（金融学专业论文）基于四因素HJM模型下Shibor的利率顶底产品定价研究.pdf

二o 册y 脚1 7 1 胂5 m 9 7 3 棚 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明弓i 用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承 担。 特此声明 学位论文作者签名：关谚乙 27 p 年r 月v f 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解对外经济贸易大学关于收集、保存、使用学位 论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的 印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版， 并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有 权提供目录检索以及提供本学位论文全文或部分的阅览服务；学 校有权按照有关规定向国家有关部门或者机构送交论文；在以不 以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。保密的学位论文在解密后遵守此规定。 学位论文作者签名：关彪 导师签名： 辅 2 ，1 7 年r 月1 e l 沙l 口年f - 月叫日 摘要 本文结合h j m 模型和p c a 主成分分析法，探讨基于s h i b o r 的顶( c a p ) 底( f l o o r ) 利率衍生产品。首先，介绍目前流行的固定收益金融产品种类、利率期限结构的 历史以及随机利率模型。其中，随机利率模型分为即期随机利率模型和远期随机 利率模型两部分。 其次，本文基于单因素即期利率模型，引入利率的一般随机形式，推导出即 期随机利率模型的偏微分方程。利用即期随机利率模型，推导出基于远期利率的 单因素h j m 模型，将单因素h j m 模型扩展到多因素h j m 模型，并模拟s h i b o r 远期利率。 最后，选取2 0 0 6 年1 0 月到2 0 0 9 年1 2 月的s h i b o r 历史数据进行实证。利 用s h i b o r 日变化量构造协方差矩阵，再用多因素h j m 模型和p c a 主成分分析法， 得到影响s h i b o r 变动最大的4 个因子并模拟出s h i b o r 远期利率，最终为利率项 底产品定价。 关键词：h j m ，p c a 主成份分析，利率顶，利率底，s h i b o r v a b s t r a c t t h i sp a p e re x p l o r e sa n dd i s c u s s e st h ep r i c i n go fc a p f l o o ra g r e e m e n tb a s e do r f o u r f a c t o rh j mm o d e l f i r s t ，i ti n t r o d u c e s t h em a i nc a t e g o r i e so ff i x e di n c o m e p r o d u c t s ，t h eh i s t o r yo ft e r ms t r u c t u r ea n ds t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e li n c l u d i n g i n s t a n t a n e o u sa n df o r w a r di n t e r e s tr a t em o d e l ，s e c o n d t h i sp a p e rd e d u c e st h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a ie q u a t i o no fi n s t a n t a n e o u s i n t e r e s tr a t em o d e ib a s i n go no n e f a c t o ri n s t a n t a n e o u sr a t em o d e lw i t hw i d e l yu s e d s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e p a t t e r n i ta l s od e d u c e so n e f a c t o rh j mm o d e lb a s e do n f o r w a r dr a t e sf r o mi n s t a n