（机械工程专业论文）基于折截面法的双圆弧齿轮弯曲应力计算数学模型研究.pdf

摘要 双圆弧齿轮传动是机械传动中很重要的一种传动方式，对双圆弧 齿轮的弯曲强度进行分析是应用双圆弧齿轮传动，对其承载能力、振 动、啮合特性、齿形修正设计等进行研究的基础。因此，应用精确的 双圆弧齿轮数学模型，建立比较精确实用的双圆弧齿轮弯曲应力数学 模型，准确地求解双圆弧齿轮任一点的弯曲应力具有重要的意义。 本文首先详细阐述了双圆弧齿轮齿廓、齿面数学模型及齿轮基本 参数的选择和刀具法面参数的计算，阐明了本文所采用的任意转角位 置的双圆弧齿轮齿廓数学模型的优越性：运用任意转角位置的双圆弧 齿轮齿廓数学模型能准确、真实的描述双圆弧齿轮齿廓曲线上的任一 点，既避免了矩阵运算的烦琐与复杂，也解决了螺旋角不为零时误差 较大的问题。 进而，本文对折截面法应力分析方法和双圆弧齿轮传统弯曲应力 计算公式进行了详尽的研究，然后基于折截面法和任意转角位置的双 圆弧齿轮齿廓数学模型构建了一个新的弯曲应力数学模型，并对其中 的大部分几何参数进行了推导和计算。然后运用p r o e 软件强大的参 数化建模功能，构建了一系列不同螺旋角、模数和齿数的双圆弧齿轮 模型，并利用该软件中的p r o m e c h a n i c a 模块的有限元分析功能，对 双圆弧齿轮的三维模型进行有限元分析计算，再结合c 语言及e x c e l 电子表格的一些功能进行计算、绘图。经过一系列研究后，归纳出了 双圆弧齿轮弯曲应力数学模型中的齿形参数c ，最终构建出了一个新 的双圆弧齿轮弯曲应力数学模型。 经过对本文所构建的弯曲应力数学模型的理论计算值和有限元 仿真计算值进行比较分析，结果表明：用这两种方法得到的弯曲应力 值相差不大，因而本数学模型具备一定的准确度与可行性。本文研究 结果为双圆弧齿轮设计、参数优化选择等提供了新的参考依据，也为 双圆弧齿轮弯曲应力数值分析提供了新的数学模型。 关键词：双圆弧齿轮，弯曲应力数学模型，折截面法，参数化 建模，有限元分析 a b s t r a c t t h ed r i v eo ft h ed o u b le 。ci r c u l a r a r c g e a r iso n eo f i m p o r t a n tm e a n so fm e c h a n i c a lt r a n s m i s s i o nd r i v e s ，a n dt h e a n a l y s i so ft h ed o u b l e 。c i r c u l a r a r cg e a rb e n d i n gs t r e n g t hi s t h eb a s i so ft h ea p p l i c a t i o no ft h ed o u b l e c i r c u l a r 。a r cg e a r d r i v ea sw e l la st h er e s e a r c ho fi t sl o a d b e a r i n gc a p a c i t y ， v i b r a t i o n ，m a t i n gf e a t u r e sa n dt o o t hp r o f i l em o d i f i c a t i o n s o i t i sv e r ys i g n i f i c a n tt os e tu pam o r ep r e c i s eg e a rb a s i c p r a c t i c a lm a t h e m a t i c a lm o d e lo fb e n d i n gs t r e s so nt h eb a s eo f t h e p r e cis e m a t h e m a ti c a lm o d e l ，a n ds o l v ea c c u r a t e l yt h e b e n d i n gs t r e s so na n yp o i n to fl o a d o nt h ed o u b l e ci r c u l a r a r c g e a r f i r s t l y ，t h i sd i s s e r t a t i o np r e s e n t s t h es e l e c t i o no f d o u b l e c i r c u l a r a r c g e a r t o o t h p r o f il e ，t o o t hs u r f a c e m a t h e m a t i c a lm o d e la n dt h ec h o i c eo ft h ed o u b l e - c i r c u l a r - a r c g e a rb a s i cp a r a m e t e ra n dt h ec a l c u l a t i o no fn o o d l ec u t t e r m e t h o di nd e t a i1 i ta l s oe l u c i d a t e st h