（应用数学专业论文）空间形式中具有常平均曲率及有限lp范数曲率的稳定完备子流形.pdf

博士学位论文 d o c t o i u 山d i s s 日啪1 0 n 内容摘要 在本文中，我们较系统的研究了欧氏空间和双曲空间中具有常平均曲率和某一有限口范 数曲率的稳定完备子流形。 第一，我们研究了欧氏空间r n + 中具有平行平均曲率向量 的n 维完备非紧子流形m “，如 果m “具有某一l ”范数曲率，即厶l 纠” o ( 日 1 ) 中具有常平均曲率的稳定完备超曲面m ”，证明了：当m “具 有某有限护范数曲率时，m n 一定是r 1 ( h 1 ( 一1 ) ) 中的测地球面。同时，我们也考虑 了r n + 1 中弱稳定的完备非紧极小超曲面，在其具有某有限工，p 范数曲率的条件下，证明了其一定 是r 1 中的仿射超平面 第三，我们研究了双曲空间皿1 ( 一1 ) 中具有常平均曲率日及有限指数的完备超曲面，证 明了：4 ( 一1 ) ( 5 ( 一1 ) ) 中具有常平均曲率日2 嚣( 日2 糕) 及有限指数的完备超曲面必 紧致；特别地，珏4 ( 一1 ) ( 5 ( 一1 ) ) 中具有常平均曲率日2 器( 日2 鬈) 的稳定完备超曲面 必为紧致的测地球面这个结果改进了x c h e n g 【2 7 】的定理，并且我们应用这个结果说明 了【2 6 】和【2 8 】中某些定理的研究对象根本不存在。 曲率 关键词：常平均曲率；稳定；弱稳定；强稳定；有限指数；有限l p 范数曲率；有限全数量 博士学位论文 d o ( 1 d r a ld i s s 日阳【盯1 0 n a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys t a b l ea n dc o m p k t es u b m a i l i f o l d sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v 和 t u r ea n ds o m e z 夕- n o r mc 1 1 r 虹u r ei ne u c l i d e a s p a c e sa n db y p e r b o l i cs p a c 鹪 f i r s t l y w ec o 璐i d e rac o m p l e t en o n c o m p a c t 伽d i m e 璐i o n a ls u b m a i l i f 0 1 dm nw i t hp a r - a j l e lm e a nc l l n ，a t u r ev e c t o rl li i i 孤e u c l i d e 姐s p a u c e 舯帖i fm nh 丘n i t el m n o r mc u r - t u r ef o r8 0 m em n ，w ep r o v et h a tm “n l u s tb em i 】1 i i n 札m o r e o v e r ，i f m “i ss t r o n 醇y s t a b l e 觚dh 弱f l n i t et o t a lc u r 嘣m e ，t h e nm ”i 8 缸a 伍聃伽p l 龃e t l l i si sag e n e r a u z a t i o n o ft h er e s u l to fy b s h e na n dx h z h ui n 【5 9 】o ns t r o n g l ys t a b l ec o m p l e t eh y p e r s u r f 缸 w i t hc o n s t 锄1 tm e a nc 1 】m t u r ei nr 竹+ 1 s e c o n d l y w ec 0 1 1 s i d e r m p l e t eh y p e r s u r f 如铝i nr n + l 耐t hc 0 衄t a n tm e 孤删u r e 姐dp r o 、，et h a tm ”i 8ah y p e r p l a j l ei f t h el 2 n o mc l m 吼l l r eo fm ”8 a t i s 丘馏m ef o w t h c o n d i t i o na n dm “i sas t a b l e 蛆dc o m p l e t eh y p e r s u r f a c ei n 舯+ 1w i t hc o n s t a n tm e 缸 