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硕士论文 p r s x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 摘 串并联机器人( 混联机器人) 结合了串联机器人和并联机器人各自的优点，已被应 用到机床设计等领域中。在前人研究的基础上，本文以一种新型的p r s x y 串并联机器 人为研究对象，进行了运动学、动力学、全域性能及优化等方面的研究。该机器人具有 5 个自由度，由一个3 - p r s 并联机构和一个x y 工作台组成。 本文分析了p r s x y 串并联机器人的机构特点，建立了该机器人的运动学正逆解方 程，并借助仿真软件a d a m s 验证了方程的正确性。在运动学逆解的基础上，通过 m a t l a b 软件编程绘制出该机器人的工作空间，并讨论了机构尺寸变化对工作空间体 积的影响。在运动学分析的基础上对该机器人进行动力学分析，采用拉格朗日方法建立 了机器人的动力学方程。求解出机器人的速度雅可比矩阵、海赛矩阵、力雅可比矩阵以 及刚度矩阵，在此基础上求解出运动学灵巧度、静力学灵巧度、运动学全域性能、静力 学全域性能以及刚度全域性能评价指标，并借助m a t l a b 软件绘制出相应的性能图谱， 为该机器人的优化设计和应用提供一定的理论依据。在工作空间、运动学灵巧度以及静 力学灵巧度分析的基础上，以机器人的机构尺寸为约束条件，以工作空间体积、速度和 力灵巧度函数为子目标函数，通过权重系数法建立多目标优化函数。通过m a t l a b 遗 传算法工具箱对机器人的尺寸参数进行优化，并将优化前后的工作空间体积、速度灵巧 度以及力灵巧度指标进行对比，验证了优化的有效性。本文最后借助a d a m s 软件对该 机器人进行运动学和动力学仿真，通过仿真可以直观地看出机器人各构件以及驱动的运 动规律和受力的变化情况。 关键词：串并联机器人，拉格朗日方程，全域性能指标，参数优化，遗传算法，仿真 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t t h es e r i e s - p a r a l l e lr o b o t ( h y b r i dr o b o t ) w h i c hc o m b i n e st h ea d v a n t a g e so fb o t hs e r i e s r o b o ta n dp a r a l l e lr o b o th a sb e e na p p l i e dt om a n yf i e l d s ，s u c ha sm a c h i n et o o ld e s i g n b a s e d o nt h ep r e v i o u sr e s e a r c h ，an e wt y p eo fp r s x ys e r i e s p a r a l l e lr o b o ti ss t u d i e di nt e r m so ft h e k i n e m a t i c s ，d y n a m i c s ，g l o b a lw r f o r m a n c ea n do p t i m i z a t i o ni nt h i sp a p e r t h er o b o tw h i c hh a s 5 - d o fi sc o n s i s t e do fa3 - p r sp a r a l l e lm e c h a n i s ma n dax yt a b l e f i r s t l y , t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ep r s - x ys e r i e s - p a r a l l e lr o b o ta r ea n a l y z e di nt h i sp a p e r , t h e nt h ef o r w a r dk i n e m a t i c se q u a t i o na n di n v e r s ek i n e m a t i c se q u a t i o na r ee s t a b l i s h e da n dt h e s i m u l a t i o ns o f t w a r ea d a m si sa p p l i e dt ov e r i f ye q u a t i o n s t h ew o r k s p a c ef i g u r e so ft h e r o b o ta r ed r a w nb yt h em a t l a bs o f t w a r eo nt h eb a s eo fi n v e r s ek i n e m a t i c s ，a n dt h e i n f l u e n c eo ft h em e c h a n i s md i m e n s i o n sc h a n g eo nt h ew o r k s p a