（应用数学专业论文）抽象空间中非线性微分方程边值问题的正解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 抽象空间中非线性微分方程边值问题的正解 摘要 随着科学技术的不断发展，在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工 程学、控制论等科学领域出现了各种各样的非线性问题，这些非线性问题日益引 起了人们的广泛重视而非线性泛函分析为解决这些问题提供了富有成效的理论 工具非线性泛函分析是既有深刻理论又有广泛应用的研究学科，它以数学和自 然科学中出现的非线性问题为背景，建立处理非线性问题的若干一般性理论和方 法，而且能处理实际问题所对应的各种非线性积分方程，微分方程和偏微分方程 中发挥着不可替代的作用非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一 而非线性泛函分析是非线性分析中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中 的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方 程边值问题源于应用数学，物理学、控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛 函分析中研究最为活跃的领域之一，而抽象空间中的非线性微分方程边值问题又 是近年来讨论的热点，是目前微分方程研究中的一个十分重要的领域 本文利用锥理论、不动点理论、不动点指数理论，研究了几类非线性微分方 程边值问题的正解并把得到的主要结果应用到非线性微分方程的边值问题 本文共分为三章： 在第一章中，我们讨论了b a n a d h 空间中半直线上一阶非线性微分方程组边 值问题 ， lz 7 ( ) + n 1 ( t ) z ( t ) = ( t ，z ( t ) ，( ) ) + 夕1 ( t ，z ( t ) ，( t ) ) ，t k ，r + ， i 7 ( ) + n 2 ( t ) ( t ) = 尼 ，z ( ) ，可q ) ) + 9 2 ( t ，z ( t ) ，可( ) ) ，t ，t r + ， l z ( “) = ， k ) ) ，耖 岛) = 厶， ( “) ) ，= 1 ，2 ， lz ( 。o ) = o ( o ) ，可( o o ) = 可( o ) ， 其中n t ( ) l ( r + ) ，t 冗+ = 【0 ，+ 。o ) ，o t 1 t 2 “ ，“一+ o o 及 厶，膏c e ，e 】，吼，五c ( r + e e ，e ) 0 = 1 ，2 ) ，z ) = z ( 毒) 一z ( t i ) ，可( t k ) = 可( 毒) 一( t i ) ( 后= l ，2 ，) 我们利用锥拉伸与压缩不动点定理并结合锥理论中的 有关知识，得到b v p ( 1 1 1 ) 正解的存在性，本文改进和推广了文 1 0 ，1 3 ，1 5 1 中的 主要结果( 见注1 3 1 一注1 3 4 ) ，并把得到的主要结果应用到一阶无穷脉冲微分方 程组的边值问题上 曲阜师范大学硕士学位论文 在第二章中，我们讨论了b a n a u c h 空间中二阶脉冲微分方程两点边值问题正 解的存在性 i z ( ) = 口1 ( ) ( t ，z ( t ) ，可( t ) ) + 6 l ( t ) 9 1 ( t ，z ( t ) ，可( t ) ) ，t “，t z 一剪( 。) = 。2 ( 。) ，2 ( 。，。( ) ，( 。) ) + 6 2 ( 。) 9 2 ( 厶z ( 2 ) 耖( 。) ) 。，。z ( 2 1 1 ) l 一z 7 ( ) = ，1 ，( z ( t ) ) ，一可7 ( 如) = 如，七( 可( “) ) ，后= 1 ，2 ，m ， iz ( o ) = z ( 1 ) = 可( o ) = 可( 1 ) = 6 ， 其中j = 【o ，l j ，口t ( t ) ，6 i ( t ) ：t ，_ 【0 ，+ o 。) ，t = 1 ，2 ，是连续的，而且厶，k c 【e ，e 】， ，肼 c ( ，xe e ，e ) 0 = 1 ，2 ) ，z ( ) = 。( t 去) 一z ( i ) ，可( 靠) = 可( t 吉) 一可( t i ) ，忌= 1 ，2 ，m 我们利用锥上的不动点指数理论得到b v p ( 2 1 1 ) 正解的存在性，本文 改进和推广了文 1 8 ，1 9 ，2 0 1 中的主要结果( 见注2 3 1 注2 3 4 ) 在第三章中，我们利用锥上的不动点定理讨论了如下b a n a c h 空间中咒阶m 点边值问题正解的存在性 iu 【n ) ( t ) + ，( ，u ( ) ) = 口，o t 2 ，o 叼1 啦 一2 o ( t = 1 ，2 ，m 一2 ) 且 篙2q 霄- 1 1 ，= 【o ，1 ，c 【，p ，p 最近，文1 3 0 】和【3 1 】分别利用不动 点指数和范数型的锥拉伸和压缩不动点定理，在厂： o ，+ 。) 