（基础数学专业论文）代数上局部幂零导子的性质.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st 1 1 e s i s 摘要 本文研究了特征为0 的域上的代数的局部幂零导子，首先在第一部分给出 了一般代数上的线性变换j 。及c 。的性质：( s 。) 2 + 0 4 ) 2 = i ( 这里的i 是恒等映 射1 等，这也就刻画了代数上的局部幂零导子的性质第二部分考虑素代数上的 局部幂零导子，证明了：若a 是有单位元的素代数，则a 是无零因子代数当且 仅当a 上的幂零导子是0 之后考虑有限维素代数上的局部幂零导子，得到了 导子成为幂零导子的几个充分条件：( 1 ) 设d 是有限维素代数上的导子，若存在 口0 满足碳口) = 0 ，并且对于每个x 爿，存在正整数n ( x ) j f d 矿“) = 0 ，则d 是 幂零导子( 2 ) 设d l , d 是有限维素代数a 上的导子，并且d l 0 ，d i d = d d l ，如果 任意x 芒爿，存在正整数” ) ，使得d t 矿0 ) = o ，则d 是幂零导子( 3 ) 设d l ，d 2 是有限维素代数上的导子，如果d l 冼= d 2 d i ，且荇对于每个元x 都存在”0 ) 和 m o ) ，使得函州叼虎忡一o ，则d i 和吨至少有一个是幂零导予最后还考虑特殊 的多项式代数m 】，并证明了其上的任一局部幂零导子为d = a 。0 ( 这是a o f a 是1 5 i x 的求导运算1 关键词：导子；幂零导子；局部幂零导子：素代数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t ei n t ot h el o c a l l yn i l p o t e n td e r i v a t i o n so fa l g e b r a s o v e r t h e f i e l d f w i t h c h a r f = o f i r s t l y , w eg i v e t h ec h a r a c t e r i z a t i o n ( s 。) 2 + ( c 。) 2 = i o fl i n e a rt r a n s l a t i o n ss 4a n dc “o v e rg e n e r a la l g e b r a s ( w h e r eii si d e n t i t ym a p 、i n t h ef i r s tp a r t ，t h a ti s ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no f l o c a l l yn i l p o t e n td e r i v a t i o ni ss h o w n i n t h es e c o n dp a r t ，w es t u d yl o c a l l yn i l p o t e n td e r i v a t i o n so f p r i m ea l g e b r a sa n dp r o v e t h a t ，i ft h ep r i m ea l g e b r aah a st h eu n i t ，t h eah a sn oz e r od i v i s o r si fa n do n l yi f e a c hn i l p o t e n td e r i v a t i o no fai s0 a f t e rt h a t ，l o c a l l y n i l p o t e n td e r i v a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e da n ds e v e r a l s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s b e c o m i n gn i l p o t e n td e r i v a t i o n sa r e g i v e n ，( 1 ) s u p p o s e t h a tdi sad e r i v a t i o no f f i n i t e - d i m e n s i o n a l l yp r i m ea l g e b r a a i f 口0s a t i s f i e s d ( 口) = 0a n de a c h x e a 3 n ( x ) ls u c h t h a t ( i 矿= o ，t h e n d i sn i l p o t e n t ( 2 ) s u p p o s et h a t 函，da r ed e r i v a t i