（流体力学专业论文）基于三阶矩方法的纳米颗粒凝并与湍流扩散的数值模拟.pdf

浙江人学硕上学位论文 中文摘要 摘要 基于三阶矩方法的纳米颗粒凝并 与湍流扩散的数值模拟 纳米颗粒气溶胶的运动规律和伴随发生的物理化学变化具有重 要的研究价值。关于颗粒系统的一般动力学方程描述了颗粒之间及颗 粒与流体介质之间的各种作用，如浓缩，成核，凝并，表面反应等。 通过联合求解一般动力学方程和流体运动方程，可以掌握颗粒的各种 物理化学性质及其在流体中的分布变化。 三阶矩方法是一种求解一般动力学方程的近似方法。通过假定颗 粒浓度关于颗粒尺寸满足对数正态分布，将原方程简化为关于矩变量 的3 个方程。求解这3 个方程，可以得到颗粒的浓度、平均体积和体 积标准差，从而近似地刻画颗粒的空间分布情况。 本文通过在原有的三阶矩方程中加入湍流扩散项，并通过给定湍 流施密特数的方法得到湍流扩散系数，使该方程可以应用在湍流的统 计平均模型中进行求解。随后，对含有纳米颗粒的受限平面射流的发 展过程进行了数值模拟。计算中采用了重整化群七一5 模型来模拟湍 流运动，通过“用户自定义标量”将矩方程导入计算软件中同步求解。 计算结果定性地反映了湍流扩散和颗粒凝并对颗粒分布的影响，并为 进一步研究湍流中的标量输运提供了一套研究框架。 关键词：纳米颗粒、气溶胶、一般动力学方程、矩方法、湍流扩 散、湍流施密特数、重整化群七一占模型 i i 浙江大学硕上学位论文 英文摘要 a b s t r a c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fn a n o p a r t i c l ec o a g u l a t i o na n d t u r b u l e n td i f f u s i o nv i aat r i p l em o m e n tm e t h o d l i us o n g ( f l u i dm e c h a n i c s ) d i r e c t e db yp r of e s s o rl i nj i a n z h o n g t h em o t i o no fn a n o p a r t i c l ea e r o s o la n dt h ea c c o m p a n y i n gp h y s i c a l a n dc h e m i c a lp h e n o m e n aa r eo fg r e a ti m p o r t a n c ei nr e s e a r c h t h e g e n e r a ld y n a m i ce q u a t i o n o fa p a r t i c l es y s t e md e s c r i b e s v a r i o u s i n t e r - p a r t i c l e a n d p a r t i c l e - f l u i di n t e r a c t i o n s ，s u c h a s c o n d e n s a t i o n ， n u c l e a t i o n ，c o a g u l a t i o n ，s u r f a c er e a c t i o n ，e t c o ns o l v i n gt h eg e n e r a l d y n a m i ce q u a t i o n a n dt h e g o v e r n i n ge q u a t i o n o ff l u i dm o t i o n s i m u l t a n e o u s l y ，w eo b t a i nt h ep h y s i c a l a n dc h e m i c a lp r o p e r t i e so f p a r t i c l e sa n dt h e i rv a r i a t i o ni nt h ef l u i d t h et r i p l em o m e n tm e t h o di sa na p p r o x i m a t em e t h o di ns o l v i n gt h e g e n e r a ld y n a m i ce q u a t i o n o na s s u m i n g al o g n o r m a l p a r t i c l e s i z e d i s t r i b u t i o n ，t h eg e n e r a ld y n a m i ce q u a t i o ni ss i m p l i f i e dt oas y s t e mo f t h r e e e q u a t i o n s i nm o m e n tv a r i a b l e s o ns o l v i n gt h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s ，t h en u m