c ev o l u m ei sd i s c u s s e d b a s e d o nt h ek i n e m a t i c sa n a l y s i s ，t h ed y n a m i c so ft h er o b o ti se s t a b l i s h e db yu s i n gt h el a g r a n g e m e t h o d t h ek i n e m a t i c s d e x t e r i t yi n d i c e s ，s t a t i c sd e x t e r i t yi n d i c e s ，k i n e m a t i c sg l o b a l p e r f o r m a n c ei n d i c e s a n ds t a t i c sg l o b a lp e r f o r m a n c ei n d i c e s a sw e l la ss t i f f n e s s g l o b a l p e r f o r m a n c ei n d i c e sa r ep r e s e n t e db a s e do nt h ev e l o c i t yj a c o b i a nm a t r i x ，h e s s i a nm a t r i x ， f o r c ej a c o b i a nm a t r i xa n ds t i f f n e s sm a t r i x t h e nt h ea t l a s e so fe a c hp e r f o r m a n c ei n d e xa r e d r a w nb ym e a n so ft h em a t l a bs o f t w a r e ，w h i c hp r o v i d e st h ec e r t a i nt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n f o rt h eo p t i m a ld e s i g na n da p p l i c a t i o no ft h er o b o t am u l t i - o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nf u n c t i o ni s e s t a b l i s h e db a s e do nt h ea n a l y s i so fw o r k s p a c e ，k i n e m a t i c sd e x t e r i t ya n ds t a t i c sd e x t e r i t y t h e m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nf u n c t i o nw h i c hi se s t a b l i s h e db yw e i g h tc o f f n i c e n tt a k e st h e m e c h a n i s md i m e n s i o na sc o n s t r a i n t s ，a n dt h ew o r k s p a c ev o l u m e ，v e l o c i t ya n df o r c ed e x t e r i t y a st h es u b o b j e c t i v ef u n c t i o n t h e nd i m e n s i o np a r a m e t e r so ft h er o b o ta r eo p t i m i z e db y m e a n so fg e n e t i ca l g o r i t h mt o o li nt h em a t l a bs o f t w a r e ，a tl a s tt h eo p t i m i z a t i o nr e s u l t sa r e p r o v e dt ob ee f f e c t i v eb yc o m p a r i n gt h er e s u l t sb e f o r ea n da f t e ro p t i m i z a t i o n f i n a l l y , i nt h i s p a p e rt h ek i n e m a t i c sa n dd y n a m i c ss i m u l a t i o na r ef i n i s h e db ym e a n so f t h ea d a m s s o f t w a r e f r o mt h e s i m u l a t i o nc u r v e ，t h ek i n e m a t i c sr e g u l a r i t i e sa n df o r c ec h a n g e so ft h ec o m p o n e n t s a n da c t