（理论物理专业论文）高peclet数条件下布朗运动对悬浮粒子沉降的影响.pdf

摘要 高p e c l e t 数条件下布朗运动对悬浮粒子沉 降的影响 p 缸j 咖 摘要 由完全忽略布朗运动所得到的对分布解式，与稳定系统内边界条件相矛盾。 此时的布朗扩散通量不但不为零，反而也趋于无穷大。由此可见，在内边界附近， 存在着- 一个边界层。在边界层内，布朗扩散不可忽略，而不管p e c l e t 数是如何 之高，除非p e c l e t 数为无穷大。而这在一般情况下是不可能的。在建立了对分 布的边界层方程后，求出了它的解析解。由于在边界层内，考虑了布朗运动的重 要作用，它能使对分布方程满足稳定系统的内边界条件，解决了上述矛盾。数值 计算表明，布朗扩散可以把完全忽略布朗时的对分布解的奇点光滑掉，从而对沉 降有负作用，这个作用且随 的增大而增强，当 = 8 时，布朗对沉降的负作用 非常显著，反之，当 l 时，则布朗的这个负作用很小，仍可忽略。 关键词：胶体分散体系，沉降，p e c l e t 数，沉降系数，边界层 a b s t r a c t a b s t r a c t w h e nw e c o m p l e t e l yo m i tb r o w nd i f f u s i o n ，w ec a ng e tt h ep a i rd i s t r i b u t i o n f o r m u l a , b u tt h i sf o r m u l ac o n t r a d i c t sw i t ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni nt h es t a b l es y s t e m t h eb r o w nd i f f u s i o nf l u xi s n te q u a lt oz e r o ，b u tt e n d st oi n f i n i t e i ts h o w st h a tt h e r e i sab o u n d a r yl a y e rn e a rt h ei n n e rb o u n d a r y , t h eb r o w nd i f f u s ec a n 、tb eo m i t t e di n s p i t eh o wl a r g et h ep e c l e tn u m b e r i su n l e s si t 、si n f i n i t e ，b u ti t lsi m p o s s i b l ec o m m o n l y w ep a r s e di t ss o l u t i o na f t e re s t a b l i s h e dp a i rd i s t r i b u t i o nb o u n d a r yl a y e re q u a t i o n b e c a u s ew et o o kt h ei m p o r t a n te f f e c to fb r o w nd i f r u s i o ni n t oa c c o u n t ，i tm a k e st h e p a i rd i s t r i b u t i o ne q u a t i o nc o i n c i d ew i t ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni nt h es t a b l es y s t e m t h e nt h en a r r a t ec o n t r a d i c t i o ni ss o l v e d n u m e r i c a lv a l u ec a l c u l a t i o ni n d i c a t e st h a tw e e a r lf i n da p a i r d i s t r i b u t i o ns o l u t i o n s i n g u l a r i t y w h e nw eo m i tb r o w nd i f f u s i o n c o m p l e t e l y , b u tb r o w nd i f f u s i o nc a ns m o o t hs i n g u l a r i t y , b r o w nd i f f u s i o n m a k e sa m i n u sa f f e c t i o nt os e d i m e n t a t i o nt h e r e b y f u r t h e r m o r e t h i sa f f e c t i o nw i l lb e c o m e s t r o n g e rw i t ht h ea u g m e n to f 2 ，w h e n ae q u a lt o8 ，b r o w nd i f f u s i o n 、sm