（理论物理专业论文）熵势垒和空间分布摩擦系数对布朗粒子输运的影响.pdf

涨落耗散 介观系统和生 朗运动作为涨 化和微观粒子 理论指导。本 势垒的环境中，第二类是空间不均匀摩擦系数的环境中。 第一章我们简单介绍了布朗运动的背景、两个著名的非平衡物理模型及相 关研究的意义。 第二章简要总结了描述布朗粒子动力学演化的几种方法。 第三章我们构建了一个存在熵势垒和能量势垒的b u t t i k e r - l a n d a u e r 马达一 一一种温差驱动的布朗马达，并且探讨了热机中布朗粒子的输运特点。我们发 现布朗粒子的运动受到了通道形状的影响。当形状随着平坦比值变化时，熵势 垒的存在引起了非对称变化的粒子流。存在可优化的平坦比值( 非零) 使粒子流达 到最大。 一 第四章建立了载流子在电荷空间的动力学方程和布朗粒子的朗之万方程之 间对应的关系。提出了非线性电阻中载流子是一类在空间分布型摩擦系数环境 中运动的布朗粒子。解载流子的福克普朗克方程得到了帕尔帖系数和非线性电 阻的伏安特性曲线的关系。进一步构建了一个简单的半导体热整流器，计算了 装置的效率和热电流。发现装置不能运行在可逆条件下。 关键词：布朗马达，热涨落整流器，熵势垒，f o k k e r - p l a n c k 方程 a b s t r a c t a b s t r a c t f l u c t u a t i o n d i s s i p a t i o nt h e o r e m ( f d t ) i s a l li m p o r t a n t t h e o r y i nt h e n o n - e q u i l i b r i u ms t a t i s t i c a lp h y s i c s i tc a l lw e l le x p l a i nt h ep r o b l e m so ft h ee n e r g y c o n v e r s i o na n d p a r t i c l e st r a n s p o r tp r o c e s sw h e r ef l u c t u a t i o n sp l a yam a j o rr o l e ：f l u i d s ， m e s o s c o p i ca n db i o l o g i c a ls y s t e m s b r o w n i a nm o t i o ni sas i g n i f i c a n tm o d e lo ff d t , t h em a i nr e s e a r c hi st h ee n e r g yc o n v e r s i o no ft h e r m a lf l u c t u a t i o n sa n dt r a n s p o r t p r o c e s so fm i c r o - p a r t i c l e sf a rf r o me q u i l i b r i u m t h ei n v e s t i g a t i o no nt h et r a n s p o r t p r o c e s s e so fb r o w n i a np a r t i c l ep r o v i d e st h e o r e t i c a l g u i d a n c ef o rd e v e l o p i n g m o l e c u l a rm o t o r s i nt h ep r e s e n tt h e s i sw ew i l li n v e s t i g a t et h et r a n s p o r tp r o c e s so f b r o w n i a np a r t i c l e si nt w ot y p i c a le n v i r o n m e n t s ：o n ei si nt h ee x i s t e n c eo f e n t r o p y b a r r i e r ；t h eo t h e ri si nt h es p a c ed e p e n d e n tf r i c t i o nc o e f f i c i e n t i nc h a p t e r1w ea b s t r a c t l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f b r o w n i a nm o t i o n ，t h et w o w e l l - k n o w nm o d e l so fn o n e q u i l i b r i u m p h y s i c sa n dt h es i g n i f i c a n c eo fr e l a t e d r e s e a r c h e s i nc h a p t e ri is e v e r a lm e t h o d si nt h