u a t o r so ft h er o b o tc a nb ei n t u i t i v e l yo b s e r v e d k e y w o r d s ：s e r i e s - p a r a l l e lr o b o t , l a g r a n g ee q u a t i o n , g l o b a lp e r f o r m a n c ei n d e x ，p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n , g e n e t i ca l g o r i t h m ，s i m u l a t i o n 硕士论文p r s x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 1 绪论 1 1 引言 当今社会经济飞速发展，人们生活水平日益提高，由此导致对日常生活消费品以及 生产资料等的需求越来越旺盛。工业的发展对于解决这一问题起着至关重要的作用。在 工业生产过程中，一方面要注重生产效率、产品质量等问题；另一方面随着社会人口老 龄化逐渐加重，劳动力成本开始上升，且部分高危行业严重威胁到作业人员的安全健康 问题。鉴于以上种种原因，人们迫切需要机器人这种自动化程度较高的生产设备来部分 代替人类的劳动，将人类从繁重、危险的工作中解放出来。自机器人问世以来的短短四 十年间，人们根据具体工作需要已研发出成千上万种构型，并且随着科技的发展，机器 人的成本不断下降，而性能不断提高，这使得机器人在生产、生活中的应用逐渐普遍。 目前，实际应用的机器人中以工业机器人为主。在发达国家，工业机器人已在生产 中得到了广泛的应用，主要承担焊接、装配、搬运、加工、喷涂、包装等复杂作业。这 类机器人大多为拟人机械臂，所采用的机构大多为串联机构。串联机构优点是工作空间 大、运动灵活，不足之处在于刚度低、存在累积误差等。与此同时还存在一种采用并联 机构的机器人，并联机构由多支链支承，有刚度大、精度高、速度高等优点，其不足之 处在于工作空间较串联机构小【l 。3 1 。为克服这两种机构的缺点并充分发挥它们的优点， 串并联机构( 又称混联机构) 应运而生，这种诞生于九十年代中期的机构以其优越的性 能受到了人们的关注，现已基于此类构型研发出了多种混联机床【4 j 。 1 2 机器人机构学的发展与研究现状 1 2 1 机器人机构的发展历程 机器人的概念在人类的思想中已经存在三千多年了，早在我国西周时期就有舞蹈机 器人的记载。机器人一词是1 9 2 0 年由捷克斯洛伐克作家卡佩克( c a p e k ) 在其科幻小说 中首先提出。而机器人的真正发展则始于2 0 世纪中期，其技术背景是自动化和计算机 技术的飞速发展。1 9 5 4 年美国的戴沃尔( d e v 0 1 ) 最早提出了工业机器人的概念并申请 了专利，该种机器人即为所谓的示教再现机器人，这是第一代机器人的雏形。1 9 6 2 年 美国成功研制出p u m a 机器人( 通用示教再现型，p r o g r a m m a b l eu n i v e r s a lm a c h i n ef o r a s s e m b l y ) 并将其应用到通用电气公司的生产装配线上，这标志着第一代机器人技术走 向成熟【5 卅。在工业机器人迅速发展的同时，其它类型的机器人也得到了一定程度的发 展，如军事机器人、服务机器人、水下机器人和太空机器人等。 传统的工业机器人普遍采用串联机构，目前机器人机构学的研究也主要集中在串联 1 绪论硕士论文 机构领域。作为工业机器人的中坚力量，串联机器人有众多优点：首先，该种机器人具 有高度的灵活性；其次，该种机器人工作空间大，能适应多种场合，满足不同工作要求， 完成不同的作业任务，这些特点是其它机械装置无法具备的。但串联机构的特点使其自 身存在无法克服的缺陷：各关节误差累积放大、刚度低，且由于驱动装置大多安装在关 节处，导致串联机器人机械臂重量增加，工作时惯性大，难以实现高速、高精运动【7 】。 1 9 2 8 年j a m se g w i n n c t t 申请了一个娱乐设备的专利，并联机构开始得到了人们的 关注。1 9 3 8 年，w i l l a r dl vp o l l a r d 提出采用并联机构来设计汽车喷漆装置；1 9 5 4 年 e r i eg o u g h 研制出一台应用于航空轮胎检测的并联机器人样机；1 9 6 2 年美国费城富兰 克林学会研究实验室的k l a u sc a p p c l 提出一种八面四脚的并联机构并将该种机构应用 于飞行模拟器上；1 9 6 5 年s t e w a r d 在其论文ap l a t f o r mw i t hs i xd e g r e eo ff r e e d o m ) ) 中 提出了著名的s t e w a r d 六自由度并联机构，并指出该种机构可用作飞行模拟器运动产生 装置；1 9 7 8 年澳大利亚机构学专家h u n t 将六自由度并联机构用在机器人机构设计上， 1 9 7 9 年m a c c a l l i o n 和p h a m 采用该种机构设计出了装配机器人f 8 d 0 1 。 