（金融学专业论文）基于广义CVaR的投资组合问题研究.pdf

硕士论文基于广义c v a r 的投资组合问题研究 摘要 投资风险管理的c v a r 方法越来越被社会所重视，但c v a r 方法在某些情况下会 出现不适定性。近年来，这一问题已为经济学界和实业界所察觉和关注，并成为当前 的研究热点。缓解c v a r 技术的不适定性不仅具有理论意义更具有经济价值。本文在 现有工作的基础上，拟继续讨论c v a r 的不适定性问题，得到一些有意义的结果。 对于较大规模投资组合选择问题，首先利用罚函数法研究了基于c v a r 的投资组 合选择问题，得到了一个关于参数的连续解。同时通过实例比较分析，显示出所得到 的解的不适定性有所缓解。 其次，在带交易费用的c v a r 最优化模型的基础上，将模型目标函数进行了平滑 模拟，得到连续平滑的c v a r 最优化模型，并经过实例说明，对于较大规模投资组合 选择问题，经过平滑模拟后的模型其解的收敛性和稳定性较之原模型的解都得到了提 高。 最后，针对交易量较小的特殊情况，本文建立了带有凹费用函数的c v a r 最优化 模型，给出了模型求解的迭代方法，并对模型解的稳定性进行了简要分析。 关键词：投资组合，c v a r ，不适定性，罚函数，成比例费用，平滑模拟， 凹费用函数 a b s t r a c t硕十论文 a b s t r a c t t h ec v a rm e t h o di sc o n c e r n e db yt h es o c i e t ym o r ea n dm o r e b u tt h i sm e t h o dw i l l d i s p l a yi l l p o s e d n e s si n t h ec e r t a i nc i r c u m s t a n c e s r e c e n t l y , t h i sp r o b l e ma l r e a d yw a s r e a l i z e db yt h ee c o n o m i c a lw o r l da n dt h ei n d u s t r i a lw o r l d a n di tb e c o m e st h eh o tr e s e a r c h t o p i cn o w t h e r e f o r e ，a l l e v i a t i n gt h ec v a rt e c h n o l o g y si l l - p o s e d n e s sn o to n l yh a st h e t h e o r ys i g n i f i c a n c e ，b u ta l s oh a st h ee c o n o m i cv a l u e i nt h ee x i s t i n gr e s e a r c hf o u n d a t i o n ， t h i sa r t i c l ep l a n st oc o n t i n u et od i s c u s sc v a r si l l - p o s e d n e s s ，a n do b t a i n ss o m em e a n i n g f u l r e s u l t s r e g a r d i n gb i gs c a l ei n v e s t m e n tp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e m s ，t h i sa r t i c l eu s e st h ep e n a l t y f u n c t i o nm e t h o dt oa n a l y z et h ep o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e m sb a s e do nc v a r , a n do b t a i n sa c o n t i n u o u ss o l u t i o nw i t hr e s p e c tt ot h ep a r a m e t e r m e a n w h i l e ，i ts h o w st h a tt h e i l l p o s e d n e s so fs o l u t i o n si sa l l e v i a t e db ya l le x a m p l e a f t