（通信与信息系统专业论文）基于混沌理论的微弱信号检测方法研究.pdf

华北电力人学硕十学位论文摘要 摘要 本论文利用混沌振子的初值敏感性和对噪声的免疫力检测微弱信号，分析 了d u f f i n g 方程的基本形式以及d u f f i n g 振子的混沌运动，阐述了基于相平面 变化进行微弱信号检测的工作原理，并推导出系统发生问歇混沌现象的频差条 件和相位差对于系统特性的影响。文章给出了适合于检测微弱正弦信号、方波 信号和任意周期信号的仿真模型，随后利用此模型进行一系列仿真实验：提出 改进的频率、相位、幅值检测方法。最后，本文阐述了相关检测的原理以及将 相关检测和混沌理论相结合检测微弱正弦周期信号的新方法，同时给出了原理 框图、试验模型和仿真试验结果。 关键词：微弱信号检测，d u f f i n g 振子，信噪比，问歇混沌，相关 a b s t r a c t t h ew e a ks i g n a lc a nb ed e t e c t e db yc h a o t i co s c i l l a t o ro w i n gt oi t sp r o p e r t y o fs e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lc o n d i t i o n sa n do fi m m u n i t yf r o mn o i s e t h i s p a p e ra n a l y z e st h eb a s i cf o r mo fd u f f i n ge q u a t i o na n dt h ec h a o t i cm o t i o no ft h e d u f f i n go s c i l l a t o r ，a n dt h e nd e s c r i b e st h ep r i n c i p l eo fw e a ks i g n a l d e t e c t i o n b a s e do nt h ec h a n g eo fp h a s et r a c e t h ef r e q u e n c yd i f f e r e n c ec o n d i t i o no ft h e i n t e r m i t t e n tc h a o sh a p p e n i n ga n dt h ee f f e c t o fp h a s ed i f f e r e n c eo ns y s t e m p e r f o r m a n c ea r ed e d u c e d t h es i m u l a t i o nm o d e la p p l i c a b l et os i g n a ld e t e c t i o n o fs i n ew a v e ，s q u a r ew a v ea n da r b i t r a r yp e r i o d i cs i g n a l si sg i v e n a f t e r w a r d s ， w i t ht h e s em o d e l s ，l o t so fs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa r ed o n e i m p r o v e dm e t h o d s t od e t e c tf r e q u e n c y , p h a s ea n da m p l i t u d ea r ep u tf o r w a r d f i n a l l y ，t h ep r i n c i p l e o fc o r r e l a t i o nd e t e c t i o na n dn e wm e t h o d sf o rw e a ks i g n a ld e t e c t i o nb a s e do n c o m b i n i n gc o r r e l a t i o nf u n c t i o nw i t hc h a o st h e o r ya r ei n t r o d u c e d ；s i m u l a t i o n m o d e l ，f r a m ed i a g r a ma n ds i m u l a t i o nr e s u l t sa r eg i v e n l i ul i ( c o m m u n i c a t i o na n di n f o r m a t i o ns y s t e m ) d i r e c t e db yp r o fs u n1 u n k e yw o r d s ：w e a ks i g n a ld e t e c t i o n ，d u f f i n go s c i l l a t o r , s i g n a lt on o i s er a t i o ( s n r ) ，i n t e r m i t t e n t