（应用数学专业论文）关于格蕴涵代数及其滤子的研究.pdf

摘要 7 陪能控制作为一个新兴的研究领域，无论在理论上或实践上都还不太成熟， 不够尧善，需要进一步探索与开发。我们认为格值逻辑系统能为智能控制提供一 定的逻辑基础，格蕴涵代数这一概念的提出又为格值逻辑系统的深入研究提供了 很好的代数方法。为此，本文详细研究了格蕴涵代数的结构及其滤子的性质，为 智能控制的研究提供必要的理论基础。 本文首先给出了由格蕴涵代数诱导出的伴随半群及有关概念，详细讨论了伴 随半群的元素即格蕴涵代数的左映射的性质，得到了关于左映射的几个等价条 件：讨论了由格蕴涵代数诱导的两个双格半群与伴随半群之间的关系，指出此伴 随半群是一个幂等半群当且仅当它由格h 蕴涵代数诱导；证明了格蕴涵代数的 滤予与其伴随半群的序理想之间存在一一对应关系。 接着讨论了格蕴涵代数中的滤子，包括：滤子的几个等价条件，滤予链条件。 并证明了格蕴涵代数满足滤子极大条件当且仅当它满足滤子升链条件；格蕴涵代 数满足滤子极小条件当且仅当它满足滤子降链条件；格蕴涵代数满足滤子升链条 件当且仅当它的所有滤子都是有限生成的。另外还讨论了滤子的素分解和格蕴涵 代数的同态定理 最后探讨了次直既约格蕴涵代数的结构与性质，证明了每一个次直既约格蕴 涵代数都是一个链另外，本文还研究了格蕴涵代数的单性和周期性，给出了格 蕴涵代数具有单性的几个等价条件。 关键词：智能控制格蕴涵代数滤子伴随半群链条件 a b s t r a c t a san e wa n dd e v e l o p i n gr e s e a r c hf i e l d ，i n t e l l i g e n tc o n t r o li sn o tv e r yp e r f e c tb o t h i nt h e o r ya n dp r a c t i c e ，a n dn e e dt ob ef i a l t h e re x p l o r e da n dd e v e l o p e d w et h i n kt h a t l a t t i c el o g i cs y s t e mc a np r o v i d ec e r t a i nl o g i c a lf o u n d a t i o nf o ri n t e l l i g e n tc o n t r o l ，a n d t h ei n t r o d u c t i o no f l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sc a no f f e rv e r yg o o da l g e b r a i cm e t h o d s t o f u r t h e rs t u d yo fl a t t i c el o g i cs y s t e m f o rt h e s er e a s o n s ，i nt h i sp a p e r , t h es t r u c t u r eo f l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sa n ds o m ep r o p e r t i e so f t h e i rf i l t e r sa r ed i s c u s s e da n dih o p e i tc a l lp r o v i d en e c e s s a r yt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o ri n t e l l i g e n tc o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r , a tf i r s tt h ed e f i n i t i o no fa na d j o i n ts e m i g r o u pi n d u c e db yal a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r ai sp r o p o s e da n ds o m ep r o p e r t i e so f i t se l e m e n t s i e 1 e f tm a p sa r e d i s c u s s e d , a n ds e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rl e f tm a p sa 砖g i v e n b e s i d e s ，t h e r e l a t i o o ft w ob i l a t t i c es e i n j g r o u p sa n da na d j o i n ts e m i g r o u po fal a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r aa r ed i s c u s s e da