s 为可逆半群 定理1 1 3 【1 3 】设s 是连通半群，则以下三个命题等价： ( 1 ) s , q 己c l i f f o r d 半群使得s 的核是群 ( 2 ) s 是可逆半群 ( 3 ) s 是群的半格( s e m i l a t t i c eo fg r o u p s ) 定理1 1 4 1 3 】设s 是有零元的连通半群，则以下命题等价： ( 1 ) s 是c l i f f o r d 半群 ( 2 ) 3 n z + 使得s 是同构于( k n ，) 的一个闭子幺半群 定理1 1 5 【1 8 】设s 是螈( 七) 的闭连通c l i f 硒r d 子幺半群，则对所有的e ，e ( s ) ，e f 的特征值是0 或1 对螈( 七) 的连通c l i 怕r d 半群而言，上述定理是不成立的 定理1 1 6 【5 】设s 是连通正则幺半群，则下列命题等价： ( 1 ) s 是c l i f f o r d 半群 ( 2 ) u ( s ) 是相对补充的( r e l a t i v e l yc o m p l e m e n t e d ) ( 3 ) 对所有的厂e ( s ) ，集合 e e ( s ) ，e 厂) 是有限的 注意：若s 是连通正则半群，则有( 4 ) 令( i ) 号( 3 ) 号( 2 ) 其余未必成立 5 浙江大学硕士学位论文第1 章线性代数半群 1 4 代数幺半群与代数群的一种关系 1 4 】 定理1 1 7 设g 是代数闭域上的连通代数群，则下列命题等价： ( 1 ) g 是某个代数幺半群的单位群，且此代数幺半群是不等于g 的连通集 ( 2 ) g 是某个非平凡的代数幺半群的单位群，且此代数幺半群是含有零元的不可约 集 ( 3 ) g 有非平凡的特征( 即到g m 的同态) ，其中g 仇指代乘法群 定理1 1 8 设g 是代数闭域上的代数群，则下列命题等价： ( 1 ) g 是某个不等于g 代数幺半群的稠密子群 ( 2 ) g 是某个非平凡的代数幺半群的单位群，且此代数幺半群是含有零元的连通集 ( 3 ) g 有无限阶的特征( 即到g m 的满同态) 6 第2 章仿射代数正则幺半群 2 1 仿射代数群 定义2 1 【1 】设a 是交换七一代数，则所有从a 到k 的一切k 代数态射组成的集合 x a = m k ( a ，k ) 称为仿射七一簇这里定义的仿射七一簇与第一章中定义的仿射簇是不一样 的，只是沿用文献中的定义 特别地， - 3a 是有限生成一代数时，则称x ，4 为仿射代数七一簇 定义2 2 【1 】设aj e 7 是交换后一代数，且u ：a _ b 是k 代数态射，则映射 心：x b _ x a zhz0u v 奎x b 称为仿射忍簇态射 定义2 3 【1 】设a 是交换一代数，记a 的所有幂零元组成的集合n i la = ， a ；存在自然数n 使得广= o ) 若住订a = o ) ，则称a 是约化的 命题2 4 【1 】记k ( ，托) 为从仿射忌一簇x s 到仿射k - , i ) c a 的所有态射组成的集 合当a 是有限生成k 一代数，且是约化的，v 七( x a ，k ) 笺a ，并且对应 ：ah 托= m k ( a ，k ) 矽：托hk ( 托，k ) 说明有限生成交换约化七一代数范畴与仿射代数七一簇范畴是反等价的 定理2 1 【1 】设a ，b 是尼一代数，则m k ( a ，k ) 尥( b ，k ) 垒m k ( aob ，七) 定义2 5 1 1 有限生成交换约化七一代数称为仿射k 代数设是仿射忌代数a 的理 想，u ：a _ a l = a 7 ，则：托，_ x a 是单射，因而可认为y ( ) = 托，是托的子 集取a 的所有理想的y ( a 1 为x a 的闭集，这是x a 的一个拓扑 定义2 6 【1 】设日是仿射七一代数，若g = m k ( h ，k ) 具有一个群结构且映射 1 7 z g ：g g g ( z ，y ) 卜z y 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 i a ：g_g zhz 一1其中z z 一1 = x x 一1 = e 是仿射七一簇态射，则称g 为仿射代数七一群 定义2 7 