（运筹学与控制论专业论文）一类非齐次半线性椭圆型方程的正整体解.pdf

摘要 本文考虑r n 中非齐次半线性椭圆型方程 “+ k ( i x l ) u + ，p ) = 0 正整体解的存在性与非存在性以及衰退性这里n 3 ，p 1 ，( z ) 0 与k ( 1 = 1 ) 均是r o 中给定的局部h s l d e r 连续函数，而且k ( i z ) 0 满足慢衰退条件， 即存在常数c 0 和f 一2 使得当川充分大时k ( i x ) ) c 川 研究方程( + ) 正整体解的存在性与非存在性以及其它相关性质的主要困难在于 区域的非紧性、非奇次项的出现和奇异系数的可能出现，这些均极大地限制了变 分等常用方法的应用本文首先对，( z ) 加以不同的条件限制，分别得到了方程( + ) 正整体解的存在性与菲存在性然后，我们证明了方程( + ) 的任何正整体解韵衰 退指数处于措与n 一2 之间，并给出了快速衰退解( 即衰退指数为n 一2 ) 的存在 性结论。最后，应用上下解方法证明了方程( + ) 存在处于u 。邻域中的正整体饵， 这里u 。是指方程( + ) 所对应的齐次方程的正整体解且“。( o ) = o 本文的结果表明，当1 耧 时，非齐次项，( 。) 的衰退指数对于方程( + ) 正解的存在性与非存在性以及衰退性 是非常尖锐的：如果，( 。) 的衰退指数小于警等，则方程( + ) 不存在任何正解；如 果，( 。) 的衰退指数大于或等于鲁牟，则方程( + ) 至少存在一个正解；进一步，当 p 4 某笋时，如果，( z ) 的衰退指数大于n ，则方程( + ) 任何正解的衰退指数或者 为署或者为n 一2 ，处于两极端情形 关键词：存在性；衰退指数；椭圆型方程 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c e ，n o n e x i s t e n c ea n dd e c a yp r o p e r t i e so fp o s i t i v e e n t i r es o l u t i o n sf o rt h ei 址l o m q 弘u ss e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n “+ k ( 1 = i ) u p + ，) = 0i n 舻， ( ) w h e r en 3 ，p l ，( o ) 20a 5w e l la s q l z f ) i sag i v e nl o c a l l yh s l d e rc o n t i n u o u s f u n c t i o ni nr “ 0 ，a n d 耳( 1 。i ) s a t i s f i e st h es l o wd e c a yc o n d i t i o n ，1 e ，k ( 1 m 1 ) c i = i 。 n e b , r 。f o rs o m ec o n s t a n t c 0 a n dc - 2 t h em a i nd i f f i c u l t i e si ns t u d y i n ge x i s t e n c e n o n e x i s t e n c ea n do t h e rr e l a t e dp r o p e r t i e s o fp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n sf o r ( $ ) a r et h en o n c o m p a c t n e s so ft h ed o m a i n ，t h ep r e s e n c e o fa ni n h o m o g e n e o u st e r ma n dt h ep o s s i b l ea p p e a r a n c eo fs i n g u l a rc o e f f i c i e n t s ，w h i c h g r e a t l yr e s t r i c tt h el l s eo fr e g u l a rm e t h o d s t h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v e e n z i r es o l u t i o n sh a v eb e e nf i r s t l yo b t a i n e du n d e r $ o n l ed