（应用数学专业论文）拟线性双曲组的一类混合初边值问题的整体经典解的渐近性态.pdf

摘要 摘要：本文主要研究拟线性双曲组的一类初边值问题的整体经典解的渐近 性态。基于李大潜和王利彬的有关整体经典解的结果 4 ，并利用孔德兴和杨彤 在【8 中的方法，我们证明：假设当z 趋予。时初值班( 1 + 。) 一( 1 + 曲的代数速率衰 减以及当趋于o 。时边值以( 1 + t ) ( h 一) 的代数速率衰减，则当t 趋向于。时，双曲 组的解以代数速率( 1 + ) 一p 趋于一组g 1 行波解的组合，此处的芦为正鬻数。 关键字：拟线性双曲组；整体经典解；渐近性态；弱线性退化；标准化坐标；行波解 中图分类号：01 7 5 2 20 1 7 5 2 7 l l a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fg l o b a lc l a s s i c a l s o l u t i o n st oak i n do fm i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rq u a s i l i n e a rh y - p e r b o t i cs y s t e m s b a s e do nt h ee x i s t e n c er e s u l t so nt h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n s g i v e nb yl it a - t s i e na n dw a n gl i b i ni nf 4 j ，a n de m p l o yt h em e t h o do fk o n g d e x i n ga n dy a n gt o n gi nf 8 j ，w ep r o v et h a t ，w h e ntt e n d s t oi n f i n i t y ，t h es o l u t i o n a p p r o a c h e sac o m b i n a t i o no fc 1t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa t , t h ea l g e b r a i cr a t e ( 1 + 圹“，p r o v et h a tt h ei n i t i a ld a t ad e c a ya tt h er a t e ( 1 + 。) 一( 1 + 肿a sz t e n d st o + o 。a n dt h eb o u n d a r yd a t ad e c a ya tt h er a t e ( 1 + t ) 一( 1 + 8 stt e d n st o + 。， w h e r e “i sap o s i t i v ec o n s t a n t k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m ；g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ；a s y m p t o t i c b e h a v i o r ；w e a kl i n e a rd e g e n e r a c y ；n o r m a l i z e dc o o r d i n a t e s ；t r a v e l l i n gw o v e 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究威果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他入或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 作者签名 论文使用授权声明 日期：迎 厶9 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 作者签名 峰 磕 第一章引言 拟线性双曲型方程鲠描述了许多物理现象，特别地，在气体动力学，浅水 理论等离子物理，燃烧理论，声学，滤体力学以及石浊储备工程方面都有很 重要的应用。 一般而言，拟线性双曲型方程组的整体经典解只能在时间t 的一个局部范围 内存在；即使初边值相当光滑甚至相当小也是如此。