设日是仿射忌一代数，且g = 尥( 日，k ) 具有一个正则幺半群结构若 m ：g g _ g ( z ，y ) 卜z 秒 t o ：g_g zhz 7 ，其中z 7 是集合k = z 7 g ；z z 7 z = z ，x l x x 7 = z 7 中的一个固定元素 是仿射七一簇态射，则称g 为仿射代数七一正则幺半群 2 2 弱h o p f 代数概要介绍 h o p 玳数是4 0 年代初，h h o p f - 在r d f 究拓扑群时引进的d r i n f e l d 在1 9 8 6 年国际数学 家大会上作了一个报告”量子群”，从而把h o p 玳数与具有深刻物理背景的量子群联系 起来现在，h o p 玳数已经成为数学家和物理学家共同关心的研究对象，这一方面在于 它是一类十分广泛的代数系统，涵盖了群代数，l i e 代数的包络代数等多种结构；另一 方面在于它与众多其他领域有着密切的联系，如代数几何中的仿射群概型( a f f i n eg r o u p s c h e m e s ) 、代数表示论、代数群以及量子群等2 0 世幺b 9 0 年代f a n gl i 提出了弱h o p f 代数 的概念，它是h o p f 代数的一种推广，在量子y a n g b a x t e r 方程等方面有重要应用 在本节中我们简要介绍一些弱h o p f 代数的基本概念和基本性质 定义2 8 【1 7 】设( 日，m ，乱，a ，) 是双代数我们称自同态映射s e n d 七( 日) 是双代数 日的对极，如果有 s z d 日= i d i - i s = 卵oe 定义2 9 【17 】我们称有对极的双代数为h o p f 代数 设日和b 是h o p 玳数，对极分别为翰和我们称双代数态射，：h _ b 是h o p f 代数态射，如果有厂= ， 定义2 1 0 【3 】设日为双代数，如果存在t e n d 七( 日) ，使得i d t 埘= d ，且 t i d t = t ，则称h 为弱h o p f 4 j i c - 数，其中t 称为弱对极 8 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 设日和b 是弱h o p f 代数，弱对极分别为而和我们称双代数态射f ：h _ b 是弱h 叩玳数态射，如果有码厂= 厂乃 定义2 1 1 设h 是弱h o p 玳数，如果h 作为代数是仿射代数，则称日是仿射 弱h o p f 代数 定义2 1 2 【3 】设是代数h 的理想，若d i m 驯 o 。，则称是h 的有限余维理 想记h 。= ，h + ：k e r f 包e g h 的一个有限余维理想) 当h 是有限维时，日。：日 定理2 2 【3 】设h = ( h ，m ，u ，t ) 是弱h o p f 代数，且对任意的o ，b h ，t ( a b ) = t ( b ) t ( a ) ，则h 。= ( h 。，a + ，矿，m + ，“+ ，t + ) 也是弱h o p 玳数，t + 为弱对极 命题2 1 3 设h 是弱h 叩f 代数，a 是交换代数，则日到a 的代数态射集a l g ( h ，a ) 是h o m ( h ，a ) 的子正则幺半群 证明： 显然u a 日是日一a 的代数态射，且是a l g ( h ，a ) 的幺元 设，g a l g ( h ，a ) ，t 是弱对极，对任意的z ，y h ( ，9 ) ( z 可) = ，( z ( 1 ) ( 1 ) ) 夕( z ( 2 ) 秒( 2 ) ) 缸) ( ! ，) = ，( z ( 1 ) ) 舳( 1 ) ) 夕( z ( 2 ) ) 夕( y ( 2 ) ) 0 ) ( 可) = ，( z ( 1 ) ) 夕( z ( 2 ) ) m ( 1 ) ) 9 ( 耖( 2 ) ) ) ( 可) = ( f 夕) ( z ) ( f g ) ( y ) ( 厂fot ，) ( z ) f ( x ( 1 1 ) ) ，( r ( z ( 1 2 ) ) ) ，( z ( 2 ) ) ( 。) ( z ( 1 ) ) ，( z ( 1 1 ) t ( z ( 1 2 ) ) z ( 2 ) ) ( 。) ( z ( 1 ) ) = ，( z ( 1 1 ) t ( z ( 1 2 ) ) z ( 2 ) ) ( z ) ( z ( 1 ) ) = f ( x ) 因此， f 厂。