n dt h er e s u l tt h a tt h ea d j o i n ts e m i g r o u pi si d e m p o n e n ti fa n d o n l yi fi ti si n d u c e db yl a t t i c ehi m p l i c a t i o na l g e b r ai sg i v e n i na d d i t i o n i ti sp r o v e d t h a to n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c ee x i s t s e t w c e nt h ef i l t e r so fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s a n do r d e r e di d e a l so f s e m i g r o u p si n d u c e db yt h e m f u r t h e r m o r e ，t h ef i l t e r so fl a t t i c e m p c a t i o na l g e b r a sa r cd i s c u s s e da n ds e v e r a l e q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rf i l t e r sa r eg i v e n b e s i d e s ，c h a i nc o n d i t i o n sf o rt h ef i l t e r so f l a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a s ，t h ep r i m ed e c o m p o s i t i o n o ff i l t e r sa n ds e v e r a l h o m o m o i p m s mt h e o r e m sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y s u b d i r e c ti r r e d u c i b l el a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a s a r es t u d i e da n da c o n c l u s i o nt h a te v e r ys u b d i r e c ti r r e d u c i b l el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sac h a i ni sm a d e b e s i d e s ，t h es i m p l i c i t ya n dp e r i o d i c i t yo fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sa r cd i s c u s s e da n d s e v e r a le q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f s i m p l el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sa r e8 i v e n k e y w o r d s ：i n t 2 u i g e n tc o n t r o l l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s f i l t e r s a d j o i n ts e m i g r o u p c h a i nc o n d i t i o n s 西南交通大学研究生学位论文 第1 页 第一章绪论 自动控制理论是在2 0 世纪4 0 年代开始发展起来的。6 0 年代以前称为经典 控制理论，主要是解决单输入单输出，所研究的系统多半是线性定常系统。6 0 年代到7 0 年代，自动控制理论的发展进入现代控制理论阶段，主要以多变量控 制系统为研究对象，它可以解决多输入多输出问题。上述两种控制理论统称为传 统控制理论，它们的主要特征是基于模型的控制，其控制算法设计和研究都是基 于被控对象的精确数学模型，而对于具有大量不精确的、模糊的、不完全的、不 完全可靠的或未确知信息的现实环境，要建立实用的数学模型是很困难的，甚至 是不可能的近年来，由于信息技术和控制技术的飞速发展，促使控制系统向智 能控制系统的发展及自动化技术向智能自动化技术的发展，成为一种必然的趋 势，智能控制技术得到了迅速发展现在，人们已经很成功地把智能控制技术应 用于许多家电产品及工业过程的控制但是由于智能控制的产生和发展仅仅才几 十年的时间，至今尚未建立起一套较为系统的智能控制理论基础和理论体系，仍 有许多理论问题需要研究和解决本文将进一步研究基于格蕴涵代数的不确定性 推理的理论基础，探讨格蕴涵代数的结构与性质，着重讨论格蕴涵代数中一种熏 要的子结梅一滤子，以期进一步完善以格蕴涵代数为真值域的格值逻辑系统的代 数基础，为智能控制的进一步深入研究做一些准备工作。 