（理论物理专业论文）热纠缠态表象在解若干量子方程中的应用.pdf

摘 要 i 摘摘 要要 量子退相干是研究量子计算和量子信息的所必须面对的主要问题。 未来量子 计算机的应用在于它处理量子叠加相干态的能力。 因为量子相干性在量子计算机 中担任重要角色，因此退相干是对其正确运行的最大威胁。研究量子信息的中心 问题是如何忠实地通过量子噪道传输一个未知量子态。当量子信息通过通道（如 光纤）传输时，信息载体（例如光子）和通道相互作用，并在多个自由度上和通 道发生纠缠，从而导致使信息载体发生退相干现象。当离开通道时，原初的纯态 演化为混态。量子统计力学重要课题就是纯态到混态演化。这种演化经常发生在 一个系统浸入在一个热环境中或者一个信号（量子态）穿过量子通道时。此种演 化可以由主方程来描述。 解主方程是为了更好地研究量子退相干如何在耗散或者 增益系统中影响密度算符。 在以前的文献中，求解主方程的方法是将密度算符对应各种经典分布函数， 如粒子数表象（q 函数） ，相干态表象（p 表示）或者 wigner 函数，然后利用郎 之万方程或者福克-普朗克普朗克方程求解。还有一种做法是根据具体的物理过 程（系统和环境的相互作用）引入超算符。在本论文中，我们利用新提出的热纠 缠态表象，另辟蹊径处理此类方程。近期研究表明，在系统和环境的相互作用演 化中包含有纠缠现象。因此量子纠缠态可以被用来处理量子退相干问题而求出 kraus 算符。我们构造了适当的纠缠态表象来研究纯态到混态的演化问题。 第一，我们发现通过振幅衰减通道，初始的纯粒子数态演化为二项式分布态 （混态） ，二项式分布参数为 2kt e，此处k是通道的耗散系数。同时利用纠缠态表 象可以便捷地求解相应的主方程，得到密度算符的算符求和形式。 第二，我们研究了压缩混沌场（混态）的密度算符如何在振幅振幅耗散通道 中演化。我们证明演化的密度算符 t处于高斯二次型，相应的 q 函数也显示 了耗散的过程。 第三，为了描述振幅衰减通道，我们新构造了非线性主方程 1 2 1 d kf n aaa a dtf n ，其中f n是 na a的算符函数。我们求解了 此主方程，得到了密度算符的无限算符求和的准 kraus 表示。同时，我们发现非 摘 要 ii 线性的通道中， 当 1 1 f n n 时， 初态的粒子数态 （纯态） 演化为二项式态 （混 态） 。 第四， 我们构造了新的双模主方程来描述双模情形下的振幅衰减量子通道。 通过求解此主方程，得出相应的密度算符无限求和 kraus 算符形式。 第五，我们总结和归纳了热纠缠态表象在求解其他主方程中的应用方法， 从而找到更为一般的求解规律， 以便在量子主方程的求解中可以有更深一步地发 展。 总之，我们应用纠缠态表象处理密度算符在不同量子通道中随时间的演化。 得出的结论帮助我们直接地理解内在（量子纠缠）的退相干现象。利用纠缠态表 象，我们也可以将用离散算符求和描述量子通道推广到连续算符求和形式。在整 个讨论中，我们充分利用了有序算符的内积分技术（iwop）来处理关于左右矢 算符的积分问题。 关键词：算符无限求和形式；iwop 技术；量子主方程；热纠缠态表象；退相干； 振幅衰减；非线性相干态；三模热纠缠态。 abstract iii abstract the problem of decoherence is an integral part of the theory of quantum computation and communication. the potential of a quantum computer lies in its ability to process information in the form of a coherent superposition of quantum mechanical states. because quantum coherence and interference play a central role in a quantum computer, decoherence is a major threat to its proper functioning. a similar situation prevails in quantum communication. the central problem of quantum communication is how to faithfully transmit unknown quantum states through a noisy quantum channel. while quantum information is sent through a channel such as an optical fiber, the carriers of the information (e.g. photons) interact with the channel and get entangled with its many degrees of freedom, which gives rise to the phenomenon of decoherence on the state space of the information carriers. an initially pure state becomes a mixed state when it leaves the channel. one of the