（计算数学专业论文）多元直交多项式与数值积分公式.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 多元直交多项式和数值积分公式是当前数值逼近研究领域中的热门研究方向，而且 在计算几何、科学计算、调和分析、特殊函数以及概率论与统计等诸多数学领域申有着 重要应用它们之间亦有着非常深刻的联系本文主要针对这两个专题进行研究本文主 要研究；任意区域上的多元直交多项式一般性质及有关数值积分公式的构造问题主要 工作如下： ( 1 ) 文献表明连分式是最初研究直交多项式的主要工具之一，但连分式的重要性在较 长时间并未引起人们的足够重视一个很重要的原因是它很难向多元推广s t i e l t j e s 定理 揭示了连分式与直交多项式之间的重要关系罗钟铉教授和王仁宏教授f 1 】提出了不变因 子的概念，从而把一元的s t i e l t j e s 定理推广到了二元，并且得到了类似于一元的渐进展 开公式，其中不变因子替代了一元直交多项式的作用本文在f 1 】的基础上进一步研究了 不变因子的性质，特别是它的零点性质首先证明了不变因子的零点一定是相应的截断 j a c o b i 矩阵的一个特征值，从而是实的；特别地，当不变因子不存在重根时，二者除相差 一常数因子外是相等的另外对于不变因子的一个零点，它都对应着一个直交多项式分 解，即存在着一个直交多项式可以被分解为一个一次多项式和一个低一次的多项式的乘 积由此得到了不变因子的类似于一元直交多项式的零点存在范围， ( 2 ) 一元宣交多项式的零点性质是直交多项式理论的一个重要组成部分为了研究 多元情形的相应性质，把给定次数的所有直交多项式的公共零点视为一元直交多项式零 点的推广在这种观点下，一元的许多性质得以推广到多元，例如公共零点都是实的，且 都是单的等然而，它的存在范围问题一直没有得到解决在一元情形下，f n ，6 1 上的直交 多项式的零点都在( a ，功内部多元情形要复杂的多：多元直交多项式的公共零点未必在 积分区域内部，一个显然的例子是当积分区域为圆环面时，原点作为所有奇次直交多项式 的公共零点却不是圆环上的点通过对不变因子的研究，本文证明了二元直交多项式的 公共零点位于积分区域的凸包内部这一结论可以看作是对多元直交多项式经典理论的 一个补充 。 ( 3 ) 数值积分的研究在理论与应用上都有重要的意义一元的相关理论都已基本完 善，而多元数值积分的构造还有很大的困难在一元情形下，数值积分的求积结点通常取 为直交多项式的零点，而这主要得益于人们对一元直交多项式零点性质的了解，多元情 形下，对于绝大多数的积分泛函而言，它的所有n 次直交多项式的公共零点并不能构成 2 n 一1 次积分公式的求积结点，此时选择一些其它具有直交性质的多项式的公共零点作 为求积结点是一个可行的办法，但这样做的一个困难是很难判断这些多项式的公共零点 个数由不变因子的性质知道它可以用来分解直交多项式，特别是对于低次的直交多项 式，当霓= 2 时，不变因子的任何个零点都可以把其中的一个2 次直交多项式分解为 i 多元直交多项式与数值积分公式 两个一次多项式的乘积根据s t r o u d l 2 】的结论，两个2 次直交多项式有4 个交点( 非无穷 远点1 ，则这4 个交点是3 次求积公式的积分结点显然判断具有上面分解性质的两个2 次直交多项式的交点个数问题转化为了判断直线交点问题利用这一性质，本文给出了四 点三次积分公式的一个构造方法，并且给出了详细的构造过程根据m 6 1 1 e r n 的结论，结 点数已经达到最小值得一提的是，利用本文的方法所构造的数值例子作为反例否定了 m s l l e r n 于2 0 0 4 年给出的重要结论：数值积分公式中的结点数最小时相应数值积分公式 的所有权系数为正这一点已经得到m s u e r 本人的m 5 件承认 ( 4 ) 为了研究多元直交多项式的性质，本文给出了高维情形的不变因子的概念，并且 由此给出了多元s t i e l t j e s 型定理另外我们还得到了完全与二元直交多项式相平行的结 论，其中包括与j a c o b i 矩阵的关系，不变因子的零点性质，多元直交多项式的分解性质， 公共零点的存在范围等 f 5 ) 乘积型公式是构造最简单且应用非常广泛的一类多元数值积分公式它的构造 原理是通过一个变换把原始积分问题分解为一系列的单重积分问题，从而借助一元的求 积公式来求积它的一个最大缺点是在次数和维数升高时结点数增长太快鉴于此本文 针对球域上的积分问题给出了一个变换，通过这个变换不仅可以把球域上的积分问题转 化为单重积分问题，而且最终的结点数也大为减少本文构造的的求积公式无论代数精 度高低总有一些结点是被重复使用的 ( 6 ) 多项式插值与数值积分之间有着密切的联系为了研究插值适定性问题，梁学章 等人 5 刊关于多元多项式的插值问题给出了一种递规构造的方法一添加代数曲线法本 文考虑求积公式的递归构造方法本文首先给出了一种添加代数曲线的积分构造法，即 通过在给定的代数曲线上选择一些结点得到一个代数精度更高的求积公式选定一些不 同的代数曲线，重复添加曲线过程，这样最终得到了递归构造法其次，为了减少结点数， 事先把这些代数曲线视为一个n 次直交多项式所对应的代数曲线的一些分支，利用直交 多项式的直交性可以假定以这个直交多项式为权函数的积分已经有了一个0 点n 一1 次 的积分公式由于出发点是从n 一1 次开始，这样势必减少了大量的结点数本文以圆盘 上的积分为例给出了详细的构造过程，并且得到了许多相应的求积公式，有些公式的结点 数已经达到最小最后，本文还给出了不同权系数下直交多项式之间的一个关系式 ( 7 ) 借助多项式理想的相关知识，本文研究了一个事先给定结点的数值积分公式的构 造方法把给定的结点限制为一个低次求积公式的结点，由此进一步得到一个更高次代 数精精度的求积公式如此可得到一个嵌入列，即低次求积公式的结点都是高次积分公 