o n so f t h ef i n i t e d i m e n s i o n a l l yp r i m ea l g e b r aa ， d l 0a n dd l d = d d t i fv x a ， 3 ( x ) l ，s u c h t h a t d i d 2 0 0 ( x ) = 0 ，t h e nd i sa n i l p o t e n to n e ( 3 ) s u p p o s ed l ，d 2a l eo n e so f t h ef i n i t e d i m e n s i o n a l l yp r i m e a l g e b r a a ，a n d 函以= 疵而i fv x e a ，s n ( x ) ，聊 ) 1 ，s u c ht h a t 矾“( x ) d 2 ”0 ) = o ，t h e no n eo f 函a n d , 2i sn i l p o t e n ta tl e a s t f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fl o c a l l y n i l p o t e n td e r i v a t i o no f t h ep o l y n o m i a la l g e b r a 研胡；a n dt h ef o r m u l ao fe a c hl o c a l l y n i l p o t e n to n ei sa o o ( w h e r ea o e f ，0 i st h ed e r i v a t i v eo f f i x ) k e y w o r d s ：d e r i v a t i o nn i l p o t e n td e r i v a t i o n ；l o c a l l yn i l p o t e n td e r i v a t i o n p r i m ea l g e b r a ： u 硕士学位论文 m a s t e r st t l e s i s 0 引言 众所周知，在实( 复) 数域上的函数的微积分理论可谓视为现代数学的 开端经典的微积分理论已经成为一种重要的数学工具，而其上用极限定义 的微分起着关键性作用随后，将微分加以抽象，相应在环，代数中就有了 导子( 或微分) 的概念在现代数学中的整分析，代数几何及其代数，导子也 发挥着不可缺少的作用例如，在二十世纪4 0 年代，p i c a r d 和v e s s i o t 就发现 代数方程的g a l o i s 理论可以转化成通常的线形微分方程的理论( 称为 p i c a r d v e s s i o t 理论) 对于环上( 特别是素环，半素环) 上的导子，近些年研究比较活跃，也 取得了丰硕的成果，这还要归功于e c p o s n e r 在1 9 5 7 年证明了：在特征不为 2 的素环上，如果两个导子的合成还是导子，则必有其中之一导子为0 川之 后，m a c h e b o t a r 4 ，王学宽 2 2 1 ，d w , j e n s e n 7 及牛风文【8 】等对环上的导子都 作了很多有益的刻画 对于代数上的导子，虽然研究较早，但还是在h i l b e r t 第四问题的基础上 发展壮大起来的1 9 5 0 年，r i t t 综合前人的成果，创立了导予代数( d i f i e r e n t i a l a l g e b r a ) 【1 5 】，并对其作了很深入的研究对于代数( 特别是多项式代数) 上导 子的常系的构造近些年也做了很深入的研究如a n o w i c k i 9 1 ， p i o t r g r z e s z c z a k 1 0 ，w e il i 1 1 1 等1 9 9 0 年，p r o b e r s 作出了h i l b e r t 第四问题 的一个新的反例 1 2 】，1 9 9 3 年h g j d e r k s e n 【1 3 】证明了n a g a t a 反例 1 4 】，这些 有趣的结果无疑是对代数上导子的刻画又更进了一步代数上的局部幂零导 子对于研究导子及其代数本身都起着很重要的作用 9 】，【1 6 】【1 7 1 本文中的代数a 都是特征为0 域f 上的代数，首先在第部分给出了一般 代数上的线性变换s 。及c 4 的性质：( s 4 ) 2 + ( c 4 ) 2 = i ( 这晕的i 是恒等映射) 等， 这也就刻画了代数上的局部幂零导子的性质第二部分考虑素代数上的局部幂 零导子，王学宽在 2 2 1 中的定理2 的证明了：如果r 是无零因子环，并且 c h a r r n ，那么一定不存在非零导予使得矿= o ，因为r 是无零因子的，所以r 硕士学位论文 m a s t e r s1 i 正s i s 是素环，本文中证明了：设a 是有单位元的素代数4 是无零因子代数当且仅当 a 上的幂零导子是0 之后考虑有限维素代数上的局部幂零导子，得到了导子 成为幂零导子的几个充分条件：( 1 ) 设d 是有限维素代数上的导子，若存在目0 满足吠n ) = o ，并且对于每个x 爿，存在正整数n ( x ) 使得d d 州o 。