c u m t u r e i ti s 蛆血p r o v e m e n to fat h e o r e mp r o v e db yh a 1 e n c a u r 她dm d 0c 缸m o 【2 】 i n1 9 9 4 i na d d i t i o n ，w eo b t a i nt h a tm ”i sah y p e r p l a n e ( o rar o u n ds p h e r e ) u n d e rt h e c o n d i t i o nt h a tm ”i ss t r o n g l ys t a b l e ( o rw e a k b rs t a b l e ) a n dh 弱丑1 1 i t e 扩n o r mc u r 、，a t u r e f o rs o m ep a tt h es 锄et i m e ，w ep r o v et h a ti fm ”i sac o m p l e t eh y p e r s u r f a c ei n 研”+ 1 ( 一1 ) w i t hc o 璐t a n tm e a nc u a t u r e 日 la n dh 嬲丘n i t e 上尸n o r mc u r v a t u r ef o r m ep ，t h e n m ”m u s tb eag e o d e s i cs p h e r ei i lh 时1 ( 一1 ) t h j r d l y w ec o n s i d e r m p l e t eh y p e r s l i r k 笛i n ”+ 1 ( 一1 ) 丽t hc 0 璐t a n tm e a nc u r 、，a r t u r ea n df i i l i t ei n d e ) 【，ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f 七一w e i g h t e db i 一础c c ic u 刑t 毗e ，w k c h a u o w su st oi l p r o v ear 髑u l to fx uc h e n g 【2 7 】t 0b ep r e c i ，w ep r a v et h a ta n yc o m p l e t e 丘n i t ei n d e xh y p e r s u r f a c ei nt h eh y p e r b o l i cs p a c e 日4 ( 一1 ) ( 日5 ( 一1 ) ) w i t hc o n s t a n tm e 缸 c u r v a t e 日s a t i s 研n g 日2 嚣( 日2 鬃r 韶p e c t i v e l y ) m 璐tb ec o m p a c t s p e c i a u y w e o b t 缸nt h a ta n yc o m p l e t ea n ds t a b l eh y p e r s u r f a c ei nt h eh y p e r b o l i cs p a c e 日4 ( 一1 ) ( 日5 ( 一1 ) ) w i t hc o 璐t a n tm e a nc u r v 蚍u r e 日s a t i s f 如n g 日2 嚣( 日2 器r e s p e c t i v e l y ) m u s tb ec o m - p a c t i ts h o w st h a tt h e r ea r en om a n i f 0 1 d 8s a t i s f 访n gt h ec o n d i t i o no fs o m et h e o r e m si i i 【2 6 】锄d 【2 8 】 k e y w o r d s ：c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e ；s t a b l e ；w b a l 【1 ys t a b l e ；s t r o n g l ys t a b l e ； f i n i t ei n d e x ；f i n i t e 扩- n o r mc u r 、，a t u r e ；f i n i t et 0 t “c u r 、，a t u r e l l 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t 芦l t l 0 n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 坪勃琦 iv 日期：刎年5 月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：卵勋旁 日期：加子年岁月加日 导：巷乒) 考 日期：触谚够月b 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童途塞埕交厦溢卮! 