（凝聚态物理专业论文）流耦合的复杂网络同步.pdf

摘要 复杂性研究是跨越各个学科的新领域，复杂网络是复杂性研究鲍一种新模型它是将具体的 系统抽象成网络，通过研究网络的特点去揭示真实系统的性质。物理学家研究复杂嘲络的终极目 杯之一是理解网络拓扑结构对物理过程的影响，网络节点动力学的同步是一项霞要的研究课题。 在一些诸如生态系统、神经网络、生命体组织等自然系统中，它们足通过不断交换信息流的作用， 各节点动力学向着共同的目标调整，最终达到同步。基于以上考虑，本文研究了网络节点之问以 互相输入流的方式进行耦台时各种不同结构网络的同步性质。 第二章。考察了最近邻羯合弼络的同步，研究表明。小觌模( 节点数较少) 的这类魍络能够 在混沌和周期态上实现精确同步在超混沌向混沌转变的临界态附近实现广义同步。第三章研究 了一类具有长程连接的规则网络的同步，发现在网络中引入长程连接能使其同步能力大为增强。 在前两章的基础上，第四章研究了更接近真实系统的小世界网络的同步，具体考察了网络的结构 以及互输入流的形式对网络同步的影响。 关键词：最近邻耦合同络，确定性小世界网络，具有长程连接的规则网络，耦合强度，精确同 步，广义同步 a b s t r a c t t h es t u d yo nt h ec o m p l e x i t yi saf l o u r i s h i n gf i e l dt h a ts p a n sav a r i e t yo fs u b j e c t s c o m p l e xn e t w o r ki san e wm o d e lf o rs t u d y i n gt h ec o m p l e x i t yo f t h er e a ls y s t e m s ，w h i c h c a nd e s c r i b et h er e a lw o r l dt h a tc o n t a i n sm a n yc o u p l e dc e l l s t h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h et e a l s y s t e m sc a nb eo b t a i n e db yi n v e s t i g a t i n gt h e s en e t w o r k s c o m p l e xn e t w o r k sa r r a c t e dm u c ha t t e n t i o no fs o m ep h y s i c i s t st 0r e v e a l e dt h e t o p o l o g yc o n f i g u r a t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gm e c h a n i s m st h a ti th o wt oi n f l u e n c et h e p h y s i c a lp r o c e s s e s t h ed y n a m i c a ls y n c h r o n i z a t i o ni nt h en e t w o r k si sa l li m p o r t a n ts u b j e c t i ns o m en a t u r a ls y s t e m ss u c ha se c o s y s t e m 、n e u r a ls y s t e m s 、l i v i n go r g a n i s m se t c ，t h e v e r t e x e sc a na c h i e v et h ed y n a m i c a ls y n c h r o n i z a t i o nb ye x c h a n g i n gt h ei n f o r m a t i o no n e a n o t h e rt oh a v et h e i rd y n a m i c sa d j u s t e dt ot h eg o a lo r b i to rs t a t e b a s e do nt h i sc o n s i d e r i n g ， w eh a v es t u d i e ds o m en e t w o r k so