b e rc o n c e n t r a t i o n ，m e a nv o l u m ea n dv o l u m es t a n d a r d d e v i a t i o no fp a r t i c l e sa r eo b t a i n e d ，a n dt h es p a t i a ld i s t r i b u t i o no f p a r t i c l e si sd e p i c t e da p p r o x i m a t e l y t oc o u p l et h et h r e em o m e n te q u a t i o n sw i t ht h er e y n o l d s a v e r a g e d n a v i e r s t o k e se q u a t i o nf o rt u r b u l e n tf l o w ，t e r m sr e p r e s e n t i n gt u r b u l e n t d i f f u s i o na r ei n s e r t e di n t ot h em o m e n t e q u a t i o n s t h e t u r b u l e n t d i f f u s i v i t yi so b t a i n e db ya s s i g n i n gac o n s t a n tv a l u et ot h et u r b u l e n t s c h m i d tn u m b e r s i m u l a t i o n so ft h ee v o l u t i o no fn a n o - p a r t i c l el a d e n 1 1 1 浙江大学硕- f 二学位论文英文摘要 c o n s t r a i n e dp l a n a rje tf l o w sa r ep e r f o r m e d i nt h e s es i m u l a t i o n st h e r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pk - em o d e la r ea d o p t e dt os i m u l a t et u r b u l e n tf l u i d m o t i o na n dt h em o m e n te q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e di n t ot h ec o m p u t i n g s o f t w a r et h r o u g h “u s e rd e f i n e ds c a l a r s ”r e s u l t ss h o wt h ee f f e c t so f t u r b u l e n t d i f f u s i o na n dp a r t i c l e c o a g u l a t i o no np a r t i c l e d i s t r i b u t i o n q u a l i t a t i v e l y t h i sw o r kp r o v i d e saf r a m e w o r kf o rf u r t h e rs t u d i e so nt h e s c a l a rt r a n s p o r ti nt u r b u l e n tf l o w s k e yw o r d s ：n a n o - p a r t i c l e ，a e r o s o l ，g e n e r a ld y n a m i ce q u a t i o n ， m o m e n tm e t h o d ，t u r b u l e n td i f f u s i o n ，t u r b u l e n ts c h m i d t n u m b e r ， r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pk - em o d e l i v 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得迸姿盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 一虢易1 弘撕期：切? 和月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝鎏盘堂有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝姿盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：匆f 舛嘭 签字日期：删年肛月7 日 导师签名：牙二末罐。