（基础数学专业论文）芬斯勒几何中的曲率性质及射影平坦芬斯勒度量.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本文研究了n 维流形上的两类重要的( 口，卢) 一度量一f = + ) “屈”和 f = 口+ 妒+ 2 f 1 2 a - p 4 3 a3 ，这里口= ( 工) ，y 7 是黎曼度量，卢= b i ( x ) y 。是 非零1 形式，朋为不等于1 ，0 ，1 n 的实数。证明了这两类似，) 一度量具有迷 向s 曲率当且仅当它们的平均b e r w a l d 曲率为零，即它们为弱一b e r w a l d 度量。此 时，它们的s 曲率为零。本文还研究了射影平坦芬斯勒度量。借助射影联络，我 们用射影联络的黎曼曲率刻画了射影平坦的芬斯勒度量。 关键词：芬斯勒度量，位，卢) 一度量，平均b e r w a l d 曲率，s 曲率，射影平坦芬斯 勒度量，射影联络 重庆大学硕十学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt w oi m p o r t a n tc l a s s e so f ( 口，) - m e t r i c si nt h ef o r m f = ( 口+ ) “a ”a n df = 口+ 印+ 2 2 a 一4 3 a 3 0 n 柚n - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d ， w h e r e a = ，y 7i s ar i e m a n n i a nm e t r i c ，= 眈( 曲y i sa1 - f o r ma n dmi sar e a l n u m b e rw i t hm 0 , - 1 ，一1 n w ep r o v et h a tt h e s et w ok i n d so f ( 口，f 1 ) - m e t r i c sf i r eo f i s o t r o p i cs - c u r v a t u r e si fa n do n l yi f t h e i rm e a nb e r w a l dc u r v a t u r ea r ez e r o ，t h a ti s ，t h e y f i l ew e a k l y - b e r w a l dm e t r i c s i nt h i sc a s e ，t l l e i rs - c u r v a t u r e sv a n i s h f u r t h e r m o r e ，i n v i r t u eo fp r o j e c t i v ec o n n e c t i o n , w ec h a r a c t e i r z et h ep r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e rs p a c eb y r i c m a n n i a nc u r v a t u r eo f p r o j e c t i v ec o n n e c t i o n k e y w o r d s ：f i n s l e rm e t r i c ， ，) - m e t r i c ， p r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i c ， i i m e a nb c r w a l dc u r v a t u r e ，s c u r v a t u r e , p r o j e c t i v ec o n n e c t i o n 独创性l 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重麽太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作_ 的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 