c h a o s ，c o r r e l a t i o n 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基予混沌理论的微弱信号检测 方法研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 未睦 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文：学校可允许学位论文被查阅或借阅： 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：章：l 垒导师签名： 华北电力大学硕士学位论文 1 1 本课题的选题意义 第一章引言 1 1 1 微弱信号检测技术研究的意义 微弱信号检测技术是一门新兴的技术学科，它运用近年来迅速发展起来的电子 学、信息论和物理学方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号和噪声的统 计特性及其差别，采用一系列信号处理方法，达到检测被背景噪声覆盖的微弱信号。 其宗旨是研究如何从强噪声中提取有用信号，其任务是研究新理论，探索新方法， 研制新设备，从而在各学科领域中获得广泛应用。 研究噪声中微弱信号检测的原理及方法，是测量技术中的综合技术和尖端领 域。运用这种技术可以测量到传统观念认为不能测量的微弱量，使微弱信号测量精 度得到很大的提高。因此，它是发展高新技术、探索及发现新的自然规律的重要测 量手段，对推动科技和生产发展均有重要应用价值【“。 随着微弱信号检测方法在物理、化学、生物医学、地质、磁学等各领域中的广 泛应用，一些具有普遍应用价值的方法，已逐渐制成一系列微弱信号检测仪器，并 商品化生产j 。 古典的检测微弱信号的压缩带宽法在抑制噪声的同时有用信号也基本丧失，是 一种两败俱伤的方法；相关法输出的信号只是代表微弱信号的幅值和相位信息的直 流电压，波形无法恢复；信号转换法的相关运算不能保证输入波形的唯一性i3 0 】。 微弱信号由于其幅值极小，测量时又受传感器和测量仪器本地噪声的限制，表 现出的总体效果都是有用的被测信号被多种强信号所淹没，从而很难测出，故而需 要一种办法，既能将强噪声背景下的弱信号提取出来，同时也能将噪声信号抑制下 去。因此本文的目的，就是将混沌理论与微弱信号检测理论相结合，从噪声中提取 微弱周期信号，并测量其参数。本文提出一种利用d u f f i n g 混沌振子检测微弱信号 的方法，并初步分析将此法与相关检测相结合共同用于微弱信号检测。 1 1 2 混沌的实际应用和现实研究价值 混沌学对现代科学的发展具有广泛而深远的影响，几乎涵盖了一切科学领域， 尤其是在物理学、天体力学、力学、流体力学、数学、经济学、生物学等方面【3 4 , 6 5 , 6 6 。 混沌首先是一种数学，其次是一种物理学，再次才是一门多学科交叉的科学。 现代数学使混沌成为严密的科学，同时混沌的研究也成了现代数学发展的重要动力 l 华北电力火学硕士学位论文 【3 5 l 。 近十多年来，混沌理论的应用探索研究已经逐步深入到医学、生态学、保密通 信、地震学j 电子对抗、信号检测等许多领域f 3 6 。3 引。特别是混沌同步与混沌控制的 研究发展较快，极大地带动了混沌理论与应用的研究。在保密通信中，我们可以利 用混沌现象在时间上、空间上及功能上的多样性作为特殊的信息源，用于信息存储 及通讯等目的，也可作为特殊的信号发生器产生有用的同期信号【3 。目前，混沌在 保密通讯中的应用问题依然是一个热点问题。 混沌理论应用于信息处理是现阶段混沌学发展的主要趋势。混沌系统对小信号 极强的敏感性以及对噪声的强免疫能力，使它在微弱信号检测中有着十分广阔的前 景。基于混沌的信号检测可分为三类：一是检测混沌信号，即从噪声背景中提取混 沌，现在已经建立起来一些比较好的方法，比如基于相关维、最大李雅普诺夫指数 法，l i d 法，重嵌入法，小波方法等等。二是抑制混沌中的噪声，即混沌和噪声分 离问题。混沌虽然是确定的，但在表面上与噪声无多大区别，传统的去噪滤波方法 是不能分离混沌信号的，所以抑制混沌中的噪声必须采用新的技术，如j d f a r m e r 方法、w i l l i a m s 方法、r c a w l e y 方法、h l e u n g 方法等等，比较成功地解决了混沌 和噪声的分离问题。三是检测有用信号，即利用混沌的特性对有用信号进行提取或 者检测混沌和噪声背景下的有用信号，这方面比较成功的方法是基于混沌振子相变 的方法和基于神经网络的方法，这些方法只是解决了一小部分微弱信号( 此类信号 通常限定了许多条件) 检测的问题，而对于任意的微弱信号来说，现在还不存在一 套系统的、完整的理论和方法能够将其检测出来【3 1 j 。 由于混沌系统在诸多科学技术领域中的广泛的应用，从而成为近代非线性科学 中广为研究的领域之一，特别是混沌控制的研究已经取得了一些成就。 这个世界本质上是非线性的。由于受到认识事物能力的限制同时也为了认识问 题的方便，人们往往喜欢将非线性的事物和模型用线性模型来近似，这在一定程度 上就限制了认识事物的深度，有时还有可能得出错误的结论。