ed e s c r i p t i o no ft h ed y n a m i c a le v o l u t i o no f b r o w n i a np a r t i c l e sa r es u m m a r i z e db r i e f l y i nc h a p t e ri i i ，am o d e lo fab u t t i k e r - l a n d a u e rm o t o r , w h i c hi s ap o s i t i o n d e p e n d e n tt e m p e r a t u r e - d r i v e nb r o w n i a nm o t o r , w i t he n t r o p i ca n de n e r g yb a r r i e r s h a v eb e e nb u i l ta n db e h a v i o ro ft h ec u r r e n to fb r o w n i a np a r t i c l e sh a sb e e ns t u d i e d i t i sf o u n dt h a tt h em o t i o no ft h eb r o w n i a np a r t i c l e si si n f l u e n c e db yt h es h a p eo ft h e c h a n n e l t h ee x i s t e n c eo fa ne n t r o p i cb a r r i e rc a nc a u s ea na s y m m e t r i cc u r r e n ta st h e f l a t n e s sr a t i oo ft h es h a p ev a r i e s t h e r ee x i s t sa no p t i m i z e df l a t n e s sr a t i o ( n o n z e r o ) a t w h i c ht h ec u r r e n tr e a c h e si t sm a x i m u mv a l u e i nc h a p t e ri vt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed y n a m i c so fa ne x c e s sc h a r g ec a r r i e r e v o l v i n gi nt h ec h a r g es p a c eh a v eb e e ne s t a b l i s h e d t h ee x c e s sc h a r g ec a r r i e ri nt h e n o n l i n e a rr e s i s t a n c ei sp r o p o s e dt ob eak i n do fb r o w n i a np a r t i c l e sm o v i n gi nt h e e n v i r o n m e n tw i t hs p a c ed i s t r i b u t i o nf r i c t i o nc o e f f i c i e n t s o l v i n gt h ef o k k e r - p l a n c k e q u a t i o no ft h ee x c e s sc h a r g ec a r r i e rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ep e l t i e rc o e f f i c i e n t a n dt h ev o l t a m p e r ec h a r a c t e r i s t i c so ft h en o n l i n e a rr e s i s t a n c eh a sb e e nd e r i v e d a i l l s e m i c o n d u c t o rt h e r m a lf l u c t u a t i o nr e c t i f i e rh a sb e e nc o n s t r u c t e d ，e f f i c i e n c yo ft h e d e v i c ea n dt h e r m a lc u r r e n th a v eb e e nc a l c u l a t e d i ti sf o u n dt h a tt h ed e v i c ec a n t w o r ki nr e v e r s i b l ec o n d i t i o n s k e yw o r d s ：b r o w n i a nm o t o r ，t h e r m a lf l u c t u a t i o nr e c t i f i e r ,e n t r o p i e b a r r i e r ,f o k k e r - p l a n e ke q u a t i o n i v 目录 目录 摘要 a b s t r a c t ” 第1 章绪论 1 1 背景介绍一 1 2 费曼棘轮棘齿模型和麦克斯韦妖 1 3 布朗运动的若干问题及研究意义 1 4 本文的主要工作 第2 章布朗运动的描述 2 1 分子模拟法( m o l e c u l a rd y n a m i cs i m u l a t i o n ) ” 2 2 布朗运动的朗之万方程( l a n g e v i ne q u a t i o n ) ” 2 3 福克- 普朗克方程( f o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n ) 2 4 主方程( m a s t e re q u a t i o n ) ” 第3 章存在熵势垒的二维b l l t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流特征“ 3 1 弓i 言 3 2 二维b l 热机模型一9 3 3 存在熵势垒下布朗粒子的动力学方程”1 1 3 4 结果和讨论“1 3 3 5 本章小结l7 第4 章半导体热电效应的分析1 8 4 1 引言l8 4 2 二极管的p e l t i e r 效应”l8 4 3 朗之万方程的数值模拟”2 0 4 4 半导体热电效应的分析2 2 4 4 1 小电流极限下装置的效率2 2 4 4 2 装置产生热电流时的电流大小的计算2 4 v 目录 4 5 本章小结2 5 第5 章结论与展望2 6 5 1 结论2 6 5 2 进一步工作的方向与展望”2 6 致 射2 8 参考文献2 9 攻读学位期间的研究成果3 2 v i 第1 章绪论 1 1 背景介绍 第1 章绪论 十九世纪下半叶，统计物理作为一门新兴的分支学科进入了物理学。玻尔 兹曼( b o l t z m a n n ) 著名的等概率原理和玻尔兹曼方程为统计物理的创立奠定了基 础。玻尔兹曼、麦克斯韦( m a x w e l l ) 等人将概率的语言引入被决定性理论统计的 物理学，是物理学发展史上的一场革命。二十世纪初，吉布斯系综理论的建立， 标志着平衡态统计物理理论已趋于成熟。但是在实际中，绝大多数问题都是在 非平衡态下的演化过程。一百多年前，爱因斯坦( e i n s t e i n ) 对布朗粒子的开创性研 究和著名的朗之万( l a n g e v i n ) 方程的建立，开始了统计物理探索非平衡系统的动 力学的重要阶段。此后，把随机性作为一个专门的对象，研究随机力的性质以 及它对各类宏观系统的影响，成为统计物理的一大分支。 从经典物理学知道，布朗运动指的是在环境媒介液体中，小的但比分子大 的微小粒子做的不规则运动，这种不规则运动是由于媒介中的原子或分子与粒 子间发生碰撞而引起的，碰撞引起了粒子速度和运动方向的改变。由于碰撞是 随机发生的，这使得布朗粒子运动是一种随机运动。直观上看来，布朗粒子的 随机运动类似于微小生物体的运动，因此，英国植物学家布朗( r o b e r tb r o w n ) 在 1 8 2 7 年发现这种微小粒子在液体中作不规则运动时，才会误认为这些粒子是有 生命的生物个体。在二十世纪初众多物理学家如爱因斯坦、斯莫卢霍夫斯基 ( s m o l u c h o w s k i ) 、朗之万和其他学者阐明了布朗粒子的行为可以用简单的物理模 型来解释。这种无生命的布朗粒子所做的运动其实是被动运动，粒子保持了运 动是因为磨擦引起的能量消耗和环境媒介碰撞随机力提供的能量达到了平衡状 态，并且发展出了涨落耗散定理( f l u c t u a t i o n d i s s i p a t i o nt h e o r e m ，f d t ) u j 。 1 2 费曼棘轮棘齿模型和麦克斯韦妖 费曼斯莫卢霍夫斯基棘轮棘齿( f e y n m a n s m o l u c h o w s k ir a t c h e ta n dp a w l ) t 1 】 如图1 1 所示，图形中的轴一端是棘轮，棘轮顺时针和逆时针转动时的阻力相差 第1 章绪论 很大，这时轴一般都会顺时针转动，另一端则是叶片，轴中央系一个滑轮，可 以把重物提升。现在我们把整个装置放在同一个温度下，由于环境分子的热涨 落使得分子撞击叶片时总力矩不平衡，平板将会有微小的震荡，而另一端的棘 齿又只允许叶片单方向转动，所以整个装置将克服涨落顺时针转动，并且提升 重物对外做功。 图1 1 费曼棘轮和棘爪的模型图 费曼棘轮装置可以借助热涨落把气体分子无序的热运动转化成齿轮的单方 向转动并且提升重物对外做功，我们制成成了第二类永动机! 费曼棘轮装置明 显违背热力学第二定律，这显然是不可能的! 事实上环境分子的涨落非常的微 小，我们需要制作一个非常细小的棘齿才能把涨落转换成叶片的定向转动。而 正如斯莫鲁霍夫斯基指出的，如此细小的棘齿本身的涨落就不可忽略。所以即 使某次棘齿转了一格，它本身的涨落也可能使装置向后转动。