（应用数学专业论文）位势井族理论应用到带有源项和阻尼项的非线性波动方程.pdf

哈尔滨：r 程大学硕士学位论文 摘要 本文研究了一类带有源项和阻尼项的非线性波动方程的初边值问题 - a u 十口”1 坼= 制”1 “，工q ，t 0 ( 1 ) u ( x ，0 ) = u o ( 工) ，“，( x ，o ) = “j ( z ) ，x q( 2 ) u ( x ，t ) = 0 ，工弛，t 0( 3 ) 其中a o ，b 0 ，q c r n 是有界域，当n = 1 , 2 时，1 m p 0q c r ”i sab o u n d e dd o m a i n ，1 m p o 。 f o r v = ，z ：t 0 或在0 点的右侧某个有限区间存在对于线性方程来说，例如热传导 方程，只要仞值适当光滑，其初值问题的解也必具有适当的光滑性，而且对于 t 0 解是整体存在的，但对非线性方程来说情况则不同，一般地，非线性抛物 方程初值问题的整体古典解通常只能在时间f 的一个局部范围中存在，即使 对于充分光滑的初值也是如此：相应地，解的爆破( b l o w - u p ) 有时也指代“整 体不存在性”即“解的最大区问是有界的”尽管后者的概念在某种意义下更 宽泛一些，是指解在有限时间内失去正则性，产生奇性( 解本身或某些导数趋 于无穷) 偏微分方程的基本问题之一是研究各种初边值问题的解的存在性，而退 化的和其它奇性的方程一般都不具有古典解，s o b o l e v 空间引入为求解初边 值问题提供了有效的途径研究这类方程的第一步就是选取适合于方程特点 的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空间来定义广义解，在远为广泛的函数类 中寻求方程的解，比直接求古典解容易的多如果在这样选取的函数空间中， 解不仅是存在的而且是唯一的，那么这就是一个理想的函数空间。在得到弱解 后，在进一步讨论这些解是否具有更高的光滑性，是否也是古典解，这就是所 谓的正则性问题无论是从理论上还是从应用上总是希望能找到使解唯一的 最弱的函数空i 日j ，同样也希望知道解最好的正则性如何，函数空l 日j 的选取还用 哈尔滨- 丁程大学硕士学位论文 于对各种逼近问题作必要的先验估计，也是进一步研究解的性质的基础研究 解的整体存在性的意义是非常明显的，对一些重要的方程的解的整体性态( 例 如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解的整体存 在性为前提 而对于非线性发展方程的经典解的整体存在性的研究，已经有了很多结 果一- 并已发展了不少有效的处理方法，例如紧致性方法、单调性方法、半群 方法、补偿紧致方法等但由于发展方程包含的范围十分广泛，非线性的具体 特点又多种多样，因此，己有不少的结果往往是针对某特定的物理模型，对 某一类具体方程的定解问题而得到的，总的来说结果还比较零碎，还上未形成 一个一般的理论 最近对于非线性发展方程的经典解的整体存在性的研究提出了一套新的 处理方法，就是在通常对解的能量估计的基础上，再利用相应的线性齐次方程 的解在f 寸0 0 时的衰减性质，并将两者有机的结合起来，就可在一定的条件下 在小初值的情形下得到经典解的整体存在性，且说明解在，寸0 0 时仍具有 定的衰减性 我们知道，非线性问题的解往往是不能直接求得的，通常必须先对一类 较易处理的逼近问题求得原问题的近似解，然后通过近似解建立适当的估计 式，再过渡到极限而得到原非线性问题的解在s e l a i n e r m a n 中，为了得到 c a u c h y 问题的逐次解，并保证其在整个求解区域f 0 上的收敛性，利用了 n a s h m o s e r h o r m a n d e r 迭代格式，这一方法对处理在普通迭代过程中导数发 生损失的问题是相当有效的，但整个讨论相当复杂，而且在c a u c h y 问题的情 况并不是必要的在s k l a i n e r m a n 及g p o n c e 中则采用了局部解延拓法来 证明c a u c h y 问题的整体经典解的存在性局部解延拓法实际上将整个证明过 程分为二步：第一步先通过近似解序列在关于f 的局部区域上的收敛性，来得 到局部解的存在性：第二步再利用对解建立适当的一致先验估计式，将局部解 延拓为整体解 1 3 位势井方法及波动方程的相关问题 对于某类方程的定解问题，仅用能量估计的方法，不能得到解的先验估 喻尔源r 程人学倾1 