e rt h a t ，b a s e do nt h ec v a ro p t i m i z a t i o nm o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t s ，w es i m u l a t e s m o o t h l yt h ep i e c e w i s el i n e a rf u n c t i o ni no b j e c t i v ef u n c t i o ns e p a r a t e l y , a n do b t a i nt h e c o n t i n u o u ss m o o t hc v a ro p t i m i z a t i o nm o d e l a sa na p p l i c a t i o n ，w ee x p l a i nv i aa l l e x a m p l ew h e nt h es m o o t hs i m u l a t i o nm o d e li sa p p l i e di nt h eb i gs c a l ei n v e s t m e n tp o r t f o l i o c h o i c ep r o b l e m s ，i t sc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yh a st h ee n h a n c e m e n tc o m p a r i n g 谢t l lt h e a b o v el i n e a rm o d e l f i n a l l y , i nt h es e t t i n go ft h es m a l ls c a l et r a n s a c t i o n ，t h i sa r t i c l ee s t a b l i s h e st h en e w c v a ro p t i m i z a t i o nm o d e lw i t hc o n c a v ec o s tf u n c t i o n s a n da r r i v e sa tt h ei t e r a t i v em e t h o d t os o l v et h em o d e l t h ea u t h o ra l s oa n a l y z e st h es o l u t i o n ss t a b i l i t yo ft h i sm o d e lb r i e f l y k e yw o r d s ：p o r t f o l i o ，c v a r , i l l - p o s e d n e s s ，p e n a l t yf u n c t i o n ，p r o p o r t i o n a l c o s t ，s m o o t h i n gs i m u l a t i o n ，c o n c a v ec o s tf u n c t i o n i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 乃眇渤 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 、f 嘭7 柏眇馄 c 撕年月易。日 硕士论文 基于广义c v a r 的投资组合问题研究 1 引言 1 1 现代证券投资组合理论概述 在金融投资理论的发展过程中，现代投资组合理论占有十分重要的位置，该理论 意在建立最大投资收益与避免过分风险之间的权衡关系，即是说引导投资者将不同的 投资品种按照一定比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预期收益率的前提下 把风险降到最小，或者在限制一定风险的前提下使收益率最大化。 美国经济学家m a r k o w i t z 第一个对投资组合问题做出了实质性分析。1 9 5 2 年， m a r k o w i t z 发表了证券组合选择，他根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证 券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确 定最佳投资组合。m a r k o w i t z 证券组合选择的发表，标志着证券投资组合理论的 正式诞生。