与串联机构相比，并联机构有其独特的优点：( 1 ) 并联机构的动平台由多支链支承， 载荷由多支链分担，故刚度大、稳定性好；( 2 ) 驱动装置安装在机架上，减轻了运动部 分的重量，故惯性小、速度高，动态性能较佳；( 3 ) 并联机构不存在串联机构的累积误 差，故精度高。但并联机构也有其不足之处：并联机构的工作空间比串联机构的小，并 且并联机构的运动没有串联机构灵活【l 。综合考虑串联机构和并联机构各自的特点之 后，人们设计出了串并联机构，该种机构结合了两种机构的优点，刚度大、精度高、承 载能力强且工作空间较大【l 引。 1 2 2 串并联机器人国内外发展现状 目前，串并联机构主要在机床制造业中应用较多并且效果显著。人们已基于串并联 机构开发出了多种先进的机床，这是对传统机床的变革，代表了一种先进的制造技术。 自1 9 9 4 年美国推出第一台并联机床后，人们便开始基于串联、并联机床各自的优 点研发串并联机床。1 9 9 7 年以来，欧美的一些工业强国相继推出了一系列串并联机床， 如瑞典的n c o sr o b o t i c s 公司分别在e m o 9 7 和e m o 9 9 上展出了t r i c e p t 6 0 0 ( 图1 1 ) 和t r i c c p t 8 0 5 ( 图1 2 ) 两种串并联机床。 2 硕士论文 p r s - x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 图1 1t f i e e p t - 6 0 0 图1 2t f i c e p t - 8 0 5 2 0 0 0 年，在i m t s 2 0 0 0 上瑞典的n e o sr o b o t i c s 公司展出了t n c e p t 系列改进型机 床州c 印t 8 4 5 型加工中心( 图1 3 ) ，该种加工中心重复定位精度可达t i m ，与传统 机床相比，这一指标虽然尚且存在一定差距，但对于并联机床来说已属重大突破。2 0 0 1 年的e m o 2 0 0 1 上涌现出一批新型的串并联机床，如德国d e c k e l m a h o 公司推出了 三杆加工中心t f i c e n t e r ( 图1 4 ) ，德国汉诺威大学生产工程及机床研究所( i f w ) 推出 了可移动的混联两杆加工单元d u m b o ( 图1 5 ) 用于修理模具。目前，欧洲的德国、 瑞典等工业强国在串并联机床领域发展迅猛，瑞典n e o sr o b o t i c s 公司的t f i c e p t 系列机 床已被波音、英国航空航天、大众、沃尔沃、通用、o p e l 等公司采用，用于航空航天 铝结构件、复合型材料高速铣削、汽车大型模具制造等方面。由t d c e p t 系列机床组成 的生产线如图1 6 所示： 图1 3t f i c e p t - 8 4 5 图1 4t f i c e n t e r l 绪论硕士论文 图1 5d u m b o 图1 6 由t r i c e p t 系列机床组成的生产线 近些年来，国内对串并联机床的研究也取得了丰硕的成果。1 9 9 9 年，东北大学研 制出五轴联动混联机床d s x 5 7 0 ( 图1 7 ) ，该种机床是在三自由度移动平台上串联一个 两自由度串联机构来实现五坐标运动。2 0 0 0 年后，东北大学对d s x 5 7 0 进行改进，研 制出一种新型立卧转换式混联机床3 t p s 立卧转换式混联机床( 图1 8 ) 。2 0 0 3 年， 清华大学与齐齐哈尔第二机床厂联合研制出重型龙门混联式机床x n z 2 4 3 0 ( 图1 9 ) 。 该种混联机床以一种新型的两自由度并联机构为基础龙门，在主轴箱上串联两个自由度 的a 、c 摆角铣头，附加工作台的移动，从而实现五轴联动。哈尔滨量具刃具集团有限 公司引用瑞典e x e c h o n 公司的并联机床专利技术，开发出l i n k s e x e7 0 0 型加工中心 ( 图1 1 0 ) ，该种机床工作空间大，突破了传统并联机床工作空间小的限制，且适用于 敏捷加工，一次装夹即可完成5 - 6 个复杂型面的加工。 4 图1 7d s x 5 7 0图1 83 t p s 立卧转换式混联机床 硕士论文 p r s - x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 图1 9x n z 2 4 3 0图1 1 0l i n k s e x e7 0 0 型加工中心 除了机床之外，串并联机构在其他领域也有较多的应用。李铁军d 3 等针对干挂工艺 下安装大尺寸、大质量板材的自动化程度低、故障率高等问题，研制出一种串并联板材 安装样机，该种机构可提高安装效率，有效避免了安装过程中对工人造成的意外伤害。 范良划1 4 】等以p r s 并联机构为基本构型，设计出一种串并联肿瘤治疗机，并开发出原 型样机。 作为一种新型技术，串并联机床继承了传统的串联和并联机床的优点，具有广阔的 应用前景。随着对串并联机构的研究更加深入，该类型的机床必将在制造业中获得更加 广泛的应用。 1 2 3 机器人全域性能及优化设计研究现状 机器人全域性能指标可以反映出机器人在整个工作空间内的运动平均性能，包括速 度性能、加速度性能、承载力性能、刚度性能、力和力矩性能等。