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一类特征流形的奇异积分 摘要 本文首先把h 6 1 d e r 条件推广到1 1 圆柱和m 个半平面拓扑积 1 6 的特征流形q 上；接着在n 圆柱和、m 个半平面拓扑积w 的特 征流形q 上讨论了s c h w a r z 积分公式，在其基础上利用文 2 _ _ 和文【4 中的证明方法得到q 上的p l e m e l j 公式；然后利用拓广 了的s c h w a r z 积分公式在w 的特征流形q 上的极限值讨论了 h i l b e r t 反转公式并引入新的算子毫。和毫一分别得到它 们的有关性质：并讨论了含有算子只。，州，膨+ ，的代有常系数 的奇异积分方程并得到几个重要的定理。 关键词：奇异积分方程；h i 5 1 d e r 条件；s c h w a r z 积分公式；h i l b e r t 反转公式；p l e m e l j 公式；i 一霉。，毫+ 。算子 ac l a s so fs i n g u l a ri n t e g r a lo n c h a r a c t e r i s t i cm a n i f o l d a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，f i r s t l y , w eg e n e r a l i z eh s l d e r s c o n d i t i o n so nt h e c h a r a c t e r i s t i cm a n i f o l d qo f t o p o l o g i c a lp r o d u c t o ft h e n d i m e n s i o n a lc y l i n d e ra n dm - d i m e n s i o n a lh a l f p l a n e ，a n dt h e n s c h w a r z si n t e g r a lf o r m u l ai sd i s c u s s e d o ni t a n dw eg e ta p l e m e l j sf o r m u l ab yu s i n go f t h e m e t h o do f 【2 a n d 【4 】t h e n w eo b t a i nb o t ht h ei n v e r s i o nf o r m u l ao fh i l b e r ta n dt h r e en e w o p e r a t o r si 。，a n d 霞b y t h e l i m i t a r y v a l u eo ft h e g e n e r a l i z e ds c h w a r z si n t e g r a l f o r m u l ao nt h ec h a r a c t e r i s t i c m a n i f o l dq ，f u r t h e r m o r e ，t h e i rp r o p e r t i e s a r e i n v e s t i g a t e d f i n a l l y ，w e d i s c u s st h e s i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o n s w i t h c o n s t a n tc o e f f i c i e n ta b o u to p e r a t o r ss o 。，。，毫+ 。a n d s e v e r a l t h e o r e m sw i l lb eg a i n e d j i ng a o - f e n g ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yx uz h o n g - y i k e y w o r d s ：t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，h s l d e r sc o n d i t i o n s ， s c h w a r z ，si n t e g r a lf o r m u l a ，t h ei n v e r s i o nf o