m a r k o w i t z 的均值一方差模型为投资决策方法的发展搭建了最基本最完整 的框架。 1 9 6 3 年m a r k o w i t z 的学生威廉夏普( w i l l i a mes h a r p ) 提出了最优组合模型的简化 形式，这大大降低了计算难度。这种基于投资组合收益方差的近似方程被称作单因素 模型，这一有技术进步的模型使得当代投资组合理论很容易应用于现实生活中。1 9 9 0 年瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予马柯威茨、威廉夏普和默顿米勒教授三位 经济学家，标志着现代证券投资组合理论已经成熟并为全世界公认。 1 9 9 3 年，度量市场风险的v a r ( v a l u ea tr i s k ) 模型( “风险价值”模型) 应运而生。 v a r ( 风险价值) 指在一定的置信水平下，某一金融资产( 或证券组合) 在未来特定 的一段时间内的最大可能损失。这种方法具有如下优点：1 、可以用一个数值来简单 明了的量化市场风险；2 、可以事前计算风险；3 、可以计算有多个资产项目组成的投 资组合风险。在过去的几年里，许多银行和监管当局开始把这种方法当作全行业衡量 风险的一种标准来看待，多家银行、保险公司、投资基金、养老金基金及非金融公司 均在采用v a r 方法作为金融衍生工具风险管理的手段。尽管v a r 方法是近来流行的 衡量风险的标准化尺度，但其在理论和实践上并不是十分完善的。 1 9 9 7 年，a r t z n e l 等人提出了著名的一致性公理，其内容是：若某种风险计量满 足次可加性、正齐次性、单调性和传递不变性四个条件，则该风险计量是一致性风险 测度。a r t z n e r 等指出，只有满足一致性要求的风险计量方法才能充当投资组合管理 工具。1 9 9 9 年，a r t z n e r 等人通过举例证明v a r 满足正齐次性、单调性与传递不变性， 但在一般情况下不满足次可加性。这就意味着资产组合的v a r 值有可能大于各项资 产的v a r 值之和，这一点违背了分散化投资以降低市场风险的经济意义。a r t z n e r 等 l 引言 硕上论文 证明，当组合中各资产的收益服从联合正态分布且置信水平小于o 5 时，v a r 才满足 次可加性。由于金融时间序列数据往往呈厚尾特征，因此正态分布假定下的v a r 虽 然具有次可加性，但却低估了组合实际所面临的尾部风险。1 9 9 9 年，m a u s s e r 和r o s e n 还得出了v a r 作为风险度量方法具有的另外两个缺点：1 、v a r 缺乏凸性，即投资组 合的最小化v a r 问题可能存在多个局部最小值。2 、v a r 值表明的是一定置信度内的 最大损失，但这并不能绝对排除大于这一v a r 值的损失发生的可能性。这就说明由 于一般情况下，v a r 方法并不是一致风险测度，因此它不是一种完善有效的风险度量 手段。 2 0 0 0 年，r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v 提出了在v a r 基础上发展而来的c v a r ( c o n d i t i o n a lv a r ) 概念。c v a r 是指在一定的时间水平和置信水平下，当损失超过v a r 时该损失的条件期望。p f l u g ( 2 0 0 0 ) 以及a c e r b i 和t a s c h e ( 2 0 0 2 ) 均给出了c v a r 满足v a r 所没有的次可加性的证明，属于一致风险测度，而且最小化c v a r 投资组合也对应着 最小的v a r 值。由于c v a r 能够预测损失超出v a r 的风险，不失为一种可行高效的 风险估计指标，因而极有希望代替v a r 成为未来国际金融业度量风险的行业标准。 现今c v a r 方法虽已逐渐被众多国内外学者所重视，但它所表现的不适定性却是 不可忽视的。我们知道，只有当一个问题的解唯一存在且连续依赖于定解条件( 解稳 定) 时，该问题才可以成为是适定的。s a l e x a n d e r 和e c o l e m a n 在2 0 0 3 年就分别对 c v a r 最小化问题解的不唯一性和不稳定性进行了分析。