学位论土 计，也就得不到整体解的存在性为了解决这些不具有正定能量的双曲方程 定解问题整体解的存在性问题，s a t t i n g e r 于1 9 6 8 年在国际上首次提出了位 势井理论，从而完全解决了能量非诈定的这类方程的整体解的存在性问题此 后，位势井理论就成为研究非线性发展方程解的整体存在性与不存在性的一 个基本重要的方法，而被很多数学家应用和推广具有代表性的工作 有：t s u t s u m i 于1 9 7 2 年对h i l b e r t 空问中的半线性双曲和抛物方程，1 9 7 3 年 对强非线性抛物方程，p a y n e 与t s u t s u m i 于1 9 7 5 年对一般二阶半线性双曲与 抛物方程，l e v i n e 于1 9 8 7 年对具有非线性边界条件的发展方程，n a k a o 于 1 9 9 1 年对柯西问题分别对位势井理论作了推广和应用但是这些工作所引进 的位势井与8 a t t i n g e r 于1 9 6 8 年引进的位势并并没有本质的区别而且这些 位势井方法所得到的结果也基本相同：即当( 工) w 且0 ( 0 ) 0 在这篇文献中，作者首先用新的方法得到了位势井深度d 的值，并且首次 喻尔暝i ：程大学颁l 学位论卫 得到了位势井内外结构而后用位势井方法得到了问题的整体弱解，整体强解 的存在性最后证明了位势井及井外集合v 在问题的流之下的不变性这 篇文章是在位势井方法提出之后又一次实质的发展 文 3 0 中，刘亚成又在原位势井理论的基础上加以改进，利用新的方法引 进了位势井族，并给出了这族位势井的性质，而后利用这族位势井得到了一些 完全新的整体弱解与强解的存在定理最后。讨论了解的不变集合及真空隔离 现象 文 3 1 中g e o g e v 和t o d o r o v a 研究了带有非线性源项和阻尼项的波动方 程的初边值问题 。一a u + a l u ，i “，= 6 “”一1 “，x q ， 0 ( 1 1 ) u ( x ，o ) = n o ( x ) ，t , t t ( j ，o ) = z ，l ( x ) ，x q ( 1 2 ) u ( x ，) = 0 ，z 砌，r 0 ( 1 3 ) 其中q c r “是一个有界域， 3 1 中的主要结论如下：当口= b = l ，m 1 ，p 满足当n = 1 , 2时， l 研p o o ：当n 3时， 1 m 则对充分大初值，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的解在有限时l 日j 内 b l o w u p 文 3 2 中i k e h a t a 研究了问题 甜。一a i4 - a z ，l ”一致= 6 l 甜l p - i “x e f 2 ， o ( 1 1 ) u ( x ，0 ) = 。( x ) ，( 工，o ) = 村1 ( 工) x q ( 1 2 ) u ( x ，) = 0 ，x a q t 0 ( 1 3 ) 当p m 整体解的存在性其中当口 0 ，b = 1 有如下定理 3 2 中定理1 5 ：假设万 0 ，当n = 1 , 2 时，m l ，p 1 当n 3 时，1 坍而n + 2 ，l m 1 并且满足当n = 1 , 2 时，1 m p 0 0 ：当 3 时， 1 掰p 等等，群。( x ) 硪( q ) ，“。( x ) p ( q ) 假设 e ( o ) o ， ) o ，b 0 和( z ) 叫( q ) ，“，( x ) r ( q ) ， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在整体解v t o , x , j 于所有的n 1 假设1 p l q 1 1 5 几个常用的空间和引理 定义1 2设q c r ”，0 t c o ，i p o o ，l q o o ，贝u 哈尔滨t 程大学颂 。学位论文 9(。，”(q)=u(x,otill，。，西m)，且ii甜llq(0,lp(f，)=(_i甜ij：p(ta)dtt；l i l l i 110 0 ； 以o ，懈) ) = ，西 m ，且甜= 甜崆卜 j 定义1 3 设q cr “，0 t o 。 1sp 0 0 ，则 r ( 0 , t ；l p ( q ) ) = 扣，) e s s 。s u 圳p 帅， 。) ，且n 棚，= e s s s u p i i 1 1 0 ) 引理1 4 则 ( i ) l l v 封k 。