旦 签字日期：如p 年l z 月 日 浙江大学硕十学位论文致谢 致谢 感谢导师林建忠教授在论文选题和完成过程中给予的精心指导! 感谢浙江大学流体工程研究所的各位老师和同学在本文完成过程 中给予的帮助和支持。特别感谢王小华老师、金晗辉老师、于明州博 士和刘演华博士( 在读) 在理论和计算方面给予的帮助。 祝他们身体健康，工作、学 - j 顺利! 浙江大学硕士学位论文 绪论 1 绪论 气溶胶( a e r o s 0 1 ) 一般指悬浮在空气或其他气体中的小颗粒体系。 这些小颗粒既可以是微小的固体粒子，也可以是液体微团。颗粒的来 源也是多种多样的，可能是液体或固体破碎形成的小颗粒，也可能是 气体凝结成的液滴，或者是化学反应中生成的液体和固体物质微团。 这些颗粒的尺寸通常是微米或纳米量级，特别是由气体直接转变( 凝 结或化学反应) 形成的颗粒，直径通常小于1 微米，用肉眼很难观察。 【1 】 气溶胶广泛存在于工业生产和日常生活的各个领域，在化工和环 境领域尤其常见。工业废气和汽车尾气中都含有大量的微小污染物颗 粒，这些污染物在大气中的运动和成分变化是气溶胶科学的重要研究 内容。另外，大气运动常常会从地面带起土壤尘，或从海水中带起含 盐的微小液滴，这些也是气溶胶的重要来源。气溶胶可以影响人们的 健康、能见度和气候。因此，对这类现象的研究具有重要的现实意义。 颗粒的大小、形状、浓度和化学成分，是决定气溶胶性能的最重 要因素。研究表明，污染物颗粒在呼吸道内的沉积效率不仅与浓度有 关，而且与颗粒尺寸有关。另外，颗粒引起的光散射也是颗粒尺寸的 敏感函数n 1 。因此，如何准确获得颗粒的尺寸特征显得尤为重要。 颗粒与颗粒之间，以及颗粒与气体之间存在多种物理和化学作 用，这些作用共同改变着颗粒的尺寸、外形、浓度和化学组成。常见 的物理化学过程包括成核( n u c l e a t i o n ) 、浓缩( c o n d e n s a t i o n ) 、凝并 ( c o a g u l a t i o n ) 、破碎( b r e a k u p ) 、沉积( d e p o s i t i o n ) 和表面反应( s u r f a c e r e a c t i o n ) 等。另外，颗粒会随着气体的宏观运动而迁移，还可能受气 体分子运动的影响发生布朗运动。要对气溶胶的性质进行精确预测， 既要在描述颗粒体系的数学模型中包含上述各种作用因素，又要确保 求解方法的经济性。 浙江大学硕j ：学位论文摹本理论 2 基本理论 2 1 描述连续分布颗粒浓度的一般动力学方程1 颗粒的形成、生长、凝并等过程，连同对流和扩散一起，决定着 颗粒尺寸分布的时间变化率。如果将颗粒的浓度( 单位体积内的颗粒 个数) 表示成关于空间位置、颗粒体积和时间的连续函数r = r ( x ，y ，) ， 那么关于颗粒浓度分布的一般动力学方程( g e n e r a ld y n a m i ce q u a t i o n ， g d e ) 具有如下的一般形式： 瓦a nm 言= 言( 嗳) + la 掰n ) 酬+ io 优n ) 删撕。 ( 2 ) 需要指出的是，只有当颗粒体积远大于组成颗粒的分子体积时，连续 分布函数才是适用的。 方程( 2 1 ) 中的d 代表颗粒在气体中的扩散系数。悬浮在气体中 的小颗粒，由于布朗运动的结果，具有从高浓度区向低浓度区的净迁 移，这种现象称为扩散( d i f f u s i o n ) 。根据菲克扩散定律( f i c k sl a wo f d i f f u s i o n ) ，从高浓度区向低浓度区的颗粒通量与浓度梯度成正比。 其中的比例系数称为颗粒的扩散系数( d i f f u s i v i t y ) 。扩散系数可根据 斯托克斯一爱因斯坦公式( s t o k e s e i n s t e i ne x p r e s s i o n ) 计算： d ：= k b t 其中k b 是玻尔兹曼常数( b o l t z m a n nc o n s t a n t ) ，丁是气体的绝对温度， 是颗粒在气体中的摩擦系数( f r i c t i o nc o e f f i c i e n t ) 。对于球形颗粒， 当颗粒直径远大于气体分子自由程，并且颗粒距离固体壁面足够远 时，摩擦系数可由连续介质流体的斯托克斯阻力定律( s t o k e s l a wf o r f r i c t i o nf o r c e ) 近似地给出： f = 3 万# d p ( 2 3 ) 浙江大学硕士学位论文基本理论 其中表示气体的粘性系数，d p 表示颗粒直径。当颗粒直径很小( 接 近气体分子自由程) 时，可以根据气体分子运动论推导出摩擦系数的 表达式： 厂= ；砟p ( 孚汽，+ 争j，6 ( 2 4 ) 其中p 是气体密度，m 是气体分子质量，o c 是一个调节系数，表示脱 离颗粒表面的气体分子所占的比例，通常由实验测定。