（基础数学专业论文）取值于mⅠ的连续模糊线性泛函.pdf

摘要 模糊线性泛函及相关问题的研究是，拓扑线性空间中的重要课题，已有的对 取值于由分明实直线诱导的模糊实直线( r ，u ( 靠) ) 之模糊线性泛函的研究因不具 有一般性而显得具有局限性。本文我们将通过利用在j r 拓扑学中有很好应用的模 糊实直线模型m ( ，) ，对取值于m ( ，) 上的模糊线性泛函及相关问题进行系统的研究， 得到了一系列深刻而又意义的结果，主要内容如下： 1 给出了局部凸j - 拓扑线性空间( m ( ，) ，6 ) 的以( 入( o 1 】) 的重域基刻画，证 明了( m ( o ，6 ) 不是可诱导的，一拓扑线性空间。引入了取值于m ( ，) 上的模糊线性泛 函的新定义，并研究了其连续性的几种等价刻画。 2 研究了模糊线性泛函的h a h n b a n a c h 延拓定理，并利用其证明了，一拓扑线 性空间上存在非零连续模糊线性泛函的一个充分条件。 3 给出了取值于m ( ，) 上的模糊线性泛函确定的弱，拓扑的概念，并对，一拓扑 线性空间中序列的弱收敛、集合的弱闭性、弱有界性以及其它基本性质进行了研 究。 关键词：模糊线性泛函，非零连续模糊线性泛函，m ( ，) 空间，弱模糊拓扑 u 1 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho ff u z z yl i n e a rf u n c t i o n a l sa n dr e l a t e dp r o b l e m si sa ni m p o r t a n t t a s ki n - t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e s t h ep r e e x i s t i n gs t u d yf o rf u z z yl i n e a rf u n c t i o n a l sw h o s ed o m a i ni sf u z z yr e a ll i n e ( r ，u ( 矗) ) i n d u c e db yc l a s s i c a lr e a ll i n e s e e m st ob el o c a l i z a t i o nv a l u e di nt h ee x t r e m e l yi m p o r t a n tr e s u l t ss h o u l d b el i r a i t a t i o ns i n c ef o ri tl o s sg e n e r a l i t y i nt h i sa r t i c l et a k i n ga d v a n t a g eo ft h e f u z z y r e a l l i n em o d e l m ( i ) w h i c hi sg e n e r a l l ya p p l i e di n - t o p o l o g y , t h es y s t e m i cr e s e a r c h f o rf u z z yl i n e a rf u n c t i o n a l sv a l u e di nm ( i ) a n dr e l a t e dp r o b l e m si sp r e s e n t e d a s e r i e si n t e n s i v ea n ds i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n si so b t a i n e d t h em a i nc o n t e n ti sa s f o l l o w s ： 1 t h ec h a r a c t e r i z a t i o nb ya i d so fq n e i g h b o r h o o d so f 以( 入( 0 ，1 】) f o r l o c a l l yc o n v e x - t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e si sp r e s e n t e d t h ec o n c l u s i o nw h i c h ( m ( o ，5 ) i sn o ti n d u c e db ya no r d i n a r yt o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c e an e wd e f i n i t i o no ff u z z yl i n e a rf u n c t i o n