一【o ，+ 。) ( 不含变量 t ) 和e 为实空间情况下，给出了多点边b v p ( 3 1 1 ) 存在一个正解的充分条件 本文的目的是在b a n a c h 空间中研究一般的多点b v p ( 3 1 1 ) 的一个正解和两个正 解的存在性，推广文【3 0 ，3 1 】中的结果 关键词：脉冲；边值问题；锥；正解；不动点；非紧性测度； b a n a u c h 空间；m 点边值问题；全连续算子；第一特征值；半直线 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s tr a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b l e mh a u sc o m eu pf r o mt h e6 e l d so fp h y s i c s ，c h e m i s t y ，m a t h e m a t i c s ，b i 0 1 0 9 y ， m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，e y b e r n e t i c s ，a n dt h e s cp r o b l c m sh a sa r o u s e d p e o p l e sw i d e s p r e a da t t e n t i o nd a yb yd a y h a w e v e r ，t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i so f f 色r se f f e c t i v et h e o r e t i ct o o l sf 6 rt h e s ep r o b l e m s ，a n di t i s as u b j c c t o fp r o f o u n dt h e o r i e sa n db r o a da p p l i c a t i o n s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s b a s e so nn o n l i n e a rp r o b l e l so fm a t ha n ds c i e n c e ，c o n s t r u c t sg e n e r a lt h e o r i e sa n d m e t h o d s ，a n dp l a y sa ni m p o r t a n tr 0 1 ei nd e a l i n gw i t ha 1 1k i n d so fn o n l i n e a ri n t e - g r a le 叩l 砒i o i l s ，n o i l l i i l e a rd i f f 色r e n t ，i a le 叩l a t ，i o i l sa n dp a r t i “d i f i e r e i l t i a le q u a t i o l l s s ot h en o n l i n c a ra n a l y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi n n o n l i n e a ra n a l y s i s ，b e c a u s ei tc a ne x p i a i nw e uv a r i o u st h en a t u r a l 面e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i l l e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h e a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n ds e v e r a lk i n d so fa p p l i c a ，- t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo fm o s ta c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i sa tp r e s c n t t h ei l o n l i n e a rd i n b r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e n li nb a n a c hs p a c ei s a l s ot h eh o ts p o tw h i c hh a sb e e nd i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s s oi tb e c o m eav e r y i m p o r t a n td o m 甑no fd i 虢r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c ha tp r e s e n t 1 1 1t h i sp a p e r ，、eu s et h ec o n et h e o r y ，t h e 丘x e dp o i