e s u p e r i o r i t yo f m a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ed o u b l ec i r c u l a ra r c g e a rt o o t h p r o f i l ea ta n yc o r n e r ：t h ea c c u r a t ea n df a c t u a ld e s c r i p t i o no f d o u b l ec i r c u l a r a r cg e a rt o o t hp r o f il ec u r v ea ta n yc o r n e rc a n n o to n l ya v o i dt h ec u m b e r s o m em a t r i xa n dc o m p l e x i t yc a l c u l a t i o n b u ta l s os o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ee r r o ri s l a r g e rw i t h n o n z e r oh e li xa n g l e s s e c o n d l y ，t h isd is s e r t a ti o n h a sad e t a ils t u d yo nt h e s t r e s sa n a l y siso fb r o k e n - 1i n es e c ti o nm e t h o da n d t h e c a l c u l a t i o nf o r m u l aa b o u tt h et r a d i t i o n a ld o u b l e 。a r c g e a r b e n d i n gs t r e s s b a s e do nt h eb r o k e n 一1i n es e c t i o nm e t h o da n dt h e m a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ed o u b l e a r cg e a ro na n yp o i n tan e w m a t h e m a t i c a lm o d e lo fb e n d i n gs t r e s si sc o n d u c t e d ，a n dm o s to f t h eg e o m e t r i cp a r a m e t e r sh a v eb e e nd e r i v e da n dc o m p u t e d w i t h i l t h ep o w e r f u lp a r a m e t r i cm o d e li n gc a p a b ili ti e so fp r o e s o f t w a r e ，as e r i e so fd o u b l ec i r c u l a ra r cg e a rm o d e l sa b o u t d i f f e r e n th e l i xa n g l e 、m o d u l u sa n dn u m b e r o f t e e t ha r ec o n d u c t e d m e a n w h i l e ，i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o ra p p l i e sf i n i t e e l e m e n ta n a l y s i sc a l c u l a t i o nf u n c ti o no ft h es o f t w a r ep r o m e c h a n i c st o p e r f o r mf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sc a l c u l a t i o n s a b o u tt h r e e d i m e n si o n a lm o d e lo fd u a l ci r c u l a r a r cg e a r ，m o r e c a l c u l a ti o n sa n dg r a p h i c sa r ep e r f o r m e db yt h ef e a t u r e so fc l a n g u a g ea n dt h ee x c e ls p r e a d s h e e t a f t e ras e r i e so fs t u d i e s ， p a r a m e t e r sco ft h em a t h e m a t i c a lm o d e lo nad o u b l ec i r c u l a rg e a r b e n d i n gs t r e s sp r o f i