i f f e r e n ta s s u m p t i o n so n ，旧) t h e nw ep r o v et h a tt h ed e c a ye x p o n e n to fa n yp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o nf o re q u a t i o n ( ) l i e s b e t w e e n 面2 + l a n dn 一2 ，a n df a s td e c a ys o l u t i o n s ( 2 e ，t h ed e c a ye x p o n e n ti sn 一2 ) a r ee x i s t e n t w ef i n a l l yp r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s y i n gi nt h en e i g h b o r h o o do fu a t h er e s u l t so ft h i sp a p e rs h o wt h a ti f1 ：笺，t h ed e c a ye x p o n e n to f ，( z ) i sv e r ys h a r pf o r t h ep o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n so fe q u a t i o n ( ) ：i ft h ed e c a ye x p o n e n to f ，( 。) i ss m a l l e r t h a n 群，t h e ne q u a t i o n ( ) d o e sn o th a v ea n yp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n ；h o w e v e r ，i f t h e d e c a ye x p o n e n to f ，( z ) i sn o ts m a l l e rt h a n 群，t h e ne q u a t i o n ( ) d o e sh a v ea tl e a s t o n ep o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n ；f u r t h e r m o r e ，i f p 耋乒a n d t h ed e c a ye x p o n e n to f ，( z ) i sb i g g e rt h a nn ，t h e nt h ed e c a y e x p o n e n to fa n yp o s i t i v ee n t i r es o l u t i o nm u s tb e o n eo f t h et w o e x t r e m e s ，i e ，拦o rn 一2 k e yw o r d s ：e x i s t e n c e ；d e c a ye x p o n e n t s ；e l l i p t i ce q u a t i o n s i i 硕士学位论文 m a sj t r s 1 h s i s 1 引言 本文主要考虑了非齐次半线性椭圆型方程 ， “+ k “。| ) “+ f ( x ) = o 。r “， ( 1 i ) 【u 0 蚝r “， 这里n 3 ，p 1 ，( 。) 0 与g ( 1 2 1 ) 0 均是r “ 0 ) 中给定的局部h s l d e r 连续 函数，而且g ( 1 2 1 ) 0 满足慢衰退条件，即存在常数c 0 和z 一2 使得当 充分大时g ( i x l ) c l x l 如果方程( 1 1 ) 存在一个正解u 在舻 o ，中点点满足 ( 11 ) ，则称u 是方程( 1 1 ) 的一个正整体解或简称为正解 非齐次方程( 1 1 ) 所对应的齐次方程为 ， 出帽( i x l ) 肚0 蚝形，( 1 2 ) 【u 0 z r n 对于方程( 1 2 ) ，b g i d a s ，n iw e i m i n g 和l n i r e n b e r g 1 8 】早在1 9 8 1 年已对k ( i 。i ) 恒为正常数的情形进行了比较全面的研究；1 9 8 2 年， n iw e i - m i n g 6 开始研究 k ( 1 4 ) 满足慢衰退条件的情形，即存在常数c 0 和f - 2 使得当充分大 时g ( i x l ) 2c l x l 。