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随机神经网络的稳定性 摘要 神经网络在许多领域有着成功的应用，引起了国内外学者的广泛关注然而， 在实际的神经网络系统中，突触的传导过程是一个由神经传递素和其它随机波动 引起的一个噪声过程，因此实际的神经网络系统应是一个随机的动力系统，而在 随机系统的分析中，稳定性是重要的特性本文对几类随机神经网络的稳定性进 行了深入系统的研究全文的内容共分为五章 第一章概述了神经网络和随机微分方程的发展历史，分析了随机神经网络的 研究现状，并给出了本文所需要用到的一些基本知识 第二章研究随机h o p f i e l d 神经网络的稳定性研究了随机h o 曲e l d 神经网络的 稳定性和不稳定性，建立了几乎肯定指数稳定和几乎肯定指数不稳定的新的判别 准则提出了一类具有连续分布时滞的随机h o p 丘e l d 神经网络模型，利用随机分析 及不等式的技巧得到了模型p 阶矩指数稳定的判别条件 第三章研究随机船c u r r e n t 神经网络的稳定性利用推广的b l y t h e - “瓣m a 0 不 等式构建了时滞随机r e c u r r e n t 神经网络的几乎肯定指数稳定性的充分性判据，并 且估计了其指数的收敛率研究了随机变时滞r e c u r r e n t 神经网络的鲁棒指数稳定 性，利用勋z u m i k h i n 型定理得到了判定其均方指数稳定的充分性条件我们提出 了一类混合随机变时滞r e c u r r e n t 神经网络模型，利用推广的r a z u m i k h i n 型定理得 到了判定该模型均方指数稳定的条件，并且利用m 矩阵建立了新的均方指数稳定 性的判别准则 第四章研究随机c o h e n g r o s s b e 唱神经网络的稳定性利用半鞅收敛定理得到 了变时滞随机c o h e n g r o s s b e r g 神经网络几乎肯定指数稳定的判别准则提出了一 类具有无界分布时滞的随机c o h e n g r o s s b e 增神经网络模型，通过构造l y a p u n o v 泛 函、不等式等技巧，研究了该模型的几乎肯定p 阶矩指数稳定性，得到了网络稳定 与时滞无关的条件 第五章研究随机模糊细胞神经网络的稳定性通过构造合适的l y a p u n o v 泛函 和应用h a l a n a y 不等式建立了保证随机时滞模糊细胞神经网络几乎肯定指数稳定 的充分性条件提出了马尔可夫调制的随机模糊时滞细胞神经网络模型，利用推 广的耽u m i k h i n 型定理得到了判定该模型均方指数稳定的条件 关键词：随机神经网络；时滞；i t 6 公式；稳定性；h a l a n a y 不等式；姚u m i k h i n 定理；半鞅 博士学位论文 a b s t r a c t n e wr o m a n n e u r a ln e t 、v o r kh a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o n so f 研r o r l d w i d er e s e a r c h e r s o r t h e i rs u c c e s s f u l 印p l i c a t i o n si nm a n y6 e l d s h o w e v e r ，i nr e a ln e r v o u ss y s t e m s ，s y n a p t i c t r a n s m e s s i o ni san o i s yp r o c e s sb r o u g h to nb yr a n d o mf l u c t u a t i o n sf t o mt h er e l e a s eo f n e u r o t r a n s m i t t e r sa n do t h e rp r o b a b i l i s t i cc a u s e s ，t h e r e f 6 r e ，t h er e a ln e u r a ln e t w o r ks y 8 t e m i sas t o c h a s t i cd y n a m i c8 y s t e m i ti si m p o r t a n tc h a r a u c t e rt h a tw ea n a l y z es t a b i l i t yo fa s t o c h a s t i cd y n a m i cs y 8 t e m i nt h i st h e s i s ，w ed e e p l yi n v e s t i g a t es t a b i l i t yo fs e v e r a lc l a s s e s o fn e u r a ln e t w r o r k sm o d e l s i ti se o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nt h e 最r s t6 h a p t e r ，七h ed e v e l o p m e n ta n dh i s t o i 。