于是，人们自然而然会提 出这样一个问题：在什么条件下具有初边值问题的拟线性双曲组存在整体经典 解? 对此，李大潜等人证明了在初边值以及方程组本身满足一定的条件下，方 程组存在整体经典解。这也是本文的立论之一。其次，在方程组存在整体经典 解的清 冤下，避一步研究解的渐近性态无论在理论方面还是在应稻方面都是很 重要的问题。 考虑下面的一阶拟线性双曲型方程组： 窑州锚) 塞= o 其中，珏= ( 珏，让。) t 是关于( t ，。) 的未知向量函数，a ( 缸) = ( a i j ( 乜) ) 是礼扎 矩阵；并且。坷( 乱) ( i ，j = i ，摊) 适当光滑。 关于整体经典解的存在性：首先，李大潜等f 9 1 引入了弱线性退化的概念， 当t = o 时：u = ，( z ) ，( 茁) c 1 为小紧支函数时，证明了齐次的一阶拟线性严格 双越组c a u c h y i 日题有整体经典解。进一步，李大潜等【lo ，将 9 中能结果推广 到衰减初值，即 # 垒s u p ( 1 + | 。i ) 1 + ”( i ，( z ) i + i ，扛) i ) ) + 。 o r 其中p 为正常数。其次，周忆在 1 1 】中证明：当初值“一，( 功并且 ，+ 上。 ，协) l d z g 第一章引言 2 其中 2 i f ( 蚓出击 m = s u p l f 7 ( z ) l + 。 z r 辩，双曲组的整体经典解仍然存在再次，李大潜和王利彬在陶中又推广到襁 边值混合的双l 趱组；其中的 8 垒m a x f s u p ( 1 + 。) 1 + 一( f 声( z ) + 妒( z ) i ) ， z 2 0 s u p ( 1 + t ) 1 + 一( 1 d ) l + i 7 ) i + i 危如) l + l h ( z ) 】) ) o 关于渐近性态：孔德兴等同在引入弱线性退化以及标准化坐标的情况下， 并且初值满足匹配条件下利用波的分解公式给出了双曲组 窑州札) 塞叫) 的c a u c h y 问题的整体经典解的渐近性态。 本文将证明在孔德兴等f 8 1 的基础上，进一步考虑边值条件，则相应的整体 经典解的渐近性态与其有相似的结论。文中的关于波的分解公式超到了穰重要 的作用。 本文的结构如下：第一章为引言，简单介绍了问题的研究状况。第二章给 出了本文的主要结果。第三章为预备知识；其中的3 ，1 引入了弱线性退化和证 明定理所需要的理论准备，3 。2 给出了满足初边值阀题静齐次方程组的波的分 解公式。第四章引入了李太潜和王利彬等在陶和1 1 0 中建立的一致先验倍计。 第五章为定理的证明。 第二章主要结果 考虑下厦的一阶拟线性双曲型方程组 警+ a ( u ，爱= o ( 2 0 1 ) 其中址= ( 札l ，) 丁是关予。) 的未知向量涵数，a ( ”) = ( ( 钍) ) 是一 个扎札矩阵，其中元素。j ( 妣) ( i ，j = 1 ，n ) 适当光滑。 由双曲型的定义，对所考察的区域上任意给定的u ，a ( 让) 有礼个实 特征值a ，( u ) ，a 。( ) ，- - - ，a 。( u ) ，记f 。( u ) = ( 屯，( ) ，- ，f 。( “) ) ( 相应地( r d u ) = ( z ( 姓) ，t i n ) ) 丁) 为对应于a 。( 世) ( i = 1 ，扎) 的左( 右) 特征向量： 和 我们有 岛( 珏) 以( 牡) 一a 。( 珏) 如( 孔)( 2 0 2 ) a ( u ) r i ( u ) = 丸( 让) n ( 札) ，( 2 0 3 ) d e t1 幻( ) l 0 ( a d e tl 舒( “) l o ) ( 2 0 4 ) 不失一般性，我们假定在所考虑的区域上 如( u ) o ( 札) = 如( i ，j = 1 ，他) 1 ( 2 0 5 ) 这里的妨表示k r o n e c k e r 记号。 我们假定所有的a ；( u ) ，l i j ( u ) ，r i j ( u ) ( i ，j = 1 ，n ) 和哟( ，j = 1 ，礼) 具 有相同的正则性 3 第二章主要结果 4 在本文中，我们假设特征值满足 在区域 a ，( o ) - a 。( o ) 0 a 。+ 1 ( 0 ) - - ，a 。( o ) ( 2 0 6 ) d = ( ，x ) l t 0 ，。