1 1 智能控制简述 1 1 1 智能控制的发展 简单地说，智能控制是一种模拟人的行为施于对象以实现自动控制的信息处 理系统，它是人工智能和自动控制的重要分支近半个世纪以来，自动化技术、 计算机技术、人工智能、模糊数学以及仿生学等学科的迅速发展、相互交叉和渗 透，对于智能控制这一新学科的诞生和发展起了积极的推动作用 早在3 0 年前，学习控制的研究就十分活跃，并获得应用最初，学习控制 系统被用于飞行控制、模式分类与通信等。2 0 世纪6 0 年代中期，自动控制与人 工智能开始交接1 9 6 5 年，傅京孙教授首先把人工智能的启发式推理规则用于 西南交通大学研究生学位论文 第2 页 学习控制系统 4 1 。然后，他又于1 9 7 1 年论述了人工智能与自动控制的交接关系1 1 1 这使得研究不依赖于确切的数学模型的自动控制系统成为控制理论研究中的一个 重要的方向。 模糊控制是智能控制的又一活跃研究领域1 9 6 5 年，美国著名的控制论专家 l a z a d e h 创立了模糊集合论0 ，开辟了模糊控制的新领域，为解决具有模糊性 的复杂系统的控制问题提供了强有力的数学工具。在2 0 世纪7 0 年代中期前后， 以模糊集合论为基础，从模仿人的控制决策思想出发智能控制在另一个研究方 向一规则控制上也取得了重要进展1 9 7 3 年，l a z a d e h 提出用模糊语言进行系 统描述的方法1 9 7 4 年。e h m a m d a n i 等人将模糊集和模糊语言逻辑用于控制， 创立了基于模糊语言描述控制规则的模糊控制器嘲，并被成功地用于工业过程控 制，揭开了模糊控制理论在控制领域应用的新篇章 到了2 0 世纪8 0 年代。由于神经网络试图在许多方面模拟人脑功能特别是在 模仿人具有自学习和自适应的功能方面取得了惊人的成功。因此，这一技术也被 人们用来对系统进行控制，从而产生了又一新的智能控制系统神经网络控制系 统不仅如此，神经网络与模糊控制这两项新的智能信息处理技术迅速地结合， 从而不仅促进了各自的快速发展，同时又产生了具有更强的自学习、自适应和控 制功能的智能控制系统模糊神经控制系统 2 0 世纪九十年代以来，各种与智能控制有关的技术，如计算机技术、微电子 技术、传感技术、机器人技术以及智能控制技术本身的不断完善及其广泛应用， 使智能控制的研究与应用出现一股新的热潮各种智能决策系统、专家控制系统、 学习控制系统、模糊控制、神经控制、主动视觉控制、智能规划和故障诊断系统 等己被应用于各类工业过程控倒系统、智能机器人系统和智能化生产( 制造) 系 统 1 9 8 5 年8 月，i e e e 在美国纽约召开了第一届智舷控制学术讨论会1 9 8 7 年 1 月，在美国费城由i e e e 控制系统学会联合召开了智能控制国际会议这次会 议及其后续相关摹件表明，智能控制新学科形成的条件逐渐成熟，智能控制作为 一门独立学科已正式在田际上建立起来 近十年来，国内对智能控制的研究也开始活跃起来。相关学术组织不断出现， 学术会议经常召开- 智能控制的应用研究也已取得了许多成果种种情况表明， 智能控1 喇作为- f l 独立的新学科，也已在我国逐渐建立起来了 西南交通大学研究生学位论文 第3 页 1 1 2 智能控制的特点 智能控制系统是用于驱动自主智能机器以实现其目标而无需操作人员干预的 系统，它必须具有智能调度和执行等能力。由此可看出，智能控制主要具有如下 特点： ( 1 ) 同时具有以知识表示的非数学广义模型和以数学模型表示的混合控制 过程，也往往是那些含有复杂性、不完全性、模糊性或不确定性以及不存在已知 算法的非数字过程，并以知识进行推理，以启发来引导求解过程 ( 2 ) 智能控制的核心在高层控制。高层控制的任务在于对实际环境或过程 进行组织，即决策和规划，实现广义问题求解为了完成这些任务，需要采用符 号信息处理、启发式程序设计、知识表示以及自动推理和决策等相关技术。这些 问题的求解过程与人脑的思维过程具有一定的相似性，即具有不同程度的“智 能” ( 3 ) 智能控制系统主要有学习、适应和组织等功能。 ( 4 ) 智能控制是一门边缘交叉学科，是人工智能、控制论、运筹学和信息 论等学科的交叉。实际上，智能控制涉及更多的相关学科，它的发展需要各相关 学科的配合与支援 1 1 3 智能控制中不确定性推理的逻辑基础 在客观世界或外界客观事物向人脑反映的过程中，存在着大量各种各样的不 精确的、不完全的或不完全可靠的信息一不确定性信息。因此，人们所进行的推 理、判断和决策是基于不确定性信息的思维活动，其中大多数是基于模糊信息的 思维活动智能控制的目的就在于对这些不确定性信息进行处理，模拟人类智能 对被控系统实行有效的控制 推理应依据逻辑，推理的基础是逻辑，精确推理的基础是二值逻辑，经典的 二值逻辑是基于确定性的逻辑系统虽然它对确定性信息的处理是一种十分有效 的工具，但用它无法直接有效地刻画人类基于不确定性的思维活动。