i n u sa f f e c t i o n w i l lb e v e r yp r o m i n e n c e w h e r e a s ，w h e n2 1 ，a f f e c t i o n w i l lb ev e r ys m a l l ，i tc a nb e o m i t t e ds i l l l k e y w o r d s ：c o l l o i d a l d i s p e r s i o n , s e d i m e n t a t i o n ，p i c k e t n u m b e r , s e d i m e n t a t i o n c o e f f i c i e n t ，b o u n d a r yl a y e r 第l 章绪论 第一章绪论 1 1 胶体分散体系简介 胶体系统指的是固体或液体的微粒或小气泡均匀分散在流体介质中形成的 一种分散体系。胶体粒子很小，但尺度的分布范围很大。最小的粒子可以小到分 子尺度，例如由几个分子集结在一起形成的分子团，尺度为纳米；最大的粒子， 如灰尘或煤粉，则可大到几十甚至上百微米，两者相差五个数量级。按照不同的 分类方法胶体分散体系又可以分成各种子体系。早期研究者按照热力学性质将 胶体系统分成憎液体系和亲液体系，前者的分散相“讨厌”周围的流体介质而总 想析出来，属于热力学不稳定系体系：后者的分散相与溶液极为“融洽”，属于 热力学稳定体系。不过随着胶体科学的发展，人们逐渐将亲液体系改称为大分子 溶液，而将憎液体系称为胶体分散体系。此外，按照分散粒予的大小，可以将胶 体系统分为颗粒体系、巨( 高) 分子体系和分子集团体系。按照流体介质的类型， 又可将胶体系统分成气溶胶体系和液溶胶体系( 温景嵩，1 9 9 6 ) 。本论文的研究 对象是最后这种分类方法的气溶胶的体系。 胶体分散体系广泛存在于人类日常生活中各种工业、农业、军事和科学技术 领域之中，与人类生活密切相关。在下列各领域中经常能遇到胶体系统，或与胶 体系统有关的问题： ( 1 ) 分析化学：离子交换，吸附指示剂，沉淀过滤性能，色谱法。 ( 2 ) 化学制造：洗涤剂，油漆，油墨，颜料。 ( 3 ) 生物化学与分子生物学：电泳；渗透与膜平衡；蛋白质学，血液学。 ( 4 ) 环境科学：烟雾，粉尘：空气与水的净化，污水处理；室内卫生。 ( 5 ) 材料科学：陶瓷，纤维和塑料，粉末冶金，芯片生产。 ( 6 ) 石油科学与地质学：二次采油，乳化，浮选，矿物富集。 ( 7 ) 日常用品：豆浆，牛奶，化妆品，胶囊。 这些实际问题都与胶体系统的力学行为密切相关，它们都是作为流体力学与胶体 科学的交叉学科一悬浮体力学的研究对象。其中牵涉到的几个主要方面是 系统的稳定性、胶体粒子的聚集与沉降等。胶体分散体系本质上属于热力学不稳 第1 章绪论 定体系，粒子有聚集到一块从流体介质中析出的倾向。这种聚集行为包括两个或 两个以上的粒子融合成单个大粒子的聚析过程( c o a g u l a t i o n ) ，以及粒子象葡萄串 似的群聚在一起但不融合的絮凝过程( f l o c u l a t i o n ) 。虽然胶体系统本质上是不稳定 的，但由于粒子间的势力作用实际上有些系统能稳定相当长时间，甚至长达数年、 数十年。从动力学观点看这样的体系是稳定的，因此我们相对地称之为稳定系统， 本论文针对的就是此类系统 沉降是胶体系统的一个重要力学现象，例如：豆浆、一些饮料或液态药品在 放置一段时间之后，容器的底部出现絮状、块状的沉淀物，而液体会变得透明或 颜色变浅；在一间封闭一段时间的室内地面上会出现一层尘土，这都是一般的沉 降现象( 当然，其中可能同时包含粒子的聚集过程，这可以由分析沉淀物的性质 得到) 。除了这些重力沉降现象外，胶体分散系还有在离心机或超速离心机中的 沉降、在电场中的沉降、在磁场中的沉降，以及化学工程中的反过程流化床 等。它们具有重大的应用价值。 初 始 状 态 段 时 间 后 图ll 胶体分散体系的不同性质的示意图，从左至右依次对应稳定系统、聚析型不稳定系 统、絮凝型不稳定系统 1 - 2 胶体系统的沉降理论 理论上，胶体系统的沉降被定义为胶体粒子在外力作用下从介质中分离出来 2 第l 章绪论 的过程。极端稀释体系的沉降行为可以简化成孤粒予沉降问题，即只考虑被考察 粒子的自身行为而忽略周围粒子对它的影响，此时粒子的重力沉降末速就是重力 与流体介质的阻力相平衡时的速度。这一问题已在1 8 5 1 年由s t o k e s 解决，半径 为口的粒子的s t o k e 8 重力末速为 u 。= _ 。2 a g ，一p ) ( 1 1 ) ，u 其中g 为重力加速度，p 为介质的粘滞系数，p ，为粒子的密度，p 为介质密度。 我们看到，孤粒子的沉降速度与粒子半径的二次方成正比，与粒子和介质的密度 差成正比，与介质的粘性系数成反比，这符合我们对沉降现象的直观感觉。另外， 对于离心机中的孤粒子沉降问题，只要将重力加速度p 换成离心加速度即可。非 极端稀释体系的多粒子沉降行为比孤粒子沉降复杂得多。到目前为止，因为多粒 子相互作用问题还没有解决，有关稠密系统的沉降行为的研究还完全处于一个探 索性阶段。