n tt h e o r ya n dt h ef i x e d p o i n ti n d e xt h e o r y ，t os t u d ys o m e b n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a r i m p u l s i v ed i 矗色r e n t i a le q u a t i o na n d 、v ea p p l yt h em a i nr e s u l t st ot h cb o u n d a r y v a l u ep r o b l c mf o rt h ed i f i 色r e n t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ed l a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n v e s t i g a t et h ep o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yp r o b l e m sf b r f i i s to r d e ri l o i l l i n e a ri m p u l s i v cd i f f b r e n t i a le q u a t i o i l so i lt l l eh “f - l i n ci nb a n a c h lz 7 ( ) + 0 1 ( ) z ( ) = ，1 ( ，z ( ) ，可( ) ) + 夕1 ( ，z ( ) ，! ，( ) ) ，七， + ， 2 秒7 ( 。) + 。2 ( 2 ) 秒( 。) = 尼( 。，z ( 。) ，可( 。) ) + 9 2 ( 。，z ( 。) ，可( 。) ) ，。，。r + ，( 1 1 1 ) i z ( ) = ，1 ，七( 。( t 七) ) ，秒( ) = 如，k ( 矽( t 南) ) ，詹= 1 ，2 ， iz ( ) = z ( o ) ，秒( 。) = 可( o ) ， 曲阜师范大学硕士学位论文 w h e r e 啦( ) l ( r + ) ，r + = o ，+ 。o ) ，0 1 2 t k ， + o o a n d 厶，c 【e ，明，吼， c ( r + e e e ) o = 1 ，2 ) ，z ( 七) = z ( 吉) 一 z ( 巧) ( ) = ( 去) 一暑，( ) ( 七= 1 ，2 ，) w bu s et h ec o n et h e o r ya n d c o n ee x p a n s i o n ，c o m p r e s s i o n 删p o i n tt h e o r e m 锄df i x e d - p o i i l ti n d e xt h e o r ) ，t oo b t a i n t h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) t h i sp a p e rg e n e r a l i z e a n di m p r o v ct h er e s u l t so f 【1 0 ，1 3 ，1 5 】( s e er e m a r l ( s1 3 1 1 3 4 ) ，a n da p p l yt h e m a i nr e s u l t st ot h ei n f l n i t es y s t e mo fs c a l a rf i r s to r d e ri m p u l s i v ee q u a t i o i l s i nc h a p t e r2 ，、 r et a l ka b o u tt h ep o s i t i v es o l u t i o n so ft r ( 卜p o i n tb o u n d a r y p r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i h e r e n t i a le q u a t i o n s z ( t ) = n l ( t ) ( t ，z ( t ) ，y ( t ) ) + 6 1 ( t ) 9 1 ( t ，z ) ，秒( ) ) ， 一y ( t ) = n 2 ( ) 儿( ，z ( t ) ，y ( t ) ) + 6 2 ( ) 9 2 ( ，z ( t ) ，可( t ) ) ， 一z 7 ( 如) = 厶， ( “) ) ，一y 7 ( 七) = ，2 ，詹 ( z 詹) ) ，七= z ( o ) = z ( 1 ) = y ( 0 ) = 可( 1 ) = p ， “，t z t 地t z ( 2 t 1 1 ) 1 2 ，m ， w h e r eo t ( ) ，玩( t ) ：j _ 【o ，+ 。) a r ec o n t i n u o u sa n d 五，知c 旧，e ， ，吼c ( j e e ，e ) = 1 ，2 ) ，z ( 知) = z ( t 吉) 一z o i ) ，y ( t 七) = y ( t 毒) 一秒( t