t a n e o u sr a t em o d e l ，e x p a n d i n go n e - f a c t o rh j m m o d e lt o m u l t i f a c t o ra n ds i m u l a t i n gf o r w a r dr a t eo fs h i b o r l a s t i tc a r r i e so u td e m o n s t r a t i o nw i t hh i s t o r i c a ls t a t i s t i c sf r o m0 c t o b e r2 0 0 6t o d e c e m b e r2 0 0 9 ，e s t a b l i s h i n gc o v a r i a n c em a t r i xa c c o r d i n gt od a i l yv a r i a t i o no fs h i b o r , t h e nf i n d so u tt h ef o u rm a i nf a c t o r s ，u s i n gp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ，w h i c h i m p a c tt h es h i b o rv a r i a t i o nm o s t a f t e rt h a t ，s i m u l a t i n gf o r w a r dr a t eo f s h i b o rw i t h h j mm o d e la n df i n a l l yp r i c i n gt h ec a p f l o o ra g r e e m e n tu s i n ge x c e lv b a k e y w o r d s ：h j m ，p r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a i y s i s ，c a p f l o o r , s h i b o r 目录 第l 章引言1 1 1 背景概述1 1 2 利率衍生产品介绍1 1 3 本文实用性及创新2 第2 章文献综述2 第3 章随机利率模型3 3 1 单因素即期随机利率模型3 3 1 1 模型推导3 3 1 2 单因素即期随机利率模型的缺点6 3 2 单因素h j m 模型的偏微分方程6 第4 章数据选择9 4 1 收益率曲线选择9 4 2 数据来源l o 第5 章产品定价1 l 5 1 多因素h j m 模型1 1 5 2p e a 主成份分析1 l 5 3 采用蒙特卡罗模拟远期s h i b o r 1 3 5 4 基于s h i b o r 的利率顶底产品的定价1 4 第6 章结语1 5 参考文献1 7 附录v b a 代码1 8 致谢2 5 个人简历：2 6 v n 1 1 背景概述 第1 章引言 2 0 0 9 年3 月，国务院已经明确上海在2 0 2 0 年前建成国际金融中心的规划， 要建成国际金融中心，拥有一个发达的衍生金融市场是必不可少的，因此，该规 划的重要组成部分就是在上海率先推出衍生金融产品。金融衍生品通常是指从原 生资产( u n d e r l y i n g a s s e r t s ) 派生出来的金融工具。由于金融衍生品交易在资产 负债表上没有相应科目，因而也被称为“表外交易”。金融衍生品的共同特征是 保证金交易，即只要支付一定比例的保证金的就可以全额交易，不需实际上的本 金转移，合约的了结一般也采用现金价差结算的方式进行，只有在满期日以实物 交割的方式履约的合约才需要买方交足货款。因此，金融衍生品交易具有杠杆效 应。保证金越低，效应越大，风险也就越大。国际上金融衍生品种类很多，各国 在活跃的金融创新活动中接连不断地推出金融衍生品。 金融衍生产品在现代金融中占据越来越大的地位是因为金融市场的复杂和 不可预测性，使得企业在金融活动中极有可能遭受市场突然变动的损失，金融衍 生品的出现使得为最终客户提供了更好地管理与其业务发展相关的金融风险的 栅。会。 1 2 利率衍生产品介绍 作为金融衍生产品的一个重要组成部分，利率衍生产品提供了防范利率风险 的可能。 目前，利率衍生产品主要有以下八种1 ： 1 利率远期合约：( i n t e r e s tr a t ef o r w a r dr a t ea g r e e m e n t ) ：合约双方同意在未 来某日期确定某种利率的合约。 2 利率期货：( i n t e r e s tr a t ef u t u r e s ) ：以固定收益工具或利率为基础资产的期 货。 3 债券期权：( b o n do p t i o n s ) ：一种以债券为基础资产的期权。 