nt h ed y n a m i c a ls y n c h r o n i z a t i o nw h e nt h en o d e so ft h e n e t w o r ka r ec o u p l e dw i t hf l o w i nc h a p t e r2o ft h ed i s s e r e a t i o n ，w ep r e s e n tt h ed i s c u s s i o n so nt h es y n c h r o n i z a t i o ni n t h en e a r e s t - n e i g h b o rc o u p l e dd y n a m i c a ln e t w o r k i ft h es c a l eo ft h en e t w o r ki ss m a l lt h e e x a c ts y n c h r o n i z a t i o n sc a nb ea c h i e v e di nt h ec h a o t i ca n dp e r i o d i cs t a t e ，w h i l et h e g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nc a nb ea c h i e v e do n l yi nt h ec h a o t i cs t a t en e a rt h ec r i t i c a l p a r a m e t e rp o i n ta tw h i c ht h ev e r t e x sd y n a m i c sc h a n g e sf r o mh y p e r c h a o st oc h a o s i n c h a p t e r3 ，w ed i s c u s sak i n do fr e g u l a rn e t w o r k s ，w h i c hi st h o s et h a ts o m e l o n g d i s t a n c e c o n n e c t i o n s a r ei n t r o d u c e di n t ot h ea f o r e m e n t i o n e d n e a r e s t - n e i g h b o r c o u p l e dd y n a m i c a ln e t w o r k t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e s ea d d i n gc o n n e c t i o n sc a ng r e a t l y i m p r o v et h ea b i l i t yo ft h es y n c h r o n i z a t i o n i nt h el a s tc h a p t e r , w es t u d yt h es m a l l w o r l d n e t w o r kt h a tc a np r o v i d et h er e a lw o r l dw i t hm o r ev i v i dd e s c r i p t i o n s ，a n di n v e s t i g a t et h e i n f l u e n c e so f t h en e t w o r k s c o n f i g u r a t i o na n dt h ef o r mo f t h ec o u p l e df l o w , u p o nt h ea b i l i t y o f t h es y n c h r o n i z a t i o n k e y w o r d s ：t h en e a r e s t n e i g h b o rc o u p l e dd y n a m i c a ln e t w o r k ，t h er e g u l a rn e t w o r kw i t h h y p e r d e g e s ，t h ed e t e r m i n i s t i c s m a l l w o r l d n e t w o r k , c o u p l i n gs t r e n 甜h ，e x a c t l y s y n c h r o n i z a t i o n ，g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导卜i 进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名 贫杠彦 酞同t 商辱! ai 。