相寿娇 签字日期： 砷年月7 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重麽太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( v ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名： 相着冰 签字日期：7 叩年多月j 日 导师签名： 声彩玖 签字日期：伽q 年岁月哆日 重庆大学硕七学位论文 1 绪论 l 绪论 近年来，芬斯勒几何得到了快速而长足的发展。芬斯勒几何中的各种曲率( 黎曼 几何量与非黎曼几何量) 已得到广泛关注和研究，它们对芬斯勒空间结构的影响也 越来越为人们所理解 6 1 。芬斯勒几何的理论与方法在数学、物理及其它众多自然科 学领域中的应用价值日益突出。芬斯勒几何已显现出充满勃勃生机的发展势头。 1 1 研究评述 1 1 1 芬斯勒几何的历史回顾 芬斯勒( f i r l s l e r ) 空间的最初概念可以追溯到黎曼( r i e m a n n ) 的著名论文 。1 8 5 4 年，黎曼在他的著名 演讲中发展了一类基于弧长元素 d s = f ( x 1 ，d r l ，出”) 的度量几何( 最初叫广义度量空间理论) 。一个重要的特殊情形是 f 2 ( j ，= g o ( x ) d r l d r ， 由此确定的几何既是后人命名的黎曼几何。黎曼在黎曼几何中引进了曲率概念， 推广了高斯在二维曲面的工作。对于一般的广义度量，黎曼给出了具体例子： f ( x , y ) = t y l ) 4 + + ( y ”) 4 “4 ，y = d x 黎曼断言基于这种广义度量的微分几何能够像黎曼几何一样得到发展，但他认为 计算将非常复杂，因此很难对微分不变量赋予恰当的几何意义。最终黎曼只研究 了具有二次型限制的度量，即黎曼度量。1 9 0 0 年，m l b 哪在巴黎发表了关于2 3 个数学问题的著名演讲，一般情形的广义度量空间理论包含在第2 3 个问题“变分 法”中。在随后的几年中，一些数学家从变分法的几何处理出发研究了广义度量。 其中的主要代表人物就是gl a n d s b e r g ，他在1 9 0 7 年引入了后来被l b e r w a l d 称 为l a n d s b e r g 曲率的几何量，这是芬斯勒几何中的第一个非黎曼几何量。 1 9 1 8 年，芬斯勒( p a u lf i n s l e r , 1 8 9 4 1 9 7 0 ) 在哥廷根大学完成了他的博士论文。 在论文中，芬斯勒研究了广义度量，引入了所谓的基本张量 g y ) = ( a 2 f 2 o y o y ) 2 和c 张量( 现在称为c a f t a n 张量) c u k = ( o g o y ) 2 在黎曼几何情形，上述的g i j ( x ，y ) i e 是基本张量勖( x ) 。c a f t a n 张量刻画了一个芬斯 勒流形偏离黎曼流形的程度。事实上，一个芬斯勒度量是黎曼度量的充分必要条 件就是c a f t a n 张量恒为0 。1 9 2 7 年，j h t a y l o r 将广义度量空间的几何称为芬斯勒 重庆大学硕士学位论文1 绪论 几何( 现在也称为黎曼一芬斯勒几何) 。f i n s l e r 几何从此得以命名。 1 9 2 5 年，s y n g e t a l o r 和b e r w a l d 几乎同时运用张量演算的方法得到了度量的 基本张量，从测地线的微分方程得到了联络系数。对芬斯勒几何真正作出重要贡 献的第一位数学家应该是l b e r w a l d ，他是第一个在芬斯勒空间中引入联络并将黎 曼几何中的黎曼曲率推广到芬斯勒几何中的数学家。其中b e r w a l d 联络满足无挠条 件但并不与度量相容。 1 9 3 4 年，e c a r t a n 发表了关于芬斯勒几何的著名论文，详细介绍了他的确定 芬斯勒空间联络c a r t a i l 联络的公理系统。c a f t a n 引入了线性元空间( 即射影化 切丛p t m ) 概念，将他的欧氏联络理论推广到了芬斯勒空间。