所以如果整个装 置放在同一环境中，装置的随机性将随着时间的增加而消失，而不会顺着一个 方向永远转动下去。如果棘齿和叶片分别放在不同的环境温度中，两边的热涨 落不同，此时转轴有可能单向转动。由于热涨落的起因是气体分子对粒子的非 平衡碰撞，和悬浮在液体中的布朗粒子的随机运动有相似之处，所以我们把这 类热机称为布朗热机。费曼棘齿是一类典型的温差驱动型布朗热机。 图1 2 麦克斯韦妖示意图 2 第1 章绪论 麦克斯韦妖( m a x w e l l sd e m o n ) 是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个 分子的运动，于1 8 7 1 年由英国物理学家麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律 的可能性而设想的。 当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制。但他 无法清晰地说明这种机制。他只能诙谐的假定一种“妖”，能够按照某种秩序和 规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里。麦克斯韦妖是耗散结构的一 个雏形。 如图1 2 ，我们可以简单的这样描述麦克斯韦妖，一个绝热容器被分成两格， 中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向 门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入 另一格。经过一段时间之后，其中的一格由于分子速度较大，就会比另外一格 温度高。我们可以利用此温差，构建一个热机对外做功。也就是说，我们仅仅 依靠单一热源就实现了把热转化成输出功的循环! 在远离平衡的区域，耗散结构能够稳定的存在。如果有一股负熵流维系我 们研究的体系，那么该体系中就有可能有自组织等耗散结构把环境热涨落这种 无序的熵转变成有序的宏观输运等过程。此时负熵流就起着麦克斯韦妖中“门 的作用。如果把这股负熵流的作用考虑进来，麦克斯韦妖仍然不会违反热力学 第二定律。 1 3 布朗运动的若千问题及研究意义 平衡态统计物理已经成功的解释了很多现象，但是在实际中，绝大多数过 程都是在非平衡态下演化的。物理中的布朗马达现象( 也被称作棘轮系统) 作为非 平衡态系统的一种重要模型，在过去将近三十年的时间里得到了物理学家和生 物化学家的广泛关注。 布朗运动中布朗粒子在外场作用下做无规则运动时其能量的传输和转化、 以及布朗粒子在空间的传输无疑是此类问题的关键。人们提出布朗马达的概念， 描述了在一个具有适当非对称性的系统中，噪声可以引起定向的净粒子流的传 输现象。r e i m a n n 2 详细总结了在远离平衡态的空间周期系统中，噪声引起的传 输现象的理论模型和实验分析。在布朗马达的模型中，非对称性可以是具有空 间周期性的驱动力1 3 , 4 ( r o c k i n gr a t c h e t s ) ；或者是热力学噪声具有周期变化的温度 第1 章绪论 s ( t e m p e r a m r er a t c h e t s ) ，或者是具有周期变化的驱动势场川( 例如o n o f f r a t c h e t s ) 。 生物体中的自组织过程( 在生物学里，许多细胞内的蛋白质分子可以理想化为布 朗马达【q ) ，如n a , k - a t p 泵【7 】都可以理想化为布朗马达。另一方面远离平衡条件 下的布朗粒子的输运过程往往伴随着热涨落能量的转化 s d o 】，在一定的情况下， 无序的热涨落可以重新转化成有序的定向运动从而输出功。研究布朗粒子作为 工质的热机有助于我们理解非平衡态中的熵【i l 1 2 j 、能量、热量等的转化过程。 延时反馈( d e l a y e df e e d b a c k ) 是布朗运动中的另一类重要问题 1 3 - 2 0 】。我们观 察一个体系和施加控制到系统之间由于信息的有限传递速度将会有延时，在这 段时间内我们研究的系统仍然在演化，也就是说我们施加控制到系统时系统已 经不是我们观察的状态了，这就是延时反馈效应。延时反馈可能使布朗粒子流 反转等结论引起了人们的研究兴趣。 1 4 本文的主要工作 本文主要研究了布朗粒子运动环境中的不对称因素对其传输的影响。 第二章我们简要总结了研究此类问题的几种方法。 第三章我们讨论存在熵势垒的b t i t t i k e r - l a n d a u e r ( b l ) 热机中的布朗粒子传输 过程。布朗粒子运动在截面变化的二维或者三维管道或者通道时，垂直于传输 方向的截面的变化将会影响布朗粒子的传输。我们引入了“熵势垒”的概念， 把布朗粒子在多维通道的运动简化为在熵势垒和能量势垒双重作用下的布朗粒 子沿其传输方向运动的随机过程。在一个具体的二维通道模型中，我们发现区 别于能量势垒，熵势垒在一些情况下将有利于布朗粒子在微小通道中的传输。 第四章我们讨论直流电路中非线性导体内的载流子扩散性传输过程。