r m u l ao fh i l b e r t ， p l e m e l j sf o r m u l a 一类特征流形的奇异积分 1 引言 奇异积分方程为积分方程的一个重要分支之一；而在这个分支里很重要的 是c a u c h y 奇异积分方程：+ 知掣州 ( 0 - 1 ) ( 其中舻( f ) 是未知函数，a ( t ) 、k ( t ，_ r ) 、，( f ) 是已知函数，积分是c a u c h y 主值意 义下的1 和w i e n e r h o p f 奇异积分方程： 妒o ) 一ck ( t s ) 妒0 ) d ，= ，o ) ( 0 s tc m ) ( 0 2 ) ( 其中妒p ) 是未知函数，f ( t ) 是已知函数) 前者在f r e d h o l m 方程经典理论建立的同时就出现在有关数学家的工作中， 如早期d h i l b e r l 在研究解析函数的某些边值问题时和h p o i n c a r 6 在研究潮汐现 象时都发现类似( o 1 ) 那样的问题，后经过h c a r l e m a n 、h m y cx e 几i i ib 1 4 门 h 、h 几b ekya 等人的努力，目前这种方程的理论已经比较成熟( 如见文 6 1 0 ) ；路见可在文 17 中利用各种边值问题来讨论奇异积分方程也取得许多 重要结果 而方程( 0 2 ) 大约在1 9 2 1 年就有人开始研究它。关于它的第一个结果是 1 9 3 1 年w i e n e r 和h o p f 利用因子分解的思想得到的：第二个结果是1 9 4 8 年p a nonopt 通过把方程化成r je m a n n 边值问题来求解：19 5 8 年k pehh 和广o x6epr 利用w i e n e r - h o p f 的因子分解思想建立了( o 2 ) 的一般理论。 而高维奇异积分方程，由于多复变数中的域的分类还未解决，在不同的域 中有不同形式的o a u c h y 型积分且又因c 4 空间中对一域的边界的r i e m a n n 边值 问题的讨论不象单复变数那样简单，这些给研究高维奇异积分方程带来了很大 难度最早研究高维奇异积分方程的是f g t r i g o f f l i 他所研究的是二维欧氏空 间中的奇异积分方程；之后，g g jr a u d ，a p c aj d e r o n ，c 厂m hxj 1 h 等人皆 得到重要结果在我国，最早从事积分方程研究的有张世勋( 1 1 ) 和陈传璋 ( 1 0 ) ；而在高维中较早研究的是陆启铿、钟同德( 13 】) ；后来，从19 6 4 年起， 龚升、孙继广和史济怀( 【1 、【1 5 、【1 6 】、【1 8 】) 利用c a u c h y 型积分作为工具来研 究高维奇异积分方程，他们的详细理论见 1 2 ；之后，姚宗元、许忠义、陈叔 瑾、邱春晖、林良裕、杜金元等人在c a 空间的不同域中研究了积分表示和积分 方程有关多维奇异积分方程的系统理论见 1 9 及 1 9 后面的文献 1 9 8 6 年，许忠义( 【2 0 】) 在双圆柱中研究了b 型积分和h 型积分及其上的奇 异积分方程：2 0 0 2 年，刘莞健、许忠义在 3 u e 讨论了多个半平面特征流形上的 奇异积分方程；2 0 0 5 年，靳高峰、许忠义在文 1 4 】讨论了多个半平面和多个圆 柱拓扑积的特征流形上的奇异积分方程，本文就是在其基础上不但讨论了 s c h w a r z 积分公式、h i l b e r t 反转公式等，而且还得到算子毫+ 。、危+ 。和r 和 它们的性质，而且继续讨论有关含算子矗+ 。、于和毫+ 。的奇异积分方程。有 关奇异积分在弹性力学等方面的应用已非常广泛( 如【6 】、【7 】、【1 0 】) 。 2 预备知识 为了行文的方便，我们用e ( o ，1 ) 表示n 圆柱 i 气l c l ，k = 1 ，2 ，n ) ，其特征流 形记为l l 1 x l 2 x l ：其中t ：t = e i o k 或= 一；用d = d 1x d 2 x x d 表示 m 个半平面；其特征流形记为y = 墨匕。下面把h s l d e r 条件推广到n 圆柱和1 1 1 个半平面拓扑积w ex d 的特征流形q = y 上。 设妒瓴，t ) ( 其中。1 ，一，t 。；t z = t l ，- ，l 。) 是定义在q 上的实值连续函数， 记驴托，r z ) h ( q ) ，如果满足以下条件： ( 1 ) 当q l 和z ，。