，为础的等价模 ( ii ) i 陋“。，为础。，呐。，的等价模 引理1 5 设q c c 2 ，妇，( 工) 为问题珊十五国= o , t o i 。= 0 的特征函数系 ( i ) 如，( x ) 构成( q ) 的一个正交函数系 ( i i ) 如，( x ) j 在：( q ) 中稠密 ( i i i ) b ( 工) 在h2 ( q ) n 硪( q ) 中的闭线性扩张为h2 ( q ) n 日j ( q ) 引理1 6 设i q 0 0 ， g 。( 工，f ) 于f ( q ) 弱收敛且岛( 墨f ) 斗g ( x ，) a e 于9 ，则氍( 工，) 于( q ) 弱收敛于g ( x , t ) 引理1 7 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q cr ”为有界域或无界域，且具有锥性 质，则 ( i ) 如果印，7 ，则w k , p ( q ) 可嵌入到l q ( f ) 中，此时当勿 疗 时，p q j 车：当幼= 时，p - q 0 0 ，且有 h 一肋 0 u l l ，- 胛，则一( q ) 可嵌入到c ( f i ) 中，且 。- - c , t t uf l 咖 其中常数c ，c 与“无关，与露，n ，p ，q 有关 引理1 8 ( g r o n w a l l 不等式) 设y ( f ) l 。( o ，t ) 且存在常数a 与6 ，使得 ， j ，( f ) 口+ 6 p ( z ) 比，o s ，s 7 1 0 则有 则 且 y ( r ) a e “，0 ，t 引理1 9 ( h o l d e r 不等式) 如果l o u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，“，( x ，0 ) = l ( z ) ，x q u ( x ，) = 0 ，x 施，r 0 即) = l i t 蚓酬1 2 一面b ： m ) = l i l y n 雨b ： ，( “) = 慨肛圳圳瞄 = “，以( q ) i ，( “) o ，( “) d ) u o d = i n f ( s u p ，( 勉) ) u e h ；( n ) o d = i n f ， ) “酬( q ) ，i l v “忙o ，( “) = 0 对于问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 且万( 0 , 1 ) ，我们定义 1 2 ( i - i ) ( 1 - 2 ) ( 卜3 ) ( 2 - 1 ) 哈尔滨工程大学硕十学位论文 以( 加扣“卜两b ： 郴) = 半( 舄国高，c - = s 印丽f l u l l ，+ , 在以下引理2 1 一推论2 1 0 中，我们总假设p 满足 当n = 1 , 2 时，i m s p o 。：当n 3 ，0 万 0 当且仅当 。 o 我们有j v “j l 0 ，且出 所以 ，( “) = 半黔n 以( ”) d ( 万) 铷训叫俨半( 茄j _ 因此结论成立 引理2 2 若i ， ) d ( j ) ，则，。( “) ( 茄回高 证明由于，j ( “) 0 ，得 以( “) = 善l l v 卜再b 陋i i z ： 。 等j 酬| 2 半( 茄卜那， 所以 以( z ，) o ，t ，( “) d ( 占) u o ，0 o 另夕1 - 我们定义 = 每日；( q ) 1 1 ；( 甜) o ，( 甜) d ( j ) 0 艿 l 吃= v , u a v 5 = “h o ( n ) l d a “) o ，( “) d ( 叫 矿= 函日j ( q ) i ，( ”) o ，( “) d 以十啪川叫1 ( 舄万刖 张b 咧忙训 ( 茄占h 显然我们有 = v 由于，( “) l l l v u | 1 2 ，因此对任意给定的艿( o ，1 ) 当 吲阻忭卜回；( 舄艿尸 我们有j ( “) 0 这表明 其中 驻，蹶( 筹否 而钊 由引理2 1 与引理2 2 可得出 定理2 7 设，吃，b ；，彰，和万如上述定义，则 推论2 8 岛c c 乓，c 彤 岛。c w c ，v c b 。c b 矗= 扣明( q 艿 盟科 一2 占 高 嘉 吼 培 哈尔演t 程大学硕1 学位论文 丽p + | 刚- - 高= 雨p - i ( 去) 而 引理2 9 ( i ) 如果0 占 占”s 民，则伟0 c ，； ( i i ) 如果磊艿7 艿。 