在电 路中载流子由于受到杂质、晶格位错等散射将表现出扩散性传输的特点，此时 我们研究的器件就会出现涨落电压。我们建立了直流电路中载流子在涨落电压 影响下的随机动力学方程，并且依据伊藤的解释得到了相应的f o k k e r - p l a n c k 方 程，通过数值模拟我们验证了两个方程的一致性。我们讨论了半导体热整流器 模型，分析了该模型的效率，发现模型不能运行在可逆条件中。 4 第2 章布朗运动的描述 第2 章布朗运动的描述 布朗运动是是一种正态分布的独立增量连续随机过程，我们不能像经典力 学描述气体分子一样预测布朗粒子在空间上演化的轨迹。一般情况下，我们只 需要研究在热噪声影响下布朗粒子对能量的消耗、获取和转化的活动以及布朗 粒子在空间的输运过程，由此发展出了朗之万方程和福克普朗克( f o k k e r - p l a n c k ) 方程等来描述布朗粒子的基本动力学特征。通过引入位移与速度依赖的磨擦系 数函数、外部势能函数以及环境噪声，我们就可以对布朗粒子随机动力学作理 论上的分析。考虑到布朗粒子运动的随机性，单粒子长时间运动状态的概率密 度函数或多粒子的稳态分布函数才是描述粒子动力学特性的最好指标。下面我 们总结了几种描述布朗运动的方法。 2 1 分子模拟法( m o l e c u l a rd y n a m i cs i m u l a t i o n ) 采用计算机模拟有限数量的只考虑两粒子弹性碰撞的刚性气体分子和布朗 粒子，我们可以建立这一系统的正则方程或者刘维方程。一般的介观体系有1 0 2 0 以上的液体分子，解这个巨大的方程组显然是需要强大的计算能力，但是该模 拟可以深入探究布朗运动随机性和确定性运动的特征，在定量计算时最有说服 力。一般是实力强大的团队在超级计算机的帮助下进行。一个常用的分子模拟 方法是基于事件驱动算、法【2 l j 的弹性分子动力学模拟( h a r dd i s km o l e c u l a rd y n a m i c s s i m u l a t i o n ) ，如果计算出了气体分子和布朗粒子的平均碰撞时间，就可以确定跟 踪这些分子的运动的时间间隔，对分子运动的描述也可以简化为在平均碰撞时 间间隔的有限过程。 2 2 布朗运动的朗之万方程( l a n g e v i ne q u a t i o n ) 将一质量为所的布朗粒子浸入某种液体中，在忽略重力的情况下，考虑粒 子的在空间运动所服从的动力学过程。我们可以认为布朗粒子受到两种力的作 用：一种是持续作用的粘滞阻力，可以根据斯托克斯( s t o k e s ) 定律证明该力和环 境的摩擦系数有关；另一种是液体分子杂乱无章的碰撞力，通常情况下我们采 第2 章布朗运动的描述 用一个随机力来近似描述，并赋予其统计意义。这样我们就得到了布朗粒子运 动所遵循的朗之万方程： m s = 一肪一v ( x ) + ，+ 2 y 丁孝( f ) ， ( 2 1 ) 上式中研是布朗粒子的质量，y 是摩擦系数，附) 是粒子所处的势场且一般满足 周期性条件瞰+ 三) = m ) ，f 是外部驱动力，b 是玻尔兹曼常数，r 是环境温度， 氙力是由环境热涨落引起的高斯型白噪声，且满足下列相关关系( 孝( f ) ) = o ， ( 孝( f ) 孝( f ) ) = 8 ( t - t ) 。 朗之万方程中质量项是位移的二阶微分项，在大多数情况下方程一般没有 严格的解析解。如果我们在动量空间描述布朗运动，可以把朗之万方程降阶为 一阶微分方程，另一种简化是引入过阻尼极限。如果我们研究的系统的尺寸很 小，热涨落很大，并且布朗粒子的弛豫时间很短，此时热涨落占优势，我们可 以忽略掉布朗粒子的惯性。令朗之万方程( 2 1 ) 中的m = o ，得到我们常见的过阻 尼极限下的朗之万方程 y 戈= - v7 ( x ) + f + 2 y r 孝( f ) ，( 2 2 ) 由于过阻尼极限下的朗之万方程是位移的一阶非线性微分方程，我们可以很容 易地用龙格- 库塔( r u n g e k u t t a ) 法、蒙特卡罗( m o n t e - c a r l o ) 法等数值模拟布朗粒 子的运动，得到稳态时粒子的概率分布。 现在我们介绍四阶龙格库塔法使用m a t l a b 软件来实现数值模拟偏微分方程 ( 2 2 ) 。式( 2 2 ) 可以写成如下形式 捌( f ) 2 誓x ( ，) p ， ( 2 3 ) ix ( t o ) = x o 其中x ( f ) = ( 置( f ) ，x ( f ) ：，以( f ) ) ， f = ( z ，正，六，z ) ， x o = ( 五。，五。，墨o 一，以。) ， 其中五为随机变量。 x ( f ) = ( 五( ，) ，x ( ，) ：，以( f ) ) 是栉个二阶矩随机变量组成的力维向量。一 般情况下，式( 2 3 ) 可以通过以下函数来实现： x ( f ) = 五+ j ：厂( f ，x ( ，) p 。 ( 2 4 ) 如果我们知道了t 时刻的分布x ( ，j ) ，则对应于下一时刻t + 。