（基础数学专业论文）由循环矩阵生成的多项式的galois群.pdf

南京师范人学硕l j 学位论文 摘要 计算给定的整系数多项式的分裂域及其对应的g a l o i s 群是现代代数中一 个比较经典的问题v a n d e rw a e r d e n 的一个定理断言，几乎所有的首一整系数 多项式都有伴随g a l o i s 群岛( n 文字的对称群) 这样，伴随g a l o i s 群不是瓯的 多项式就非常少了但是，这样的例子还是存在的 由循环矩阵可以得到多项式 眦h + 挚i 咿南k ， 厶，m ( z ) = 1 + ( 一1 ) i ：熹( p _ 。阿矿氛， = o 1 ” 其中p 5 为素数m f i l a s e t a ，f l u c a ，p s t g n i c 5 以及r g u n d e r w o o d 研究r 当m 为正整数时，厶，m ( z ) 的分裂域及其对应的g a l o i s 群而对于m 为负整数 的情形，在证明过程中遇到了许多重要的不同之处本文避开考虑实二次域的 单位。寻找到了新的证明途径来解决问题 在y g - - 章中，我们主要研究了m 为负整数时，厶，m ( z ) 在有理数域卜的不可 约性，并且计算了厶，m ( z ) 的分裂域及其对应的g a l o i s 群，其中p 5 为素数 关键词：循环矩阵；多项式；分裂域；g n 2 0 i s 群 一一 ab s t r a c t c o m p u t i n gt h eg a l o i sg r o u po ft h es p l i t t i n gf i e l do fa g i v e np o l y n o m i a lw i t hi n t e g e rc o e f f i c i e n t si sac l a s s i c a lp r o b l e mi nm o d e m a l g e b r a u s i n gc i r c u l a n tm a t r i c e s ，w ec a l lg e tt h e p o l y n o m i a l s l , m 扛) - 1 + ；卜1 ) 老( p _ 2 卜卿t ， w 。h e r e p 5i sap r i m ea n dm i sa ni n t e g e r m f i l a s e t a ，f l u c o ，p & a m c 石a n d 怠? 出r w 。o d h a v ee s t a b l j s h e dv 撕o u sr e s u l c sa b o u tt h ep o l y n o m i a l l sf p , m ( x ) w h e ： l 1 8a p 0 8 n “m e g e r ，a n da l s oh a v e c o m p u t e dt h eg a l o i sg r o u po ft h es n l i t t i n gf i e l d 譬p 0 1 y n o m i a l s 厶，r e ( z ) h o w e v e r , i nt h e c a s et h a tmi sn e g a t i v e ，t h e r e - a r - e 1 - s u b s 。t a n t i a l d l f i e r e n c e s s ow eh a v et os e a r c han e w m e t h o dt os o l v et h ep r o b l e m 1 nc h a p e r3 ，w ee s t a b l i s ht h e i r r e d u c i b i l i t yo ff p ，m ( z ) o v e rt h er a t i o n a l sa n dc o m p u 伧t h eg a l o i sg r o u po ft h e s p l i t t i n gf i e l dk qo fl ，m ( z ) k e yw o r d s ：c i r c u 】a n tm a t r i c e s ；p o l y n 。m i a l ；t h es p l i t t i n g 删；g a l 。