式的结点此类研究的意义在于：多元数值积分的误差分析一直是一个难题，人们通常以 两个不同精度的求积公式的差表示积分误差此时，利用嵌入式积分公式序列将有利于 分析和减少计算量另外，文中还给出了一个二元非插值型积分公式的例子 关键词：多元直交多项式；不变因子；公共零点；j a c o b i 矩阵；数值积分公式 i i 大连理工大学博士学位论文 m u l t i v a r i a t eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa n dc u b a t u r ef o r m u l a e a b s t r a c t o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa n dn u m e r i c a li n t e g r a t i o ni ns e v e r a lv a r i a b l e sa r et w oh o t p r o b l e m sf o rd i s c u s s i o ni nt h ef i e l do fn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n ，a n dh a v em a n yi m p o r - t a n ta p p l i c a t i o n si nc o m p u t a t i o n a lg e o m e t r y , s c i e n t i f i cc o m p u t i n g h a r m o n i ca n a l y s i s ，t h e t h e o r yo fs p e c i a lf f m c t i o n s ，p r o b a b i l i t ya n ds t a t 斌i c sa n ds 0o n f u r t h e r m o r eb o t ho f t h e ma r ea l s oc l o s e l yr e l a t e d i nt h i sp a p e r ，s o m ep r o b l e m sa b o u tt h e s et w ot o p i c sa r e d i s c u s s e d ，w h i c hm a i n l yi n c l u d es o m ee x t e n s i o n so fg e n e r a lp r o p e r t i e so fo n ed i m e n s i o n a l o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa n dt h ec o n s t r u c t i o no fc u b a t u r ef o r m u l a ew i t hs p e c i a ls t r u c t u r e s ( 1 ) h i s t o r i c a l l y , t h eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l so r i g i n a t e di nt h et h e o r yo fc o n t i n u e d f r a c t i o n s b u tc o n t i n u e df r a c t i o u sh a v eb e e ng r a d u a l l ya b a n d o n e d 髂as t a r t i n gp o i n t f o rt h et h e o r yo fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s o n eo ft h ei m p o r t a n tr e a s o n si st h a ti ti s d i f f i c u l tt ob ee x t e n d e dt oo v e r c o m ei t ，p r o f e s s o rl u oz h o n g x u a na n dp r o f e s s o rw a n g r e n h o n g f l ji n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fi n v a r i a n tf a c t o rf o ro r t h o g o n a lp o l y n o m i a l so ft w o v a x i a b l e s b yi n v a r i a n tf a c t o r ，t h e yp r o v e dt h es t i e l t j e st h e o r e mo ft w ov a r i a b l e s ，i n w h i c hi n v a r i a n tf a c t o r sp l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nt h i sp a p e r s o m ef u r t h e rp r o p e r t i e so f i n v a r i a n tf a c t o ra r ed i s c u s s e d ，e s p e c i a l l yt h ep r o p e r t i e so fi t sz e r o s t h ef o l l o w i n gr e s u l t s a r ep r e s e n t e d ：e v e r yz e r oo fi n v a r i a n tf a c t o rm u s tb ea