o ，( 2 0 7 ) 我们考察系统( 20 1 ) 的混合初边值问题，其中初值条件为 和边值条件为 在这里 以及 t = 0 ：让= 妒( 。)( g 0 )( 2 0 ，8 ) 。= 0 ： = 五( 。( t ) ，v l ，t 一，；) + ( t ) ( s = m + 1 ，礼) ，( 2 0 9 ) ( 札) = k 沁) u ( i = 1 ，礼)( 2 0 1 0 ) 不失一般性，我们可假定 o ( t ) = ( a l ( t ) ， ( t ) ) ( 2 0 1 1 ) ( o ( t ) ，0 ，0 ) 三0 ( s = m + 1 ，一，他) ( 2 0 1 2 ) 注2 1 在珏= 0 的邻域内，对于不同的左特征向量，边值条件( 2 0 。9 ) 具有 相弼的形式。 对于相应的c a u c h y 问题，下面的结果已由孔德兴和杨彤f 8 】给出： t h e o r e ma ：在上述假定下，在标准化坐标中，存在难一的一个向量值函 数西( z ) = ( 圣1 ( z ) ，峨扛) ) t 成立( 参见预备知识3 1 ) n ( t ，z ) 一蛾一九( o ) t ) e d k 0 2 ( 1 + 圹“， 1 3 ) 0 篇1 这里的k 为一个依赖予( t ，z ) 和8 的正常数，a 1 ( o ) a 2 ( o ) o x 适当小的常数。 其次，我们假定 a 1 ( 0 ) ， a m ( o ) 0 a m + 1 ( o ) 0 ，令 珏( ，蚓6( 4 1 ，5 ) d ：一 ( t ，z ) l o t 冬t ，篁( k ( o ) + 南) t ，( 4 , 1 6 ) 1 1 第四章一致先验估计 1 2 d 孑= ( ，x ) i o 曼冬t ，0 xs ( a 。+ 1 ( o ) 一品) t ，( 4 1 ，7 ) d 彳一 ( f ，x ) l os t ，( a 。+ 1 ( o ) 一南) t 茎xs ( a 。( o ) + 岛) t ) ，( 4 1 8 ) 以及对8 = m + 1 ，n ， 和 d = ( t ，x ) l os t ，| z a 。( o ) t 【南t ) ( 4 1 9 ) 从而我们可以得到 d ：ud 手u d t = ( ( 亡，x ) l o t 茎t ，z 芝o - ， ( 4 , 1 1 0 ) ud 尹cd 丁 5 = m + 1 ( 4 1 ，1 1 ) 对于每个在区域 x ) l o t 冬t ，茁o ) 上的关于系统( 2 0 1 ) 的混合问题 的e 1 解u = “( t ，z ) ，我们令 v ( d f ) = i 等8 x ，i t ( 14 - z ) 1 。船钝( t ，x ) t l l 。( d 珈 ( 4 1 1 2 ) 4 = 1 n w 7 ( d 车) = ，詈a x 。1 l ( 1 + z ) 1 + 4 叫i ( t ，z 矧l 。( d ；) ， ( 4 i 1 3 ) z = 1 n 1 v ( d t ) 一。旦8 1 1 ( 1 + t ) 1 + ”饥( z ，x ) l l l 。( d ) ， ( 4 1 1 4 ) = 1 m “ w ( d 吾) = 。旦a x i i ( 1 + 妒忡w d t ，x ) j i 俨( d f ) ， ( 4 1 1 5 ) t = i ，n ” 坛( r ) = m a x 母a xs u p ( 1 + ) 1 + ”l 啦( t ，z ) j ， 。i ，”，”t , z ) e d t m a ，x s u p( 1 十矿柏i v 。( t ，z ) m( 4 1 1 6 ) 忙m + 1 一( o 声) “f d 第四章一致先验估计1 3 w 鼍= m a x ，登熙，s u p ( 1 + 矿+ 一| 嘶池。) i ， 。i ，“f t r ) e d t m a x 。 s u p( 1 + 矿+ “( t ，z ) m ( 4 1 1 7 ) 8 。”十1 ，“，“旭z c ) e d t d t 。、 暖( ? ) 2 咖m m a x 。警s 字石雠慨 1 8 ) 厩2 m a x ，。鬻s 挚名雠( 4 1 1 9 ) 其中弓表示在区域职上任意给定的第j 条特征线j s ，s = m + 1 ，m 比( r ) = i 璺觚。