这是因为，有些场合 下，线性化的结果受非线性因素的影响变得相当不准确，甚至有的运动规律和消长 关系不可能用线性方程来描述，线性化后的系统根本就失去了本来面目。而利用非 线性的混沌理论和方法来认识事物，首先在本质上就和这个世界很接近，自然具有 一种亲和力，所以认识到的运动规律就更接近事物的本质，能探测到事物一些被线 性表象所掩盖了的非线性真面目。 因此，研究混沌理论在微弱信号检测方面的方法和实践，具有划时代的意义， 它开辟了混沌理论新的应用领域，尝试将科学理论和工程应用进行有效的结合，这 不仅为混沌理论的发展提供了一个新的研究方向和分支，同时也为工程实践提供了 一个新的理论基础和支持。 2 华北电力入学硕十学位论立 1 2 本课题的研究现状 自从1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 通过对大气对流运动的实验研究。提出了一组 耦合非线性微分方程( 后来被称为l o r e n z 奇异吸引子) 柬描述混沌过程以后，许多 来自不同学科的科学家和工程师都对涡沌现象表现了极大的兴趣。从开始的对混沌 现象的定性研究，到后来f e i g e n b a u m 发现普适常数之后，又进入到定量分析阶段。 经过多年的研究，将混沌理论应用在一些其它领域，例如混沌控制，图像压缩，保 密通信，市场预测，信号检测等。特别地是，混沌理论用于信号检测是2 0 世纪9 0 年 代刚兴起的一个崭新的研究领域。 混沌理论与微弱信号检测理论结合，从噪声中提取微弱正弦信号的方法b b 在 1 9 9 2 年作了一定的工作1 3 1 ，但只显示了一些实验结果。在原理上并未深入探讨。1 9 9 5 年h a y k i n 利用人工神经网络方法研究了混沌噪声背景下的e l 标小信号的提取【2 ”。 l e u n g 在1 9 9 6 年利用m p s v 方法研究了混沌通信系统中信号的提取。国内，浙 汀大学的王冠宇等人在对d u f f i n g 振子信号检测方法在频率测量方面做了初步的研 究工作后，又利用统计原理对幅值和相位的检测进行了研究”“j ，但仍处于探索阶 段，他同时利用混沌振子的阵发混沌现象检测超声信号的频率 5 , 1 1 1 ，并指出了混沌 振予检测系统具有很高的信噪改善比。吉林大学的李月老师提出在色噪声背景下n v 绒一弦信号、方波信号、周期脉冲信号的混沌测量方案，取得了令人瞩目的成果l ”j i 长春大学的聂春燕老师提出混沌与自相关方法和互相关相结合的方案lz 4 , 1 5 1 ，此方案 切实可行，有一定的实用价值，但是实验检测门限精度不够。北京师范大学的裴留 庆等人在对混沌同步系统频率特性的研究基础上，指出其各个频段具有不同的信息 处理功能，其中一个频段对输入信号具有放大功能，并用来检测噪声中的正弦信号 f j 。华中理工大学的何建华、杨宗凯等人将混沌理论和神经网络结合起来用于探测 淹没在混沌噪声中的瞬态水下激光目标信号【l 同时也指出了白噪声对其检测系统 的影响较大。河北工业大学的吕志民等人利用混沌信号检测原理对轴承进行故障诊 断即检测某一频率信号的存在【4 。燕山大学的姜万录、张淑清等人利用混沌系统 的阵发现象来进行齿轮的故障诊断1 4 ”。西安交通大学的赵向阳等人基于d u f f i n g 方 程参数敏感性提取谐振型传感器的频率取得一定成果，并提出了柔性测量的概念 1 2 1 。目前，这些方法大都是将d u f f i n g 振子应用在周期信号频率的测量上。但到现 在为止，利用混沌检测系统，还投有一种很好的测量幅值和相位的方法。 1 3 本文的主要研究工作 围绕d u f f i n g 方程，本论文对混沌特性判别和d u f f i n g 混沌振子对各种微弱信号 的检测做了比较全面的仿真研究，深入研究混沌判掘，为混沌检测提供理论依据； 的检测做了比较全面的仿真研究，深入研究混沌判据，为混沌检测提供理论依据； 3 华北电力入学硕士学位论文 1 2 本课题的研究现状 自从1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 通过对大气对流运动的实验研究，提出了一组 耦合非线性微分方程( 后来被称为l o r e n z 奇异吸引子) 柬描述混沌过程以后，许多 来自不同学科的科学家和工程师都对混沌现象表现了极大的兴趣。从开始的对混沌 现象的定性研究，到后来f e i g e n b a u m 发现普适常数之后，又进入到定量分析阶段。 经过多年的研究，将混沌理论应用在一些其它领域，例如混沌控制，图像压缩，保 密通信，市场预测，信号检测等。特别地是，混沌理论用于信号检测是2 0 世纪9 0 年 代刚兴起的一个崭新的研究领域。 混沌理论与微弱信号检测理论结合，从噪声中提取微弱正弦信号的方法b i r x 在 1 9 9 2 年作了一定的工作1 3 l ，但只显示了一些实验结果，在原理上并未深入探讨。1 9 9 5 年h a y k i n 利用人工神经网络方法研究了混沌噪声背景下的目标小信号的提取1 2 7 】。 l e u n g 在1 9 9 6 年利用m p s v 方法研究了混沌通信系统中信号的提取1 2 4 | 。