生猪的出售时机数学建模样板.pdf

1 题目：基于 NOTEBOOK 的生猪最优出售时机的建模与分析 题目：基于 NOTEBOOK 的生猪最优出售时机的建模与分析 一 问题思维视图： 1. 系统要素：投入资金、生猪体重增量、猪肉出售价格 2. 要素关联： 纯利润=收入-投入-成本 =生猪现在的体重*生猪现在的售价-每天成本的投入*时间-生 猪的初始体重*生猪的初始售价 3. 问题脉络形象化：该饲养场什么时候出售这样的生猪会使利润最 大？一饲养场每天投入 4 元资金用于饲料、设备、人力，估计可 使一头 80kg 重量的生猪每天增加 2kg。目前市场生猪出售价格为 8 元/kg，但是预测每天会下降 0.1 元。由下图可知： 每天投入 4 元 成本 每 天 增 重 2kg 售价 8kg/斤 售价每天下降 0.1 元 重80kg 2 二 数学刻画： 1.给定每天投入 4 元资金使生猪体重每天增加常数 r（=2kg） ；生猪 出售的市场价格每天降低常数 g(=0.1)。 2.给出如下符号列表： 符号 t w p C Q R 含义 时 间 生 猪 体重 单价 t 天资金 投入 纯利润出售收入 单位 天 kg 元/kg 元 元 元 三 模型推演： 假设 r=2，g=0.1，t 天后出售，则： 生猪体重：w=80+r*t（r=2）w=80+r*t（r=2）; 出售单价：p=8-g*t; p=8-g*t; 出售收入：R=p*w； R=p*w； 资金投入: C=4*t; C=4*t; 于是利润为：Q=R-C-8*80Q=R-C-8*80. 从而得到目标函数(纯利润)： Q(t)=（8-g*t）(80+r*t)-4*t-640 Q(t)=（8-g*t）(80+r*t)-4*t-640 （1） 其中，求 t（=0）使 Q(t)最大。 这是二次函数最值问题，而且是个现实中的优化问题，故 Q(t)的 一阶导数为零的 t（t=0）值可使 Q（t）取最大值。 先求 Q(t)一阶导数： syms t; Q(t)=(8-g*t)*(80+r*t)-4*t-640; 先求 Q(t)一阶导数： syms t; Q(t)=(8-g*t)*(80+r*t)-4*t-640; 3 y=diff(Q(t),t) y=diff(Q(t),t) y =- r*(g*t-8) - g*(r*t + 80) - 4 y =- r*(g*t-8) - g*(r*t + 80) - 4 g,t,r=solve(-r*(g*t-80)-g*(r*t+80)=4,g=g,r=r) g,t,r=solve(-r*(g*t-80)-g*(r*t+80)=4,g=g,r=r) g =z1 t =( 40*z1 + 2)/(z*z1) r =z g =z1 t =( 40*z1 + 2)/(z*z1) r =z 即： t=(4*r-40*g-2)./(r*g ) (2) 在这个模型中：取 r=2，g=0.1，则： Q（t）Q（t）=（8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640） 8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640） 目标函数 MATLAB 作图如下： ezplot(8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640,0,20) hold on xlabel(t 坐标); ylabel(Q(t)坐标); ezplot(8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640,0,20) hold on xlabel(t 坐标); ylabel(Q(t)坐标); 02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t坐标 (8-0.1 t) (80+2 t)-4 t-640 Q(t)坐标 从图象可知 t=10 时，Q（t）max=10。即 10 天后出售，可得最大利润 4 为 20 元。 四 超参数： 1. 设每天生猪的降低 g=0.1 元不变，研究 r 变化的影响，由（2）式 可得： t=（40*r-60）./r, r=1.5 （3） MATLAB 作图如下： ezplot(40*r-60)./r,1.5,3) hold on xlabel(r 坐标);ylabel(t 坐标); ezplot(40*r-60)./r,1.5,3) hold on xlabel(r 坐标);ylabel(t 坐标); 1.522.53 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 r坐标 (40 r-60)/r t坐标 2. 设生猪体重的增加 r=2kg 不变，研究 g 变化的影响，由（2）可知： t=（3-20*g）./g, 0 =g=0.15 (4) MATLAB图作如下： 5 ezplot(3-20*g)./g,0.06,0.15) hold on xlabel(g 坐标);ylabel(t 坐标); ezplot(3-20*g)./g,0.06,0.15) hold on xlabel(g 坐标);ylabel(t 坐标); 0.060.070.080.090.10.110.120.130.140.15 0 5 10 15 20 25 30 g坐标 (3-20 g)/g t坐标 由上述 2 个关系图可知：r 是 t 的增函数，t 是 g 的减函数。于是可 以用相对变量衡量结果对参数的敏感程度。 t 对 r 的敏感度记作 S （t， r），定义为： s(t,r)= (t./t)./( r./r) (dt./dr)*(r./t) (5) 由（3）式，当 r=2 时 s(t,r)60./(40*r-60) （6） 即生猪每天的体重 r 增加 1%，出售时间推迟 3%。 类似定义 t 对 g 的敏感度 S（t，g） ，由（4）式，当 g=0.1 时可以出： 6 s(t,g)= (t./t)./( g./g) (dt./dg)*(g./t)=-3./(3-20)=3 (7) 即生猪价格每天的降低 g 增加 1%，出售时间提前 3%。 五 超模型： 研究 r，g 不是常数时对模型的影响： 综上可知， 出售的最佳时机是保留生猪直到每天利润的增值等于每天 的费用时为止。 由于本案例:S（t，r）=3，如果 1.8w2.2(10%),则 7t13（30%） 建议一周后（t=7）重新评估 p,p,w,w,再做计算。 六 评注： 总而言之， 这个案例短期内还是有很大的研究价值。 由于在本案例中： 当 t=10 天时，它就能使利润最大化。也就是说短期内生猪体重增量 和市场价格变动不会出现巨大的波动， 从而就不会使模型的估计值与 实际情况偏差很大。但是当 t 取值很大时，这个案例就会有很大的