= o ，则d 是幂 零导子( 2 ) 设面，d 是有限维素代数彳上的导子，并且d l 0 ，d i 赤耐l 如果任意 x 爿，存在正整数h ) ，使得d l o ) = o ，则d 是幂零导子( 3 ) 设西，画是有限 维素代数上的导子，如果d l 如= d 2 d l ，且若对于每个元x 都存在n ( x ) 和m “) ， 使得d l 心协 ) = o ，则d l 和砬至少有一个是幂零导子最后还考虑特殊的多 项式代数f i x ，并证明了其上的任一局部幂零导子d = a o o ( 这是fa 是珂叫 的求导运算) 2 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 1一般代数上的局部幂零导子 代数a 上的线性变换d ，如果满足吠口6 ) = d ( a ) b + a d ( b ) a ，b c a ，则d 为a 上的一个导子，现若定义a 上的个变换坑( x ) = x a - - a x ，容易验证是a 上的导 子，称导子以为n 在a 中的内导子彳上的导子若不是内导子称为外导子若a 上的导子d ，存在”l5 td ”叫) = 0 ，则称d 是幂零导子，而导子d 称为局部 幂零导子，如果对于每个a e a ，存在h ( ) 1 曼f 砷( = o ：导子d 称为局部 有限导子 1 6 1 ，如果对于a 的每个元，由集 d 0 ) li 是自然数 生成的子空问 是有限维的很显然零变换是幂零导子( 记为0 ) ，幂零导子是局部幂零导子，而 局部幂零导子是局部有限导子【1 7 】 下面是代数爿上的导子的一些基本性质 命题1 1 若d 是代数a 上的导子，则 ( 1 ) 如果a 有单位元e ，则矾8 ) = o ( 2 ) 设z 为爿的中心( 即z = c 一la c = c a , v d 爿 ) ，则硪z ) c z ( 3 ) ( l e i b n i t z 法则) 对于任意的正整数n ，及以6 4 ，有 d ”( 口6 ) = ( ：p n - k c a ) d ( 6 ) ( 这里d 。= ，屠。中的恒等映象) k = 0 ( 4 ) 如果础v 矽= 斫矽，则对于任意 l ，有d ( a ”) = n a ”。d ( a ) ( 5 ) 女口果d 2 ( 口) = 0 ，贝0d ”( 矿) = ”，d ( 日) ”( v n 1 ) ( 6 ) 如果p 是a 中的幂等元( 即p 2 _ p ) ，则p 诫p 咖= 0 ( 7 ) 如果p 是爿中的幂零元，并y t p a 6 0 ) = a ( p ) p ，则矾p ) 一o ( 8 ) 如果d = 坑是相应于a 在a 中的内导子，则 占。”( 6 ) = ( ：) 一1 ) b a ”一+ ( 一1 ) ”d ”b + b a “ = l 定理1 2 ( 1 ) 如果a 是爿中的幂零元，则内导子以是幂零导子 ( 2 ) 如果e 是一中的幂等元，则若内导子也是局部幂零导子，那么疋= 0 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 证明：( 1 ) 因为a 是幂零元，所以3 m 1s t = o ，于是v x a 疋2 “( 曲：窆( ，) ( 一1 ) t n t 一：一“+ ( 一1 ) 2 a 2 z + 一2 m “= o i = l 故瓦是幂零导子 ( 2 ) 因为坑是局部幂零的，则当x e a ，3 n 1j f 皖”( 砷= o ，即 坑”( x ) = ( ：) ( 1 ) 矿x e ”+ x e ”+ ( 一1 ) “p ”x = o 也就是( ：) ( 一1 ) e x e + x e + ( 一1 ) ”e x = 0 i _ e 【( ：) ( 一1 ) e x e + x e + ( 一1 ) ”e x e x e 一( 一1 ) ”e x e = 0 k = o 即( x e e x e ) + ( - 1 ) “( e x - e x e ) = 0 若n 为奇数，则x e - e x e = e x - e x e即e x = x e , 若n 为偶数，则x e e x e = e x e e x 即2 e x e = x e + e x 同时左乘口得2 e 气e = “e + e ，即e x e = e x ， 同时右乘e 得2 e x e 2 p 2 + 盯e ，即e x e = x e ，则e x = x e 这样若坑是局部幂零导子，则v x e 彳，e x = x e ，即也 ) = x p e x = 0 由( 2 ) 我们立即可知，若a 中的幂等元e 不是爿的中心元，那么内导子皖不 是局部幂零导子，例如，在二阶矩阵代数尬中，取e = 【：) ，显然，邓， 但e 不是尬f 矽的中心元，则疋不是局部幂零导子由( 2 ) 的证明可知 t 2 ”o ) = 皖( x ) = 托一e x ，而疋2 ” ) = 坑2 ( x ) = x e + e x 一2 e x e 命题1 3 记代数彳上的全体导子为d e r ( a ) ，在其上定义乘法【d l ，d f l = d l d 2 一d 2 d l v d l ，d 2 d e r ( a ) ，则d e r ( a ) 构成域f 上的李代数【1 8 】 下面我们来考察a 上的局部幂零导子的一些性质 定理1 4 代数4 上的任意两交换的局部幂零导子之和仍然是局部幂零导予 证明：v x e 彳设凼，而为爿的局部幂零导子，设d l ( x ) = o , a 2 “0 ) = o ，并设 碣”。( 吐( x ) ) = 0 ，d l ”2 ( d 2 2 ( x ) ) = 0 ，d l , - i d 2 “ - i ( x ) = 0 硕士学位论文 m a s t e r st i 拒s i s 取 o = m a x m ， ，行l ，h 。一1 + m ， 贝u ( d + d ：) n ( z ) = d 产( x ) + ( 严p 。m 一d ：( z ) + + ( 2 b n 一”d ：( x ) + + d 2 n 。( x ) ：0 故西+ 函是局部幂零导予 假设d 是代数a 的局部幂零导子，如果口卅，那么我们定义a e g z a ) 如【9 a e g d ( a ) = s ，如果玎0 ，d 。( ) 0 而d “1 ( a ) = 0 d e g a ( a ) = 一0 0 ，如果a = 0 称d e g d ( a ) 为a 关于d 的次数 命题1 5 【见9 】，设a , b e a ，那么 ( 1 ) d e g a ( a b ) n ，那么定不存在非零导 子使得矿= 0 ，这节中证明了其逆也是成立的，代数a 是f 整域( 即含单位元 的无零因子代数) 当且仅当一上的幂零导子为0 e c p 蝴e ， 1 】中证明了在特征不为2 的素环上，如果两个导子的合成还是 导子，那么必有一个为0 ，若在素代数上，也有类似的结果 命题2 1 设爿是c h a r 爿2 的素代数，d l ，而是a 上的导子，则若d l 吨= o ， 那么d l = 0 或如= 0 推论2 2 如果彳是无零因子的或是有限维的素代数，而d r , 吨是4 上的导子， 则若d i d 2 = o ，那么西= 0 或碗= o 证明：若a 是无零因子的，那么a 是素代数，并且如果h a = 0 ( v a 爿) 有n = 0 ， 故c h a r a = 0 ，由命题2 1 即得 若爿是有限维时，不妨设， 是彳的一组基 如果x = 口1 工1 + + 口，x ，4 ，那么似= h 口1 x l + + f l o g t x ，= 0 当且以口，= 0 ( 江l ，) j 又因为c h a r f = o ，若x 0 有n = 0 ，故c h a r a = o ，由命题2 1 即得 命题2 3 设d 是素代数a 上的导子，是a 上的一个非零理想，若d 吖，) = o ， 则伪) = o 这说明对于爿上的导子，当限制在a 的某个理想时是幂零导子，则在彳 上一定是幂零导子如果是局部幂零导子，是否有同样的结果? 还有待进一步 研究 命题2 4 设d l 与也是素代数一上的导子，如果d l 如= o ，则d i _ 0 或刃= 0 命题2 5 设d l ，a 2 是素代数a 上的导子，如果d 秽= 0 ( m 是正整数) ，那么 d l - o 或以= 0 ( 这罩， n ， 那么一定不存在非零导子使得d 惶o 因为r 是无零因子的，所以五是素环， 反过来在有零因子的素代数上面是否存在非零的幂零导子呢? 得到了如下的 结论 定理2 6 有左( 右) 零因子的素代数一定存在非零的幂零导子 证明：设a 是素代数，r a = x a fa x = 0 和l 。= 扛4 ix 口= o ) 分别是a 在a 的右零化子和左零化子 若口( o ) 彳是a 中的左零因子，那么r a 0 ) ，即存在b e 0 ，5 fa b = o ， 因此对于所有x e a ，a b x = o 现假定心= 厶，那么由a b x = o 一定就有b x a = o ，而a 是素代数，因此a = o 或b = o ，这与口0 和6 0 矛盾故r 。l 。下面可以分为两 种情况讨论： ( f ) 存在e l r 。s tc l e l 。，e a c l = o 而c i 口0 ，那么( c l ) 2 = c l ( a c l ) a = o ， 因此c l a 是a 中的幂零元，由定理1 2 ( 1 ) 知，内导予4 。