major topics in quantum statistical mechanics is the evolution of pure states into mixed states. such evolution usually happens when a system is immersed in a thermal environment, or a signal (a quantum state) passes through a quantum channel, and is described by a master equation. master equations are set up for a better understanding of how quantum decoherence is processed to affect unitary character in the dissipation or gain of the system. on the other hand, according to the quantum information theory the decay (decoherence) due to the interaction between a system and its environment can be described by a superoperator. usually, as shown in the literature before, solving master equations is using either the langevin equation or the fokker-planck equation after recasting the density operators into some definite representations, e.g. particle number representation (q-function), coherent state representation (p- representation) or the wigner representation. in this thesis we alternatively treat this equation by virtue of the newly developed thermo entangled state representation. because it is recently acknowledged that there involves quantum entanglement during the evolution between the system and its environment. thus quantum entanglement should be taken into account in treating decoherence. we construct the appropriate entangled state representation to tackle the evolution issue from pure states to mixed states. first，we show that passing through the amplitude dissipative channel the initial abstract iv pure number state density operator is evolved into the density operator of binomial distribution (a mixed state), and the binomial distribution parameter is just equal to 2kt e, where k is the dissipative parameter of the channel. we solve the corresponding master equation to obtain the operator-sum representation of density operator by virtue of the entangled state representation, which seems a convenient approach. second，we investigate how the density operator of a squeezed chaotic field (a mixed state) evolves in the amplitude dissipative channel. we demonstrate that the evolved density operator t is in a gaussian quadratic form, and the q-function of t is derived, which manifestly exhibits the dissipation. third, we solve the newly constructed nonlinear master equation 1 2 1 d kf n aaa a dtf n , where f