i ) ，庇= 1 ，2 ，m ，= o 1 】t h ea x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi nc o n ea r eu s e dt oo b t a i nt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v e8 0 l u t i o i l sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 2 1 1 ) a n dg e n e r a l i z e a n di m p r o v et h er e s u l t si n 【1 8 ，1 9 ，2 0 】( s e er e m a r l ( s2 3 1 2 3 4 ) i nc h a p t e r3 ，w eu s et h ec o n et h e o 巧a n dc o n ee x p a i l s i o na n dc o m p r e s s i o n f i x c dp o i i l tt 1 1 e o r e mt oi n v e s t i g a t et h ep o s i t i v cs 0 1 u t i o n so f 咒t h - o r d e r7 7 。一p o i n t b o u n d a r yv 础u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e ： 二：兰：，：；二( j ：三二：n ：2 2 ，o 叩l 忱 一2 0 ( = 1 ，2 ，m 一2 ) a n d 翟五2 。t 醒一1 1 ，j = 【o ，1 】，c 【j p ，尸】u n d e rt h ec o n d t i o n d s o f 厂： o ，+ 。) 一( o ，+ 。o ) w i t h o u tt e r mta n dei sar e a ls p a c e ，( 3 0 】a n d 3 1 1 g i v eas u m c i e n tc o n d i t i o no fo n ep o s i t i v es o l u t i o nf o rm u l t i p o i n tb o u n d a r ) ，v a l u e p r o b l e m ( 3 1 1 ) u s i n gf i x e dp o i n ti n d e xa n dc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o nf i x e d p o i n tt h e o r c m t h i sp 印a e ri st oi i e s t i g a t et h ee ) d s t e n c eo fa tl e a s to n eo ra t u 曲阜师范大学硕士学位论文 l e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n so fg e n e r a lm u l t i p o i n t sb v p ( 3 1 1 ) i nb a n a c hs p a c c ， 、v eg c n e r a l i z ea n di m p r o v et h er e s u l t si n 3 0 】a n d 3 1 】 k e y w o r d s ： i m p u l s e ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；c o n e ；p o s i t i v es o l u t i o n s ； f i x e dp o i n t ；m e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e s s ；b a n a c hs p a c e ； m p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r ；f i r s te i g c r l 、，a l u e ；h a l f - l i n c 1 l l 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文抽象空间中非线性微分方程边值问 题的正解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究 成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式 注明本声明的法律结果将完全由本人承担 修者签名：蒙静静日期：加驴矿年石月石日 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 抽象空间中非线性微分方程边值问题的正解系本人在曲阜师范大学攻读 硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师 