0 ，( “) d ( j ) u o ) 0 8 1 又由于引理2 4 可得 所以 ( i i ) 由 0 6 。 6 s 8 0 d ( 艿7 ) d ( 8 ”) ，c = 缸h ：( q ) i 以( “) o ，( “) d ( j ) 0 占 l 又由于引理2 4 可得 所以 瓯艿 6 ” d ( 8 ) c ， 引理2 1 0 假定o ，( “) d ( 点) = d ( 暖) 此与j ( u ) = d ( 反) = d ( d 2 ) 矛盾故结论成立 通过与引理2 1 相似的论证可证明下面的引理 推论2 1 1 如果j ( u ) 蔓d ，则l ( u ) 0 的充要条件是 陬屿( 6 凹“声 2 3 本章小结 本章首先给出了位势井的定义并且对万e ( o ，1 ) ，对位势井深度的值做了 推广接着证明了位势井相关的一些引理，最后给出了位势井族的定义及位势 井族的一些性质，使我们对s o b o l e v 空l 日j 中的位势井及位势井族的结构有了 清晰的认识 哈尔滨工程大学硕 学位论文 第3 章整体弱解的存在性和唯一性 在本章中我们将用新的存在性定理来证明问题 u u 一+ 口i 坼f 一坼= b 1 1 9 一”工q ，t o u ( x ，o ) = u o ( x ) ，坼( x ，o ) = u l ( x ) x q u ( x ，r ) = 0 工勰，t 2 0 的整体解的存在性，它们是定理1 1 的改进和推广 3 1 整体弱解存在定理 ( 1 - 1 ) ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 仿照p a y n e 与s a t t i n g e r 关于弱解的定义我们有： 定义“= u ( x ，f ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 在q 【0 ，t ) 的弱解，若 “r ( o ，r ；砩( q ) ) ，“，r ( o ，t ；l 2 ( q ) ) i 1 l + 1 ( q d ( q ，= q 【o ，r b 且几乎所 有的，【0 ，7 ) 有 v v ：( q ) 且在日：( q ) 中u ( x ，o ) = b 0 ) 定理3 1 设a 0 ，b 0 ：m ，p 满足当n = 1 , 2 时，1 m p 0 0 ；当n 3 时， l 小p 等等且( x ) h ：( q ) ，( j ) r ( n ) 假设o e ( o ) 0 由于，( ) e ( 0 ) = d ( 4 ) = d ( 暖) 可得对艿( 4 ，8 2 ) 有“o ( x ) 若0 v l | = 0 ，则“o v j ( 0 , 1 ) 对任意给定的8 ( 4 ，占2 ) 我们有 j 8 ( “。( o ) ) 0 且对足够大的”有e 。( o ) 0 ) 对足够大 的盯有( o ) c 岛( 如果i i v 0 = 0 ，万如定理2 7 所定义) 因此对足够大的胛 有u 。( o ) 下面我们要证对足够大的盯和， 0 时，有“。( ，) 如果不真，必存在一 个t o 0 满足u n ( f 。) a ，且以( ( ，。) ) = 0 ，f i v u 。( ，。) 0 或 j ( u 。( t o ) ) = d ( 8 ) 由( 3 - 5 ) 可得当胛充分大时 j ( u 。( ，) ) e 。( o ) 0 ( 3 - 6 ) 习y d d ( u 。( f 0 ) ) = d ( d ) 是不可能的 - 若j 8 ( u 。( ) ) = 0 ，j v u 。( “) 0 0 ，那么由定理2 5 d ( u 。( ，。) ) d ( 占) 这与 j ( u 。( f ) ) e 。( 0 ) 0 矛盾 因此由( 3 - 5 ) 和引理2 1 对充分大的r 和， 0 可得 i l v u o l l ( 茄占厂 i l u 。( t ) l l 川妃忙姒刮i 妃( 茄万尸 k ( ) r 1 2 0 下面我们要证“( ，) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的弱解，对 ( “。，) + ( v u nv c o 。) + ( 口i “。i “。，珊。) = ( 6 i “i p - l u ，( o ，) ，s = 1 ，2 ， 从0 到t 积分可得 ( ，q ) + 且v “。