yo fn e u r a ln e t 、v o r k sa n ds t o c h a s t i c d i h e r e n t i a le q u a t i o na r eb r i e n ya d d r e s s e d ，a n dt h ec u r r e n ts t a t u si ns t o c h a s t i cn e u r a l n e t w o r k si sa n a l y z e d ，a n ds o m en o t a t i o n sa n dd e f i n i t i o n sa r eg i v e ni nt h i sc h a p t e r ? i nt h es e c o n dc h a p e r ，s t a b i l i t yo f s t o c h a s t i ch o p f i e l dn e u r a ln e t w d r k sa r es t u d i e d i n s e c t i o n2 1 ，w r ei n v e s t i g a t es t a i l i t ya n di n s t a b i l i t yo fs t o c h a s t i ch o p f i e l dn e u r a ln e t w d r k ， s o m en e ws u m c i e n tc o n d i t i o n sa b o u ta l m o s ts u r es t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t ya r ee s t a b l i s h e d i ns e c t i o n2 2 ，ac l a s so fs t o c h a s t i ch o p f i e l dn e u r a ln e t 、舳r kw i t hc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e d d e l a y si sp r o p o s e d ，e m p l o y i n gt h em e t h o do fs t o c h a s t i ca n a l y s i sa n di n e q u a l i t y 七e c h n i q u e s ， s e v e r a ls u 伍c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gp t hm o m e n te x p o n e n t i a ls t a b i h t ya r eo b t a i n e d i nt h et b j r dc h a p t e r ，s t a b i l i t yo fs t o c h a s t i c 黜c u r r e n tn e u r a l ln e t w o r k s ( s r n n ) a r e s t u d i e d i ns e c t i o n3 1 ，w er e s e a r c hs t o c l l a s t i cr e c u r r e n tn e u r a li l e t w o r kw i t hd e l a y s ， b yu s i n gg e n e r a l i z e db l y t h e l i a d m a oi n e q u a l i t y ，w en o to n l yo b t a i na l m o s ts u r e l ye x p 伊 n e n t i a ls t a b i l i t yb u ta i s oe s t i m a t et h ee x p o n e n t i a l l yc o n v e r g e n tr a t e i ns e c t i o n3 2 ，w e c o n s i d e rr o b u s ts t a b i l i t yo fac l a s so fs t o c h a s t i cn c u r r e n tn e u r a ln e t ，o r k s ( s r n n ) 祈t h t i m ev a r y i n gd e l a 弘，b yu s i n gr a z u m i k h i nt h e o r e m ，r ee s t a b l i s hs o m es u 佑c i e n tc o n d i t i o n t od e t e r m i n ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs r n n i ns e c t i o n3 3 ，ac l a s 8o fh y b 订ds t o c h a s t i c r ，e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k ( h s r n n ) w i t ht i m ev a r y i n gd e l a a r 8i sp r o p o s e d ，a n dt h em e a n s q u a r ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fh s r n ni sd i s c u s s e dv i ag e n e r a l i z e dr a z u m i k h i nt h e o r e m ， s o m es u m c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e n ，a n db yu 8 i n gm m a t r i x ，w eo b t a i nn e wc r i t e r i af o r t h em e a ns q u a r ee x p o n e n t i 越8 t a b i l i t yo fh s r n n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，s t a b i l i t yo fs t o c h a 8 t i cc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r l 【8a r e 8 t u d i e d i ns e c t i o n4 1 ，b yu s i n gt h es e m i m a r t i n g a l ec o i e r g e n c et h e o r e m ，w eo b t a i n s o m es u 伍c i e n tc r i t e r i at oc h a c kt h ea l m o s ts u r ee x p o n e n t 谢8 t a b i l i t yo fs t o c l l a s t i cc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t ht i m ev a 唧i n gd e l a y 8 i ns e c t i o n4 2 ，ac l a s so fs t o c l l a s t i c c o h e l l g r o s 8 b e r gn e u r a in e t w d r kw i t hu n b o u n d e dd i s t r i b u t e dd e l a y si sp r o p o s e d ，u n d e r i i 随机神经网络的稳定性 t h eh e l po fl y a p u n o vf u n c t i 。n a la n di n e q u a l i t y ，as e to fn o v e ld e l a y i n d e p e n d e n ts u 毋c i e n t e o n d i t i o n so na l m o s ts u r e 础hm o m e n te x p o n e n t i ls t a b i l j t ya r eg i v e n i nt h e6 f 七hc h a p t e r ，s t a b i l i t yo fs t o c h a s 乞i cf u z z yc e l l u l a rn e u r a ln e c 、 ，o r k sa r es t u d i e d i ns e c t i o n5 1 ，w ed i s c u s ss t o c h a s t i cf h z z yc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r kw i t l ld e l a y s ，b yc o n s t r u c t i n gs u i 七a b l el y a p u n o vf l l n c t i o n a la n du s i n gh a l a n a yi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，、ep r e s e n t s o m es u m c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n ga l m o s ts u r ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rs u c hn e t w o r k i n s e c t i o n5 2 ，m e a ns q u a r ee x o p n e n t i a ls t a b i l i t yi si n v e s t i g a t e df o rs t o c h a s t i cd e l a v sf u z z y c e l l u l a rn e u r a