是在k 包含原点在类的充分大区间l 时，尹瓴，t ) 满足 h 6 l d e r 条件： ( 2 ) 当v l ，t 和r ：，f ：e y - is 嘶一0 x ( 匕一l ) 时，有 i 嘶咖嘶t ，l s 羹”i ，“7 + 黔阮，一必， 其中c l j ( ，= 1 ，2 ，n ) ；c ：，( ，= n + 1 ，l + m ) 为常数， 0 ，s l ( j ；1 ，2 ，+ 一，n ) ；0 凡，s l ( j = n + 1 ，。，n + ，”) 还有，在q 上满足h s l d e r 条件的实值连续函数的全体构成一线性空间，记 为t ( 回；所有在q 上满足h s l d e r 条件且是拓扑积缈内b 一调和函数在q 上的极 限值的实值连续函数的全体构成的线性空间，记为b ( q ) 用，表示单位算子，即 印= 妒； 咿= 瓤。妒( s o , ) d a j ； ( 1 1 1 劢a 皇4 妒( s o ，) c 留孕妇， ( 1 2 ) ca # 警r ， ( 1 3 ) 咿# 若器端啊 4 ， 其中e ( s 。，) ；舻0 l i ，5 h ，盯，s 川，) ，妒也，) ；妒瓴，f 川，f ，fj + 】，t o ) ； j 一1 ，2 ，一，” 若妒0 ) 在特征流形l 和y 上皆满足h o l d e r 条件，则上述积分在c a u c h y 主 值的意义下存在，且，仍巧妒和0 仍乌妒分别在和 ，亦满足h o l d e r 条件，且算 子z i , r 具有如下性质： ( i1 坤i 耻k 妒= 耻k ”i 币，一甲；a f l o ( i i ) 肛，i 妒= 五卢，驴 ( i i i ) t i 妒= 瓦巧伊 * ，) ( i v ) 芽妒一- q 9 + , u j 妒 其中j , k = 1 ，2 ，n 由于多个半平面可以通过变换 m ：g t + 变成多圆柱；反之亦然；这样0 ，9 与u ，i 具有同样的性质： ( i ) 弓只妒= 只c 妒，p 2 妒；弓妒 ( i i ) 弓q 妒= g c 妒 ( i i i ) q j q k c p ；q k q f l 。 ，) ( i v ) q 2 妒= - t p + p _ f 7 , 其中j , k = 1 ，2 ，m 文 4 】中给出w = cx d 中某占- 调和函数边界值的充要条件为： r e 回( i + z j - i ) 霞( ，+ 弓一喝) 妒2 z 4 口+ 五弦 月i m 其中肛尸妒= h p ：以只，+ ：只+ 。妒，下同 以下为行文方便引入两组复合奇性算子： ( i ) 在m 个半平面引入府。和r ： 当k ：1 时 府，p = 印啊妒= q 1 驴 当k = 2 , 3 ，m 时 厨。妒= 。+ 只+ 只庸。一g 板，砌 或妒= ( 或一，+ q + q 厨。+ 只或一。) 驴 由文【3 】知它们具有如下性质： 4 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( i ) g m 。妒= m 。e 妒；p ，：9 = m 弓妒 0 i i ) q j j 幅t , ( p = 西k q 弗； q i 两t 甲= 叠i 平 ( i i i ) 陋吩卜厨。一疯砌 ( i i ) 在n 圆柱引入互和巨： 当七= 1 时 4 妒e h 妒 e 妒= 王伊 当k = 2 ，3 ，n 时 互妒： ，+ 以+ 以五。一互毒。如 豆妒= ( 毒一。+ 五+ r a 。+ 。毒一) 妒 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) f 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 如果妒瓴，毛) 分别关于t 和l 在l 和y 上满足h o l d e r 条件，则( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 和 ( 1 6 ) 、( 1 7 ) 在c a u c h y 主值意义下存在，且五甲、最妒和嚏妒、霞伊分别关于 变元。瓴l ，一，吒) 和r ：= 亿l j 一，t 。) 在l 和y 上亦满足h o l d e r 条件。 由于多个半平面可以通过变换 m ；# + 2 变成多圆柱：反之亦然；这样互、豆和庙。