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o t h e s s i a n 流形上的一些性质 基础数学专业 研究生熊敏指导教师李安民 摘耍本论文研究的是o t h e s s i a n 流形肘在o t h e s s i a n 流形上，我 们找到了一些不变璧，接着计算了体积泛函的第一变分，最后通过对圣的估 计，最终得出了紧致q h e s s i a n 流形的b e r n s t e i n 性质 我们得到的结论是- ( 1 ) 设m 是一个紧的极致口一h e s s i a n 流形且o t o 当变分向量场的模 足够小，如果n + 2n - 1 口警，那么m 是极大的，即j 0 d v , j _ d v ( 2 1 设m 是一个紧的极致n h e s s i a n 流形，那么存在一个正的仅仅依赖 于n 的常数( n ) 使得如果lai ( n ) 时，m 一定是譬，其中r 是e ”上离 散等距子群，其作用在舻上面为自由逆紧的 关键词：o h e s s i a n 流形，b e r n s t e i n 性质，仿射流形，仿射k a h l e r 流 形 a b s t r a c t s o m ep r o p e r t i e so fc o m p a c tn - h e s s i a nm a n i f o l d m a j o r sm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t s x i o n gm i ns u p e r v i s o r sl ia n m i n i nt h i sp a p e r w ed e f i n e 觚a h e s s i a nm a n i f o l dm t h e nw ei n t r o d u c e s o m ei n v a r i a n t sa n dc a l c u l a t et h ef i r s tv a r i a t i o no ft h ev o l u m ef u n c t i o n a l b y e s t i m a t i n gt h et h i r dd e r i v a t i v e ，w es h o wab e r n s t e i np r o p e r t y t h em a i nt h e o r e m sw eg e ta r e ： ( 1 ) l e tm b ea c o m p a c te x t r e m a ld h e s s i a nm a n i f o l d w i t ho 0 w h e n t h em o d u l eo fv a r i a n tv e c t o rf i e l di ss m a l le n o u g ha n d n + 2n - 1 s 口专譬，t h e n mi sm a x i m a l ，i e 厶州凡d v ( 2 ) l e tmb eac o m p a c te x t r e m a lo h e s s i a nm a n i f o l d ，t h e r ee x i s t sa p o s i t i v ec o n s t a n tk ( n ) d e p e n d i n go n l yo nt h ed i m e n s i o nns u c ht h a ti fi 口j ( n ) ，mm u s tb e 竿，w h e r eri sas u b g r o u p o fi s o m e t r i c so f 伊w h i c ha c t sf r e e l y a n dp r o p e r l yd i s c o n t i n u o u s l yo ne “ k e y w o r d s ：e x t r e m a ln h e s s i a nm a n i f o l d 。b e r n s t e i np r o p e r t y , a f f i n em a n - i f o l d a i f i n ek 五h l e rm a n i f o l d 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在l 四j l l 大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明 导舡邀 二零零七年四月三十日 致谢 本人衷心感谢导师李安民教授三年来的热情帮助和悉心 指导，衷心感谢赵国松老师、陈柏辉老师、贾方老师、郑来老 师在三年中教授我一系列的基础知识 衷心感谢我的师兄许瑞伟，师姐杨宝莹对我的热情帮助 和在学业上给予的指导。