c a r t a n 联络不满足无 挠条件，但与芬斯勒度量是相容的。c a r t a n 联络与b e r w a l d 联络及其相应的各类曲 率张量对后来的芬斯勒几何产生了重要的影响，并促进了芬斯勒几何在物理学、 生物( 态) 学等领域中的应用研究。 1 9 4 8 年，著名数学家陈省身先生引进了c h e r n 联络，这更加引导着芬斯勒几 何向着更广的方向发展。特别是从上世纪九十年代以来，在他的大力倡导和鼓励 下，f i n s l e r 几何的研究进入了新的发展阶段，国内外许多几何学家都投入到了芬 斯勒几何的研究中，如：z s h e n ，d b a o ，程新跃等。 1 1 2 芬斯勒几何中的若干重要进展及发展现状 芬斯勒几何中的旗曲率是黎曼几何中截面曲率的自然推广。给定流形m 上的 一个芬斯勒度量f ，旗曲率是切平面p 和p 中方向y 的函数k = 置( p ，y ) 。如果旗曲 率只是切丛t m o 上的标量函数k = k ( x ，y ) ，我们称，具有标量旗曲率( s c a l a r f l a g c u r v a t u r e ) 。若k = 常数，则称f 具有常数旗曲率。芬斯勒几何中的一个重要问题是 研究和刻画具有标量( 常数) 旗曲率的芬斯勒度量，这也是芬斯勒几何学家十分关注 的热点问题。芬斯勒几何中的另一重要问题研究和刻画射影平坦芬斯勒度量，这 是正则情形下的h i l b e r t 第四问题。一个重要的基本事实是：射影平坦芬斯勒度量 必然具有标量旗曲率。在黎曼几何情形下，b e l t r a m i 证明了一个黎曼度量是射影平 坦的充分必要条件是它具有常曲率。然而，可以找到许多具有标量旗曲率的芬斯 勒度量，他们是非射影平坦的。人们也已找到了许多具有标量旗曲率的芬斯勒度 量，他们的旗曲率不是常数。这表明刻画和分类具有标量( 常数) 旗曲率的芬斯勒度 量的工作远比黎曼几何情形复杂，其内容也比黎曼几何情形要丰富得多。由于芬 斯勒几何中相对复杂的计算，刻画具有标量旗曲率的芬斯勒度量的工作还远未彻 底完成，很多具有标量旗曲率的芬斯勒度量的分类工作还没有做。即使对具有常 数旗曲率的芬斯勒度量，人们也远未完成其分类的工作。因此，研究和刻画具有 标量旗曲率的芬斯勒度量的性质和结构仍然是芬斯勒几何发展中的一个重点。这 也一直是芬斯勒几何学家们研究的热点。 2 重庆大学硕十学位论文 1 绪论 在芬斯勒几何中除存在黎曼几何量，还存在若干重要的几何量( 如( 平均) c a r t a n 张量、s 曲率、( 平均) l a n d s b e r g 曲率、( 平均) b e r w a l d 曲率等) ，它们在黎曼空间中 是等于零的，因而被称为非黎曼几何量。我们说，黎曼几何量( 如旗曲率，m c c i 曲率等) 刻画空间的形状，而非黎曼几何量则描述空间的“色彩”。已有研究表明： 芬斯勒度量的旗曲率与非黎曼几何量有密切联系。比如：s 曲率是f i n s l e r 几何中一 个非常重要的非黎曼几何量，它是由著名的美籍华人数学家沈忠民教授在文献 8 】 中把b i s h o p 比较定理推广到f i n s l c r 几何中时首次引进的，又可以称为d i s t o r t i o n 的平均协变导数。s 曲率反映了f i n s l e r 度量的d i s t o r t i o n 沿测地线的变化率，而f 是黎曼度量当且仅当它的d i s t o r t i o n 等于0 ，即r ( y ) = 0 ，此时非黎曼几何量s 一曲率 为零。近来许多几何学家在s 曲率研究方面给予了很大的关注。2 0 0 3 年，程新跃， 莫小欢和沈忠民得到下面重要结果： 定理a 1 3 ”令( 肘，f ) 是n 维具有标量曲率且旗曲率k - k ( x ，y ) 的芬斯勒流形， 假设该流形具有几乎迷向的s 一曲率，即 s = ( 珂+ 1 ) c f + 玎 ， 其中c = c ( x ) 和r l = r l ( 功y 分别为流形肘上的数量函数和闭的1 一形式。那么存在 f 上的数量函数c r = o ( x ) 使得旗曲率有如下表达形式： 置：3 丛+ 。 