国内，浙 江大学的王冠宇等人在对d u f f i n g 振子信号检测方法在频率测量方面做了初步的研 究工作后，又利用统计原理对幅值和相位的检测进行了研究1 2 2 , 2 3j ，但仍处于探索阶 段。他同时利用混沌振子的阵发混沌现象检测超声信号的频率f 5 1 ”j ，并指出了混沌 振子检测系统具有很高的信噪改善比。吉林大学的李月老师提出在色噪声背景下n v 级f 弦信号、方波信号、周期脉冲信号的混沌测量方案，耿得了令人瞩目的成果1 2 8 】； 长春大学的聂春燕老师提出混沌与白相关方法和互相关相结合的方案1 1 4 , 1 5 】，此方案 切实可行，有一定的实用价值，但是实验检测门限精度不够。北京师范大学的裴留 庆等人在对混沌同步系统频率特性的研究基础上，指出其各个频段具有不同的信息 处理功能其中一个频段对输入信号具有放大功能，并用来检测噪声中的正弦信号 j ”。华中理工大学的何建华、杨宗凯等人将混沌理论和神经网络结合起来用于探测 淹没在混沌噪声中的瞬态水下激光目标信号【”i ，同时也指出了白噪声对其检测系统 的影响较大。河北工业大学的吕志民等人利用混沌信号检测原理对轴承进行故障诊 断，即检测某一频率信号的存在【4 0 】。燕山大学的姜万录、张淑清等人利用混沌系统 的阵发现象来进行齿轮的故障诊断1 4 ”。西安交通大学的赵向阳等人基于d u f f i n g 方 程参数敏感性提取谐振型传感器的频率取得一定成果，并提出了柔性测量的概念 | 1 2 】。目前，这些方法大都是将d u f f i n g 振子应用在周期信号频率的测量上。但到现 在为止，利用混沌检测系统，还没有一种很好的测量幅值和相位的方法。 1 3 本文的主要研究工作 围绕d u f f i n g 方程，本论文对混沌特性判别和d u f f i n g 混沌振子对各种微弱信号 的检测做了比较全面的仿真研究，深入研究混沌判据，为混沌检测提供理论依据； 3 华北电力大学硕士学位论文 同时着重对微弱正弦信号的频差、相差对系统检测特性的影响做了深入分析：并对 周期信号参数检测的方法给出改进和优化，提高了测量精度。最后研究了把两种相 关技术和d u f f i n g 混沌振子结合检测微弱信号的方法。 第一章介绍了本课题的研究意义和国内外相关研究的发展情况，第二章介绍了 微弱信号检测的传统方法和发展趋势以及混沌的基本概念。 第三章研究了基于d u f f i n g 混沌振子的微弱信号检测原理，分析了d u f f i n g 方程 的相态变化，并从理论上给出了系统检测各种周期信号时存在混沌解的依据；同时 阐释了混沌振子对噪声的免疫力以及噪声对系统原有运行轨迹的影响。这些理论分 析为下面的仿真实验提供理论依据。 第四章是本文的重点，本章对d u f f i n g 混沌振子检测微弱正弦信号进行了探讨， 在给出了计算机仿真模型的基础上，分析了正弦信号的各种不同情况对系统检测性 能的影响，并给出了系列的仿真实验数据。本章又提出改进的频率、相位、幅值 检测方法，研究了在色噪声背景下混沌系统检测正弦信号的性能，而且对背景噪声 的影响做了分析。 第五章对d u f f i n g 混沌振子检测任意微弱周期信号进行研究，着重讨论了微弱 方波信号的混沌判据的实用公式和在各种背景下系统对方波信号的检测结果；同时 也给出了检测任意周期信号的两种方法：对离散信号的检测也做了初步分析实验。 第六章将d u f f i n g 混沌振子与相关检测相结合共同用于微弱信号检测，在讨论 自相关和互相关理论的基础上，证明了此方法的可行性，提出了这两种检测方法的 幅值测量公式，并对应用结果进行了分析比较。 最后一章总结了本论文所作工作并作出了总结。 华北电力人学硕士学位论文 第二章微弱信号检测的进展和混沌理论概述 2 1 微弱信号检测的方法和存在的问题 噪声中微弱信号的检测方法，主要有如下几种： ( 1 ) 噪声中信号波形的恢复( 滤波) 被噪声污染的信号波形恢复称为滤波这是信号处理中经常采用的主要方法之 ，具有十分重要的应用价值。 常用的电容、电感等分立滤波元件，对于随机信号中的噪声，不可能完全滤掉， 使信号波形不失真恢复。维纳线性滤波理论就是一种在最小均方误差准则下的最佳 滤波方法，但是电路实现困难，从而在此基础上发展出一种基于状态空间方法的最 佳线性递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。它特别适用于离散时间系列的实时滤波， 在自动控制领域有很重要作用。维纳滤波理论的另一发展方向是自适应滤波，它可 以自动调节参数，几乎不需要关于信号和噪声的先验统计知识。因此，目前在模式 识别、通信信道的自适应均衡、生物医学信号中周期干扰消除等方面均有重要作用。 ( 2 ) 噪声中的信号判决 噪声中的信号判决主要解决在干扰噪声中发现或分辨微弱信号的问题。这类问 题主要采用时域中的统计检验方法，主要问题是要减小出错概率，因此要研究最佳 的判决准则，使得在某种“最佳”的意义下带来的平均风险最小。信号判决实现的电 路主要有互相关器和匹配滤波器。 ( 3 ) 噪声中的信号参量估计 噪声中的信号参量估计解决的是噪声中信号未知参量的测量问题，这属于参量 估值的范畴。