i s g r o u p ， 一i 南京师范人学硕i j 学位论文 第1 章前言 1 1 基本概念和符号 本文出现的定理，引理，推论，均分章节以其出现顺序加以编号例 如：定理1 3 4 ，是指第1 章第3 节的第4 个定理引理2 1 ，是指第2 章的 第1 个引理在文章中引用的他人的定理均在其后标明出处例如：定理 【1 ，定理l 】表示引用参考文献l 中的定n 1 文中出现的符号和概念介绍： n 舜c 国 盛八国 【1 ，n 】 am g c d ( a ，b ) = 1 a 三b ( r o o dm ) 从n 个不同的元素中取m ( m n ) 个元素的 所有组合的个数 集合为集合历的子集 即f o ：a 且a 钐 满足1 m n 的所有整数m 组成的集合， 即 1 ，2 ，钆) a 整除m 或m 被a 整除 a 与b 的最大公约数为1 m 整除a b ，即仇la b 南京师范大学硕士学位论文 川映射盯的阶 i nn 次本原单位根 晶仡文字对称群 d e t ( a )矩阵a 的行列式 l = k ( q )单扩张l k q有理数域 z m整系数多项式环 g a l ( k q )扩域k q 对应的g a l o i s 群 g 竺k 群g 与k 同构 c i r c ( a l ，a 2 ，a ”) nx 佗阶循环矩阵 厶，mx)p xp 阶循环矩阵c i r c ( a ，z ，c ，0 ，o ) 的行列式， 其中仇= a c 南京师范人学硕上学化论义 1 2 循环矩阵及其行列式的相关结论 循环矩阵是一类很重要的矩阵，它在很多领域中都有着广泛的应用 如在编码理论，数理统计，理论物理，固态物理，结构计算，分子轨道理论， 数学图象处理等方面应用很广而循环矩阵的逆特征值问题，在力学振动 系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经 常出现因此，自1 9 5 0 年提出循环矩阵的概念以来，许多数学工作者对它 进行了大量研究，得出很多成果目前由于循环矩阵的理论还不是很完 善，而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的，数学工作者对循 环矩阵的研究仍在继续着 0 o r e 1 1 研究了关于循环矩阵行列式的一些性质下面做一下介绍 形如 c i r c ( a o ，a l ，a n - 1 ) = ( a j 一 ) ( i ，j = 0 ，1 ，几一1 ) ， ( 1 ) 的矩阵称为循环矩阵，其中当r 三s ( m o d 仡) 时，有a r = a 。循环矩阵及其 行列式经常出现在代数和数论的许多研究课题中我们知道， 几 d e t ( c i r c ( a o ，a l ，o 礼一1 ) ) = ( 口o + a l o e i + n 2 q ；+ + a n - 1 q i n 一1 ) ， = l 其中q i 跑遍所有的n 次单位根将上述连乘积展开，即得 d e t ( c i r c ( a o ，0 1 ，a n _ 1 ) ) = 嘞1 协o ；叫。0 p ， 其中p i 1 ，2 ，n 一1 ) ，且可取相同的值对每一项 。子a p l ， 南京师范人学硕i j 学位论文 相关地，我们记权 j p = p l + p 2 + + p r ， 为方便起见，将( 4 ) 改写为如下形式： 其中v o = 几一7 ，且有 o ：o o ：1 a v n 一- 1 1 ， u 0 + u 1 + + v n - 1 = n ，p = v l + 2 v 2 + + ( 佗一1 ) 一1 ( 5 ) ( 6 ) 首先确定( 3 ) 中有理系数r 伽由( 2 ) 知，这些有理系数是关于n 次 单位根的对称式，即 奶r 伽= a ：1 噬2 衅 此时假设( 8 ) 中的o l i 是任一佗次代数方程的根，且将它们任一幂次的和 记为 这样有， 奶= s p = 霹 如1 p 2 = 及警1 鸪2 = 8 p l s p 2 8 p l + p 2 ， 矽p l p 2 p 3 = 8 p 18 p 2 s p 3 一s p l8 p 2 + p 3 8 p 2 s p l + p 3 8 p 3 8 p 1 + p 2 + 2 8 p l + p 2 卜p 3 这里我们假设i j 时，p i p y 依此类推，可将上述过程继续下去，且 f a hd ib r u n o 已得到一个一般的公式，可如下进行描述： 为了得到对称式( 8 ) ，首先对r 进行分解： r = k l + k 2 + + k 盯，( k i 1 ) 仁 南京师范人学硕i j 学位论文 相对应地，有 其中 p = p 1 + p 2 + + b ，( 1 0 ) p 1 = p l + + p h ，p 2 = p k l + 1 + + p 七1 + 南2 ，b = + p 7 ( 1 1 ) 再- 己 a “心= s p ls p 2 s m ( 1 2 ) 上式中和式长度忌l ，知2 ，b 是由( 1 0 ) 与( 1 1 ) 中的p i 决定的，而上式可 以上述任何方式进行扩充 有了以上的准备知识，f o ad ib r u n o 得到的一般公式可如下表述： p 。