目 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发 表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名 导师签名： 俞棒蘑 王蚓 时问：“年j 旁夕_ 日 时间：一b 年d o 同 ：兰茎：至，：垒篁兰。芏耋三苎坚竺：2 生：竺型之塑兰。 第一章复杂网络上节点动力学的同步概述 1 1 复杂性与非线性 以相对论和罱子力学的建立为标志的2 0 删纪物呼学* 命，使人们从宇观和微观两个认识方 向上对宇宙演化奥秘的探索和微观世界的了解达到了前所未有的深度然而，当今世界上有幸直 接从事这类研究的科学家已经越来越少与此形成鲜明对比，宏观层次的自然科学却吸引了广大 的科学家去进行研究。这里的研究对象五花a f - ，而复杂性的刻画是贯穿了不同领域的共同的理 论线索”。由此构成了人们探索世界奥秘的第三个方向，即对量的变化导致物质运动由简单到复 杂、从低级到高级的各种形态和阶段，直至生命和意识这个没有止境的发展过程的基本规律的认 识。尤其应该指出的是，2 0 世纪6 0 年代以来由于计算机作为研究手段的广泛应用，与理论、实 验手段相结合，促成- j l 线性科学的建立这方面研究的迅速发展，使人们对一些久恳不解的基 本难题，诸如物理学的确定性描述和概率性描述的关系、复杂系统的形成机制、自然界有序和无 序转变的条件以及人类创造性思维形成的机理等有了新的认识，并开始影响人类的自然观，促使 人们从事物整体的角度去探索和把握自然界的运动形式。 复杂性和非线性的研究都是从不同的方面研究从简单到具有复杂特性的自组织系统的过程， 如事物从无序到有序的耗散结构的形成、多组分的竞争和协同过程、开放性，演化的多样性、无 预定性、混沌和分形在时间，空间中的结构复杂性等。目前，人们对复杂性的定义争论很大，但 是达成共识的是，复杂性具有以下几个特征：非线性、不确定性和开放性，有学者认为，非线性 是复杂性的核心表现，不确定性是产生复杂性的重要根源，而开放性则足物质系统产生复杂性的 重要条件之一。 国内外比较自规模化的有关复杂性科学方面的研究一般认为是在2 0 世纪7 0 年代末或8 0 年 代中期开始的。对物理( 自然) 系统复杂性的研究方面，开始于对混沌的研究。混沌是运动学迄今 发现的最复杂的运动体制，当体系的复杂件表现为混沌时，其本质被洛伦兹称为确定性混沌。我 国著名学者郝柏林1 9 8 3 年研究了物理学中的混沌现象，并于1 9 9 0 年编译了英义版的混沌一 书，1 9 9 2 年至1 9 9 8 年土编m 版了l i 线性科学丛书，从而推动了我国的物理学界对复杂性研究的 热潮。 布复杂件研究的过程中，n 胞自动机的诞牛其有现实冉勺指导意义，它对物珲、牛物和计笄 机提供了一种简单的模型，开创了复尔件研究的新途径。 1 9 9 8 iw a t t s 和s t r o g a t z 提出小世界模型”j ，从此以后，复杂网络的研j 宄丌始了迅猛发展 1 4 5 1 。复杂i 叫络是埘复杂系统0 常一般的抽象的捕述方式，它突m 强调，系统结构的拓扑特征。 原则i 说，任何包含大母组成巾冗( 或子系统) 的复杂系统。当我们把构成巾冗抽象成铀 ，1 1 元 之间的相日作用抽象成边时，都可以当成复杂网络来f 究。它的研究对象非常j 泛，为复杂系统 提供了一种新的描述方式，可以加深我们刘系统耋古构的深入了解。同州它的研究成粜对探索复 杂性又只有一定的肩发和借鉴意义。 虽然对丁复杂性究竟是什么这个m 题无论从f f 学上还足哲学上都雄丁回答，但是复杂性科学 的研究还是吸引了小i 一 负域大节科学家的关7 每个复杂r 研究肯的心叶f 都有自己对复杂性的 宁盟大学硕f 学论文第章复杂m | 符_ 卜竹占曲力学的同步概述 单觯和认识。它扣破了线性、均衡、简单还隙的传统范式，i 】致力十研究非线性。非均衡和复杂 系统带来的种种新问题，它的出现极大的促进了科学的纵深发展，使人类对客观事物有了不同于 以前的新认识。