范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜 师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文 的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 日期：2 7 军多目多日 日期：2 d d 7 车多阿日 第一章b a n a c h 空间中半直线上一阶非线性微分方程组边 值问题的正解 1 1 引言 近年来，脉冲微分方程理论已成为重要的研究领域之一一阶脉冲微分方程 的研究也是不可忽视的，在应用数学和其他领域中都有着很重要的应用，特别是 在生态学上的应用，例如标准的m a l t h u s 人口模型y 讹) = 一n ( ) ( ) 受到环境的 影响，数量突然变化等，其数学模型就是一阶脉冲微分方程另外在基因动力学 和种群动力学中也有应用，并且生物计算学整个过程都贯穿着间断或脉冲这个特 征 目前，有些作者研究了一阶脉冲微分方程，一般方法是利用锥拉伸与压缩不 动点定理，m 6 n c h 不动点定理或者上下解方法及单调迭代技巧讨论这类方程解的 情况，而且大部分在有限区间上考虑的，在无界区域上考虑的文献很少b a n a c h 空间中脉冲微分方程理论已有许多成果，见( 2 ，4 ，1 3 ，1 4 ，】) 刘 1 3 在实空间 中利用锥拉伸与压缩不动点定理讨论了一阶脉冲微分方程一个解和两个解的存在 性，而且是作者只考虑了非线性项是超线性或者次线性的情况，从生态学上说作 者只考虑了某个种群受影响的因素只和时间与自身的数量有关系，无法解决两个 种群相互影响相互竞争的状况，如捕食与被捕食之间的关系j j n i e t o f 儿 利用 压缩原理得到了方程的唯一解，但是要求非线性项只能是次性的，而且脉冲项和 非线性项有着较强的条件，并且是在实空间中的有限区间上考虑的张 1 2 】推广 到无穷区间上去，利用m 6 n c h 不动点定理研究了一个解的情况，而且文中要求 非线性项和脉冲项只是次线性的，方程较文 1 1 1 2 特殊一些 受以上文章的启发，本章我们利用锥理论、b a n a c h 空间的基本知识、锥拉 伸与压缩不动点定理，在比文 1 1 1 3 】条件弱的情况下( 见注1 3 1 一注1 3 。4 ) ，研 究了一阶非线性微分方程边值问题( 简称b v p ) 的一个正解和两个正解存在的情 况，最后给出例子来说明主要结果 设( e ，l l 1 1 ) 表某实b a n a c h 空间，p 表e 中一个锥，从而在e 中引入了 半序，即z 岁当且仅当y z 尸称尸是正规的，如果存在一正常数使 得，当口z y 时意味着忙l l v 怙l | 这里p 是e 中的零元，而正数中的 最小者叫做p 的正规常数p = 妒j 矽( z ) o ，比p ) 称p 为尸的对 第一章b a n a c h 空间中半直线上一阶非线性微分方程组边值问题的正解 偶锥有关锥理论的知识可参考【5 】 下面介绍b a n a c h 空间的一些记号p c r + ，司= zz ：r + _ e ，z 在 t 如处连续，在= 屯处左连续并且右极限z ( f 产) 在t = t t 处存在，其中 i = 1 ，2 ，- ，兄+ = 【o ，+ o 。) o 1 2 t t ，l ，m + o 。 本章我们考虑如下实b a n a c h 空间( e ，i | li ) 中半直线上一阶非线性微分方 程边值问题： iz 7 ( ) + n l ( ) z ( ) = ( t ，z ( ) ，y ( ) ) + 9 1 ( ，z ( ) ，y ( f ) ) ，如，r + ， y 7 ( ) + 。2 ( 。) 秒( ) = 尼( 。，z ( ) ，y ( 。) ) + 9 2 ( 。，z ( 。) ，可( ) ) ，。，。r + ， ( 1 1 1 ) l z ( ) = ，l ，( z ( ) ) ，y ( ) = 如，k ( s ( t ) ) ，后= 1 ，2 ，3 ， lz ( 。o ) = z ( o ) ，( 。o ) = 可( o ) ， 其中o i ( ) l ( r + ) ，t r + = 【o ，+ ) ，o 1 t 2 臼且z ( ) ，y ( ) 满足b v p ( 1 1 1 ) 1 2 预备知识 现提出下列条件 ( a 1 ) 五，吼e 尺+ p 尸；尸】，厶，c 尸；p ，且存在玩( ) ，q ( ) ，玩( ) ，己( ) e r + r + 】nl ( r + ，r + ) 及片，酹c ( r + r + ，r + ) 使得 0 五( ，u ，钉) l i 玩( ) + q 0 ) 片( i i u l i ，l l 移i | ) ，t r + ，钆，勘p i i 吼( t ，u ， ) | | 6 t ( ) + 己( t ) 讲( | i u 忆t r + ，u ，u p ， 且存在函数只c r + ，r + 】及正常数仇，使得 i i 厶，( 乱) i | 仇，k 只( 1 l u i i ) ，i = 1 ，2 ，惫= 1 ，2 ，3 ， 0 0 其中仇， o ，五( t ，只，只) = ( t ，u ， ) u ，u 只 和吼( ，p r ，尸r ) = 9 l ( u ，钉) ，乱， 只) 在e 中是相对紧的，厶，( b ) 在e 中也是相对紧的，其中 p r = u p l i u | | r 2 曲阜师范大学硕士学位论文 本章用到的记号 肛删社肛脚瑞黼淼嘶= 删跬p 船瑞揣， 肛勰溉搿恭滁，萨勰溉擀揣揣， ( p = 删跬p 勰蒜揣 p ( 驴6 卿船渊， ( 蚓p = jj 珊蜀艘蒜耥，骅) = ? 