a lw h i c hv a l u e sm ( i ) i si n t r o d u c e d ，a n dt h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so fc o n t i n u o u sf u z z yl i n e a rf u n c t i o n a la r es t u d i e d 2 t h eh a h n - b a n a c he x t e n d e dt h e o r e mo ff u z z yl i n e a rf u n c t i o n a li sd i s c u s s e d ，a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c eo fn o n - n i lc o n t i n u o u sf u z z yl i n e a r f u n c t i o n a li n - t o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si sp r o v e d 3 t h ec o n c e p to fw e a k - t o p o l o g yd e t e r m i n e db yf u z z yl i n e a rf u n c t i o n a l w h i c hv a l u e sm ( i ) i si n t r o d u c e d ，a n dt h es e q u e n c e sw e a k c o n v e r g e n c e ，t h ew e a k c l o s e n e s so ff u z z ys e t s ，t h ew e a kb o u n d e d n e s so ff u z z ys e t si n - t o p o l o g i c a ll i n e a r s p a c e s ，a n dt h eo t h e rp r o p e r t i e sa r e s t u d i e d k e yw o r d s ：f u z z yl i n e a rf u n c t i o n a l ，n o n - n i lc o n t i n u o u sf u z z yl i n e a rf u n c t i o n a l ，m ( i ) s p a c e s ，w e a k l yf u z z yt o p o l o g y 1 v 第1 章引言 1 9 7 7 年a k k a t s a r a s 、l i u 在文 1 3 q h 以l a z a d e h 3 3 的模糊集合论为基 础，将c l c h a n g 1 】意义下的模糊拓扑结构与线性结构相结合首次提出模糊 拓扑线性空间的概念( 按照文献 1 1 1 q h 现今流行的标准术语，此类模糊拓扑又 称为，拓扑，此类模糊拓扑线性空间又称为，拓扑线性空间) ，但由于这样定 义的一拓扑线性空间不具有“平移不变性”，因而研究无法深入。后来，a k k a t s a r a s 本人也意识到这一点，于1 9 8 1 年又利用r l o w e n 的j f 拓扑概念重新定 义了j 一拓扑线性空间，并且以r h w a r r e n 2 3 提出的邻域系为工具，对所定义 的，拓扑线性空间的若干性质进行了分析( 参见 1 4 ，1 5 】) 。几乎与此同时，吴 从j 圻、方锦暄分别给出了，一拓扑线性空间的两个新定义，他们以蒲保明，刘应 明【1 9 】所引入的f u z z y 点的邻域系为工具，研究了这两种，一拓扑线性空间的有关性 质。虽然在这两种定义下的一拓扑线性空间具有某种“平移不变性”，但它们的 缺陷是对线性运算的“连续性”附加了更强的要求。为克服上述不足，1 9 8 2 年吴 从忻、方锦暄 2 6 】对，一拓扑线性空间进行了再定义，他们以蒲保明，刘应明 1 9 1 所 引入的f u z z y 点的重域系为工具，给出t g ( a ( 0 ，1 】) 的局部基刻化，研究了这 种，拓扑线性空间的一系列性质。后继的研究表明，此定义应该是研究模糊拓扑 线性空间一个较为合适的框架。在给出了合适的一拓扑线性空间概念后，许多学 者开始了对，拓扑线性空间的研究，由于这种定义不仅在形式上与分明拓扑线性 空间接近，而且后继研究表明，在此框架下得到的结果也较为丰富，所以这种定 义是比较合适的。此外，他们还提出了若干合理的基本概念，需要指出的是， 吴、方的定义虽然与a k k a t s a r a s 【1 4 1 的定义在形式一l 有所不同，但这两种定义 实际上是等价的。