因此，可以认为复杂性科学的诞生标志着人类的认识水平步入了一个崭新的阶段。 这将是科学发展史上的又一个新的里程碑1 6 j 1 2 混沌及其运动特征 2 0 世纪下半叶，非线性科学得到了蓬勃的发展。其中，对混沌的研究占了极人的份额。半 个世纪以来，人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现已经有了十分丰富的认识。 在自然界和人类社会中广泛存在混沌这一事实已被普遍接受。混沌是一种貌似无规则的运动，是 指在确定性非线性系统中，不需附加任何其它随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 。 混沌运动的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来 行为是不可预测的1 7 j 。在现代的物质世界中，混沌现象无处不有，大至宇宙，小至基本粒子，无 不受混沌理论的支配。因此科学家认为。在现代的科学中普遍存在着混沌现象，它打破了不同学 科之间的界线，是涉及系统总体本质的- - i 1 新兴科学。人们通过对混沌的研究提出了一些新的问 题，它向传统的科学提出了挑战。通过对它的研究人类更加了解这个世界，并且，混沌这一科学 理论也使许多学科的研究内容更丰富。 1 2 1 初值敏感性 考虑一个n 维体系 d s 西_ ! l = 彳瓴，而，) ( 1 1 ) 假发存在一已知解嘞= ( x 0 l ，薯d 2 ，而。) ( 定态或不动点) ，考察其附近的点： = + 万薯( j 是相对初值而言很小的扰动) ，代入a 捍展开，f = 线十牛化可得 警吲删x ， ( 1 - 2 ) 具鹕为咖u n o v 舭求c 扎，苦l 本址勰并取其实弘代入线件舫程“之， j t = e x p ( 2 , t )( 1 3 ) 当丑 0 时，相如的6 x , 分晟就会指数上升，t 和x o ，指数分离，表明系统只有局部不稳定件， 咖不稳定必然导敛运动轨迹的随机件。这种和，指数分离体规了“芹之皂犀，谬以千甲”的 通理，此臣系统对初值的敏感性。 1 2 2 吸引性 子。为此我们首先考察保守系统与耗散系统。物理系统常常用一i f 线性方程组来描述，即 鲁叫昂巾 ( 1 4 ) 我们称由 ，”个分量正交张开的空间为该方程所描写的非线性系统的相空间，而 嘲呶以为相体积元。而相空间的时间变化率为； 抬除拿 m ， 其中! 孥是相体积变化的速度；所以( i - 5 ) 式可以写为： 一i d ( d y ) ：掣( 1 - 6 ) d vd t 、 d 矿 根据散度定理( z ，为；的第i 个分量) ，那么 嘉妄c 们= 莩丢葺= 莩每 m ， 将( 1 7 ) 式代k ( 1 - 4 ) 式，并积分得： 警= 肛；知 m s ， 若! 孥：o 。则相体积不变，此时称该系统为保守系统；若! 竺 f i ， 存扫稳定的流形y = x t 一( f 2 一r 1 ) 】，则称曲系统达到滞后i 几j 步。 7 宁班大学断i 学位论史 第章 复杂网路l 竹r 动力学的同步概述 利用混沌和混沌同步实现秘密通讯已成为近年来克争最为激烈的混沌应用研究领域，因此， 考虑各种不同的方式使混沌系统达到同步是这个研究领域的热点。比如说，噪声控制的混沌的同 步、超混沌同步等。相信随着越来越多的方法的研究，混沌同步一定能更好地服务于人类。 l4 复杂翻络及其同步的动力学行为 1 4 1 什么是复杂网络 在数学中，网络由图来描述，图论发端于1 8 世纪e u l e r 对著名的“七桥问题。的研究。图是 由一对集合组成，g = p ，e ) ，其中p 是n 个节点的集台，而e 是连接p 中两个元素的边的集合。类似地， 我们将生活中各类相互作用的作用体抽象成网络节点，将各种相互作用抽象为节点之问的连线或 边。这样就可以将我们周围的世界抽象成网络。因为从直观上看，所研究的网络是大量真实复杂 系统的拓扑抽象，目前还没有找到一种简单的方法可以生成完全符合真实统计特征的网络，而且 网络是动态的。影响网络的因素很多，所以将所研究的网络称之为复杂网络。 在过去的4 0 多年里，所有的复杂网络都被看作是随机的，随机图理论9 j 一直是研究复杂网 络的基本理论，它源于两位匈牙利科学家p a u le r d o s 和a l f r e dr e n y i 的研究。近年来，有两项开 创性的工作引起了对复杂网络研究的热潮。