由于方程( 1 2 ) 在天体物理学和几何等领域中均有一些很好的应 用，近二十年来，方程( 1 2 ) 受到了人们的广泛关注，见文献 1 3 【1 1 【1 5 【1 6 1 9 2 l j 及其相关文章到目前为止，人们已对k ( i x l ) 满足慢衰退条件下的方程( 1 2 ) 进行 了较为彻底地研究，并取得了一些很好且引人注意的结果，如方程( 1 2 ) 存在正解 的必要条件是p 詈墨，方程( 1 2 ) 的正径向解具有分层属性以及方程( 1 2 ) 的任何 正解的衰退指数处于措与n 一2 之间等等 定义1 1 定义在口中的正函数t ( z ) 如果满足l i m i 刊_ + 。i x l 9 u ( 。) = c ，其中 0 c + o 。，则称u ( x ) 的衰退指数是9 1 9 9 6 年以来，g b e r n a r d 和s b a e 等人在5 】 7 【8 】中开始对非齐次方程( 1 1 ) 进行了研究对于k ( i x l ) ；1 的情形，g b e r n a r d 在【4 j 中已证明了方程( 1 1 ) 正 1 硕士学位论文 m a s t i e r st i 正s i s 解的存在性与非存在性；s b a e 在 5 】 7 中进一步证明了方程( 1 1 ) 正解的非存在 性对于k ( 1 x 1 ) 为非常数的情形，研究方程( 1 1 ) 正解的存在性与非存在性以及其 它相关性质的主要困难在于区域的非紧性、非奇次项的出现以及奇异系数的可能 出现，这些均极大地限制了变分等常用方法的应用本文首先将应用上下解等方 法充分应用( h ) 的慢衰退条件克服上述困难，讨论方程( 1 1 ) 正解的存在性以 受非存在性 n iw e i - m i n g 在文 6 】中定理1 1 0 处曾证明得出，当p = 蕊n + 2 且k ( h ) 满足慢衰 退条件时，方程( 1 2 ) 任何正解“( z ) 的球面平均函数n ( r ) ( 定义见( 2 1 ) ) 在r = 充分大时满足 o 0 一 0 ) 且l i m ，_ + o 。r - i k ( r ) = k 。 0 ，其中z 一2 ； 2 ( k 1 ，) k ( t ) 0 ( r 0 ) 且l i m r _ + o + r - l k ( r ) = k o 0 ，其中f 一2 ； ( k 2 ) g ( r ) 0 在r _ + o o 处是可微的且满足杀( r k ( r ) ) s o ； ( k 3 ) 0 o ) ，其中f 一2 ( 皿4 ) k ( r ) 0 是可微的且满足杀( r j f ( r ) ) 0 ( r o ) ； 以下是本文中经常用到的记号： m ；掣普，b o i n 一2 2 m ， l ；( m m 一2 一m ) 】声，c o i 。，一1 ) 三一1 不难看出，对于k ( i x l ) 满足慢衰退条件的情形( z 一2 ) ，当p 堡苦笋时 且b o 0 为了便于引用文 3 1 中的结果，这里定义常数p c 如下： i 竖些型訾茄练辫业堂咝，n 1 0 + 4 f ； p c ： 雨而珂习厂一“7 ”“ i 。， 3 n t o + 4 l 特别地，当z = 0 时， i(n-2)2-研4一n2+)(n4避一101 ，n 1 0 ； p c ： _ 。j ( n - 1 0 ) “7 【o 。， 3s n 1 0 ( 1 5 ) m o ( 1 6 ) 于 ” o ”) ， ( 1 _ r 0 ，) ， 本文的主要结果可以叙述如下： 定理1 假设p 导蓦且耳( ) 满足( k 3 ) 如果局部h s l d e r 连续函数，( z ) 0 满足 0 ，( z ) 则方程( 1 1 ) 存在一个正解且在 。 爱且( ) 满足( 3 ) 如果函数，( 。) 的球面平均，满足 。l i 。i n 州。i 群，) 旦二珲， ( 18 ) ”i - 4 0 0 t 矿k o o ) 9 _ 1 则方程( 1 1 ) 不存在任何正解 定理3 假设p 4 击至笋且耳( r ) 满足( k 2 ) ，( r ) 满足 i ，1 ) ，( r ) = o ( r 7 ) 在r - 0 处成立，其中r 一n ； ( 凫) ，( r ) = o ( 一) 在r _ o o 处成立，其中7 导墨时， 。