， s u p 耽( ，嚣孔 ( 4 1 2 0 ) = i ，0 0 w 乞( ? ) = i 晋e t x s u p慨x ) 1 ( 4 1 2 1 ) 8 1 ，ro o 使得 对任意给定的目 0 ，o o ，对于系统( 2 0 1 ) 以及其混合初边值问题( 2 0 8 ) 一( 2 0 9 ) 第四章一致先验估计1 4 其在存在区域 ( t ，z ) ostst ，。o 上e c l 解，我们有下面的一致先验估计 v ( d 0 7 ) 茎k 2 口 ( 瑶) 曼跨3 8 m ( 丁) k 4 9 丽( t ) 尤5 目 圪( t ) k 6 8 w 矗( r ) 尤7 0 比( 丁) k 8 目 - ( t ) k 9 p ( 丁) k 1 0 口 肌( ，) s ，c l l 口 w 2 ( t ) 曼k 1 2 8 ( 4 , 2 2 3 ) ( 4 2 2 4 ) ( 4 , 2 2 5 ) ( 4 2 2 6 ) ( 4 2 2 7 ) ( 4 , 2 2 8 ) ( 4 2 2 9 ) ( 4 2 3 0 ) ( 4 2 3 1 ) ( 4 , 2 3 2 ) ( 4 2 3 3 ) 到 第五章定理的证明 在证明定理的过程中，我们将要用到标准化坐标。 首先，对于i = 1 ，2 ，m ，利用引理3 2 、弓l 理4 。1 和引理42 ，我们容易得 ( f ，z ) k o ( 1 + t ) 一( 1 + p ) 从规j 芏升始我们采芎愿i = m + 1 ，礼嗣情彤为j 街早起见， 标准化坐标下的“= ( 让1 ，札。) r 以及整体c 1 解“= 札z ) ，下面令 瓦d=瓦0+冲)瓦0dt ， 。 a t 。1 、。7 0 z 显然我们可以褥到： 瓦d = 一d d i t + ( 。) _ 州蝴嘉，上) i t7 1 ”。“如 那么利用f 2 0 1 ) 和f 3 2 1 0 ) ，我们有 ( 5 0 1 ) 我们仍然记 ( 5 0 2 ) ( 5 0 3 ) 赛= 象堋和) “删塞， = 塞+ u ) 瓦o u + ( o ) 一钍) ) 塞， 一一 4 塞+ 丸( 让) 瓦o u + ( ( o ) 一知( 乱”塞， ：( 九( u ) 一b ( 珏) ) 。吩吩( 让) + 妻( 气( o ) 一知( 珏) ) 。略q ( 耻) ，( 5 。4 ) 1 5 第五章定理的证明1 6 特别地，注意到( 3 1 5 ) 和( 3 1 7 ) ，我们有 甓。黔叫蝴吲咖z + 势( o ) 慨b = ( 九( 让) 一( ) ) q q ( 札) r j ( u j e j ) e ； 十 ( 九( 让) 一( 珏) ) t q ( 珏) 龟 j 1 ，m ) + ( 九( o ) 一九( u ) ) t 吩 q ) 一r j ( 哟勺) ) 岛 剃j m 十l ，叫- + e ( a 。( o ) 一a ；( 札) ) t 吩巧( 钍) e o 【1 ，m + ( 九( 8 。) 一凡( 钍) ) ；r ( 钍) e 。 由h a d a m a r d 公式，我们有 d u t d i t ( 5 0 5 ) + e ( a i ( 姓) 一知( 珏) ) 钍。吩( 也) e 。 j e 1 - ，m + e ( a t ( o ) a 。( u ) ) t 吩q ( “) e 。， ( 5 o 6 ) j e 1 ，m 其中j m + 1 ，扎) ，丽 = ( 1 一( 。) 咄) z 1 面0 7 k i i 砜，f ，r t ， 也嘶) z 1 筹h - ，r 岷删灯啦仙一渺， 其中。( 珏) 表示弦汹) 的第i 个分量。 对于任意固定的。) 兄+ x 置十，我们定义 那么由( 5 0 6 ) ，我们可得到 n = 茁一九( 0 ) t 丁赳n ) d r ( 5 0 7 ) ( 5 0 8 ) 第五章定理的证明1 7 ( 1 ) 当a r + 时，我们可得 地( ，o l + 九( 0 ) t ) 咄岫) + 以诛蠢m 蚴 + ( 九( 批) 一q ( 札) e t f l ，m + ( 九( o ) 一a , ( u ) ) w j r j ( u ) e ) ( s ，o f + 丸( o ) s ) d s ， 0 9 ) j i ，m ) 利用引理4 1 和弓l n 4 2 ，对于任意固定的r + 、我们有 f t f u ) 啦叫女1 + 让卜如( “) ) 奶吩( 毗l 。