一是1 9 9 8 年w 缸s 和s t r o g a r z 在( n a m r e 上发表文 章，引入了小世界模型”j 。诸如许多生物网络、技术网络和社会网络就属于小世界网络，它们是 介于完全规则网络和完全随机的网络之间，都具有类似“小世界”的现象。另一个是1 9 9 9 年 b a r a b a s i 和a l b e r t 在( s c i e n c e ) 上发表文章，提出的无标度网络模型”j 。此模型的提出源于他 们对万维网的研究。随着计算能力的提高，科学家对大量网络进行了实证研究，发现无标度网络 更接近于真实世界。在此后的的研究中。许多科学家致力于网络模型的研究，他们认为自然界中 的许多例络应介于无标度网与随机嘲之f l ，2 0 0 3 年李翔、陈关荣提出了局域世界演化铡络模型 “”，该网络有许多实证中得到了验证。 在网络中，两点问的距离彼定义为连接两点的最短路径所包含的边的数日，把所有节点对的 距离求平均就得到网络的平均距离。另一个叫簇系数的参数，专i j 用来衡量节点集聚成刚的情况， 埘于菜个节点，它的簇系数被定义为它所自相邻节点之问连边的数日占可能的蜮大连边数日的比 例，类似的，网络的簇系数则是所有轴点簇系数的甲均值。物理学家将大的鲅系数和小的平均距 离曲个统计牟十件合在起称为“小付界”现象，把其有这种特悻韵网络称之为“小付亍界”网络。 “小f ”界”网络足介十完全规则网与完全随机网这两种极端的网络之问。因此，可以通过重新连 接规则网络中节点之问的连线来增加网络的无规则性，得剑小世界网络。w a t t s 和s t r o g a t z0 i 入 r 小世界模型。其中n 个节点构成r 一个一绗纠络，每个节点连接剑其近邻和次近邻的两个* 点 i 。以概率p 每条边币新近接到个彳工意选择的1 ， j ：出此过秤，“十的大烈模的迎接减少了j i 点问的距离导敛了小付界现致的产年。在些网络模犁巾引入小世界迕接可以短现信号的传 播速缝，； 掉能力和同步能力得到增强，尤其足传染病在小世界网络中l 匕在规则两中传播史容易 得多“”。所有这些，部足网络l 1 j 邶些偶然的短连接起到了芙键作用。 1 9 9 9 年b a r a b a s i 和a l b e r t 对万耋f 网的研究发现了榘散书点，这些抽点只占节点总数的万分 之一。期j 拥有1 0 0 0 个以上的连接，在i i 倬恰有k 个连接的万维网的页山数虽时他们发现网页 8 中盟大学硕l 学位论史第章复杂网咯节 动力学的步概述 的近接分布遵循所谓的“幂次定律”，即：仟何两个节点与其它节点相连接的概率与成正比， ， 七 在双对数坐标t ：，“幂次定律”的表现是一条真线它所描述的是只有少数节点所主控的系统。基 于网络的不断增蚝与择优连接两个因素，a l b e r t 和b a r a b a s i 得到了新的复杂网络的拓扑结构，因 为两络中集散节点所遵循的“幂次定律”其分布具肯标度不变性“”，我们称此羁络为无标度弼 络。无标度网络具有双重性，这就表现在它对随意攻击的鲁棒性和对刻意攻击的脆弱性。通过实 证发现，大置实际的网络都足无标度网络，尢标度网络的研究对实际网络的研究具有现实的指导 意义。 小世界网络的度分布遵循指数分布特点，无标度网络是遵循幂律分布的，但实际生活中的许 多网络它的度分布介于二者之同。对于这些系统最好的描述就是演化网络。如果考虑网络中的 非线性偏好、老化效应和增长限制等诸多因素，并将影确两络形成的各种过程完全耦合在一起， 所得网络的度分布的形式通常会很复杂，应该是幂函数和指数函数的结合基于诸多实例与认真 的考虑，李翔和陈关荣提出了局域世界演化网络模型p ”。该网络模型有两种极端情况；当新加 入的节点与局域世界中所有的节点相连接时，也就意味着，在网络增长的过程中，优先连接机制 已不发挥作用，此时，度分布完全遵循指数分布。当每个节点的局域世界就是整个网络，并且节 点个数随时间而增长时，该网络模型完全等价于无标度网络模型，度分布遵循幂律法则。大量的 实证研究表明，局域世界演化弼络是更接近真实世界豹 关于复杂网络的研究正轰轰烈烈的开展着，取得了一些成果，但同时，随着人们对各个方面 问题研究的深入，不断有新的更富挑战性的问题被提了出来。