ne i g e n v a i u eo ft h ec o r r e s p o n d i n g t r u n c a t e dj a c o b im a t r i x a n dh e n c er e a l e s p e c i a l l y ，i fa l lt h ez e r o so fi n v a r i a n tf a c t o ra r e d i s t i n c tf r o me a c ho t h e r ，t h e nt h ei n v a r i a n tf a c t o re q u a l st ot h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l o ft h ec o r r e s p o n d i n gt r u n c a t e dj a c o b im a t r i xu pt oac o n s t a n tm u l t i p l e m o r e o v e r ，f o r e v e r yz e r oo fi n v a r i a n tf a c t o r ，t h e r em u s te x i s ta no r t h o g o n a lp o l y n o m i a lf a c t o r e di n t o t w op o l y n o m i a l s ，f r o mw h i c ha nz e r ol o c a t i o no fi n v a r i a n tf a c t o r 。s i m i l a rt ot h ec a s eo f o n ed i m e n s i o n a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l c 强b eo b t a i n e d ( 2 ) 7 r h ep r o p e r t i e so fz e r o sf o ro n ed i m e n s i o n a lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a la r et h ei m p o r - t a n tp a r to ft h eg e n e r a lp r o p e r t i e s u s u a l l yt og e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s ， e o m n l o nz e r o f lo fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa r eu s e di nt h ec a s eo fs e v e r a lv a r i a b l e s t h u s p a r to ft h e o r yi no n ev a r i a b l ec a nb ee x t e n d e dt os e v e r 8 lv a r i a b l e s b u tt h ec o m m o n z e r o sl o c a t i o nr e m a i n su n k n o w n i no n ev a r i a b l e ，a l lt h ez e r o so fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s a r el o c a t e di nt h ei n t e r i o ro fi n t e g r a t i o ni n t e r v a l ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h ee a s eo ft w o v a r i a b l e s t h ec o m m o nz e r o so fa l lm u l t i v a r i a t eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sw i t hs a m et o t a l i i i 多元直交多项式与数值积分公式 d e g r e ec a nl i eo u t s i d eo ft h er e g i o n a no b v i o u se x a m p l ei st h eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s o nt h et w od i m e n s i o n a ls p h e r i c a ls h e f l t h eo r i g i n a lp o i n ti st h ec o m m o nz e r oo fa l lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sw i t ho d dd e g r e eb u tl i eo u t s i d eo ft h es p h e r i c a ls h e l l b a s eo nt h e p r o p e r t i e so fi n v a r i a n tf a c t o rw ep r o v et h a ta l lt h ec o m m o nz e r o sl i ei nt h ei n t e r i o ro ft h e c o n v e xc l o s e dh u l lo ft h ei n t e g r a t i o nr e g i o n ( 3 ) n u