他们指出，一方面，当用 d e l t a g a m m a 模拟来描述投资组合中衍生证券价值的改变量时，c v a r 最优化问题的 最优解不一定唯一，即在寻找最优投资组合的过程中，对于同一个c v a r 值可能会对 应着无穷多种投资组合方案，并且不同的计算过程可能会产生不同的最优化投资组 合；另一方面，在解决c v a r 最小化问题时，当利用m o n t ec a r l o 模拟来将目标函数 中的积分项去掉，以减少计算过程的复杂性时，c v a r 最优化问题还会表现出一些不 稳定、不合理的特征。比如，许多投资组合策略与最优策略具有相似的风险值，并且 数据的轻微扰动会得到明显不同的最优解。 1 2 本论文主要研究内容 既然投资风险管理的c v a r 方法越来越被社会所重视，那么解决c v a r 方法的不适 定性就显得势在必行。本文的第四章介绍了几种缓解c v a r 最小化模型不稳定性的方 法。( 1 ) 在利用罚函数法求解c v a r 最优化模型时，将原来的有约束问题转化为了无 约束问题，用这种方法计算出的投资组合解，不仅c v a r 值还保持在较小的水平，并 且在随着扰动项的改变而变化时，变化幅度明显降低。可以看出利用罚函数法求解的 c v a r 最优化模型其稳定性可以可到改善。( 2 ) 在c v a r 最小化模型中加入成比例费用 硕士论文 基于广义c v a r 的投资组合问题研究 后可以看出，投资工具持有比例的变动对最优组合解的影响很小，从而在一定程度上 缓解了问题的不稳定性，并且随着加权费用参数的变大，同时最优投资组合中的投资 工具种类数在减少。( 3 ) 经过m o n t ec a r l o 模拟后的c v a r 最小化模型是带有线性约束 的线性规划模型，但目标函数中含有分段线性函数，在当今金融市场瞬息万变的格局 下，这种形式的风险优化模型必然不能适应不确定因素的连续变化，因此，我们将目 标函数中的分段线性函数进行平滑技术模拟，使之转化为连续平滑的函数，并且在考 虑带有成比例交易费用的投资组合选择问题时，将带有绝对值的交易费用函数也同样 转化为平滑函数。这样，当经过平滑模拟后的模型应用于较大规模投资组合选择问题 时，问题的收敛性和稳定性将得以提高，这对衍生证券投资活动的风险管理具有一定 的经济意义和实用价值。 一般的凸函数形式的费用函数都是针对交易量很大时的投资活动而设定的，这在 投资者进行大宗交易时可以得到较好的结果。但是当交易量较小时，得到的结果往往 存在着较大的问题。在这种情况下随着交易量的增加，每单位交易费用会相应的递减。 因此当交易量较小时，就需要引入凹函数形式的交易费用。在本文的第五章中介绍了 当交易量较小时，带有凹费用函数的c v a r 最优化模型，给出了解决这一问题的迭代 算法，并对凹函数的近似误差和模型解的稳定性进行了简要分析。 2 风险度量的常见技术手段 硕上论文 2 风险度量的常见技术手段 现代组合投资理论是分散的将资金投资于若干种证券以降低投资风险，扩大投资 收益。在金融投资活动中，投资风险即未来收益的不确定性是客观存在的，组合投资 理论最核心的部分就是风险的度量。在度量投资组合风险的技术手段中，主要有 m a r k o w i t z l 拘均值一方差模型、v a r 模型( “风险价值”模型) 和c v a r 模型( “条件风险价 值”模型) 。 2 1m a r k o w i t z 的均值一方差模型 在m a r k o w i t z 的“均值一方差”证券组合理论中，收益率均值代表投资组合的盈利 性，收益率方差代表投资组合的风险性，即是以证券投资组合的不确定性收益偏离其 预期收益的程度度量风险。在金融投资中，收益和风险密不可分，一个理性的投资者 必然要满足收益的非餍足性和风险的规避性两个条件。为了满足这两点要求， m a r k o w i t z 在阐述均值一方差理论时做了如下几点假设：( 中国股市风险研究) ( 1 ) 投资者在投资决策中只关注投资收益率分布的两个参数：均值和方差，均 值代表了投资者的未来收益率的期望，方差代表了投资者对风险的估计； ( 2 ) 投资者是风险厌恶的，即在收益率一定的情况下，投资者追求风险最小化； 在风险水平一定情况下，投资者追求收益率最大化； ( 3 ) 各种证券的收益率之间具有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相 关系数或者收益率之间的协方差来表示： ( 4 ) 投资者拥有完全流动性的资产，即资产具有供给的无限弹性，资产组合的 购买和销售不影响市场的价格和期望收益率； ( 5 ) 每种资产的收益率都服从正态分布： ( 6 ) 每种证券都是无限可分的，意味着如果投资者愿意的话，他可以购买一个 股份的一部分； ( 7 ) 税收和成本均忽略不计； ( 8 ) 不允许卖空和买空证券。 