l ei ss u m m a r i z e d ，a n dan e wm a t h e m a t i c a l m o d e la b o u tt h ed u a lc i r c u l a r a r cg e a rb e n d i n gs t r e s si sb u ii t e v e n t u a ll y l a s t l y ，a f t e rc o m p a r i n ga n da n a l y z i n gt h et h e o r e t i c a l v a l u ea n dt h ef i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o n o ft h em a t h e m a t i c a l m o d e lo ft h eb e n d i n gs t r e s s ，t h ea u t h o rc o m e st ot h ec o n c l u s i o n t h a tt h et w om e t h o d sa c t u a ll yd on o th a v em u c hd i f f e r e n c e ，t h u s t h em a t h e m a t i c a lm o d e li nt h i sd i s s e r t a t i o np o s s e s s e st h e a c c u r a c ya n df e a s i b i l i t y a n dt h i sr e s u l th a san e wf r a m eo f r e f e r e n c et ot h ed e s i g na n dp a r a m e t e rs e l e c t i o no p t i m i z a t i o n o fd o u b l ec i r c u l a rg e a r ，w h i c ha l s oo f f e r san e wm a t h e m a t i c a l m o d e la b o u tt h ed o u b l ec i r c u l a rg e a rb e n d i n gs t r e s sn u m e r i c a l a n a l y s i s k e yw o r d s ：t h ed o u b l e c i r c u l a r a r cg e a r ，b e n d i n gs t r e s s m a t h e m a t i c a lm o d e l ，b r o k e n l i n es e c t i o nm e t h o d ，p a r a m e t r i c m o d e li n g ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s 1 1 1 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：叠垒整日期：二丝生年上月皇日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：盘澧导师签砸日期盟年盈月旦日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 齿轮传动可将原动机的运动和动力传递给工作机，并改变原动机运动的速 度和形式、力或力矩的大小与方向，使之适应工作机的需要。它的优点是恒功 率输出，效率高又节约能源，其成本相对而言也较低，所以齿轮传动是现代各 类机械中应用最广的基本传动形式。很多机器的使用寿命和工作性能，在很大 程度上都取决于传动齿轮的质量。 随着生产和科学技术的发展，齿轮传动技术日益完善，但仍然满足不了飞 速发展的各行业的要求，尤其是航空航天、冶金矿山、石油船舶等需进行高速、 重载、大功率齿轮传动的行业。渐开线齿轮经过2 0 0 多年的实践，获得了广泛 的应用和发展，但也仍然存在着下列缺点： 1 ) 齿轮啮合传动时凸齿对凸齿，相对曲率半径较小，承载能力受到限制。 2 ) 当啮合点远离节点时，两啮合面之间的滑动速度较大，从而导致齿面磨 损、发热，不仅降低了齿轮的使用寿命，对传动的平稳性和效率也都很不利。 1 1 双圆弧齿轮简介 为了提高齿轮的承载能力和传动质量，提出了一种点啮合制齿轮传动，即 双圆弧齿轮传动。它是将渐开线齿轮凸齿对凸齿的啮合方式，改变成凸圆弧齿 廓与凹圆弧齿廓相啮合。大量的理论分析和实验证明，双圆弧齿轮的接触强度 高于渐开线齿轮。 目前，双圆弧齿轮在冶金矿山、石油化工等行业高速传动和低速重载传动 中得到了迅速而广泛的推广和应用，并取得了显著的经济效益，其应用和研究 己受到许多国家的重视。近年来，几乎每年都有国际学术会议对这方面的研究 成果进行交流和讨论。 随着生产的发展，对重载、大功率的双圆弧齿轮也提出了更高的要求。在 负载运转中，双圆弧齿轮的载荷集中于齿宽上较窄一段的接触线上，轮齿局部 弯曲应力较大，因而双圆弧齿轮的损坏常常就是由于轮齿的弯曲断裂而引起的。 