比如说在网络中同步化方面的研究 中，考虑到同步有害的一面，我们就应寻找怎样避免网上的同步化现象的方法；对于网络中的拥 塞现象，可以考虑如何将复杂网络理论、动力系统理论和现代控制理论三种科学理论有机结合起 来，揭示出其中动力学行为产尘的机理，给出有效的网络拥塞控制方案诸多新问题的提出对 我们来讲是一祷挑战，但不也是一种乐趣吗1 相信我们会在这条路上走得越来越好 1 4 2 复杂网络的同步机制 如果存嘲络的每个书点加上一个动力系统，这个动力系统既w 以是极限耶也町以是混沌的， 而让宵边柏近的两个节点的动力学系统之h j 存布相n 的耦合作川，就形成了个动力学叫络。严 格地说，设网络有个节点，踊络中节点的功力学乃程满足： t = ( ) ，f - l 2 ，n( 1 2 2 ) 互柑猫合作川厉m 络巾的点满足的动j 学与干甲为： = ( ) + c o ( t ) a ( t ) x j f = i 2 。n0 - 2 3 ) j = l 其中，= ( i ，2 ，j 。) r ”是第i 个节点的状态变量，c = ( “) 。代表r 书点问的连接艾 9 宁班大学碗 学位论卫第章复杂网络l 节卢动力节的同步概述 系。对c 。规定如下：若节点f 与节点，之间存在连接，刚勺= l ( f j ) ，否则勺；0 ，矩阵c 的 对角元定义为：c o ( t ) = - 勺( f ) ，i = 1 2 ，n ，a 为网络的连接矩阵。 ，- l 刮 可以依据以下的判据考虑网络的同步： 定义2 ：让( f ；f o ，砰，) ，( i = 1 2 ，j v ) 是动力学网络( 1 2 3 ) 的解，若 l i r ai x , ( t ；t o ，# ，砖) 一x j ( t ；t o ，矸，) e = o ，( 1 - - - i ，jg n ) ( 1 - 2 4 ) 成立，则动力学网络1 - 2 3 ) 达到了同步。即各节点的解满足以下方程： x j ( t ) = x 2 ( t ) = = h ( f ) ( 1 - 2 5 ) 规定解之间的误差为： r a t ) = 葺( f ；f o ，砰，。x ；) - x j ( t ；t # ，礤) ，( 1 f ，n ) ( 1 - 2 6 ) 当吼( f ) 指数趋于0 时，同步的混沌状态( 1 - 2 5 ) 是指数稳定的。 根据以上的方法可以判断各种、同拓扑结构的网络的同步条件，同时，可以根据( 1 - - 2 6 ) 给出的方法判断出网络达到稳定的同步所需要的条件。 0 第二章近邻耦合动力学网络中流的直接耦合同步 2 1 引言 合作行为是自然界的基本现象之一近年来的研究热点：少数耦合单元的同步| t o , s o 2 s - 3 0 | 和 大规模单元组成的复杂网络的同步0 1 “1 当属其典型。混沌同步研究自p e c o r a 和c a r r o l l 的开创性 工作i i o 发表掀起的高潮之后始终是被关注的焦点。除变量替代的驱动耦合之外，绝大多数是反 馈耦合，表明耦合单元有一定的“分析能力”。同步态动力学是预先设定的，同步意味者各单元 动力学在这个目标上的零相位铳定，卸所谓精确同步实际体系各单元的动力学很难完全一致， 可能存在动力学方程的参数失配等不可能精确同步的因素。参数小失配情况下相位同步i z t - z s ! 的 发现一方面扩展了混沌同步研究领域同时使研究深入到系统内部动力学的细节。即考察混沌轨道 被不断拉伸和折叠所对应的旋转运动2 9 1 。相位同步早有实验证据和生物学和化学领域的应用 f ”。当参数失配较大时系统单元动力学完全不同，但相互耦合使单元动力学方程之问可能存在 个泛函关系。此所谓广义同步”。这种同步甚至存在于空间维数不同的耦合系统之中，是 复杂系统的又一种有序行为。 关于大规模相互作用单元构成体系的复杂网络模型提出之后l 卅，掀起了同步研究的又一个 高潮。大量的实证研究表明，许多真实网络都具有小世界效应1 4 0 ! ，所以小世界模型( w s 模型) 就成为研究复杂体系同步的最好模型。在不刷的w s 模型的改进模型中，单元问l 勺耦合大多采用 琉的商接耦合毫= f ( 一) 十盯，g 9 h ( x j ) ，节点是t n 维动力学系统毫：f ( 一) ，h ( x j ) 是第 个节点对第f 个节点的输入流( 见文献 3 4 - - 3 6 ) 。其巾文献1 3 4 1 报道的由近邻耦合动力学网络出 发产生的人规模小世界网络在小重连概率。小耦合强度下表现出了非常强的同步能力。相反，节 点动力学选为蔡氏电j ! 模型时近邻耦合规则网络只能在至多n = 6 个结点的情形p 同步。这与 s t r o g a t z 的结论一致，即近邻耦合振了系统不町能在热力学极限( n _ ) f 同步4 ”。