是幂零导子 ( f f ) 存在c 2 el 口s tc 2 ir 口，i ec 2 a = 0 而a t 20 ，那么( a c 2 ) z = a ( c 2 a ) c 2 = 0 ，因 此a t 2 是a 中的幂零元，这样由定理1 2 ( 1 ) 知，内导子& ，是幂零导子 这样若存在左零因子，则必然存在非零的幂零导子同样可证在右零因子 的情况即证 定理2 7 设a 是有单位元素代数a 是无零因子代数当且仅当a 上的幂零导子 是0 证明：充分性由定理2 6 的逆否命题即得 必要性假设a 没有零因子如果a 上存在一个非零幂零导子吐那么存 在n l ，s td ”。= 0 而d n 0 这样存在a ( o ) a s t d “1 ( a ) = 0 而d ”0 ) 0 ， 因为a 是无零因子的，由命题1 5 ( 1 ) 知任意z ，y a ，d e g a ( x y ) = d e g d ( x ) + d e g a ( y ) 现若对于所有的x a ，d e g a ( x ) = n ，那么n = d e g d ( x 2 ) = 2 d e g a ( x ) = 2 n ，故n = o 这与 n l 矛盾所以一定存在6 一，s t 砍6 ) 0 而d “1 ( b ) = 0 ( 这里o 疗时，d l ( x 产0 ，事实上， o = d ( d l c ，埘o 。) - ( 冽1 ) f o 。0 ) ) = ( 函固( 舡o 。) = 矾( 矿”。) = d l 矿咿1 0 ) 假设n 0 ) 般时有d l 矿忸) + 七( x ) = o ，则 o = d ( d l d n ( x ) + 0 ) ) = ( 耐i ) 矿+ b ) = ( 而印矿+ k ( x ) 一d l d n ( x ) + “1 0 ) 所以d l d m ( x ) = o ( m 玎) 不妨设彳的一组基为“，屯，x ，) ，并设吐d 小( x ) = o f f , d i d ”1 ( x ，) 0 ( i = 1 ，2 ，0 ，取n = m a x n ( x o ，n ( x 2 ) ，疗( 功 ，显然d l d ( x ，) = 0 ，故对于爿中 v z = 口i x l + + 口，x ， d i a l ( x ) = d l a e ( a l x l + + a f x ) = 口i d l d 一( x 1 ) + + 口，d l m ，) = o 现v x , y a ，有 d j a ”( x y ) = d | ( ( d e ”( x ) d ( ，) ) = ( d e - 矿。( 膏) d o ) 】 k = 0 k = o = ( ：) f l b ) 矿机，1 k ( x ) d l 勘】有d i d 。( x ) a a ”( y ) 2 0 ( 2 ) k 一0 由所设的 o d 是满足d ld 吣卜1o j o ( f - 1 ，f ) ，则一定存在x 。0 ，使得 d l a # 。0 。) 0 ，令a = d l d 。0 0 ) 0 ，由( 2 ) 式即知ja 0 ，对于 v y a s j a d “( y ) = 0 则由j e n s e n 在【2 4 】中的引理1 即知”= d 即d 是幂零导子 定理2 1 5 设矾，破是有限维素代数上的导子，如果d t d 2 = d 2 d t ，且若对于每个 元x 都存在n ( 砷和r e ( x ) ，使得d l ”( x ) d 2 r a ( x ) 0 ) = 0 ，则d i 和而至少有一个是幂零导 子 证明：因为d i d 2 = d 2 d l ，故d i n ( x ) + 乞吖g ) = o ( f 1 1 ) 设一的一组为 而，x 2 ，x ， ，并设d ? d ? 0 ，) ：o ( f 1 ，：o ， 取n = m a x n ( x ，l 。：h 0 ，) ) ，m = m a x n ( x 1 ) ，。：” ，) 故对于v x = o t l x l + + q 薯a ，有 d l ”磅，( 曲= d l ”( 巩口i x l + - + 口，x ，) = 口l d i ”c 矿0 1 ) + + 口，西w g d = 0 即函协“= 0 ，则由j e n s e n 在 2 4 】中的定理3 知道矾与而至少有一个是幂零导子 下面考察多项式代数f x 1 2 ：的局部幂零导子的结构，显然f i x 是无零因子 的，故由定理2 7 知f i x 上的幂零导子是0 也就是f x l 上的非零局部幂零导子 一定是非幂零的局部幂零导子显然f i x 上的局部幂零导子是存在的，因为对 于删上的通常求导运算就是其上的一个局部幂零导子下面我们来看看它的 结构 定理2 1 6 d 是多项式代数f t x l 上的导子，则d 是局部幂零的当且仅当荆= 口。 ( ex 是未定元) 证明：如果d ( x ) = a o v f ( x ) = b o + b l x + + b , x ”，那么 矿+ 抛) = o ，即d 是局部幂零导子 反之，若d 0 是f i x 上的局部幂零导子，不妨设 d ( x ) = a o + a t x + + n l5 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 因为d 是局部幂零的，则s t 1 ，j r 0 ，而d + i o ) = o ，即d e g n ( x ) = t 又因为多项式f i x 是无零因子的，故d e g a ( x n ) = n d e g a x = n t 因为d 0 ，所以 d ) 0 ，这样d ( x m ) 成竹( 肌”) ，于是由命题1 5 知： 如g “口o + 口，x + + 口”x ”) = m a x d e g a a 西d e g a a t x , d e g a a x ” = n t 也就是d e g a ( x ) = n t ，矿i m ) ) 0 而矿“( d 0 ) ) = o ，于是矿”0 ) 0 而a t “2 0 ) = o 说明d e g a ( x ) = n t + l ，故h i + 1 = 而当”1 时，显然n t + 1 f ，故只有 = 0 时 才成立这样t = 1 ，即d ) = 推论2 1 7 多项式代数f i x 上的任一局部幂零导子d = a 。0 ( 这是a o f0 是 f i x 】的求导运算) 证明：若d 是f i x 上的局部幂零导子，由定理2 1 6 知棚0 ) = a 。 。d ，而 a o ) 2 1 ，故翻名) 2 a o o ( x ) 。现任意甩) = b o + b x + + 6 。x “f i x ，则 d 。厦x ) = 吠6 0 + 6 x + + 6 。z ”) = b i d ( x ) + + 6 。诫x = ( 6 ，+ 2 z b x + + 竹b 。x ”。) 翻i ) = a o ( b ，+ 2 b 2 x + + ”bh 工n - i ) 0 ( x ) 而( 口da ) 【，c x ) 】= ( a o o ) ( 6 6 肛+ + 6 。x 1 2 a o b t a ( 砷+ + 6 。0 ( z ”) 】 = a o ( b t + 2 b 2 x + + b 。上n - i ) a 故d 0 5 = a 0 0 0 9 即d = a 0 0 事实上，由a n o w i c k i 9 q b 的定理1 2 1 可知毋】的全体导子d p 嘣毋】) 是 一个以a 为基的自由的f i x 一模这也就不可能毋】上的所有导子都是局部幂零 导子了例如：若d = - x o ，则d 是m 】上的导子，但因为d 0 ) ，即而矿血) 邓0 ( 月 1 ) 所以d 不是局部幂零导子 定理2 1 8 若d 是f i x 的局部幂零导予，则若s d = 0 ，有d ：0 证明：因为d 是局部幂零导子，所以d = a 0 0 向。刀 现若8 0 0 ，取产l 乜f i x ，则 一厂2 言器2 “( 1 + 加善器妒“( 1 + 垆彬。 这与一= 口矛盾，即口。= d ，所以d = 0 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 结束语 代数上的局部幂零导子的研究对代数本身的结构的研究起着重要的作 用，本文只是考虑的特征为0 的域上的代数的局部幂零导子的性质，并用一 及一来刻画了代数上局部幂零导子的一些性质。之后探讨了素代数上的局部 幂零导子的一些结构，并用幂零导子完全的刻画了无零因子代数，若素代数a 是无零因子代数当且仅当a 上的幂零导子为零。并且当是有限维的素代数的 时候，得到了一些导子成为幂零导子的充分条件。最后探讨了多项式代数唯 上的局部幂零导子，并证明了其上的每个局部幂零导子都为a o o 阮f ，0 是 f 【x 】上的求导运算) 。若要弄清楚代数上的局部幂零导子的结构，还需要进一 步研究。 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 参考文献 【1 e c ，p o s n e r ，d e r i v a t i o ni np r i m er i n g s ，p r o c 。