因此对双圆弧齿轮的弯曲强度进行研究是非常必要的。 对双圆弧齿轮的研究，国内外的学者采用不同的研究方法己经做了大量的 工作，并获得了许多有益的成果。下面就对双圆弧齿轮的发展、应用、工作原 硕士学位论文第一章绪论 理及研究近况等做一简单介绍。 1 1 1双圆弧齿轮的发展及在国内的应用 双圆弧齿轮的发展与生产的发展密切相关。它的雏形是由英国人f r a n k h u m p h r i s 在1 9 0 7 年提出的圆弧齿形，将渐开线齿廓改变成圆弧形齿廓。 1 9 2 2 年，威克一波斯托克一布朗莱( v i c h e r s b o s t o c k - b r a m l e y ) 提出了 一种凸、凹齿面相啮合的齿轮传动，简称v b b 齿轮。这种齿轮的齿形廓线本质 上是摆线，小齿轮为凸齿，为长幅外摆线；大齿轮为凹齿，为长幅内摆线，在 端面内仍然有重合度巳存在。由于齿廓面间为凸凹搭配，具有很大的相对曲率 半径，齿面接触应力比渐开线齿轮小得多，所以大大提高了接触强度。但是由 于这种齿轮凹齿齿顶厚度很小，弯曲强度较弱，易于折断。因此限制了v b b 齿 轮的应用，但它却是对渐开线齿轮的一种挑战。 1 9 2 6 年美国格利森公司的瑞士人威尔特哈伯( e w i l d h a b e r ) 提出法面为 圆弧齿廓的斜齿轮。这种圆弧齿轮凹齿齿廓圆弧半径的圆心在齿条型刀具的节 线上，当齿面啮合时，凹齿齿廓圆心和节点重合，凸齿齿廓圆弧半径比凹齿齿 廓圆弧半径减少一个数值。这是圆弧齿轮的方案首次被提出，并获得了专利。 但由于该圆弧齿轮是凸、凹齿廓相啮合，凸齿只有齿项部分，凹齿只有齿根部 分，再加之受v b b 齿轮断齿事故的影响，因此没有能应用到工业生产中去n 1 。 1 9 5 6 年，前苏联人诺维柯夫( m ln o v i k o v ) 又发明了一种端面为圆弧的圆 弧齿轮。他在维尔特哈泊齿轮的基础上，对该设想进行了完善，所提出的齿轮 与e w i l d h a b e r 提出的正好相反：是以凸齿齿廓的圆心落在齿条型刀具的节线 上，凹齿齿廓圆弧半径比凸齿齿廓圆弧半径大一个数值。他对该种齿轮作了系 统的理论分析和强度计算，完成了圆弧齿轮啮合原理、强度计算的博士论文， 使该齿轮在工业上得到广泛的应用，并获得了列宁勋章。由于w i d h a b e r 齿廓和 n o v i k o v 齿廓非常接近，所以1 9 6 0 年1 0 月在联邦德国埃森( e s s e n ) 召开的国际 齿轮会议上，将其定义为w id h a b e r n o v i k o v 齿轮，简称为w n 齿轮。 1 9 5 6 年，前苏联首先提出了公切型双圆弧齿轮，即上齿面为凸齿形，下齿 面为凹齿形，凸凹齿廓之间是用公切线相连。前苏联的单圆弧齿轮主要用于中、 低速传动，并在1 9 6 9 年，制定了公切线式双圆弧齿轮的齿形标准。1 9 6 2 年，英 国制造出传动比为1 1 0 ，功率达8 0 0 0 马力的圆弧齿轮，其弯曲强度较高，轮 齿负荷可达渐开线齿轮的5 倍，效率最高达到9 9 4 口1 。1 9 7 0 年，日本的保延诚 申请了不同齿形参数的公切型双圆弧齿轮的专利，商品用s y m m a r c 齿轮命名， 目前也是日本主要应用的一类圆弧齿轮，已形成系列产品口1 。同年，英国的 2 硕士学位论文第一章绪论 r o l l s r o y c 公司的r m s t u d e 提出了分阶式双圆弧齿轮，其特点是凸凹齿廓之 间不是用公切线而是用一段圆弧相连，并申请了美国专利h 1 。在这一时期，东欧 各国、西德、印度、埃及等国也都先后进行了大模数的圆弧齿轮传动装置研究。 我国从1 9 5 8 年开始对圆弧齿轮进行了大量的试验和研究，1 9 6 7 年颁布了单 圆弧齿轮基本齿形标准，至今对双圆弧齿轮的研究和应用已有5 0 年的历史。在 6 0 年代后期，我国提出了s n l 、s n - 2 两种公切型双圆弧齿轮齿形，但通过试验 和试制表明，这种齿形的切线段实际上是由滚刀的直线刃范成的压力角i e t d , 的 渐开线，承载齿面在经过轻微跑合磨损后就导致过渡段接触，从而导致该区域 产生疲劳点蚀，并成为后期疲劳断齿的裂纹源，这是公切型双圆弧齿轮的严重 缺陷1 。其后，一机部和太原理工大学齿轮研究所( 原太原工学院齿轮强度研究 室) 、郑州机械所、哈尔滨工业大学等又先后提出了f s p h - 7 5 ，f s p l t - 7 9 ，$ 7 4 ， h i i 等不同齿形参数的分阶式双圆弧齿轮，1 9 8 1 年将f s p h - 7 5 和$ 7 4 合并为 j b 2 9 4 0 - 8 1 齿形砸1 。分阶式双圆弧齿轮凸凹齿廓之间不是用公切线而是用一段圆 弧相连，齿根厚度增大，弯曲强度大大地得到了提高，同时还避免了非工作齿 面接触。因而双圆弧齿轮在我国得到了迅速的发展和应用。经过短短几十年的 发展，标准双圆弧齿轮己经形成了一整套设计、制造和加工方法。到目前为止， 我国对双圆弧齿轮己制定了五个基础标准：齿形标准、模数标准、承载能力计 算标准、刀具标准及精度标准。 