没有什么被普遍认可的理论。对稀释( 但非极端稀释) 系统的沉降行为 的研究目前已经有了被广泛接受的基本理论( w e n ，1 9 9 6 ) 。理论上，这主要得益 于近二三十年来对低雷诺数双球流体动力相互作用的研究取得的极大进展，扫描 电子显微镜的使用、静态和动态光散射技术的成熟，以及作为模型系统的高度单 分散胶体系统的生成则是试验方面的积极因素。后者使人们有准确的观测数据来 检验理论的正确。 本文的研究对象是稀释( 但非极端稀释) 稳定胶体分散体系的沉降行为。基本 上它又可以分成两大类，第一类是在无界空间中的“增速沉降”，第二类是在有 界空问中的“阻滞沉降”。分散在无界空间中的胶体粒子，它们的下沉会拖带周 围的流体介质，并进而带动稿近粒子的下沉，因而系统的平均沉降速度快于孤粒 子情形；反之，在有界空间里，胶体粒子的重力沉降会引起周围介质的反向补偿 流( 在无界空间里没有) ，这种反向补偿流有一个托起四周的粒子阻止它们下沉的 效果，因而系统的平均沉降速度慢于孤粒子情形。对于后者，系统的平均沉降速 度取决于粒子的大小、与介质的密度差，以及粒子的体积浓度毋，其中最后一个 因子反映出粒子间的流体动力相互作用。 从试验角度看，单分散系统的沉降现象最适合于来检验理论的正确性。一是 单分散粒子的大小、密度都一样，粒子之间没有对流效应，理论预测的形势比较 第1 章绪论 简单；二是单分散系统沉降形成的透明上层与混浊下层两部分之间的界面清晰且 锐利，技术上可以精确地测量由它的移动速度所代表的系统平均沉降速度。大量 的单分散沉降试验己经证明，稀释系统的平均沉降速度，与孤粒子重力末速砜 有线性关系 u = u o ( 1 一s ) ( 1 2 ) 式中的阻滞沉降量一s u 。前边的常数s 被称为沉降系数。 如何解释这样的试验结果吸引了大量的理论工作，基于对粒子分布的不同提 法这些理论工作大致可以分为三类，即晶格模型法、壳层模型法和统计方法。晶 格模型法假定分散系统中所有的粒子都按规则的几何图形排列，粒子间平均间隔 a 妒1 8 为阵列的特征尺度。由此算出的稀释系统的阻滞沉降量与毋1 仔成i 1 2 l t ，比 例系数的量级为1 。壳层模型法假定体系中所有其它粒子对被考察粒子的影响都 集中在一个以该粒子为中心、半径为口妒。1 8 的球形壳层上，于是流体运动的外边 界条件也集中在它上面。在西 l 的条件下，由此求解的阻滞沉降量同样与曲。廿 成正比，比例系数与晶格模型法不同但量级为1 。显然，这两个理论不能被绝大 多数沉降试验支持。统计方法对粒子分布不做任何人为假设，而仅仅认为粒子构 形是一随机场。沿着这个方向的第一个工作是b u r g e r s 在1 9 4 2 年发表的( 中yk c ，1 9 6 0 ) 。为克服在统计平均时不可避免的发散困难b u r g e r s 提出了许多不同的 看法，所得结果也各不相同，不过阻滞沉降量都与的一次方成正比，与前两种 方法有规律上的区别。目前。获得世界范围内认同的理论是由b a t e h e l o r ( 1 9 7 2 ，1 9 8 2 ) 以及b a t c h e l o r 与其合作者( b a t c h e l o r 和w e n ，1 9 8 2 ；w e n 和b a t c h e l o r , 1 9 8 5 ) 沿- 着严 格的统计方法这一途径建立起来的。单分散硬力子系统的b a t c h e o r 阻滞沉降公 式为 u 5 u o ( 1 6 5 5 妒) ( 1 - 3 ) 其中6 5 5 为硬粒子沉降系数的理论预测。b a t c h e l o r 将阻滞沉降量6 5 5 庐u o 归结 为来自四个部分的贡献，即 ( 1 ) 曲u o ：由粒子本身沉降引起的反向补偿流； ( 2 ) 一4 54 u o ：因粒子下沉使邻域一壳层里( 口 k 2 口) 的介质被拖带下沉而引 起的反向补偿流； 4 第1 章绪论 ( 3 ) 一1 5 5 西u o ： ( 4 ) 0 5 庐u o ： 粒子对流体介质施加的力被四周粒子的表面反射回来形成的 阻滞作用； 来自四周粒子对介质阻力的反作用力，是四个贡献中的唯一 正项； 由式( 1 3 ) 所代表的理论预测已经得到了不少试验结果的证实。例如，采用性 质比较接近“硬粒子”的功能抗菌素d n a ，n e w m a n 等人( 1 9 7 4 ) 观测到肛6 7 0 8 的结果。采用性质更接近“硬粒子”的位阻稳定( s t e r i e a l l ys t a b i l i z e d ) 的二氧化 硅粒子，k o p s - w e r k h o v e n 等人( 1 9 8 2 ) 测得的沉降系数为一6 6 0 6 ，a i - n a a f a 和 s e t i m ( 1 9 9 2 ) 钡 得的两种不同大小粒予的沉降系数分别为s - - 6 5 0 3 和s - - 一6 5 1 0 6 。这些试验数据与b a t c h e l o r 给出的理论预测一6 5 5 符合得相当好。