旦堂生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：砷劾秀 日期：洲年岁月加日 孙虢慈王哮 日期：蚴付月上口日 博士学位论文 d d c r 0 r a l d i s s 日h 1 0 n 1 1 研究的问题及研究背景 第一章概述 设，：r ”_ r 1 为c 2 函数，众所周知，由，所描绘的r “+ 1 中的超曲面 z n + 1 = ，( z 1 ，z 2 ，z n ) 是极小的当且仅当，满足下面的极小图方程 ( 1 + l v ，1 2 ) 一 办 j = o ( 1 1 1 ) i = 1 i j = 1 1 9 1 5 1 9 1 7 年，b e r 璐t e i n 【1 5 】考虑了方程( 1 1 1 ) 当n = 2 时的解，证明了方程 ( 1 + i v ，1 2 ) t 一 乃向= o ( 1 1 2 ) = 1 j = 1 在整个r 2 上只有线性解，并提出了著名的b e r n s t e i n 猜想： b e r 璐t e i n 猜想：方程( 1 1 1 ) 在r “上只有线性解，即仿射超平面是r ”+ 1 中的唯一极小图。 经过众多数学家的努力，该猜想最终于上个世纪六十年代被完全解决：1 9 6 5 年，e d eg i o r 百【2 9 】证明了n = 3 时的正确性；1 9 6 6 年，a 1 m g r e n 【5 】证明了n = 4 时也是正确的； 1 9 6 8 年，j s i n l o r l s 【5 5 1 通过研究欧氏空间中的极小锥，证明了当n 7 时该猜想是正确的； 而1 9 6 9 年，b o i n b i e r i ，e d eg i o r 西& g i u s t i 【1 6 】证明了当n 8 时b e r 璐t e i n 猜想是错误 的。综合起来，我们有 b e r 璐t e i n 定理：方程( 1 1 1 ) 在r “( 2 n 7 ) 上只有线性解，即仿射超平面是r 1 中的 唯一极小图。 1 9 5 2 年，e h e i n z 【37 】重新考虑了方程( 1 1 2 ) 在圆盘【z r 2 ：i z z o l r ) 上的解，他 证明了存在一致常数c 使得 ( k ；+ 尤；) ( z o ) 盖， ( 1 1 3 ) 这里k l ，k 2 为方程( 1 1 2 ) 在圆盘 z r 2 ：i z z o i r ) 上的解表示的图的主曲率。但是，e h e i n z 采用的方法只局限于二维。1 9 7 5 年，r s c l l o e n ，l s i m o n s t y a u ( 丘成桐) 【5 2 】利 用关于极小超曲面的第二基本形式的s i m o n s 等式得到了一些新的曲率估计，作为特殊情形， 他们证明了当2 礼5 时， k ) 景， ( 1 1 4 ) 博士学位论文 d o c r 0 r a l d i s s 日豳d 盯1 0 n 其中k l ，k 2 ，k 。为方程( 1 1 1 ) 在圆盘【z r “：i z z o i r ) 上的解表示的图的主曲率， c 为一致常数。 如果我们考虑方程( 1 1 1 ) 在整个r ”上的解，则由( 1 1 3 ) 式和( 1 1 4 ) 式，让r o o ，我们 得到 k 12k 22 = k n = 0 ， 从而给出了b e r i l s t e i n 猜想在2 ns5 时的新的证明至于n = 6 时是否有类似的曲率估计， 直到现在仍然是未知的。 由于极小图都是稳定极小超曲面( 所谓稳定是指体积的第二变分非负) ，s t y a u 提出了 下面的问题： 问题1 ( s t y j 叭) ：经典的b e r 璐t e i n 定理是否可以推广到稳定极小超曲面的情形? 即： r “+ 1 ( 2sn 7 ) 中的稳定极小超曲面是否一定是仿射超平面? 在过去近三十年，该问题得到了广泛的研究。