4 利率掉期：( s w a p ) ：交易双方可互相交换付息，如以浮动利率交换固定利 率，或是将某种浮动利率交换为另一种浮动利率。订约双方不交换本金，本金只 是作为计算基数。 5 利率上限( c a p ) ：交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率上 限的卖方向买方承诺：在规定的期限内，如果市场参考利率高于协定的利率上限， 郑振龙、康朝锋，中国利率衍生产品的定价和保值，北京大学出版社，l - 6 页 1 则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或 等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务，同时，买方由于获得了上述权利， 必须向卖方支付一定数额的期权手续费。 6 利率下限( f l o o r ) ：交易双方规定一个利率下限，卖方向买方承诺：在规 定的有效期内，如果市场参考利率低于协定的利率下限，则卖方向买方支付市场 参考利率低于协定利率下限的差额部分，若市场参考利率大于或等于协定的利率 下限，则卖方没有任何支付义务。作为补偿，卖方向买方收取一定数额的手续费。 7 利率上下限( c o l l a r ) ：是指将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用。 具体地说购买一个利率上下限，是指在买进一个利率上限的同时，卖出一个利率 下限，以收入的手续费来部分抵销需要支出的手续费，从而达到既防范利率风险 又降低费用成本的目的。而卖出一个利率上下限，则是指在卖出一个利率上限的 同时，买入一个利率下限。 8 利率掉期期权( s w a p t i o n ) ：掉期期权是利率掉期与期权相结合的一种衍生 产品。它赋予买方按预定条件进行一笔利率掉期交易的权力。 1 3 本文实用性及创新 本人将探讨基于s h i b o r 的利率顶( c a p ) 底( f l o o r ) 产品，该产品可有效的管理 企业的利率风险，如：浮动利率贷款的借款人在购买了利率顶之后，可保证所支 付的利息的利率不高于顶利率( c a pr a t e ) ，浮动利率贷款的贷款人在购买了利率 底之后，可保证收取的利息的利率不低于底利率( f l o o rr a t e ) 。无论是借款人还是 贷款人，都可通过进入衍生品市场来保证其收益，该种衍生产品一旦推出，必将 收到市场的广泛欢迎，极大提高中国企业的利率避险操作能力。 本文的创新性在于引入四因素h j m 模型来设计一个基于s h i b o r 的固定收益 产品，一般h j m 模型的引入2 - 3 个随机因子，本文将使用p c a 主成份分析引入四 个随机因子。而目前国内并没有基于s h i b o r 的固定收益类产品，尤其是国际流 行的利率项( c a p ) 底( f l o o r ) 产品。数值方法采用蒙特卡罗，计算机语言采用 e x c e l ，v b a 。 第2 章文献综述 要使一种金融衍生工具能成功地为市场所接受，前提之一是须有合理的定价 方法。利率衍生产品的定价，取决于利率期限结构和该产品的支付函数( p a y o f f f u n c t i o n ) 。利率期限结构建模用于描述利率的随机运动过程，即利率未来变化的 可能性。期限结构建模起源于1 9 8 0 年代f i s h e rb l a c k 、m y r o ns c h o l e s 与r o b e r t 2 m e r t o n 等的研究工作。早期的b l a c k 模型是一单因素模型，其波动率是恒定的。 新的模型已经发展成为包涵多因素、均值回归、随机波动和r e g i m e - s w i t c h i n g 等 的复杂模型。新的分析方法可使人们对利率的随机过程的描述更为精确，从而大 大推动了衍生产品市场的发展，交易量逐年递增，产品日趋复杂。这就必然对交 易和风险管理提出更高的要求。 目前，固定收益产品的主要模型有两大类，分别是基于即期利率和远期利率 的模型，前者的主要代表有v a s i c e k 模型，由加州大学伯克利的v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 提出；c i r 模型，由j o l l l lc c o x ，j o n a t h a ne i n g e r s o l l ，j r ，a n ds t e p h e n a r o s s ( 1 9 8 5 ) 提出；h o & l e e 模型，由t s yh o 和s b l e e ( 1 9 8 6 ) 提出；以及h u l l & w h i t e 模型，由j o h nh u l l 和a l a nw h i t e ( 1 9 9 0 ) 提出，这类模型的主要特点是基于一 个服从布朗运动的即期利率模拟收益率曲线，或者基于即期与长期利率( 分别服 从独立的布朗运动) 来模拟收益率曲线。