根据以上假设，m a r k o w i t z 的均值一方差模型可以表示为： 4 m a xp 髀 其中，目表示投资组合的权重向量； 硕士论文 基于广义c v a r 的投资组合问题研究 表示各项资产的预期收益率分布矩阵； 。表示投资组合的预期收益率； 表示资产间的协方差矩阵； 盯：表示投资组合收益率的方差； c 0 表示初始投资额。 该模型的解是图2 1 1 中的抛物线，即投资组合的有效前沿。 图2 1 1 尽管m a r k o w i t z 的均值一方差模型利用方差度量资产组合的市场风险，开创了投 资组合风险量化的先河，但是越来越多的研究表明均值一方差模型具有不可忽视的缺 点。 首先由于方差只描述了收益偏离的程度而没有指出偏离方向，使得方差的最小化 不仅会减少收益向下的偏离，同时也会减少收益向上的偏离，所以它同时也限制了可 能的收益。 其次，方差也不适于描述低概率事件的风险，而往往就是低概率事件的发生可能 会造成收益的大幅度波动，从而带来巨大的损失。因此，针对随机变量统计特征的完 整性，还需要引入概率分布而不仅仅是方差。 最近国外一些学者认为m a r k o w i t z 对风险的定义具有一定的缺陷，从而提出了一 些新的投资组合优化模型。 2 2 “风险价值”模型r v a r 模型 1 9 9 3 年以来，v a r ( v a l u ea tr i s k ) 风险价值方法作为一个较为稳定的风险度量标 准逐渐被广泛接受。v a r 指在一定的置信水平下，某一金融资产( 或证券组合) 在未 来特定的一段时间内的最大可能损失。也就是说，对于给定的时间期限；和置信水平 2 风险度量的常见技术手段硕士论文 ，一项投资组合的损失超过v a r i 拘概率是1 。要写出v a r 的数学表达式，首先要 介绍一下累计分布函数甲( x ，口) 。 f ( x ，s ) 表示损失，其中随机变量s 贸d 代表投资市场中可以影响损失的不确定 因素，可以假设为标的资产的价格。不失一般性地，假设在一定的时间区域，中，随 机变量s 有概率密度p ( s ) ，对于一个给定的投资组合决策变量x 贸刀来说，投资损 失f ( x ，s ) 不超过临界值口的概率可以由累计分布函数v ( x ，口) 给出： d 巧p 甲( x ，口) = k 滟p ( s ) d s 假设损失的概率分布不带跳，那么v ( x ，口) 在口上非减且处处连续。 有了损失不超过口的累计分布函数，v a r 可以按照如下的方法定义： 令0 0 ，假设影响衍生证券价值的标的资产的价格为 s i 孵d ，初始状态时的价格为品，假设刀种衍生证券在t 时刻的价值为 以( s ，f ) ，圪( s ，f ) ) 。 于是投资组合问题关于投资策略x 的损失为 f ( x ，墨) = 一x t ( y 。一v o ) 其中，对于任意的时间f ，y ，兰e ( s ，f ) ，圪( s ，f ) 】。 注意到，f ( x ，s ) 是关于x 的线性函数，进而由v 状与c v a r 的定义可以很容易得 出：对于v p 0 ，有口( 户，x ) = p 。口卢( x ) 和办( p ，x ) = p 九( x ) 成立。 令贸疗表示在整个时间期限f 上衍生证券价值的变化量，即= v 。一v o ， 从而投资组合的损失f ( x ，墨) = 一( ) 2x 。 那么，投资组合的最小化模型的目标函数可以表示为： m i 。n ，f p ( 耶) = 勰# + ( 1 一l 陟( x ，s ) 一口】+ p ( s ) d s j = 嬲k + ( 1 一b 【_ ( 缈) r x 一口r p ( s ) d s j 在这里，我们假设对于要研究的最佳投资组合问题只有预算和收益两个约束条 件。 不失一般性，假设在初始时刻投资组合的预算被特定地约束为单位资产，即有约 束 ( v o ) 7 x = 1 那么当预算为p 时，根据前面的讨论，投资组合的v a r 与c v a r 也就可以相应地 3 最小化c v a r 投资组合模型硕上论文 等于p e r ( z ) 和p 办( x ) 。 另外，x 9 t 疗可以用来表示所持有的衍生证券相对于总的初始投资预算的比例， 即t 代表相对于每单位资产的初始投资而言，第弭中衍生证券的持有量。在时间期限 t 上，投资的收益约束可以表示为 ( 8 v ) 1x = ， 其中，r 0 表示整个时间期限f 上投资组合的期望收益； 万贸”表示衍生证券所获得的期望利润，即万= e ( ) 】。 如果x = & ：( 矿。