ln e t 、舳r l 【sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g ，b ym e n a so fg e n e r a l i z e dr a z u m i k h i n t h e o r e m s e v e r a ls u 伍c i e n 七c o n d i t i o n st oe n s u r et h em e a ns q u a r ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f s l l c hn e t w o r km o d e la r eo b t a i n e d k e y w 6 r d s ： s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k s ；d e l a y s ；i t 6f o r m l l l a ；s t a b i l i t y ；h a 。 l a n a yi n e q u a l i t y ；r a z u m i k h i nt h e o r e m ；s e m i a r t i n g a l e i i i 博士学位论文 第l 章绪论 1 1 神经网络发展简介 神经网络就是通过对人脑的基本单元一神经元的建模和联结，来探索模拟人 脑神经系统功能的模型是一门新兴的、综合性、交叉性很强的学科，包括实际生 物神经网络与人工神经网络两方面对神经网络的研究始于二十世纪四十年代，至 今已有半个多世纪的历史1 9 4 3 年，神经生物学家m c c u l 】o c h 和青年数学家p j t t s 在斌b u n e t i no fm a t h e m a t i c a lb i o p h y s i c s 发表文章【l 】，总结了生物神经元的一些基 本生理特征，提出了形式神经元的数学描述与结构方法，建立了人工神经网络的 第一个数学模型，即m p 模型，从而开创了神经科学理论的研究时代 1 9 4 9 年 心理学家d o n a l dh e b b 通过对大脑神经细胞学习和条件反射的观察，在文1 2 j 中提 出了h e b b 学习模型，其学习规律为：神经元之间的突触联系强度可以变化，第z 个和j 个神经元的连接权值纰j 可由这两个神经元的兴奋加以调节，从而为神经 网络的学习算法奠定了基础这一规则的正确性在3 0 年后得到了证实，至今还在 各种神经网络模型的建立中起重要作用系统地研究神经网络是二十世纪五十年 代末六十年代初开始的，1 9 5 7 年，r o s e n b l a t t 发展了m p 模型，首次提出并设计 制作了著名的多层感知机( p e r c e p t r o n ) ，试图模拟动物和人脑的感知及学习功能， 第一次把神经网络的研究付诸工程实践，掀起了人工神经网络研究的热潮 1 9 5 9 年，当时的另外两位美国工程师威德罗( b w i d r o w ) 和霍夫( m h o f f ) 提出了自 适应线性元件( a d a p t i v el i n e a re l e m e n t ，简称a d a l i n e ) 它是感知器的变化形式， 尤其在权矢量的算法上进行了改进，提高了训练收敛速度和精度，成为第一个用 于解决实际问题的人工神经网络上世纪6 0 年代，美国著名人工智能学者m i n s k y 和p a p e r t 对r o s e n b l a t t 的工作进行了深入的研究，在1 9 6 9 年出版的感知机1 3 j 一书指出感知机的处理能力有限，甚至连异域逻辑问题也不能解决再加上一些 其他因素的影响，神经网络的研究陷入低谷标志神经网络研究高潮的又一次到 来是生物物理学家h o 曲e l d 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇文 章1 4 一1 9 8 2 年他提出了h o p f i e l d 神经网络模型，将能量函数引入到对称反馈网络 中，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经 网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并利用提出的网络的神经计算能力来解 决条件优化问题1 9 8 4 年h o p f i e l d 设计并研制了他提出的神经网络模型的电路， 指出所有神经元的连接可以用电子线路来模拟，这为神经网络的工程实现指明了 方向同时h o p 丘e l d 在神经网络的应用研究中成功解决了旅行商( t s p ) 计算难题 在1 9 8 5 年，h i n t o n 等人利用随机机制提出了b o l t z m a n 机另一个突破性的研究成 随机神经网络的稳定性 果是儒默哈特( d e r l 姗e l b a r t ) 等人在1 9 8 6 年提出的解决多层神经网络权值修正 的算法一误差反向传播法，简称b p 算法，找到了解决明斯基和帕伯特提出的问题 的办法，从而给人工神经网络增添了活力这些研究成果掀起了神经网络的第二 