t ，= f ，同理f ot 厂厂ot = 厂o7 所以，a l g ( h ，a ) 是h o m ( h ，a ) 的子正则幺半群。证毕 9 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 定义2 1 4 假定h 是弱h o p f 代数，是日的作为代数的理想，设 ( 1 ) ( ) ho + o h ( 2 ) e ( ) = 0 ( 3 ) t ( ) 则我们称为h 的双理想，如果满足( 1 ) 和( 2 ) 称为h 的弱h o p f 理想，如果满足( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 在文献【2 3 1 中，任北上利用h o p 玳数的基本研究方法，讨论了在h o p 玳数同态下有 关商h 叩玳数的性质，并且研究t h o p f f 弋数同态的一些性质下面的定理2 3 2 5 则是类 似的讨论有关商弱h 叩玳数的性质以及弱h o p 玳数同态的一些性质 定理2 3 设g ，嚣，n 都是弱h 叩玳数，而f ：g _ 日，9 ：g _ n 为弱h 叩玳 数同态，如果g 是满射，且k e r ( g ) gk e r ( f ) ，那么存在唯一的弱h 叩玳数同态 h ：n 一日，使得h g = f 证明： 首先，存在唯一的七一线性映射h ：n _ 日，使得h g = f 又由于9 是满射，对任意的佗1 ，n 2 n ，存在夕1 ，夕2 g ，使得n 1 = 夕( 夕1 ) ，1 5 2 = g ( 9 2 ) ，因而 h ( n l n 2 ) =h ( g ( 9 1 ) g ( g j ) = 九夕( 夕1 9 2 ) ，( 夕1 耽) = f ( 9 1 ) f ( 夕2 ) h g ( 9 1 ) h g ( 9 2 ) = h ( n j h ( n e ) 所以h 是代数态射 利用余代数态射的定义， a h h g = a h f = ( fof ) a g = ( h goh g ) a g = ( ho 尼) ( 夕。夕) g = ( hoh ) a g g 由g 是满射，得a 日h = ( hoh ) a 又e h h g = 胃，= g = e n g ， 所以e h h = 1 0 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 性 因此h 是余代数态射 最后h g = t f = h 9 r t c = h t n g ， 因而而h = ，z 野 所以h 是弱h o p 玳数同态，且由线性映射的唯一性可得到弱h 叩玳数态射的唯一 证毕 定理2 4 设g ，h ，n 都是弱h o p 玳数，而，：g _ h ，h ：n 一日为弱h 叩玳数同 态，如果h 是单射，且i m ( f ) i r a ( h ) ，则存在唯一的弱h o p 玳数同态g ：g _ ，使 得h g = f 性 证明：首先，存在唯一的线性映射g ：g _ ，使得的= ， 由于f ，h 是代数态射，故对任意的9 1 ，9 2 g ， h ( g ( g 1 9 2 ) ) = f ( g 1 9 2 ) = ，( 夕1 ) ，渤) = h g ( 9 1 ) h g ( 9 2 ) = h ( g ( 9 1 ) g ( 9 2 ) ) 由于h 是单射，所以夕( 夕1 9 2 ) = 9 ( 夕1 ) 夕( 夕2 ) 即g 是代数态射又 ( h0h ) a g g = a h h g = a f = ( f o f ) a c = ( ho 九) 0og ) a v 由h 是单射，得a n g = ( gog ) a v 又e n g = e h h g = h f = c g 所以g 是余代数态射 又的t c = ，殆= 霸，= 殇h g = h t n g ， 即夕殆= 甄g 所以夕是弱h o p f 代数态射，且由线性映射的唯一性可得到弱h o p 代数态射的唯一 证毕 1 1 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 