作为机器人研究领域 的一大难题，国内外众多学者对机器人全域性能进行了深入的研究，提出了一些衡量全 域性能的指标。1 9 7 1 年，v m o g r a d o v t ”】等提出了工作角的概念。1 9 8 1 年，k u m 一1 6 1 等 提出了灵巧度工作空间的概念。1 9 8 2 年，s a l i s b u r y i l 7 】等提出了j a c o b i a n 矩阵条件数的 概念。其后，a n g e l e s 1 8 】等定义了机器人操作器的动力学性能指标。1 9 9 1 年，g o s s e l i n 【1 9 】 等定义了t 1 来描述机器人的运动性能并结合它进行机构优化设计，在一定程度上弥补了 单个雅可比矩阵条件数不能反映机器人在整个工作空间内整体性能的不足。2 0 0 1 年， 郭希娟、黄真【2 0 】提出了并联机器人加速度性能评价指标，从量纲的角度定义了并联机器 人线加速度、角加速度的各向同性以及灵巧度指标。2 0 0 5 年，石志新【2 l 】等分析了g o s s e l i n 所提出的全域性能指标的不足之处，提出了全域性能波动指标o ，该指标反映了机器人 在整个工作空间内的运动稳定性，并指出对机器人进行优化时应综合考虑t l 和o 这两个 性能指标，以保证机器人的运动性能在整个工作空间内波动小。刘爽、郭希娟【2 2 】等综合 l 绪论硕士论文 利用j a c o b i a n 矩阵和h e s s i a n 矩阵对一种少自由度并联机构进行速度、加速度以及惯性 力的分析，并绘制出性能图谱。 当今社会，生产力的快速发展对机械设备的性能提出了更高的要求，机械设备日益 向着高速、高精、高效的方向发展。作为最为典型的机电一体化装备，机器人的工作性 能要求也越来越高，为此人们必须对其进行优化设计以达到要求。机器人的优化内容主 要包括以下几点：( 1 ) 结构参数、运动参数和动力学参数的确定；( 2 ) 工作空间、速度 和加速度范围的确定；( 3 ) 最优平衡设计【2 3 1 。目前对机器人优化设计的研究主要集中在 优化指标和优化方法两方面上【，4 1 。对于并联机构来说，尺寸参数的取值不同将会对动平 台的运动学和动力学性能均产生不同程度的影响。刘辛军【2 5 等利用传动角的概念，定义 了用作评价并联机器人运动力传递性能的度量指标l t i ( 局部传递指标) 、g t w ( 优质 工作空间) 和g t i ( 全域传递指标) ，并以p v r r r p v 并联机器人为例分析了这些指标在 机构参数优化设计中的应用，实现了对并联机构参数进行优化设计的目的。鲁开讲【7 6 】 等以加速度性能、高速性能和综合性能为指标，对一种平面并联机构进行了参数优化设 计，得到了兼顾工作空间以及动力学性能的最优尺寸。刘欣【27 j 等以运动精度、力传递性 能和刚度作为评价指标，对一种平面冗余并联机器人进行参数优化，使得优化后的机构 既有较大的工作空间，同时又有较好的运动学和动力学性能。在优化方法方面，张春风 2 4 】等使用粒子群算法对3 r r r 并联机器人进行了尺寸优化。陈静【2 s 】等采用遗传算法对 一种两自由度的并联机构进行了性能优化。 1 3 选题的意义和目标 机器人技术作为先进制造业的支撑技术，对社会生产力的发展起着越来越重要的作 用。串并联机器人继承了传统的串联机器人和并联机器人的优点，具有载荷大、刚度大、 速度快、工作空间相对较大等优点。本课题所研究的p r s x y 机构已被成功应用在混联 机床上，且在医疗器械上也有应用。但到目前为止，对p r s x y 机构的研究主要集中在 运动学方面，在动力学、全域性能以及结构优化方面有待进一步研究。本文将在前人工 作的基础上对l i p s x y 型串并联机器人的运动学、工作空间、动力学以及全域肿i r - 厶匕i 北, 等方 面进行探讨性研究，并在此基础上完成对该种机器人的机构优化，最后通过虚拟样机技 术对机构进行运动学和动力学方面的仿真，为该种机构获得更稳定高效的实用价值奠定 一定的理论基础。 1 4 论文的主要研究内容 本文在借鉴已有的研究成果的基础之上，对p r s x y 串并联机器人进行了如下内容 的研究： ( 1 ) 介绍机器人机构的发展历程、串并联机器人国内外发展现状及其在工业生产 6 硕士论文p r s x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 中的应用、机器人全域性能及其优化设计的研究现状。 ( 2 ) 根据该机器人的机构特点求解出位置正逆解方程并对结果进行验证。在位置 逆解方程的基础上借助m a t l a b 强大的计算和绘图功能求解出机器人的工作空间。分 析该机器人的尺寸参数变化对其工作空间体积大小的影响并绘制出相应的影响图。 ( 3 ) 采用l a g r a n g e ( 拉格朗日) 方法建立该机器人的动力学方程。 ( 4 ) 重点分析该机器人的全域性能指标，分别求解出灵巧度、刚度、力和力矩、 速度、加速度等全域性能指标，探讨了各项指标与机器人机构尺寸变化之间的关系，借 助m a t l a b 软件绘制出相应的性能图谱并对性能图谱进行分析。 ( 5 ) 对该机器人进行尺寸参数优化。在工作空间、全域性能研究的基础上建立目 标函数，借助m a t l a b 遗传算法工具箱进行优化，将优化前后结果进行对比，证明得 到了综合性能较好的结构尺寸。 ( 6 ) 基于p r o e n g i n e e r 软件对该机器人进行三维实体建模并将模型导入仿真软 件a d a m s 中，借助a d a m s 软件对其进行运动学和动力学仿真并给出相应的仿真图 谱。 7 2p r s x y 串并联机器人运动学分析硕士论文 2p r s x y 串并联机器人运动学分析 2 1 引言 机器人运动学分析是用来描述机器人的输入参数与输出参数之间关系的，是静力学 分析、刚度分析、动力学分析和机器人控制的基础，它包括位置分析、速度分析以及加 速度分析三部分。其中机器人的位置分析是运动学分析的基础，是机器人的速度、加速 度、工作空间求解和受力分析等的基础口9 1 。机器人的位置分析分为位置正解和位置逆解 两种。位置正解是指已知输入位置求解输出位置；反之，已知输出位置求解输入位置则 是位置逆解。对于串联机器人来说，位置正解易求而逆解难求。而并联机器人则相反， 位置逆解易求而正解难求。串并联机器人机构中既含有串联机构又含有并联机构，且并 联机构部分一般为少自由度机构，存在运动学耦合，因此串并联机器人的位置正逆解均 比较难求f 3 0 。2 1 。 目前，位置解法有封闭解法和数值解法两种i z 9 1 。封闭解法通常是采用不同方法将约 束方程组中的未知量消去，最后得到单参数的多项式，然后求解该多项式即可得到方程 的全部解。封闭解法在具体实施过程中可选用的方法较多，主要包括矢量法、几何法、 矩阵法、螺旋代数法以及四元素法等。其优点是可以得到方程的全部解，而且所得的解 析表达式在理论上还有较多的应用；缺点是封闭解法难度较大，对于不同的机构解法不 同，缺乏通用性。数值解法依赖计算机的强大计算功能可对任意机构迅速方便的求解， 但该种方法一般无法求得全部解，不利于理论上的研究【2 9 , 3 3 1 。 本章分析了p r s x y 串并联机器人的机构特点，采用封闭解法求解出机构的位置正 逆解，并将计算结果与虚拟样机仿真结果相比较以验证位置正逆解模型的正确性。基于 位置逆解利用m a t l a b 软件求出机器人的工作空间，绘制出相应的图谱，并分析了该 机器人机构尺寸变化对工作空间体积的影响。 2 2p r s x y 串并联机构位置正逆解分析 2 2 1p r s x y 串并联机构模型 p r s x y 型串并联机构如图2 1 、图2 2 所示。该机构由一个3 - p r s 并联机构串联 一个x y 工作台而成，其中3 - p r s 并联机构由三条支链和一个动平台组成，每条支链包 括一个竖直导轨、一个滑块以及一个连杆【3 4 1 。三个竖直导轨均匀分布在以r 为半径的 圆周上，分别与x y 工作台相交于4 、4 、4 点，连杆与滑块之间通过转动副蜀、及、 及联结，、u 3 为三个转动副轴线的方向矢量，连杆与动平台之间以球面副联结， 分别交于c 、c 、g 点，且c 1 、g 、c 3 均布在以，为半径的圆周上。x y 工作台由两 硕士论文p r s - x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 个相互垂直的滑台通过移动副与基座相联组成。设定绝对坐标系。：0 一x y z 的原点建 立在等边三角形4 4 4 的几何中心上，o 4 2 为】，轴，z 轴垂直于定平台，方向向上，x 轴方向由右手坐标系法则确定。设动平台为均质板，其质心位于三角形g g g 的几何形 心处，则以该质心为坐标原点，建立固连于动平台上的动坐标系，：0 l x i r l z 。，其中 q g 为z 轴，z l 轴垂直于动平台，方向向上，五轴方向由右手坐标系法则确定。在x y 工作台上建立动坐标系，：0 2 一墨e 乙，其初始位置与绝对坐标系。完全重合。设连 杆长为，转动副蜀、毋、豉与平面4 4 4 之间的距离分别为墨、是、s 。安装在动 平台上的刀具长度为t ，方向为垂直于动平台向下。3 - p r s 并联机构可实现沿z 轴方向 的平动和绕x 、y 轴的转动，x y 工作台可实现沿x 、】，轴方向的移动，故该串并联 机构共有五个自由度。 动平 刀具 图2 1p r s x y 串并联机构简图 图2 2p r s x y 串并联机构三维模型 9 2p r s x y 串并联机器人运动学分析 硕士论文 2 2 2p r s x y 串并联机器人逆运动学解析 根据p r s x y 机器人的机构特点，首先求解3 - p r s 并联机构部分的位置逆解。位 置逆解是指已知运动平台的位姿参数求滑块的位移量墨、是、墨。由于动平台只能绕x 、 y 轴转动，而无法绕z 轴转动，故动坐标系，相对于绝对坐标系。的旋转变换矩阵可 表示为【l fc o s zs i n f l s i n as i n f l e o s a1 。氏= r o t ( y ，) r o t ( x ，a ) = l 0e o s as i n a l ( 2 1 ) - s i n f le o s f l s i n ac o s f l c , o s a ) c l 、c 2 、g 在动坐标系，中的坐标为： 弘参期r g 。