首先，m d oc 叭n o c k p e n g ( 彭家 贵) 【1 9 ，1 9 7 9 年】，和d f i 6 c h e 卜c 0 1 b r i e r s c h o e n 【3 3 ，1 9 8 0 年】独立解决了竹= 2 的情形， 证明了：r 3 中的稳定极小超曲面一定是仿射超平面。而对于高维情形，问题1 至今仍然未能得 到解决。 1 9 8 0 年，m d oc a r m o c k p e n g ( 彭家贵) 【2 0 】利用文【5 2 】中的曲率估计的方法，在 一定的曲率条件下，肯定的回答了问题1 ，证明了 定理1 1 1 ( 【2 0 】，m d oc a r m o & c k p e n g ) 设m ”为r ”+ 1 中的完备非紧稳定浸入 极小超曲面。如果 熙锚一o ，口 卮 则m n 必为r “+ 1 中的仿射超平面。 特别的，如果厶i a l 2 o o ，则m “必为r ”+ 1 中的仿射超平面 1 9 9 1 年，利用文【5 5 】中的s i m o i l s 方程，p b 乏r 盯d 【1 2 】证明了 定理1 1 2 ( 【1 2 1 ，p b 白a r d ) 设m ”为r 蚪1 中的完备非紧稳定浸入极小超曲面。如果 川“ ， 其中n 5 ，则m ”必为r ”+ 1 中的仿射超平面。 1 9 9 8 年，沈一兵和朱晓华【5 8 】利用内部曲率估计和g r o m o v 紧致性定理，将定理1 1 2 推广 到了任意维数，即 2 博士学位论文 d 0 ( 1 d r a ld i s s e k i 1 0 n 定理1 1 3 ( 【5 8 】，沈一兵& 朱晓华) 设m “为r “+ 1 中的完备非紧稳定浸入极小超曲 面。如果 厶l a i “ o o ， 则m n 必为r 蚪1 中的仿射超平面 因为极小子流形是常平均曲率为0 的，所以我们自然要问：对于r n + 1 中具有常平均曲率的 完备非紧浸入超曲面是否也有类似的结论? 2 0 0 5 年，沈一兵和朱晓华【5 9 】考虑了这种情形，将 定理1 1 3 做了进一步的推广，证明了 定理1 1 4 ( 【5 9 】，沈一兵& 朱晓华) 设m “为r “+ 1 中具有常平均曲率的完备非紧浸入 超曲面。如果 “ ， jm 则m n 必为极小超曲面。 进一步，如果m ”还是强稳定的，则m “必为r “+ 1 中的仿射超平面。 2 0 0 3 年，q w a n g 【6 4 】将定理1 1 3 推广到了高余维；2 0 0 6 年，x c h e n g ，l f c h e u n g d z h o u 【2 8 】证明了：将”稳定”换为”弱稳定”，定理1 1 3 的结论仍旧是成立的。基于此，我们提 出： 问题2 ：对于高余维，我们是否有类似于定理1 1 4 的结论? 又因为沈一兵和朱晓华【5 8 】在证明定理1 1 3 时，实际上证明了 厶” o o 考加1 2 1 ) 的完备超曲面。如果m “具 有有限全数量曲率，即 例“ o 。， jm 则m ”必紧致。进一步，如果m “还是稳定的，则其必为r “+ 1 ( 皿“+ 1 ( 一1 ) ) 中的测地球面。 将定理1 1 8 中的条件”厶” 1 ) 的完备稳定超曲面，其中3 n 5 如果m “具有有限工2 范数曲率，即 加2 o ( 日 1 ) 及有限扩范数曲率的完 备稳定超曲面，当p 取何值时，m ”为r 时1 ( 计1 ( 一1 ) ) 中的测地球面? 定理1 1 - 9 中关于维数的限 制是不是必须的? 4 博士学位论文 d 0 ( 1 0 r a ld i s s 日黼1 0 n 对于r ”+ 1 m = 3 ，4 ) ，x c h e n g 【2 7 ，2 0 0 6 年】证明了定理1 1 8 中的条件凡i 纠” 警( 日2 i ) ，则m 必为紧致的 结合定理1 1 8 和定理1 1 1 1 ，我们提出 问题6 ：定理1 1 1 1 中关于平均曲率日的限制能否改进或者能否改进到日2 1 7 1 2 主要结果和证明方法 在这一节中，我们将针对1 1 中提出的问题，阐述我们所得到的主要结果及其证明方法。 针对问题2 ，我们考虑了r “+ 中具有平行平均曲率向量的n 维完备非紧浸入子流形，将定 理1 1 4 推广到了高余维，证明了： 定理1 2 1 ( 【6 6 1 ) 设m “为r ( 佗3 ) 中具有平行平均曲率向量的完备非紧浸入子流 形。如果 川” ， jm 其中m 竹，则m “必为极小子流形。进一步，如果m ”还是强稳定的且m = n ，则m n 必 为r 计七中的_ n 维仿射平面。 