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文档简介

定积分的计算,N-L公式(微积分基本定理)设f(x)在a,b上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则说明:此公式不仅揭示了微分与积分的联系,同时指出了求定积分的方法:(1)求f(x)的原函数;(2)求原函数值差.定积分的性质：,1,例1.求下列定积分解:,（一）直接积分法,2,例2.求下列定积分解:,（一）凑微分法,3,（二）定积分的换元积分法,定理,4,例3.求下列定积分解:说明:换积分上下限.通过u=2x+1来计算.当x=0时,u=1;当x=2时,u=5.所以注意:定积分的换元法一定要换积分的上下限.,5,解:,6,解:说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”,7,例4,证1）n=0时，显然成立,8,练一练求下列定积分,9,练一练（解答）,10,（三）定积分的分部积分法,定理,11,例5.求下列定积分解:,12,两个重要结论设f(x)在-a,a上连续，(1)若f(x)为奇函数，则(2)若f(x)为偶函数，则证明(1),13,例6,移项，得递推公式,14,如n=8,有公式,如n=7,15,利用上面结论，求下列定积分提高题：(1)用定积分求椭圆的面积？(2)求证：,16,广义积分一、无穷限函数的广义积分*,定义假设对f(x)在a,b有定义且可积，(1)对于无a,+上的穷积分如果存在，我们称收敛，且定义：否则，称发散。,17,(2)对于-，b的无穷积分如果存在，我们称收敛，且定义：否则，称发散。,18,19,例1求,解首先我们考察求,20,例2讨论广义积分的敛散性。,21,例3求广义积分。,22,二、无界函数的广义积分,23,24,定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5计算广义积分,解,25,证,26,例7计算广义积分,解,故原广义积分发散.,27,瑕点,解,例8计算广义积分,28,注意,广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。,29,如无穷限积分,再如瑕积分,30,例9。证明,证,31,32,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分（瑕积分）,（注意：不能忽略内部的瑕点）,思考题,积分的瑕点是哪几点？,三、小结,33
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