搿裂， 其中p = o 或者p = o o ，妒尸+ ，忡| i = l ，吃( t ) ，吨( t ) ，况( ) ，e i ( ) ，砀( t ) ，毗( ) l 1 ( r + ，冗+ ) nc ( r + ，r + ) ，m ，詹 0 ，0 s ， 0 f s 吼g 。i ( u ，s ) ，t ，s r + ，吼= 9 。( t s ) 冬 e 付0 。n - ( s ) 幽 1 一e o t ( o 。) e 一付。，( s ) d s e 口。n _ ( s ) d s ( 1 2 6 ) 其中n _ ( t ) = m a x o ，一吼( t ) ) ，o ( t ) = m a x o ，o i ( t ) ) ，则i o ( ) i = o f ( t ) + o ( t ) ，0 t ( ) = 。产( ) 一n _ ( ) 为了方便，记哦= ；筹，盯= m i n ( 盯。，盯z 令x ：= c k ：= z p c i r + ，e 1 ：s u p r + ( 刚 o 给定并且令 靠= m a x 片( u ，口) ，o 札，秽r ，i = 1 ，2 ， 彳，= m a x g ；( t ，勘) ，o 钍，钉r ， = 1 ，2 ) ， 尥= m a x 尻( 叫) ，o 加r ，i = 1 ，2 则对于任意的z ，! ，k ，忙| 1 1 r ，1 1 7 _ ，由条件( a 1 ) 知 愀? 蚺删| | 6 t ( ) 州) 坼，( z ( 训i 鲰k ， ( 1 2 9 ) l i 吼( ，z ( ) ，秒( ) ) i l 瓦( t ) + 己( t ) 瓦_ r ，i = 1 ，2 ，七= 1 ，2 、。 5 厂，儿厂，儿 8 21 七 z y 七 七 l 互 r i ， 南 知 冀 吼 等脚 + + s s d d s s y y s s z z s s r b s s t 乳 吼 + + z z = = y y z z 乃 乃 箜= 童里璺里塑皇窒阊中半直线上一阶非线性微分方程组边值问题的正解 由( 1 2 9 ) 及( 1 2 8 ) 得到 归j ( z ，! ，) ( 圳i = = | z + 。9 。，( ，s ) f 1 ( s ，z ( s ) ，s ( s ) ) d s + 砉9 h 。( ，t ) ，- ，七( z ( * ) ) f f z 如) 酏碱删+ 到啪啪刷训l d 1 上娜删删) + 以蹴删怕+ d 1 到u 酬) 2 1 0 ( 6 1 ( s ) + c 1 ( s ) 坼+ 矾) + 西1 ( s ) 珥) d s + d 1 尬叩m 七= 1 ( 尬+ 矾) c + + 尬仉七) + o o ，t r + ， 其中矿= 口o 。( 6 1 ( s ) + 石1 ( s ) ) d s + 矿= 付。( c 1 ( s ) + 苞1 ( s ) ) d s + o o 故 瓦：x x _ x x ，用同样的方法知瓦：x x _ x x 另外，由引理1 2 3 及( 1 2 8 ) ，对于任意的t r + 知 矸( z ，! ，) ( ) 盯( z + 0 0 9 。( t t ，s ) ( ( s ，z ( s ) ，秒( s ) ) + 9 ，( s ，z ( s ) ，y ( s ) ) ) d s + 吼，( 孔 ) 厶，七( z ( “) ) ( 1 2 1 1 七= l = 盯乃( z ，秒) ( u ) 因此正( z ，秒) ( z ) 盯乃( z ，3 ，) ( u ) ，z ，“冗+ 又由条件1 ) 知乃( z ，s ，) ( z ) 护，故， 乃：k n k k 同样的，我们可以证明死：k k _ k k 所以， t ：k k _ kxk 另一方面，设z 。，跏，y 。，珈x 且i | z 。一z o l i l _ 0 ( n _ 。o ) ，i i y n 一珈1 1 1 一 o ( 凡一。o ) ，则r = 8 u pl l z n l l l + 。及i i z o | 1 1 r ，又由条件( a 1 ) 知 n 五( t ，z n ( z ) ，( ) ) _ ( t ，翮( z ) ，珈( t ) ) _ o o ) ，r + ，i = 1 ，2 ， 吼( ，z n ( t ) ，( t ) ) _ 吼( ，z o ( ) ，珈( ) ) ( 几_ 。o ) ，冗+ ，i = 1 ，2 ，( 1 2 1 2 ) 厶，( z n ( 詹) ) _ 厶，( z o ( ) ) ( 佗_ 。) ，i = 1 2 ，尼= 1 ，2 ， 6 + f，、 西 血 一 ，= 令7 ( s ) = 6 l ( s ) + 尬c 。( s ) + 云1 ( s ) + 而_ r 石1 ( s ) ，r ( s ) = ( s ，z n ( s ) ，蜘( s ) ) + 9 1 ( s ，z 竹( s ) ，y 。