，i ，j e m 4 - i ，n 延 l ，m + l ( 知( o ) 一天；( 钍) ) t 吩吩( 札) e ；1 ) o ，8 + 凡( 。) s ) d s j e 1 ，m ，t1 s g 铲z 南d s ( 5 0 1 0 ) 此处阻及后面的q u 一1 ，2 ) 均为不依赖于( t ，。) ( t ，z o ) 和口的正常数，这意 昧着积分 f 巩t 沁) u j w k + ( 凡( 雠) 一( “) 如吩e t 。 j 劓一j m + 1 ，埘 j 1 ，m ) 十 ( 九( o ) 一九( u ) ) u o o ( 札) e 。) ( s ，。+ 九( o ) s ) d 5 j e 1 ，m ， f 5 , 0 ，1 1 ) 关予a r + 是一致收敛的另一方面，注意到( 5 0 9 ) 的右边项关于耻是连续的，我 们观察可得簧存在唯一的一个函数峨( ) c o ( 疗) ，使得 u 1 0 ，石) - - - - - - 4 圣 ( 。一a t ( o ) t ) ( t + 。)( 5 0 1 2 ) 第五章定理的证明1 8 静 酬一( o ，卅n 九胙囊问啦 + ( 九( 珏) 一( 珏) ) h 。巧( 札) e 。 j e i ，m + ( 九( o ) 一九( u ) ) “o 吩( 札) e 。 ( 8 ，o + 太( o ) s ) 如，( 5 0 1 3 ) ，( 1 ，- ，m ) 进一步，我们由( 5 。0 9 ) 和( 5 0 1 3 ) 可得 i 0 ，善) 一蛋。( o a d o ) t ) f 十e似u ) 一b ( u ) ) 。( ) 龟i 。= 瓤爵j z e m + l ，n )i e i ，m 】 + | ( a 。( o ) 一九( 珏) ) 钍o o ( 钍) e ；1 ) ( s ，+ 九( o ) s ) d s 鲫2 岛南d s 吡e ， 第五章定理的证明 1 9 同样这将意眯着积分 卜 甄外坳驯t + ( 九( u 卜( ) ) 。( 砒 。一 ；o ) j # io m + 1 ，“，r 1 ，一，m ) + o ) 一九( u ) ) w j r a u ) 龟) ( s ) + 知( 。) s ) 如 j e l ，m ( 50 1 7 ) 关于r 一是一致收敛的另一方西，注意n ( 5 。0 1 5 ) 的右边顼关于q 是连续的，我 们观察可得到存在唯一的一个函数最( 8 ) c o ( r 一) 讯) 一( 赤+ 磊( 硝水蠢m 帅 十 “) 一为) 叻。( 珏) 岛 + ( 九( o ) 一九( “) ) 蚴r ( 札) 龟) ( s ，q + 九( o ) s ) d s ， ( 5 0 1 8 ) ， 1 ，m 进一步，我们得到 l 地0 ，z ) 一圣。( 。一九( o ) t ) i 1 嘞t ( 钆) 吩叫胯+ 胁( u ) 一如) 屿勺( u ) e 卅 。 ，牟，e m + l ，m i e 1 ，m ) + l ( 九( o ) 一九( “) ) “o q ( 钆) e 。| ) ( s ，口+ a i ( o ) s ) d s j e i ，n ) g 8 2 南d s g 萨( 1 + 圹9 ( 5 叭9 ) ( 3 ) + 注意n ( 5 0 1 3 ) 和( 5 0 1 7 ) ，令一0 ，我们易得 圣t ( ) = 零t ( a ) 而且，利用f 5 0 1 4 ) j f n ( 5 0 1 8 ) ，我们得到 ( 5 0 2 0 ) ( ，z ) 一v d o ) l 冬仍目2 ( 1 + t ) 一“( 5 0 2 1 ) 其中i m + 1 ，n ，因此，由上面的( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) ，我们就得n t 预计的定理 结果( 2 0 1 6 ) 下面，我 f 】来证明哦( a ) c 1 ( 置) ，注意到屯似) c o ( r ) ：因j 瑶：我们只需证 明删d a 伊( r ) 即可。 o ) t ) o ) t ) n 第五章定理的证明2 0 啦池 t “( t ， + 气( o 瑚 a + 凡( 0 ) t ) 1 吩q ( “) e t + 枷。n ( 让) e l “0 ( r 托) 一r j ( q ) ) 8 。 ( 5 0 2 2 ) ( 5 0 2 3 ) 类似予( 5 0 7 ) ，利用日n 如m n r d 公式，我们得到 筹= 吩伽女十w j r j ( u ) e l + w l ， ( 5 n 2 4 ) ，膏 j e 1 ，m 其中 t u k 一1 ，“，t u k + 1 ，t7 _ 札n ) d r 。