、鼠具有同样性质： 0i 、昝l a k 节= a k 耻| 译； p | b k 平= b k 弘l 平 ( i i ) z 五妒= 互t 妒；i 童妒= 最乃尹 ( i i t ) i 了( ，+ 肛，一z 1 ) 妒。( ，+ 互一l 良) 驴 5 ( 1 _ 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 6 ) 3 1 引理 3 引理和性质 引理l ：= e d 内的s c h w a r z 积分公式为： 他) 。寿l 丘，茹氨石1 一再1 一：娄i f c 、下 d v + i f l ( 2 1 ) 一面正f 咖面面历 p “ 则当二q 时( ：1 ，2 ，n + 肌) 得p l e m e l j 公式为： 朋) = 刍伊m 也) 氨( ，竹跏卜伊 ( 2 _ 2 ) 其中j = 。c 。，妒( f 2 正l f 妒( m ，下同 证：由文【3 】中多个半平面的p 1 e m e l j 公式和文【5 】中多圆柱的p l e m e l j 公式得 m ，；胁”知暑，击_ i ： ”# c 去一去渺叫妒 再利用 知，等峰( p j - i t ：) 妒 和 扣刚再1 一希1 吒皑坞即 可证得引理 由( 1 1 0 ) 和( 1 1 6 ) ，n ( 2 2 ) 可变为： ，伊嘉( 互一远) ( ，+ 府一以。，) 妒一五州卢 ( 2 3 ) 引理2 ：在w = cx d 的特征流形q 上的h i l b e r t 反转公式为： v o ) - 嘉 ( ，+ 互) 囊。，+ ( ，+ 厨。，) 最 妒十卢 证：令，+ ( f ) = “( f ) + f v p ) ，而( 2 3 ) 的右边展开得： i b 咿+ 互) ( ，+ 厨。，卜五”p 妒+ f 一虿岳 ( ，+ a ) 臧。，+ u + m r 。，) 豆】妒+ 卢 i 苦咿+ 以) ( ，+ m ( 。) 卜肛妒+ f 一裔i ( ，+ 4 ) ( 。) + u 。) ) el 妒+ 卢 比较，+ 0 ) = “o ) + 如o ) 和上式的虚部即证。 令芦= o ，并引入算子： 声妒；士- 三妒 ( 2 4 ) 只+ 。伊= 者 岸p 妒 ( z 4 ) f 妒；一熹霉，伊 ( 2 - 5 ) 其中曼+ 卅，+ ，有下面的( 2 6 ) 、( 2 7 ) 定义 ( ) 利用引理1 和( 2 3 ) ，我们在n 圆柱和m 个半平面拓扑积引入算子： 曼。妒； a + 砑扣，+ a 砑。，一最曩。，】妒 ( 2 6 ) t + 。妒= 互t 。，+ e 府。+ 巨+ t ， 妒 ( 2 7 ) 毫+ 。妒= ( 曼+ 。一i l + 。坳 ( 2 - 8 ) 其中砑。，妒、曩。炉分别表示在妒瓴，t ) 中只对变元f ：进行算子运算，保持不变 3 2 算子只+ 。和+ 。的有关性质 性质1 ：若毗，t ) 为w 内某口一调和函数在特征流形q 上的极限值，则有 爱+ 。妒；( 2 一i 一聊+ 2 l , u p t p ( 2 9 ) 证：由( 2 2 ) 、( 2 3 ) 得： r e f + o ) 】置斋f 工+ 4 + m ( 。) + a m ( 。) 一b 。( 。) 1 9 一p p 妒 1 一 。 一一， 【4j 而有( 1 5 ) 知： 蚶例= 击p 弋，+ 冽妒一脓= ， 再由( 2 6 1 可证性质1 性质2 ：若妒瓴，) 且( q ) ，则 s l 。妒：( 2 一一1 ) 妒+ ( 掣一- 一2 ) 童+ ，妒+ 2 2 m m ”五暑妒 ( 2 1 0 ) 只+ ，霉+ 妒a 霉+ 曼+ 妒；( 2 一、一蝇+ ，妒 ( 2 1 1 ) 证：因解析函数的实部和虚部均是8 。调和函数，这样它们在q 上的极限值分别 为： 石 ，+ 互+ 砑。，+ 丑庸。，一巨取。， 妒一；算妒 = 二三：i ( ，+ + 。) 妒一pp q o 和 一去( 最+ 臧。，+ 互臧。，+ 耳厨。，如 = 一去 它们必须满足性质1 ，这样可证性质2 关于昱。、t 。还有其它一些性质： 如果妒“，l ) 日( q ) ，则 五曼+ 。妒：重五罗甲；( 掣一一1 ) 五中 ( 2 1 2 ) 五f ；t + ，五霉妒；0 e 。甲；一2 1 ( f 押+ 2 2 h 尸妒 妒0 ，百：) b ( q ) 营霉+ 。9 = - 2 2 - 1 ( ，一p 尸) 妒 3 3 算子厦+ 。、于和毫+ ，的有关性质 性质3 ：如果妒瓴，f ：) e h ( q ) ，那么 ( 1 ) 允驴( 1 一刍跏+ 等中 ( 2 ) 妒 ，t ) b ( q ) 矗+ 。