f 这一定理就说明非黎曼几何量s 曲率与标量旗曲率有密切关系，说明s 曲率在 f i n s l e r 几何研究中起重要作用。因此，在研究具有标量( 常数) 曲率的芬斯勒度量的 结构和性质的时候，人们自然地要考虑度量所满足的某种非黎曼曲率( 几何量) 性 质。沈忠民、程新跃等人在这一领域的研究中得到了一系列重要结果：刻画了具 有标量旗曲率且具有迷向s 一曲率的芬斯勒度量的旗曲率，并首先完成了对局部射 影平坦且具有迷向s 曲率的r a n d e r s 度量的分类【5 】；更一般地，运用z e m e l o 导航 术思想，完成了对具有标量旗曲率且具有迷向s 一曲率的r a n d e r s 度量的分类【12 】； 进而又完成了对局部射影平坦且具有迷向s 一曲率的芬斯勒度量的分类【9 1 。最近， 程新跃和沈忠民考虑了定义在，1 维流形吖上的( 口，) 度量的s 曲率， 并得到了 s 曲率的表达式【4 】。人们也对具有其它非黎曼曲率性质的芬斯勒度量做了大量研 究，得到了一系列富有意义的成果 5 】f 6 】【1 4 】。这一方向的研究对深入研究具有标量旗 曲率的芬斯勒度量的结构和性质有重要意义。 1 2 本文的研究内容 本文着重基于芬斯勒几何的上述发展现状，深入研究了两类重要的芬斯勒度 量一f ：呼( m 为实数且m o _ l ，一扣f 妒+ z 譬丢多它假 重庆大学硕七学位论文 1 绪论 特殊的有重要代表性的位，历度量。我们讨论了这两类度量具有迷向s 一曲率的条 件。 另外本文还考虑了芬斯勒几何中另一类重要的芬斯勒度量射影平坦芬斯 勒度量。借助射影联络1 2 7 1 的概念，表达出了芬斯勒度量的黎曼曲率盯，进一步 得到当芬斯勒度量为射影平坦芬斯勒度量时，由射影联络表达的黎曼曲率埘的 情况；并且由w e y l 曲率的表达式知，当黎曼曲率n 埘= 0 时，射影不变量w e y l 曲率w 埘= 0 。 1 3 本文主要结果 本文研究了两个方面的问题。第一方面的问题涉及两类重要的 ，历一度量，主 要结果有： 定理3 1 令，：i 竺二孕= ( 研为实数且坍0 ，一l ，一三) 是。维流形m 上的芬斯 口胛 勒度量。那么f 是弱- b e r w a l d 度量的充要条件为口是关于口长度恒定的k i l l i n g l 一形 式，即r o o = 0 ，j o = 0 。 定理3 2 令f ：雌( m 为实数且m 0 ，一1 ，一三) 是。维流形肘上的芬斯 勒度量。则下面条件等价： ( i ) f 具有迷向s 曲率，即s = ( n + 1 ) c f ； ( i i ) f 具有迷向平均b e r w a l d 曲率，即e ：生1 2c f 一， ； 2 ( i i i ) 是关于a 长度恒定的k i l l i n g l 一形式，即白= 0 ，s ，= 0 ： ( i v ) s = 0 ； ( v ) f 是弱b e r w a l d 度量，即e = 0 ， 其中c = c ( x 1 是流形m 上的数量函数。 本文还考虑了特殊( ) 度量f ：口+ 妒+ 2 壁一；乓4 ，用类似的方法得到 “j j 魂3 3 令f ：口+ 够+ 2 丝一；乓4 是n 一维流形膨上的芬斯勒度量，则下 aj 口 面条件等价： ( i ) f 具有迷向s 一曲率，即s = 伽+ 1 ) c f ； ( i i ) f 具有迷向平均b e r w a l d 曲率，即：竺! ! c f 一- h ； 2 ( i i i ) 声是关于口长度恒定的k i l l i n g l 一形式，即= o ，毋= 0 ； ( i v ) s = 0 ； ( v ) f 是弱，b e r w a l d 度量，即e = 0 ， 其中c = “x ) 是流形m 上的数量函数。 第二方面的问题重点考虑了射影平坦芬斯勒度量，主要结果有： 定理4 1 若芬斯勒度量f 为射影平坦芬斯勒度量，则由射影联络表达的黎曼 4 重庆大学硕士学位论文1 绪论 曲率表达式为： n i j “= ；( ( f 。，一矗。) 6 ，一( r 一r ) 占。t + ( f 。一r 。) 占) ， 其中“”表示关于y 的垂直协变导数。 