缺点是基于若干点来模拟整条曲线，因 此理论利率与实际市场利率间存在差异，需要使用校准( c a l i b r a t i o n ) 来得出d r i f t 和v o l a t i l i t y 后才能给产品定价，而校准十分复杂。基于远期利率的模型主要有 h e a t h j a r r o w m o r t o n ( h j m ) 模型，由d a v i dh e a t h ，r o b e f ta j a r r o wa n da n d r e w m o r t o n ( 1 9 8 2 ) 提出和b j m 模型，这类模型的特点是模拟整条远期利率曲线， 不存在校准的问题。本文选用目前较先进的基于远期利率的h j m 模型来对该基 于s h i b o r 的固定收益产品定价。 衍生产品的另一必要条件是拥有一条市场化的收益率曲线，收益率曲线不仅 在衍生品的定价方面有着决定性的作用，即使在整个经济活动中它也有非常重要 的发言权。收益率曲线其实就是收益率对时间的一维函数。正如一般商品的价格 是以货币来体现的一样，当货币也被作为普通商品来看待时，它的价格就通过汇 率和利率( 收益率) 来体现，如果把货币这种商品作为一个整体来看，那么它的 价格就是通过收益率来体现的。当然，货币的价格并非其他商品所体现的所有权 转移的价格，而是一个使用权转移的价格。于是，收益率曲线也就是市场对于不 同期限的资金使用价格的一种平衡。 第3 章随机利率模型 3 1 单因素即期随机利率模型 3 1 1 模型推导 在对任何一种非线性衍生金融产品定价时首先需要该衍生金融产品标的资 产的随机变化形式，对随机利率模型而言，其决定因素为利率，一个最简单的模 3 型即包括单随机因子的即期利率模型。 假设即期利率的随机微分方程满足如下形式2 ： d r - - - u ( r ，t ) d t + w ( r ，t ) d x u ( r ，t ) 和w ( r ，t ) 决定着即期利率r 的变动，当即期利率为随机时固定收益 产品v 满足形式v ( r ，t ) 。固定收益产品与股票衍生品不同，后者存在标的资产 股票，而固定收益产品并没有标的资产，只有利率作为其决定因素，因此，在构 建可对冲的投资组合时唯一的方法就是买入一债券同时卖出一不同到期日的债 券。 构建一个包含两个有不同到期日的债券投资组合几，两种债券分别为v 1 和v 2 ， 到期日分别为t 1 与t 2 ，购入一单位v 1 ，同时卖空单位的v 2 ，这样，我们拥有 一个投资组合 l - i = v 1 一a v 2 对v “t ) 使用伊藤引理 =篑+筹吃1dvl d t d 豢d r 2= 1 舌+ 刁r + i 刁i r z d v 2 = 等d t + 筹d r + 三豢d r 2 2 1 吾+ 刁r + i 刁f 手r z 因为 d r = u ( r ，0 a t + w ( r ，t ) d x 由伊藤引理得 d r 2 = w z d t 代入得 d v l = 等d t + 雾d r + 三豢w 2 d t2 刁舌+ 历r + 互刁f 手2 d v 2 = 等d t + 警d r + 三豢w z d t2 刁+ 刁尹r + 乏蒂2 t 在时间d t 后投资组合变动 d 兀= d v l 一a d v 2 将d v l ，d v 2 分别代入得 a n 一篑a t + 等a r + 三w 2 豢d t - a 罄蚺警三w 2 豢 此式中d t 为定值，而d r 为风险，要消除风险，需使 a v la v ， d r 一d r - - - 0 o r口r 即 2 p a u lw i l l m o t t p a u lw i l i m o t to nq u a n t i t a t i v ef i n a n c ei ，w i l e yp r e s s ，3 5 - 4 0 4 根据无套利定价原则 因为 a v l 百 = 丽 百f r n a ( v 1 一势 水( 等+ 扣萨a 2 v 1 凇一莘a v l 肇+ 争丽a 2 v 2 ) d t 可推出 即 r ( v 1 一 等+ 扣a 铲2 v x 一川= 攀联+ 1 豢一r v z ， 一= 登产 此等式只有两边独立于t 时才能成立令 确麟骱公十_ w 0 2 v 1 v(r，d：00r2 a t r , a r a v ， ，“兰一r v ： 示十乏w 一一 v ” 移项 而o v + 亏1w 2 甭0 2 v 刮r ，t ) 箬+ r v 示+ 乏w 弭到丽。 