由于样本容量有限，估计值与真实值之间必然存在误差，如何使误差 达到某种意义下最小，是信号的参量估值理论要解决的问题。 ( 4 ) 噪声中的信号谱估计 当被估计的信号中含有观测噪声时，如何有效地改进，以减小噪声对信号谱估 计的影响，从而实现从噪声中检测微弱信号的功率谱，是噪声中的信号谱估计主要 研究的问题。 目前常见的微弱信号检测仪器有低噪声放大器，锁定放大器，取样积分器和光 子计数器【2 , 3 0 1 。 2 2 微弱信号检测的发展趋势 5 华北电力人学硕士学位论文 微弱信号检测方法是根据不同的信号和噪声，采取不同的方法。目前尚有许多 类型的信号，要研究新的、更好的弱信号检测方法。故弱信号检测技术，还将不断 发展和开拓。 理论方面，目前可望得到的结果有：噪声理论和模型及其克服途径：应用功率 谱方法解决单次信号的捕获；少量积累平均，而极大改善信噪比的方法；快速瞬变 的处理；对低占空比信号的再现：测量时问的减少以及随机信号的平均等。 仪器和技术方面，我们要不断改善传感器的噪声等特性，要针对新的方案，设 计新的弱信号检测仪器和对原有仪器加以改进。许多弱检测技术是既相独立，又密 切相关，如能互相联系起来，可将检测水平提高到一个新的高度【4 ”。 2 3 混沌的基本概念和特点 2 3 1 混沌的基本概念 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式，通常我们认为混 沌特指确定论系统中的内在随机行为，即不是由随机性外因引起的，而是由确定性 方程( 内因) 直接得到的具有随机性的运动状念叫混沌。非线性不一定都包含混沌， 但任何混沌系统必然是非线性的。混沌的存在，不仅与系统的非线性特性( 非线性 方程的形式) 有关。而且还与方程中的参数数值有关，因此混沌的存在往往与非线 性系统的分叉相联系。混沌是既普遍存在又极其复杂的现象，它的“定常状态”不 是通常概念下确定性运动的三种定常状态：静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动， 而是一种始终限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动【1 6 , 4 , 3 】。 2 3 2 混沌的特点 为了与概率性的随机行为相区别，我们应该明确混沌行为的特征【4 5 】： a 、系统的动力学以确定论为基础，而且必须含有非线性项。 b 、没有特意引进= 5 l - ：j n 噪声。尽管实际系统不可避免的有噪声影响，但系统让 我们为之感兴趣的复杂行为在本质上不是由噪声引起的。 c 、系统单个地运动轨道敏感的依赖初始条件，从而系统的长期行为具有不可预 测性。 d 、系统长期行为的某些全局特征却与初始条件无关。 e 、具有一定的普遍适用性。 6 华北电力大学硕士学位论文 第三章基于d u f f i n g 混沌振子的微弱信号检测原理 3 1 关于混沌振子( d u f f i n g ) 方程的分析 对于一个非线性动力系统，其参数的摄动有时会引起周期解发生本质的变化， 著名的d u f f i n g 方程构成的非线性系统同样具有此特点。 d u f f i n g 方程在非线性动力学系统的研究中占有重要的地位，迄今对其研究方兴 未艾【6 0 “1 。广义d u f f i n g 方程的特点之一是在d u f f i n g 方程等号右边加上了外加强迫 项，正由于系统的本征频率与外加周期强迫项的频率相互作用，使得在该方程中， 蕴涵着及其丰富的内容。 现在采用h o l m e s 型简化d u f f i n g 方程为例，它的一般形式如( 1 ) 式所示： 七”( f ) + k x ( f ) 一x ( f ) + z3 ( f ) = ，。c o s 【f ) ( 3 1 ) 其中f c o s ( ) 为周期策动力，k 为阻尼比，一z ( f ) + 工3 ( f ) 为非线性恢复力。在k 固 定的情况下，系统状态随f 的变化出现有规律的变化，具体分析如下【2 5 , 4 3 1 ； ( 1 ) f ：0 t 对，相平面上鞍点为( 0 ，0 ) ，焦点为( 1 ，o ) 和( 一1 ，0 ) 。点( x ，x ) 随初始条件不 同最终将收敛于两焦点之一。如图1 ( a ) 、( b ) 所示。 ( 2 ) 当策动力f 不为o 时，系统表现为复杂的动力学形态，具体分为以下几种情 况。 当f 较小时，相轨迹表现为吸引子，系统行为表现为围绕非线性系统两稳定焦点 之一的衰减周期振荡。图2 ( a ) ，图2 ( b ) 所示分别为f - - - - o 1 时，焦点在( 1 ，0 ) 时x ，y 的 时域输出。 图1 0 ) 焦点为( 1 ，o ) 的相图 图l ( b ) 焦点为( 一1 ，0 ) 的相图 当f 超过一定阈值，c 时，将出现同宿轨道。如图3 所示。并且随着f 增大，出现周 期倍化分叉，如图4 所示。紧接着进入混沌状态，如图5 所示。这一过程随着f 的变化 非常迅速。而且庄很大范围罩，系统都处于混沌状态。当f 为另一个闽值l 时，系 7 华北电力人学硕士学位论文 统处于由混沌转为周期运动的临界状态，如图6 所示。