定理4 2 当由射影联络表达的黎曼曲率n ，材= 0 时，射影不变m e y l 曲率 形4 m = 0 。此时，芬斯勒度量具有标量旗曲率。 5 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 2 预备知识 2 1 芬斯勒几何中的有关定义 首先，介绍芬斯勒( f i n s l 神度量。 定义2 1 1 令膨是一个光滑的流形，t m 为肘的切丛，函数 f = 舷力：卫价 。 寸r 称为流形m 上的芬斯勒度量，如果它满足下列性质： ( a ) f ( x , y ) 在t m 0 ) 上是光滑的； ( b ) 对任意的力肼，都有舷力o ，f ( x ，y ) = 0 当且仅当y = 0 ； ( c ) f 关于y 是一阶正齐次的，即v ，y ) 肼 o ，a o ，都有 f ( x 。a y ) = a f ( x , y ) ； ( d ) 对任意的x 肘，任意的y 6 t m o ，肘上的双线性对称的函数g ，是一个 内积，其中g 。定义如下： g y ( “，v ) ：= 去 a 2 i f 2 ( y + s “+ f v ) 】i ，。o o s o t 此时，( 肘，) 称为f i n s l e r 流形。 对任意y l m o ，定义 岛( j ，) ，) ：= 扣，2 】，一 则 g y ( u ，v ) = g o ( x , y ) u 。，f 2 ( 五力= 罟j ( 五j 砂j ，。 假设c ( f ) 为( m ，) 的一条参数曲线，若它满足测地线方程 孕d t ( f ) + 2 g ) ，李d t ) = o ， - 其中 g 。2 去9 4 【，2 b y 一旷2 】， ， 则称c ( f ) 为流形( m ，) 测地线，g 为芬斯勒度量f = f ( x ，y ) 的测地系数，其中 g “= ( 岛) 。 定义芬斯勒度量f 诱导的s p r a y g - y 嘉。2 ( 五y ) 砉， 这个向量场是整体定义在切丛t m 上，从f 的齐次性我们有 g ( 砂) = 2 2 g 1 ( x ，) ，) ， 卫 0 。 称g 为f 诱导的一个s p r a y 。 6 重庆大学硕十学位论文2 预备知识 其次，介绍r i e m a n n 几何量。 定义黎曼曲率 r ，( “) _ r i k “暑i ， o x 其中 rr f 2 箕叫婴+ 2 g ，些一型箕 融i a x i a v |如j a v ka v ia v i 令 ；t 等等，踟：= ；t 券等， 亿- ， 则 r 材( 五y ) - y j r 州( 工，y ) ，r t ( 工，y ) _ y t r 盯( 工，y ) r i c c i 曲率r i c ( y ) = ( n - 1 ) r ( y ) 是r ，( “) ：= r i k “鲁l ，的迹，定义为 “ r ( y ) # r “。( y ) 对任一切平面p = s p a n y ，“) c l m ，定义旗( n a 曲曲率为 足( p y ) = r n ( x ，y ) “ 瓦面i 孑i 丽i x 而两1 llk 易见，旗曲率( f l a g c u n ，狐鹏) k ( p ，y ) 是与“l m 、 o ) 无关的。 定义2 1 2 对n 维流形肼上的芬斯勒度量f ， i ) 若k ( p ，y ) = 足y ) 是定义在1 3 1 0 上的标量函数，则称f 具有标量 旗( f l a g ) 率： i i ) 若k ( p , y ) = k ( x ) 是流形m 上的数量函数，则称f 具有迷向旗( f l a g ) 率： i i i ) 若足( p j ，) = 常数，那么称f 具有常曲率。 根据上面定义，可知芬斯勒度量，具有标量旗曲率且k = k ( x , y 1 当且仅当 r ，扣) = k g ，o ，y ) u g ，( y ，u ) y ) ， 这等价于 r = i f 2 h k 其中h i l 为角度量张量系数且 ：= j 。一f 2 乳y q y 。 定义w e y l 曲率张量为 髟2 叭d x 。专| ，t p m - - - t r m ， 其中 w ，。：a 一。