( s ) ) 7 第一章b a n a d h 空间中半直线上一阶非线性微分方程组边值问题的正解 由( 1 2 8 ) 和( 1 2 9 ) 得到 0 乃( z 。，) ( 7 ) 一乃( ，) ( t ) l e 一口1c r ，一e a 1 。，l 高z + e 口1 c j ，f k c s ) d s + 1 e q l 。，) 一e a 1 ( t l 十l e 一口1 ( t 。z ，e 口1 。) f k c s ，一e n 1 。，z e a l ( s ) ，kc s ，l 十卜心，) 一e - 口l l e 口l ) 尬 1 e q tc t ，一e 一口1 t 幻i 高z + e 。1 t 8 ，7 ( s ，d s + l e a l 。，) 一e q 1 ( ”li 去 + i e q ，c ，z re 口- 。，f k ( s ) 二e q - 。，z 。e a ，扣，f k ( s ) 一e q lc 矿，z e q l 。，f k ( s ) + e a ，。勺z 。e a l 。，f k ( s ) l + j e _ 口“) - e 咄1 0 ) | e 口l o 。尬 o 0 ，可以选择充分大的r 0 使得 d 1 厂佃7 ( s ) d 5 0 使得( 1 2 1 7 ) 成立，选取i o 满足 五( z n 。，n ；) ( t ) 一u ( ) i | f ，由( 1 2 1 7 ) ，( 1 2 1 8 ) ，( 1 2 1 9 ) ，有 | | 乃( z ”玑。) ( ) 一可( t ) 0 i i 乃( z 蛳蜘i ) ( ) 一乃( z 蛳剪m ) ( 丁) l l + i l 乃( z 眠) ( 7 - ) 一口( 7 - ) i j + ( 7 - ) 一秒( ) 3 三 ( 1 2 2 0 ) 故n 是紧的，同样地可以证明疋是紧的，从而丁是紧的引理1 2 5 证毕 本章令竹k 如下： m 。= ( z + 。喜以c 玩c s ，+ 己c s ，d s + 娄吨喜砚，。) 一1 ， 7 n l = 仇22 r n 42 ( 讹岫) ， ( 圭，s ) 九tc s ，d s ) 一1 ，m 。= ( 口z + o o9 口，( 去，s ) 九。c s ，d s ) 一1 ， ( 丢，s ) 埘z c s ，d s ) 一1 ，玎培= ( 盯石+ 9 0 。( 吾，s ) 叫。c s ，d s ) 一1 为了方便，对i = 1 且i = 2 我们列出下列假设条件： ( 仉) 劈 仇1 ，贸 m 1 p ( 尼) m l ，伊 m 1 ，铲 7 7 u 或者( 撕) ( 妒 ) o 仃1 2 ，( 妒9 2 ) o o ”z 4 ( 日4 ) ( i ) ( 妒厶) 。 m 5 ，( 妒9 1 ) o m 3 或者( 税) ( 妒，2 ) o m 5 ，( 矽9 1 ) o 。 r n 3 ( 风) ( i ) ( 妒 ) o m 2 ，( 妒9 1 ) 。 m 3 或者( 娩) ( 妒 ) o o m 2 ，( 妒9 1 ) o m 3 ( 风) ( i ) ( 砂止) o 7 n 5 ，( 妒9 2 ) 。 m 4 或者( 撕) ( 妒，2 ) o 。 m 5 ( 妒9 2 ) o m 4 1 0 叭 町 眈 9 9 9 + + + z z z 盯 盯 盯 ， 曲阜师范大学硕士学位论文 ( h 7 ) z 佃喜也( 6 小) + m qc s ，+ 玩c s ) + m 龟( s ) ) d s + 喜也尬喜蛳 1 其中m = m a x 片( z ，y ) ，鳙( z ，y ) ，o z ，1 ，i = 1 ，2 ) ，舰= m a x 咒( z ) ，0 z 1 ， 一 j 1 3主要结果 定理1 3 1 假设条件( 1 1 ) ，( 4 2 ) 和( 1 ) 成立或者条件( 1 1 ) ，( 4 2 ) 和( ，2 ) 成立，则b v p ( 1 1 1 ) 至少有一个正解 证明首先，考虑条件( a 1 ) ，( 4 2 ) 和( h 1 ) 成立的情况由引理1 2 5 知丁： k k k k 是全连续的因为胛 m o ，9 2 o ，柙 m o e o 及鲥 o ，使 得对任意的i i 札0 + | | f 和r + 有 l i ，1 ( ，u ，u ) i i ( 7 7 。o 一o ) ( i i ，u | | + i f 训i ) d 1 ( ) ，i | 1 ，( “) ( o e o ) 可1 j | u i i 1 1 9 1 ( ，u ， ) i i ( m o 一o ) ( | i u i l + i i u i i ) 虿z ( t ) ( 1 3 1 ) 令q 1 = ( z ，y ) x x ( z ，y ) 1 1 2 z ) ，则q 1 是x x 的有界开子集并对任 意的( z ，y ) a q ln ( k k ) 及r + 有 | | ( ，z ( ) ，秒( ) ) | | ( m o 一o ) ( i l z ( t ) | i + i i 矽( ) i i ) d ，( t ) ( m o 一三o ) f d l ( t ) ， i | ，l ，七( z ( t 七) ) i | ( m o e o ) i l z ( t ) f | 彳1 七f ( m o 一印) 7 1 ， ( 1 3 2 ) |