因此，不确 定性推理的基础不单是二值逻辑，因为二值逻辑刻画不确定性的能力是不够的。 那么，不确定推理的逻辑基础是什么? 计算机科学、数学科学、人工智能等各个 领域的研究人员纷纷提出和研究各种各样的逻辑系统，如多值逻辑、模糊逻辑、 西南交通大学研究生学位论文 第4 项 格值逻辑、非单调逻辑、模态逻辑、直觉主义逻辑等，试图为智能控制中的不确 定性推理建立合适的逻辑基础。 1 2 本文的写作背景和具体工作 1 2 1 本文的写作背景 由上述关于智能控制的描述可知，智能控制作为一个新兴的研究领域，无论 在理论上或实践上都还不太成熟，不够完善，需要进一步探索与开发。我们需要 在智能控制方面寻找更好的相关理论，对现有的理论进行修正，以期使智能控制 理论得到发展和趋于完善 众所周知，智能控制系统中有许多不确定性信息，智能控制中的关键问题之 一是不确定性推理问题，关于不确定性推理的理论和方法的研究一直是智能控制 与信息处理中一个非常活跃的研究方向。但也有大量的核心理论尚未建立或完 成，诸如不确定性推理的逻辑基础，不确定性推理的推理方法和不确定性推理过 程的数学描述等智能控制中的知识形式大多采用基于规则的表示形式，因此智 能控制中的不确定性推理大多采用基于规则的不确定性推理。为了更深入地研究 智能控制中基于规则的不确定性推理，需要建立相应的逻辑系统，用它来表示基 于规则的不确定性推理的前件、后件以及前件与后件之间的关系。不确定性推理 的规则的前件与后件均表示为相应的逻辑公式，前件与后件之间的关系实际上是 前件对后件的蕴涵关系，这种蕴涵关系可以通过蕴涵算子来刻画，不确定性推理 过程则可以通过逻辑公式的真值和蕴涵算子而在真值域上实现因此，就需要深 入研究逻辑公式的带相应的代数结构的真值赋值域在各种逻辑系统中，“蕴涵” 是一基本的逻辑连接词设p ，q 是两个命题，“若p 则q ”可记作p _ q ，其中 “斗”可以用某种蕴涵算子刻画。关于蕴涵算子已有不少文章讨论过，特别是 近年来关于近似推理的大量研究中许多以蕴涵算子为研究对象为研究蕴涵算子 的共性，吴望名教授在文【i l 】中引进了f u z z y 蕴涵代数( 简称为f i 代数) 的概 念，并详细地讨论了一类h e y f i n g 型f i - 代数一正则h f i - 代数的性质，f i 代数是【o ， l 】值逻辑的蕴涵连接词的一种代数抽象。1 9 5 8 年，国际著名模型论专家c c c h a n g 提出了另种代数结构一多值逻辑代数，简称为m v 代数【1 2 i ，并利用它成功地证 西南交通大学研究生学位论文 第5 项 明了无限值l u k a s i c w i c z 逻辑完备性定理【1 3 l 。后来，不少学者对m v - 代数的有关 性质与结构作了详细的研究( 例如文 1 4 】) 。b c k - 代数则是由日本数学家k i s 6 k i 于1 9 6 6 年从命题演算系统的代数公式化的角度提出的另一种代数结构，此后 又提出了b c i 代数的概念【1 6 j ，并证明了b c k - 代数类c b c b 代数类，由此，b c i - 代数理论就成为一种独立的代数理论而出现并得到迅速地发展。3 0 多年来，对 b c k o 代数和b c i 代数理论的研究已有了丰硕的成果( 见专著 1 7 】) 。1 9 8 6 年， d m u u d i c i 证明了m v 代数范畴等价于有界可换的b c k 代数f ”l 。 在典型的不确定性推理方法中，如概率推理一主观b a y c s 方法，可能性理论， 确定因子推理，证据理论和模糊推理等，为每一个公理( 事实或规则) 所赋的值 常常取在【o ，1 】区间上，如模糊推理中模糊子集的隶属函数在【o ，l 】区间上取值； 而用概率来刻画推理( 规则、证据和结论) 的不确定性也是在【o ，1 】区间上取值。 【0 ，1 】区间的最大优点是其具有全序性，即任意两个值都可以比较大小在实际 情形下，有许多不确定性并不能相比较，在两个推理规则( 证据或结论) 间并不 一定谁更真，甚至无法判断其相应的真实程度。因此研究具有格结构的真值赋值 域便更具有实际意义 1 9 9 0 年，为了更广泛地研究格值逻辑系统，我的导师徐扬教授在其主持的国 家自然科学基金项目“抽象模糊逻辑的研究”中把格与蕴涵代数相结合，提出了 格蕴涵代数的概念h 习，并以此作为格值逻辑系统的真值域同时还对格蕴涵代数 的格论性质嗍及同态映射m 等进行了较详细的研究，为进一步研究格值逻辑系统 创造了条件此后，秦克云教授、宋振明教授、刘军博士和马骏博士等相继对格 蕴涵代数的结构和性质进行了深入研究，得到了一些很有价值的研究成果1 】。 但是格蕴涵代数的理论仍不完善，还不能满足对格值逻辑系统开展研究的需要。 本文正是在这样的背景之下，试图进一步研究格蕴涵代数的结构与性质，为以格 蕴涵代数为真值域的格值逻辑系统提供一定的代数基础，为智能控制寻找更好的 理论基础，以期使智能控制更快更好地发展 1 2 2 关于格论的国内外研究现状分析 由于格在格蕴涵代数中发挥着重要作用，为了更好地了解格结构，我们有必 要先回顾一下格论发展的历史以及它的内容、研究方法和意义，这有助于我们更 有效地研究格蕴涵代数 西南交通大学研究生学位论文 第6 项 格的来源可以追溯到g e o r g eb o o l e 和r i c h a r dd e d e k i n d b o o l e 于18 5 0 年前 后成功地利用数学方法研究了人类思维规律，他的成果导致了b o o l e 代数的建立， 这是历史上最早出现的一种重要的特殊的格。