= f i + 出的分布我们 6 第2 章布朗运动的描述 口j 以通辽四彤r 龙格- 库塔法永得： x ( r l + 。) = x ( ) + a 6 t 、k 。+ 2 心+ 2 玛+ 墨) k 。- - - s ( t , ，x ( ) ) k = 厂0 + 圭址，x ( t ) + 圭墨r ) c 2 渤 恐= 厂0 + 三垃，x ( ) + 三心，) 墨= 厂“+ a t ，x ( f j ) + 毛出) 重复以e 迭代过程足够的次数，我们就能得到稳态时式( 2 3 1 的概率分布。 2 3 福克普朗克方程( f o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n ) 对于单个粒子，我们可以研究它的动力学演化，但是多数情况下我们更关 心布朗粒子长时间和集群运动特征，此时我们需要用f o k k e r - p l a n c k 方程来探讨 布朗集群运动时粒子流的变化情况。对于一般的布朗运动，由流体的连续性方 程可得 o t p ( x ，t ) = - - 0 ，j ( x ，t ) ， ( 2 6 ) 这里要注意的是如果我们讨论的密度p d 不是普通的归一化的几率密度，而是 粒子数量密度，这时候相应的粒子流，就是实际粒子流：如果p “f ) 是归一化的 几率密度，则j 也将是几率流。布朗运动粒子流j 一般定义为 - ，( 彬) = 一昙 p ( 彬) d ( x ) h 矿( z ) 一f p ( 彬) ， ( 2 7 ) 其中第一项是由于扩散引起的粒子流，第二项是由于漂移引起的粒子流。式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 就是我们知道熟知f o k k e r - p l a n c k 方程。 经过足够长的时间后，我们研究的系统将达到动态平衡，系统的粒子流将 不再随时间变化。f o k k e r - p l a n c k 方程变成了关于粒子密度p o ) 的一阶线性非齐次 微分方程，其普通解为 小) - z 似) e x p - v ( z ) + f k ；t d z ， 仁8 ， 其中 7 第2 章布朗运动的描述 z x , c o , j ) = c o - j 寿e x p 旺警方 。 ， 我们发现粒子密度分布呈e 指数形式，这和经典统计中的玻尔兹曼分布一致，可 见布朗运动是一类经典粒子的运动。 2 4 主方程( m a s t e re q u a t i o n ) 在白噪声驱动下的布朗运动不同时刻没有关联，我们可以考虑把布朗粒子 按空间划分为一些分立的态，粒子的传输就简化成了这些马尔可夫态之间的跃 迁【6 1 。如果我们只考虑相邻的两个马尔可夫态的跃迁过程，有 丢p ( 毛) = y e p ( x , _ - ) 呢吐。一p ( - ) 形肿- 。 ( 2 1 0 ) 如果我们研究的系统在稳态情况下没有宏观输运过程，此时任意的分立的 马尔可夫态都将达到热平衡 p t - l 形- i 。一以e q 形尹l = p 2 。形+ l ，。一p 擎哌川= 0 ， ( 2 1 1 ) 式中群是第疗个态达到热平衡时的几率分布，对于经典系统几率群应该服从 玻尔兹曼分布 ，p 、 群一p 卜参j 亿1 2 ) 这就要求跃迁几率将受到以下的限制 器= 等一p - 警 。睨+ l 。群 1 ik rl 如果我们通过动力学过程分析得到了跃迁几率形， 在稳态时的概率分布p 。 ( 2 1 3 ) 我们就能够计算出系统 第3 章存在熵 第3 章存在熵势垒 3 1 引言 布朗马达是一类利用空间非周期性结构，例如非对称的势能分布或者和不 同温度的热库接触，把布朗粒子的非平衡随机传输过程调制成定向运动的装置【8 ， 1 1 2 2 1 。这类马达的一个共同点是都能把空间不同区域或者不同时间的热涨落的差 别转换成布朗粒子的定向运动，亦即对外做功 2 , 2 3 - 2 5 】。近年来，很多学者研究了 运动在各种不同形式势能的布朗马达【2 6 。8 】；同时有些作者通过数值模拟或者分 子动力学模拟等方法验证了之前的很多理论分析【_ 7 ，2 9 ，3 0 l 。不同于依靠非对称的周 期性变化的势能产生粒子流的布朗马达，b t l t t i k e r - l a n d a u e r ( b l ) 热机【lo ，川和 f e y n m a n s m o l u c h o w s k i 热机【lj 一样，仅依靠不同热库的热涨落作为系统的动力。 b l 热机以过阻尼的布朗粒子作为工作物质，粒子处在温度随空间变化的周期性 势场中。不同的温度下布朗粒子的热涨落大小不同，在温度突变的边界上粒子 更容易从高温区到达低温区，所以将有净粒子流沿着一个方向产生。如果我们 加上负载，这股净粒子流就可以驱动外力对外做功，形成热机循环。 之前的对b l 热机的研究很多局限在考虑布朗粒子运动所处势能；然而，一 般是在软凝聚态和生物系统中，当布朗粒子被限制在一个小区域移动时，比如 一个小孔洞或一个小型的纳米级的微小通道，在某些情况下的情况其通道的形 状对布朗粒子的输运过程将产生比较大的影响【3 2 刁8 1 。