m e r i c a li n t e g r a t i o ni sc l o s e l yr e l a t e dt oo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，a n di no n e v a r i a b l ei tu s u a l l yt a k e st h ez e r o so fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s 船i t sk n o t sw h i c hb e n e f i tf r o m t h eg o o dp r o p e r t i e so fu n i v a r i a t eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s h o w e v e r ，i nh i g h e rd i m e n s i o n w ek n o wal i t t e ra b o u tt h i s ，o n eo ft h ed i f f i c u l t i e si so n ed o 鹤n o tk n o wt h ee x a c tn u m b e r o fc o m m o nz e r o sf o ras e to fp o l y n o m i a l s i tf o l l o w sf r o mt h ep r o p e r t yo fi n v a r i a n tf a c t o r t h a tf o re v e r yz e r oo f i n v a r i a n tf a c t o rt h e r em u s te x i s ta no r t h o g o n a lp o l y n o m i a lw h i c hc a n b ef a c t o r e di n t oa p r o d u c to ft w op o l y n o m i a l so fl o w e rd e g r e e e s p e c i a l l y , f o rn = 2 t h e s e t w op o l y n o m i a l so fl o w e rd e g r e ei so fd e g r e e1 s t r o u d i 2 】p r o v e dt h a ti ft w oo r t h o g o n a l p o l y n o m i a l sh a v ef o u ri n t e r s e c t i o n s t h e nt h e s ep o i n t sm u s tc o n s t i t u t ea s e to fk n o t so fa c u b a t u r ef o r m u l ao fd e g r e e3 o b v i o u s l y ，i ti se a s yt oc o m p u t et h en u m b e ro ft h ec o m m o n z e r o so ft w oo r t h o g o n mp o l y n o m i a l sw i t ht h ef a c t o r i n gp r o p e r t yi ti sb a s e do nt h i si d e a t h a tw ep r e s e n tam e t h o dt oc o n s t r u c tt h ec u b a t u r ef o r m u l ao fd e g r e e3w i t h4k n o t s ( 4 ) t oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so fm u l t i v a r i a t eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s ，w ee x t e n d t h ec o n c e p to fi n v a r i a n tf a c t o ra n dg e tt h es i m i l a rr e s u l t sw i t ht w ov a r i a b l e s 田1 ep r e - s e n t e dr e s u l t si n c l u d em u l t i v a r i a t es t i e l t j e st y p et h e o r e m ，t h er e l a t i o n sa m o n gi n v a r i a n t f a c t o r ，m u l t i v a r i a t eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa n dj a c o b im a t r i x 。