此外， b a t c h e l o r 和w e n 对于低p e c l e t 数和高p e c l e t 数“硬粒子”系统沉降系数的理论 预测也分别得到了a i - n a a f a 和s e l i m ( 1 9 9 2 ) ，以及d a v i s 和b i r d s e l l ( 1 9 8 8 ) 的试验 验证。 1 - 3 现存研究的不足及本文的工作 气溶胶( 或水溶胶) 粒子的沉降问题是胶体科学中的一个经典问题，具有广 泛的应用价值及丰富的理论课题。粒子的沉降过程，是粒子在外力作用下，它和 介质的分离过程。 在多粒子共存条件下，某一粒子的沉降速度与其它粒子空间构形有关，空间 构形不同则该粒子沉降速度不同，问题归结为求取整个体系的平均沉降问题，在 平均过程中一般遇到以下两个基本困难； ( 1 ) 发散，由于s t o k e s 流场的r - 1 慢衰减使积分不是绝对收敛的。 ( 2 ) 粒子的统计分布，对分布方程的求解。 关于粒子沉降理论的研究，已经取得了重大进展，尤其是b a t c h e l o ( 1 9 7 2 ) 与 b a t c h e l o r ( 1 9 8 2 ) 和b a t c h e l o r & w e n ( 1 9 8 2 ) 的工作基本解决了上述两个困难，使得多 粒子沉降理论有了突破性进展，在国际上产生了重要影响。但是，上述工作实际 上是两种极限条件下的沉降理论。例如，它的高p e d e t 数下的沉降理论实际上是 p e 趋于无穷的结果，完全忽略了布朗运动的影响。另一方面，它的低p e c l e t 数下 的沉降实际上是p e 趋于零的结果，完全忽略了对流运动的影响。这是不符合大 第1 章绪论 多数实际情况的，因此e 述理论的应用范围就受到很大限制，需要进步发展 上述理论。本文所作的工作仅研究高p e c l e t 数下弱布朗运动的影响。引入布朗运 动，考察其对对分布方程的影响，进而得到靠朗运动对系统沉降的影响，从而把 上述理论推广到一般的情形。对将要涉及的内容，我们做如下的安排： 第二章介绍关于稀释稳定系统的基本理论，包括s t o k e s 阻力定律、迁移率 函数的计算、决定系统的微观结构的对分布方程。 第三章介绍在高p e c l e t 数下不考虑布朗运动和势力影响，通过对分布方程 的求解，计算稀释系统的沉降系数。 第四章介绍在高p e c l e t 数下我们考虑布朗运动对对分布方程的影响，求得 在这种情况下的系统沉降系数。 6 第2 章基本理论 第二章基本理论 2 1 引言 本质上讲胶体分散体系是一个多粒子体系，因此粒子聚集、沉降等力学现 象一般是多粒子相互作用的产物。早期的工作者把问题简化成一个孤立子力学来 进行研究，显然其结果只是用于极端稀释体系，远远不能满足实际需要。近二三 十年来，胶体动力学的研究从极端稀释体系推进到了非极端稀释体系。具有代表 性的工作是b a t c h e l o r 在1 9 8 2 年建立起的描述粒子对在外流场、布朗扩散和粒子 间势等诸多因素作用下的粒子分布几率的对分布方程理论，这一理论将非极端稀 释体系中的胶体力学问题纳入了一套完楚的框架中。b a t c h e l o r 和w e n ( 1 9 8 2 ) 以及 w e n 和b a t c h e l o r ( 1 9 8 2 ，1 9 8 5 ) 进一步研究了各种条件下“硬粒子”系统的沉 降问题，他们的工作丰富了胶体力学的内容并得到了试验结果的论证。 2 - 2 刚性球孤粒子在无界空间中运动时受到的s t o k e s 阻力 一个刚性球在无界静止流体中作低r e 数定常的平移运动，它在流体中所产 生的扰动流场分布，最早由s t o k e s 在1 8 5 1 年求出、亦名为s t o k e s 流。由该流场在 球上所产生的阻力，叫s t o k e s 阻力。这是在流体力学中为数不多的可以求出其 严格渐进解的例子。 对坐标系的自然选择。是使球极坐标系坐标原点与球心相吻合，在无穷远 处的流场相对于该坐标系静止。在不可压缩流体的轴对称流场中有流函数矿存 在，它和扰动流场关系由下式给出： 1av q 2 万s 1 1 1 亩r o 廿 。士掣( 2 1 ) ，s i n 0 咖 、 矿对口的依赖关系，必须仅仅是与s i n 2 ( 0 ) 成难比。可以写成、 y = u s i n2 0 ( r ) ( 2 2 ) 对于流函数取( 2 2 ) 式形状的流场，可以分解为径向分量与横向分量的和： 7 第2 章幕本理论 弹= u 詈( 訇+ ( - 一詈) u e 等 c z ， 求解流函数矿中的待定系数以r ) ( r ) = 寺c r + 厶。+ 胁2 ( 24 这里m 为零 ：当日3 一昙z 以及c ：3 口 ( 2 5 ) 222 、。 这样把c ，l 代入到( 2 4 ) 式。得到s t o k e s 流函数 y = 昕2 s i l l 2 p 降一i 1 7 a 3 ( 2 6 ) 以及s t o k e s 流场 “= u ( 三詈+ 笋) + x x ，- ：u l f z 。