可以利用一个 内插公式将公式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 结合起来，得到一个涵盖连续介质区和 自由分子区的摩擦系数表达式： ， = 3 ；, r , u _ d p 其中的修正系数c 由下式给出： 凸h 等( 4 蛳x p 半) 其中l p 表示气体分子的平均自由程( m e a nf r e ep a t h ) 。常数彳l ，彳2 ， 彳3 经实验测定为：a l = 1 2 5 7 ，a 2 = o 4 0 0 ，a 3 = o 5 5 。 方程( 2 1 ) 中的生长项( 驯西) 哪w 血反映了成核、浓缩等由气体到颗 粒的转变过程1 。 方程( 2 1 ) 中的凝并项( a 钟) 删k ；锄反映了小颗粒接触后合并成大 颗粒的过程。它可以表示为： 擘o t ) 。删鲥伽= j 1r 触v 一咖( 移) ，z ( v 一帝) d 矿一f 触帝) ，2 ( v ) ，z ( 矿炒 ( 2 7 ) 其中= f l ( v ，哥) 是碰撞频率函数。如果颗粒尺寸较大( 直径大于气体分 子自由程) ，可以表示为： 浙江大学硕士学位论文 基本理论 盹移) ：掣( + ) ( v ；+ 哥；) j 1 ，j帝j ( 2 8 ) 如果颗粒尺寸很小( 直径远小于气体分子自由程) ，可以通过气体分 子运动论推导出： 肌影) ：( ) ( 竖) ；( 三+ 执v ；+ 萨) z q 死p 口 vv 其中p p 表示颗粒的密度。 2 2 近似求解一般动力学方程的三阶矩方法 一般动力学方程是一个非线性微分一积分方程，很难获得解析解。 若将一般动力学方程与流体运动方程联立起来直接进行数值求解，则 计算量过于庞大。因此，人们发展了一系列近似求解一般动力学方程 的方法，如节点方法( n o d a lm e t h o d ) ，分区方法( s e c t i o n a lm e t h o d ) ， 矩方法( m o m e n tm e t h o d ) 和积分矩方法( q u a d r a t u r em o m e n tm e t h o d ) 等 【3 】【4 1 矩方法是一种计算量较小的近似解法，它通过求取几个与颗粒分 布相关的统计量，来大致刻画颗粒的分布情况。定义颗粒分布函数 n ( x ，v ，) 的k 阶矩为： 坂= p k g ( v ) d v 假设颗粒浓度关于体积的分布始终服从对数正态分布： 小，= 瓦n 唧卜鬟，砖 ( 2 10 ) ( 2 1 1 ) 其中n 表示单位体积内的颗粒总数，1 ，g 表示几何平均体积，盯g 表示几 何标准差1 。可以通过前三阶矩、m l 、来刻画颗粒的分布。 ，g 、仃g 与m o 、m l 、m 2 之间有如下关系： 4 浙江人学硕1 二学位论文基本理论 n = m o ( 2 12 ) k ：2 4 ( 2 13 ) 驴蔬 旺。 h 2 c r g = 虿il n ( 警) ( 2 1 4 ) 所以，通过求取前三阶矩、m l 、尥的值，就可以得到颗粒的分布 函数。这就是三阶矩方法的基本思想。 矩方法在i964 年首先由h u l b u r t 等人提出1 。上世纪八十年代， 基于对数正态分布假设的三阶矩方法开始用于实际求解一般动力学 方程7 引。目前，基于矩方法的研究主要集中在矩方程与流体运动 方程的联合求解 。 2 3 湍流中的标量输运 标量在湍流中的输运是湍流研究中的重要问题。污染物在湍流中 的扩散是最有代表性的标量湍流问题，另外，湍流中的热量传递也是 典型的标量输运过程。如果标量的输运对流体的运动没有显著影 响，就可以看作被动标量( p a s s i v es c a l a ro 近些年的研究表明，标 量在湍流场中的输运过程并不完全由流体的运动决定。因此，标量输 运研究对探索湍流的物理机制具有重要意义1 。 考虑关于标量函数c = c ( x ，) 的对流扩散方程： 害+ 要：昙( d 妻)一十“。一= 一iu 一) a t t 瓠i瓠i 、8 x j j ( 2 15 ) 其中c 可以是染色剂分子或污染物颗粒的浓度，也可以是温度等其他 标量，d 代表( 分子) 扩散系数。 按照统计平均的思想，把方程( 2 15 ) 中的c 表示成平均量与脉动 量的和： 浙江人学硕十学位论文 基本理论 c = 万+ c 7 然后对方程( 2 16 ) 进行统计平均，便得到关于平均量万的输运方程： 要+ u ，要：昙( d 要) 一掣 一十j 一= i 一j 一一 8 t l 瓠ia ) c i 、瓠l 。瓠l 为封闭方程( 2 17 ) ，可以仿照湍流动量输运中的布西内斯克假设 ( b o u s s i n e s qh y p o t h e s i s ) ，将关于脉动量的二阶关联量甜j c 7 表示成平 均量万的梯度与一个扩散系数的乘积： 妒：一口当 戗 ( 2 18 ) 其中的扩散系数d 。称为湍流扩散系数( 或涡扩散系数) 。1921 年， g i t a y l o r 首先提出了d 。与流体运动特征量的关联，据此计算d t 的 值，不过这种方法要考虑具体流场的宏观特征5 “1 。目前还没有见 到计算d 。的一般方法，需要借助实验研究。 浙江大学硕士学位论文 数学方程 3 数学方程 3 1 统计平均的流体运动方程 对不可压缩流体的连续性方程进行统计平均，即得到关于平均速 度的连续性方程 堡：o o x , 其中万是平均速度。 