由于双圆弧齿轮承载能力高、润滑条件优越、跑合性能好、使用寿命长、 传动平稳、制造工艺简单，因而在我国航天航空、冶金矿山、石油化工、起重 运输机械等设备上得到了迅速而广泛的推广和应用，并取得了显著的经济效益。 1 1 2 双圆弧齿轮的啮合原理及传动特点 双圆弧齿轮是凸、凹齿面相接触进行啮合 传动，其基本的传动特点是齿面在啮合过程的 每一瞬间不是线接触，而理论上是一个点或几 个点接触。圆弧齿轮的基本啮合原理如图1 - 1 所示7 1 ： 设有一对圆弧螺旋齿轮，假定两齿面均为 刚性体，凹齿齿廓圆弧半径稍大于凸齿齿廓圆 弧半径。在齿轮传动过程中的某一瞬时t 时， 前端面齿廓半径通过节点只，齿廓在疋点接 触，k 点即为齿面接触点。经过f 时间，齿轮 3 图1 - 1 圆弧齿轮啮合 硕士学位论文第一章绪论 转过妒角，前端面脱离接触，而其后续截面齿廓进入啮合，接触点位置在同样 高度，但沿z 轴( 齿轮轴向) 移动一个距离。齿轮不断转动，后续截面齿廓半径 通过节点( 即两齿轮的节圆柱切线，也称瞬时回转轴只只) 时，齿面即在一点接触。 在传动过程中，瞬时接触点又称为瞬时啮合点，其轨迹叫啮合线。而瞬时 接触点在齿面上的轨迹瓦砭，瓦k 则叫接触迹线。由以上啮合原理可知，平行 轴点啮合制齿轮传动是依靠齿面两条螺旋线瓦砭，墨e 沿轴向进行传动，与一 般的线啮合制齿轮传动的原理不同。因其接触点的法线始终通过节点，所以能 够实现定传动比传动，而直齿轮则是不可能的。因此，点啮合制圆弧齿轮必须 是斜齿轮，这样才能保证两齿轮的传动比为常数。 双圆弧齿轮工作时，每一瞬间总有多个接触点在同时啮合。因为其工作齿 廓是由两段圆弧组成的，从而使得分度圆以外的凸齿廓和分度圆以内的凹齿廓 各有一个接触点，所以，它既有节点前啮合，又有节点后啮合。一对相互啮合 的轮齿通常有两个接触点，但有时也只有一个接触点( 另一个接触点在端面以 外) ，其具体的啮合点的数目是随着齿轮的转动而变化的。 理论上，双圆弧齿轮是靠点啮合传动，啮合点沿齿向运动，端面重合度为 零。但经过一段时间的跑合后，会变成线接触，从而使齿面接触应力大幅度地 降低，齿面承载能力则大为提高。因为渐开线齿轮啮合传动时，其滑动速度沿 齿高不同，离节线越远，其滑动速度越大，不同的磨损程度便导致齿形发生相 应的变化，从而使啮合传动质量恶化。而双圆弧齿轮的滑动速度沿齿高方向均 等，所以，齿面磨合时，啮合齿廓更趋于圆弧，其跑合磨损不仅无损于齿形精 度，实际上还起到了装配后的对研精加工工艺的作用，因而双圆弧齿轮比渐开 线齿轮具有更好的跑合性能。 双圆弧齿轮跑合后形成的两条瞬时接触线较长，在啮合传动时，接触区以 很高的滚动速度沿齿宽方向移动。当p = 1 0 2 2 时，滚动速度是圆周速度的 5 6 7 - 2 7 5 倍，齿面间容易建立动压油膜，其油膜厚度为渐开线齿轮的l o 倍。 而齿面间的滑动速度则很小，故而其啮合摩擦损失减小5 0 - 6 0 ，磨损减轻2 3 3 4 。 由于双圆弧齿轮的齿廓形状为圆弧，啮合轮齿的综合曲率半径较大，且其 齿形参数可以灵活设计，齿腰和齿根的厚度都可以按强度要求调节，加之齿根 用一段大圆弧连接，在啮合时，非工作齿面间形成一个较大的空隙，避免了非 工作面接触点蚀的发生，所以其承载能力比渐开线齿轮高得多。 但是，由于双圆弧齿轮的齿面瞬时载荷，不是分布在全齿长上，而是集中 在有限宽度的瞬时接触迹上，导致载荷仅由局部齿宽来承担，所以轮齿的弯曲 应力较大。 4 硕士学位论文第一章绪论 1 1 3 双圆弧齿轮的研究近况 1 9 9 1 年，张廷建等阳1 比较系统的计算了双圆弧齿轮轮齿啮合点的弯曲变形 和接触变形，得到了凸凹齿接触线上弯曲变形随螺旋角大小和不同接触迹线位 置偏移量的变化规律，在线性和非线性回归的基础上，归纳出了啮合点最大综 合弯曲变形和接触变形计算公式。对研究双圆弧齿轮的啮合刚度、动态特性以 及齿端修形提供了重要依据。不足之处采用了把空间螺旋齿拉直作为计算模型 齿的假设，不可避免的带来了计算误差，尤其当螺旋角比较大时。 1 9 9 4 年，李润方等3 指出了用齿条来代替真实齿或者以基准齿条廓形作为 齿轮法截面形状或按照当量齿轮齿形来计算应力的缺点，严格采用实际包络的 齿面方程所描述的齿廓曲面为计算对象，建立有限元模型，比较逼近真实情况。 但由于当时硬件的限制，他采用的模型非常简单，计算的载荷也没有论述。 1 9 9 5 年，l i t v i n 教授“l 1 2 1 研究了双圆弧斜齿轮的齿形、几何学、啮合和 接触，确定了齿面上的接触路径；确定了瞬时接触椭圆的主接触方向，并研究 了由于安装误差引起的传动误差；提出了一种修改的类似抛物线的几何形状可 以吸收由安装误差引起的传动误差。他在文献n 们中分析了基于齿面失配和弹性 变形引起的载荷分配问题，得到了无安装误差和有安装误差的真实的重合度系 数，并用i d e a s 软件计算了应力。但是他采用的模型比较简单，由于重合度比 较小，接触迹数目有限；在计算应力的时候考虑安装误差和制造误差的影响是 按照各个参数单独考虑的，没有综合考虑；另外使用的是美国标准，其齿形和 中国标准不一样。 