= _ ，一言笋 c z ， 物体在流体中运动所受到的阻力，乃是扰动流场在该物体表面应力的总和， 由两部分组成，第一部分是未被扰动时流体的静压力，第二部分来自球运动时扰 动场中的动压力与粘应力之和。 d = 6 n u u ( 2 8 ) 这就是著名的s t o k e s 阳力定律。 2 3 双球迁移率函数 胶体力学与流体力学的着眼点不同。前者的着眼点在于，粒子在一定的外力 作用下，它将如何运动。在这个问题中一个基本物理量是粒子的迁移率，它被定 义为粒子在一单位定常外力作用下所获取的平衡速度。但在流体力学中问题的提 法是相反的，即以一定常速度运动的粒子，它所受到的来自介质的阻力有多大。 介质对粒子的阻力与粒子对介质的作用力大小相等、方向相反，但是阻力与粒子 所受外力之问只有在平衡条件下才会大小相等、方向相反。虽然如此，由于我们 所考虑的粒子尺度很小，粒子自身的惯性可以忽略，所以介质阻力与粒予所受外 力总是近似处于平衡。此时，粒子的迁移率就是它在任何一种单位外力作用下得 到的速度。对于稀释系统里的双球问题，粒子在绝大多数情况下不受外力偶影响， 第2 章基本理论 一一 所以它只会作平移运动假设被考察粒子i 受到外力e 的作用，其附近另一粒子， 受到外力足的作用，那么他们的速度可以表示为 u ，= x - i ( 西u f + 6 。：。)( 2 9 ) u ，= 一( 矗：。一只+ 西n f j ) ( 2 1 0 ) 这里b 、6 小b 2 j 和厶是与平移速度相关的四个迁移率张量，它们是二阶的。 不过每一个张量的九个分量并不是彼此孤立的，而是至多可以由两个无因次标量 函数表示出： 驴瓦1 坞扩a 芦r r + 啪一7 厅- ) j ( 2 1 1 ) 式中一胡、分别是迁移率张量的纵向和横向标量函数。在大部分区域爿印、 可以由j e f f e r y 和o n i s h i ( 1 9 8 4 ) 提供的计算机子程序计算。在粒子表面附近则需由 各自的渐进展开计算。在f 0 0 2 的距离上，爿。有如下渐进展式 a 筇= ，a 铘o ) ( 五) + 掣( 丘) 善+ 一譬( a ) 善2 l n 孝+ 一器( 五) 善2 + ( 2 - 1 2 ) 在f o 0 1 5 的距离上，有如下渐进展式 = 笪燮堕：! ! ：堕型! ! ：! 型塑+ ( 21 3 ) o n 孝。) 2 + e 1i n 孝。+ e 2 这样即可求得任意距离上的4 卵和丑印。另外各个标量函数彳审、b 印也不完全独 立，它们之间有以下关系 a l l ( 5 ，五) = 彳2 2 ( s 且一1 ) ，a 1 ：( 只五) = a l l ( s 1 ) ( 21 4 a , b ) b 1 ，( 5 ，a ) = 曰2 2 p ，五1 ) ，b i ：( 5 ，五) = 绞。0 ，名1 ) ( 2 1 4 c , d ) 彳。：( s ，a ) = 爿：。( s ，五) ，b ：。( s ，a , ) - - b 2 。0 ，五) ( 2 1 5 a , b ) 当，一时，双球间相互作用可以忽略而与孤粒子问题一致，因而有 p “印： 击q 钏 组 【0q p ) 得到 9 第2 章基本理论 = 乜 g 斗m 口= 卢) g 斗0 0 ，o r 卢) 2 _ 4 对分布方程的建立 ( 2 1 7 ) 在稀释( 但非极端稀释) 体系巾，一个粒子附近同时出现两个粒子的概率相 对f 只出现一个粒子的概率是高阶小量，因此可以只考虑粒子对之间的作用而略 去第三个粒子的影响。取体系中半径分别为碣和珥的两个粒子为研究对象，那 么体系的微观结构可由，粒子中心相对于i 粒子中心距离为，处出现的概率密度， 即对分布函数m 来描述。对分布函数的局地变化由双球相对重力对流输送、相 对布朗输送和粒子间势力输送造成。我们拟首先分析这三种输送作用，然后给出 决定对分布函数的微分方程对分布方程。 2 - 4 1 双球相对重力对流输送 双球相对重力对流通量( 呦口) 是由粒子重力沉降引起的。考虑了流体动力 相互作用的重力相对对流速度可以表示为 = 噔 三c s ，詈+ m c 文一一詈) ) c z ，s ， 这里j 是两粒子球心间的无因次距离，它是以粒子的平均半径为标度的。玛与 酝分别是歹粒子和f 粒子的重力沉降速度。时1 为双球重力末速之差： 叼。) = p ，一1 ) u ， ( 2 1 9 ) 上式中 为j 、i 粒子的半径沈生，其中q 和啦分别表示，、i 粒子的半径；，为 口 ，、f 粒子与介质的密度差之比旦，二上，其中p ，和p ，分别为_ ，、f 粒子的密度，p 为 p 。一p 介质的密度； 是j 粒子处在孤粒子状态时的重力末速。式( 2 1 8 ) 中，( 审 和麒0 分别为重力相对对流速度中的纵向和横向标量函数： 喇= 单+ 蕊幽 1 0 f 22 0 ) 第2 章基本理论 m 0 ) = 2 声2 2 一且 v 一1 + 鹣0 隅 。 + 五) ( 牙一1 ) ( 2 2 1 ) 将彳审、b 审的近场展开代入式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) ，我们得到( 亩和麒曲的近场渐 进展开： l = l 善+ 三2 2 l n 毒+ 3 善2 + ( 2 2 2 ) m ：警哗毒坐业盟l ( 2 2 3 ) q n 善。