a m e r m a t h s o c ，1 9 5 7 ( 8 ) ：1 0 9 3 一l 1 0 0 2 m b r e s a r & j v u k m a n ，o nl e f t d e r i v a t i o n sa n dr e l a t e d m a p p i n g ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 1 0 ( 1 ) ：7 - 1 6 ，1 9 9 0 【3 j o r d a n ，d e r i v a t i o n o n s e m i - p r i m er i n g s ，p r o c a m e r m a t h s o c 10 4 ( 4 ) ： 1 0 0 3 - 1 0 0 6 1 9 8 8 4 1 m a c h e b o t a r & p j e k - h w e el e e ，o nc e r t a i ns u b g r o u p so fp r i m er i n g sw i t h d e r i v a t i o n s ，c o m m a l g e b r a ，2 9 ( 7 ) ：3 0 8 3 - 3 0 8 7 ( 2 0 0 1 ) 【5 1 李桃生，范畴与同调代数基础，华中师范大学出版社，1 9 8 8 【6 1 沈如林，有限维素代数上导子的一个注记，江汉大学学报，3 1 ( 4 ) ：1 7 。1 8 ，( 2 0 0 3 ) 【7 d w j e n e n ，n i l p o t e n c y o fd e r i v a t i o n si n p r i m er i n g s ，p r o c a m e r m a t h s s o c ， 1 2 3 ( 9 ) ：2 6 3 3 - 2 6 3 6 ( 1 9 5 5 ) 8 z h a n gs h u - h u a & n i uf e n g - w e n ，d e r i v a t i o n so ns e m i - p r i m er i n g s ，j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a l ，r e s e a r c h & e x p o s i t i o n2 2 ( 3 ) ：3 71 - 3 7 4 ，2 0 0 2 【9 a n d r z e jn o w i c k i ，p o l y n o m i a l d e r i v a t i o n sa n dt h e i r r i n g s o f c o n s t a n t s ， p r e p r i n t ，1 9 9 4 【1 0 e g r z e s z c z u k ，c o n s t a n t s o f a l g e b r a i cd e r i v a t i o n s ，c o m m a l g e b r a2 1 ( 6 ) ： 1 8 5 7 1 0 6 8 ，( 1 9 9 3 ) 【1 1 】wl i ，r e m a r k so nr i n g so fc o n s t a n t so fd e r i v a t i o n s ，p r o c a n l e r m a t h s o c ， 1 0 7 ( 2 ) ：3 3 7 - 3 4 0 ，( 19 8 9 ) 【1 2 er o b e r t s ，a ni n f i n i t e l yg e n e r a t e ds y m b o l i cb l o w - u pi nap o w e rs e r i e sr i n g a n dan e w c o u n t e r e x a m p l et oh i l b e r t sf o u r t hp r o b l e m ，j a l g e b r a ，1 3 2 ( 1 9 9 0 ) ： 4 6 1 4 7 3 【1 3 h g j d e r k s e n ，t h ek e r n e lo f ad e r i v a t i o n ，j p u r e a p p l a l g e b r a ，8 4 ( 1 9 9 3 ) ， 1 3 一1 6 【1 4 m n a g a t a ，o nt h ef o u r t e e n t hp r o b l e mo f h i l b e r t ，p r o c i n t e r n c o n g r e s s m a t h ， 19 5 8 4 5 9 4 6 2 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 【15 j f r i t t ，d i f f e r e n t i a la l g e b r a ，a m e r m a t h s o c c o l l o q p u b l ，v 0 1 3 3 ，n e w y o r k ，1 9 5 0 16 a v d e s s e n ，l o c m l yf i n i t ea n dl o c a l