2 而南( 一1 ) r - - ( 惑1 1 ) ! ( b 一1 ) 垃如( 1 3 ) 为了将公式( 1 3 ) 应用到循环矩阵的行列式系数( 8 ) 上，我们只需要 说明，对于n 次单位根，有 8 p = 0 ，nfp ；8 p = n ，n i p 这样，对于( 1 2 ) 式中的每一项，若存在p l ，满足nf 轨，则此项为0 因 此( 1 2 ) 中余下的项满足，( 1 0 ) 中的每一个鼽均可被佗整除我们得到下 述事实： 若佗十p ，则系数( 8 ) 为o 因此，我们只需考虑( 1 2 ) 中那些所有p i 均可被佗整除的项这种分 解称为权p 的可容许分离此时，有8 m = n ，且( 1 2 ) 的每一项均减小为 n 盯这样，就有以下结论： 定理1 2 1 1 ，定理l 】循环矩阵( 1 ) 的行列式有如下展开式： d e t ( c i r c ( a o ，a l ， 南京师范人学硕i j 学位论文 ，a n - 1 ) ) =姊1 p ro o n a p l 如r 伽。子叫o ：1 a p ， ( 1 4 ) 其中和式可扩展到所有权( 5 ) 可被n 整除的那些项中，且系数可由下 式给出： u 11 u 21 其中和式可扩展到所 v n - 11 有权尸 ( 一1 ) r 一盯( k l 1 ) ! ( 七盯一1 ) ! 几盯， ( 1 5 ) 的可容许分离( 1 0 ) 0 o r e 还计算了特殊循环矩阵ga ) = c i r c ( 1 ，a ，a 卜1 ，0 ，o ) 的行列式，即 由于z n 一1 = h i n l ( z q t ) ，有 相似地，由于o z ；是方程 的根，我们有 且由上可得， o l i ) = a 一一1 ， ( 护d 一1 ) d = 0 ， 一q ；) = ( d = ( r ，佗) ) ( a - n r d d e t ( c r ( a ) ) = ( 一1 ) d 一1 特别地，当r = n 时，有 1 ) d ， ( n n r d 一1 ) d a n 一1 a 一q i a 一1 一o l i ( 1 6 ) 料 口 n 随 m p 0 l i 、l ， 一 厂 oq+0+1 n n 崮 = l， 0 g 1 led 一 口 n n 斟 r一 0 n n 汹 南京师范人学硕l j 学位论文 d e t ( c n ( a ) ) = ( 1 一n n ) 礼一1 = 1 一( n _ 1 ) 。n + ( 佗i1 ) 。2 扎+ c 一1 ，几一1 。礼c n 一1 1 ( 1 7 ) 此时，若在( 6 ) 中令a i = a ，则有 a v l + 2 v 2 + + ( 礼一1 ) v n - i = a p 因此( 1 7 ) 中的系数必为循环矩阵权p 的所有系数的和，且得到下述结 论： 定理1 2 2 1 1 ，定理2 】循环矩阵行列式的权p 中各项系数之和为 竹1 ) 定理1 2 3 1 ，定理3 】循环矩阵的行列式中所有系数之和为零 0 o r e 还得到了以下关于循环矩阵的同余性质 定理1 2 4 1 ，定理7 】若几为素数，则有 d e t ( c i r c ( a o ，a n - 1 ) ) 兰口子+ a 7 + 十n 嚣一1 ( r n o d 佗) 定理1 2 5 1 1 ，定理8 】若几为素数，则有 de亡(circ(。，n扎一)兰晶。v。nvn一-，1(竹1。