在给出较为合适的，拓扑线性空间的定义后，许多作者刀：始 对模糊拓扑线性空间的拓扑结构、线性算子理论等问题展开研究，取得了一系 列基本而又重要的结果。归结起来，所有的研究基于两类空间结构，一种是基 于( o l ) 型，一拓扑线性空间 2 5 1 ，另一种是基于线性模糊邻域空间 2 4 1 。1 9 8 5 年， 吴、方 2 5 1 定义了一类重要的，一拓扑线性空间一( o z ) 型，一拓扑线性空间，作者指出 1 第1 章引言 2 诱导j 一拓扑线性空间是( q l ) 型，但并非所有，一拓扑线性空间都是( q l ) 型的，作者 还证明了任- - ( q l ) 型，拓扑线性空间可用一族l a s a u e 意义下的伪范来刻划，从 而揭示了一个与分明拓扑线性空间所不同的新特点。在此基础上，局部凸 2 9 1 、 局部有界 2 8 】以及可赋范 2 7 1 的，一拓扑线性空间的理论被展开研究，而且在形式 上亦与分明拓扑线性空间理论相协调。令人称奇的是，也是在1 9 8 5 年，a k k a t s a r a s 将r l o w e n1 9 8 2 年提出的模糊邻域空间结构与线性结构结合起来，给出 了线性模糊邻域空间的概念，在文 1 6 1 中，作者证明了线性模糊邻域空间是一类 重要的，拓扑线性空间。在模糊线性算子( 泛函) 的研究方面，极为重要的成果应属 于方锦暄根据拓扑线性空间自身的特点，对吴、马在文 3 2 1 中给出的模糊线性算 子作适当的修改而提出的模糊线性序同态【5 】的概念，利用此概念，在文【2 4 忡， 作者成功的将分明拓扑线性空间中有关线性算子的连续性与有界性关系的一系列 命题以及线性算子族的一致有界原理进行了模糊推广。作为模糊线性算子的特殊 情形一模糊线性泛函，文【8 】对取值于由分明实直线诱导的模糊实直线( 瓞，u ( j r ) ) 之 模糊线性泛函进行了较为系统的研究，如，连续模糊线性泛函的等价刻画，非零 模糊线性泛函的存在性等。由于模糊实直线( 酞，u ( 靠) ) 是可诱导的，导致与模糊线 性泛函有关的弱，拓扑必是可诱导的，使得弱，拓扑的讨论不具有一般性，这应 该说是之前有关研究的不足。 模糊实直线的研究源于新西兰学者h u t t o n 【1 2 1 关于模糊单位区间的工 作，1 9 7 8 年，h s h l e 1 0 及g a n t n e r 9 分别独自引入模糊实直线i r ( l ) 的概念，随 后，很多从事l 拓扑研究的学者对模糊实直线r ( l ) 进行了系统的研究，如r l o w e n 及r o d a b a u g h 等。作为一种典型的模糊实直线，此种推广的模糊实直线 在l 一拓扑学家中得到了足够多的成功应用。另一方面，如所周知，实直线是经 典分析学的基础。在不确定性分析学中，恰当的模糊实直线应是模糊分析学 中极为重要的一个研究内容，应用z a d e h 3 3 的扩张原理，r o d a b a u g h 2 1 定义 t r ( l ) 上的线性运算，证明了加法及数乘运算的连续性。遗憾的是，在此线性 运算下，r ( l ) 上的线性运算并不构成线性空间，事实上，它构成了一凸锥。采 用经典代数学的方法，a b y a d 等于文献【3 】中通过在乘积空间r + ( ，) r + ( ，) 中引入 第1 章引言 3 等价关系作一商集合m ( ，) ，而m o r s i 与y e d i a 1 8 贝j j 在m ( ，) 中引入线性运算，使得 它成为一线性空间。因经典实直线r 可以嵌入到m ( j ) 中，于是在模糊分析学的 研究中，很自然的将m ( ，) 视为传统实直线皂在不确定性分析中的推广。我们必 须指出的是，在将经典实数推广到不确定性情形的过程中，还存在另外一种推 广，1 9 7 2 年，c h a n g 与z a d e h 2 】结合概率分布函数的性质称实数域r 上的一族略 具特殊性质的模糊集为模糊数，即所谓的正规的凸的上半连续映射称为模糊数，此 概念在模糊分析学的研究中备受重视，且这一推广得到模糊控制及神经网络研究 学者的广泛使用。本文中我们将采用m ( ，) 作为模糊实直线的模型。 从上可知，作为模糊分析学的重要分支之一的，拓扑线性空间，其研究在诸 多方面取得了很多非常突出的结果，但作为经典拓扑线性空间极为重要的组成部 分的弱拓扑及相关的对偶理论，研究进展相对较为滞后。已有的关于弱拓扑的研 究又有相当大的缺陷。本文试图通过利用在j 拓扑学中有很好应用的模糊实直线 模型m ( ，) ，考虑取值于m ( ，) 上的模糊线性泛函确定的弱，拓扑。 本文的研究工作应该说进一步丰富和发展了j 一拓扑线性空间理论，对研究，一 拓扑线性空间的对偶理论有一定的启发作用。