t x = i ，( 一g v ) r x = ) 是投资组合的可行集，那么投资组合的最 小化模型可以表示为 畏毋k + ( 1 一) 一1 王棚。 - ( 彤) 7 x 一口r p ( s ) d s ) ( 3 1 3 ) s j ( v o ) 7 x = 1 ( ) 。x = ， 这里假设，在投资组合中，所有衍生证券的标的资产的价格变化的随机模型己知。 并且已经有方法可以计算出衍生证券的价格，比如像，b l a c k s c h o l e s 公式，d e l t a - g a m m a 近似方法，或者m o n t ec a r l o 模拟方法等。 3 2c v a r 最小化问题的不适定性 当一个问题同时满足如下两个条件时，该问题就称为是适定的： ( 1 ) 问题的解存在且唯一； ( 2 ) 问题的解连续依赖于定解条件( 解稳定) 。 否则该问题就称为是不适定的。 3 1 中连续的c v a r 最小化模型( 3 1 3 ) 是带有线性约束的凸非线性最小化问题。 接下来将在损失函数f ( x ，s ) 连续，目标函数兄( x ，口) 连续可微的前提下，分别就 c v a r 最小化模型解的不唯一性和不稳定性来分析该问题是否适定。 1 2 硕士论文基于广义c v a r 的投资组合问题研究 3 2 1c v a r 最小化模型解的不唯一性 为了讨论c v a r 最小化模型最优解的不唯一性，首先需要介绍一f 用来描述投资 组合中衍生证券价值的改变量的方法：d e l t a - g a m m a 模拟。 在投资活动的风险管理中，通常使用局部评价法( l o c a l v a l u a t i o nm e t h o d ) 来衡 量v a r 和c v a r 等风险度量标准。这种方法是通过仅在资产组合的初始状态作一次估 值，并运用局部求导来推断可能的资本移动而得出风险的衡量值。 在局部评价法中，d e l t a g a m m a 模拟方法是最常采用的一种模拟手段，可以较好 的描述出衍生证券价值改变的最明显特征。因此，我们利用d e l t a - g a m m a 模拟来描述 衍生证券价值的改变量可以有效地反映市场变化。 在这里，对于给定的时间期限f 第i 种衍生证券价值的变化量可以由 d e l a t a - g a m m a 模拟近似给出： 吩吩( 警凇) + ( 等删o s + 互1 ( 6 s ) 气( 嬲) 其中，向量( 峦) 孵d 表示标的资产价值的改变量； j t ，u 表示第i 种衍生证券价格相对于时间的初始t h e m 敏感度； 警贸d 表示第f 种衍生证券价格相对于标的资产的初始d e l t a 敏感度； f 吼出d 是h e s s i a n 矩阵，表示第f 种衍生证券价格相对于标的资产的初始 g a m m a 敏感度； 万f 是时间的改变量。 优。和警表示整个投资领域中所有衍生证券的初始敏感度，即 翌o t 竺r 盟a t ，翌oo o t 吼刀 一= l - 一l 二h 。 l l 。 丝a s 竺随la s 一，智2 一= l _ 二一l lc h 。 船i 一般情况下，每项衍生证券的价值都有可能依赖于一种以上的标的资产，在讨论 投资组合c v 抿最小化问题的适定性前，先假设有d 种标的资产。 3 最小化c v a r 投资组合模型硕上论文 首先，需要建立一个衍生证券价值相对于标的资产的变化敏感度矩阵。 假设对于每一个h ，1 h 疗，第h 种衍生证券的价值依赖于个标的资产， r h d 。那么就而言的变化敏感度矩阵l 中有至多砰个非零元素。而且由于l 的 对称性，l 包含至多掣个互不相同的非零元素。 下面构造一个关于标的资产的次序集合： 毛= ( f ，) ：圪依赖于第价和莉个风险因素，即l ( f ，) 0 ，f 那么 ( 万s ) ，fj l ( 万s ) = f h ( f ，i ) s s 产+ 2 r ( f ，j ) a s ，万s ， ( f ，f ) r h ( f ，_ ，) e r h ，f j 考虑到友= u ：，r ，在集合友中建立一个关系如下的次序：对于 ( “j 1 ) ，( f 2 ，j 2 ) r ， f ( ，工) ( 之，五) ，如果之 【( ，五) d + d + l ，其中0 是友的势，并且存在c 僻m i nc v 状的投资组 合，那么存在无穷多的c v a r 最小化投资组合策略。 ( 2 ) 如果x = & ：( 矿。tx - - 1 ，( _ ) 7 x = ) ，并且刀 o + d + 3 ，那么对于 邯，o 1 0 3 的交易头寸进行观察。 巳投资工具