d礼2) 南京师范人学硕一l 学位论文 1 3 本文研究问题的背景、发展和主要结果 计算给定的整系数多项式的分裂域及其对应的g a l o i s 群是现代代 数中一个比较经典的问题v a n d e rw a e r d e n 2 6 1 的一个定理断言，几乎 所有的首一整系数多项式都有伴随g a l o i s 群岛( n 文字的对称群) 这样， 伴随g a l o i s 群不是& 的多项式就非常少了 但是，这样的例子还是存在的例如，多项式z p 一1 ( p 为奇素数) 的分 裂域为k = q ( 白) ，则g a l ( k q ) 为p l 阶循环群，且由仃：白h 露，j = 1 ，2 ，p 一1 生成；多项式x p 一20 为奇素数) 的分裂域为k = q ( 白，2 1 p ) ， 则g a i ( k q ) 为p ( p 一1 ) 阶循环群，且由仃，7 - 生成，其中仃：白h 岛，j = 1 ，2 ，p 一1 为p 一1 阶循环群，7 - ：2 1 ph2 a p 岛，j = 0 ，1 ，2 ，p 一1 为 p 阶循环群 u c h i d a 2 与y a m a m o t o 3 证明了，若q 上多项式x n + a x + b ( 其 中a ，b 为有理整数) 满足下列条件，则其g a l o i s 群同构于对称群岛： ( 1 ) 咒为素数： ( 2 ) o ( 仡一1 ) 与n b 互素； ( 3 ) x n + a x + b 在q 上不可约 h i r o y u k io s a d a 4 得到了如下结论： 定理1 3 1 1 4 ，定n 1 】f ( x ) = x 礼+ a x o + b 为有理整系数多项式，即 f ( x ) z x 】| 令a = a o c n ，b = b z o c n 若f ( x ) 满足下述条件，则其g a l o i s 群i 司构于对称群岛： ( 1 ) f ( x ) 在q 上不可约； ( 2 ) a o c ( t t z ) l 与n b o 互素 一8 一 南京师范人学硕j 学位论文 定理1 3 2 4 ，定理6 】若首一多项式f ( x ) 在q 上不可约，且其判别式 d ( f ) 为非完全平方数，则f ( x ) 的g a l o i s 群同构于对称群& ，且域扩张 k q ( 万丽) 是不分歧的 a m o v a h h e d i 5 1 研究了多项式x p + a x + a 的g a l o i s 群，得到_ f 述 定理： 定理1 3 3 5 ，定理3 3 】设a 为有理整数，素数pfa 多项式9 ( x ) = x p + a x + a 在q 上不可约，g 为其g a l o i s 群则 ( 1 ) 若妒( x ) 的判别式不是完全平方数，则g ! 昂； ( 2 ) 若妒( x ) 的判别式是完全平方数，则g ! a p 或p s l 2 ( 2 8 ) 后者当 且仅当p 一1 为2 的次幂时成立 另外，在第二种情形中，若7 r 是妒( x ) 的一个根，且k = q ( 7 r ) ，则 中的任意有限素数在妒( x ) 的分裂域上均不分歧 设p 为素数，a 为有理整数，b b e n s e b a a ，a m o v a h h e d i ，与 a s a l i n i e r 6 1 证明了不可约三项式x p + 倪x p _ 1 + a 在q 上的g a l o i s 群若可传递，则必为全对称群& 另外，他们还得到了更一般的结论： 定理1 3 4 7 ，定理3 2 】设a 为整数，素数pfa 三项式妒( x ) = x p + a x s + a 在q 上不可约，g 为其g a l o i s 群则 ( 1 ) 若妒( x ) 的判别式不是完全平方数，则g 竺& ； ( 2 ) 若妒( x ) 的判别式是完全平方数，则g 型a p 或p s l 2 ( 2 8 ) 后者当 且仅当p 为f e r m a t 素数时成立 定理1 3 5 7 ，定理3 3 】设a 为整数，素数pa 且pfv p ( a ) 再设 s v p ( a ) p 时，有g c d ( p 一1 ，s v p ( a ) ) = 1 则妒( x ) 的g a l o i s 群为昂或 a f f ( f p ) 南京师范大学硕上学化论文 定理1 3 6 7 ，定理3 4 】设p 1 7 为素数，吻( q ) = k p ，其中a ，k 为整 数，且庇1 三项式妒( x ) = x p4 - a x 84 - a 在q 上不可约，g 为其g a l o i s 群则 ( 1 ) 若妒( x ) 的判别式不是完全平方数，则g 为a f f ( f p ) 或昂； ( 2 ) 若妒( x ) 的判别式是完全平方数，则g 型a p 或a f f ( f p ) 的2 阶子 群 由循环矩阵可以得到多项式 厶，仇c z ，= 1 + ：- 1 ) 2 ( p _ i ) m t z p 一缆， 厶，仇( z ) = 1 + ： ：6l 耐矿缆， 厶 其中p 5 为素数可以发现， 厶，m ( z ) = 2 m p 。