感谢我的同学李晓斌、金迎迎、邓 嘉、陈伟、蒋研在我撰写论文期问，他们给予了我许多好的建 议和提示，在此，向他们表示深深的谢意! 感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老9 币、同 学和朋友，特别是讨论班的同学们，他们浓厚的学习氛围和 互相帮助的良好风气感染了我，帮助我不断成长 感谢我的家人多年来对我的理解和支持，使我可以顺利 完成学业 第一章绪论 1 1 引言 仿射微分几何是微分几何的一个重要分支。它是由w b l a s c h k e 和他的合 作者们。按照克莱茵的几何分类思想，于本世纪2 0 年代创立的它主要研究仿 射空同中非退化的超曲面在幺模仿射变换下的不变性质之后3 0 年，仿射微分 几何取得了辉煌的成就，但几乎都限于研究局部严格凸超曲面，而关于整体的研 究还在发展中 近几十年来对m a n g e a m p e r e 方程的研究引起了人们极大的关注，也取 得了不少重要的成果小+ 1 中的严格凸超曲面上可以定义仿射不变的黎曼度量 一日z o s c k 度量，因此有一个仿射不变的体积元于是有相应的体积的极值问 题，对应的e u l e r l a g r a n g e 方程是四阶非线性偏微分方程由于它的简单的 仿射微分几何意义，它有许多好的性质在此基础上，我们在紧仿射流形上定义 一个仿射不变的黎曼度量a h e s s i a n 度量，于是也有相应的仿射不变的体 积元和相应的体积变分的极值问题，它所对应的e u l e r l a g r a n g e 方程仍然是 一个四阶非线性偏微分方程 设仿射k d t l h e r 流形( m ，夕) 在局部仿射坐标系f z 】，x 2 ，2 。) 下可以由一 严格凸函数，表示，即 m = t ( 。l ，2 7 2 ，+ 1 ) f + i = f ( 2 7 1 ，2 7 2 ，) ， 其中( z l ，2 7 2 ，z n ) qca “。则其仿射k s l h e r 度量g 司表为 9 = 鑫如t 奶= 岛如t 奶 由，的严格凸性可以推出( i g 缶) 的正定性 在【2 】2 中仿射k a l h e r 度量首次被c h e n g 和y a u 提出来近年来，李安民 在【1 中研究了光滑仿射流形上几何问题，并得到了一些在k d t l h e r 流形上的结 论 四川大学硬士学位论文第2 页 特别地，记幽为关于仿射k 2 l l h e r 度量g 的体积元， d v = ( d e t ( h ，) ) t d x l 如2 a a d x m 的体积为a ( f ) = 丘( d 矗( 允疹出i a d 现a a 出n 通过考虑单参数体积变分问题，李安民在【1 】中导出了e u l e r l a g r a n g e 方程形如 ( z 凹( 西时( 南) ) ) = 0 ( 1 1 ) 其中为关于仿射k f i l h e r 度量的l a p l a c i a n 算子，他在【1 】1 中提出了如下的 问题 问题，设m 为紧致仿射k s l h e r 流形。使得z ( 1 0 9 ( d e t ( 凡) ) ) = 0 ，m 是否 形如譬? 在1 8 】一文中，对这个问题给出了部分解答，他们证明了如下定理t 设m 为紧仿射k s l h e r 流形，满足置，0 及a ( 1 0 9 ( d e t ( 凡) ) ) = 0 。则流形m 形如 卫 r 。 在本文中，我们进行了一定程度的推广首先将仿射k i i l h e r 度量推广为 a h e s s i a n 度量，随即便有了d h e s s i a n 流形，然后在口一h e s s i a n 流形上， 通过考虑单参数体积变分问题，得到e u l e r l a g r a n g e 方程形如，g p 。= 0 。 其中9 是关于q h e s s i a n 度量9 的l a p l a c i a n 算子，经过分析估计，可得 如下定理，设m 是一个紧的极致口一h e s s i a n 流形，那么存在一个正的仅仅依 赖于n 的常数( 礼) 使得如果idi k ( 礼) 时，m 一定是譬 1 2 本文的主要内容 在第二章中，我们给出了仿射微分几何中的一些预备知识 在第三章中，我们给出了。一h e s s i a n 流形的基本定义和在后面将要用到 的基本公式，叙述了这篇文章所要证明的两个基本定理 四川大学硕士学位论文第3 页 在第四、五六章中，我们给出了q h e s s i a n 流形上的一些不变量及垂 的估计，详细地证明了文章的两个定理 第二章预备知识 定义2 1 设肘是一个n 维的拓扑流形如果在m 上给定一族坐标卡 ( ，协) ) ，使得( ) 构成m 的开覆盖，每一个是从到j p 的个开集 的同胚：并且满足对任意的阢，。