当f 大于闽值力时，系统进入 大尺度的周期运动状态，如图7 所示。此时相轨迹将焦点、鞍点统统围住。 图2 ( a ) x 的时域输出 图2 ( b ) y 的时域输出 8 图4 ( b ) 周期分叉的相幽 图5 ( b ) 混沌状态的相图 华北电力人学硕士学位论文 2 l5 l n 5 0 n 5 1 1 5 15 1 晒 0 也5 1 15 0 郊柏釉印 图6 ( a 1 临界周期状态的时域输出 蜘 j ：j 7 ( a ) 稳定周期状态时域输出 图7 ( b ) 稳定周期状态的相图 3 2 混沌特性的判据分析 我们运用混沌理论与弱信号检测理论相结合检测微弱j 下弦信号，但仿真实验中 出现的问题是，如果系统输出为混沌状态，但仿真时间较短，很容易发生误判，即 把仿真较短时间内出现的状态认为是系统的最终状态，而随着仿真时间的延长，最 终的状态为混沌状态。因此，把本来是混沌状态而判断为其它状态，则检测结果出 错：如果系统输出本来就是稳定周期运动，也需要依靠非常长的仿真时间，最终证 明输出是稳定状态。显然，利用计算机仿真必须经过长时间的观察，这种通过观察 的判别方法显然效率太低。因此我们推出一种混沌判据，可以很方便快捷地了解系 统输出状态是混沌状态，还是稳定周期运动状态。同时对判掘进行讨论，并进一步 推导出适用于任意周期信号的混沌解判据。 3 2 1 常用的混沌判据与准则 利用混沌系统检测微弱信号的前提是确定该系统是混沌的，这就涉及到混沌判 别的问题。又由于微弱信号混沌检测的主要依据是系统状态的变化，检测的主要问 题是对系统是否处于混沌态的判别，因此混沌判别问题成为微弱信号混沌检测中的 一个重要内容。 9 华北电力人学硕士学位论文 从混沌理论出现以来，便有许多学者致力于研究混沌的判别问题。然而到目前 为止，还不存在一个普适性的混沌判别方法，下面介绍几种方法，可作为混沌的准 则与判据1 44 1 。 3 2 1 1 直观分析法 所谓直观方法，就是仅通过对被分析信号的时域或频域特征曲线的观察，直观 地确定混沌存在与否。该类方法是基于从理论上对混沌的认识，采用实验的手段来 观察混沌现象，故相对简单、直观，不需复杂的计算。 1 时间历程法 又称波形图法，即画出系统动力学行为的时间曲线图，该图形反映了运动轨迹 随时问的变化规律。为了准确反映系统长期的运动状态，通常先舍掉前面不稳定运 动状态的数值，只截取稳定状态部分画出图形。由于混沌运动是由确定性系统产生 的，具有局部不稳定、整体稳定等特征，决定了其时间历程曲线通常表现出以下的 特征： ( 1 ) “杂乱”，但蕴含着规律。 ( 2 ) 具有一定的重复性。表现在对于系统的同一输出变量，取任意的初始值 都可以得到几乎完全相同的长时间定常运动状态行为。 2 相轨迹图 在混沌研究领域，相轨迹图更是一种最基本的研究手段。当前微弱信号混沌检 测的主要依据就是系统模型相轨迹图的变化【4 6 1 。 相轨迹图方法判别混沌的依据是：当相平面上的轨线都有规律地束缚在周期轨 道上，则系统处于周期态：否则，当相平面上的轨线貌似杂乱无章的分布在周期轨 道以内，则系统就是混沌的。参见图5 、图6 。 3 庞加莱截面法【3 4 】 在多维相空间中适当选取一个截面，然后考虑连续动力学轨道与此界面相交的 一系列点的变化规律。由此可得到关于运动特征的信息。不同的运动形式通过截面 时，与截面的交点有不同的分布特征。下面列出几种： 周期运动在此截面上留下有限个离散 准周期运动在此截面上留下一条闭合 对于混沌运动，其庞加莱截面上是沿 有自相似的分形结构。 噪声在此截面上留下无穷多离散点， 的点。 曲线。 一条线段或一曲线弧分布的点集结，而且具 杂乱无章 1 0 华北电力大学硕+ 学位论文 4 功率谱方法 一般说来，周期运动或者准周期运动的功率谱是一些离散的谱线，而混沌运动 是非周期的，复杂的运动，它的功率谱是连续的。因此当系统由混沌状态变为周期 状念或者周期状态转变为混沌状态时，可以根据功率谱的变化来判断系统是否已经 进入混沌状态。 3 2 1 2 定量分析法 所谓定量方法，就是通过一定方法计算混沌的某个特征量，根掘得到的特征量 数值判别混沌是否存在。 1 非整数维方法 从不同角度，维数有不同的定义。如容量维，信息维，相关维等。虽然定义不 同，但它们对于刻划系统来说是类似的，即平常的吸引子的维数是整数，而对于混 沌吸引子，维数是分数值。 传统地说，维数应都是整数。我们知道线的维数为1 ，面的维数为2 ，体的维 数是3 等等。但是在混沌系统中，奇怪吸引子的形状极其复杂，用传统的维数定义 很难描述清楚。为了确定它的维数，可以引用“信息维”的概念。 考虑一个动力学系统，具有n 个自由度，可以将n 维的相空间分割成许多 容积大小为e 的小盒子，劳将这些小盒子编号。假设相空间中的点落入第i 只小盒 子的概率p 。已知，则信息维的表达式记为： k ；l i m 尘塑 限：， ；j 二二 r 3 2 、 一i n 、。 这样定义的维数，称为信息维数。从上式可以看出，由于涉及到概率p 。的计 算，所以使用起来不是很方便。 通常把吸引子的信息维数是非整数维看做是混沌解的一个特征。 2 l y a p u n o v 指数方法 l y a p u n o v 指数是指相空间中相近轨道的平均收敛或平均发散性的一种度量。