1 9 9 6 年，綦耀光等n3 依据双圆弧齿轮齿廓曲线的方程，选用较好的节点 分布模型，建立轮齿节点自动生成规则，成功编排并调试了节点自动生成程序 和轮齿单元自动剖分程序，这些程序可以直接生成满足有限元法分析通用软件 所需的数据文件，从而大大提高双圆弧齿轮轮齿强度、刚度数值分析的效率。 他们用有限元法研究了各种参数对双圆弧齿轮凸弧部分单点啮合变形的影响情 况，用回归法得到了计算变形的公式。但其研究没有考虑重合度的影响，单齿 上只考虑了单点受力。 1 9 9 6 年，杨文通n 朝等提出了一种接触有限元离散网格的自动生成分析算 法，可以精确计算啮合齿面的初始间隙，实现可能接触区网格的自动调整，可 以根据要求自动调整节点坐标，避免了因为有限元网格的不合理而引起的接触 边界迭代求解不收敛。不仅提高了计算效率，而且提高了齿轮接触问题的分析 精度，为分析影响齿轮强度的主要因素提供了基础。只是从生成的网格看，有 限单元的网格并没有变成预期的小斜度单元，如果操作不好有可能发生单元的 硕士学位论文第一章绪论 节点交叉，需要重新计算。 1 9 9 9 年，太原理工大学齿轮强度研究所的武宝林等n 1 7 1 等人在试验基础上 对双圆弧齿轮跑合前后载荷分配进行了详细的研究，分析了输入扭矩、运转速 度、重合度、精度等等对接触迹间载荷分配状况的影响。还研究了各主要影响 因素对齿轮强度的影响情况，比如基于双圆弧齿轮的啮合传动原理提出了双圆 弧齿轮传动的各接触迹间载荷分配状况的动态分析计算方法并编制了相应的计 算程序；另外他们也探讨了双圆弧齿轮接触疲劳极限的计算方法，在试验的基 础上得到碳钢调质9 l 型双圆弧齿轮的接触疲劳极限，并推荐了接触强度计算中 最小安全系数的参考值。 1 9 9 9 年，杜虹n 刚论述了双圆弧齿轮接触迹间载荷分配系数k 的基本确定方 法，并根据近百种不同参数或载荷工况下k 的计算结果整理出了4 - - 8 级精度 双圆弧齿轮k 的简化计算公式，对双圆弧齿轮的强度计算进行了进一步的完善。 2 0 0 0 年，武昭晖n 们分析计算了齿形参数对轮齿弯曲强度的影响，针对双圆 弧齿轮齿形参数的选择具有很大的灵活性，利用一级模糊综合评判，选择出最 佳的方案；但从文献内容来看，侧重的是对a l g o rf e a s 软件的二次开发，而对 啮合原理和齿轮强度的研究计算却很少。 2 0 0 1 年，白少先等啪1 等利用弹性力学原理计算了双圆弧齿轮在齿面任一点 受集中力时齿面各处的下陷量，再由一对轮齿啮合时的空间几何关系计算出变 形前齿面各点沿法向的间隙量，然后按变形协调关系算得当一对轮齿法向靠拢 时的接触边界形状和接触区内载荷分布。 2 0 0 3 年，张秀亲乜k 矧等用空间齿条代替了空间螺旋齿，用三维边界元法 分析了g b l 2 7 5 9 9 1 双圆弧齿轮的齿腰应力和齿根应力，并在此基础上得出了齿 根应力沿齿长的分布，齿根应力与名义法向载荷的关系以及齿根应力与当量曲 率半径的关系等曲线，并用回归分析法求得了齿根应力的计算公式，提出大螺 旋角或小载荷时齿腰应力大于齿根应力，所以齿腰是薄弱环节应受到重视等一 些结论。 2 0 0 3 年，邓季贤等口钔详尽地推导了分阶式双圆弧齿轮的端面齿廓方程，根 据坐标间的变换关系介绍如何具体的在计算机上绘出双圆弧齿轮端面图及模拟 齿轮的啮合过程。 2 0 0 5 年，翟红升h 1 针对郑州机械研究所提出的z y - 1 型齿形，使用v i s u a l b a s i c 编程语言在s o li d w o r k 平台上实现轮齿齿形的生成，并以此为基础得到所 要分析轮齿的三维模型和试验齿轮模型；经过有限元分析得到齿根应力随模数、 螺旋角和齿数的变化规律；再通过实验得到材料为2 0 c r m n m o 的齿轮的弯曲疲劳 极限。 6 硕士学位论文第一章绪论 2 0 0 5 年，陈胡兴汹瑚1 研究了双圆弧齿轮的齿面生成、齿面的几何特点、齿 面的啮合特性、双圆弧齿轮传动的轮齿弯曲应力和齿面接触应力，并在此基础 上开发了双圆弧齿轮的应力分析软件。 2 0 0 5 年，朱彤啪1 等利用a n s y s 的参数化设计语言( a p d l ) 建立双圆弧齿轮的 三维实体，形成相应有限元模型，对轮齿弯曲应力进行了分析。总结了全齿高 对轮齿弯曲应力的影响规律，并提供了齿轮轮齿高度的最佳选择方案。 2 0 0 5 年，张志强吼矧在基于加工原理及渐开线展开原理的基础上建立了任意 转角位置的双圆弧齿轮的齿廓齿面数学模型，其表述简单，应用时无须作坐标 变换，能准确、真实地描述双圆弧齿轮轮齿在任意转角位置时齿面上的任一点。 2 0 0 6 年，王莉静啪1 等使用p r o e n g i n e e r 三维实体设计系统中的参数化建 模，建立了双圆弧齿轮的有限元模型，并将模型导入a n s y s 软件中，在齿轮齿 宽的不同位置施加应力，对其进行弯曲应力分析，从而寻找出更加正确的应力 分析模型。 2 0 0 6 年，唐勇口等，依据任意转角位置的双圆弧齿轮齿面数学模型，利用 p r o e 得到了完整轮齿面的精确齿轮模型。并应用该模型对双圆弧齿轮进行了 模态分析。 综上所述，国内外对双圆弧齿轮接触、弯曲应力的分析研究比较多，但大 多采用的双圆弧齿轮模型其端面齿廓及齿面通常采用基准齿条法面齿廓、齿面 乘以法面至端面的旋转矩阵来获得。当齿数很小时，齿腰过渡齿廓与凹齿齿廓 存在着“过切 情况，所以其齿廓、齿面就不是基准齿条齿廓、齿面的完整展 成。