d e d e k i n d 于1 9 0 0 年前后关于可除 性的研究导致了模格( 或称d e d e k i n d 格) 的建立，以及非b o o l e 代数的格的出 现。在此之前，p i 鲫c “1 8 8 0 ) 已经首次认识到分配性的重要性，两条分配律的等价 性的证明也由s c h r o d e r ( 1 8 9 0 年) 给出。于是按现在的语言来说，b o o l e 代数是特殊 的分配格，而分配格又是d e d e k i n d 的模格的特殊情形。因此可以想象，格的研 究领域已经相当宽广了。不过d e d e k i n d 当初把格称为对偶群。事实上，按现在 的观点来看，个格恰恰是两个对偶半群的有机结合 1 9 3 3 年，代数学家g a r r e t tb i r k h o f f 利用质渗透成功地建立了分配格的表示 定理：“任意分配格必同构于某幂集格的某子格”。1 9 3 5 年，逻辑学家 a l i n d e n b a u m 和a t a r s k i 首次证明了“一个b o o l e 代数同构于某集合的幂集格当 且仅当它是完备且原子的”1 9 3 4 - - 1 9 3 7 年，m h s t o n e 成功地建立了b o o l e 代数 的后来以他的名字命名的著名的表示定理。s t o n e 首先在b o o l e 代数和b o o l e 环 ( 幂等且有单位元的环) 之间建立了一种简单而奇妙的联系：“b o o l e 代数等价于 b o o l e 环”其次，s t o n e 利用质理想概念和拓扑学方法证明了“任一b o o l e 代数 等价于一个紧h a u s d o r t f 的极不连通空间。”后来的数学家将这样的空间称为s t o n e 空间若用现在的范畴论语言来说，s t o n e 事实上已经证明了：b o o l e 代数与b o o l e 同态的范畴等价于b o o l e 环与环同态的范畴，也等价于s t o n e 空间与连续映射的 范畴与m h s t o n e 相比，g a r r e t tb i r k h o f f 不只关注于b o o l e 代数，他的着眼点 更加注目于比b o o l e 代数远为宽广的分配格以及更一般的格。b i r k h o f f 及其学派 的先锋工作系统地展开了对一般格论的研究，并把格论发展成为数学中公认的一 个分支b i r k h o f f 的( l a t t i c et h e o r y 是一般格论的经典著作川。 b o o l e 代数产生于人们对思维规律的数学描述，它成功地刻划了经典逻辑的 命题演算系统但是。在现代逻辑中不只有经典逻辑还有其它各种各样的逻 辑系统，其中有的还与各种各样的格相对应比如，经典逻辑( c l a s s i c a li o g i c ) 对应着b o o l e 代数；赢觉主义逻辑( i n t u i t i o n i s t i cl o g i c ) 对应着n e y t 咄代数；几 何逻辑( g e o m e t r i cl o g i c ) 对应着f r a m e 这里，f r a m e 也是一种格，它对任意并 和有限交封闭，并且满足有限交对任意并的分配律h e y t i n g 代数则是由a h e y t i n g 在1 9 3 0 年伴随着他的直觉主义命题演算系统的形式化而引进的概念。 西南交通大学研究生学位论文 第7 项 b o o l e 代数在自动化技术和电子计算机的逻辑设计中得到了广泛应用。不仅 如此，b o o l e 代数还被应用于仿生学、集合论和数字通讯等许多领域。不仅b o o l e 代数能够方便地应用于电子计算机的硬件设计，而且最近研究表明，对应于几何 逻辑的f r a m e 理论也广泛地用于计算机科学特别是程序设计。 格论的成长在很大程度上也促进了泛函分析的发展，泛函分析中着重考虑格 的影响以及更一般的偏序结构影响的分支叫做半序空间理论，诸如h i l b o r t 空间 自伴线性算子的正性，实值函数的几乎处处收敛和逐点收敛等等，这些都是半序 空间的基本材料。半序空间理论糅合代数、拓扑、分析等各种思想和方法于一体， 其基本内容包括半序群、全序群、半序环、半序线性空间、格群、r i c s z 空间、b a n a c h 格、格环等等，其内容已相当丰富，并仍在继续发展。 格论与一般拓扑学也是两门紧密联系的学科，它们之间相互影响，相互渗透， 推动着彼此的发展，这样就逐渐导致了一门新学科拓扑格论的诞生。对拓扑格 论的深入研究是从5 0 年代后期开始的c e h r e s m a n n ( 1 9 5 7 ) 和他的学生j b e n a b o u 首先提出一种思想使拓扑格论的基本内容发生了根本变化。