由于m ”具有平行平均曲率向量蕴涵m “具有常平均曲率，而且当后= 1 时两者是等价的， 因此定理1 2 1 可以看成是定理1 1 4 的自然推广 为了解决余一维的情形，沈一兵和朱晓华建立了内部曲率估计和第二基本形式长度在无 穷远的估计。内部曲率估计主要是计算俐2 并建立截面曲率的下界估计，而第二基本形式 在无穷远的估计也需得到截面曲率的正下界。为了将【5 9 】的结论推广到高余维，我们建立了 相应于f 5 9 】中的估计( 引理2 3 2 和引理2 4 1 ) 。由于高余维要比余一维复杂的多，尤其是涉及 到川2 的计算，因此我们加上了“具有平行平均曲率向量”的条件对于高余维，为了建立 内部曲率估计和第二基本形式长度在无穷远的估计，我们不能期望得到截面曲率的估计，而 5 博士学位论文 d 0 m r a ld i s s 日n 1 0 n 要考虑r i c c i 曲率。我们正是克服了这一困难。同时我们需要指出，引理2 4 1 的结论并不需要 “具有平行平均曲率向量”这么强的条件，而只需要条件“具有常平均曲率”就够了。而且， 通过类似的计算，不难发现，引理2 4 1 的结论对于一般的空间形式都成立。因此，引理2 4 1 本 身应该有它的用途。 针对问题4 ，我们改进了定理1 1 5 中的增长性条件，即g 的值。确切的讲，我们证明了： 定理1 2 2 ( 【3 0 】) 设m “为n + 1 维欧氏空间r 1 ( 2s 佗s5 ) 中的具有常平均曲率日的 完备非紧超曲面。如果m “是强稳定的且满足 熙锚- o ， 其中 g 、2 n 当2 n 4 ；g 1 n 当n = 5 则m ”必为p + 1 中的仿射超平面。 显然，定理1 1 5 是定理1 2 2 的直接推论。我们最基本的想法是先证明m n 是极小的， 即日= o ，然后利用定理1 1 1 得到结论。我们采用的是反证法。假设日0 ，我们证明 了兰o ，从而得出m ”是紧的，与m ”非紧矛盾。我们计算的方法源于r s c h o e n ，l s i m o n s t y a u 【5 2 】的曲率估计，也可参见【2 0 】和【5 9 】我们之所以能够改进曲率的增长性条 件，即g 的值，是因为在计算过程中我们引进了两个参数p 和口，并在处理p 和q 的取值时，整体考 虑了( 1 + p ) q 的取值。 针对问题3 ，我们考虑了r “+ 1 3 ) 中的弱稳定的完备非紧极小超曲面，得到了 定理1 2 3 ( 【3 0 】) 设m “为n + 1 维欧氏空间r ”+ 1 ( 3 n 5 ) 中的完备非紧极小超曲 面。如果m ”是弱稳定的且对某p 满足 i a i p o 的 完备超曲面。如果m ”是稳定的且对某p 满足 小队o o ， 6 博士学位论文 d 0 c t o r a ld i s s 日h x r l 0 n 其中 则m n 必为r n + 1 中测地球面。 p ( d 2 + 2 同u 【s 川尚一2 m p 【n ，) ， 当n 6 而对于n + 1 中的具有常平均曲率日 1 的完备超曲面，我们有 定理1 2 5 ( 【3 0 】) 设m ”为礼+ 1 维欧氏空间h 1 ( 一1 ) ( 3 竹5 ) 中的具有常平均曲 率日 1 的完备超曲面。如果m ”是稳定的且对某p 满足 l 咖i p 0 时，下面结论 成立： 厂t 2 a o 。爿：俨+ 2 o o ( 1 2 5 ) ，m dj 肘d 利用此结果，我们证明了在定理1 2 3 中，当o p m i n 【2 + 2 2 n ，n ) 时 “a l p o o 爿“a r o o ； 在定理1 2 4 和定理1 2 5 中，当p n 且满足定理中的取值条件时，有 _ - j i p 鬻) ，则m 必为紧致的 7 博士学位论文 d 0 c t o r a l d i s s 口n k r l 0 n 特别地，我们有 定理1 2 7 ( 【3 1 】) 设m 为皿4 ( 一1 ) ( 5 ( 一1 ) ) 中稳定的具有非零常平均曲率日的完备超曲 面如果日2 器( 日2 器) ，则m 必为紧致的测地球面 定理1 2 6 的证明方法主要源于【5 3 】，也可见于1 5 7 】和【2 7 】主要是利用【3 2 】中所得到的 正值函数做共形变换我们引进了七w e i g h t e d - b i r i c c i 曲率的概念，特别地，当k = 1 时就是 文【5 3 】中引进的b i m c c i 曲率另外，我们得到了一个重要的代数不等式，利用该不等式 我们改进了文【2 7 】中的结果。虽然，我们不知道该结果是不是最优，但是我们可以排除一 些情形。