兰 豢r r舻飞口 砖一 兰 墨 ol， 雠| 蓦 + vm 盥 檄 墨 m 一i 薹蕊 册 v 一场 塑 w 置一2 嶙爷 榭 呲司 边 两 代入 d v = 睽+ 乏1w 2 筹+ p 匐d t + w 瓦o v 呶 得 fo vo v o v d v 5 ( 仅而+ r v + 制d t + w 而d x 移项 一rvdt=瓦ovdx+芸(仅+=w而ovdv r v d tw u ) d t ( d x + 坐wd t ) 一= 一d x + ：_ ( 仅+= w i ld x + d t d ra rd r 、i 令 + u 九= 此时入为风险的市场价格，即持有一单位风险的补偿。则 0 【= z w u 即无风险即期利率的d r i f t 为u z w ，债券定价公式为 o v1o z vo v 。o t + w 2 万+ ( u 一沁f 叻面一r v = 0 3 1 2 单因素即期随机利率模型的缺点 单因素即期随机利率模型的主要缺点有三3 ：首先，即期利率这个概念在现 实中并不存在这样一个利率，因此，整个模型的立足点就有很大的问题。其次， 没人知道最好的模型是什么结构，目前流行的几种模型在实际使用中均有很大的 缺陷，其模拟的零息债券收益曲线都与实际曲线差异极大，如果连零息债券收益 曲线都模拟不了，那么在对复杂衍生品定价时的准确性实在值得怀疑。第三，这 些模型只有一个随机因子，仅仅模拟收益曲线一个点的变化，即使加入多个因子， 也仅仅是多个点的变化而已。 h j m 模型的发表对固定收益类产品的定价无疑是一场革命，它所带来的是 观念上的变革，从对即期利率的模拟到对远期利率的模拟，从对收益曲线上的一 点进行模拟到对整条收益曲线进行模拟，不存在校准的问题。 3 2 单因素h d m 模型的偏微分方程 假设f ( t ，t ) 是时间t 时的远期利率曲线，那么，在t 时刻，t 时到期的零息 债券价格为( 假设零息债券的面值为一元) 3 p a u lw i l l m o t t ，c q fp r o j e c t ，m o d u l e4c l a s s1 6 z ( t ，t ) = e f f ( t ，s ) d s ( 1 ) 假设零息债券的价格按照指数布朗运动，则其随机微分方程为 d z “t ) = u t ) z q t ) d t + o ( t ，t ) z q t ) d x( 2 ) 在( t ，t ) 时z ( t ，0 = 1 ，o ( t ，0 = 0 将( 1 ) 式两边取i n 并对t 求导得 f ( t ，t ) = 一券l o 弘 t ) 两边对t 微分并带入( 2 ) 因为 d z ( t , t ) = u ( t ) z ( t ，t ) d t + d ( t ，t ) z ( t ，t ) d x 所以 d ( 1 n z ) = ( u 一互1 。2 ) d t + d d x 得 d f ( t , t ) = 蠢巴0 2 ( t ，t ) 一u ( t ，t ) 】d t 一嘉6 ( t ，t ) d x ( 3 ) 对即期利率来说， r ( t ) = f ( t ，t ) r ( t ) = f ( t ，t ) = f ( t ，0 + ld f ( s ，t ) 将( 3 ) 式代入得 r ( t ) - f 婶肿肛s ，d 掣一掣a s c 掣蚁$ 等式两边对r 微分得 a r 一o f ( t , o a u ( t , a ss ) 。或+ 胁s ，。可a zo ( s , 0 + 幽a t 2 a zu 卯( s , o 尸、 一l f t t 0 2 d 卯( s t ) _ d x ( s ) ) d t o o - a ( s t l s , t ) 爿d 】( 此公式具有明显的非马尔可夫性，要对衍生品定价，必须从真实世晃进入无 风险世界，首先从真实世界开始，构建一个投资组合 1 1 = z ( t ，t 1 ) 一a z ( t , t 2 ) 经过d t 时间投资组合的变动为 4 p a u lw i l l m o u ，c q fp r o j e c t ，m o d u l e4c l a s s3 7 d t l = d z t 1 ) 一a d z ( t , t 2 ) = z ( t ，t 1 ) ( u 心t 1 ) d t + o t 1 ) d x ) 一a z ( t , t 2 ) ( u ( t ，t 2 ) d t + o ( t ，t 2 ) d x ) d t 为定值，d x 为随机项，为了消除风险需使d x 的系数为0 ，即 z ( lt 1 ) o ( 匕1 1 ) d x a z ( t , t 2 ) o ( t jt 2 ) d x = 0 即 z ( t ，t 1 ) o ( t ，t 1 ) 一z ( t ，t 2 ) o ( t ，t 2 ) 根据无套利原则5 ，此时 d 兀= r n d t = r ( z ( t ，t o 一z ( t ，t 2 ) ) d t = r ( z ( t ，t o 一乏黼z ( 匕r 2 ) ) d t 即 z ( t ，t o u ( t ，t o d t 一主粼z ( t ，t 2 ) u ( t j t 2 ) d t 叫z ( t ，t o 一黼z ( t ，t 2 ) ) d t 化简得： u ( t ，t 1 ) 一r ( o u ( t ，t 2 ) 一r ( t ) 仃( t j 1 1 )仃- t ，i - 2 ) 此等式只有两边均独立于t 时才可能成立，令其= 人( t ) ，则 u ( t ，t ) = r ( t ) + 九( t ) o ( t ，t ) 以上为真实世界中的变量，而要对衍生品定价需要用风险中性世界变量，在 风险中性世界中 d f ( t , t ) = m ( t ，t ) d t + v ( t , t ) d x 从( 3 ) 式可知 v ( t ，t ) = 一嘉吣d 在风险中性世界中 d f ( 棚= 嘉巴以t ，i ) 叫t ) 】d t _ 嘉m t ) d x 又因为 a f r ；_ o ：0 a t 所以 似嘉缸t ，t ) a t - 嘉帆t ) d x 可得 而a 呸1d z n t ) ) = 。( t ，”嘉盯( t ，t ) 5 p a u lw i l l m o t i c q fp r o j e c t ，m o d u l e3c l a s s3 8 凼为 v c t , t ) = 一而巧n d 上式等式两边同时在( t ，t ) 上积分 i t v ( 乞s ) d s = - i t 去d ( t j s ) d s - - 【。( t t ) 一a ( t t ) 】 又因为 仃( t ，0 = 0 所以 a ( t t ) = 一i t v ( t j s ) d s 即 嘉g 讯t ，) 州t , t ) f t t 眦s ，d s = m c t , t ， 所以 d f = ( v c 旧j t v c 悯d s ) d t + v c 匕d d x 4 1 收益率曲线选择 第4 章数据选择 对于利率顶( c a p ) 底( f l o o r ) 产品，必须拥有一条市场化的收益率曲线，目前， 中国的金融市场存在许多收益率曲线，其中最为人熟知的就是存贷款收益率曲线。 但是究竟这些收益率曲线的定价功能怎么样呢? 市场的运行有自身的规律，市场 中金融产品的定价一是市场供需双方通过交易达成，二是政府根据供需双方的价 格平衡点制定价格。前者是市场经济，后者是计划经济。中国存贷款收益率曲线 就是典型的计划制定的收益率曲线。再看衍生产品，衍生产品是为了应付市场经 济中资产价格波动所产生的风险而创设，它存在的最大意义在于可以对冲市场风 险。但是在计划经济中，任何金融资产都是没有风险的，所以衍生性金融产品就 没有存在的必要，而如果要利用政府规定的收益率曲线来为金融衍生品定价，这 样得出的定价并不是市场所认可的价格。除了存贷款收益率曲线，随着中国金融 市场的发展，市场上出现了一些市场化的收益率曲线，比如s h i b o r 收益率曲线、 i r s 收益率曲线、债券收益率曲线。短期的s h i b o r 收益率曲线经过管理层的一番 9 力推后，已经开始有了一些市场化基准收益率的雏形e 。但是一条完善的基础收 益率曲线需要长期限的收益率的配合，一般来说，基础收益率曲线的中长端所使 用的是国债的收益率，但是中国的国债由于有持有到期可以免税的好处，机构交 投意愿一直不是很强，而且收益率也明显偏低，而基本等同国家风险的央行票据 的发行，又仅局限于三年以下，因此，基础收益率曲线长端一直处于缺失状态。 因为利率顶( c a p ) 底( f l o o r ) 产品应该使用短期市场化收益率曲线，因此，本 文选用s h i b o r 作为原生利率，期限为隔夜，一周，两周，一个月，3 个月，6 个 月，9 个月和一年。数据为2 0 0 6 年至2 0 0 9 年底的历史数据 4 2 数据来源 使用r e s s e t 锐思金融研究数据库，在r e s s e t 固定收益中的s h i b o r 数据作 为原生利率，包括所有期限：隔夜拆放利率，1 周拆放利率，2 周拆放利率，1 月 拆放利率，3 月拆放利率，6 月拆放利率，9 月拆放利率和一年期拆放利率。数 据时间从2 0 0 6 年l o 月到0 9 年1 2 月。 