扒z 【z m 1 ) ) + 1 ， 其中乃x ) 为第一类c h e b y s h e v 多项式进一步地，厶，m ( z ) 也可以与 d i c k s o n 多项式联系起来 m f i l a s e t a ，f l u c a ，p s t 6 n i c 6 以及r g u n d e r w o o d 在 8 中研究了 当m 为正整数时，厶，仇( z ) 的分裂域及其对应的g a l o i s 群而对于m 为 负整数的情形，在证明过程中遇到了许多重要的不同之处例如， 8 】引理 9 的证明中涉及到了d i o p h a n t i n e 方程p z 2 一l = 4 y p ，其中p 为奇素数 m 0 时就不能像引理9 中那样去考虑q ( 面) ，而是应考虑实二次域 q ( 伽) 由于q ( 伽) 中有无穷多个单位，如果按照原来的证明思路，就会 带来许多困难而本文则避开考虑实二次域的单位，寻找到了新的证明途 径来解决这一问题 本文主要研究了多项式厶，m ( z ) 5 为素数，m 为负整数) 的以 下结果首先证明了厶，m ( z ) z m 厶，mx ) 的根可由集合 一入1 $ 歹一 南京师范人学硕- i j 学位论义 入2 铝) 0 = 0 ，1 ，p 一1 ) 表示，其中矸= 7 1 m = ( 1 + f 砑) 2 ，遐= 2 m = ( 1 一 r 丽) 2 ，白为p 次本原单位根，且厶，m ( z ) 只有一个实根 一入1 一入2 本文还证明了厶，m ( z ) 在q 上的不可约性根据以上讨论，本文 得到了以下两个定理： 定理a 设p 5 为素数，m 为负整数，则厶，m ( z ) 的分裂域为 q ( 入，白) 的p ( p 一1 ) 阶子域 k = ( ( f l k l + 入2 ，白+ 1 ，a 1 白+ 入2 芗1 ) ， 其中姆= ，y l m = ( 1 + r = 百丽) 2 ，遐= 3 2 m = ( 1 一 r = 甭矛) 2 ，白为 p 次本原单位根 定理b 设p 5 为素数，m 为负整数，则厂p ，仇( z ) 的分裂域k q 的g a l o i s 群是对称群品的p ( p 一1 ) 阶子群，且由如下仃，丁生成： 盯( 入1 ) = 入1 _ p ，仃( p ( 6 2 d ) 宁 2 p 从而b 2 d 0 无平方因子，且 d 三l ( m o d 4 ) 矛盾 由于 p - 1 x p 一7 。m = ( z 一而鬈) ， i = 0 知 夕( z ) = n ( z 一行焉茹) q ( v 5 ) i x ， i e ， 其中ic o ，1 ，p 一1 ) = z 且7 髟v i = e i ，鬈q ( d ) 又由于一y l m ( i ，岛) p q ( 佃) ，7 l m q ( 沥) ，且有d 三n 三 l ( m o a 4 ) 。故 ( 茹) p q ( 、d ) q ( ( 4 i d l ) ， 诞j 且q ( 4 1 v 1 ) 为包含q ( , - 5 ) 的最小分圆域 另一方面，( 诞，岛) p q ( 白) ，故 ( 鬈) p q ( v - 5 ) nq ( 白) = q i e l 而( i ，茹) p 为代数整数，从而( t ，岛) p z 不妨设( i ，) p = n ，由，有i ，鬈0 ，且由前所证，瓜簪 q ( 河) ，从而有e 。，譬q ( 河) 因此， 鬈= 听z i ， 这样，多项式x p 一佗在q m 中不可约，从而有 【q ( 听) ：删= p 但这与听= i ，q ( 白) 矛盾引理何z e i 、征 南京师范人学硕i j 学位论文 引理3 1 2 设p 5 为素数，m 为负整数则厶，m ( z ) 在q 上不可约 证明：由引理3 1 1 知，多项式( z ) = x 2 p x p + m p 在q 中不可 约下证等式 成立 一z p 厶，m ( - - x - - 墨) = p m ( z ) ( 1 ) ( 1 ) 式等号左右两边均为助次首一整系数多项式因此，只要证明 p m ( z ) 的2 p 个根全是- x p f p ，m ( 一z 一罟) 的根事实上，由于p m ( x ) 不 可约，只要证明两多项式至少有一个公共根即可这是因为，取g ( z ) ： 一扩厶，m ( 一z 一警) 与p m ( z ) 的一个公共根o l ，若夕( z ) ( z ) ，则令h ( x ) ： p m ( x ) 一夕( z ) ，其中d e g ( h ( x ) ) d e g ( p m ( z ) ) ，且 ( a ) = p m ( q ) 一夕( q ) = 0 ， 这与o l 的极小多项式为p m ( z ) 矛盾 任取p m ( z ) 的一根a 1 铝，其中a 1 = 痂= 据引理2 3 ，a 1 a 2 = m 知入2 = m a 1 ，则 一( p 刖一入，留一面m ) = 一砺m ( 一a ，一入2 够j ) = 。 