= ( o ，o ) r ( 2 2 ) 弘c 一争扣r 设动坐标系。的原点d i 相对于绝对坐标系。的平移向量为p = ( 艺，儿，z c ) r ，则c l 、 q 、g 在绝对坐标系。中的坐标可表示为： c = 。k c + p g = 1 ，2 ，3 ) ( 2 3 ) 经计算可得： 1 0 c i = 型竺y c o s 一一1 ，s i n 口s i n + x 。 2 2 。 1 一i r c o s 口+ 儿 一! 竺rs i nf l 一一1 ，s i n ac 。s 声+ z 。 22 。 一三，c 。s 一一1 ，s i n 口s i n + t 2 2 。 g = i 一丢，- c o s a + 儿 鱼，s i n 一三，s i n 口c 。s + 乙 2 2 4 、4 、4 在绝对坐标系。中的坐标为： ( 2 4 ) 乙 + + 口，。口 n 哕 咖 + 口 口 口 m m c 硕士论文 p r s x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 即： 即： 4 ：争一扣r 4 = ( 0 ，r ，o ) r 纠一争一扣r 昼、垦、忍在绝对坐标系。中的坐标为： 转动副墨、岛、马的轴线在绝对坐标系。中的单位方向矢量为： 由连杆定长条件有： 鸭：哇，一如r l 置c i = o = l ，2 ，3 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 孚r 鱼2r c o s + 丢r s i n as i n 叫2 + ( 1 r c o s a - 扣 蝇+ 孚胁+ 丢r s i n a c o s 肛纠 ( - r s i nas i n 一t ) 2 + ( r 一，c o s 口一y 。) 2 + ( s 2 一厂s i nac o s p z 。) 2 = r ( 2 9 ) ( 一鱼2r + 鱼2 s + 丢r s i n as i n 刮2 + j 1 s 口一儿) 2 柏一年，s i n 夕+ 吾r s i n a c o s 肛c ) 2 ：r 由平面约束条件有： 啊墨c = 0( i = l ，2 ，3 ) ( 2 1 0 ) 孚肿丢r s i n a s i n 一扣孚删 r s i n as i n f l + x , = 0( 2 1 1 ) 一等佃一c o s 阱丢r s i n a s i n 一扣孚删 p 厂 是 墨 ， 一 r 尺 ，一2 1 2 厂 一 一 是 ，o 一， r r r【3一l蠕2 呲2 = = = 局 历 历 广 ， o 压丁a ， 1 l 一2 一 = i i 口 2p r s x y 串并联机器人运动学分析 硕士论文 联立上述三个方程可解得动坐标系。的原点d i ( 即动平台的质心) 在绝对坐标系。 中沿x 轴、y 轴方向的坐标，即： ( 2 1 2 ) 求机构位置逆解时，通常是已知刀尖在动坐标系：中的位置t = ( 薯，y t ，z f ) r ，刀轴的 方向矢量厅，= ( ，) 。因为刀轴- q 动坐标系。的z 轴重合，所以刀轴的单位方向 矢量为以，= ( s i n p c o s a ，一s i n a ，c o s p c o s a ) r 。x y 工作台为平动，且动坐标系2 在初始 位置时与绝对坐标系。完全重合，故刀尖的z 方向坐标在绝对坐标系。和动坐标系， 中相同。动平台中心与刀尖距离为t9 所以动平台中心q 的坐标可表示为：p = f + 刀，。 因此，z 。= z t + - 。即： z 。= 乞+ l tc o s f l c o s a ( 2 1 3 ) 代入方程组( 2 9 ) 解得： 一鱼2 础 r s i n a c o s 肌岫s 脚口 是=3两1 + r s i n a c o s + 乙+ c 。s c o s 口 ( 2 1 4 ) + ；厂s i i l 一1 1 ，s i n 口c o s + 乞+ c o s c 。s 口 2 。 2 。 接下来对x y 工作台部分进行逆运动学解析。动平台中心q 点在动坐标系：中的 x y 方向坐标可表示为： c ； = ( 洲习 他 设动坐标系：原点在绝对坐标系。中的坐标为( k ，) ，则可解得： 盼刚劲 眩 1 2 整理后可得： ( 2 1 7 ) 卢 n 一 豇 口 | | 协 吖。叫2 = = 儿 _ 只 一 铲 加 油 g + 和励 胪 l ； 曼 一 一 恤 |r叫2 瓦 硕士论文 p r s x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 2 2 3p r s x y 串并联机器人正运动学解析 根据p r s x y 机器人机构的特点，首先求解3 - p r s 并联机构部分的位置正解。位 置正解是指在已知滑块的位置s 、足、岛的情况下，求动平台的位姿。设每( i = i ，2 ，3 ) 分别为三根连杆与滑轨之间的夹角，则动平台上三个点e ( i = 1 ，2 ，3 ) 在绝对坐标系中可 表示为： 印挣一知噶，一扣丢l s i n8 1 , s 1 - lc o s 8 1 r c 2 = ( o ，r ls i n 8 2 ，s 2 一lc o s # 2 ) r ( 2 1 8 ) 印( 一笪2 尺+ 笪2 “n 驴扣丢l s i n8 。