次研究高潮目前已提出了几十种人工神经网络模型，并应用到很多信息处理领 域，如模式识别，信号处理、自动控制，机器人等等，并与演化计算、符号机制相 结合，不断取得新的成果 1 2 随机微分方程及其稳定性描述 1 2 1随机微分方程的研究现状 随机微分方程的研究，是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速 发展起来的关于随机因素在微分系统中的作用问题早在二十世纪初就被人们所关 注 1 9 0 2 年g i b b s 【6 】在所讨论的统计力学问题中，研究了保守力学系统h a m j l t o n j a c o b i 微分系统的积分问题，其初始状态是随机的这是最早提出的随机微分方程 问题【7 1 直到1 9 5 1 年i t 6 发表了著名的i t 6 型随机微分方程的论文之后，才建立确 切而又严格的数学描述，此后，随机微分方程得到了很快的发展，成为数学中的 一个非常活跃的分支在随机系统的分析中，稳定性是重要的动态特征，是工程设 计的主要目标之一目前有关随机系统稳定性的专著主要有：胡宣达著的( t o ，( 1 2 1 ) 初始条件为z ( o o ) = 。o ，设方程( 1 2 ，1 ) 的解是全局存在且唯一，若 厂( 0 ，z ) = 0 ，口( 0 ，) = 0 ，t t o ， 则方程( 1 2 1 ) 有零解z ( ) = o 对于方程( 1 2 1 ) 定义一个微分算子 c = 妄唼肫蕞+ 三扣州炉纠玎去 如果c 作用在函数y ( z ，z ) e 2 ，1 ( r + 形；r + ) 上，则有 c y ( z ，t ) = k ( z ，o ) + k ( z ，) 厂( ) + 去盯t ( t ) k z 盯( ) ( 1 2 2 ) 所以i t 6 公式可以改写为 d y ( z ，) = c y ( 。，) d + k 0 ，) 盯 ) d u ) 下面给出几类随机稳定性的定义f 4 2 】 定义1 2 1 若对任意( o ，1 ) 和r o ，存在6 = 6 ( e ，r ，幻) o ，使得当l 6 时，有 p f z ( ；如，z o ) l 0 使当i z o f o 使( 2 1 3 ) 成立g ( i m ) 为使入 o 的某正常数，如果p 鸶，则 l i ms u p 昙l 。g ，z 。) i 一( j d 一等) ， t o o l 。 其中。o o ，即( 2 1 1 ) 的平凡解几乎肯定指数稳定 证明：设y ( z ，亡) = 一( t ) q z ( t ) ，则由( 2 1 2 ) 可得 y ：2 z t ( t ) q 【一b z ( t ) + a 9 ( z ( t ) ) 】+ t r a c e ( 盯t q 盯) 由假设，有 n c y 一2 t = 1 壹。巧仍( 巧( t ) ) + t r a c e ( 盯t q 盯) j = l n 吼瓤( t ) j = 1 n n n 一2 口 6 t z ；( t ) + 吼鼢( t ) t = 1 t = 1 j = 1 + 搿吼( 嘶 。订i 岛旧( t ) i+ t r a c e ( 一q 仃) 口 j l 易( q z i ( t ) + 专z ；( t ) ) 一吼塞l 。巧l 岛。一岳耋i t l 】z ；( t ) + 搿吼i 盯( z ( t ) ) 1 2 一吼l o 巧l 岛0 一岳i t l 】z ；( t ) + 婴豁吼i 盯( z ( t ) ) 1 2 f = 1，= l 一入三z + 忌搿吼l = ( 南鬻一壶) 叠醐) p ，( t ) q z ( t ) 1 0 一 “p z 吼 n 汹 2 + 、l ， ot z 玩吼 n ：l 2 一 = n ：亘 2 一一 、l ， ， 21 z l h g 魄 吼 2 ，t n 汹 一 = 砖 n 脚 博士学位论文 由引理2 1 1 即可得结论成立 如果， 0 ，g ( ，) 为使a 0 的某正常数，如果肛 o 罢管吼 又 ，i m 、 翟哿儡罢豁吼 m t 彳一 与定理( 2 1 2 ) 同样的推证可得： 定理2 1 4 假设存在正常数忌使i 盯( z ) 1 2 忌川2 ，z 吼( z ) o ，q = d i a g ( 9 1 ，q 2 ，g n ) o ， 存在实数p o 使( 2 1 3 ) 成立如果p 譬，则 l i ms u p 妄l o gl z ( t ，z o ) l 一( p 一等) ， 其中z o 0 ，即( 2 1 1 ) 的平凡解是几乎肯定指数稳定 推论2 1 5 假设存在正常数庇使l 盯( z ) 1 2 尼h 2 ，z 吼( z ) o ，q = d i a g ( 口l ，q 2 ，锄) o ， 如果弘1 o ，和一实数声 o 使得 l z t ) q 盯( 。( t ) ) 1 2 p ( z t ( t ) q 。( t ) ) 2 ( 2 1 4 ) 对所有的z ( t ) 兄n 和i 口( z ) 1 2 乏2 成立( 忌为某常数) ，则( 2 1 1 ) 的平凡解满足 1 i 蟛詈l 。g i 筹咱 这里z o o ，卢的含义见下面的证明过程，特别地，如果鲁 o ，则( 2 1 1 ) 的平凡解 几乎肯定指数不稳定 ：些些望型些墼一 证明：设v ( 。