因此，入l 铝也是一x p 厶，m - x 一罟) 的根，即( 1 ) 式成立 假设厶，m ( z ) = ( z ) ( z ) ，其中 ( z ) ，尼( z ) q k 】，d e g f i = d i p ，i = 1 ，2 且d l + d 2 = p 则 矿矗，m ( z + i t n ) = z d l + 如 ( z + 詈) 止( z + 墨)- - x d l ，t ( 计d 2 止( 计詈) = p m ( 一z ) 由于x d , k ( x + 詈) = 1 ，2 ) 为q h 上的非常数多项式，且次数均小于印， 这就与p m ( z ) 在q h 中不可约矛盾引理得证 一2 m 一 南京师范人硕j j 学化论文 引理3 1 3 令己= q ( 入l ，白) ，其中p 5 为素数，m 为负整数，入l ： 瓜= ( 1 - i - v l - 4 m p ) 一2 ，白为p 次本原单位根则 f l ：q = 2 ；o 一1 ) i i en ：令k 1 = q ( 入1 ) ，鲍= q ( 白) ，则由引理3 1 1 知， 【k i ：q = 印 又 硷：q = p l ，从而只需证明k 1n 鲍= q 即可 由于( 2 p ，p 一1 ) = 2 ，设k 1n 2 为二次域再由引理3 1 1 ， q ( 碍) = q ( v - 5 ) q ( 入1 ) = k 1 ， 且q ( 何) 是尬的惟一的二次子域这是因为，若k “，k 1 2 均为k l 的 二次子域，且k 1 1 k 1 2 ，则k 1 1 1 2 为的四次子域但4 十2 p ，矛盾 另一方面，q ( 沥) nq ( 白) = q ，故矛盾即k ln 恐：q ，从而 l ：q 】= k 1 ：q 虬：q = 2 p ( p 一1 ) 推论3 1 1 p 5 为素数，则咖( z ) 在q ( 入1 ) 上不町约，其中入1 ： 痂= 加i 示蒜丽 由引理3 1 2 ，厶，mx ) 在q 上不可约，且由引理2 4 ， 厶，m ( 一a l a 2 ) = 0 ， 南京师范人学硕上学位论文 故有【q ( 入l + 入2 ) ：q 】= p 又 知 又由于 【q ( 白+ 每1 ) ：q = 妒( p ) 2 = 孚 【q ( 入，+ 入2 ，白+ 每1 ) ：q 】= 圭p 一1 ) ( 一入1 白一入2 每1 ) + ( 一入l 够1入2 白) = 一( 入1 + 入2 ) ( 白+ 筇1 ) ， ( 一入1 白一入2 筇1 ) ( 一a 1 筇1 一入2 白) = ( 入1 十入2 ) 2 + m ( 白+ 第1 ) 2 4 m ， 知一a 1 白一入2 第1 是q ( a 1 + 入2 ，白+ 够1 ) 上的多项式 g ( z ) = z 2 + ( 入1 + 入2 ) ( 白+ 第1x + ( a 1 + 入2 ) 2 + m ( 白+ 第1 ) 2 4 m 的根 引理3 1 4 多项式g ( z ) 在q ( 入l + 入2 ，白+ s 1 ) 上不由j 约 证明：用反证法假设q ( z ) 在q ( 入1 + a 2 ，白+ $ 1 ) 上可约，则 不妨设 r = 一入1 白一a 2 第1 q ( 入1 + 入2 ，白+ 筇1 ) ( p - 3 ) 2 r = 一a l 白一a 2 筇1 = ( 白+ 够1 ) j ， j = o ( 2 ) 其中q ( 入1 + 入2 ) 由推论3 1 1 ，映射口：白h $ 1 是厶= q ( 入i ，白) 在 一2 2 南京师范人学硕f j 学位论文 q ( 入1 ) 上的自同构，则 仃( r ) = 仃( 一入1 白一a 2 够1 ) 矛盾引理得证 = 一入1 筇1 一入2 白仃( 一2 3 一 ( 白+ 1 ) ) = r 刮伽 南京师范人。