6 许伟民、姚远，构建人民币收益率曲线，金融实务，2 0 0 8 年5 月，1 6 - 1 8 页 1 0 图4 22 0 0 6 年l o 月- 2 0 0 9 年1 2 月s h i b o r 数据日变动 5 1 多因素h j m 模型 第5 章产品定价 单因素h j m 模型的远期利率完全相关，为了增强模型定价准确性，尤其为了 增强模型对冲表现，引入多因素h j m 模型，形式如下，为单因素的扩展 d f ( t , t ) = m ( t ，t ) d t + v i ( t , t ) d x i 、_ 1 j ：一 i = 1 其中，d x i 为i 个不相关的布朗运动，风险中性下f ( t ，t ) 的漂移为 m ( t ，t ) = v ( t ，t ) 厂v ( t ，s ) d s i = 1 t 5 2p c a 主成份分析 主成份分析通过对历史数据的分析用来确定多维随机过程中的决定性因素。 要实施h j m 模型，必须估计其随机波动v ( t ：t ) ，主成份分析用来分析对v ( t ：t ) 影响因素中的决定因素，经过模拟，四因素能够分别说明随机波动4 9 1 ，1 0 3 6 ， 8 0 7 9 ，3 3 8 的变化，总计9 9 的波动变化，因此采用四因素h j m 模型。 对如下随机过程向量( f 1 ( t ) f n ( t ) ) 建模 d f x ( t ) = m l ( t ) d t + 0 1 ( t ) d w l d f n ( t ) = m n ( t ) d t + 仃n ( t ) d w r n 其中，m i 和吼分别为漂移和波动，同时为f 的函数；( w l ；：w n ) 为n 维的 标准布朗运动，其相关矩阵为。因为为对称矩阵，所以能以下列形式表示 = v v ， 上式中v 是以的特征向量为列的正交矩阵，八是主对角线为特征向量的 对角矩阵，即 人= 睢 其中 入l h 因为为半正定矩阵，因此可写为 = v 矗( v 屉) 7 则d f ( t ) 的扩散部分作为相关的布朗运动能够转化为如下独立的布朗运动 其中d x 为独立的布朗运动向量，如果只选择一开始的d 个因子d f ( t ) 可被 重写为 d f l ( t ) = m 1 ( t ) d t + 厕l d x t d d f n ( t ) - m n ( t ) d t + 厕n d x t i = 1 其中k 为矩阵v 中第i 行第j 列元素 表5 1 与表5 2 分别为s h i b o r 的协方差矩阵与年化的协方差矩阵，- 表5 3 为 p c a 主成分分析表 rlnl i 寸 蚺i oli - a o ，ininl 寸i 幻i oi 卜 =noooo0 om：noooo0iililllilil-llili卜ri，no。ooo oonnnooooo o寸r卜lnooooo l-i-lililtlllll-l-i 98n西50000 l兮乙650000 llii-lilli-liill-i 卜n卜卜广ooooo o高50000 iilllll-l-lllllili西：西5000o onolooooo iliiiltlii_il-ll n葛尝oooo0 b卜f寸广ooooo ：n g 吕o o o o i_iti_iit-_ln旧：ooooo 岛爵ooooo llilll，lil，liiill o：nooooo 蛰ezo。o 0 o 栩 幻19n西5000o lllllillilliiiiili 旧昌舌oooo iil_li_l_lli_l_l寸。寸寸西l，ooooo 寸。寸寸o l o o o o o 寻n 1 6 5 0 0 0 on西0nn。oooo r的寸寸nooooo o o 9 8 l o o o o o 一时。“o r o o o o 。ol n o n n o o o o oo西ono。oo0 n o 寸o o n o o o o onooo高ooooo 卜n卜的卜rooooo o譬5000o lliiiiillliiiltiiii 写20舌ooo0 磊nnnooooo o五三，舌oio寻回mn。o0 西磊譬吕。0oo寻：ooo o n 。o 1 0 0 。o o llii-lliii-iilill 西葛looooo 圳引引o。o 19：寸匡 ：n葛舌ooo0 n96：ooo。0 no：ngoooo ililiiltliillllll旧o西。n。oooo 叫引葛。o。o 19。价苫旧旧一二二r二+，h 引引n。oo i。高。旧旧 o寻omnoo0 lltltiltljlililli_酶nm葛oool0譬。西nn西nooo 。夏高吕。o 1 8 。 ；= o o o h圳引驯划o。0 in瑚懈悟 n 卜o n 寸寸o o，丞90。旧高on。 忍nn9noo0 引引引孪笺暑恳 _i母、-ou口。们一一彤jc q l j o c o 卜 咎00800o n o o o o o o o o ollll-liilili_i_ili葛oooooooo 葛goooooo0瓮oooooooo n o o o o o o o o o li-11iititilillid警8eooooooo0noooooooo lililll-lllilllligooooooon恕o。