在这些复杂系统中，我们 需要引入“熵势垒”来粗略的描述布朗粒子的输运过程中的动力学演化。本文 中我们综合考虑了能量势垒和熵势垒对布朗热机中布朗粒子输运的影响。我们 建立了一个在通道纵向有周期性的能量势垒，通道的横向的半宽度随空间变化、 亦即具有周期性的熵势垒的二维通道，讨论了通道半宽度随空间的变化对其中 的布朗粒子输运过程的影响。 3 2 二维b l 热机模型 9 第3 章存在熵势垒的二维b u t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流 图3 1 存在熵势垒和能量势垒的二维单元链的示意图。两个相邻分布的单元 作为热库，其中气体分子所处的温度分别为z 和正。其中的布朗粒子受到一 个分段线性的势垒作用并且可以在x 轴自由移动。我们用y 轴方向的半宽度 国( x ) 来描述单元链的形状变化。 我们考虑布朗粒子运动在一个沿着x 轴周期性排列的二维单元构成无穷长 链：装置的结构如图3 1 所示。每个单元有一个随x 轴周期性变化的宽度并且里 面充满了气体分子。任意两个相邻的单元间没有直接的通过气体分子的热量和 能量的交换，单元内的气体分子的作用是提供一个独立的热源。布朗粒子则不 同于气体分子，可以在通道内自由的运动，同时布朗粒子还受到一个在x 轴周期 性变化的外势场v ( x ) 的作用，这个外势场v ( x ) 的周期和二维通道上下边界变化 的周期同是上并且在y 轴方向为常数。为简便起见，我们取分段线性的对称周期 势场 吩) = 髂三泛竺， b ， 其中环是势垒高度。在外势场之外，布朗粒子还输出一个恒定的外力f 。并且 我们假设温度也具有和外势场相同的周期的分段常数形式 卟) = 侄篆笠。 ( 3 2 ) 我们通过半宽度的变化来描述二维通道上下边界形状 小) 一c o s ( 芋) 地吣乳 n 3 ， 1 0 第3 章存在熵势垒的二维b t l t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流 其中口控制每个单元的平滑情况，b 控s u - 维通道的平均半宽度。二维通道最宽 处和最窄处的半宽度分别是2 ( 6 一l a l ) 和2 ( b + l 口i ) 。 为处理方便，我们只分析二维通道中一个周期内的变化，利用周期性条件 来替代无穷长链的讨论。 3 3 存在熵势垒下布朗粒子的动力学方程 我们从布朗运动遵从的动力学方程出发，对于悬浮在液体中的布朗粒子， 我们可以用以下朗之万方程来描述： m r = 一矿一v 矿( 尹) + f + 厮( f ) ， ( 3 4 ) 其中尹是二维或者三维的位置矢量，m 是布朗粒子的质量，y 是摩擦系数，f 是 外力，k 为玻尔兹曼常数，手( f ) 是由于布朗粒子所处环境的热涨落产生的高斯 型白噪声： ( 考( f ) ) = o ( 专( ，) 乞( f 7 ) ) = 岛万( ，一，) f o r i ，j = x ，y ，z ( 3 5 ) 通常情况下布朗粒子所处的环境中，布朗粒子所受的液体的摩擦力远远大 于其惯性力，质量项历乒的影响往往可以忽略，称为过阻尼极限。过阻尼情况下 布朗粒子的演化方程就是从朗之万方程( 3 4 ) 简化后的 r r = 一v 矿( 尹) + f + 2 厂丁善( f ) ( 3 6 ) 当布朗粒子被局限在一个有限的区域内运动时，垂直于传输方向通道的边 界位形、外势场的变化都会对布朗粒子流有影响，从二维( 或者三维) 斯莫鲁霍夫 斯基方程出发，假设传输方向的布朗运动处于平衡态，积分掉垂直于传输方向 的分量( y 轴和z 轴分量) ，我们得到了采用f i c k j a c o b s 方程来描述简化为一维情 况后的布朗粒子流。如果我们引入“熵势垒” 3 9 d l l 等效于在多维空间中布 朗粒子沿粒子流方向扩散过程的一维势垒，布朗粒子在具有复杂边界的通道中 传输可简单的描述为在外界势垒和熵势垒共同作用下的布朗运动过程。多维情 况简化为一维情况主要是引入熵势垒和有效扩散系数。当i 缈( x ) i l ，有效扩散 系数为 3 8 , 4 2 】 i t - 1 d d ( x ) = 或l1 + o ( x ) 2i ， ( 3 7 ) 其中d 0 = k ：r 是扩散系数，c o ( x ) 是管道或者通道半宽度，对二维系统标度指数 第3 章存在熵势垒的二维b u t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流 口= 1 3 ，对三维系统则口= 2 。 引入熵势垒和有效扩散系数后，对于在周期性二维通道中运动的布朗粒子， 粒子数密度p ( x ，t 1 可以通过以下方程来求得【4 3 】： 昙p ( = 一昙，( 矾 ( 3 8 ) 上式中- ，是粒子流，一般定义为 序砷) 掣一警t a a ( x ) 俐， ( 3 9 ) 其中彳( 工) = e t s = 矿( 工) 一r 一m 办( x ) 是自由能，e = y ( 工) 一f x 是布朗粒子 在外势场下的能量，s = l i l 办( x ) 是熵，h ( x ) - - - 2 攻, ( x ) l 是无量纲宽度。 