a n dc o n l m o nz e r o sl o c 8 t i o no fm u l t i v a r i a t eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa n d8 0o n ( 5 ) a m o n gv a r i o u sm e t h o d so fc o n s t r u c t i n ge u b a t u r ef o r m u l a e ，t h em e t h o do fc a r t e - s i a np r o d u c ts t a n d so u tw i t hi t ss i m p l i c i t y b r i e f l y , t h em e t h o df o rc o n s t r u c t i n gp r o d u c t f o r m u l a si st h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e s i fw ec a nf i n da ( n o n l i n e a r ) t r a n s f o r m w h i c ht r a n s f o r m st h em o n o m i a li n t e g r a li n t ot h ep r o d u c to fd s i n g l ei n t e g r a l sa n d i fs u i t a b l ef o r m u l a sa r ek n o w nf o rt h e s es i n g l ei n t e g r a l s t h e no n ec c o m b i n et h e s ef o r m u l a s t og i v eaf o r m u l a t h em o s tu n d e s i r e dp r o p e r t yo fp r o d u c tf o r m u l a si st h a tt h en u m b e ro f p o i n t si n c r e a s e sv e r yr a p i d l ya 8di n c r e a s e s t oa v o i di tp a r t l y , w ep r e s e n tap r o p e rt r a n s - f o r m a t i o nw h i c ht r a n s f o r m st h ei n i t i a li n t e g r a t i o ni n t ot h ep r o d u c to fs i n g l ei n t e g r a t i o n s a n dr e d u c e st h en u m b e ro fk n o t sg r e a t l y f u r t h e r m o r e ，s o m ek n o t sa r eu s e dr e p e a t e d l y b yt h ee u b a t u r ef o r m u l a eo fa n yd e g r e e ( 6 ) p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o na n dq u a d r a t u r ef o r m u l aa r ec l o s e l yr e l a t e d ，t oi n v e s - t i g a t et h ei n t e r p o l a t i o np r o b l e mo ft w ov a r i a b l e s ，l i a n g s - 。 p r e s e n t e dak i n do fr e c u r s i v e m e t h o do fc o n s t r u c t i n gp r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e s t h i sp a p e rc o n s i d e rt h ec o r r e - i v 大连理工大学博士学位论文 s p o n d i n gr e c u r s i v em e t h o do fc o n s t r u c t i o no fn u m e r i c a li n t e g r a t i o n f i r s tw ep r e s e n ta c o n s t r u c t i o nm e t h o do fc u b a t u r ef o r m u l a ew i t hs o m ek n o t sa l o n gt h es e l e c t e da l g e b r a i c c u r v e b ys e l e c t i n gd i f f e r e n tm g e b r a i ec n r v e sa n dr e p e a t i n gt h ea b o v ep r o c e s s ，w ew i l lo b - t a i nac u b a t u r ef o r m l l l aa n dt h e nar e c u r s i v em e t h o d t or e d u c et h en u m b e ro ft h ek n o t s ， w et a k et h ep o l y n o m i a lc o r r e s p o n d i n gt ot h es e l e c t e de n r y ea sa l lo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l t h u st h en u m b e ro ft h ek n o t so ff i n a lc u b a t u r ef o r m u l aw i l lb er e d u c e dg r e a t l y t a k i n g t h eu n i td i s ka sa ne x a m p l e ，ad e t a i l e dc o n s t r u c t i o np r o c e s si sg i v e n s o m ec u b a t u r e f o r m u l ah a v eg o t t e nt ot