妒= ( 1 - 匀妒 证：( 1 ) 利用( 2 4 ) 、( 2 1 0 ) 和( 2 1 2 ) 可证得( 2 1 6 ) 。 8 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 ) ”一”e i e ( 1 5 ) 、( 2 4 ) 和( 2 2 ) 即证 ”一”由( 2 4 ) 跏廿万1 加击j 妒一嬲 耻伊一1 ) 虱。叶 = ( j + s 冲= 2 。( n 1 p ) e 由b - 调和函数定义得妒瓴，f 。) b ( q ) 由性质3 得：如果妒托，r ：) b ( q ) ，则 疋。妒= ( 1 一= ：j ) 2 尹 性质4 - 如果妒 ，t , ) e h 。( q ) ，则 r ：+ 。妒= 一= 三j 妒一成+ 妒+ 岸p 妒 1 一忡) 妒( r 1 ，f ：) b ( q ) 营r ：妒= ( 一，+ p p ) 尹 【j 证：f h ( 2 5 ) 和( 2 4 ) 得： 于妒一一专霉 ：一去妒一( 击毫f 五) 妒+ 五妒= 一二忑妒一( i = ：i j 一弘，j 妒+ p ，妒 再由( 2 4 ) 可证( 2 1 9 ) ，而( 2 2 0 ) 可利用( 2 1 9 ) 证得。 关于度。、t + 。还有其他一些性质： 如果妒瓴，f ：) b ( q ) ，那么有： f 舻= 0 一驴瓴，t ) ；常数 矗+ 于妒；t + 。氲+ 妒= ( 1 一：i 告) f 妒 岸p 声妒：厦+ 岸p 9 ；( 1 一i 岳) 趟p 妒p成+ ，妒= 成+ ”9 ；( 1 一i 而) 鲜 妒 ：于田；于：舻；0 0 p r 妒= r 卢p 妒薯 9 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 性质5 ：如果妒瓴，t ) h ( q ) ，则 霹。伊= ( 2 一2 ) 毫+ 。妒+ ( 2 - 1 ) q ， 屯妒= 陋嵋) 氨俐一十 证：由( 2 8 ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 矛1 1 ( 2 1 4 ) 得： 霞二。妒e ( 2 。1 - 1 ) o + ( 2 一2 ) s 。c p + 2 “1 肛p 妒 h j 一忡) + 2 “( ，+ 。) 妒一2 2 “帽“p _ p 尹一丑( 2 。一d 。妒 ；( 2 一2 ) ( 量+ 。一i f , + ，) 妒+ ( 2 一1 ) 尹 = ( 2 一2 ) 点0 + 。妒+ ( 2 一1 ) 妒 而( 2 2 5 ) 可由( 2 2 ) 、( 2 3 ) 和( 2 8 ) 经简单代换得证 4 含有算子声+ 。和f 的奇异积分方程 首先我们来考虑方程： 一 n ( m ) l 妒苦口妒+ 鳃妒+ c l + 。妒+ d 弘p e p 叠， 其中，b , c , d 皆为实常数且满足口一b o 和卜+ ( 2 一1 ) 6 2 + 2 1 “c 2 一o ，日( q ) ，且在t ( q ) 中求解。 1 ) 当a + ( 2 一啪+ d 0 时，易求算子 如击i 卜嵩拦并等l 卜8 6 【 n + ( 2 一1 ) 6 + 2 2 ”。2j b ( a 一6 ) + 2 1 p 2 + c 2 ) a 一6 ) ( 口+ ( 2 一1 ) 6 ) 2 + 2 2 0 ”c 2 c f 万丽h i 2 + 2 2 “) c 2 1 0 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 3 1 ) j ! 型：1 二些悭：鲨：! ：型! ：! ! ! 竺二! ! 】垡! ：鲨品 + 面石2 砭1 ) b 万丽i 2 而( 而而c 2 ( a b ) p1 口+ ( 一+ d 1 0 + ( 1 1 ) 6 ) 2 + 2 “”c2 l 扣一) 。 是算子l 的左逆，即l l = ，则( 3 1 ) 有唯一解 妒= r ， ( 3 2 ) 2 ) 当口+ 旧一一1 ) b + d ；o 时，方程( 3 1 ) 化为 a ( 1 一五如+ 碡+ 。( ，一五砌+ c r + 。( j 一五砌：， ( 3 3 ) 一弘p ) 妒+ 6 + 。( ，一肛尸) 妒+ + 。( j 一弘p ) 妒= ， l 文o j 令( ，一五) 妒：妒，贝o ( 3 3 ) 变为 口+ 6 曼+ 。