一上坠v ， 7 重庆大学硕十学位论文2 预备知识 a t2 r i r j i ， r ( y ) ；忑i1 只“m ( y )n 一 令 矿硝础。一焘+ ) ，7 r n + 占卅，如一) ，月 一8 t k r l 洲2 2 ) 用y 7 ，y t 缩并上式可得 矿t = r t r 8 7 i + r k y ，( 2 3 ) 其中 铲嘉嘉( 肌埘”也g y k = - r 最后，介绍几个重要的非r i e r n a n n 几何量。 设m 是一个n 维芬斯勒流形，对任一非零向量y l m ，定义c a r t a n 挠率为 q = c 社) ) 出o d x 7o 出i ，：肘0 0 m 0 m 寸r 其中 讪= i 1 薪k 办 当c a f t a n 挠率为零时，芬斯勒度量即为黎曼度量。 定义平均c a r t a n 挠率为 i y = ，f ( ，y ) d x l ，：0 m _ r 其中 驴；川确办v = 嘉 1 n 厣砑】 定义b e r w a l d 曲率为 b y2 彤出7 。出。出7 。昙o t p m 。t p m 固t p m - t p m 其中 声；南y ) ( 2 4 ) 若b = 0 ，则称芬斯勒度量f 为b e r w a l d 度量。 进一步，定义平均b e r w a l d 曲率张量 e y = e q t x , y ) d x l 固d x i 其中 易_ b 7 步( x ，y ) ( 2 5 ) 若e = 0 ，则称芬斯勒度量f 为弱b e r w a l d 度量。 定义l a n d s b e r g 曲率为 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 其中 l y = l # d x lo d x jo d x p ：l mo t p m 园t p m tp m l f k ( x , y ) = 一j 1y ”g 一( z ，y ) 曰7 耻( x ，y ) = j iy ”g 一( x , y ) 翥( x , y ) 若l = 0 ，则称芬斯勒度量f 为l a n d s b e r g 度量。 定义平均l a n d s b e r g 曲率为 j y = j , d x i p ：l m _ r 其中 j i = g j k l m 定义射影不变量d o u g l a s 曲率： d y2 d 彤。d x 固d x 7 。专k r m 。村t p m - - _ t p m 其中 胆= 裘， 勿砂砂 且 r l ，：g ，一l _ o g m 一 ( 2 6 ) n + 10 y ” 若d = 0 ，则称芬斯勒度量f 为d o u g l a s 度量。 这样根据上面d o u g l a s 曲率定义，并由( 2 4 ) 式与( 2 5 ) 式，可得d o u g l a s 曲率有 如下表达式： 蛳圳州一斋 e i , 6 i t + e j , 以+ e l a s i j + 等 ( 2 7 ) 对于y r m ，定义流形( m ，f ) 的畸变( d i s t o r t i o n ) f ( y ) ：= i n 4 d e t g o ( x , y ) a a x ) ， 其中 盯产 型堕：! 。 r o q ( y 。) r ”j ，0 1 b 1 ) o 。s - 曲率刻画了畸变沿测地线的变化率。 在局部坐标系( ( ，一) 中s 曲率的表达式为： 9 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 s ：y 霉一2 堡g 出。 砂 = 等y 。- 2 9 “g i _ y “嘉( i n o f ( 砌 = 等y h “嘉( 1 i l 州砒 ( 2 8 ) 根据( 2 5 ) ( 2 8 ) 可得到下面关系式： 驴知c 圳= j 1 南 等卜， ， 从( 2 9 ) 式可得，当s = 0 时，有e = 0 。 