例如：x c h e n g 在【2 6 】中得到了4 ( 一1 ) ( 5 ( 一1 ) ) 中任何强稳定的具有常平均曲 率日且满足日2 警( 日2 ；) 的完备非紧超曲面上不存在l 2 调和1 一形式；x c h e n g ，l f c h e u n g & d z h o u 在【2 8 】中证明了4 ( 一1 ) ( h 5 ( 一1 ) ) 中任何弱稳定的具有常平均曲率日且满 足日2 訾( 日2 ；) 的完备非紧超曲面只有一个“端”由于强稳定和弱稳定都蕴涵具有有 限指数，因此由定理1 2 6 知满足上述定理条件的黎曼流形根本不存在。 定理1 2 1 f 6 6 1 已经于2 0 0 6 年发表在心c h m a t h ，定理1 2 2 1 2 5 的早期版本【3 0 】也将发表 于a r c h m a t h ，定理1 2 6 1 2 7 3 1 1 已投稿。 1 3 重要概念 定义1 3 1 设m n 为n + 1 中的完备浸入超曲面且具有常平均曲率日o ，如果对任 意，卵( m ) 有 ( i v ，1 2 一( 庇c ( 口，口) + i a l 2 ) ，2 ) o ， ( 1 3 1 ) jm 其中v ，表示，的梯度，口为m “在”+ 1 中的单位法向量场，则m ”称为强稳定的( s t r o n g l y s t a b l e ) 如果( 1 3 1 ) 式只对舒( m ) 中满足条件 ，= o ， ( 1 3 2 ) jm 的，成立，则m ”称为稳定的( s t a b l e ) 定义1 3 2设m n 为n + 1 中的完备极小浸入超曲面，如果对任意， c 宁( m ) 有( 1 3 1 ) 式成立则m ”称为稳定的( s t a b l e ) 如果( 1 3 1 ) 式只对c 于( m ) 中满足条件( 1 3 2 ) 的，成立，则m ”称为弱稳定的( w e a l 【1 y s t a b l e ) 8 博士学位论文 d o c r 0 r a ld i s s 日阳l t 1 0 n 注1 3 3 在不区分常平均曲率日是否为零的情况下，若( 1 3 1 ) 式对任意，c 字( m ) 均 成立，则m ”称为强稳定的，若( 1 3 1 ) 式只对c 掌( m ) 中满足条件( 1 3 2 ) 的，成立，则m ”称为弱 稳定的 若计1 = r “，则( 1 3 1 ) 式变为 ( i v ，1 2 一i a l 2 ，2 ) o ， ( 1 3 3 ) jm 类似的，我们称r 七中具有常平均曲率日的n 维完备子流形稳定是指( 1 3 3 ) 式对任 意，c 字( m ) 均成立 定义1 3 4 设m “为空间形式“+ 1 ( c ) ( c = 1 ，0 ，一1 ) 中的具有常平均曲率日的完备超曲 面如果对某一p 0 ，有 例p ， ( 1 3 4 ) jm 则称m n 具有有限护范数曲率，这里表示第二基本形式的迹为零部分的摸长特别地，如 果p = n ，我们称m ”具有有限全数量曲率 注1 3 5 在定义1 3 4 中，如果m ”是极小的，即日= o ，则2 = i a l 2 此时，称m ”具有 有限p 范数曲率是指 川p ( 1 3 5 ) jm 定义1 3 6 设m ”为空间形式“+ 1 ( c ) ( c = 1 ，0 ，一1 ) 中的具有常平均曲率日的完备超曲 面我们定义j a u c o b i 算子 j = 一一l a l 2 一他c ， ( 1 3 6 ) 其中为m “上的拉普拉斯算子 设q 为m ”中的任一紧致集，i n d ( q ) 表示j 在q 上的d i r i c m e t 问题的负特征值的个数 而m “的指数定义为 i n d ( m ) = s u p i n d ( q ) ：q 为m “中的任意紧致集】( 1 3 7 ) 若i i l d ( m ) ：u a u t + q 耐 = 一u 印 一 蛳+ 去七哟 u 七 口j一 k = 一 0 卢 哟+ 屿+ 吉磁j k u 七 对( 2 2 4 ) 式右边求外微分得 d ( 莩) = 莩d 屿+ 莩蚍 ( i i ) 对( 2 2 1 0 ) 式左边求外微分得 d ( 九u 七j - j 对( 2 2 1 0 ) 式右边求外微分得 d ( d ，l 嚣 d 一 j 。