定理2 5 设日，l 是弱h 叩f 代数，妒：h _ l 是弱h 叩玳数态射，是日的 弱h 叩f 理想，且7 r ：日_ h i l l 是正则态射，则 ( 1 ) k e r 妒= ( z h ：垆( z ) = o ) 是h 的弱h o p f 理想 ( 2 ) h 有唯一的弱h 叩f 代数结构，使得7 r 是弱h o p 玳数态射 ( 3 ) 对包含在k e r 妒里的弱h 叩f 理想，有唯一的弱h 叩f 代数态射：驯一l ，使得 万07 r5 妒 证明：( 1 ) k e r ( p = z 日；妒( z ) = o ) ， 任意z k e r ( p ，有妒( z ) = 0 ， 则( 妒。妒) 日( z ) = l 妒( z ) = 0 所以a h ( x ) k e r ( 妒。妒) = k e r 妒oh + h ok e r 妒， 因而a n ( k e r w ) k e r 妒oh + h ok e r c p 又e h ( x ) = l 妒( z ) = 0 ，妒j 噜( z ) = 死妒( z ) = 0 ， 所以而( z ) k e r c p ，即t n ( k e r 妒) k e r c p 综上所述，k e r c p 是h 的弱h o p 俚想 ( 2 ) 不妨设h = ( h ，m ，乱，a ，e ，t ) ，令h i = ( h f l ，m ，u ，一，t ) ， 任意a ，b h ，定义m ，( ( o + ) ( 6 + ) ) = a b + ，t t t ( 1 ) = , 4 1 ) + ， a ( a + ) = ( a l + ) o ( 0 2 + ) 7 ( 口+ ) = ( n ) ，r ( n + ) = t ( a ) + 可验证( 驯，m 7 ，让7 ，7 ，r ) 是使得7 r 是 弱h o p f 代数态射的弱h o p f 代数 如果( 驯，m 1 ，u 1 ，a 1 ，1 ，五) 是使得丌是弱h 叩玳数态射的另一弱h 叩玳数 则m l ( ( a + ) ( 6 + ) ) = m ( t c ( a ) r c ( b ) ) = m t r ( a b ) = a b + u 1 ( 1 ) = ( 丌0u ) ( 1 ) = u ( x ) + 1 ( o + ) = a 1 7 r ( o ) = ( 7 ro7 r ) ( o ) = a l + ) o ( a 2 + ) ( a ) e x ( a + ) = 1 丌( o ) = e ( n ) 乃( n + ) = 正丌( n ) = r t ( a ) = t ( a ) + 因而m 7 = m 1 ，u 7 = u 1 ，7 = 1 ，= 1 ，r = 丑 所以h 1 1 有唯一的弱h 叩玳数结构，使得7 r 是弱h 叩玳数态射 ( 3 ) 由7 r 是满射，且k e m r = k e r 妒以及定理2 3 可直接得到 证毕 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 定理2 6 ( 1 ) 设a ，b 是弱h 叩玳数，且a ，b 的弱对极均是反代数同态，妒：a b 是k 上的弱h o p 玳数同态，则妒。：b 。_ a o 也是弱h o p 础同态 ( 2 ) 设够是k 上满足弱对极是反代数同态的弱h o p 玳数的范畴，则够到它自身的反 变函子 西：够_ 够 aha 。 是自伴随的，即对够中的弱h 叩f 代数a 与b ，有自然的同构 p ：日d m 砖一日。( a ，b 。) _ h o m k 一日镏，( b ，a 。) 证明： ( 1 ) 首先，妒。是k 上的双代数态射 又妒乃= t b q 0 ，所以e 矿= 矿码，即死。矿= 妒。 所以妒。：b 。_ a 。是弱h 叩f 代数同态 ( 2 ) 给定弱h 叩玳数同态妒：a _ b ，根据( 1 ) 得到一个弱h 叩玳数同态 妒。：b 。一a 。 由k 代数的包含关系b 。cb + 导出k 余代数同态( b ) 。_ ( b 。) 。， 又k 余代数bc ( b + ) 。，因而有余代数同态 白：b _ ( b 。) 。 bh 白( 6 ) ：fh ( b ) v b b ，f b 。 ( b 。) 