本文是作者在硕士生学习期间工作 的总结，主要内容包括以下五个方面： 第一章引言主要介绍，拓扑线性空间理论产生的背景、研究发展概况，特 别是模糊线性泛函的研究成果及需要进一步解决的问题。 第二章预备知识主要介绍后面各部分要用到的几个主要定义、定理和有关 的记号。 第三章模糊线性泛函给出了模糊线性泛函的新定义，并研究了其连续性的 几种等价刻画。 第四章非零连续模糊线性泛函研究了模糊线性泛函的h a h n b a n a c h 延拓定 理，并利用其研究了，一拓扑线性空间上存在非零连续模糊线性泛函的充分条件。 第五章弱，拓扑定义了m ( ，) 空间中的弱模糊拓扑，并研究其上的一些性 质。 致谢 本文自始至终是在严从华教授的殷切关怀和悉心指导下完成的。很荣幸有机 会在此向严老师表达我最诚挚的感激之情，导师富有创造性的见解以及具体的建 议，为作者确定了整个课题的方向。导师渊博的知识，严谨的治学态度，丰富的阅历 和诲人不倦的精神使作者终生难忘。 感谢方锦暄教授在我专业课学习中的给予的教导和帮助。 感谢我的同学孙燕、李娟、岳倩钰在平时生活和学习上给予的关心和鼓励。 感谢生我养我的父母，父母始终在背后的默默支持是我一直奋斗下去的勇气和 力量的来源。 感谢我的每一个朋友。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完 成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的 谢意! 这篇论文是用c t e x 软件制作的。感谢h t t p ：w w w c t e x o r g 免费提供 了这个软件。 江苏南京 2 0 1 0 年3 月 吴路楠 第2 章预备知识 本文中设r 是实数集 定义2 1 【9 ，1 0 】r 上的模糊集，：r _ 【0 ，1 】称为模糊实数，若厂是非增 左连续的，且l i m 一一i ( x ) = 1 ，l i r a 。+ 。y ( x ) = 0 记所有模糊实数之集 为r ( ) ，r ( ，) = ( ，r ( i ) l f ( o ) = 1 cj f c ( j ) 称为是非负模糊实数集 显然实数域r 可自然的嵌入到r ( j ) 中，映射为7 r 对应于产r ( j ) ，其 中庐：r _ o ，1 为： 啦) ：f 1坯n 1 0z r 由于r ( ，) cf ( o ，所以对任何f ，g r ( ，) 七0 ，利用z a d e h 扩张原理，可定 义r ( ，) 中的加法和数乘如下： ( ，+ 夕) ( z ) = s u p 。+ ：z m i n ( f ( s ) ，9 ( ) ) ( 后厂) ( z ) ： ，( z 南) 七 o ， 【0 k 。0 定义2 2 【3 】3在彤( j r ) xr ( ，) 上定义等价关系“一 如下：( ，9 1 ) 一( 止，9 2 ) 当 且仅当 + 9 2 = 厶+ 9 l ，记m ( ，) 为彤( ，) r + ( j ) 关于等价关系“一 的商集 合。肘( ，) 中的加法和数乘定义为： ( ，9 1 ) + ( 止，9 2 ) = ( + 止，g l + 9 2 ) w 劫= 。i 煞 竺蓉 m ( ，) 中的偏序定义为：( ，9 1 ) ( 尼，卯) 当且仅当 + 9 2 止+ 9 1 显然实数域兄也可嵌入到m ( j ) 中，其中7 o 对应于( f ，6 ) ，而r ， ( ，+ 9 ) ( r ) = z n 兀+ t ：，m a x l ，( ，) ，l ，( 9 ) 定义2 5 【1 7 】对f m ( ，) ，r o ，则m ( j r ) 中以厂为中心，以r 为半径的模糊 开球定义为：b ( f ，7 ) ( 9 ) = l ，( 1 1 一g i l ) 定义2 6 【2 9 】 设( x ，少) 是模糊拓扑线性空间， 。2 。0 ：几 是x 中的模 糊点网，如果对口 的重域u ，3 n o ，使当m ，n 他。时，有z 掣一z 婀口u ，则 称 z 对) 是a c a u c h y 网 引理2 2 【1 7 1所有m ( ，) 中的模糊丌球和模糊常值集构成某，一拓扑7 - 的基 引理2 3 6 】设妒是序同态，则： ( 1 ) 对任何入( 0 ，1 】及e ( 0 ，入) ，有妒( 1 一入+ ) 1 一妒( a ) ( 2 ) 妒( p ) 1 一入当且仅当妒一1 ( 入) 1 一p 弓l 理2 4 【1 7 1 l ，( ，+ g ) = 八( l 。( ，) vl ( 9 ) ) = v ( l 。