他们认为具有某种分 配律的格，比如完备的h c y t i n g 代数，本身就有作为一种广义拓扑空间来研究的 价值。从此以后的3 0 年，许多数学家对完备的h e y t i n g 代数进行了大量的研究， 逐渐建立了一种新的数学分支i 挑a l c 理论。l o c a l e 理论与从计算机科学中发展 起来的连续格理论密切相关。上述拓扑格论的研究对象是不涉及点及其邻近构造 的广义空间缺少点的概念使拓扑格论的应用及其自身的发展受到了限制，这就 要求发展格上有点化拓扑理论。 f u z z y 拓扑学始于6 0 年代末期，1 9 6 8 年c d c h a n g 以z a d e h 的f u z z y 集理 论为骨架，引入了f u z z y 拓扑空间的概念，并把诸如开集、闭集、邻域0 连续性 以及紧性等基本概念推广到f u z z y 拓扑空间中，这是f u z z y 拓扑学的开端。在此 基础上，c k w o n g 做了大量的推广工作，他第一个发现了f u z z y 拓扑学与经典 拓扑学的重大差异，并引入了f u z z y 点的概念这使人们认识到f u z z y 拓扑学要 比经典拓扑学复杂地多。 1 9 7 7 年，蒲保明和刘应明在分析了c k w o n g 的f u z z y 点及邻域系的弊病之 后，修改了f u z z y 点以及它对一般f u z z y 集的从属关系的定义，首次打破了传统 的邻域思想，创立了重域概念，确立了合理的邻近构造。建立起了完整的 m o o r e - s m i t h 收敛理论p 帅1 此后。有点化f u z z y 拓扑学得到了蓬勃发展，并已 西南交通大学研究生学位论文 第8 项 推广到l f u z z y 拓扑空间中。王国俊1 9 7 9 1 9 8 5 年的一系列工作创立了拓扑分子 格理论1 3 5 - 3 7 】，这一理论以他创立的分子、远域、广义序同态为新工具，开创了格 内有点化拓扑的系统研究，同时也将经典拓扑学、f u z z y 拓扑学、l f u z z y 拓扑 学纳入了拓扑格论的轨道。 我们知道，一个集合x 的所有子集全体按照通常的并、交、补运算作成一 个完备的原子的b o o l e 代数，它是原子b o o l e 代数的一个理想的模型。现在，对 于集合x 的所有f u z z y 子集全体来说，它按f u z z y 集合论的并交运算作成一个完 全分配格，这是分子格的一个最典型的现实模型。1 9 6 7 年，j a g o g u e n 又把 l a z a d e h 的f u z z y 集合论的值域i - 【0 ，1 】推广到格l ，建立了l f u z z y 集的理论 1 3 3l 。集合论是现代数学的基础，f u z z y 集合论使这种基础发生了深刻的变化，特 别是l - f u z z y 集合论的建立，更是大大刺激了f u z z y 数学对序结构、格结构，以 及由此而带来的丰富的层次关系的研究。 按照b o u r b a k i 的结构主义观点，纯粹数学的各个分支是由序结构、代数结构、 拓扑结构这三大母结构繁衍派生渗透而成的。格具有三重结构，格在数学研究中 扮演着多重角色。首先，格是具有偏序“”的序结构；其次格是具有代数运算 “v ，a ”的代数结构；格上的序结构“”和代数结构“v ， ”通过下述关系而 紧密地结合起来：“t 2 v b = b 口b 口 b = a ”。按拓扑学的观点，某些格本 身就呈现出很好的拓扑结构。此外，从泛代数的观点来看，在所有代数结构，如 群、环、域和模等的公共性质的研究中，格都以一种基本的和自然的方式出现并 发挥着重要作用。另外，象群、环、域和模一样，格也是一种重要的代数模型。 格在泛代数中所起的重要作用，使得它成为泛代数中一个具有特殊重要性的研究 对象。也正是因为格的独特的多重结构和多重角色，使得它对数学及其它科学的 广阔领域不断产生着深刻的影响和广泛的应用。 1 2 3 本文的具体研究工作 自1 9 9 0 年徐扬教授提出格蕴涵代数的概念以来，秦克云教授、宋振明教授、 刘军博士和马骏博士等相继对格蕴涵代数及基于格蕴涵代数的格值逻辑系统进行 了深入的研究。本文是在上述研究成果1 4 4 - 7 6 1 的基础之上，详细讨论了格蕴涵代数 的结构与性质，目的是为基于格蕴涵代数的格值命题逻辑开展更广泛的研究提供 西南交通大学研究生学位论文第9 项 一个坚实的理论基础。 本文系统而详细地研究了如下几个方面的内容： 一、关于格蕴涵代数的伴随半群的研究 给出了由格蕴涵代数诱导出的伴随半群及有关概念，详细讨论了伴随半群中 的元素即格蕴涵代数的左映射的性质，同时得到了关于左映射的几个等价条件； 讨论了格蕴涵代数的两个双格半群及其伴随半群之间的关系，并指出此伴随半群 是一个幂等半群当且仅当它由格h 蕴涵代数诱导；最后证明了格蕴涵代数的滤 子与其伴随半群的序理想之间存在一一对应关系。 二、关于格蕴涵代数中的滤子的讨论 给出了滤子的几个等价条件；讨论了格蕴涵代数的滤子链条件，证明了格蕴 涵代数l 满足滤子升链条件当且仅当l 的所有滤子都是有限生成的；讨论了滤 子的素分解，给出了滤子的极小素分解的唯一性，指出格蕴涵代数l 的任意一个 真滤子都等于包含它的所有极小素滤子的交；系统地给出了格蕴涵代数的同态定 理。 