因此，该方法对齿廓和齿面的描述就存在着不足；同时，繁琐的矩阵运算 增加了计算的难度和工作量。而有些有限元模型简单地用空间齿条来代替空间 螺旋齿，这样显然忽略了螺旋角的影响，得出的结果与实际情况自然就存在差 距。 而任意转角位置的双圆弧齿轮的齿廓齿面数学模型啪瑚1 是基于加工原理 及渐开线展开原理建立起来的，应用时无须作坐标变换，能准确、真实地描述 双圆弧齿轮轮齿在任意转角位置时齿面上的任一点。文献口对该模型汹1 的精度 进行了校验，在p r o e 环境中将数学模型啪3 生成的齿廓曲线与按范成法加工形 成的包络线进行比较，并测量两者之间的距离，其测量误差小于l o - 6 m m ( p r o e 默认精度) ，这表明该齿轮齿廓数学模型具有足够的工程精度。但文献口吼执3 门并 未对该齿轮模型进行弯曲强度方面的研究。 7 硕士学位论文 第一章绪论 1 2 本文研究的课题背景 本研究是在对“任意转角位置的双圆弧齿轮 研究的基础上，所进行的一 项子课题研究。本文主要研究任意转角位置的双圆弧齿轮的弯曲强度，按照双 圆弧齿轮工作时的失效形式确定研究对象，重点研究齿根和齿腰这两处的弯曲 应力。 本文在文献啪瑚一n 的基础上，运用理论推导和有限元仿真测量相结合的方 法，研究双圆弧齿轮的弯曲强度。一方面运用折截面法的思路推导双圆弧齿轮 的弯曲应力数学模型中的几何参数，一方面运用p r o e 中m e c h a n i e a 模块的有 限元分析功能得到弯曲应力沿齿廓曲线的分布规律，分析模数、齿数、螺旋角 对双圆弧齿轮弯曲强度的影响规律，再根据各参数对弯曲应力的影响规律修正 推导出的弯曲应力数学模型。利用该模型可以直接得到双圆弧齿轮齿面上任一 点弯曲应力值，而无需再借助有限元等分析软件。 1 3 本文的研究意义 双圆弧齿轮完全不同于渐开线齿轮。渐开线齿轮是凸面与凸面相接触，接 触强度低，接触应力大，齿面容易产生疲劳点蚀。而双圆弧齿轮是凸、凹齿面 相接触，齿面的综合曲率半径比渐开线齿轮大许多倍，所以提高了接触强度， 且凹齿齿根厚度增大，提高了弯曲强度，因而它比一般的齿轮传动的承载能力 高，使用寿命长，齿轮跑合后形成的两条瞬时接触线长，且啮合点沿啮合线移 动的速度高，有利于在啮合点处形成润滑油膜，从而减少了传动过程的功率损 耗，齿面的磨损均匀，其齿面磨损比渐开线齿轮减小6 0 9 6 。 双圆弧齿轮由于其自身的几何、运动特性，其强度，不论是齿面接触强度 还是轮齿弯曲强度，都比一般齿轮要高得多。与材料和尺寸都相同的渐开线斜 齿圆柱齿轮传动相比较，双圆弧齿轮的承载能力是渐开线齿轮的3 - - - 4 倍。 正是由于双圆弧齿轮具备承载能力高、跑合性能好、润滑条件好、使用寿 命长、传动平稳等优势，因而在石油化工、冶金矿山、起重运输机械、航空航 天等领域都颇受青睐，是一种具有良好发展前景的齿轮传动方式，因此充分挖 掘双圆弧齿轮的强度潜能是很有意义的工作。 在低速重载传动以及高速传动中，双圆弧齿轮传动的使用能够带来很大的 利益。但毕竟双圆弧齿轮是后发展起来的，历史很短，无论是理论研究还是制 造工艺都远不及渐开线齿轮那样成熟。双圆弧齿轮的强度分析，如接触强度和 硕士学位论文第一章绪论 弯曲强度等，无论是在理论研究、还是在试验研究方面，都还有很多工作要做。 尤其是双圆弧齿轮的弯曲强度问题，至今仍然有待于解决。双圆弧齿轮最常见 的失效方式就是轮齿折断，有时是从齿根处折断，有时是从齿腰处折断。为了 提高双圆弧齿轮的承载能力和推广它的应用，所以很有必要对双圆弧齿轮的弯 曲强度再作进一步的研究。 本文采用折截面法求轮齿弯曲应力的思路来构建双圆弧齿轮弯曲应力的数 学模型，再结合有限元仿真实验来对该数学模型进行分析和验证。本研究结果 可以给设计新型齿形和研究齿轮传动提供理论依据，同时对设备技术的更新和 改造、节约能源和材料、促进工业发展等也具有十分重要的意义。 1 4 本文研究内容与技术路线 1 4 1 研究内容 本文重点研究了双圆弧齿轮弯曲应力数学模型；用有限元法分析了齿轮模 数、齿数、螺旋角对弯曲应力的影响规律；分析了双圆弧齿轮弯曲应力数学模 型的误差，并讨论了各种分析和计算方法。除绪论外，各章主要内容如下： 第二章，阐述了双圆弧齿轮主要齿形参数的选择及几何尺寸的计算；简单 介绍了双圆弧齿轮的加工成形原理；重点讨论了任意转角位置的双圆弧齿轮的 齿廓方程和齿面方程汹一。 第三章，讨论了传统弯曲应力计算公式的利弊；对折截面法应力分析方法 作了简单的介绍，基于折截面法构建了一个新的双圆弧齿轮弯曲应力数学模型； 根据任意转角位置的双圆弧齿轮的齿廓数学模型，推导出弯曲应力数学模型当 中除齿形参数c 以外的其他几何参数。 第四章，介绍了双圆弧齿轮参数化建模的思想与步骤；讨论了双圆弧齿轮 基本参数间的关系；详细阐述了有限元分析的方法及所使用的软件；以各段齿 廓中点为研究点，重点用有限元分析的方法研究了模数、齿数和螺旋角对双圆 弧齿轮弯曲应力的影响规律，得到包含模数、齿数和螺旋角的齿形参数c ，从而 构建出一个新的双圆弧齿轮弯曲应力数学模型。 