在稳态下，粒子数密度在空间的分布将不再随时间变化，此时粒子流为一 个定值，。粒子数密度可以通过解一阶齐次线性方程( 3 8 ) 和( 3 9 ) 获得，其一般表 达式为 小) 叫确e x p 一j c r 鲁沈| ， 其中 z x , c o , d r ) = c ；o - j r 南叩卜等咖 积分常数c o 即进入周期性通道中温度为五的热库的初始密度，及o + ) 量( b a ) p o 其中p o 是单位宽度的粒子数密度，然后我们就得到了c o - - ( b 一口) 岛。每个 周期性的小单元的连接处( 在x = o , l 2 ，l ) ，因为此处的温度将发生变化，我们 必须分辨清楚粒子数密度是属于左边还是属于右边。对于不同温度下的小单元， 粒子数密度的连续性条件为互p ( o + ) = 瓦p ( f ) 和五户( f 2 ) = 互p ( r 2 ) 2 9 1 。 如果我们研究的系统的粒子流不为零，我们需要分开来分析两个单元的情 况。从式( 3 1 0 ) 可得 对于0 x l 2 ，和 j = a ( l 2 ) - 彳( 0 ) p ( o + ) 一p ( f 2 ) e x p 一 k 互 产7 2彳( z ) 一彳( 0 ) d z 上e x p k 。zd 乜) 1 2 ( 3 1 2 ) 第3 章存在熵势垒的二维b u t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流 j = a ( l ) - a ( l 2 ) p ( e 2 ) - p ( l - ) e x p 。 瓦 正 a ( z ) 一a ( l 2 ) 出 j l 2 e x p k 。zd ( z ) ( 3 1 3 ) 对于l 2s x l 。 由于有效扩散系数的复杂性我们不可以立即得到粒子流，的解析解。所以下 面关于二维b l 马达的粒子流和粒子数密度的理论分析都是基于对式( 3 1 0 ) ( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 在不同参数下的数值积分的结果。 3 4 结果和讨论 本小节我们讨论二维通道的边界形状以及热库温差对布朗粒子传输的影 响。为了简便起见，下面的讨论中我们取k b = 1 ，y = l ，l = 2 万，以及风= 1 0 作 为初始粒子数密度。同时我们确保通道边界的变化率l 彩( x ) i 瓦) ，相比在低温热库中的布朗粒子， 在高温热库的粒子可以更容易的把环境热涨落转化成自身的能量，从而更容易 的达到较高的势能点。也就是说，宏观上布朗粒子将会跨越势垒从高温热库传 输到低温热库中。在另一个热库分界面上势能达到最小值，布朗粒子较容易的 在热库和冷库中传输。因此，宏观上将会有布朗粒子流沿着x 轴正向运动。这时 候，如果我们加上一个和粒子流相反方向的外力，粒子流将会减小直到为零； 第3 章存在熵势垒的二维b t l t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流 当宏观的布朗粒子流为零时，外力f 达到停止力f s , 甜l 。式( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 给出了外力 f 和粒子流j 的关系( 如图3 2 所示) 。 当布朗粒子流j 为零时，从式( 3 1 0 ) 可以得到 贴，：p 祭 鬻 - i 圳2 1 4 )p 【即= 1广 u 卜2 ) 器唧 v o - v f ( x ) + f ( x - l 2 ) j l 2 x l 图3 3 给出了在粒子流为零时两个不同的平滑参数a 下在x 轴上的布朗粒子 数密度的分布情况。 。 图3 3 在粒子流为零的情况下，不同的平坦参数a 下粒子数密度分布p x ) ： 其他的参数为= l ，五= 1 5 ，互= l a = 0 2 ，6 = o 5 以及f = 当通过改变参数a 和6 来控制二维通道的形状时，我们得到了一些新颖的结 果。如果参数口为零( 或者b 远大于口) 时，我们研究的二维通道变平坦并且熵势 垒的影响消失了，此时粒子流，的大小将正比于通道的平均半宽度6 ，如图3 4 的实线所示。同时我们也能从图3 4 中看出在6 和a 接近的时候粒子流，变化比 较明显。 现在我们来讨论温差对我们的装置中粒子流的影响。当我们研究的两个相 邻单元的温度相等时，布朗粒子将不停的穿越两个单元并且保持动态平衡，没 有宏观粒子流产生。当两个相邻的单元的温度不同时，随着温差r 的增加，布 朗粒子可以把更多的涨落能量转变成功，所以宏观上粒子流将逐渐增大。而熵 势垒的存在则扩大了这种变化的趋势，和没有熵势垒的情况相比，布朗粒子的 1 4 第3 章存在熵势垒的二维b u t t i k e r - l a n d a u e r 热机的粒子流 传输被润滑或者被阻碍的情况随温差增加而增大，如图3 5 所示。 图3 4 粒子流j 和平均半宽度6 的关系。其他的参数是v o = 1 ，五= 1 5 ， 互= 1 ，口= 0 2 ，b = 0 5 以及