为了能 更多地获得小世界叫络同步的动力学过羊擎的细和增加随机连接埘j 删络1 日j 步能力的改善等特性， 作为比较，我f j 选l o r e n z 振予为支配节点动力学的近邻耦合规则网络，研究了l - j 步及茛相应的节 点动j 学性质。 2 2 网络中流的耦合同步原理 假定i q 络有n 个相i 几j 弘点，每个仙点是一个n 维的动力系统，讪点m 以互输入流的与式进行 耦合，则节点间q 相祸合后的功力学方程为： 毛= ，( 蕾) + e 蹦u ( 2 一1 ) 其中：x t = ( 。，x j 2 ，) r 。是第f 个节点的状态变量，a = ( ) 。代表了节点之问的连接 关系。对嘞规定如下；若节点j 节点_ ，之间存在着连接则= l ( f j ) ，否则吩= o f = d i a g ( r , r 2 ，) r 是网络的内部耦合矩阵，对一个特别的下标i 有= l 而 0 = o ( i j ) 。代表耦合强度，u = ( 吻k ，表示系统之问互换流的方式，对规定如下： 若节点i 与节点j 之阃有流的互输入，则”f 0 ，否则”f = o ，对于每一个“f 的形式可以不同， 依据具体的要求取需要的形式 假设葺( # ，冀) ( f = l ，) 是动力学网络( 2 1 ) 的解，我们寻求的同步条件是在 t 专时，节点动力学方程的解彼此收敛。即满足：l i m ( x , 一x i ) = 0 ( i _ ，) 。也就是说，在长 时问后， = 矗一一h ，则相空间中的节点被锬定在零相位上而达到同步，同步态可以是 混沌的，周期的以及其它的同步现象。 当节点接受的输入流互相节制时。若x = f ( x ) 的解为工- 并记x = s ( t ) ，此时可将s ( f ) 看作 是共同的目标状态，则网络达到同步时应满足；五( ，) = 为( f ) = 而( f ) = 一s ( f ) ，令： r l , = ( ，) 一s ( f ) ，并依据输入流的具体形式，对方程( 2 一1 ) 进行线性化处理，得到方程： 叩= 【o f ( j ) + 占爿r l v ( 2 - 2 ) 其中a 为新的矩阵形式，d f ( s ) 是在轨道j ( ，) 上的雅克比矩阵，是一n x n 的单位矩阵现 砬：令： 8 = o f ( s ) i + e a f ( 2 - 3 ) 可将方程简化为 r = b ” 设力秤( 2 - 4 ) 的每征值为丑，则木征方裨为 a e t 窿 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 南此可觯符名= ，五，磊 ，办程( 2 - 4 ) 解的般表达式为：= e x p ( 五t ) f = 1 2 ，玎 “1 a 的支部全部小于零时，对任意的f 就有：! 受仉= o ，此时满足：( f ) = x 2 c t ) = = s ( f ) ， o = 、ll，flf，j 1 ；一，吒 即在长时间下，蝴络达到了同步。 现举例作具体说明：对一具体的网络，网络的结构如图2 1 所示： 则网络的连接结构为：一= 互输入流的方式：u = 图2 1 一个具有5 个节点的任意网络 o1ill 1 0 lol llol1 l0l0l lillo 0 辑2毪3m 4“” l0 如3 0 u 2 5 蚝l 蚝20 均i 蚝5 u 4 l0 3 0 u 4 5 蚝t材，2甜玎“0 选择不同节点问与输入流的方式为：“2 l = x 2 一一，u 3 i = 而一x j ，= 一一将流的具 体方式代入方狴( 2 i ) 中，线t l 化石的方程为：；= 【巧o ) ，+ f 爿r 忉。其中 a = _ 4 l l一3 ll l0 11 lll l0 1 4 ll l一3i li一4 2 3 近邻耦合网络模型 这样就日j 以依据以上的分析，对网络做m 同步判断。 3 宁盟大学硕f 学位论文第章近邻耦合动力学嘲络中流的商接耦合同步 考虑一种简单情形即最近邻节点问流的直接耦合动力学网络。一个具有个节点的最近邻耦 合动力学网络实际就是一规则图，其周期性边界条件为粕+ ，= x ，模型由图2 2 表示。具有个 全同耦合非线性动力学节点所构成的网络，节点间线性耦合。节点之间不断的互输入流，那么节 点的动力学方程满足( 2 一1 ) 式的形式。网络的连接结构a 以及网络中节点回的互输入流的矩阵形式 如下： a = 0l 0 0 l0 l0