+ p 等= 裂 o 满足慢衰退条件，即存在常数c 0 和 f - 2 使得当h 充分大时k ( 蚓) 2e ，则当l 0 ，则有 ( s ) + ，( s ) 护( s ) 0 ，s p ，o o ) ， 硕士学位论文 m s l e r s t h e s i s 这里 ，c s ，= 丢筹2 s 亳m 一2 ) 1 ”一再 因此，在【t ，0 0 ) 上是递减的，且对所有t t 恒有 o 所以垂在【t ，。o ) 上 是单调递增的正函数 令 ”( s ) = z 竺万d z ，s e t ，。) ， 则对任意s t ，, 0 t ( s ) 0 恒成立，而且 o 。( s ) 抵 令t - o o ，由对k 的假设条件可得 e s j 如2 ce 8 搭q _ d s ) c e 百d s 因为j l ( t ) 是有界的，所以当t 充：分大后”饥1 磐是馈的矛盾 6 硕士学位论文 m a s i e r st f i e s i s 引理2 2 假设f ( x ) 0 且k ( i x l ) 0 满足慢衰退条件，即存在常数c 0 和 f 一2 使得当川充分大时k ( i x ) c l x l 如果t 是方程( 1 1 ) 的一个正解，则有 下述估计 0 0 ，r = 充分大 证明：由方程( 1 1 ) 可知， a f t + k 日9 一y 0 ( 2 2 ) 对( 2 2 ) 在b r 中进行积分，根据g r e e n 公式可得： f b r k f i p d xs 一五。她d x 一 d s( 23 ) a 口r = 一g r “一1 证7 ( r ) ， 这里c 是一个正常数再次应用不等式( 2 2 ) 得 ( r n - l 百( r ) ) s r “一1 符面ps 0 因为甜( o ) = 0 ，故( r ) 0 对所有r 0 恒成立假设k ( r ) c r 对所有r r o 恒成立，则当r22 凰时， l b r k 世如芝| 梆r n k 廿如 fg 一泸如 j b a b a o ，r ( 2 4 ) c e p ( r ) i n + l - - 1 d r j r o 2c r ”面( r ) 7 石合( 2 3 ) 棚( 2 4 ) 知， 一勰删“，r 2r l = 2 凰( 2 5 ) 当r 充分大时，对( 2 5 ) 在 r l ，r 上进行积分， 一( 器拙拟r 2 + l - r ；+ f ) 三 。 弓一方面， 一= 器拙= 一塑1 - pi r r 。= 击( 扩v ) _ t 2 1 - p ( 叭 因此当r 夼分大时 豇l - p ( r ) 兰c r 2 + 。十百1 9 ( r i ) c r 2 + 0 引理2 2 得证 推论2 1 假设f ( z ) o ，k ( i x ) 0 在舻中恒满足k ( j x l ) e ，其中f 一2 如果u 是方程( 1 i ) 的一个正解，则有下述估计 0 0 对( 2 4 ) 取风= o ，由引理2 2 的证明过程不难得出上述推论2 1 ，证明从略 现在我们准备证明方程( 1 1 ) 正解的存在性证明中将采用n i l 6 】建立的上下解 方法： 引理2 3 如果f ( x ) 是一个局部h s l d e r 连续函数，( z ) 是方程( 1 1 ) 的一个上 解且妒( z ) 是方程( 1 1 ) 的一个下解，其中毋妒在舻中恒成立，则方程( 1 1 ) 存 在一个正解t 且在胛中满足妒s “s 曲 证明见【6 1 中定理2 加 8 硕士学位论文 m a s l e b st i i e s i s 定理l 的证明：对于f 一2 ，定义 以及 r ”( r ) _ 2 丽丰干下o s = i d 2 万w + n i - 一lj d w f + 耳( r ) p ， 这里f ，a 0 将在后面给定直接计算s w 可得： a a ( o + 1 ) ( 2 + i ) 2 r 2 + 2 a ( 24 - i ) ( n + 1 ) r 专k ( r ) 毒p 6 ”2 1 订i 丽河：r 一一 订i 研矿+ 万石秭 s ( 一盟等高等业+ 辞辚) ， 既然k ( r ) 满足( k 3 ) ，我们可以选取q o 以及 o 使得 s ”一黠 对某个有界函数g ( r ) 0 和指数p 0 成立为此，限定a p a + 1 ， l 。2 两 由对o t 的这一限制，根据( 2 6 ) 可得： 眺塑刿并笫p 坐鲣r f 因而必须有n 一2 一o ( 2 + f ) 0 ，也即 n 一2 o 虿万 所以，o t 必须满足下述不等式 事实上，根据 击n 西钳两 ：墨且k ( 1 x 1 ) 满足( k 1 ) ，( k 1 ) 以及( k 2 ) 如果局部h a l d e r 连续函数，( z ) 0 满足 吲s 面崭1 搿：9 1 2 + 啬1 ，( p p ) 可( + i) 焘 则方程( 1 1 ) 存在一个正解且在r “中满足不等式 0 i n 习+ l ，( $ ) 0 且k ( 1 x t ) 满足( k 3 ) 如果函数，( 。) 