对不可压缩流体的纳维一斯托克斯方程( n a v i e r s t o k e se q u a t i o n ) 进行统计平均，即得到描述湍流平均运动的雷诺平均纳维斯托克斯 方程( r e y n o l d sa v e r a g e dn a v i e r s t o k e se q u a t i o n ，r a n s ) ： p c 堕o t + 巧善，一善+ 毒c 吾一p 弼， 其中p 是流体的密度，z 是流体的粘性系数，万是流体的平均速度，万 是平均压强，甜是脉动速度n 引。方程( 3 2 ) 中忽略了流体所受的体积 力。采用布西内斯克假设： 一p 一2 2 ；= 从c 善+ 务 ( 3 3 ) 其中。称为湍流粘性系数( 或涡粘性系数) 。通过建立关于t 的方程 可以封闭方程( 3 2 ) n 引。 3 2 统计平均的一般动力学方程 考虑如下形式的一般动力学方程： 娶+ 罢：晏( d 要)一十“。一= 一iu j a t l 瓠i敏 、瓠i + 互1f ( 矿，一哥) 刀( 矿) 力( v 一移) d 哥一r ( v ，哥) 力( v ) 玎( 哥) d 帝 ( 3 4 ) 浙江大学硕_ i 二学位论文一一 鏊!：i里 _ _ _ 一一 方程( 3 4 ) 中只包含颗粒的扩散和凝并作用，其中的扩散系数通 过( 2 2 ) 、( 2 5 ) 和( 2 6 ) 式计算。 对方程( 3 4 ) 进行统计平均，得到关于平均浓度的方程： 墨+ 瓦墨：- - - a _ - ( d 要) 一掣 百棚，瓦2 。，瓦广百 + 三2i ，( 帚，1 ，一彰万( 哥) 万( v 一移) d 影一f o ( v ，哥) 万( v ) 万( 移脚 1 ， + 一i 2j o( 帚，v 一影) 荔i 石罚i 了i 而移一f ( v ，移) 荔了丽哥 ( 3 5 ) 其中万表示颗粒的平均浓度，玎是脉动浓度1 。 方程( 3 5 ) 中的最后两项代表与脉动浓度有关的凝并作用。暂不 考虑这两项的作用，上式简化为： 要+ 虿要：昙( d 要) 一了a u ，n 一十掰一= 一i u _ j 一= 一 a 7 苏，苏，、舐，。 舐， + 1 2r ( 帚，v 一移万( 移) 万( v 一哥) d 哥一f o ( v ，哥) 万( v ) 万( 哥) d 移 引进湍流扩散系数( 或涡扩散系数) d t ，令 万：一d t 要 0 二 方程( 3 6 ) 变为 要+ 甄要：昙 ( d + d 1 ) 要】一十甜一= 一i i 十u ，_ l 新 2 反，缸，“”叙，。 + 三2f ，触1 ，一帝) ( 帝) 万( v 一哥) d f f f 肌影) 万( v ) 万( 影 8 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 浙江大学硕上学位论文 数学方程 3 3 统计平均的三阶矩方程 在方程( 3 8 ) 两边乘以v 露( k = o ，1 ，2 ) ，并对1 ，积分： 挚v + p 嚎i v = p 毒+ d 1 ) + f v 互1r 触1 ，一谚翮万( v 一哥) d 谢v ( 3 9 ) 一j c 0 v 。f 盹哥) 万( v ) 万( 移) d 谢1 ， 在方程( 3 9 ) 等号左边的两项中，积分与求偏导数可以交换顺序： 广v t 甄：旦广y t 耐v ：盟 如 a t8t如8t 虿争= 巧毒r i d v = 巧警 ( 3 10 ) ( 3 11 ) 对于方程( 3 9 ) 等号右边的第一项，若在扩散系数d 的计算式中用颗 粒的几何平均直径d g ( = 厮) 代替颗粒直径口，那么d 与v 无关， 若再假设湍流扩散系数d 。与，无关，则该项中求积分和求偏导数也 可以交换顺序： f 扩云+ 口) 器】d v = 毒旧+ 以) 毒j i o 矿r i d v 】。 l ( 3 12 ) = 丢旧+ 皿) 8 m k ，】 ( 3 1o ) 、( 3 11 ) 和( 3 12 ) 中的甄表示矩变量的统计平均值。 假设万服从对数正态分布( 2 11 ) ，则方程( 3 9 ) 中的凝并项可以 近似表示为”1 ： 浙江大学硕一l 学位论文 数学方程 。三1r 触v 一移) _ ( 影) 万( 1 ，一f ) d 影d v j c ov 。