h el o w e rb o u n d ( 7 ) b yt h ek n o w l e d g eo fp o l y n o m i a li d e a l ，w ep r e s e n tac o n s t r u c t i o nm e t h o do f c u b a t u r ef o r m u l aw i t hs o m ef i x e dd 0 i n t 8 w et a k et h ef i x e dp o i n t sa st h en o d e so fa e u b a t u r eo fl o w e rd e g r e ea n dg e tan e wc u b a t u r eo fh i g h e rd e g r e e t h e na ne m b e d d e d f o r m u l as e q u e n c ei so b t a i n e d t h i sk i n do fe m b e d d e ds e q u e n c ec a nb eu s e dt oe s t i m a t e t h ee r r o r s f u r t h e r m o r e an o n i n t e r p o l a t i o n a r yc u b a t u r ef o r m u l ai sp r e s e n t e d k e yw o r d s ：o r t h o g o n a lp o l y n o m i a l si ns e v e r a lv a r i a b l e s ；i n v a r i a n tf a c t o r ； c o m m o nz e r o s ；j a c o b im a t r i x ；c u b a t u r ef o r m u l a e v 多元直交多项式与数值积分公式 d e g 雠( z ) d e t ( ) d i m c n n o r d n ： d j 也，l t d 厶勘1 i d l t ( f ) 碍 s i x o c o d i m d l c m 本文一些通用符号列表 ，知生成的理想，2 多项式次数，3 不变因子，1 4 行列式，1 7 线性空间的维数，2 复数集，9 自然数集，3 n u o ) ，3 实数集3 d 元实系数多项式空间，l n d 中次数不超过n 的多项式组成的子空间，1 d 维区域，7 多项式理想，2 分块的j a c o b i 矩阵，5 截断j a c o b i 矩阵，6 ，的领项，2 p 鼍一1 ) ，常简记为h ，3 ，的余维空间，3 1 z ：4 ，其中x = ( x l ，2 ：d ) r 4 ，a = l ，o l d ) n g 为多重指标，2 余维，对于一个多项式理想j ，c o d i mj = d i mi i 。s ，7 2 未知元的个数1 最小公倍式，7 l v i 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或 者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 傲的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：盘避莨b i ! t l ：銎丑! ：巧 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规 定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：盏讹良作者签名：坦! 垦区 导师签名 9 1 年土月丛日 大连理工大学博士学位论文 1绪论 l - 1多元直交多项式简介 1 1 1 引言 一元直交多项式的相关理论是经典分析中的一个既古老而又十分重要的分支它和 分析中的许多其它重要分支有着紧密的联系，例如三角函数、超几何函数、b e s s e l 函数、 椭圆函数、调和分析、以及连分式等等此外，直交多项式还被广泛的应用在多项式插值、 数值积分、微分方程和积分方程的求解当中 一元直交多项式的研究最早起源于连分式，s z e 9 6 1 0 1 关于起源问题有这样的描述： “t h eo r i g i n so ft h es u b j e c ta r et ob ef o u n di nt h ei n v e s t i g a t i o no f8c e r t a i nt y p eo f c o n t i n u e df r a c t i o n s b e a r i n gt h en a u l eo fs t i e l t j e 8 s p e c i a lo ft h e s ef r a c t i o n sw e r es t u d i e d b yg a u s s ，j a c o b i ，c h r i s t o f f e l ，a n dm e h l e r ，a m o n go t h e r s ，w h i l em o r eg e n e r a la s p e c t so f t h e i rt h e o r yw e r eg i v e nb yt c h e b i c h e f , h e i n e ，s t i e l t j e s ，a n dm a r k o f f ，a ” 尽管连分式与直交多项式有着密切的联系并且被视为直交多项式的起源，但连分式 的重要性在较长时间并未引起人们的足够重视通常人们把研究直交多项式的基本性质 作为研究的主要方向一元直交多项式的基本理论发展到今天已基本趋于完善，发展过程 中出现了一些非常重要的著作，如f 1 0 - 1 2 1 及书后的参考文献， 