n is an operator-valued function of na a, for describing amplitude damping channel, and derive the infinite operator sum representation of quasi-kraus operators for the density operator. we also show that in this nonlinear process the initial pure number state density operator will evolve into the binomial field (a mixed state) when 1 1 f n n . fourth, we solve a kind of newly constructed two-mode coupled master equation for describing amplitude damping channel, and derive the infinite operator sum representation of kraus operators for the density operator. fifth， we review and summarize the methods of solving the master equations by the thermal entangled state representation, in order to find the solution more general rules. we hope this methods may have deeper development in future. in summary, we have adopted the entangled state approach for treating the time evolution of the density operator in various quantum channels. the result helps us to grasp the inward nature (quantum entanglement) of decoherence in an intuitive manner. using the entangled state representation, we can also extend the discrete sum of operators to the continuous sum of operators for describing quantum channels. throughout our discussions, we shall make full use of the technique of integration within an ordered product (iwop) of operators to deal with integrations over ket-bra operators. key words: infinite operator sum representation; iwop technique; quantum master abstract v equation; thermal entangled state representation; decoherence; phase diffusion; nonlinear coherent state; three-mode thermal entangled state representation. 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。 与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：_ 年 月 日 第 1 章 绪论 1 第一章 绪论 1.1 量子主方程 解量子主方程是量子光学研究中的重要课题之一。主方程的求解方法有超 算符方法、特征函数法等多种，采用何种方法主要取决于所研究的主方程的形式 以及求解的具体目标而定。一般而言，其方法大体可分为两类：第一是常数等效 法，即将约化密度矩阵主方程转化为常数微分方程。如特征函数法，即利用密度 算符的特征函数如 p 表示、q 表示、wigner 函数、正 p 表示，复 p 表示等，先 将量子主方程转化为福克普朗克方程，再求解该方程。这些方法的共同点和实 质都是将算符方程转化为普通函数方程，或者算符的矩阵元方程，成为联立方程 组，适当将其切断再用代数方法来求解。当系统处在稳定的平衡态时，可以利用 光子数表象(粒子数表象)给出密度矩阵，但是当热库处在不平衡或者由于附加作 用引起对角项与非对角项的耦合时，就不能使用粒子数表象，则需要特征函数法 求解。第二是超算符方法求解。这种方法的好处就在于能直接由初态求得密度算 符演化的解析表达， 而不是量子态的演化， 并能直接分析场的退相干、 熵等信息。 不同于前面的两种方法， 我们利用范洪义教授提出的热纠缠态表象1,2,3,4 进行求解量子主方程。利用热纠缠态表象能很方便、简洁地将密度算符主方程转 化成普通函数方程，并求解该 c 数方程，这点与特征函数转化方法相类似；当 初始条件给定，我们可以从方程的解中抽出密度矩阵随时间演化的显式表达，其 求解的过程与特征函数的求解方法有所不同， 但最终得到的约化密度算符都是一 样的，可谓殊途同归。 