f ( v ，移) 万( v ) 万( 影) d 谢v = 一彳玩( m 2 3 腹l 2 + 2 m l 3 m _ 1 6 + m l 6 ) j c o v l 虿1r 肥v 一影翮万( v 一哥) d 谢v r 1 ，1 f ( v ，哥) 万( v ) 万( 影) d 谢v = 0 2 互1r 触v 一哥) - ( 哥) 万( v 一哥) d 谢1 ， 一f v 2f ( v ，哥) 万( v ) 万( 哥) d 谢v = 2 a b 2 ( f f i s 3 厨l 2 + 2 勋k b 殛5 | 6 + 扬l m 一1 | 6 、) 其中， 州扣警矿 晶= o 6 3 3 + 0 0 9 2 a ；一o 0 2 2 0 - iv 一一 岛= 0 3 9 + 0 5 吧- 0 2 1 4 0 - 2 + o 0 2 9 0 - ； ( 3 13 ) 和( 3 15 ) 两式中下标为分数的矩变量可通过下式计算： 矾= 矾咭e x p ( 兰内n 2 c r g ) ( 3 13 ) ( 3 14 ) ( 3 15 ) ( 3 16 ) ( 3 17 ) ( 3 18 ) ( 3 19 ) 将( 3 10 ) 式至( 3 15 ) 式代入方程( 3 9 ) ，得到关于m k ( k - - - o ，1 ，2 ) 的方 程： lo 浙江人学硕士学位论文 数学方程 警托等= 毒旧+ 口，百0 m o ， 一a b q 2 | 3 m 一_ i 2 + 2 m l b m f 6 七m t f 6 m o 、) 警+ 够0 高m 1 ：要- - - - - ( d + d f ) 警 o + 材； = + 以) o l a t a x ，v i。敏? j iom2+，了om2：害-(du+ d t ) 警 一十；一= + “i _ 二i a t a x ?v 。，“瓠j 。 + 2 a b 2 ( m s 3 m 1 f 2 + 2 m 4 3 ms | 6 七m t m l 0 方程( 3 20 ) 至( 3 22 ) 就是本文要求解的三阶矩方程。 ( 3 22 ) 浙江久学硕士学位论文 数值模拟方法 4 数值模拟方法 4 1 流场的求解 本文模拟的流动现象是二维不可压缩粘性流体的湍流运动，采用 的湍流计算模型为重整化群k - e 模型。以下对该模型作简要介绍。 七s 模型是一种基于雷诺平均纳维一斯托克斯方程的湍流计算模 型。为了对方程( 3 1 ) 和( 3 。2 ) 进行封闭，建立关于湍动能( t u r b u l e n c e k i n e t i ce n e r g y ) j i 和湍流耗散率( t u r b u l e n c ed i s s i p a t i o nr a t e ) 的方程， 然后把湍流粘性系数。表示成后和s 的函数。 二十世纪七十年代，美国物理学家w i l s o n 把量子场论中的重整化 群( r e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ，r n g ) 方法应用到相变现象的研究中，取 得了重大成功。在此之后，重整化群方法在物理学的许多领域发挥了 重要作用n ”。八十年代中期，y a k h o t 和o r s z a g 在前人工作的基础上， 较系统地利用重整化群方法分析了湍流场，并通过理论推导建立了重 整化群k - e 模型。在该模型中，由理论推导得出的模型常数与经验值 高度吻合n 引“钉。 理论上，重整化群k - e 模型对湍流的预测精度应优于标准的七s 模型，特别是对在低雷诺数湍流、近壁湍流和标量输运的求解上有较 大优势。但是，实际应用中发现该模型存在诸多问题，无法达到预期 的求解精度，仍需要进一步改进。 在重整化群k - e 模型中，需要求解关于湍动能k 和湍流耗散率 的方程： 昙( 肚) + 毒( 夕红) = 毒( 吼善) + g k + 瓯一胪一+ ( 4 1 ) 昙c 胪，+ 毒c 胪2 毒c 呸船毒， 。4 2 ， + c l 。妻( g k + c 3 。g b ) c 2 。p i g 2 足+ 最 浙江火学硕士学位论文数值模拟方法 其中。f f = + t 是有效粘性系数( e f f e c t i v ev i s c o s i t y ) ，可以通过求解 以下方程得到： d 面p 2 k ) 1 舵焘d 6 掣、u l + c ” 其中6 = 船，c u 10 0 。进而可以求出湍流扩散系数t 。 4 2 三阶矩方程的求解 ( 4 3 ) 为了给出方程( 3 2o ) 至( 3 22 ) 中的湍流扩散系数d 。，定义湍流施 密特数( t u r b u l e n ts c h m i d tn u m b e r ) s c t ： s c t = p i 瓦t ( 4 4 ) 实验研究表明，流场中。的值不是常数，但其值在1 左右。在数值 模拟中，为了方便计算，一般设s c 。为常数，数值从0 2 到1 3 不等 阻n 。对于轴对称或平面自由射流，研究表明，将s c 。的值设为0 7 比较合适6 1 n 卜27 1 。本文将s c 。的值设为0 7 。 浙江大学硕：i ：学位论文 计算结果 5 计算结果 5 1 算例一 该算例模拟一个受壁面限制的二维平面射流场的发展过程，流场 构型如图5 1 所示。 采用重整化群( r n g ) k - e 湍流模型，壁面处理方法为“e n h a n c e d w a l lt r e a t m e n t ”。初始时刻( t = 0 ) ，流动区域内的流体是静止的空气， 不含颗粒。入射流体是具有均匀流速u = 0 3 m s ，v = 0 m s 的空气。入 射空气中均匀分布着直径为l0 n m 的球形t i 0 2 颗粒，颗粒浓度( 单位 体积内的颗粒数目) 为10 15 m 一。 