( 5 0 2 5 ) u 盯 堕z | l 心k 第五章定理的证明 2 l 因而 o 。u 。( ta + 冲) t ) = ( 钍) 丐伽m + 掷) t ) j + 链勺( ) 岛( t ，。+ 丸( o ) ) + w d t ，理+ 气( o ) ) 利用引理4 ，l 和引理4 2 ，当t o 。时 ( 5 0 2 6 ) 五拍( 珏) 啦”( ，+ a ：( o ) f ) +乜。( 乱) e 。 ，+ a d o ) t ) 关于血r 以代数速率( 1 + t ) 一p 一致趋于o 因此我们得到 ：l 。i r a 。o 口饯z ( t 、8 + 凡( 。弘) = 。l 。i r a 。叫，。，+ 知( 。) ) 因此要证明弓| 理5 1 ，只需证明下强的引理 引理5 2 极限 如m 毗+ ( o 瑚 _ 呻o o 存在且关于r 连续。 证明：1 当r + 时，对任意固定的点( t ，。+ 气( o ) t ) ，我们将对口进行分类 讨论 情形a ：存在一个矽溉。) 冗+ ，使得： 即 一 卢0 ，o ) + a 。( “( s ，甄( s ，卢( ，d ) ) ) ) d s = 。+ a d o ) t( 5 0 2 7 ) 0 ， 0 ，a ) = + a d o ) 一凡( 缸( s ，魏0 ，罗p ，凸) ) ) ) d s( 5 0 。2 8 ) j 0 其中z 一。 ( s ，声( ，) ) 表示由 j ，空苎掣：a ；( “( s ，z 。( s ，卢 ，o ：) ) ) ) l z i ( o ，声( ，a ) ) = 芦牡：) 第五章定理的证明 2 2 定义的经过点( o ，z ( t ，乜) ) 的第i 条特征蓝线 显然地， 毗( f ，o g + m o ) t ) = 毗( t ，x d t ，9 ( t ，0 f ) ) ) = ：( t ，f l ( t ，“) ) ( 5 0 2 9 ) 为j 让明引理5 2 ，我们焉婴证明p 回的弓l 理5 3 干玎引理5 4 引瑗5 3 存在唯一的一个p c o ( r + ) 使得，当t o 。时，在区 间f a ，明上卢( t ，) 一致趋于卢( 血) ，其中 a ，酬为兄+ 上的任意区间 证明：因为丸( 札) 是弱线性退化的，故m ( 5 0 2 8 ) 得到 r 卢0 ，q ) = o + a 。( “。e ；) 一a i ( “( s ，z i ( s ，卢( t ，o ) ) ) ) ) d s( 5 o 3 0 ) j 0 再次利用h a d a m a r d 公式，则上式可写为 肌却+ 丢似讹硝螂删如 ( 5 0 3 t ) 其中 协卜z 1 筹一，r 虬z m m 扎隅灿 由f 5 0 3 1 ) 我们得到 其中 阮沪邮国萎小z ( s 熊) ) ) 泌 p 1 sg ( 巩+ 吒。0 南d 8 ) ，( 5 0 3 2 ) j、1 o ， u 1 = 。，。m 。a ，x 。 m ，书a x s 蕊u p f 巧i 啦( t ，茁) i 出 其中q0 i ) 表示区域d 。上任意给定的第t 条特征曲线注意到( 5 0 3 0 ) 和弓 理4 2 ，我们有 巩墨k i o ，吒娲毋 第五章定理的证明 2 3 其中k l 为不依赖于口的正常数这样，假定如适当小，我们由( 5 0 3 2 ) 褥到 z ( t ，a ) 一0 f l c l o o q 1 0 0 1 ( 5 0 3 3 ) 另一方面，对任意的一个y n ，翻，存在一个依赖于 n ，6 但不依赖于可的 常数，b ，使得当夏。，q 时，第 条特征曲线。= 戤( t ，f ) 经过( o ，) 一进入区 域d 。并包含在其中，其中 g ，磷表示冗+ 上的任意区闻此时，我们利用引理4 1 和 引理4 2 ，可以得到 瞰澎，鳓g 。丽杀 因此，注意到f 5 0 3 3 ) ，我们得到 l u j ( 叫如，雕) ) | q s 矸杀 v t t f 。 1 ，y a ，6 】r + ， ，v s t c a - - i , 扣+ 1 l ，a a ，明r + 因为当s 芝 1 1 时，第i 条特征曲线卫= x i ( 8 ，9 ( t ，n ) ) 经过( o ，卢( ，。) ) 进入 区域聩并包含在其中，并且我们可利用弓l 理4 2 中对屹的估计；这表明存 在准一的一个卢( ) 使得当t 一。