，v q f r + 且口i i m - i ，织v f 00 = ( 6 川p - i m + ( ”。( 0 ) ，) 0 ( 3 7 ) 哈尔滨t 程人学坝j 学位论立 在( 3 7 ) 中固定s 令h = v 斗o o 可得 因此 ( 虬，m ，) + ( v “，v c a f r + ( z ，。v r = j ( f ，甜，矽r + ( u v c o ，) v s r， ( q ，v ) + r v “，v v 矽f + 且z ，v 矽f = r 善，v r + ( ，v ) ，v ye h j ( q ) ( 3 - 8 ) 由 6 中的引理1 3 并取f = b l u l ”。“故( 3 8 ) 可为 。一“+ z = 6 k 1 9 。u j d ! h 一1 ( q ) 中 对( 3 9 ) 应用单调运算法则( 在 6 中引理6 1 的证明) 我们可证 从而定理3 1 得证 z = l u t r 虬 3 2 相关的定理及其证明 ( 3 - 9 ) 推论3 2 在定理3 】的条件下，我们进一步有甜( f ) 矿 于o - - t 0 哈尔滨丁程丈学琐i 擘位论立 令6 6 、 所以由既定义得： 厶( “) 0 “( ，) 0 t o , f u l i = 0 代替定理3 1 的假设 j 以( ) o ，i l v u 。| i = 0 ，且满足“。( x ) w ，那么定理3 1 的结论仍成立 且 证明由，( ) = l i v “。卜b l l “嵫： o 可得 啪。) = 争v 仆而b 呲：= 两1 地。) 。 暖 磊 厶( ) 氏( ) 所以结论成立 注3 1 显然当b = 1 时定理3 1 是定理1 1 的改进，当b 0 定理3 1 是定 理1 1 的推广 由引理2 1 及推论3 2 和它们的证明可得出 定理3 4 假设用 0 ) b 如代替定理3 1 中的假设厶( “。) o ，i w 。0 = 0 那么 问题( 卜1 ) 一( 卜3 )存在一个整体解 “( f ) r ( o ，；卅( q ) ) ，u t ( f ) r ( o ，；r ( q ) ) 且对于0 t 0 ：m ，p 满足当n = 1 , 2 时，1 研p ：当n2 3 时，1 所p 而n + 2 ，则对于任意给定的( 工) h ：( q ) ，“( 石) l 2 ( q ) ，如果 ( i ) 且若“o 0 s 面栅韦丽葩删胪+ 黔。咖 ( i i ) 若= 0 ，, t l 0 ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 6 ， 丽2 丽 3 _ 1 2 ) 其中口：2 旦粤，：三，则定理3 4 的结论仍成立 口一l口一i 证明f i ) 由( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 可得 。 即) 扣1 1 2 + l l l v o i l 2 志= d 哈尔演t 程人学硕i 二学位论义 并且从 我们得到 三 i w o l l 2 半( 舄民) 砉 i i v “o l l ( 舄磊) 赢 所以( z ) b 矗c b 以 凼此定理3 4 的条件成立 ( i i ) 从( 3 - 1 2 ) 中我们得到 o e ( o ) = 如“，1 1 2 o ，m ，p 满足当n = 1 , 2 时，1 m p o o ：当n 3 时， l 0 ；m ，p 满足当n = 1 , 2 时，1 m s p j 了西 一l 1 b a + 1 c ? ：3 3 一碧p 肛吉p 仔埘 p ， 一l 一1 则问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在整体解 “( f ) r ( o ，o o ；酬( q ) ) ，“，( f ) r ( o ，o o ；l ( q ) ) 且“( f ) 旷，0 ， o 带有初边值条件( 卜2 ) ，( 卜3 ) 由 e ( o ) = d = 刀i 百 由( 3 - 1 3 ) 得 11醒一b a 曲p c ? a c c 。a ( b b ，1 。c ： =-一： p ( b + 护1 1 ， 肝 a b 2 自c ： ( 3 - 1 4 ) l 噪，1 ：! ：；_ ! i 筹：二二：。 护 l l n ( p + 1 ) b 肚c ? ”一 e ( 驴扣心h 卜寺| ：= ： = 扣n 圭l l v o i l 2 一雨b 磬丽南蚓i ： = ( 。