厂- t - e 1l n 孝。1 + e 2 我们看到，作为重力相对对流速度的纵向标量函数的( 审在近场以正比于f 的 形式趋于零，它反映了两个粒子极端靠近时流体介质对粒子运动形成的所谓“润 滑膜阻”作用。 2 4 2b r o w n 扩散输运 b r o w n 运动是由英国植物学家b r o w n 在1 8 2 7 年发现的，它是悬浮粒子的基本 特性之一。物理学家e i n s t e i n 在1 9 0 5 年的工作奠定了b r o w n 运动的理论基础。 进入7 0 年代以后，以b a t c h e l o r 为代表的一批流体力学家进入了这一领域，统 计力学开始与流体力学相结合，由此又产生了许多新的认识与结果。b r o w n 运动 向悬浮粒子的运动中引入了随机性。虽然布朗运动是无规的，但当粒子非均匀分 布时，这种无规的运动会产生定向的通量流一慨v p f ) ，它由f 、粒子问的相 对b r o w n 扩散系数张量和v p u 决定，其中双球相对b r o w n 扩散系数张量可以 表示为 见= 础- g o ) 詈+ q 一一爿) c z 甜， l 式中础是两粒子相距非常远时的相对布朗扩散系数， 。：o ) 。k t ，( 。i 1 + 爿 s ， 其中厅为b 0 1 t z m a n n 常数，为绝对温度。口( 曲和倒0 表示纵向和横向双球b r o w n 扩散系数张量中的各向i q 性标量函数，分别有表达式 第2 章基本理论 g = 等一丽4 。4 1 2 删= 等等一器 g ( 0 和肼审的近场渐进展式分别为 g = g 1 善+ h =+ 2 4 _ 3 势力作用引起的对流输送 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 粒子的势力存在时( 例如分子引力势、静电引力或斥力势) ，也可以使粒子 对产生相对运动。对于球形粒子，这力只可能产生平移运动。因此，从我们对b 。 的知识就足以计算势力产生的效果。设两个球形粒子问势为中，。( r ) ，则作用在球2 上的力为中j 刺，作用在球1 上的力为吼：( ，) 。则由粒子势造成的双球相对运动速 度碟： k ：= u ；一u ? = 一p ( b 。+ b 1 1 - - b 2 1 - - b 。) v 藕：) ( 2 3 0 ) 一般而言，粒子势是分子引力势与静电势力之和。前者是使粒子产生、合并， 从而使体系不稳定因索，后者则由粒子荷电性质决定。 2 - 4 4 对分布方程的建立 综合考虑了上述三种输送作用的共同影响后，对分布函数的局地变化即由如下 的对分布方程决定( w e n 1 9 9 6 ) ： 誓= 可眈岛) + v i 岛v ( 剀冉魄嘞) t ， 对稳定系统面言! 彗：o ，方程可进一步简化为 讲 2 一 乒一+以一h 丛n蛭吣 h 一 第2 章基本理论 v 如小v - 卜v 曙肛慨慨) - 0 仁。z ， 与稳定系统对应的两个边界条件为内边界上粒子通量为零和外边界上粒予的均匀 分布，即 p 。= 1 o - - 90 0 ) 扣，也v 暑) p 。- d o - 卜 协3 3 实际工作中，我们更习惯于采用式( 2 3 2 ) 的无凶次化形式，这使我们对重力对流 输送、b r o w n 扩散输送和势力输送的相对大小有一个直观的概念，而且便于数学 上的处理。无因次化过程引入了两个相似参数p e c 】c t 数和q “数，它们分别有 表达式 弘三掣 ( 2 3 4 ) 1 一2 d ，) ”一7 盱圭锵 亿。s ， 其中p e c l e t 数( 符号r 或p e ) 代表重力对流输送与b r o w n 扩散输送的相对大小，纨 数代表重力对流输送与势力输送的相对大小。在水溶胶系统中p e c l e t 数与q f 数量 级相同，在气溶胶系统中p e c l e t 数比q “数低一个量级。所以，一个系统是低p e c l e t 数系统则意味着它是弱对流，强布朗系统，高p e c l e t 数系统则相反。 第3 章高p e d e t 数多分散系统粒子沉降理论 第三章高p e c l e t 数多分散系统粒子沉降理 论 3 1 引言 高p e c l e t 数系统就是强对流，弱布朗系统，我们首先分析一个示例系统，己 使大家对实际胶体分散系统的p e c l e t 数的大小有个一般性概念。 设想一个处于室温的水溶胶系统中悬浮着两种同质地但不同大小的微粒，一 种粒子半径为q 另一种为物，他们的密度都为2 1 0 3 堙加3 。简单计算即可发现， 如果用砌计量粒子半径，那么这个系统的p c c l e t 数可以由式p e t 3 0 x a 4 计算。 表4 1 给出了不同的粒子半径对应的p e c l e t 数的大小。我们看到，由于与胶体粒 子半径的四次方成正比，系统的p e c l e t 数随粒子半径的变大而急剧增加，粒子半 径大于lo 砌时就属于高p c c l e t 数系统了，而粒子半径小于o 4 砌时体系基本属 于低p c c l e t 数系统。 