的球面平 均 满建 。 r 筹，( r 卜品p 丽- 1 kp1 卅譬= 慨 ( 2 9 ) j ( 妒r “) 一 7 则方程( 1 1 ) 在。o 处不存在任何正解 证明：假设u 是( 1 1 ) 的一个正解，则，( z ) 的球面平均函数，在钟中满足 面+ k f i p + ，s0 由引理2 2 ，o 鱼生辈， l 。i - - * o o f p p k 0 0 1 p 一1 则方程( 1 1 ) 不存在任何正解 定理2 和推论2 2 的证明完全类似于定理2 2 ，证明从略 注2 1 如果p n + 元= 2 + r 2 1 ，则有b o 0 因此，当p 2 去至笋时，在缺乏引理2 2 中r 嚣口是有界的这一事实下，定理2 ，定理2 2 和推论2 2 仍然成立 3 解的衰退性 在引理2 2 的基础上，本部分中我们首先将衰退估计( 1 3 ) 推广到非齐次方程 ( u ) 之中，然后证明快速衰退解的存在性在，( z ) 满足合适的条件下，最后我们 将证明方程( 1 1 ) 的任何正解的衰退指数或者为m 或者为n 一2 ，二者必备其一 定理3 1 假设，( z ) 0 且k ( i x l ) 0 满足慢衰退条件，即存在常数c 0 和 z 一2 使得当充分大时k ( i x ) g 吲如果“是方程( 1 1 ) 的一个正解，则有 下述估计 o r n - l o , 7 ( r ) ，r l 即 i v ) 粤r l 对上述不等式两边在h 嗣上进行积分得 邢h s 一墨( 嘉一面1 ) ，r r - 嫩) 叫r ) 1 也即是 砸) 冽r ) _ 如) 一墨芦1 ，r 1 记c 1 = 一智 0 ，从而定理3 1 得证 下述定理证明了快速衰退解的存在性 定理3 2 假设p 2 # 笋且k ( i x l ) 满足( k 3 ) 如果局部h o l d e r 连续函数 ，( z ) 0 满足 o 一2 ，设 ”( ”) 2 两末砸7 o ， 且 s = d i 2 万w + - n 了- id 石w + k ( r ) ”p ，d r rr 这里f ，n 0 将在后面给定直接计算s w 可得： s w = 竺虫 ；等等喾一! ；辫+ 器 o ( 2 + 1 ) ( n 一2 ) 一n ( 2 + f ) 】r 2 + 2 + ( n 十f ) ，f ，r k ( r ) p 、 ( 1 + r 2 + ) ”2( 1 + r 2 + ) o p ( 3 1 ) 令n 2 g 看，显然w 具有快速衰退性，我f f 将证明u 是方程( 1 1 ) 的一个上解既 然( r ) 满足( k 3 ) ，因此当a = 鼍署时可以选取 0 使得 s w s 群南 对于某个有界函数g ( r ) 0 以及指数卢 0 成立为此，取。= 两n - 2 并且限定 a p 2 a + 2 ，也即p 满足 p 等掣 1 4 硕士学位论文 m a s t e r si i 正s i s 根据定理3 2 的假设，由( 3 1 ) 可得 鼬尘警1 筹继r f ( 3 2 ) f + r 2 + ) 矿 所以当充分小时，不等式( 3 2 ) 的右边将是负的，而且下述f 的取值使之达到负 的极小， s ：( 铹) 南s ( 掣) 由 因此 s w s一五_=_cj=(r百)r簪11 ， f + 一十) ；= 芎一 这里 e ( ，) ：虹型坠型毕业坚 f r - k 1 p 一1 所以当，满足定理3 2 的假设时，也即当，满足 。s ，茎再i c ( r 再) r l 孕f l 十r 2 十) ；才 时，w 是方程( 1 _ 1 ) 的一个上解显然，v ；0 是方程( 1 1 ) 的一个下解由于”曼w 且，是局部h s l d e r 连续函数，根据引理2 3 ，方程( 1 1 ) 存在一个正解u 使得在r “ 中满足 0 s t ( 。) ( z ) 由强极值原理可得t 0 ，证毕 在本部分的以下内容里，为了便于进一步讨论方程( 1 1 ) 正解的衰退性，我们 始终假设，( z ) 是对称函数，即l ( x ) = ，( r ) ，其中r = m 引理3 1 假设k ( r ) 满足( k 3 ) ，l ( r ) 0 满足 ( ，1 ) f ( r ) = o ( r 7 ) 在r - 0 处成立，其中r 一n ； ( ，2 ) i ( r ) = 0 ( r 7 ) 在r + 。