，t ) ：，( t ) q z ( ) ：壹m 。；( z ) ，则 c y ： 2 z t ( ) q 卜- b 卫( ) + a 夕( z ( t ) ) 】+ t r a c e ( 仃t q 盯) n n n 一2 蚤q 1 6 i z ；( t ) + 2 蚤吼( 兢( 。) ) 量吼忍( 。)l = l6 一 + 跫糌q ( 坩 一2 壹口t 玩z ；( ) + 2 妻【n “】一三；岱z ；( t ) 一耋( 鲁，耋 l 酬+ ，萎。堋埘 + 咖吼( w 一耋吼z + 翟谐吼是川1 2 ， 一l ，吼z ；( ) + 罂诤吼七l z ( t ) 1 2 ， i = 1 其中 = 搿胁+ 篆，煮；h 卅，妻；纠口汁2 k 阱 从而有 y 豇吼z 这里 ，罂器哦 五：忌坐一“= 咒一 搿岱i m 余下的结论由文献【4 2 】的定理4 3 5 可得 注2 1 1 与已有的文献【4 垂4 7 】的结果比较，我们所用的条件不需依赖于激活函数或 矩阵特征值的比较，只需利用系数的关系，因此更容易验证另外，不稳定性是很 少有学者研究的，所以，本小节所得结果是新颖的 一1 2 博士学位论文 2 2 具有连续分布时滞随机h o p ：6 e l d 神经网络的p 阶矩 指数稳定性 2 2 1引言 我们在上一节研究了随机h o p 矗e l d 神经网络的稳定性然而，信号在网络中的 传输是需要时间的，在神经网络的硬件实现时放大器的转换速度也是有限的，因 而不可避免地存在着时滞，而时滞意味着网络模型应该与过去时间的神经元状态 有关，这也在一定意义上反映了大脑本身的特点，所以应该在神经网络中引入轴 突信号传输时滞时滞的产生可能引起网络振动、不稳定、分岔和混沌近年来， 时滞随机神经网络稳定性的研究已成为许多学者研究的热点，也取得了很大的进 展1 5 0 _ 9 1 i ，但仍有很多理论问题需要进一步完善和探究 传统的离散时滞反馈系统是有少量细胞的简单回路的一个很好的描述，然而， 随着轴突的大小和长短的变化还需分析神经元的状态随空间的涨落的关系，正因 为这些，从而神经网络会具有一些特殊的性质，这种特有的性质适合于用分布时 滞来建模最近有一些学者对各种具有分布时滞的神经网络的稳定性进行了一些 研究工作，得到了保证系统的解的存在唯一性和渐近稳定性的充分条件在文献 f 5 9 1 中作者使用l m i 方法建立了保证解的稳定性的条件；文献删用变参数和不等 式等方法研究了具有连续分布时滞随机神经网络的均方指数稳定性但据我们所 知，有关p 阶矩指数稳定性的研究的文章很少见到 2 2 2模型及预备知识 考虑具有连续分布时滞的随机神经网络如下 d 鼢( ) ：( 一q 觋( ) + 量。( 一s ) 办( ( s ) ) d s 出 j = 1 + 妻( ( t ) ) d ( t ) ，t o ； ( 2 2 1 ) j = l 孔( t ) = 矗( ) ，t o ， 1 t n 这里n ( 2 ) 是网络中神经元的个数，甄是在时刻t 时第i 个神 经元的状态变量，办( 巧( t ) ) 表示在时刻t 时第歹个单元的输出，q ，为常数 “( ) = p l ( t ) ，( t ) ) t 是定义在完全概率空间( q ，厂，五t 2 0 ) ，尸) 上具有自然滤波 五t 2 0 ) 的礼维b r o w n i a l l 运动 一1 3 随机神经网络的稳定性 将( 2 2 1 ) 写成矩阵形式为 d z ( t ) = 卜c z ( ) + o o 七( 。一s ) ，( z ( s ) ) d s 】d 。+ 仃( z ( 。) ) d u ( 2 ) ， ( 2 2 2 ) 【z ( t )= f ( t ) ，t o ， 这里 z ( ) = ( z 1 ( t ) ，z 2 ) ，z 。( t ) ) t ，c = d i a g ( c 1 ，c 2 ，c n ) ， ( t ) = ( n 巧尼巧( ) ) n 。，( z ) = ( ( z 1 ) ，厶( z 2 ) ，厶( z 。) ) t ， 盯( z ) = ( ( z j ) ) n 。，u ( ) = ( u ) ，u 2 ( t ) ，( ) ) t ， f ( ) = ( 1 ( t ) ，2 ( ) ，矗( t ) ) t 在本节中我们建立如下的假设： 假设2 2 1 对i ，7 = 1 ，2 ，礼，如( o ) = ( o ) = o ，办和吼j 满足l i p s c h i t z 条件，其 l i p s 1 t l t z 常数为a t 0 ，l 巧 0 假设2 2 2 对t ，j = 1 ，2 ，_ n ，b 是定义在【o ，o 。) 上的实值非负连续函数且满足 f ( ) d t = 1 且对某正常数p 有伊e ( ) 出 1 ，则下不等式成立 prc、 l ，( z ) 夕( z ) ( l ，( z ) 阳z ) ；( l 夕( z ) i q d z ) ； - ，nj q，q 引理2 2 2 1 6 9 】设对七= 1 ，2 ，礼，存在常数。