表3 i 粒子半径与p e c l e t 数 粒子半径p e c l e t 数 0 0 1u m3 x 1o o0 5u m18 7 5 1 0 7 0 1u m3 1 0 。7 0 4 2 8 1 1mlo 0 5u m1 8 7 5 10 1 1m3 0 5o um1 8 7 5 x1 0 4 低 中 高 本章介绍的实际上是b a c h e l o r ( 1 9 7 2 ) 与b a c h e l o r ( 1 9 8 2 ) 和b a c h e l o r & w e n ( 1 9 8 2 ) 的工作的一部分，从下面的介绍中，我们可以具体看到在高p e c l e t 数下，以上的 第3 带高p e c l e l 敌多分散系统粒r 沉降理论 沉降理论应用的局限，亦即该理论只给出，无穷高p e c l e t 数条件下的系统沉降系 数，本文就是在此基础上，对b a t c h e l o r 和w e n 的高p e c l e t 数沉降理论工作的一 些补充。 在绪论中，我们知道求平均沉降速度问题遇到的两个基本困难，但是在高 p e c l e t 数的情况下，对分布方程中的b r o w n 扩散项可以忽略，而且我们考虑的是 硬粒子，不考虑势力作用，所阱对分布方程( 2 3 1 ) 式右边的第二与第三项均为零。 这样，第二个困难即对分布方程的求解问题迎刃而解，我们可以集中精力解决第 一个困难。 3 - 2 对分布方程在多分散稳定系统中的求解 不考虑粒子间势力且p e c l e t 数很高时，作为一级近似，对分布方程简化为 掣冉畋( ，概：。 a 、”7 ( 3 1 ) 不是管量场，上式左边不能化为全微分。但是，敖度v 与嘭。r 成e t t ， 比例乐双为r 网l 相瓤w ( ，) 。利用逸个天泵，5 i 八幽毅g p ) ，j 疋义讲，) 满足以r ，傲 分方程 塑型：百掣 ( 3 2 ) 西 ：b + a j a j e ( r ) 、 = 魄户妒j 式中( ，) 与l ( r ) 都是无因次速度场的散度与纵向分量的标量函数，它们由下式 给出 阢k 2 翥畹， n ， 喇= 错+ 揣 其中 矿g ) ：刿+ 睾 s劣 由此，( 3 3 ) 式可以化为g 的函数： ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第3 章高p e c l e t 数多分散系统粒子沉降理论 v r v , , 一a q ( 3 6 )” r q d r 。 把( 3 6 ) 式带a ( 3 1 ) 式，整理得 ( “- v ) 掣 o ， 这说明量p 加对于沿某一轨迹运动的“物质”点而言是守恒的( 尽管p 。本身不守 恒) 。当粒子轨迹是开放的，即从无穷远处而来我们可以利用外边界条件得到 咖f ) = 鹈 ( 3 8 ) 解式与时问无关，而且各项同性。函数q 的微分定义( 3 2 ) 式意味着q 包含蓿一任 意常数，但这对胁不会有影响，我们可令q ( o o ) = l ，因而得到 既( ，f ) = g ( 厂) 由上式知对于开放轨迹上的解胁应由下式描述： 哪) 错凼= i 掣+ 上l 坐d s k j 而m 有以下关系式 m g ) = 错+ 垃o + a x 2 - ：r - o “斗丽6 0 2 - 3 + 警拶一等蔫掣 一型等高产+ 。1 1 + a r 5 、7 纠一品一掣鞴掣 一型攀掣+ ( ) ( 1 + 五) 1 0 s ” r7 如寺描+ 器+ 等拶 1 6 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 31 3 ) 第3 章高p e e l e t 数多分散系统粒子沉降理论 2 5 6 2 3 ( 3 ( 1 0 + - 4 1 1 5 3 2 2 。+ 3 0 1 41 + 。g ( 1 + 五) l 。s “ ( 31 4 ) 耻石3 + 赫 5 6 2 3 ( 8 m 0 - 7 n 9 ) , 2 + 。8 0 2 , ) + 。 ( 3 1 5 ) 把这些远场渐进展式代入 34 ) 、( 3 1 1 ) 、 3 5 ) 式，则可得到对分布函数p q 在高 p e e l e t 数条件下的远场渐进展式： p = 1 + j 一5 另一方面，当两球即将相碰，一0 时，a 叩，b 知有进场渐进展式： ( 3 ，1 6 ) a 印= 一嚣q ) + 月嚣以膏+ 彳劣以海2 l n 善十删以磐2 + o 倍3 ( 1 n 善) 2 ) ( 3 17 ) = 掣第瑞辫 一盆q ) ，艿茹q ) ，。