硕j j 学位论文 3 2 主要定理及其证明 本节主要介绍本文得到的两个主要定理及它们的证明 定理3 2 1 ( a ) 设p 5 为素数，m 为负整数，则厶，m ( z ) 的分裂域为 l = q ( 入1 ，白) 的p ( p 一1 ) 阶予域 k = q ( 入1 + 入2 ，白+ 第1 ，入l 白+ a 2 第1 ) ， 其中增= ，y l m = ( 1 + r 砑) 2 ，遐= 7 2 m = ( 1 一 f 砺) 2 ，白为 p 次本原单位根 证明：显然k 为l 的子域由( 2 ) 和引理3 1 4 知， k ：q = k ：q ( a 1 + 入2 ，白+ 芗1 ) q ( 入1 + 入2 ，白+ 第1 ) ：q = p ( p 一1 ) 从而k 为三的p ( p 一1 ) 阶子域 由引理2 3 ，厶，仇( z ) 的根为 一入l ( 7 一入2 留，歹= 0 ，l ，p 一1 易见厶，m ( z ) 在k 上分裂 若k l 为昂，m ( z ) 的分裂域，则k 1 k 由于入1 + a 2 ，入1 白+ 入2 够1 ，及 入1 每1 + a 2 白均为厶，m ( 一z ) 的根，故均属于k 1 从而要证k 1 = k ，只需 证白+ $ 1 k 1 即可事实上， 定理得证 白吲：盟丛鼎掣幽 南京师范人学硕j 学化论义 定理3 2 2 ( b ) 设p 5 为素数，m 为负整数，则厶，m ( z ) 的分裂域k q 的g a l o i s 群是对称群昂的p ( p 一1 ) 阶子群，且由如下盯，丁生成： 盯( 入1 ) = 入1 ，盯( 白) = 白，i 盯i = p ； 7 _ ( a 1 ) = 入l ， 7 - ( 白) = 够，i 丁l = p 一1 其中增= 7 l m = ( 1 + r 砺) 2 ，白为p 次本原单位根，g 是乘法群 f z p z ) 的生成元 证明：由于k l = q ( a 1 ，白) ，其中碍= 7 1 m = ( 1 + r 砑) 2 故k 上的自同构可由其在a 1 和厶上的作用来描述 设9 是乘法群( g p g ) 的一个生成元下面说明k q 的g a l o i s 群 是对称群岛的子群，且由自同构盯，7 - 生成，其中盯( a 1 ) = 入1 白，仃( p ) = 白；7 - ( 入1 ) = 入1 ，7 ( 白) = 铝 首先验证仃g a l ( k q ) 由引理2 3 ，厶，m ( z ) 的根为 一a 1 够一a 2 邻，j = 0 ，1 ，p 一1 其中入i = ，y l m = ( 1 + 、百_ 二砑) 2 ，入l = 3 2 m = ( 1 一、呵_ 二丽) 2 从而 由入1 入2 = m 矢口 仃( 入2 ) = 盯( m 入f 1 ) = m 盯( 入1 ) = m 入f 1 够1 = 入2 第1 仃( 一a 1 笛j 一入2 ) = 一仃( 入1 ) 盯( 够j ) 一仃( 入2 ) 盯( 岛) = - - ) _ 1 6 够j 一入2 筇1 ；= 一a 1 0 一。一入 这样，盯g a i ( k q ) 下面确定仃的阶由 仃2 ( 一入第j 一入2 ) = 仃( 一入1 g j a 2 铝- 1 ) = 一入l 簟一一a 2 ， 一2 5 南京师范大学硕上学位沦文 盯p ( 一入l 第j a 2 邻) = 一入1 够一，一入2 ；一p = 一入l 爷，一入2 够， 从而川= p 对于丁，由入1 入2 = m 知 从而 7 i ( 入2 ) = 7 - ( m a f l ) = m r ( a 1 ) 一1 = m 入f 1 = a 2 7 - ( 一a ， 彳一a 2 邻) = 一丁( 入1 ) 丁( 第) 一丁( a 2 ) 丁( 铝) = 一入l 筇鲫一入2 铝 这样，丁g a i ( k q ) 下面确定7 的阶由 7 - 2 ( 一入1 每歹一a 2 留) = 7 - ( 一入1 够鲥一入2 够j ) = 一入l 够9 2 歹一入2 够”， 7 - p 一1 ( 一入l 筇j 一入2 ) = 一a k 2 9 - b a 2 够p j = 一入l 筇j 一入2 z ， 从而h = p 一1 定理得证 一2 昏一 南京师范人学硕l j 学化论文 参考文献 1 o o r e s o m es t u d i e so nc y c l i cd e t e r m i n a n t s d u k em a t h j 19 51 ：3 4 3 3 5 4 2 】k u c h i d a u n r a m i f i e de x t e n t i o n so fq u a d r a t i cn u m b e rf i e l d s1 1 t h o k u m a t h j 1 9 7 0 ( 2 2 ) ：2 2 0 2 2 4 【3 】y y a m a m o t o o nu n r a m i