对 奇怪吸引子而言，其最大l y a p u n o v 指数为正的，并且最大指数越大，系统的混沌 性越强：反之亦然。混沌系统的最大l y a p u n o v 指数大于零。 l y a p u n o v 指数的定义：设对于某一平面非自治系统，其相应的p o i n c a r 6 映射 + l = x ( 矗，y 。) y 。“= y ( x ，y 。) 华j e 电力人学硕十学位论文 它的j a c o b i 矩阵是 s ( x 。，y 。) = a x 缸。 a y 阮 a x 却。 d y 兢 设由初始点p o ( x o ，y o ) x , 发经逐次映射而得的点列为p l ( x 1 y 1 ) ，p 2 ( x 2 ，y 2 ) 。p 。( x 。， y 。) ，则前n 一1 个点处的j a c o b i 矩阵就是 j o = j ( x o ，y o ) ，j 1 - j ( x l ，y o j n = j ( x 。，y 。) 令j ( n ) = j 。1 j 。2 j l j o 则李雅普诺夫指数由以下所定义 l 。- l i m 墨”硝”2 ) 硝”硝 2 = l i r a 。a ( 。 - 1 砑。硝硝( 3 3 ) 其中硝为对角矩阵j k 的第i 个特征值。 l t ，l 2 分别表示点变换时沿x 方向与沿y 方向距离伸长或缩短倍数的平均 值，其值大于1 时伸长，小于1 时缩短如果有l 1 1 ，l 2 o 时，解得 音，阂值为r ( ) - 君 ( 3 1 2 ) 华北电力人学硕士学位论文 c z ，当丢 o 4 4 2 4 时会出现混沌，误差为 o 0 6 5 9 。可见无论k 取何值，总存在一个阈值，c ，当，) 正时系统进入混沌状态， 当f 继续增大到大于闽值厶( 由仿真实验求出) 时，系统进入大尺度周期状念。可 以预先确定厶和k 的关系并输入计算机，构成混沌闽值自动判决系统，使微弱信号 的混沌检测更加准确。 3 2 3 2 方波信号的混沌检测系统阈值的确定 此时系统的运动微分方程是j ”+ 出一x + 工3 = e f s ( t ) 。( 3 1 4 ) 其中s ( t ) 为单位幅值方波。 将周期方波信s ( t ) 展成傅利叶级数为s ( f ) 。兰罗三s i n 等c o s ( n w t ) 参j ! l t 召- 4 4 - 沌易得工”+ 呶，- x 。= e 等砉丢s i n 等c o s ( m w ) ( 3 1 5 ) 以及m 2 k 小刺2 r 了2 f 籽t = 1 0 ；n c 叫 计算梅尔尼科夫函数是m ( f 。) 2 j = 。f ( q 。( f ) ) “g ( q 。o ) ，t + f 。) d t 川。斗o ，h ，+ 等社n 删”u 炉 。一k 件压s e c h r t a n h t ) 2 d t + 正【伟压s e c h t ，t a n h t ) 等n 等w ( f + f o ) 坤 一争压等羚1 译篆群， = 一扣廊扣c 茂s i 呱n ( n 华w t o ) ，限 1 5 华北电力人学硕士学位论文 斛 驷争碎s i n ( n w t o ) 一酗n 呼冲州警瑚咖w u i 下面删 证明a = n 譬) s e 叫孚) s i 唧j ) 扣上界。 馨；n ( 等净c c - ) s i n ( n w t o ) is 扑n c 争s e c c 詈，卜辨叫警x = 砉s e c h c 半产耋歹( e “誓+ e 。嘎) 级数的比值审敛法定理：设有正项级数砉，如果极限! 鲤等5 f 存在，那么 当l 1 时， 耔 收敛也可能发散。 级数善“发散；当7 = 1 时，级数荟“一可能 我们考察级数蠢歹( e “嘭+ e “) 的敛散性： 因此级数：| ；歹( e ”呖+ e 。嘭) 是收敛的，即存在上界。 ：p 一班 1 由式( 3 1 8 ) 可知，a - 黔n 簟s e c ，l ( 警) s i 嘶叫也一定存在上界。若设 。 删c s 为a 的取值上鼽那么由式，枞i 割= 川。 ( 1 ) 当争呲解得幺k 亘3 w 6 ，阈值矾卟嘉。 ( 3 1 9 ) 当 。时，解得 c 一嘉，阈值为r ( 卟一嘉。 z 。， 上面两节我们从理论上推倒出正弦信号和方波信号的混沌检测系统闽值的存 在的可能性。但是对于方波信号，山于a 的取值上界6 没有给出计算公式，因此上 1 6 南 禹 呸砺 华北电力人学硕士学位论文 面推倒仅有理论意义。对于方波信号混沌阈值的实际近似计算公式、仿真结果和误 差分析，将在后面章节中给出。 下面的一节，我将对任意周期信号的混沌检测系统阈值的确定作出初步探讨。 3 2 3 3 任意周期信号的混沌检测系统阈值的确定 设f s ( t ) 为任意周期信号，则此时系统的运动微分方程是 工”+ 出一工+ 工3 = 矿s ( t ) ( 3 2 1 ) 此时 厂c 工，一 一工：z ，】；占t x ，2 一砂+ ：，p ， 计算梅尔尼科夫函数是m ( f 。) = j 二，( 日。( f ) ) g ( q 。( f ) ，f 。) d f ；一兰3 女十 ( - 压s e c 胁t a 血r ) 。