1.2 热纠缠态表象简介 1.2.1 引言 任何系统在自然界中都不可能独立存在的，而是处于一个热库之中。我们所 研究的系统与热库之间存在着各种相互作用，因此在量子光学和量子统计理论 中，描述此相互作用的哈密顿量应包含两部分：一是相应系统的激发，二是热库 的能量释放。一个有趣的问题自然而然提出：系统与热库之间是否存在某种类似 epr 的量子纠缠现象呢？ 第 1 章 绪论 2 在回答此问题之前，我们先看一下热场动力学理论如何描述环境与热库的相 互作用55.在有限温度 t 下，该理论把一个力学量 a 的热力学统计平均 1h aztr ae （1.1） 改写为量子统计平均的形式 00,aa （1.2） （1.1）中 h ztre 是系综的配分函数，h是系综与环境的哈密顿量， 1 ()kt ，k是玻尔兹曼常数，0是与温度t有关的“真空态” 。 下面我们可以求解0 的具体形。 ，把0在哈密顿量h的 fock 空间中展 开 0,. n n fnh nn n （1.3） 将（1.3）式代入（1.2）式并与（1.1）式比较后可知， n f应满足 *1 , . n e nmn m ffze （1.4） 为找出 ,n m 具体形式，umezawa 等人引入了一个虚希尔伯特空间，它的基矢n是 分立正交的，即 , , n m n m （1.5） 而0就可在扩展了的双模 fock 空间nm中构造。令 1 2 exp, 2 n n e fzn （1.6） 则可使（1.4）式得以满足，即 *11 , exp. 2 n enm nmn m ee ffzn mze 再把（1.6）式代入（1.3）式，得热真空态： 1 2 0exp, 2 n n e zn n （1.7） 它确实使（1.2）式得以实现。可见，对于每一个系统的n态，要伴以一个“虚 态矢”n， 从而把原有的单个希尔伯特空间扩大为双个希尔伯特空间。 例如当h 为某自由玻色气体系统的哈密顿量，即哈密顿量形式 ha a时，其相应的本 第 1 章 绪论 3 征 态 可 写 为 1/2 !0 n nna 。 此 处 可 以 加 上 一 个 带 “ ” 的 虚 态 矢 1/2 ( !)0 n nna ，则热真空态是 1 2 01exp exp0,0 2 ea a （1.8） 式中 a是虚 fock 空间中的产生算符，满足 ,1,00a aa 。 从双模真空态0,0到热真空态0的变换可以仿照双模压缩算符形式而 引入“热压缩”算符来实现此变换： exp,0,00.sa aaas （1.9） 不难看出，它同样具有类似于 bogoliubov 转换的形式 1 1 coshsinh , coshsinh , sa saa sa saa 所以压缩参量与热力学中参量的关系可以从要求哈密顿量h在热真空的期 望值与玻色统计分布所求值的一致性导出，即 1 001,a ae （1.10） 上式左边应用压缩转换（1.9）式，得到 2 0,0coshsinhsinhcosh0,0sinhaaaa （1.11） 把（1.11）式与（1.10）式做对比，可定义 1 2 sinh1, tanhexp. 2 e kt （1.12） 令 coshsinhaaa ，则由 ,a aa aa aaa （1.13） exp,sa aa as （1.14） 可知 （1.9）式的逆变换形式为 1 coshsinhasa saa （1.15） 可以由物理角度解释（1.15）式：所研究的系统吸收外界能量而产生量子（由产 生算符 a代表） ，其过程包含两种方式：1、吸收能量后直接造成了量子的激发， 第 1 章 绪论 4 以产生算符 a为代表；2、吸收能量后消灭热库环境中的粒子空穴，以湮灭算符 a表示。因此我们可引进对易算符aa与 a aa a的共同本征态，并称之为热不 变相干态。当系统处于此量子态，消灭系统一个量子，而同时除掉热库环境中的 一个负能空穴，则总能量值保持不变，所以在热平衡时的此态可用于研究热场动 力学相关问题。 1.2.2 热纠缠态表象6-11 热真空态 0在极端高温下的极限是 0 exp0,0, n a an ni （1.16） 以平移算符 d作用于（1.16） ，得 2 * 1 exp0,0, 2 diaaa a （1.17） 从 epr 纠缠态的角度来看， （1.17）式所得也是一个纠缠态，也称为热纠缠态或 者相干热态。相应前面（1.8）式引入的热压缩算符 s在热纠缠态表象内 有很自然的表示： 2 2 1 tanh , 1tanh d s （1.18） 热纠缠态表象的正交完备性为 2 * 1, d （1.19） 定义平移算符 * expdaa，则也可以写成 * di （1.20） 可见的引入使热算符 s有了一个自然的表示。当自由玻色热场的温度t改 变时，参数也随之改变，这反映出改变后动力学哈密顿量可以借助于表象 导 出 。 在 初 始 时 刻0t ， 温 度t极 高 ， 但 当 温 度 逐 渐 降 低 时 ， 0 1 | tt tt ， 令 st 为相应的时间演化算符， 则可根据 （1.18） 式得到 第 1 章 绪论 5 2 , 1tanh , tanhexp, 1tanh2 d st tt t tt tkt t （1.21） 对（1.21）式两边对时间变量t求导，得 ,sta aaa st tt （1.22） 其中 1 /2 2 1. 