七 h 毳u 七j 屿 d 蝎k u 七+ 幽k d 蝎k u k 一 刍女 咖a _ 凫f ( 2 2 2 0 ) 1 4 t 博士学位论文 d o c r 0 r a ld i s s 目1 0 i n + + + d 喙 u h 一d + d 0 七口 螈幽幻一幽航+ 危0 妣卢 七日 ( 毳m + 幅+ 危磊岫t 一 lll f i 九勘+ 螅+ 垛一 lll t i 0 纵+ 危& u 幻+ 九乞 毳 0 八u l u “ 卢 u a 口 u ” u 。) ) 危嚣触i u k + 弓劬 u 七一 g k u 。卢 u u 七+ 丢 g 心肌呐 u 七 七1 卢 现在，我们设m “为r ”+ 七中的定向完备浸入子流形，固定z m ”且选取z 附近的单位正交 标架场 e 1 ，e 。+ k ) 使得 e l ，e 。) 切于m ”对任意口，n + 1 q 佗+ ，定义线性映 射：a 。：瓦m _ 疋m 为 ( a 。x ，y ) = ( v x k e a ) 其中x ，y 为切向量场，亏为r ”+ 七上的标准黎曼联络。第二基本形式长度的平方l a l 2 和平均曲 率向量 定义为： 和 a 1 2 = 打( a ：) ， = 丢州e 。 日= i 危l = ；、l ：巧瓦两- 称为平均曲率。如果日= o ，则m ”称为极小的。对任 意q ，n + 1 口n + 七，定义线性映射：九：瓦m _ 兄m ( 。x ，y ) = x ，y ) ( 九，e 。) 一( a 。x ，y ) ， ( 2 2 2 1 ) 1 5 巧 u u 心 惝 慨卜 卜厂、 卢 纠 口 吨 山 山， 7 = - 渺 蹦卢d卢匹1 舢 椭 删 巧 = 彗 吼 o 知 1 2 1 2 、，o乐乐荟 f 汀 ， 洲 洲 帅 。，悻悻悻 七七七七卢七七 博士学位论文 d d a r 0 i u 山d i s s 日h 灯1 0 n 和双线性映射：疋m 已m _ 疋m 上 ( x ，y ) = ( 九x ，y ) e 口 a 容易验证打九= 0 且 ：= 打( 旌) = 卅一n 日2 a 若m ”具有平行平均曲率向量 且日= o ，取e 。十l = 台则 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) o = v 上e 。+ 1 = u 。+ 1 ，卢e 卢 ( 2 2 2 4 ) 口 再由( 2 2 7 ) 式和( 2 2 9 ) 式得到，对任意n + 1 口几+ 南有 a n + 1 a 卢= a 卢a n + 1 ( 2 2 2 5 ) 将( 2 2 2 5 ) 代入公式( 2 2 2 0 ) ，直接计算可得 引理2 2 2 ( f 5 1 】) 设m “为r n + 七( 七 1 ) 中具有平行平均曲率向量 的完备子流形，且 平均曲率日= o ，则有 却2 孙1 2 一蔫若i 一( 篱) 川2 ) 协2 瑚， 其中表示m “上的拉普拉斯算子，九( x ，y ) = 似( x ，y ) ， ) 引理2 2 3 设m “为r “+ 。中具有平行平均曲率向量危的完备非紧子流形， 率日= o 。则有 州一躺4 ， 其中表示m ”上的拉普拉斯算子 且平均曲 ( 2 2 2 7 ) 俐一志4 一端卅 ( 2 2 2 8 ) 如果七 1 ，我们选取e n + 12 刍由引理2 2 2 知 却2 槲( 艏2 一蔫若l 一( 筹) 例2 ) ， 仁2 伪， 却2 一( 篱) 例硎2 一稿3 一( 篱) 例4 一端4 + ( 删肌躺4 一佃晶3 ) 1 6 博士学位论文 d d c r o i u 正d i s s 日n 盯1 0 i n 证毕 - 2 卅辎4 一端4 一 4 ( n 一1 ) ”。 2 3 内部曲率估计 首先，我们有下面的s o b o l e 、r 不等式： 引理2 3 1 ( 【3 8 】) 设m “为r “+ 七( n 3 ) 中具有常平均曲率日的n 维完备非紧黎曼流 形，则存在仅依赖n 的一致常数c ( n ) ，使得对任意，锑( m ) ，有 ( 厶格) 宰c c n ，( 厶l v 卯+ 1 日i 厶：) ， 为了方便，我们采用【5 9 1 中的记号： b ( ，- ) 表示m “中以d m 为心，半径为r 的测地球； b o ( r ) 表示m 叫j 以q m 为心，半径为7 i 的测地球； b t ( 7 ，口1 ，口2 ) ：= b ( 0 2 一r ) b ( 口1 + r ) ，其中o ( e i l p ) 2 m ， 对任意小且满足( 2 3 2 ) 式的o ( 0 ) 均成立 对r 0 和q o ，我们有 b t ( f o ，口1 ，口2 ) 3b t ( 0 ，2 口l ，口2 一口1 ) 且 民( ) cb t ( ，口：) 由此，我们得到 l 0 1 2 s u pi 妒1 2 之6 2 ， 和 s u pl