( ，) al t ( 9 ) ) s + t = r占+ t = r 引理2 5 1 1 7 】 ( m ( j ) ，l | ) 满足： 第2 章预备知识6 ( 1 ) i i k z l l ) = ( 2 ) 忙+ y l i i i x l io | 引理2 6 1 1 7 设( 义，丁) 是( q l ) 型的模糊拓扑线性空间，则口的邻域系彩是( x ，丁) 的 基坯，且满足： ( a ) 若v 彩，则有w 彩，使wcu ny ； ( b ) 若u 彩，r ( 0 ，1 ) ，则有v 彩，使得( y + y ) nr + cu ； ( c ) 若u 钐，则有v o h , ，使当1 时，尼ucc 厂； ( d ) 若u 钐，z a x ，则有k o ，使x ) , q k u 。 反之，设x 是数域k _ i = n 线性空间，彩= 【u ) 是x 上的一族模糊集且满足( o ) 一 ( d ) ，则存在唯一的模糊拓扑t 使得： ( 1 ) ( x ，丁) 是( q l ) 型的模糊拓扑线性空间； ( 2 ) 彩是( x ，t ) 的基坯。 第3 章模糊线性泛函 本章主要研究模糊实直线m ( o 的重域基刻画，说明了此局部凸，拓扑线性空 间不是可诱导的，以此为基础，给出模糊线性泛函连续的几个等价条件以下均 设0 是x 中的零元，口是m ( ，) 中的零元 引理3 1 对任意的z m ( o ，z = ( x l ，z 2 ) ；0 = ( u ，u ) ；其中z 1 ，x 2 ，u r ( j ) ，t 0 ，有b ( 口，) ( z ) = l , ( 1 l x l l ) = l l ( n x t 1 1 ) = t b ( 8 ，1 ) ( z ) 证明：b ( o ，t ) ( z ) = l t ( i i o x 1 1 ) = 厶( i i ( + x 2 ，札+ x i ) 1 1 ) = 1 一a v ( t ) l v r + ( ，) ， i t + x 2 + v u + x l ，u + x l + u 札+ x 2 = 1 一 u ( ) i u r + ( ，) ，x 2 + u x l ，x l + u x 2 = l , ( 1 l x l l ) = 1 一a ( v l t ) ( 1 ) i v r ( ) ? x 2 + u x l ，x l + v x 2 = 1 一 s ( 1 ) i s r + ( ，) ，z 2 t - - i - s z 1 t ，x l t + s z 2 】 = l ，( 1 l ( x , l t ，x u t ) 1 1 ) = l 1 ( i i = t 1 1 ) = b ( 口，1 ) ( x i t ) = ( t b ( o ，1 ) ) ( z ) 引理3 2 b ( o ，) ( p ) = 1 证明：b ( o ，t ) ( o ) = l t ( 1 l o i i ) = 1 一 u ( ) i u r + ( ，) ，钆- 4 - u u ) = 1 一八 u ( ) i u r + ( j f ) ，u o ) = 1 一a v ( t ) i v r 。( j ) ) = 1 引理3 3 b ( o ，) 是凸模糊集 证明：对v o a o ) 是局部凸j r 拓扑线性空间( m ( ) ，6 ) 的基坯 证明：由引理2 6 知只需证b ( 9 ，) 满足下面的( 口) ，( 6 ) ，( c ) ，( d ) i p 可 ( o ) 设u = b ( o ，1 ) ，v = b ( p ，t 2 ) ，则= b ( e ，t lat 2 ) cu 八y 事实上，对任意的z m ( ，) 有 u ( x ) = b ( o ，t 1 ) ( x ) = l t 。( i l x l l ) ，v ( x ) = b ( o ，2 ) ( z ) = l t 。( l x l l ) 又l ，( 厂) 关于r 是单调不减的，所以l t 。( i i z i i ) 2l t 。a t ：( 1 l x l l ) ，l t 。( 1 l x l l ) 2l t i a t 。( 1 l x l l ) 于是wcu 八y ( 6 ) 对u = b ( o ，t ) ，7 _ ( 1 一a ，1 】，i e v = b ( o ，t 2 ) ，可以证明( y + v ) 八cu 事实上，对任意的z m ( j ) ， ( b ( o ，t 2 ) + b ( o ，t 2 ) ) ( x ) = v ( b ( 伊，t 2 ) ( y ) ab ( e ，t 2 ) ( z ) ) y + z = x 、 7 = v ( l t l 2 ( i l y l l ) al 1 一入即对任意的z a m ( j r ) ，3 s 0 ，使x ) q s b ( o ，t ) 所以集族历= b ( 百，t ) ，it o 是局部凸，一拓扑线性空f n ( m ( i ) ，6 ) 的基坯 定理3 2对任意的z m ( ，) ，入( 0 ，1 1 ，映射l i f l ：m ( i ) _ r + 定义 为：i i