一、关于几种特殊的格蕴涵代数的结构与性质的研究 讨论了次直既约格蕴涵代数以及具有单性或周期性的格蕴涵代数，证明了每 一个次直既约格蕴涵代数都是一个链：给出了一个格蕴涵代数是次直既约的和它 具有单性的几个等价条件。 1 3 预备知识 本节简单介绍格论与群论的一些概念及相关知识，作为本文研究工作的准 备。 定义1 3 1 m 1 设p 是一个集合，p 上的二元关系“s ”叫做一个偏序( 或半序) ，如果 满足：对p 中任意的元素a ，b ，c ， ( 1 ) 自反性：a 口； ( 2 ) 反对称性：如果a s b , b s 口，则a = b ； ( 3 ) 传递性：如果a s b , b c ，则a sc ； 西南交通大学研究生学位论文第1 0 项 这时称( p ，) ( 或简称为p ) 为一个偏序集( 或半序集) 。 如果集合p 上的一个偏序“”对于p 中任意的元素a ，b ，恒有口6 或6 口，则 “s ”叫做一个全序。 偏序集中的元素a ，b 叫做可比较的，如果口b 和b s 口中有一个成立。如果一个 偏序集p 的一个子集a 的任一对元素都是可比较的，则a 叫做p 的一个链。 定义1 3 2 【7 。1 当偏序集( p ，) 有泛界0 和l 时，称0 的上邻( 若存在) 为p 的原子， 即：如果p 中的非零元a 满足：对任意的x ( x o ) ，x a x = a ；称1 的下邻( 若 存在) 为p 的对偶原子，即：如果l 中的元素a ，口l ，满足：对任意的 x ( x 1 ) 口x jx = a 。 定义1 3 3 m 1 在一个偏序集犯，) 中，如果任意两个元素x ，y 都有上确界zvy 和下 确界x a y ，则称偏序集犯，) 为一个格。 如果格l 上存在一个拟序对合映射：l _ 三，则称格l 为有余格。 定义1 3 4 t 7 9 1 设s 是一非空集合，如果在s 上定义了一个二元运算，记作a b ( 读 作乘法) ，它适合条件： ( 1 ) a ( b c ) = ( a b ) c ( 结合律) ，v a ，b ，c s ； ( 2 ) 在s 中有一元素e 具有性质：对所有的口s ，e a = a e = a ， 那么s 就称为幺半群，其中元素e 称为单位元。 如果幺半群s 的运算进一步适合交换律，即a b = b a , 那么s 就称为交换幺半群。 如果q 是幺半群s 的一个子集合，且具有性质： ( 1 ) ee q ；( 2 ) q 对乘法运算封闭， 那么q 就称为s 的一个子幺半群。 如果s l 和s 2 是两个幺半群，l 和1 分别为s 。和s ：中的单位元，s 。到s ：的一 个映射f 称为一个同态，假如它满足条件： ( 1 ) 对s l 中任意的元素a b ，有f ( a b ) - - f ( a ) f ( b ) ； ( 2 ) f ( 1 ) = 1 。 西南交通大学研究生学位论文 第1 1 项 定义1 3 5 t “1 在半群s 中，使得a a 成立的元素a 称为半群的幂等元。如果半群s 中的任意一个元素都是幂等元，则称此半群为幂等半群。 定义1 3 6 t 8 2 1 设s 是一个半群，且具有偏序“s ”，满足：对任意的口，b ，c s ， 口b j 口c b c 。c a sc b ，则称s 是一个偏序半群。若半群的乘法适合交换律， 则称此半群为交换的偏序半群。称偏序半群s 为正序的( 负序的) ，如果对任意的 a ，b s ，有口，b a b ( a b a ，6 ) 。 定义1 3 7 【8 3 1 设s 是一个正序半群，i 为s 的一个非空真子集，称i 为s 的一个序理 想，若它满足条件： ( 1 ) 对任意的x , y s ，x y i x , y ，； ( 2 ) 如果x 咀y x ，贝0 y ，。 极大原理【7 9 】设t 是由集合s 的若干子集作元素组成的非空集合，t 按包含关系 构成一个偏序集。如果t 的每一个链都有一个上界，则t 有一个极大元素。 极小原理设t 是由集合s 的若干子集作元素组成的非空集合，t 按包含关系构 成一个偏序集。如果t 的每一个链都有一个下界，则t 有一个极小元素。 佐恩引理若一个偏序集s 的每一个链都有上界，则s 有一个极大元。 西南交通大学研究生学位论文 第1 2 - 页 第二章关于格蕴涵代数 格蕴涵代数是徐扬教授在研究多值逻辑以及逻辑公式的真值取于格上的逻辑 系统时，把格与蕴涵代数相结合而建立的一种代数结构，它采用公理化的方法对 蕴涵算子给出了有效的刻划，其目的是为了建立一种更广泛、更合适的格值逻辑 系统，以便为智能控制中的不确定性推理和智能计算机提供合适的逻辑基础。本 章主要讨论了下面几个方面的内容： 1 研究了由格蕴涵代数诱导的伴随半群的性质以及它与双格半群之间的关系，并 由伴随半群刻划了格蕴涵代数的一些特征； 2 讨论了格蕴涵代数的滤子与其诱导的伴随半群的序理想之间的关系。 2 1 格蕴涵代数中的一些主要结论 本节简单介绍有关格蕴涵代数的基本概念和些主要结论，它是本文研究工 作的基础。