驴+ c 霉+ 妒= ， ( 3 4 ) 由1 ) 解的过程，得： 州_ _ 1 1 1 一嵩筹蒂鲁 卜 扣一面万巧玎丽i 。 一 丝= 盟! ：望垡!j 一 0 6 ) ( n + ( z 1 一啪) 2 + 2 2 “”c2 】 一“一j 口+ ( 2 1 一驴1 1 + 2 2 “c 2 + 丽葛蒹岩写焉掣丽五凯1 2 b ( 3s ， j ? 一p j ”， 。p + ( 2 一啪1 + ( 1 - 1 弦) 2 + 2 “”c2 】0 一) 将( 3 5 ) 代入( 3 4 ) 得当且仅当, u “p f ；o 时，方程( 3 4 ) 才有解： 妒= 妒+ 口 ( 3 6 ) 其中a 为任意实常数于是有： 定理1 ：设在方程( 3 1 ) 中，日，6 ，c ，d 皆为实常数且满足 n b 0 ； 口+ ( 2 一1 ) 6 2 + 2 2 “一”c 2 o 时，己知，髓( q ) ，且在t ( q ) 中求解，那么 ( i ) 当4 + ( 2 一啪+ d ，0 时，则方程( 3 1 ) 有唯一解，解有( 3 2 ) 所示； ( i i ) 当口+ ( 2 一1 ) b + d ：o 时，则当且仅当二，：o 时，方程( 3 1 ) 有解( 3 6 ) 其中a 为任意实常数。 再来考虑方程： 口妒+ c t ，。妒+ 七伊= ， ( 3 7 ) 其中a , c 为实常数，b ( q ) ，且在b ( q ) 中求解。 ( 1 ) 当七p ，r ) a 0 时，贝0 ( 3 7 ) 为 口驴+ c z + 。妒= ， ( 3 8 ) 当口一0 时，( 3 8 ) 有唯一解： 伊a 万云可7 一： c 2 + 2 2 。1 c 2乏一j “p f ( 3 。9 ) 口( 42 + 2 2 - 1 c 2 ) 。 当d = 0 时，当且仅当肼p f = 0 时，方程有解，且解为 妒= 一熹霉+ 卢 ( 3 _ l o ) 其中口为实常数 ( 2 ) 一般情况，方程( 3 7 ) 可化为与之等价的f r e d h o l m 方程，即利用算子 志卜雨c 。k f ，+ i 筹与, u “p 作用于方程( 3 7 ) 两边得： 妒+ t 妒； ( 3 i l ) 其中t 痧；m ，却；正= m ，厂，而( 3 i i ) 是f r e d h o l m 方程。用算子m j = a i + c t 。 作用于( 3 1 1 ) 两边即能证得( 3 1 1 ) 和( 3 7 ) 等价。于是得到： 定理2 - 假设方程( 3 7 ) 在b f q ) 中求解，则 ( i ) 当七( f ，r ) ；0 时，若口0 时，方程( 3 7 ) 有唯一解；若a = 0 当且仅当 五，；o 时，方程( 3 7 ) 有唯一解( 3 1 0 ) ； ( i i ) 一般情况，方程( 3 7 ) 可化为与之等价的f r e d h o l m 方程。 5 含有算子度。和t + 。的奇异积分方程组 首先考虑方程 f 妒e p 伊+ 应+ q 妒+ f 。+ r 妒+ ；s 妒。f ( 4 1 ) 其中p , q ，r ，s 皆为r 阶实方阵：已知f = ( 工，) t ( q ) ( 表示每个f t ( q ) ) 在t ( q ) 中求解。 记 茸= 刍，声= 属。一( 1 卅， ( 4 2 ) p 1 = p + ( 1 - r ) q ，q = q ，r ，一r ，s 。一s ( 4 3 ) 则有 声2 妒。一声妒，厨妒。f ，。f 妒。0 ，；声伊；f 五妒，0 且 于：+ 。妒。( 一，一卢+ ；掣) 妒， 这样( 4 1 ) 等价于 f 妒* p l 妒+ 声q 。尹+ f 。r 。q 2 + , u 4p ”s 。掌：f ( 4 4 ) 若有 a e t c e q 一，一。 a e t ( 三鲁) ，。 c a s ， 则有下列两种情况： ( 1 ) 若d e t ( f , + s 。) ，0 ， 令 - r 护瞪r 鲁) ， q ：；( r 。r ：e q ，) ( e q 。) s ：= - ( f ：s 。+ r ：r ，) ( e + s 。) 。 则算子；只，+ f q ，+ f r ：+ , u “p s ：是算子的左逆，此时方程组( 4 4 ) 有唯一解 垆日f ( 2 ) 若d e t ( p 。+ s ，) = 0 ，用声作用于( 4 4 ) 两边有 ( 4 6 ) 研( p l q 。