x a i i - - a t 0 x a q b ( o ，) ) 则此映射l i 是模糊半范数 证明：( 1 ) 显然i i o 入l i = o l t l l x a l i o ； ( 2 ) i i k x a l l = a t 0k x x q b ( o ，) ) 若k = o , n l l o x x i = | i 秽a i l = 0 = o l l x a l l 若k 0 ，则i i 七z a | i = o l k x ；、q b ( o ，t ) = 八 o l x a q b ( o ，t ) l k = 八 t o i x a q b ( o ，t ) i k l = a t o i x a q b ( o ，t i k l ) = a i k l s o l x ；、q b ( o ，s ) ) = l k i | i x a1 1 所以l i k = a l i = i k z a l i ( 3 ) 设l l x l l = a t 0 x ；、q b ( o ，t ) 】= n ，i t y 入i i = a t 0y a q b ( o ，) ) = 6 ，则对 任意 0 ，存在t l a + ，使x x q b ( o ，t 1 ) ，存在t 2 1 一入 于是i i ( x + 可) a0 t l + t 2 o l x p q 3 ( o ，) ) 从而成立0 i i i i x a l l 设i i x a l l = a t 0ix , x q b ( o ，t ) i = a 0 ，从而对垤 0 ，j t l 1 一( a 一6 ) 1 一入，则有| l z a 一6 1 i t l 1 9 ( a ) ，任意的t 0 ，3 0 a 的重域y ， 使当z s u p py 时，妒( y ( z ) ) ，且存在h o r 4 ( ，) ，使+ h o 7 7 ，叩+ h o f ，并 有h o ( t ) 1 一垆( y ( z ) ) ，其中，( z ) = ( ，7 7 ) 证明： “穹”设( 厂，妒) 连续，则( ，】妒) 在以处连续又对任意 1 一妒( a ) ，t 0 ，有八b ( p ，) 是钆( ) 的重域基，而( ，妒) ( 以) = ( ) ，所以对 1 一妒( 入) ，t 0 ，j 以的 第3 章模糊线性泛函 1 1 重域y ，使( 妒) 一( y ) c 互ab ( o ，) 于是当z6 s u p p v 时，有( ，妒) “( z y ( 王) ) = ( f ，叩) 妒( y ( 王) ) ab ( o ，) 即有妒( y ( z ) ) ab ( o ，t ) ) ( ，叩) 。 从而有妒( y ( z ) ) e 且妒( y ( z ) ) 1 一八 ( 九( t ) l 九r + ( ，) ，f + h 叩，叩+ h ) 若妒( y ( z ) ) 1 一妒( a ) ，t 0 ，使得a b ( 舀，t ) cu 由充分性的条件知，存在以的重域y ，对一切ze s u p p v 时，妒( y ( z ) ) 且妒( y ( z ) ) 1 一a h ( t ) l h r + ( ，) ，f + h 叩，叩+ h ) 即有妒( y ( z ) ) ( 至八b ( o ，) ) ( ，叩) 于是当z s u p p y 时，有( ，妒) 。( z y ( z ) ) = ( ，叼) 妒( y 扣) ) 曼八b ( o ，) 即对 1 一够( a ) ，t 0 ，3 0 入的重域y ，使( ，妒) 。( y ) c 呈ab ( o ，t ) u 所 以( ，妒) 在以处连续，即( ，妒) 是连续的 定理3 4 设( x ，少) 是，一拓扑线性空间，( ，妒) 是x 上的模糊线性泛函， 贝j j ( f ，妒) 在又上连续的充分必要条件是对任意的 0 ，( 1 一妒( 入) ，1 】，存在p a 的 重域y ，使当z s u p p v 时，存在h o r ( ，) ，使+ h o 叼，叩+ h o 且( ) 1 一妒( y ( z ) ) ，其中，( z ) = ( ，叩) 证明：由上面的定理知只需证充分性 “# ”对任意的t o ，( 1 一妒( 入) ，1 】，由充分性的条件知j 以的重域y ，使 当z6 s u p p v l 对，妒( y ( z ) ) 1 一h o ( t ) 1 一a h ( t ) l h r ( ，) ，+ h 7 7 ，叩+ h ) = j e 7 ( 舀，) ) 馐，叩) ，由引理2 3 知，e 1 一妒( a ) 兮妒一1 ( e ) 1 一入，令w = v 八妒一1 ( ) ， 则w 也是以的重域目s u p p w = s u p p v 第3 章模糊线性泛函 1 2 所以当ze s u p p w 时，妒( ( z ) ) b ( o ，) ) ( ，叼) ，又妒( w ( z ) ) 妒( 妒_ 1 ( ) ) ，所以( ，妒) 。