若阢n 码0 转移函数 恍。蜉1 ：竹( 仉n ) c 舻一协( 仉n ) c 舻 是仿射变换，即忱。蜉1 g l ( n ，月：，i ) 。则称m 是仿射流形相应的局部坐标系称 为仿射坐标系，坐标之f 司的变换称为仿射变换特别地，若纯。叮1 g l ( n ，z ”) ， 则称m 是整的仿射流形 设m 为仿射流形， z - ，x 2 ，z 。) 为局部仿射坐标系，考虑其上的切丛 t m ，相应的自然基底为局部仿射坐标系 击，j 0 五，击) ，那么每一个切矢 量可以表为玑石0 ，从而丁m 局部坐标系为 。l ，z 2 ，。，1 ，y 2 ，珈) 定 义= q + i y j ，那么t m 的局部复坐标系为 盈，勿，) 。易验证复坐标系 是全纯的，这样切丛上有很好的复结构显然，m 可以看作是t m 的全实子流 形 定义2 2 设m 为仿射流形。在局部仿射坐标系 现，2 2 ， 下，对于 m 上的黎曼度量g ，若存在势函数，满足 a 2 f 鲥2 瓦蒜 则称度量g 为仿射k a l h e r 度量或者h e s s i a n 度量，( m ，9 ) 称为仿射k i i l h e r 流形或者h e s s i a n 流形 例2 1a “上的严格凸函数，的图 m = ( z l ，2 ：2 ，3 h + 1 ) l l + l = ，( z l ，z 2 ，l ) ) 为仿射k ? d h e r 流形，自然的定义鲫= 差蓦 例2 2 欧氏空间( 形， ) ，其度量为标准度量r 为舻上的离散等距子 四川大学硕士学位论文第5 页 群，其作用在酽上面为自由、逆紧、不连续的。则等为仿射k i l h e r 流形，取 其局部势函数为二次函数f = ( z + z ；+ + z ：) 设( m ，g ) 为仿射k i l h e r 流形。选取局部仿射坐标系 轧x 2 ，z 。 。存 在势函数，( 钯，靠) ，使得铅= i 要击= 南选取相对法矢为y = ( o ，0 ，0 ，1 ) ，设0 为诱导联络，耐为关于度量( 厶) 的l e v i c i v i t a 联络 设m 为严格凸函数，的图 选取如下的幺模仿射标架场 + l = f ( x l ，勋，2 n ) e 1 = ( 1 ，。，。，两o f ) e ：- ( 0 1 1 l o 差) - ( 0 1 0 i ，1 ，差) e ，i + 1 = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) ， 而 幽= 0 勺+ 1 e 。+ ， 简单计算知0 = 0 相应于度量岛，l e v i c i v i t a 联络 吃= ；m ( 2 1 ) 其中厶t = 熬，由留一霹= 如舻以及霹= j 户是t 出得相对 f u b i n i p i c k 形式 月表= ；尸a t ( 2 2 ) 由d y = 0 知如= 0 及l l = 0 相对p i c k 不变量 ，2 硒1 习，”f j ”，h 凡t 旆 ( 2r 3 ) 相对t c h e b y c h e v 向量场 丁= ；，玎，刖缸去 ( 2 4 ) 四川大学硕士学位论文 第6 页 在正交标架场 ( n ) 时，m 一定是竿。其中r 是j ， 上离散等距子群，其作用在j p 上面为自由、逆紧的 第四章定理3 1 的证明 设( 以妒) 是m 上的仿射坐标邻域，。，d ：u a “是由局部严格凸函数 f ，9 给出的，写为盘。+ l = ， l ，z 。) 和破+ l = f d ( x l ，。) 用d y 和d v t 表示它们的等仿射不变的体积元选取一个允许的形变，由下式定义一 甄： ( 。) = ( 1 一t ) f ( x ) + t t ( z ) = f ( x ) + t c ：( z ) 一，( 动) ，嚣阢0 t 1 于是 ( 在u 上是处处严格凸的对任意的茹u ，设p 1 ( z ) ，( ) 是矩阵 ( c ! ；：= e f 请( 名一a a ) 的特征值，其中 凡= o j o | f ，砧= a j o f 。，( ) ：= ( 凡) 对任意的t 而言特征值矩阵 ( ，巩岛 ) ， 是正定的，由1 + 地( z ) ，1 n 给出 则谇积元d k 可以由- g 式给出 d y t = d e t ( o j o i f t ) 帮d x la ad x 。 = y i ( 1 + 饥( z ) ) 谍群d v 设0精南，则存在足够大的nz+使得斋譬筹茅雨1-v- 当 n 銎l ( 1 + t 肌( z ) ) 1 时，我们有兀：l ( 1 + t 地 ) ) 譬等铲l - l - - l ( 1 + t t 0 ) ) 南 由著名的几何平均值与算术平均值的不等式，我们得到； 粥= ( 1 + t 地( z ) ) 礞岢( 1 + t 胁( 嚣) ) 南 丝哥半趔划+ 而t d v ( 参( 圳n 十ln 十l _ 四川大学硕士学位论文第1 3 页 当t = 0 或者p 1 ( 。) = 弘2 ( 。) = = p 。( z ) = 0 时取等号 因为 o ( d r 0i 鲫= 岽署( 参) 彬 我们有， d v t 1 ，有p t = 0 那么有t 圣= 2 粤+ 2 学_ 4 ( a + 1 ) ) p , 2 1 p , 1 1 帕+ 1 ) ( o r + 2 - p ) 岳 四川大学硕士学位论文第1 7 页 应用s c h w a r z 不等式我们得到， 白刍矗一2 刍了p ：, l p , l l + 而卢2 歹p , 4 1 ( 5 9 ) 由r i c c i 恒等式可得t 2 p j p j 沪2 p j ( a p ) j + 2 r j x 力z = 2 以即学一p 孚) + 2 鸽2 ，最怕一2 ) b 1 ，p j m ，磅 ( 妒一( n 一2 ) ) 以- 7 以1 1 - + ( 一即一堕三笔 型) 鲁 ( 5 1 0 ) 其中 把5 9 ) 和( 5 1 0 ) 代入( 5 。8 ) 我们得到 啦志学+ o o 西t 警+ 筹， ( 5 1 1 ) 0 0 = 2 ( n n 一- 1 2 ) 3 一n 2 - n i - i 2 i + = 2 可n a 一- 4 a 仃一l z l n 一1j 6 0 = 击卢2 一( n - - 1 2 ) 2 f ( - 一1 ) 一 + f 2 简化得 6 d = 而n + 2 a 2 1 一掣州ln 一矾 注意到 雪= 矿一1 g 圣+ ( 口一1 ) ( 1 一；) 矿一2 ， 代入( 5 。5 ) 我们得到以下命题 命题5 1 设m 是极致口一h e s s i a n 流形我们有如下的估计式 掣志学水0 _ ( ) ( 1 一和 9 + 彬( 5 1 1 2 ) 郴 等备 蠹 第六章定理3 2 的证明 c i , 是定义在紧流形m 上的函数，那么由紧性知存在一点p m 使得壬在 p 点取到最大值于是a 口雪( 力0 ，r e 0 , ) = 0 由( 5 1 1 ) ，我们得到耳) 使得 当l 口i k ( n ) 时有b o 0 又由( 5 1 2 ) 我们有 b 圣2 0 ) a o ( p ) 0 所以对所有z m 有0 圣( 功5 圣扫) 0 因此c i , 兰0 从【5 】我们可以知道 m 必须是譬这就完成了定理3 2 的证明 参考文献 【1 】a m l i ，a 伍l n ec o m p e t e n e s sa n d e u c l i d e a nc o m p l e t e n e s s ，l e c t u r en o t ei nm a t h ， 1 4 3 1 ( 1 9 9 1 ) ，1 1 6 - 1 2 6 【2 】2 s y c h e n g ，s t y a u ，o nt h er e a lm o n g e - a m p e r ee q u a t i o na n da l f i n ea a ts t r u t - t u r e i np r o c e e d i n g so ft h e1 9 8 0b e i j i n gs y m p o s i u md i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，v 0 1 1 ，2 3 ，( m i j i n g ，1 9 8 0 ) ，p a g e s3 3 9 - 3 7 0 s c i e n c ep r e s s 1 9 8 2 【3 】a m l i ，f j 堪，e u c l i d e a uc o m p l e t es t r e e 踟嘲w i t hc o n s t a n ta t o n em 啪l u i * - t u r e a n n a l so fg l o b a la n a l y s i sa n dg e o m e t r y2 3 ，( 2 0 0 3 ) ，2 8 3 - 3 0 4 4 a m l i ，u s i m o n ，g z h a o ，g l o b a la f r m ed i f f e r e t i a lg e o m e t r yo fh y p e r s u r f a c e s w a l t