f s ( t + t o ) d t ( 3 2 2 ) 将f s ( t ) 展成傅立叶级数的指数形式：，s ( f ) = 厂e e n - * 0 = o j 1 ，2 ) ( 3 2 3 ) 其中f 是任意周期信号的幅值，f 。是任意周期信号的各分量的复数幅度。 1 j m ( t 。) = 一亏4 + 正【许拒s e c h t , t a n h t ) 。，塾+ f 。冲 令m ( t o ) = o ，系统正闷值求解的表达式为 竽肛c c s e c h t - t a n h t ，塾叫m z 4 ， 根据梅尼尔科夫函数有关定理得，系统的混沌阈值求解的讨论可以参考( 3 2 4 ) 式。 3 3 利用混沌振子检测信号的原理简介 实验时，我们选择从混沌到周期状态的相变为判断依据，亦即将做置在阚值厶 附近。利用混沌振子检测噪声中淹没的有用信号，就是将待测信号作为混沌系统周 期策动力的摄动，噪声虽然强烈，但对系统状态的改变没有影响，而一旦有特定的 信号，出于混沌系统对周期小信号的敏感性，即使幅值较小，也会使系统发生相变， 计算机通过辨识系统状态，可判定信号是否存在，从而达到将强背景噪声下微弱周 期小信号检测出来的目的。混沌系统之所以能检测微弱的周期信号，就是因为它对 与系统策动力频率相近的微小信号极其敏感，相反，对噪声却有很强的免疫力。 华北电力人学硕十学位论文 下面我们从理论上分析混沌振子对噪声的免疫力以及噪声对系统原有运行轨 迹的影响，为下面的仿真实验提供理论依据。 3 3 1 噪声分析 外界信号进入后，系统由混沌态跃迁到稳定的周期运动状态。在没有噪声存在 的情况下，周期轨道应为一理想的环，但由于噪声对它的摄动，该环的边界显得有 些粗糙【1 1 , 2 8 l 。 假定外界噪声为严格的白噪声，因此可表示为s 。( 。) = o 。2 ，r 。( r ) = o ：6 c t ) 经采样保持环节后，在算法的每一步长范围内，噪声被保持为一恒值( 如图8 所示) 。这样的噪声表现出一定的相关性。可以证明，经采样保持后噪声的自相关 函数可以表示为： 啪咔。拶黔 z s ， 其中h 为采样周期，由于h 很小，所以它可以等效三角形面积的严格白噪声( 如 图9 所示) ，即r 。扣) = 去2 h 盯；6 ( f ) = 盯弘6 ( f ) ( 3 2 6 ) i 2 u j i 图8 3 3 2 统计特性的定性分析 _ ” 弋 图9 还是以第一节中的d u f f i n g 方程为例： 工”0 ) + k z ( f ) 一工( f ) + x3 ( f ) ；f c o s ( f ) ( 3 2 7 ) 其中f c o s ( t ) 为系统参考信号与外界有用信号合成之后的周期策动力的总值， 因此，此时的f 略大于力，系统进入大尺度周期运动状态。 用6 x ( t ) 表示噪声对z ( f ) 的小扰动，从而得出在噪声存在情况下的系统的微分方 程为： ( j + 舅) + 七( j 十j 亡) 一( z + x ) + ( x + 6 x ) 3 = f c o s ( t ) + 门0 ) ( 3 2 8 ) 1 r 华北电力人学硕士学位论文 其中n ( t ) 为严格白噪声，e n ( t ) ) = o ，r 。0 ) = o ：h 6 ( t ) 。 用( 3 2 8 ) 式减去( 3 2 7 ) 式得： 王十盘量一a x + 3 j c2 x 十3 x a x2 十工3 = n ( t 、 由于a x 很小，因此略去a x 的高阶无穷小，并令c ( t ) = 1 3 x 2 ，得 a k + k a y c c ( i ) a x = n ( f ) ( 3 2 9 ) 因为x ( f ) 为周期函数( t = 2 p i ，与c o s ( t ) 相同) ，所以该方程为一周期系数随机线 性微分方程。将其写出矢量微分方程得形式 x ( f ) 。一( f ) x ( f ) + ( f ) ( 3 3 0 ) 其中x o ，。 乏 。 怎：； ，一o ，2 。0 0 ，1 1 ，o ，。 n 0 0 ， 它的解为 x ( f ) = 中0 ，t 。留。+ f 中( f ，u ) n ( u ) d u 其中中是系统的状态转移矩阵，出于第一项为暂态解，将很快衰减为零，故只 需考虑第二项，因此得到：x ( f ) = f 中( f ，u ) n ( u ) d u ( 3 3 1 根据随机微分方程理论，e x ( f ) ) = ( d p ( t ，“) e 以) 扣“；0 ( 3 3 2 ) r 、w ( f ，5 ) 。f f 中( f ，“) r w m ，v ) 中7 0 ，v ) d u d v ( 3 3 3 ) 00 其中f a , n ( “，v ) ，k ( f ，5 ) 分别表示输入噪声在时刻u 和v ，输出噪声在时刻t 和s 的 相关函数矩阵。 帆恻川叫。孙撕一k 。圳 k ) 叫z 2 i 即e l x ：t ( 啉t ) x l ( p s ) 冀e l x t ( t ) x 2 ：( s ) ) 】 考虑t = s 的情况，则有 i _ 。，f ，# ! 中。，“， ：仃； a ：一， 中