oo。o-0 n o o o o o o o o o _lil_t_llil_-ii 葛ooooooooo illllilllill-iin 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 ogoooooooi-lliitlllliii葛ooooooooo l68000000o 葛oooooooo lltliilililtliin o o o o o o o o o卜昌oooooo*o n定ooooooo0o舍oo。oooo o n o o o o o o o o on高oooooooo 高goooooo0 寸。卜ooooooo0 lliiliilliiiiilllii oogooooooo iilllti_iiiililllil n皇oooooooo 高ooooooooo llltillliillllillln幻goooooo0i_tlitillliilili西gooooooo 西卜。oo。oo熙 o o o o o o o o o o o = o o o o o o o 高。吕oooooo 一o o 5 0 0 0 0 0 _ 0 西o o o o o o o o n寸。n心。o。oo。o。n = n 0 5 0 0 0 o舄瘩ooooo0 一卜n卜寸。oo。o。 n o o o o o o o 0oo舍oooooo0 o n o o o o o o o o 0 o o = o o o o o o o 价搽 葛qooooooo0 llllflilillllitllll 葛oooooooo0 noooooooo llillilli-lllil夏ooooooo0 n高ooooooo0 离。苫ooooo0 n=n050000 叫o r卜noooooiiifltriliilfiiiiil o协5。ooo llillillllillfil-l n n n = o o o o 0 高上900000o -liliiilillillliltlio田吕oooo 寸oo卜ioooo冀 卜寸。鬲ooooo-o 高三0000000o _l_i_i_il_i_il_ili 西o 5 0 0 0 0 0 - 0皇等oooooo 乙nn；ooooollli_l_l_ltil-iltl卜寸。鬲oooooo 寸寸 o o o o o o k 侣 o u d l j o c o 卜 进聚州忙$迥帽 鲥骱皿10dl价_【价搽 霆 ( o 零 r 寸 ro )no( o ( o o 旧no o寸 o o ( oo 寸 9 。a )nt - -o )寸b 寸o t -寸 oo r一气r1 一卜0 寸o 1 0r、一 orno ooo t n寸 n o 一 r o o oo i 0o 。 o o寸 oo oo ooo o ojo 0 o 霾 零 一卜 o t -rn o 寸 o )寸o ) 寸n n1 0 寸 啦 寸oc o寸寸寸卜寸 o卜nro )。o ) r卜n卜寸 o o )卜n opo no o t - -一 1 一 o o ) n r 、一 o寸旧 r 0 0 n o卜 o、一o oo o o o oooo0 o o0 o i 霆 零 m0 0onn卜n o 1 一o noc r )no 寸 9 寸 i o on卜 c o 1 一o o寸寸卜n、一 oc oo( on o一 noo 卜rn r o no。o一 0 oot - -晌o的 o r oo oot - -卜oo o 0 o o o o 0ooooooo o - 隧 n零no ) 卜n卜o ) 一 ( r )c o ( ot _o )c o 幻 9 on卜卜( o寸 o )( on o卜o 寸o n o )o ) 刊n寸 n卜 n o 一 ( o roo ) - n o )n r on o o oo oo oo o卜 oo oo oo o o oo0 o o ooo o -iii 露 t t繁卜n卜o t - 0 0i d 寸旧o o卜卜o ) o )ono )o 。oo oo 卜ro 1 一卜n卜寸 o )卜o )r卜oo )寸 寸 卜 o )n卜 o , r -o卜 oo )nn ni o寸n r n n o ono o o oo oo o o o oo 寸 象墨 ：冀 o o m o o o o o ? 。 l蠹 寸 絮： 寸o )o )旧 c o o ) 中 ( d 锄。 ko卜 寸 t - -o no o 一| 、t ： 1 一od。ooo 为4 寸no旧卜幻n 寸 卜n 寸( d c o卜卜 n寸 卜一 ono )寸n n 寸n ro )0 0 o o 卜n o o o o 0 o。o0 o oo 宅每； r n r o o 露 t 。： o戮 n卜寸 t - 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