因篇幅所限，我们仅给出用到的一些结论，对已有的结论省略了证明， 具体证明和细节可参阅相应的文献 4 4 “】。 定义2 。1 1 1 4 s ! 设( 厶v ，a ，) 是一有泛界0 ，l 的有余格1 。若映射一：三三斗三，满足： 对于任意的x ，y ，z ， ( 1 1 ) x _ ( y _ z ) = y _ b _ z ) ； ( 1 2 ) x 斗x = 1 ； 0 0 x _ y = y o x r ； ( 1 4 ) 若x 寸y = y 专x = l ，则x = y ； ( i s ) g 斗y ) 寸y = 一x ) 一x ， 则称( l ，v ，a ，一) 是一拟格蕴涵代数。若它还满足 西南交通大学研究生学位论文 第一13 项 ( 1 。) g v ) ，) 哼z = 0 一z ) ( y 斗z ) ； ( 1 ：) g ) ，) 一z = g z ) v ( y _ z ) ， 则称( 厶v ， ，寸) 是格蕴涵代数。若它还满足： x v y v 如 y ) _ z ) = 1 ，则称( 厶v ， ，寸) 是格h 蕴涵代数。 例2 1 1 设l = ( 0 ，1 ) 。运算v ，x ，一，分别如下定义： 盛暖岛 余运算定义为：l = 0 , 0 = 1 。 则( 厶v ， ，寸) 是一个格蕴涵代数。它是经典逻辑中的二元布尔代数，简记为h 2 。 倒2 1 2l = 0 ，a ，b ，1 ) 。l 上的余运算和运算“_ ”，“v ”和“ ”分别定义如 下：余运算：0 = 1 ，口= b , b = 口，1 = 0 _oab 1 oll l1 a blb l ba al l 1oab 1 v 0ab l 0o abl aaal 1 bb lbl 1111 l oabl o oooo aoa0 a bo obb lo a b 1 西南交通大学研究生学位论文 第- 1 4 页 l 上的偏序关系“”如图2 1 1 所示。 a o b d a 0 b c 图2 1 1l 上的偏序关系“s ” 图2 1 2l 上的偏序关系“” 则( ，v ， ，- ) 构成一个格蕴涵代数，简记为l 。 例2 1 3 嘲设l = 【o ，1 】。运算v ， ，专分别定义为：v x ，y l ， x v y = m a x x ，y ) ，x a y = m i n x ，y ) ，一= 1 - x ，x _ y = l ( 1 - x + y ) 。 则( 工，v ， ，) 是一个格蕴涵代数。我们常称它为l u k a s i e w i c z 蕴涵代数，简记为 r 0 ，l 】。 倒2 1 4 设( l ，v ， ? ) 是一个布尔格。v x ，y l ，x y = ，v y ，则( l ，v ， ，专) 是一个格h 蕴涵代数。 例2 1 5 嘲设l = o a ，b ，c ，d ，1 是以图2 1 2 所示的偏序集。定义l 上的并运算“v ” 和交运算“ ”为：x v y = g y ) 斗y ，x y = _ y ) _ y ) ，v x ，y l 。 其中。l 上的蕴涵运算“_ ”定义如下： oab cd1 ol 11lll ac lbcbl bda1 bal caalla1 d b1lbll 10ab cd l 余运算定义为：1 = 0 , 0 = 1 ；口= c ，c = 口；b = d ，d = b 。 西南交通大学研究生学位论文 第15 项 则( 厶v ， ，一) 是一个格蕴涵代数。 由上述例子可以看出，格蕴涵代数是一类比较广泛的代数结构，它不仅包含 了两类极为重要的逻辑代数结构，即布尔代数和l u k a s i e w i c z 代数，同时也包含 了非链结构，这可以用来刻画真值的不完全可比较性，从而可以更真实地描述人 类的思维活动，增强了以此为基础的格值逻辑系统的表达能力。 定理2 1 i t “i 设( l ，v ， ，一，0 ，1 ) 是一个格蕴涵代数，对于任意的x ，y ，z l ，有： ( 1 ) x 一0 = x p , 1 _ x = 工； ( 2 ) x y 当且仅当x y = 1 ( 3 ) ( x _ y ) 一y ：x v y , x y = 始哼) ，) 一x y ； ( 4 ) x 寸vz ) = b y ) v ( x z ) ，x c y z ) = g _ y ) g jz ) ： ( 5 ) x y 工v y 。 ( 6 ) g _ z ) 斗( y 哼z ) = y _ g vz ) = 0 一x ) 哼( _ y 一工) ； ( 7 ) 0 _ x ) _ ( z j y ) = ( x z ) - - - y = g _ z ) j g _ y ) ： ( 8 ) 若x s y ，则工_ = 2 y _ z ，z 寸x z _ y 。 定理2 1 2 1 “1 拟格蕴涵代数( 厶v ， ，_ ，0 ，1 ) 为格蕴涵代数当且仅当：对于任意的 墨y ，z l ，有：( 1 ) g y ) 斗y = x v y ； ( 2 ) x s y 当且仅当x _ y = 1 ； ( 3 ) ( l , v ， ) 为分配格。 定理2 , 1 3 删设( 厶v ， ，_ ，0 ，1 ) 是格蕴涵代数。则下述命题等价： ( 1 ) (