第五章，任意调整螺旋角、模数和齿数，构建一些双圆弧齿轮模型，取各 齿轮模型的齿根及齿腰上最大弯曲应力发生点作为研究点，分别采用用有限元 分析进行仿真计算和用所构建的弯曲应力数学模型进行理论计算两种不同的方 法获取其弯曲应力值，以校验所构建的弯曲应力数学模型的准确度，并对其产 生误差的原因进行分析。 9 硕士学位论文第一章绪论 第六章，总结了本文的研究结果，并提出了进一步的研究展望。 1 4 2 技术路线 1 、基于折截面法，构建双圆弧齿轮的弯曲应力数学模型； 2 、根据本研究所采用的双圆弧齿轮齿廓数学模型嘲一，推导出弯曲应力数 学模型当中除齿形参数c 以外的其他几何参数； 3 、利用p r o e 的参数化建模功能，在p r o e 中生成一系列不同参数的双圆 弧齿轮有限元模型，运用p r o e 软件中b t e c h a n i c a 模块的有限元分析功能得到 模数、齿数、螺旋角对双圆弧齿轮弯曲应力的影响规律； 4 、根据上述各参数对弯曲应力的影响规律推导出齿形参数c ，从而构建出 一个新的双圆弧齿轮弯曲应力数学模型； 5 、通过对理论计算和仿真测量两种结果进行比较，分析该双圆弧齿轮弯曲 应力数学模型的误差。 1 5 本章小结 本章简单介绍了双圆弧齿轮的发展历程及在国内的应用，阐述了双圆弧齿 轮的啮合原理与传动特点，以及对它的研究近况，并在此背景下提出了本文的 研究课题及技术路线。 i 0 硕士学位论文第二章任意转角位置的双圆弧齿轮数学模型 第二章任意转角位置的双圆弧齿轮数学模型 双圆弧齿轮的齿面几何方程己不是常用的渐开线齿面和其它常用的曲面， 其齿面形状相当复杂。由于本文研究的是双圆弧齿轮的弯曲应力，齿廓曲面的 生成是基础。因此本章主要以双圆弧齿轮为研究对象，对其齿面的生成问题加 以阐述，主要内容有：主要齿形参数的选择；加工成形的原理；具体几何尺寸 的计算；齿廓、齿面方程的推导。 2 1双圆弧齿轮轮齿模型 双圆弧齿轮的齿形是把两个单圆弧齿轮的凸、凹齿廓组合在一个齿轮的齿 廓上。目前，在生产中所采用的双圆弧齿轮的基本齿廓，基本上有两种类型： 1 、用公切线连接凸、凹圆弧的双圆弧齿轮。这种齿轮连接凸、凹齿面的过 渡部分由滚刀的直线刃范成，因此一对啮合齿轮过渡部分( 齿面的非工作部分) 齿面之间的空隙很小，当工作齿面稍有磨损，非工作齿面之间的空隙便会随之 逐渐消失，从而导致非工作面相接触，最后出现早期点蚀现象。 2 、分阶式双圆弧齿轮。这种齿轮用圆弧连接凸、凹工作齿面，所以过渡部 分( 非工作齿面) 呈台阶形。啮合时，非工作齿面之间形成一个较大的空隙，避 免了上述非工作齿面发生接触而导致点蚀的现象。此外，分阶式双圆弧齿轮还 增大了齿根厚度，从而提高了弯曲强度。 本文研究的是分阶式双圆弧齿轮。如图2 - 1 所示，齿轮端面齿廓的一半是由a b 、b c 、c d 、d e 、 e f 五段曲线组成的，a b 段为刀具齿项圆弧包络形 成的端面齿根齿廓b c 段是刀具凸圆弧包络点所 形成的端面凹齿齿廓；c d 段为刀具齿腰过渡圆弧 包络形成的端面齿腰过渡齿廓：d e 段为刀具凹齿 圆弧包络形成的端面凸齿齿廓，e f 段是齿坯加工 时形成的端面齿顶圆圆弧。 一剪 b 菥|f 口n 、i ，“、 = 芒、。， 图2 - 1 端面齿廓和刀具运动轨迹 硕士学位论文第二章任意转角位置的双圆弧齿轮数学模型 2 2 双圆弧齿轮主要齿形参数的确定 双圆弧齿轮基准齿形参数的确定，其原则和渐开线齿轮基准齿形设计完全 一致。由各参数确定的齿形，一方面应符合等强度齿形的设计原则，保证轮齿 有较高的弯曲强度和接触强度；另一方面要求齿形合理，啮合时传动平稳，无 干涉现象，且形状简单便于制造加工。 确定齿形形状的基本参数有：全齿高、齿厚比、齿廓圆弧半径差、齿侧间 隙、名义压力角、齿廓半径、齿廓圆心移距量、工艺角等。 1 、全齿高h 全齿高的大小直接影响轮齿的弯曲强度和接触强度。全齿高增大，齿面接 触弧长增加，齿面接触应力降低，接触强度提高。但是，全齿高增大，又会使 弯曲力臂增大，从而使轮齿的弯曲强度下降。因此，合理地选取全齿高，要根 据齿轮的材质和齿面的状况来定：齿面硬度高，全齿高就小些，力求轮齿的弯 曲强度和齿面的接触强度趋于等强度的设计原则，使齿轮达到最大负载能力。 一般来说，精滚调质的软齿面双圆弧齿轮，全齿高h = ( 2 2 2 5 ) m ：3 5 0 h b s 左 右的较高硬度齿面双圆弧齿轮，全齿高h 可适当降低；h r c 5 0 的硬齿面双圆 弧齿轮，h 1 5 m 。 此外，还应根据不同的工况和载荷合理地确定全齿高。如起重运输机械用 的齿轮，为了保证有足够的弯曲强度，全齿高h 应取小值；而在汽轮机、鼓风机 等高速传动中，为了使轮齿具有较好的柔性，全齿高h 应取较大值。 全齿高h 确定以后，再根据径向间隙要求确定齿顶高和齿根高，一般齿根高 稍大于齿顶高，使径向间隙保持在( o 1 5 o 3 ) 所。之间。 2 、齿厚比k 与齿廓节圆齿厚s 。、s ， 双圆弧齿轮的齿厚比是由齿廓切向变位形成的，它是指凹齿节圆齿厚s ，和 凸齿节圆齿厚s 。的比值，即 k ：兰( 2 1 )k = 2( 2 1 ) 齿厚比k 值的大小主要应根据轮齿的弯曲强度要求来确定。齿厚比大，凹 齿、齿根部分增厚，轮齿的弯曲强度就高。但过大的齿厚比，又会使凸齿的齿 厚大大减小，从而使轮齿的最大弯曲应力