q ) ，e ( 2 q ) 由下表给出 表3 2 纵向迁移率函数一l - a ) 近场渐近展式中各系数值 ( 31 8 ) 雒q )4 f ；q )0 伊q )_ j i ) n ) 0 1 2 509 9 9 700 0 20 0 0 3o 02 5 0 9 9 5 l0 0 0 90 0 2 6o 0 50 9 5 3 7o 1 5 20 1 9 4一o 3 l0 7 7 5 00 9 3 0 0 ，9 0 02 o 204 7 6 822 7 72 1 8 8 4 5 40 2 4 8 8 3 6 l o4 0 6 164 801 2 5 05 6 2 0 8 5 0 09 2 表3 3 纵向迁移率函数a n ( s ，a ) 近场渐近展式中各系数值 x a t ? ( a )一0 )爿以)爿彦0 ) l007 7 5 01 0 7 00 9 0 02 o 0 50 7 1 5 20 ，7 6 60 6 9 11 0 1 7 第3 章高p e c l e t 致多分散系统粒子沉降理论 f o 2 506 2 1 90 3 7 20 4 0 8o2 io ，1 2 5o 5 6 2 3- o 1 7 02 5 64 5 l 表3 4 横向迁移率函数口。 a ) 近场渐近展式中各系数值 础o )叫? 0 )科? 0 )砩 )砖以)晚o )e ( 1 0 )e c 2 o ) o1 2 5 0 9 9 4l5 315 50 5 5 30 4 6 00 6 5 01 5 2一l5 4 o 2 50 9 7 33 8 40 3 4 0o 5 7 1l5 3 0 ，0 6 03 7 90 ，3 2 0 050 9 2 75 6 l 4 4 00 5 3 525 01 2 4 56 041 8 l08 9 15 7 77 0 70 4 8 92 8 ll9 86 0 46 3 3 20 7 6 450 25 6 00 5 3 525 01 2 45 6 04 1 8 40 4 7 33 7 11 8 90 5 7 11 5 30 0 6 03 7 90 3 2 0 80 2 3 82 7 0 0 8 5 00 5 5 30 4 6 00 6 5 0 1 5 21 5 4 在第二章介绍过一印和占品的近场渐近展式，在这里重新把这两个公式写一遍是 为了配合表3 2 34 使之更直观。 表中各参数之间有以下关系： 彳掣以) = 爿磐p 1 ) ，爿q ) = 爿以一) ( 3 ，1 9 a , b ) 8 f q ) = b 等p 1 ) ，醚q ) = 蛊g 防1 ) ( 3 1 9 c , d ) 把( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 式代入( 3 4 ) ，( 3 1 1 ) 式，我们得到l , m 的如下渐近展式： 肛簟絮， n ： 陋= ”。+ d e l n ) 将( 32 0 ) 式代a 蛰j ( 3 1 0 ) 式，则可得到对分布函数m 在高p e c l e t 数条件下的近场渐 近展式： 岛* 鲁 ( 3 2 1 ) a 由一f 式给出 口：i 1 - m o( 3 2 2 ) 第3 章高p e c l e t 数多分散系统粒子沉降理论 璐则是一个常数。 在介于f o 和f 一一之问的部分，我们用 e f f e r y 和0 h i s h i 的程序进行计算。 3 3 多分散系统粒子沉降理论 所考虑的系统是在有界空问中统计均匀分布的稀释体系，体系中含有m 种 粒子，设每一种粒子的半径、密度、数密度、体积浓度与其孤粒子状态下的沉降 速度分别为： a p ，毋。咖。，y 佃，( 卢l ，2 ，功。 第，种粒子的平均沉降速度将由所有m 种粒子的相互作用所决定。体系稀释在这 里意味着多。 l ，并且= 魂“l 。由于低r e 漉的可加性，可以把，写成以下 形式： 一 一u j = u ! 。，f h 芝5 溉 ( s z s ) j = j 当户j 且可忽略势力作用时，系统为单分散体系，5 6 5 5 。这就是 b a t c h e l o r ( 1 9 7 2 ) 阻滞沉降公式。现在的问题是要确定当j 时的岛，只是到 了b a t c h e o r ( 1 9 8 2 ) 以及t a t c h e l o r 和w e n ( 1 9 8 2 ) 工作中比较完整地解决了对分 布方程求解问题后，人们才有可能建立起比较完整的，比较严格的稀释多分散悬 浮体系粒子沉降理论。 首先，按照b a t c h e l o r l 9 7 2 年收敛方法，推导出有用种粒子存在时。第j 种粒子所得到的平均附加速度a u ，即 面= 酬( 2 “u o ) j - + k v ) 一( 翘町 其中 。1 = 丢j h 詈佩( - 一匀一- 卜g ) 凼 2 s ， 第3 章高p e c l e t 数多分散系统粒子沉降理论 卜丢若f 肚扣：( - 一耕啪) 一谢+ 詈) + 茹每( - 一剐凼 ：s ， = 托n 扣) 掣 + 篙卜扣：( t 一耕掣k s 泌 组z ， ( 3 2 4 ) 式最后一项是由三部分构成第一部分起源于粒子自身沉降造成的 介质反向补偿流；第二是在粒子沉降过程中把兰冬 l 时) ，但也可以比一6 5 5 大。甚至可以大于零( 当j ， o ，此时由，粒子上升引 起的反向补偿流是向下的) 。 以下是高p e c l e t 数下，= l 时，沉降系数岛随变化的图( 图3 1 ) 。 实际上这条曲线代表的是p e 一一时品随 的变化，p e c l e t 数相对较低的5 。 曲线应该在这条曲线之下。而且，经过验证，只有当p e c l e t 数p e 1