七0 ，如果p 1 ，则下面不等式成立 引理2 2 3 4 2 】设对于o ，夕l 2 ( 忌；m ) 有z ( t ) = 后9 ( s ) d b ( s ) ，a ( t ) = 1 9 ( s ) 1 2 d s ， 则对每一个p 0 ，存在正常数q 使得对所有的t o ，有 e ( s u pi z ( s ) i p ) g e i a ( t ) l 暑 0 s s t 成立特别地，若o p 2 时， 取q = ( 每) 暑 引理2 2 4 【1 1 0 】如果m o ，且p ( m ) b ( a 口) 表示4 一b o 一男o ) n i 表示欧氏范数，”j i 表示向量或矩阵范数，i j 护是一个定义为忙垆= k r t = l 的向量范数 2 2 3 主要结论及证明 在本节，我们将利用变参数、不等式和随机分析的方法来研究系统( 2 2 2 ) 的 p 阶矩指数稳定性 设 口；：【苎j 。巧i 口】：，面：( 3 c ；) - ， j = 1 反= ( 4 3 p 一1 佗一1 ) ( 2 q ) 1 一；，e = d i a g ( c 1 ，c 2 ，c n ) 奶= ，k = ( b ) n 枷b = 铲e ( ) 出， 舰= d i a g ( o l ，0 2 ，o n ) ，m = d i a g ( 面，奶，磊) ， = d i a g ( 6 1 ，6 2 ，b n ) ，1 = ( 奶) n 柳 定理2 2 5 设假设2 2 1 和2 2 2 成立，如果p 【c 一1 ( m m l k + 1 ) 】l ，则系统( 2 2 2 ) 的平凡解p 阶矩指数稳定 证明：对t o ，i = l ，2 ，n ，由系统( 2 2 2 ) 可得 戤( ) n = e a 。鼢( o ) 十石e 一倪( 扣5 ( s 一勘) 乃( 巧( ) ) d 秽】d s ，= l + 片e q ( t s ) 妻( 巧( s ) ) d q ( s ) j = 1 全 i + 厶t + 厶i 因此对给定的正常数a ，a = m i n c l ，q ，气 ，有 1 5 一 ( 2 2 3 ) e s u p o s e k 阮i p 】 卧u p 0 图【肛舯( 砉l i 如( s 刊似洲) 俐蚋 = 即u p o 蜓e 【后( e 掣e 掣砉 f 。七巧( s u ) l 乃( 巧( u ) ) i d u ) d s 】p ) e s u p o 蜓e k 【后e a ( 即d s 】； l n 妇 詹e 吲童陬j l 。吲s 刊姒珈) ) | 酬p d 5 ) ) ：e s u p 0 5 te k ( 【百1 ( 1 一e q 睇 后e c ( 叫杰l 。巧lf ( s 一删办( ( 口) ) i d 1 p d s ) ) i ；e s u p 。f e k 菇e c t ( e - s 【妻q 9e s u p o f e kj i e 咱k - 5 【二 l o 巧i 。( 5 一u ) h ( u ) m s ) i ：e s u p o s te k 后e q ( 一8 【i o 玎1 n ，= 工 u ) l z j ( u ) l d u ) p d s ) q 卯】：即u p 0 e k 后e 舔8 嗟( f 。忌丢( s 刊蚓训侧d s ) ：i ；【妻l l 口】：e 8 u p 。 e m 后e 一( c t 叫( 叫= i ；【l 阱e 8 u p 0 e s e m 晤e 1 铲 垤叫 j = 1 【壹( 。碡( s u ) e 刊e 加b ( u ) i p 曲) 】d s ) j = l i 詈( c 一入) 一【壹l l 口】；【壹b 岛( t ) 】， i ；( c 一入) - 1 【l l 口】等【岛( t ) 】， ，= lj 2 l 1 6 一 ( 2 2 4 ) n 触 e 口 一q 其中 g j ( t ) 2 黑。酏( t 8 另外，由b r o w n i a n 运动u ( t ) = ( u 1 ( t ) ，u 2 ( t ) ， 其中 ，u n ( t ) ) t 有 e 【。五( s ) d u 。( s ) z 如( s ) d 屿( s ) 】= ez ( s ) 办( s ) d t ， t = 翰t ， 6 订= 因此，利用引理2 2 2 和2 2 3 可以得到 e 【s u p o e te k = es u p o 曼s te 入q后e 吖水一 1 ，i = j ； 0 ，i j p ) 他u p o i 叁后e 咱代。8 州s ) ) 酬s 舻) n 4 佗暑一1 e 她 e i j = 1 o 可以应用定理2 2 5 的同样的方法得到如下的结论 推论2 2 7 设假设2 2 2 和2 2 3 成立，如果p 【c - 1 m + m 】1 ，则系统( 2 2 6 ) 的平凡 解p 阶矩指数稳定，这里的m + = ( ；) p _ 1 m ，m ，m ，k 的含义同定理2 2 5 注2 2 2 研究时滞随机神经网络稳定性的文章较多，但主要依赖于l y a p u n o v k r a s o v 泛函的构造而本文直接通过系数的关系就可判定稳定性，在目前的文献中是不 多见的 2 2 4 应用举例 在本节，通过一个例子来说明我们的结论 例2 2 1 考虑一个具连续分布时滞的随机神经网络模