鉴于客观事物的复杂多样性，开展多元直交多项式的研究无论在理论上还是在应用 上都有十分重要的意义这方面的工作最早可以追溯到h e r m i t e 与其它研究类似多元 直交多项式的研究主要集中在推广一元的结论上早期的工作主要集中于经典的二元直 交多项式的分析，可参见【1 3 ，1 4 】然而，多元与一元有很大的差别，通常给定次数的直交 多项式不再是唯一的，不同次数的线性无关的直交多项式的个数也互不相同，这些都给多 元的研究带来了很大的困难，因此早期的研究进展也非常的缓慢 矩阵和向量符号的引入为多元直交多项式的研究带来了新的生机借助于向量符号， 一元直交多项式最重要的特征三项循环关系被推广到了多元1 1 5 ；，另外此时给定次数的 多元直交多项式除相差一常数矩阵以外是唯一确定的，如此类似于一元直交多项式，可以 把它作为一个整体进行研究，这使得推广一元的结论变得更加自然，更加容易最近的二 十多年的时间里，多元直交多项式的理论得到了迅速的发展，关于最近的进展情况可参见 d u n k l 和x u 的著作 1 7 ，1 8 】_ l 1 2一些符号及预备知识 为了以后章节书写方便和连贯性，本小节将引入些必要的记号和基本结论 多元直交多项式与数值积分公式 令i i d 表示d 元实系数代数多项式集合，即4 = r 【z 1 ，z d 】：表示其中次数不 超过n 的多项式组成的子空间，则d i m l i ：= ( ”吉0 一个多项式p 1 1 4 称为是不可约多 项式，如果除常数和该多项式自身外没有其它多项式可整除它( 在复域中) 代数曲线 r ：f ( z 1 ，l d ) = 0 ， f ( g l ，x d ) n d 称为是不可约代数曲线，如果l ( x 1 ，2 d ) 是不可约多项式显然直线是不可约代数曲线 多项式理想在本文有着重要的应用，下面介绍一些多项式理想的一些基本记法和基 本结论为方便记，使用记号 x 4 = 茹；1 4 ，q ! = a l ! a 2 1 o t d 其中x = 缸l ，黝) r d ，q = ( 口1 ，o d ) n o 为多重指标，且该单项式的总次数为 l d l = n l + + n d 对于任意的o t p n 8 ，定义 瓦，口= 5 0 ，口l 瓦d ，几 其中 以概= 盏：蓁竺； t d 本文我们假定采用的单项式序为降幂字典序，即x 4 例； ( b ) f a l = 例且a 一z 2 中最左边的非零分支为正 令，表示。中的一个多项式理想如果存在多项式，1 ，k 使得对于任意的 ，i 都可以写为 f = 8 1 + + o m ，m ，4 ， ( i i ) 则称是由 ，知生成的理想，记为j = 根据h i l b e r t 基定理，任意 一个多项式理想一定存在一个有限基底对于一个任意给定的单项式序( 本文指降幂字典 序) ，用l t ( f ) 表示多项式，的领项，即若，( x ) = e c o x 。，l t ( f ) = o x 4 ，其中j p 为，的领式对于一个非零理想i ，l t ( z ) 表示i 的首项，即 l t ( i ) = c x 。i 存在f i 使得l t ( f ) = c x 。) 另外，用 表示l t ( i ) 中的元素生成的理想，定义 毋：= s p a n x 。l x 4 隹 2 大连理工大学博士学位论文 的一个基底 ，讲称为它的一个h 一基，如果对于任意的，j 存在a l ，a m 使得( 1 1 ) 成立且满足 d e g ( a j i ) d e g ( f ) ，1 i m 对于给定的多项式理想j ，v = v ( i ) 为，的零点簇，即 v = ( xj f ( x ) = 0 ，v f ( x ) n 假定y 是有限集合，用i y i 表示y 的基数，即v 中不同元素的个数，则 i v l d i m 研( 1 2 ) 对称地，对于一个给定的有限集合yn ，x ( v ) 表示它的消逝理想，即 z ( v ) = p 4 i e ( x ) = 0 ，v x y ， 这时( 1 2 ) 式中等号成立，即l v i = d i ms x ( v ) 下面的b d z o u t 定理在后面将会用到，我们仅叙述d = 2 时的情况，当d 2 时有完 全类似的结论 定理1 1 ( b 6 z o u t ) 【1 9 】谩p 。( 霉，g ) = 0 与p n ( x ，) = 0 是两条次数分别为m 和n 的 代数曲线，如果两务曲线无公共分支，则它们恰好有m n 个交点反之，如果交点个数多 于m 扎个，则它们有公共分支 自然，= 曲线的交点可能是复的，也可能是重交点，也可能是无穷远点对于重交点 计算时几重交点就算几个交点 关于更多多项式理想和代数曲线的知识，可以参考【1 9 - 2 1 1 1 3 多元直交多项式的定义及一般性质 在本文中，我们总假定n o = nu o ) ，即非负整数的集合。设s ：n d r 是一个多重 实数列，记为s = ( s a ) 。n 3 在1 1 8 上定义线性泛函j 铭如下 铭( x 。) = s q ，n n 3 这时称二缓是由数列s 定义的一个矩泛函记d = ( “+ 。d - 1 ) ，在不引起混淆情况下简记 为r n ，假定扣刚：川= n ) 按照给定的序排列为d ( 1 ) 口( 2 ) 0 ，坳1 1 4 ，p 0 ， 则称乡是正定的 容易证明如果髟是正定的，则。 0 ，根据定理1 2 易得 定理1 3 1 1 如果乡是正定的，则关于乡的多元直交多项式系统一定存在 多元直交多项式受到人们的高度关注的一个重要原因是它具有许多好的性质，其中 最重要的就是三项递推关系以及零点性质，这些性质在直交多项式的研究中起到了至关 重要的作用下面对这些性质进行简单的叙述 如上所述，假定晚是一个关于乡的几次直交多项式，定义 巩= 乡( n 蜉) 当三k 为单位矩阵时，这时称觋是标准直交的，以下用晚表示7 t 次标准直交多项式