f i e dg a l o i se x t e n t i o n so fq u a d r a t i cn u m b e r f i e l d s o s a k aj m a t h 19 7 0 ( 7 ) ：5 7 7 6 4 1h i r o y u k io s a d a t h eg a l o i sg r o u p so f t h ep o l y n o m i a l sx n + a x 2 + b j n u m b e rt h e o r y 19 8 7 ，2 5 ( 2 ) ：2 3 0 - 2 3 8 5 】a m o v a h h e d i g a l o i sg r o u po fx p + a x + a j a l g e b r a 1 9 9 6 ，l8 0 ( 3 ) ： 9 6 6 9 7 5 【6 】b b e n s e b a a ，a m o v a h h e d ia n da s a l i n i e r t h eg a l o i sg r o u p so f x p + a x p 一1 十a j n u m b e rt h e o r y 2 0 0 9 ，1 2 9 ( 4 ) ：8 2 4 8 3 0 7 】b b e n s e b a a ，a m o v a h h e d ia n da s a l i n i e eg a l o & g r o u p so fx p + a x 8 + a a c t aa r i t h 2 0 0 8 ，1 3 4 ( 1 ) ：5 5 6 5 【8 】m f i l a s e t a ，e l u c a ，e s t 冱n i c h ，r g u n d e r w o o d g a l o i sg r o u p so f p o l y n o m i a l sa r i s i n gf r o mc i r c u l a n tm a t r i c e s j n u m b e rt h e o r y 2 0 0 8 12 8 ( 1 ) ： 5 9 7 0 9 】方玲玲正规整基及生成元的唯一性南京师范大学硕士毕业论 文，2 0 0 8 ，6 ，12 10 】z i b o r e v i c ha n di r s h a f a r e v i c h n u m b e rt h e o r y a c a d e m i cp r e s s ， n e wy o r k ( 1 9 8 6 ) 【1 1 】r l i d l ，g l m u l l e na n dg t u r n w a l d d i c k s o np o l y n o m i a l s p i t m a n m o n o g r s u r v p u r ea p p l m a t h v 0 1 6 5 ，l o n g m a ns c i e n t i f i ct e c h n i c a l ， h a r l o w ( 19 9 3 ) c o p u b l i s h e di nt h eu n i t e ds t a t e sw i t hw i l e y ，n e wy o r k 一2 7 南京师范人学硕上学位论史 【1 2 】j h c h e n an e w s o l u t i o no f t h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nx 2 + 1 = 2 y 4 j n u m b e rt h e o r y 1 9 9 4 ，4 8 ( 1 ) ：6 2 - 7 4 【13 】s d c o h e n ，a m o v a h h e d ia n da s a l i n i e r d o u b l et r a n s i t i v i t yo f g a - l o i sg r o u p so f t r i n o m i a l s a c t aa r i t h l x x x i i ( 1 9 9 7 ) ：1 1 5 【1 4 】s d c o h e n ，a m o v a h h e d ia n da s a l i n i e r g a l o i sg r o u p so ft r i n o m i a l s j a l g e b r a 1 9