小 d - - 0 1 m 二 不 图5 1算例一的流场构型示意图 流动区域的边界条件和初始条件设置如下： 1 流动参数的边界条件： 射流入口：u = 0 3 m s ，v = 0 m s ，k = 0 m 2 s 2 ，e = 0 m 2 s 3 ； 壁面：无滑移边界条件。 2 矩变量的边界条件： 射流入1 2 ：m o = 1 10 15 m 一，m 一1 = 万6 10 一，皿= ( 石6 ) 2 10 瑚m 3 。 下游出1 2 ：零通量，矾，厨。和皿为0 。 壁面：零通量，矾，厩和必为0 。 3 流动参数的初始条件( 全求解区域) ： u = 0 m s ，v - 0 m s ，k - - - 0 m 2 s 2 ，e = 0 m 2 s 3 ； 14 抽 下il胆土一 浙江大学硕士学位论文计算结果 4 矩变量的初始条件( 全求解区域) ： m o = 1 1 0 12 m 一，m 一1 = r e 6x10 。”，露2 = ( z r 6 ) 2 10 。3 6 m 3 。 数值求解时，将求解区域划分为l6 0 8 0 的规则正方形网格，时 间步长设为a t = 0 1s 。求解得到0 至5 0 秒的矩变量分布变化。 图5 2 到图5 4 分别是矩变量玩、届。、厨：在不同时刻的空间等 值线图。 颗粒的算术平均体积，m 。n 可由下式求出： m ， 2 菘 进而可求出颗粒的算术平均直径d m 。a 。： 氏。：( 盟堕) ； 石 ( 5 2 ) d m 。的值直观地反映了颗粒的平均尺寸。图5 5 是d m 。n 在不同时刻 的空间等值线图。 几何标准差仃g 反映了颗粒尺寸的差异情况，c r g 的值越大，颗粒 尺寸的差异越大。根据( 2 14 ) 式，盯g 的值可通过矾、届、破求出。 图5 6 是不同时刻盯g 的空间等值线图。 由于( 2 14 ) 式的分母中出现了矩变量m l ，而求解过程中需要使用该式计算 盯g ，所以不宜将矩变量的初始值设为零。这里的初始条件表示流动区域内的 颗粒浓度是入射流体内颗粒浓度的一千分之一。 * 大学顾1 学位论空 计算结* = 1 0 s t = 3 0 s ，= 5 0 s 烹眨；2 i 孑亏吾二净 图52凰在不同时刻的空间等值线圈( 算例一) 折江 学俩l 学位论文 计算结 离 圈圈_ = 3 0 s t = 5 0 s 鼍亏；= 焉i 乏；2 ， 图5 3 皿在不同时刻的空间等值线图( 算例一 淅大学坝i + 学位论立 计算结m _ | 圈l = 3 0 s = 5 0 s 黑写享= 磊孑；= _ 图54 露：在不同时刻的y - 间等值线图( 算例一 浙大学顾l 位论史 讦算结果 r ；1 0 s t = 3 0 s t = 5 0 s 烹i 二三二i 衰二二暑l 目55d 。在不同时刻的空间等值线圈( 算例一 * 江大学硕= | 肆位论立 v r 算结果 f = l o s f = 3 0 s t = 5 0 s 图56 吒在不同时刻的空问等值线圉( 算例一 淅大学顶学位论文 计掉结果 在流动区域内取两条相互垂直的截巍( 如图57 所示) ，分别命 名为截线a - a 和截线b - b 。围58 至图5 10 是t = 3 0 s 时截线a - a 上颗粒总浓度n ( = 厩) 、算术平均直径“。和几何标准差o - 。的分布 圈。图51 1 至田5 13 是f _ 3 0 s 时截线b b 上n d a n 和o - e 的分布 图。 图57a a 截线和b b 截线示意圉 图58 卢30s 时a a 截线上的颗粒总浓度( 珊。3 ) 分布 c暑譬cmucou 浙江人学硕七学位论文 计算结果 l1 3 o e 。歪 a c o = y 图5 9t = 3o s 时a a 截线上的算术平均直径( 1 1 3 ) 分布 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 0 500 5 y 图5 10t = 3 0 s 时a a 截线上的几何标准差分布 22 co翟母一oq 2 母口c 墨 浙江人学硕七学位论文计算结果 1 e + 1 5 8 e + 1 4 2 e + 1 4 0 o0 511 522 533 54 x 图5 11t = 3 0 s 时b b 截线上的颗粒总浓度( m 。) 分布 - 3 o e 曩 a c 再 。 暑 2 e 0 8 1 8 e 0 8 6 e 0 8 4 e 0 8 1 2 e 0 8 1 e 一0 8 o0 511 522 5 3 3 54 x 图5 12t = 3 0 s 时b b 截线上的算术平均直径( m ) 分布 23 4 4 1 1 + + e e 6 4 co墨_拦-cmocoo 浙江人学硕士学位论文 计算结果 图5 13t = 30 s 时b b 截线上的几何标准差分布 24 co罩丹一o凸2幅刁c耍 浙江大学硕十学位论文计算结果 5 2 算例- - 该算例与算例一类似，模拟一个受壁面限制的二维平面射流场的 发展过程，流场构型如图5 14 所示。 使用重整化群( r n g ) k - e 湍流模型，壁面处理采用标准壁函数 方法，其他设置与算例一完全相同。 