( 彬) c ab ( o ，t ) 即( ，妒) 在以处连续，结论得证 引理3 4彩= 以le o ) 与留= b ( p ，) it o 是一致的其中以= v z 1 一a ：忙a i i 0 ，有i i x a l l 0 ， 使1 一入o 1 一a 且l i z a 。l i ，又a o a 于是i i x a l l o ) 与留= b ( 口，t ) it o ) 是一致的 一方面，对v z a q 以，则忙a l i o l z a q b ( o ，) 0 ， 使1 0 ，从而| 0 ，使忙a | l 0 ) 与留= b ( p ，t ) it o ) 是一致的 定理3 5 对v ：r 0 ，3 t o 0 ，使b ( p ，t o ) ( x ) 1 证明：设z = ( z 1 ，x 2 ) ，因为z 0 ，所以z 1 z 2 ，从而存在7 ( 0 ，l 】，使3 7 ；z ；， 不妨设z ： z ；取t o = z i z ；，则 b ( o ，o ) ( z ) = 1 一 v ( t o ) l v r ( ，) ，x 2 + u x l ，x l + u z 2 1 一r 1 定理3 6 模糊实直线( m ( ，) ，6 ) 空间不是可诱导的 证明：由文献 3 0 1 中定n 2 4 知，若模糊实直线( m ( ，) ，6 ) 空间不是可诱导的， 贝1 j i 一拓扑6 是可诱导的当且仅当模糊半范数族 l i z a l | i 入( o ，1 】) 中成员等价 取z = ( 1 7 1 ，z 2 ) ，其中z l ( ) = 贝0 z l ，x 2 r ( ，) ，且 ( 一。，0 】 。( 0 3 】，z 2 ( ) ： t ( 3 ，5 】 t ( 5 ，+ o o ) l ，t ( 一。o ，0 】 ，t ( 0 ，3 】 ，t ( 3 ，4 】 ，t ( 4 ，5 】 0 ，t ( 5 ，+ o o ) 第3 章模糊线性泛函1 3 ( i ) 当r ( 1 2 ，1 】时，x ；= z ；= 0 ； ( i i ) 当r ( 1 3 ，1 2 时，z ；= z ；= 3 ； ( i i i ) 当r ( 1 5 ，1 8 1 时，z j = 3 ，z ；= 4 ； ( i v ) 当r 【0 ，1 5 时，z ；= z ； 而b ( o ，) ( z ) = 1 一a v ( t ) l v r + ( ，) ，x 2 + u x l ，x l + u z 2 = 1 一a v ( t ) l v r ( ，) ，z ；+ v z ；，z ；+ v z ；，r 【0 ，1 】) = l a v ( t ) l v r + ( ，) ，z ；+ u 7 z ；，r ( 1 5 ，1 8 = 1 一 【u ( ) l u r ( ) ，z ；z ；一v 7 ，r ( 1 5 ，1 3 1 ：1 一郇) ： 2 3 ， 涎( o ，l 】 i1 ，t ( 1 ，+ ) 11 ，t ( 一o 。，0 】 其中( ) = 吾1 ，( o ，1 】 10 ，t ( 1 ，+ ) 由定理3 2 知，i i x a l l = t 0 x a q b ( o ，) ) 所以当a ( o ， 时，忙 f l = 1 ，而 当a ( ，l 】时，i i x a l l = 0 由此易知，半范数忙到与忙圳不等价，所以模糊实直 线( m ( ，) ，6 ) 空间不是可诱导的 第4 章非零连续模糊线性泛函 本章致力于取值于m ( ，) 的模糊线性泛函的h a n b a n a c h 延拓定理，进而说明 非零连续模糊线性泛函的存在性问题。 定义4 1 模糊线性泛函( ，妒) ：x _ m ( 5 称为非零的，如果存在z a x ，使s u p p ( ( ，妒) ( z a ) ) 8 引理4 1设以下条件满足： ( 1 ) y 是实线性空间x 的一个子空间； ( 2 ) p ：x _ m ( ) 满足：p ( x + y ) p ( x ) op ( y ) ，j | p ( t x ) = t p ( x ) ，比，y x ，t 0 ； ( 3 ) f ：y m ( ) 是一个模糊线性映射，且f ( x ) 尸( z ) ，v x y 则存在一个模糊线性映射f ：x m ( j r ) ，使得f ( x ) = ，( z ) ，比y r f ( x ) p ( z ) ，比x 证明：如果y x ，取x l x 且z 1gy ，定义m = z + t x lz kt r ， 则h 是x 的一个子空间。