o 处成立，其中7 0 使得“( r ) = o ( r “”) 在。处厩业， 则u ( r ) = o ( r 2 - n ) 在o 。处成立 证明：对( 1 1 ) ，在 0 ，r 】上进行积分， u r ( r ) + 击上7 ( 即) u ) 圳枷扩1 d s 钏 根据条件得知u ( 。o ) = 0 ，所以对上式在 r ，o o ) 上再一次进行积分可得 小) = z 。击眙耶矽+ ，( s ) ) , n - 1 d s d t 故当r 1 时，对上述等式交换积分顺序得 。( r ) ：。i f 2 - n j 一( k ( s ) u p ( 。) + ，( s ) ) 。n i d st ( r ) = n 一2o ( k ( s ) u p ( s ) + ，( s ) ) s “d s + 南：。( 郧州十，( s ) ) s d s s g r 2 - n + 7 2 - n ( u p ( s ) s n + - 1 + $ n l + 7 ) d s 十厅( s w + 1 ) d s 十( ( 3 ) 8 h + 3 7 + 1 ) d s ； e r 2 - n + ，, 2 - n 7 ( 8 - - p ( m + s ) 4 - n t l - 1 + 8 n - 1 4 1 ) d s ( 3 3 ) + f 。( s p ( m + e ) + i + l + 矿+ 1 ) d s 】 + ( s 一) + h 1 + 矿“) d s ，r 锯：2 = 黧：= 主 锯：嚣，烹篙：； 如果m + 舻 n 一2 ，引理3 1 显然得证否则，当m + p e 0 使得 l 。”0 在r “b 吼( o ) 中成立 另一方面，对于o e n 一2 - m ，t = 0 在形 o 中成立，这里怅( z ) = 风， 其中厦是 p ( 卢一1 ) + ( n l 一2 m ) 口一m ( n 一2 一m e ) = 0 的负根，也即 p 。= ； 一( n 一2 2 m ) 一、，i 元_ = = _ i 二j 五鬲j r ；i 元再_ 二l _ 二雨 o 令g = v ( a 。) r f 口t ，根据厦 一n ； ( f 2 ) ，( r ) = o ( r 7 ) 在r - + o 。处成立，其中7 0 下面将构造出矛盾 首先证明：对于r o 1 ，如果坼( t o ) = 0 而且 旷u 州i 等掣，慨。， 倚。) 裂 m ( n - 2 - m ) 一k o v p - 1 ) 卜 则t h ( ”o ) 0 假设v r r ( 7 0 ) = 0 ，则由( 3 4 ) 得 0 = m ( m + 2 一n ) ( r o ) + r i k ( r o ) p ( r o ) + r 孑+ 2 ，( r o ) 茎r 孑+ 2 ，( r o ) + ( r o ) 【一m ( n 一2 一m ) + k o v p 一1 ( r o ) l 0 从而矛盾故必有 r r ( r o ) 0 根据定理3 1 以及，( r ) 的衰退条件( ，2 ) 知，( 3 6 ) 对于充分大的t 0 是成立的 因此结合假设 l i m i n ，r _ ( r ) = 0 p = l i ms 叩r + o o ( r ) 可以证明，存在具有下述性质的序列 靠) 和 仉) ： i ) 1 1 卵1 已 ，7 2 靠 仉 0 ，也即 ”( 是严格的局部极小令 q l = s 叩 q l j ”( q ) = u ( - ) 且”( r ) ”( t ) ，r ( f z ，q ) ) 1 9 由l i m5 “p r 。o 。口( r ) = p 0 知，q l 0 ，即”( q 1 ) 0 也是严格的局部极小从而 ( q l + e ) ”( q 1 ) = ”( 1 ) 对任意充分小的 0 成立，这与目l 的定义相矛盾所以嘶( q 1 ) 仉使得”( 靠+ 1 ) 是局部极小且满足 昧) 靠+ j ”( q ) = ”( 氟) 且t ，( r ) ”( 缸，) ，r ( 矗+ 1 ) q ) ) 采用对w 1 的推理方法同样可得1 ) r r ( e + 1 ) o 且嘶( 啦+ 1 ) 0 ， 或者 b ) l i m i n ，r 一+ 。 ( r ) = 0 如果”( r ) 满足o ) ，则“( r ) = o ( r 一“) 在。处成立；如果”( r ) 满足6 ) ，由定理3 3 得知“( r 1 = o ( r 2 ”) 在。处成立 4 u 。