, s 3 - lc o s 咿 三角形c l c 2 c 3 是以3 ，为边长的等边三角形，故三边应满足以下条件： i c , c ：1 2 = i g g l 2 - i c ：, 1 2 = 3 r 2 ( 2 1 9 ) 即 r 一5 如- 工血4 ) 2 + 哼r + 主三血4 + l 血龟) 2 + 幅一是一三o o s 4 + c o s 嘎) 2 = 护 萼只一訾三血4 ) 2 + 遽r 一如愿一三三s i n 磊) 2 + 一s 一c o s 嘎+ 三c o s 4 ) 2 = 护 ( 2 2 0 ) 洳一訾三s i n 4 一鲁s j n 磊) 2 + 哇s i n 孬一三三咖磊) 2 + 饩一s 一三o o s 4 + l c o s 4 ) 2 = 护 解上述方程组后可求得4 、暖、岛，将4 、嘎、色带入式( 2 1 8 ) 可解得c ；( i = 1 ，2 ，3 ) 并联机构正运动学分析确定，动平台中心坐标可由p = ( g + c 2 + c 3 ) 亨求出，然后由 刚荆割 汜 设己知该时刻动坐标系：的坐标原点0 2 在o 中的x 、】r 方向坐标为( x o ：，y o ：) 1 ， 则刀尖在：中的坐标( 彳，旷，方) 7 为： i 彳：弓 1 3 2p r s x y 串并联机器人运动学分析硕士论文 刀轴在：中的方向矢量与在。的方向矢量相等。至此，p r s - x y 串并联机器人位 置正解完成。 2 3 位置正逆解结果验证 对于机构位置正逆解的验证，本文采用的方法是：借助m a t l a b 软件编程得出位 置正逆解的输出曲线，然后在a d a m s 中进行运动学仿真，得出对应的曲线，最后将 a d a m s 中得到的曲线导入m a t l a b 中将两者进行对比，若曲线吻合，则证明位置正 逆解正确。给定一组机构尺寸参数，令r = 1 6 5 m m 、，= 1l o m m 、l = 5 5 0 m m 、c = 1 0 0 m m 。 2 3 1 位置逆解结果验证 为便于编程，设z t = l o o m m ，口= 0 ，在0 到万3 之间变化，借助m a t l a b 软件 对式( 2 1 4 ) 进行编程，得到驱动的位移随角度变化的曲线图。在a d a m s 中对建立 好的p r s x y 串并联机构模型进行运动学仿真。首先在刀尖处添加单自由度驱动，驱动 类型为绕y 轴的转动，驱动方程为( z r 1 5 ) x t i m e ，仿真终止时间设置为5 秒，仿真步数 取5 0 0 步，运行仿真后分别测试三个滑块的位移一角度曲线，在后处理模块中将曲线以 表格形式输出。最后将输出曲线导入至m a t l a b 中与通过编程得到的曲线进行对比， 其结果如图2 3 图2 5 所示。图2 3 一图2 5 中，实线表示由式( 2 1 4 ) 解出的滑块位移 一角度曲线，虚线表示在a d a m s 中对虚拟样机仿真后得出的滑块位移一角度曲线。 从下图可以看出，采用两种方法得出的曲线基本吻合，其中的误差原因主要包括： 通过m a t l a b 进行计算时存在一定的舍入误差；对机构进行三维建模并导入a d a m s 中时产生一定的尺寸误差。通过上述分析可以证明机构的位置逆解正确。 1 4 t ；。：。一。i 。粤。l ；。一。一茹 图2 3 位置逆解s 曲线对比图 图2 4 位置逆解是曲线对比图 硕士论文 p r s - x y 型串并联机器人全域性能及其优化研究 黪二 一：j 。，：-? ? 一j 。 、 锄 | 髟7 。 8 1 a 形。 i锄 艮 。 et 瑚 7 - 廿e 7 l 象瑚 参邢 章7 8 0 ，矿 争 孺 l 藉；若茬 图2 5 位置逆解墨曲线对比图 夕 少。 歹 么 7 i = 嚣瓣2 啪鼬卸7 0 070 7 2 0瑚 7 4 0z t = 乏一t j = 嚣：嚣：曩 未 弋 _ _ _ 、 “ 口 弋j i j l ， 一 i 啪鼬嘲7 0 070 瑚瑚7 椰7 5 d j t r n m 一。 乳，( 图2 7y 方向位置正解曲线对比图图2 8z 方向位置正解曲线对比图 2 3 2 位置正解验证 位置正解的验证思路与逆解的验证相同，也是将由位置正解数学模型得到的曲线和 三维模型仿真得到的曲线进行对比，观察通过两种途径得到的曲线是否吻合。为简便起 见，本论文只讨论s 变化时刀尖上的参考点在x 、】，、z 方向上的位移曲线，墨、是变 化时讨论方法与此相同。给定s 、& 在绝对坐标系中的初始位移分别为6 7 0 m m 、 6 6 0 r a m ，& 在6 6 0 r a m 至7 5 0 m m 之间变化，步长为1 。借助m a t l a b 软件提供的用于 求解非线性方程组的函数f s o l v e 对式( 2 2 0 ) 进行编程，解出4 、疋、磊，进而求解出 动平台的位姿，最终得到刀尖参考点在x 、y 、z 方向上随足变化的曲线图。在a d a m s 中对模型进行仿真操作，得出刀尖参考点在x 、y 、z 方向上随墨变化的曲线图，并 将所得到的曲线导入m a t l a