如果z ，y y ，则有，( z ) o ，( y ) = ，( z + 可) 尸( z + 可) = 尸( z z 1 + z 1 + ) ，所以厂( z ) of ( y ) sp ( x x 1 ) op ( x l + 可) 于是有f ( x ) ep ( x z 1 ) p ( x 】+ y ) e 厂( ) 贝归q 彳( ，) ，使得 f ( x ) ep ( x x 1 ) q ，且q p ( x l + y ) e ，( 耖) ，比y 事实上，令f ( x ) ep ( x x 1 ) = ( ，7 7 ) ，p ( x l + y ) ef ( y ) = ( 岛，伽) ，由引理2 1 知， ，叩) ( 岛，7 o ) 兮对v r 0 ，1 】，( ，叩) 7 冬( 岛，叩o ) 7 兮f + 晶+ 矿，v r 【0 ，1 】 取o l = ( x o ，y o ) ，其中z 5 = v 7 ，蛎= 矿则v + 晶+ 矿，所以q ( 如，铂) 又f 7 一矿v 一八矿，所以( f ，7 7 ) 0 1 从而有f ( x ) ep ( x z 1 ) q ，a p ( x l + y ) e 厂( y ) ，v z y 于是有f ( x ) eo l p ( x x i ) ，f ( y ) oo l p ( x l + y ) 在m 上，定义 ： ( z + t x l ) = f ( x ) o q ，z y ，t r ，令t o , 贝j j t - 1 z y ， 在f ( x ) eo l p ( x z 1 ) 中用_ 1 z 替代z ，然后两边同乘以t ，得至：j j f ( t t _ 1 z ) eq p ( x t x l ) ，即，( z ) e q z p ( x t x l ) ，v x y 兮a ( x t x l ) p ( x t x l ) ，比y 1 4 第4 章非零连续模糊线性泛函1 5 在，( 3 ，) oq p ( x l + y ) 中用- 1 y 替代y ，然后两边同乘以得到： ( 可+ t x l ) p ( y + z 1 ) ，v y y ，由上面两式可得在m 上，有 p 且在y 上f l = f 下证存在一个模糊线性映射f ：x m ( o ，使得f ( x ) = ，( z ) ，比y 且f ( x ) 尸( z ) ，坛x 设罗是满足下面三个条件的模糊线性映射g 的全体： ( 1 ) 夕的定义域勿( 9 ) 是x 线性子空间； ( 2 ) g 是厂的延拓，即yc9 ( g ) 且当z y 时g ( x ) = ，( z ) ； ( 3 ) 在勿( g ) 上g 被p 控制，即v 叠勿( 9 ) ，g ( x ) sp ( z ) 在莎中规定二元关系“5 ”如下：9 1 ，9 2 莎，9 2 g l 当且仅当勿( 9 2 ) c 勿( 9 1 ) 且z 9 ( 夕2 ) 时g l ( x ) = 仂( z ) ，则( 莎，! ) 是一偏序集设q 为莎中的任一全序集，令9 ( ) = v9 ( 危) ，定义勿( 允) 上的映射h 如下： 9 2 e v z 勿( ) ，则必有g q 使z 勿( 9 ) ，规定h ( x ) = 9 ( z ) 首先这样定义的h 有意义，即若z 勿( ) 且有夕l ，夕2 q ，使z 9 ( 9 1 ) a 勿( 陇) ，则 必有9 1 ( z ) = 9 2 ( z ) 事实上，因为q 是全序集，不妨设9 25g l ，则勿( 9 2 ) c 勿( 夕1 ) 且 当z g ( 9 2 ) 时，有9 1 ( z ) = 仂 ) ，因为z 9 ( 9 i ) a9 ( 眈) ，所以夕1 ( z ) = 卯( z ) 其 次h 是模糊线性映射事实上，若z ，可勿( ) ，则必有9 1 ，夕2 q 使z 勿( 9 1 ) ，y 9 渤) 由于q 是全序集，不妨设9 25g l ，则y 勿( 9 2 ) c 勿( 9 1 ) ，所以对比，p r ，因为q z + p y 勿( 夕1 ) ，所以 h ( a x + j 3 y ) = g l ( a x + p y ) = a g l ( x ) o 9 1 ( 可) = q ( z ) op ( y ) 即 是模糊线性映射 最后h 是，的延拓，并在9 ( ) 上被p 控制事实上，由伊的定义知，yc 勿( ) 且 对v x y 必有h ( x ) = g ( x ) = ，( z ) ，即 是，的延拓又对v x 9 ( ) ，3 9 q 使z 勿 ) 且 ( z ) = 9 ( z ) ，因为在9 ( 9 ) 上有g ( x ) p ( z ) ，所以危( z ) = g ( x ) e ( x ) 即 在勿( h ) 上被p 控制易知h 是q 的上界，由z o m 引理莎中有极大元设为f 最后证9 ( f ) = x ，若切( f ) x ，则j z o x 但x 0 不属于勿( f