2 ktkt t ee tktt （1.23） 利用时间演化算符的性质，在相互作用表象中 st 应满足薛定谔方程，即 , ip ht stist t （1.24） . oo ihtihti ti t ip htei a a eaaee t （1.25） 由此可见，影响温度演化的哈密顿量是 . i ti t ha ai a a eaae t （1.26） 以上讨论说明在热纠缠态表象内，所谓“热自由度” a和a与“正常自由度” a和a是同时相伴出现的，在这中情形下，我们可见的确也是一种纠缠态， 它是所研究的系统处于热库中相互作用的必然结果。 1.3 密度矩阵在热纠缠态表象中的表示 本节主要讨论如何利用热纠缠态表象来讨论密度矩阵的相关问题。由前 面扩大的希尔伯特空间，可以研究密度矩阵在表象中的表示。可以证明 满足下面的关系： ,aa （1.27） * .aa （1.28） 而且 ,aa aa满足对易关系 ,0aa aa ，所以是是 ,aa aa的共 同本征态。 第 1 章 绪论 6 当0时，有0i， ,a ia ia ia i （1.29） 因此，根据任意算符在原 fock 空间中可展开为 , ,0 , mn n m n m aaaa 所以密度算符 展开式可写为 , ,0 , mn n m n m aa （1.30） 定义 i （1.31） 将（1.23）代入（1.24） ，则有 , ,0,0 * , ,0 mnnm n mn m n mn m mn n m n m aaia ai aai （1.32） 对系统的密度算符引入一种“”算符运算（或者“算符操作” ） ，它把 ,aa aa，并且把c定义为c数的复共轭，那么对照（1.31）式， （1.32） 式可以写为 i （1.33） 现在可把系统的任一算符a的系综热平均热力学表示改写成a在扩大的希尔伯 特空间中的两个纯态之间的矩阵元 , 0,0 ,0 , n m nn m n m atr an ann am n n am mi a （1.34） 式中是一个双模纯态密度算符（其中包含虚模） 。例如，纯真空态密度矩阵为 0 0，引入虚模后为 ,0 00 0 0,00,0 . n nn n nn （1.35） 以下我们可以计算和的内积形式，它的形式将有利于解量子主方程 等问题。例如，当是一个纯相干态密度矩阵时， 第 1 章 绪论 7 * * * * 0 0 0 0 0 0 0,0 , iddi ddi ddi dd （1.36） 所以 * , ，式中 2 *1* exp20 ，而且由本征方程（1.20） 得 * * exp exp. ddaaaa （1.37） 由（1.20）式和（1.37）式，得 * * 2 * 0,0 0,0exp0,0 1 exp, 2 dd dd （1.38） （1.38）式结果为高斯函数形式。显然，当 * 1 时，相应的扩展空间中 态矢 * 1 , , 它在表象中的表示为 222 * 1 1 exp 2 （1.39） 特别当时，上式回到（1.38）式。对于热相干态的密度矩阵 1, 1 ,1, a a eded kt 热 （1.40） 其迹为 11, a a tretre 热 （1.41） 且有 * . a a a a a a dedi ddei ei 热 （1-e） （1-e） （1-e）e （1.42） 第 1 章 绪论 8 为了计算上式右边的矩阵元，注意到应用（1.16）式，有 2 1 0,0exptanh0,00,0 , cosh d sa a （1.43） 故而 2 2 2 exp0,0cosh0,0 , 1tanh tanh1,. 1tanh a a d eiea a e （1.44） 于是 2 2 2 (2) 2 cosh0,0 1 coshexp 2 11 1 exp. 12 1 a a d ei d e ee （1.45） 将（1.45）式代入（1.42）式，得 2 * 1 expcoth 22 热 （1.46） 可见在热纠缠态表象中，热在的投影 热 呈现出高斯函数形式。 注意到 111 coth 222 n ，其中 1 1ne 是在热真空态情况下光子平均数。 当温度极低时，即0,0tn ，从（1.46）式可见 * exp 热 代 表一个相干态，而无热噪声。 下面分析一个比较复杂的例子，压缩平移热混沌态的密度矩阵的情况 2 1 a a eds z esz d （1.47） 式中 2 *2 1 exp 2 s zz aza是单模压缩算符， i zre 。由（1.37）式与（1.47） 式可知， 2 在表象中的表示为 * 2 2 * 1* 1exp, a a a a edds z s zei d es z s zei （1.48） 式中 第 1 章 绪论 9 * * (2)* coshsinh coshsinh i i s z s zs z s zdi s z dszidreri rer （1.49） 代回（1.48）式，并由（1.47）式得 * 2 2 22 2 * 1 coshsinhexp 2 1 1 expcothcoshsinh, 22 i i e edrer e rer （1.50） 其形式也是高斯函数。 1.4 的应用 前面计算了真相干态、压缩热相干态等密度矩阵的 形式，下面我们 给出其几点应用。首先，可以用来计算任意算符a的系综平均。