时，在区间 n 加 上卢( t ，“) 一致趋于卢( 血) ，其 中f a ，纠为r + 上的任意区间并且注意n ( 5 0 3 1 ) 右边所有的函数表达式关于是 连续的，那么我们就可得到卢伊( 矗+ ) ，从而引理5 3 得证 至此，由引理5 2 我们可得 丑mw ；( z ，+ 九( o 弘) = j i m 叫i ( t ，z ( t ，o ) ) = j i ! 姚( t ，卢( ) ) ( 5 0 3 4 ) c o 。t l c o 。 弓l 理5 4 存在唯一的一个瓤( ) 伊( 霞) ，使得 l i m 坝( t ，。i ( t ，口) ) = o i ( a ) t _ o o ( 5 0 + 3 5 ) 其中讹( t ，魏( t ，) ) 在舻上是以代数速率( 1 + t ) 一p 一致趋于峨( ) ，。= 撬( ，) 表 示经过( o ，d ) 的第i 奈特征曲线 证明：注意到( 3 2 ，2 0 ) ，我们得到 毗抽”= 卸+ z 。 熹桫酬舭如，啪，( 5 0 3 6 ) 注意到( 3 2 2 2 ) 幂1 ( 3 2 2 3 ) ，利用三弛d a m 口r d 公式，引理4 1 和引理4 2 ，并且进一步 注意到( 5 0 。3 1 ) 的右边是关于弘的连续函数，从而我们容易得到( 5 0 ，3 1 ) 右边的积 第五章定理的证明 2 4 分表达式在r + 仁以代数速率( 1 + t r 一一致收敛那么注意到( 5 0 3 1 ) 右边所有的 函数关于。是连续的，我们可知存在唯一的峨( n ) c 。( r + ) ，使得在冗+ 上以代 数速率( 1 + ) 一p 一致收敛 t l i r a 。w i ( t ，孔( t ，n ) ) = 皿t ( o ) k 似8 “文烈t 0 。 泸卅。 荔鹕( s 踯，嘲” 定义的经过点( = 安赫，o ) 的第i 条特征馥线，而且注意到 一k 九( o ) d s = - # - & ( 0 弦 ( 5 0 3 7 ) ( 5 0 3 8 ) 一声一卢。和) 洱厶冰b 砒雕删 2 厶m 熊删。和) ) d s ( 5 0 3 9 ) 那么类似予情形a ，我们也可得到唯一的蕺( 口) 伊( f 矿) ，使得 l i m 讹( t ，鼽( t ，0 f ) ) = 零。( ) ( 5 0 4 0 ) i ：一0 0 而且，注意到卢( t ，) = o 时，上面的结论仍然成立：并且进一步得到 璺器皿t ( ) 2 旦墨皿t ( n )a 4 ua u 2 当o r 一和a = 0 时，仍然可以得到和上面相网的结论。 ( 5 0 4 1 ) 第五章定理的证明2 5 显然，、( 50 3 6 ) 可被改写为 f l i r a 。w i ( t ，o ) = 皿i ( ) 另一方面，由1 和2 可得到 ( 5 0 。4 2 ) 。l i r a 。毗( t ，+ 九( o ) 句20 恶州t ( t ，声( o ) ) = 零t ( 卢( a ) ) c o ( r ) ( 5 0 4 3 ) 至此引理5 2 证明完成 引理5 1 的证明：引理5 1 可m ( 5 0 2 7 ) 和引理5 2 直接得到 最后，由( 5 0 2 1 ) ，( 5 0 2 7 ) 和( 5 0 4 2 ) ，我们得到 型d a = 唧( 8 ) ) g 。 ( 5 0 4 4 ) 至此，完成了对定理的证明。 参考文献 1 】a b r e s s a n ，c o n t r a c t i v em e t r i c sf o rn o n l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m ，i n d i a n au n i - v e r s i t ym a t h e m a t i c sj o u r n a l ，3 7 ( 1 9 8 8 ) ，4 0 9 4 2 0 2 】j m g r e e n b e r ga n dt a t s i e nl i ，t h ee f f e c to fb o u n d a r yd a m p i n gf o rt h eq u a - s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，j d i f f e q u a t i o n s ，5 2 ( 1 9 8 4 ) ，6 6 7 5 f 3 1l h o r m a n d e r ，t h el i f e s p a no