图5 14算例二的流场构型示意图 数值求解时，将求解区域划分为3 2 0 8 0 的规则正方形网格，时 间步长设为a t = 0 1s ，求解得到0 至7 0 秒的矩变量分布变化。 图5 15 一图5 17 分别是矩变量矾、冠、皿在不同时刻的空间 等值线图。 图5 18 是算术平均直径d m 。在不同时刻的空间等值线图。 图5 19 是几何标准差盯g 在不同时刻的空间等值线图。 丁睨尘 f 浙大学硕士学位论史 计算结果 t = l o s f = 3 0 s = 5 0 s t = 7 0 s 黑啄；= 磊孑亏；二翟_ 图515 庸。在不同时刻的空问等值线圈( 算例二 渐 学学位论女 计算鲭 = l o s t = 3 0 s t = 5 0 s ，= 7 0 s 5 e l l15 e - 10 25 e 1 035 e 10 45 e 10 图516 厨在不同时刻的空间等值线圈( 算例 渐 学碗学位论文 * 算结果 ，= 1 0 s = 3 0 s ，= 5 0 s = 7 0 s 5 e 3 42 e * 3 335 e 3 35 e 3 365 e - 3 3 围5l7 厢：在不同时刻的空间等值线图( 算例 * 江大 l 学位论文 计算结果 = l o s = 3 0 s ，= 5 0 s = 7 0 s 图5 18d 。在不同时刻的空间等值线圈( 算例二 m 江大学硕学位论立计算结果 t ；l o s = 3 0 s t = 5 0 s t = 7 0 s e ；= 磊孑；_ ， 圉519 口。在不同时刻的空问等值线图( 算例二) 浙江大学碰位论立 计算# 果 在流动区域内取两条相互垂直的截线( 如图5 20 所示) ，分别命 名为截线c c 和截线d d 。图52 1 一图5 23 是t = 3 0 s 时刻截线c - c 上颗粒总浓度n ( = 矾) 、算术平均直径d 。和几何标准差o - 。的分布 图。图5 2 4 一田526 是t = 3 0 s 时n d 。和o g 在截线d d 上的分布。 暑8 e + 1 3 g i g u4 e + ” 图5 20c c 截线和d d 截线示意图 y 图52 1t - 3 0 s 时c c 截线上的颗粒总浓度( i 3 1 3 ) 分布 浙江人学硕士学位论文计算结果 2 e 0 8 1 8 e 0 8 t - 卫 d e l 6 e - 0 8 1 2 e 0 8 1 e 0 8 - 10 50o 5 y 图5 22t = 3 0 s 时c c 截线上的算术平均直径( 1 1 1 ) 分布 y 图5 23t = 3 0 s 时c c 截线上的几何标准差分布 32 80 - e41 西一a c 碍m 苫 co；仃一oo 2门口c_口们 浙江大学硕士学位论文 计算结果 1 2 e + 1 5 8 e + 1 4 4 e + 1 4 0 02468 x 图5 24t = 3 0 s 时d d 截线上的颗粒总浓度( m 。3 ) 分布 2 e 0 8 g o 善1 6 e 0 8 o c o 暑 1 2 e 0 8 o2468 x 图5 25t = 30 s 时d d 截线上的算术平均直径( m ) 分布 33 co暑芒_coocod 浙江火学硕e 学位论文 计算结果 x 图5 26t = 3 0 s 时d d 截线上的几何标准差分布 34 co一口o_r仃墨cg 浙大学砸j 位* i总结与讨论 6 总结与讨论 1 同步隶解了三阶矩方程和流体运动方程，模拟了一个受壁面 限制的二维平面射流场中纳米颗粒分布随时间的变化。结果显示，颗 粒在随流体运动的同时发生扩散和凝并，颗粒体积不断增大，颗粒浓 度不断减小。在射出流体与静止流体的交界面附近，几何标准差达到 最大值，平均直径的最大值出现在交界面内侧区域。 2 比较算例一和算例二的计算结果，可以发现，同一时刻两个 算倒中的颗粒分布有明显差异。以下圈为例： 算例 尊例二 图6 1 t = 2 0 s 时刻属的空问等值线图比较 图61 中显示的流动区域是射流入口段4 m 2 m 的区域。图61 显示，算例一中射出流体的前进速度较幔，横向扩散较明显；算例二 中射出流体前进速度较快，横向扩散较不明显。另外，计算结果显示， 算例一中的流场关于射流前进方向始终是对称的，而算例二中的流场 在发展过程中失去对称性。 浙江大学硕l 学位论文总结与讨论 算例一和算例二的区别在于流动区域的长度和湍流模型的壁面 处理方法。在算例二中采用改进的壁面处理方法，得到与算例一相同 的结果。由此可以推断，两个算例结果中的差别是由湍流模型中不同 的壁面处理方法造成的。 3 基于本文的工作，可以考虑在以下几个方面作进一步研究： ( 1 ) 本文中模拟的流场是二维平面湍流场，而现实中的湍流运 动都是三维的。接下来应该在三维湍流场中进行数值模拟，并与实验 研究进行比较。 ( 2 ) 本文中设定湍流施密特数s c 。为常数，依此求出湍流扩散系 数d 。这是一个很粗糙的近似方法。对于某些特定的流场( 如静止流 体中的圆射流，垂直于主流的圆射流) ，实验研究给出了s c 。的值在流 场中的分布。这些研究结果可以用来提高数值模拟的准确度。在湍流 运动的理论研究尚不完