不失一般，取 , ,0 mn m n n m aga a （1.51） 根据算符a的系综平均，可以写成形为 ai a （1.52） 的形式，引入相干态完备性及 * ,i ，得 2 , , 2 * , , 2 2* , , 2 2 2* , , 2 0 * , exp 2 ,exp|, 2 mn n m n m mn n m n m mn n m n m mn n m n m d aigaa d gi d gd d gd a （1.53） 所以算符a的系综平均换成了（1.53）式右边微商运算形式。例如，当取压缩 热相干态的密度矩阵（1.47）式，粒子数的起伏为 第 1 章 绪论 10 222 222 0 22 21|4 coshsinh 1 coshsinh, t nnnnnnrr n nrr （1.54） 式中 1 1,ne 而 2 0 |tn 表示当0t 时的均方差，即粒子数处于绝对零 度时压缩态的起伏 2 2 *22 0 |coshsinh2coshsinh. i t nara errr （1.55） 在热场理论中，曾引入了一个广义的q表示： 1 , ,1 a a qetrded 。 利用（1.54）和（1.40） ，可知 2 2 2 * ,1 1 1 exp, 2 a a a a qi dede d ei ded d n （1.56） 式中 111 coth 222 n。另一方面，定义广义的p表示为 2 , ,1 a a d pdede （1.57） 在表象中 2 2 * , ,expcoth, 22 d ip （1.58） 由此导出 * 2 2 expcoth, ,. 22 d ipe （1.59） 把它看做傅氏变换，则其反傅氏变换是 2 2 * 1 , ,exp 2 d pn （1.60） （1.56）与（1.60）是用 分别求出广义q表示与广义p表示的表达式。另 外，我们还可以研究 wigner 函数的计算： 第 1 章 绪论 11 wtr （1.61） 式中 wigner 算符的显式是 1 2( 1)a ad （1.62） 用热场动力学的方法， （1.61）是可以改写为 ,0 ,( ), 111 02( 1)2( 1)2, n m a aa a wn nm m d （1.63） 式中 2 * 1 0,0exp0,0 , 2 a a deaaa a （1.64） 它是的共轭态： 1|,1| a aa a （1.65） （1.63）式是求 wigner 函数的新方法，它无需用系综平均，而代之以求两个纯 态之间的内积，这是引入热纠缠态的另一优点。 在量子光学中，人们曾引入相空间分布函数 ( )* 1 , s str （1.66） 来描述量子算符期望值的演化，其中 ( )s 是广义 wigner 算符： 2 2 ( )* 1 ,exp. 2 s d ds （1.67） 特别当 1 2 s 时，它就是 wigner 算符。在扩大的希尔伯特空间中， ( )* 1 , s si （1.68） 把（1.67）式代入（1.68） ，得 2 2* 2 11 ,exp. 2 sds （1.69） 综上所述，我们在热场动力学研究中由于引入了热纠缠态表象，对于量子光场的 相空间函数计算以及将量子主方程的求解转换为经典的 c 数方程求解都提供了 新的计算途径，在有些具体问题上表现的物理意义更加明确，这或许是因为在热 第 1 章 绪论 12 场动力学中存在“虚构自由度”的原因，而其本身就是“系统”与“热库”相互 纠缠的体系。因此，我们相信纠缠态表象理论可以在热场动力学中有更加广泛的 应用。 1.5 内容简介 本文我们将充分利用热纠缠态表象和有序算符的内积分技术来求解相关的 量子主方程。具体章节安排内容如下： 第二章，我们首先简要地介绍了粒子数态和二项式分布态，然后研究初始的 纯粒子数态通过振幅衰减通道如何演化为二项式分布态（混态） ，同时利用纠缠 态表象可以便捷地求解相应的主方程，得到密度算符的算符求和形式。 第三章，我们在引入压缩混沌场（混态）的基础上，分析了此态如何在振幅 振幅耗散通道中演化。我们同时证明了演化的密度算符 t处于高斯二次型， 并通过相应的 q 函数显示耗散过程。 第四章，我们构造了非线性主方程 1 2 1 d kf n aaa a dtf n ， 其中f n是 na a的算符函数。为了求解此方程，我们引入非线性双模纠缠 态表象，从而得出密度算符的无限求和的 kraus 形式。同时，我们发现非线性的 通道中， 当 1 1 f n n 时， 初态的粒子数态 （纯态） 演化为二项式态 （混态） 。 第五章，我们研究了双模主方程的求解。首先利用热纠缠态表象进行分析， 然后我们引入新的三模热纠缠态表象来描述振幅衰减通道。通过求解此主方程， 得出相应密度算符无限求和的 kraus 形式。 第六章，我们将上面的研究方法进行了推广，深入分析各种量子主方程在利 用热纠缠态表象求解时的规律，从而便于以后应用与发展纠缠表象方法。 总之， 我们通过热纠缠态表象来处理密度算符在不同量子通道中随时间的演 化，得出的相应结论能够更好地帮助我们直接理解内在（量子纠缠）的退相干现 象。利用热纠缠态表象，我们也可以将用离散算符求和描述量子通道推广到连续 算符求和形式。在整个讨论中，我们充分利用了有序算符的内积分技术（iwop） 来处理关于左右矢算符的积分问题。 第 1 章 绪论 13 参考文献 1 fan hong-yi and fan yue, phys. lett. a 282(2001)269. 2fan hong-yi and hu li-yun,opt. commun. (2008),doi:10.1016/j.optcom.2008.08.002. 3 fan hong-yi and lu hai-liang, mod.phys.lett.b 21(2007)183.