徊一f 】= 0 ( 4 7 ) 由( 2 1 7 ) 和( 4 2 ) 得： ( e - q 。) 妒一f = u b ( q ) 或 妒。( p i q ，) “f + ( p 1 - q ) u g + x ( 4 8 ) 其中 g 一( p l q 。) f ，x 一( p 1 q ，) 一1 u b ( q ) 把( 4 8 ) 代入( 4 4 ) 得x 必须满足： p 】x + t r ，x + # “p s ，x 。l ( 4 9 ) 其中 l = 一q g p q ，g t + r ，g 一肛p s 。g 用算子r = 只，+ r ：t 。作用于( 4 9 ) 两边得：( 其中e ，r ：有( 十 ) 定义) x + ( p 2 s + r ：r ) 五算x ；r l ( 4 1 0 ) 其中 r l _ r z r , - e q 一e , q 矽也r i + 峨) t 。一 s ，慢r 1 ) 卅g 令；x ；d ；( d 】，谚) 一为一列实数，则 x = 上l 一( p 2 s + r ：r 。) d ( 4 1 1 ) 将( 4 1 1 ) 代入( 4 9 ) ，得 ( e s - + r z r t ) ( i + p z s - + r z r - ) d + ( p z q - + b s t ) ( e q t ) 1 f = 0 ( 4 1 2 ) 这表明，如果方程组( 4 1 1 ) 有解，则f 必须使得线性方程组 ( b s ，+ r 2 r t ) 【( i + e s z + r z r - ) x + ( p 2 q - + p ：s - ) ( p l q 1 ) 。f 】；0 ( 4 1 3 ) 1 4 有解，其中x = ( 葺，t ) 为未知数。反之，如果方程组( 4 1 3 ) 有解，任取其中 一组解x = d + ，则有( 4 1 i ) 所示的x 必须为( 4 9 ) 的解；这样( 4 8 ) 就为( 4 4 ) 的解；方程组( 4 4 ) 解的唯一性，可令当f s 0 时，从( 4 9 ) 知x 恒为常数，且必 须满足方程组 ( p 2 s 。+ r ：r ) ( i + p 2 s 。+ r ：r 。) x 一0 ( 4 1 4 ) 于是有： 定理3 ：在方程组( 4 1 ) 中，如果p ，q ，r 满足 d e t ( p 7 ( 2 一i t ) q ) - 0 和 a e t ( p - ! r qp 一( 1 r 一。) q ) - 。( 4 1 5 ) 则( i ) 当d e t ( p 一( 1 一f ) q + s ) 一0 时，方程组( 4 1 ) 有难一解，且解为( 4 6 ) 示； ( i i ) 当d e t ( p 一( 1 一r ) q + s ) ；0 时，当且仅当f 使得线行方程组( 4 1 3 ) 有解时， 且在t ( q ) 内求解时，方程组( 4 1 ) 有解，解的形式有( 4 8 ) 定义；其中x 有( 4 1 1 ) 定义，而d 是方程组( 4 1 3 ) 任一组解。 下面我们讨论方程组 p 妒+ 矗。q 妒+ 于r 9 + ；s 舻+ k 妒。f ( 4 1 6 ) 其中p , q ，r , s 皆为r 阶实方阵：已知f 一( f ，) t ( q ) ( 表示每个f t ( q ) ) k = ( ) ，札脚 ， 竹；拓，仁。，竹“，t ) p ；r ) d 址 每个( r ；r ) 均对f ，r 满足h 6 1 d e r 条件。 定理4 ：如果在t ( q ) 内求解方程组( 4 1 6 ) ，则当p , q ，r ，s 满足 d e t ( p 一( 1 一, o q + s ) 0 ，d e t ( p 一( 2 一j f ) q ) 0 和 a e t ( p 一! 一。q o r rp 一茁，q ) 一。 i 一 一f 1 一茁) oj 时，方程组( 4 1 6 ) 可化为与之等价的f r e d h o l m 方程组 证：与方程组( 4 1 6 ) 等价的方程组是 p 1 伊+ 成+ 。q 1 妒+ f r 。妒+ 卢p s 妒+ k 妒= f 其中p ，q 。，r ，s 。由( 4 3 ) 定义 用算子l 作用于( 4 1 7 ) 两边，得 妒+ k 妒= f 其中 k _ 口雀邓a “，铂。