卜而1 | ：= ： 哈尔滨_ t 程大学帧l 学位论丘： o ，” h 0 因此对于 n o 有e ( o ) 0 由推论3 3 及带有条件( 卜2 ) ，( 1 - 3 ) 的问题( 3 一1 4 ) 存在整体解 “。( ，) r ( o ，叫酬( q ) ) ，l i n t ( ，) r ( o ，o o ；l 2 ( q ) ) 且“。( ，) 氓，o 满足 ( ，v ) + ( v ，v v r + 口f ( k 。，i m - i u n t ，v ) d r = 6 。( 川”1 v m + ( u j , v ) v v 明( q ) ( 3 - 1 5 ) 且在h ：( q ) 中。( o ) = u o ( x ) ，其中 = 缸e ：( q ) i l ( “) o ，以( “) d 。 u 0 由能量等式得 拉旷+ t 1 - 6 0 阮1 1 2 + 六伽加口肛恻加即) 以 d ( 3 - 1 6 ) 且 l ( “。) 0 从而 缸。 于r ( o ，o o ；4 ：( n ) n l p “( q ) ) 中有界， 函。 于r ( o ，o o ；l 2 ( q ) ) n r “( q ) ( q = q 【o ，m ) ) 中有界， k i t a - i n n t j 于o ”盯( q ) 中有界， 翻l 川 于p ( o ，o o ；o 川7 ( q ) ) 中有界 从而存在“，石f 及缸。 的子序列缸， 满足 “，一“于r ( o ，m ；：( q ) n l 川( q ) ) 中弱 收敛，且于q 几乎处处收敛 “。_ “，于p ( 0 ，o o ；l 2 ( q ) ) 中弱丰收敛，于0 ”1 ( 9 ) 中若收敛， d k r l “。一z 于f “( q ) 中弱收敛， 6 川川“，寸f 于r ( o ，o r ；l 川( q ) ) 中弱 收敛，且于q 几乎处处收敛 出e 6 3 中引理1 3 我们可得善= b l u l 川“ 在( 3 - 1 5 ) 中，令门= v o o 与定理3 1 证明相似我们可以证明“是问题 ( 卜1 ) 一( 1 - 3 ) 的整体弱解 并且由( 3 - 1 6 ) 我们可得 陬忆去d = 眇声 因此可得 慨雌地m ，1 1 2 ( 6 口+ - 产 另一方面，由能量等式 哈尔演丁程大学硕i 学位论文 圭i i v u , t 1 2 + j ( “) + n i i 坼i l ：d r = e ( 。) = d 因此可得j ( u ) 蔓d ，0 f 0 ，p m 1 且满足当n = 1 , 2 时，1 p o 3 2 因此我们有 由此及能量等式 我们可得 哈尔滨t 程大学颂i ：学 芷论文 肌l l t s , d r o 0 f 7 ( f ) + 口肌4 m 。+ l d f = ( o ) = d ( 3 - 1 8 ) o e ( r ) d ，0 ， o 或l l w , 。i i = 0 且 于是得 ；i i u , 1 1 2 + j ( ) = e ( o ) = d j ( u o ) d ，“o ( x ) w 与证明定理3 1 相似可证u ( t ) w ，0 o 如若不真，则存在一个f 。( o ，丁) 满足 i i 肛，c i , t r = o 0 ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) 但( 3 2 0 ) 表明对几乎所有的，( o ，t 。) 都有“，= 0 即几乎所有的f ( o f ) 可得 u ( t ) = “o ( x ) 且 一a u o ( 工) = 6 j o ( x ) f ”o ( x ) 这与在( x ) 的假设矛盾由( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 我们可得 e ( t 、 d0 0 再 由【3 2 中定理1 5 的结论可得到定理3 8 中的结论 因此定理3 8 得证 注3 2 当e ( 0 ) = d 时，问题( 卜1 ) 一( 1 - 3 ) 的整体解的存在性没有什么新 的结果但是定理3 7 和定理3 8 的结论在本文中是首次得出的 推论3 9 设a , b ，聊，p 和“，( z ) ( ，= o ，1 ) 如同在定理3 8 中所 设，“( f ) c ( o ，) ；：( q ) ) “，( ，) c ( 【0 ，l r ( q ) ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的唯一 解，丁是”( ，) 存在时间假设存在一个f o 【o ，) 满足e ( t o ) d 和，( z f ( ，0 ) ) 0 或 拇“( f o ) 0 = 0 ，则丁= 哈尔滨t 程丈学硕十学位论文 推论3 1 0 设a , b ，用，pz ，( z ) ( f - 0 ，1 ) ，z ，( ，) 和t 如同在定理3 9 中所设，假 定存在一个“【o ，f ) 满足 ，n ( o ) 0 或i i v 甜( ，。) i l = 0 则t = o o 证明由能量等式 e ( ，) + 口i l l u , j p r = ( o ) 0 和( 3 2 1 ) 我们可得e ( t 。) d 因此推论3 9 的假设成立 注3 3 由e ( t 。) s d 和l ( u ( t 。) ) 0 或l i v ( t 。) l i = 0 可得j ( u ( t 。) ) d 和 u ( t 。) w 一因此在 3 2 中定理1 5 的条件可由推论3 9 来代替 3 4 本章小结 首先仿照p a y n e 与s a t t i n g e r 关于弱解的定义给出了本文弱解的定义然 后在初始条件下证明了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体解的存在性定理，接着对整 体解的存在性定理进行了推广和改进，最后对整体解的唯一性进行了论述， 使位势井族理论更好的应用到解的存在性及其唯一性的证明过程中 哈尔滨下程大学硕十学位论文 象 第4 章整体解的不变性和真空隔离 在本章中我们要研究问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 的整体解的不变性和真空隔离现 4 1 整体解的不变性 定理4 1 设口2 0 , b 0 ：m ，p 满足当n = 1 , 2 时，1 m p o o ：当n 23 时 1 川p 等等( x ) 酬( q ) 幽( x ) l 2 ( q ) 设o d 巳卤 0 且i ；v “。8 = 0 时，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足初始能量暑( o ) = e 的 所有解对于占( 磊，6 ：) 属于 ( i i ) 当l ( u 。) 0 和i v i = 0 的任一解r 是“( f ) 的存在时间由定理3 1 及推论3 3 可得 h 。( 工) h 名，8 ( 8 j ，艿2 ) 。 下面将证明“( f ) ，艿( 反，艿：) ，0 t f 如若不成立，则必存在一个 ，o ( o ，r ) 满足u ( t 。) a ，j ( 8 1 ，疋) 由此得以( ”( f o ) ) = o ，l i v “( ，o ) 0 0 或 j ( u ( t o ) ) = d ( 6 ) 由能量等式得 哈尔滨下程大学顿i 学位论义 导l b 邝2 + ，( 。) + 口t j l l 。川”“d ，：e ( 。) d ( j ) ( 4 1 ) 一0m i 因此j ( u ( t 。) ) = d w ) 是不可能的另一方面，如果 以( “( “) ) = o ，i i v u ( , 。) 0 成立，则由定理2 5 得， ( ，o ) ) d w ) 而这与上式 矛盾 设“( f ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足初始能量e ( o ) = e 且l ( u 。) 0 的任一 解，r 是“( f ) 的存在时间因为以( “。) j ( 4 ，占：) 的符号不改变，我们有 厶( “。) o ，占( 4 ，5 2 ) ，由此及j ( u 。) 点( o ) 矗( 艿) ，万 ，色) 可得 u o ( x ) ，占( 哦，疋) 下面将证明“( ，) ，6 ( 点，色) ，0 ， t 如若不成立，则必存在一个 ，。( o ，t ) 满足u ( t 。) a ，万( 4 ，磊) 由此得以( “( “) ) = 0 或 j ( u ( t 。) ) = d w ) 由( 4 1 ) 式知，d ( u ( t o ) ) = d ( 6 ) 是不可能的设f 。是满足 j ( u ( t o ) ) = 0 的第一个，则j 6 0 ( f ) ) 0 , 0 t ( 劳占卜川。由此得 肟毗胆( 舄艿) 习融定配s 一似，o 剃胱斯 盾。 