。的恒等元是( b 。) ，即映射v f b 。，fhf ( 1 ) ，此映射正好是3 ( 1 ) 设任意a ，b b ，b 。， ( 专日( ) 白( 6 ) ) ( 厂) = ( 白( n ) o b ( 6 ) ) 日。( ，) = fm b 0b ) = f ( a b ) = 妇( n 6 ) ( 厂) ( 码。0 矗) ( 6 ) ( 厂) = ( 白( 6 ) 码。) ( ，) = 。( 厂) ( 6 ) 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 = ，( 6 ) = ( 幻t b ) ( 6 ) ( ，) 即t b 。o 白= 白t b 所以白是弱h o p 玳数同态 最后，设妒h o m k h 叩f ( a ，b 。) ，妒h o m k 一日印f ( b ，a 。) ， 4 o ：日d m 七一h 叩，( a ，b 。) 妒 圣：h o m k 一日硝( b ，) 移 则有圣( 口( 妒) ) = q 0 , 9 ( 圣( 矽) ) = 妒 所以0 是同构证毕 h o m k 一日叩f ( b ，a 。) 妒。0 白 h o m k h 叩f ( a ，b 。) 矽。0 颤 设g 是幺半群，则k g 是k 代数，令a ( g ) = gog ，e ( 夕) = e ，则七g 有余代数结 构又，是岛代数态射，从而得到k 双代数k g k g 的对偶k 线性空间( k g ) 兰m a p ( g ，七) ，记尥( g ) = m a p ( a ，k ) 任意z ，秒，z g ，慨( g ) ，令( z ，耖) ( z ) = f ( y z x ) ，则尥( g ) 是双边后g 模设 f 尥( g ) ，则由厂生成的左k g 模，右k g 模和双边尼g 模分别记为k g f ，k f g ，k a f a 定义 7 r ：m k ( a ) o 尥( g ) _ m k ( axg ) ，圆g h7 r ( ，og ) ：( z ，y ) h 厂( z ) 夕( 秒) ，v z ，y g ，g 死( g ) 6 ：慨( g ) _ 尥( g g ) 厂h6 ( ，) ：( z ，y ) hf ( x y ) 定理2 7 【1 16 ( ，) 丌( 尥( g ) om k ( g ) ) 营d i m k g f o o 定义2 1 5 【1 】当，尥( g ) 满足条件d i mk a f 0 0 时，f 称为g 上的表示函数g 上的所有表示函数的集合记为r k ( g ) ，则r 七( g ) 是m k ( a ) 的七一子代数 1 4 浙江大学硕士学位论文第2 章仿射代数正则幺半群 定理2 8 【1 】6 ( r 恐( g ) ) c7 r ( 兄南( g ) o 瞰( g ) ) 4 a = 7 r - 1o6 ：哦( g ) j 一亿( g ) o 哦( g ) ha ( f 、 其中，a ( f ) = ) o 2 ) ，f ( x y ) = 。) ( z ) 2 ) ( 秒) ( ，)( ，) ：r k ( g ) _k hf ( e ) 则凡( g ) 是双代数 设g 是正则幺半群，任意z g ，记= z 7 g ；x x z = z ，z 7 z z = z 7 ) 命题2 1 6 设g 是正则幺半群，且对任意的z ，y g ，有k k k f ，则见( g ) 是 交换弱h 叩f 代数 证明：由g 是正则幺半群，可定义 t ：欣( g ) _ 凡( g ) ，ht ( f ) ：zhf ( x ，) 其中z 7 是k 中的一个固定元素且满足丁( ，) ( z 秒) = r ( 厂) ( 可) 丁( 厂) ( z ) 则可直接验证t ( f ) 瞰( g ) 又 ( i d r i d ) ( ，) ( z ) = f ( n ) t f 0 2 ) f c 2 ) 】( z ) ( ，) = ) ( z ) ，2 ) ( z m 2 ) ( z ) 么一。、1 ，、 ，o 、1 ，、。，o ，、一7 ( ，) = f ( x ) 所以，i d t i d ：i d 同理t 纪丁：t 又瞰( g ) 尥( g ) ，所以哦( g ) 是交换弱h o p 玳数证毕 注意：当g