高，q o j ( v ) k ， ( t 一崛 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 而核巧p ，f ) 对f ，f 均满足h s l d e r 条t e f ( i ，- 1 ，2 ，r ) 而又 d e t ( p ：一q z ) 一d e t p ：一( r z r ，一p 2 q - ) ( p l q p 。】 = d e t ( p l q 。) 。0 d e t ( p , + s ：) jd e t p 2 一( r z r - + p 2 s - ) ( p 1 + s - ) “】 ；d e t ( p l + s l 、1 0 唯：妒e t ( 量。舻 所以可作出算子乞的左逆算子，n n , n 0 作用于( 4 1 8 ) 可得( 4 1 7 ) ，这样( 4 1 8 ) 与( 4 1 7 ) 等价。定理得证。 6 含有算子毫+ ，的奇异积分方程组 考虑方程组 x 。妒+ 毫+ 。酗+ k 妒。f ( 5 1 ) 其中x 。，y l 皆为r 阶实方阵：已知f 一( ，l ，r ) t ( q ) ( 表示每个z t ( q ) ) ，在t ( q ) 中求解妒；瓴，竹) ；而 k = ) 。蛐，竹；石素丘，仁，瓴 ) k a t 啦 每个民o ；r ) 均对f ，f 满足h s l d e r 条件。 定理5 ：在方程组( 5 1 ) 中，当x 。，y l 满足 d e t ( x l y 1 ) 0 ；d e t x i + ( 2 一1 ) y l 卜0 时，如果在t ( q ) 中求解妒： ，竹) ，方程组( 5 1 ) 可化为与之等价的f r e d h o l m 方程组 证：记 面；( 毫+ 。+ ，) 妒， x ；x 。一y 1 ，y l = y ( 料 ) 则有( 2 8 ) 和( 料$ ) 得 霞2 妒= 2 霞伊 且有 d e t ( x ) - 0 ，d e t x + ( 2 ) y 】* 0 于是方程组( 5 1 ) 等价于 x 妒+ 霞y 妒+ k 妒；f ( 5 2 ) 用算子 r ：x 一1 ，一x 一1 y ( x + 2 “y 1 1 霞 作用于( 5 2 ) 的两边，得 驴+ k 。妒- 其中f l - r f e t ( q ) ，k = r k ，而 k + 吉( 巧) - 虬向， 竹= 扛，正州竹。) 巧( f d q ( 5 3 ) 所以( 5 3 ) 是f r e d h o l m 方程组。对于算子r 。x 。1 ，一x 一1 y ( x + 2 y ) 1 霞，由于 d e t ( x ) 一d e t ( x i y 1 ) 0 和 d e t x 一一2 x 4 y ( x + 2 y ) 。1 】 。d e t x + ( 2 ) y 】 = d e t x 。+ ( r + ”一1 ) y l 】0 所以算子r 存在左逆算子；事实上，x + 诚即为r 的左逆算子，不妨记为r ，即 r r 。，于是，只要用r 作用于( 5 2 ) ，立即得( 5 1 ) ，从而( 5 1 ) 与( 5 2 ) 等价。 参考文献 【1 】龚升、孙继广复超球面上的奇异积分方程数学学报，1 6 ( 1 9 6 6 ) ，1 9 4 - 2 1 0 【2 】 孙继广复超球面上的奇异积分方程的正则化1 9 7 9 厦门大学数学系 【3 刘莞健、许忠义在多个半平面特征流形上的奇异积分南昌大学学报( 理科 版) 2 0 0 2 ( 1 ) ，2 8 - 3 4 【4 】赵成兵、潘国双、许忠义n 圆柱和i n 个半平面拓扑h i l b e r t 积边值问题南 昌大学学报( 工科版) 2 0 0 2 ( 2 ) ，5 0 - 5 3 【5 】 b a k ak m e bf pa h h q l 4 b l ec b o n ct bam nterpa at m 玎a ko 皿皿h ormxk o 玎1 1ekc h b l xj l epe me h h b i xm h e k o t0 pb i ee r0 n p h j 10 擞e h m h 口n 皿m c c ep t 且m u ，1 9 6 0 6 h m m y c x e n h l t i b h r lh ，奇异积分方程，上海一上海科学技术出版社19 6 6 7 】h 几b e k y a ，奇异积分方程组及某些边值问题，上海一上海科学技术出版社 1 9 6 3 8 c 厂m h xj i h ，奇异积分方程，数学进展，第4 卷，n 0 1 19 5 8 9 m m cr u m o na nn t e g r aie q u a to no