由定理4 1 及引理2 4 可得如下推论 推论4 2 设口，b ，m ，p ，甜，( x ) ( f - 0 ，1 ) ，e 和卤( f = l ，2 ) 如定理4 1 所设，则可得 ( i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 所有满足初始能量0 0 且 哈尔滨工程大学坝 ：学位论义 f i v u 。8 = 0 的解“( ，) ，v j ( 占，万z ) ( i i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 所有满足初始能量0 e ( o ) p ，l ( u 。) 0 的解 u ( t ) ，v 占( 4 ，岛) 推论4 3 设口，b ，m ，p ，“，( x ) ( f = 0 ，1 ) ，p 和点( f = 1 ，2 ) 如定理4 1 所设，则可得 ( i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 所有满足初始能量0 0 且 0 v u 。8 = 0 的解( f ) 冗，v 6 ( 8 1 ，最) ( i i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 所有满足初始能量0 e ( 0 ) e ，l ( u 。) 0 的解 “( ，) 呒，v j ( 占l ，巧2 ) 由推论4 2 和以( “。) ，万( 4 ，6 ：) 的符号不改变，我们可得到 推论4 4 设口，b ，i n ，p ，( x ) ( 扛o ，1 ) ，e 和巧( f = 1 ，2 ) 如定理4 1 所设若满 足0 e ( o ) p ，则对任意的万( 8 1 ，最) ，和在问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 下的流是 不变的 出推论4 3 ，引理2 1 及引理2 2 可得如下定理4 5 定理4 5 设口，b ，m ，p ，“，( j ) ( f = 0 ，1 ) ，e 和点( f = l ，2 ) 如定理4 1 所设，则可得 ( i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 所有满足初始能量0 e ( o ) 茎f ，( x ) 氏的解 “( r ) 瓦内( 可能在嘎上) ，v j ( 卤，暖) ( i i ) 问题( 1 一1 ) - ( 1 3 ) 所有满足初始能量o e ( o ) se ，“o ( 工) 磋的解 “( ，) 见，外( 可能在a 上) ，v 艿( 4 ，疋) 推论4 6 设疗，b ，m ，p ，“，( x ) ( f = o ，1 ) ，p 和( f = 1 ，2 ) 如定理4 1 所设若满 3 r 足o e ( o ) g ，则对任意的万( 反，最) ，吼和瓦在问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的流之下 4 2 解的真空隔离现象 由定理4 5 的结论表明，对问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的所有满足的0 e ( o ) e 的 哈卜c q 4 盼_ i 阻忭黔最州 其中e ( o ，d ) 而且，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的所有解都被c ，。隔离为两部分这个 叶一，f 0 i f 叫i 盼h 丢f i 虬1 1 2 + ，( “) + 口l f 虬l e ：d f = e ( 。) = 。 哈尔滨工程大学硕i 。学位论义 且由 得对v ，【o ，) 都有 等酬瞰：s c p + 协附i i l i v e ( o i l 删v 砸州等尸 若i j v “。9 = 0 - 自r f l v ( , ) l i = 0 0 f r 若不成立，则必存在个，( o ，t ) 满足 这与上面的l l v “( r ) 0 矛盾 由相似的方法可知 则必有 呻印川( ( 茄) 两 f l y , o i l ( 茄) 两 o ， ( 舄尸 昙l 缸，圹+ ，( “) + 口t j l 卜，：+ l d r = e ( o ) = o j ( ”( f ) ) 0 ，0 f o ( 5 一1 ) u ( x ，o ) = b t d ( x ) ，珥( x ，o )