邻域解的存在性 对于初值问题( 1 4 ) ，n i 和y a s u t a n i 在文【2 1 中定理6 处曾指出：如果p2 堡喾笋 且g ( i x l ) 满足( k 1 ) 以及( k 曩) ，则对于任意a 0 ，初值问题( 1 4 ) 在 o ，o o ) 中 存在唯一的正解最近，邓引斌教授和李亦教授等在 3 1 中进一步得到： 引理4 1 假设p p c ，耳( r ) 满足( 托1 ) ，( 豇1 7 ) 以及( 皿霹) 对于任意0 o 0 足够小 下面定义常数p ：如下 砖= t 。s “u 。十j ， ( 4 1 ) t os “u o 十1 万， 【4 lj ( 1 + 2 “) 研 n 警( + 瓜而) ； f 4 。1 3 n 鼍攀( 1 十以丽) 显然p 。 死特别地，当z = 0 且k o = 女。时 p ( n - 2 ) 2 鬲= 两际 n 1 0 ； 3 成且耳( ) 满足( k 3 ) 如果局部h 6 1 d e r 连续函数，( z ) 0 满足 0sm ) s 岵， 硕士学位论文 m a s f e r sr e s i s 岛= 蔷 每斋 错妾芋一，吲- + 击r 1 ； l o2 丽t 而耳丽西了厂一p 1 1 十面j ， m = 2 端揣】寿_ l ； ( 4 4 ) 卢= 揣 则方程( 1 1 ) 存在一个正解“且在r “中满足不等式 。u ( 。) u 。+ 旦l 百 m ( 1 + 卢”) 2 ( 2 “) 证明：对于2 一2 ，定义 ”( ) 2 丽初， 这里卢由( 4 4 ) 给定， 0 和目 0 将在后面给定，并使得下述函数w 是( 1 1 ) 的 一个上解： 加= t i q + 定义 s 州= a u + k ( r ) u ， 因而 s w = j r ( r ) ( t 口+ ) p k ( r ) u 嚣+ a v 根据中值定理，由s w 可得： s ”= 彬卜。+ 南r 南 口芦( 2 + f ) _ 8 【( 2 + f ) ( 口- - 1 ) 一( n + 1 ) 】r 2 + 一( n4 - ) ) r ( 1 + 砂2 + ) 9 + 2 这里0 卢 痧p 。 等掣 岩 46 ) 是成立的结合0 的这一限制，由( 4 5 ) 得 s ”本篙币 其中 国地肥+ f ) ( 州) 1 一掣卜p 咖( 。川叫 为了使得上述c o 0 且口满足( 4 6 ) ，下面选取正常数e 和口， 令 。一旦 。m 其中m 0 依赖于p 和n 由条件( 4 4 ) ， 岛= 筹 。k ( p - 1 ) - 一堡掣 一p 吲z + 击) p _ 1 因而c o 0 等价于 ( 2 + f ) 舡( n - 2 ) 口+ 怠嵩( 1 + 击) ”l o ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 为了使得( 4 8 ) 对于最广泛的n 和p 成立，我们假设m 充分大，也即假设n 和p ( n - 2 ) 2 一掣群 。 。掣( 1 + ( 磊f ) ， 1p f 矿者篙矗 以下选取合适的0 以及足够大的m 使得常数岛是正的由( 4 8 ) 推出m 必 m 1 端揣1 刍_ 1 ) m = z 端揣】吉_ 1 根据( 4 6 ) 和( 4 7 ) ，可以选取 一= 端 0 ，( z ) _ 二型l i r ( 1 + 卢蚓2 + ) 雅研 这里 岛= 筹 与等瓣一p 钿c + 击r 1 ) ，。o 。丽t 而干斫i i 广一p 蜘【1 十万j ， 则w 是方程( 1 1 ) 的一个上解显然u 。是方程( 1 1 ) 的一个下解由于u 。w 且 ，( z ) 是局部h s l d e r 连续函数，根据引理2 3 ，方程( 1 1 ) 存在一个正解u 且在舻 中满足 t i a su ) 0 ) 兰u q + 2 5 硕士学位论丈 m a s e r sf i 正s i s 正明完毕 从定理4 1 的证明过程中可以看出，如果对岛作更精确的估计，虻能更充分 的接近p c 下面的定理指出定理4 1 中p 足够大是一个必要条件 定理4 2 假设2 喾乒 p 0 ，方程( 1 1 ) 不存在任何正解n 使得t 。su 在帮中恒成立 证明：假设当旦差笋 p 0 ，方程( 1 i ) 存在一正解u 使 得在r “中“。u 恒成立因此u 。i ，这里面表示u 的球面平均函数显然面 是方程 n + ( r ) 矿s0 的一个上解根据【8 j 中结论2 5 可以得出“。ii ，因此，三0 ，矛盾 参考文献 1 yl ia n dw 一m n i ，o nc o n f o r m a ls c a l a rc u r