定义2 1 3 给定流形m 上的芬斯勒度量f ， i ) 若e ：芝! c f 4 h ，则称f 具有迷向平均b e r w a l d 曲率； i i ) 若s = o + 1 ) c f ，则称f 具有迷向s 一曲率； i i i ) 若s = o + 1 ) c ，+ ，7 ，叩是肘上的闭的1 形式，则称f 具有殆迷向s - 曲率； i v ) 若s = o + 1 ) o f + ，7 ，r l 是m 上的1 形式，则称f 具有弱迷向s 曲率， 其中c = c ( 工) 是定义在m 上的数量函数，h 为m 上的角度量张量，h - ，d x 出7 ， h o = e 叫。 下面介绍芬斯勒射影几何中的有关概念。 射影几何中的个重要问题就是研究流形m 上的两个芬斯勒度量空间中的测 地线( 作为点集) 的对应情况。 定义2 1 4 对定义在流形m 上的芬斯勒度量f 和f ，c ( t ) 是f 中的一条测 地线，那么存在合适的参数曲线t = t ( s ) ，使得c ( s ) ：= c ( f o ) ) 是f 中的一条测地 线。这样就称芬斯勒度量f 和，射影等价。 也可以通过芬斯勒度量所诱导的s p r a y 来刻划射影等价的两个f i n s l e r 度量的 关系。 对于两个f i n s l e r 度量的测地系数间的关系我们有以下引理： 引理a 们- g r f ：f , i f 分别是流形膨上的两个f i n s l e r 度量，g - 和孕分别表示 它们的测地系数，它们的测地系数满足如下关系 g = g + p y + q 其中 p ：! 芷 2 f q = ，g “ f 。一f 并且 1 0 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 f ；k = f x t n f 。i ，f k = f 。i ， ，。表示，关于f 的水平协变导数，只= ( 一。) ，霄：= 等为f 的联络系数。 假设f 和f 是射影等价，取任意的y 碱，令删为f 的满足删= 五删= y 的 测地线。则有变换f = t ( t ) ，满足i ( 0 ) = o 且f ( 0 ) = 1 ，使得厅( - ) - 盯( f ) 是户的测 地线，且满足页o ) = 五旁( 0 ) = y 那么根据测地线的定义可以得到 2 g ( 而y ) = 考( 0 ) = 一手( 0 ) 一i - 弋0 ) 岁( 0 ) = 2 否( 工，y ) 一t ”( o ) y 由上方程我们可以看到，令尸_ 一 f 弋o ) 仅依赖于( x ，y ) ，因此p = p ( x ，y ) 就是( 工，y ) 的函数，并且它关于y 是一阶齐次的，即 e ( x ，a y ) = 2 p ( x ，y ) ，a 0 我们可以得到射影相关的f i n s l e r 度量f 和户的测地系数满足以下恒等式： g 1 ( x ，y ) = g ( 工，_ ) ，) + p ( x ，y ) y 。 反之，如果f i n m e r 度量f 和f 的测地系数满足上述关系式，那么它们也是射 影等价的。 定理b 1 2 4 1 定义在流形m 上的芬斯勒度量，和f 射影等价的充要条件是， 满足 f “y 一e = 0 定义2 1 5 定义在开集u c r ”上的芬斯勒度量f = f ( x , y ) 称为射影平坦芬 斯勒度量若满足u 中测地线都是直线；定义在流形m 上的芬斯勒度量f 称为局部 射影平坦芬斯勒度量若对任意一点的局部邻域都是射影平坦。 由定理b ，c l h a m e l 得到： 定理c t 2 4 i 定义在ucr 一上的芬斯勒度量是射影平坦的充要条件为f 满足 f x k y t y k f = 0 ， 此时芬斯勒度量的测地系数 g = p ( x , y ) y 且射影因子尸：冬满足尸( x ，a y ) = 2 p ( x , y ) 。 令 胪扩焘g j k y 为芬斯勒流形的射影联络系数，其中g 。为b e r w a l d 联络系数。 通过射影联络f 的黎曼曲率定义为 n 1 瑚= 6 k p | t + p u p i 嚏一6 l p | 准一p 律p 。d ， 其中 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 一洲“= 等一警， 这样，通过射影联络定义的黎曼曲率与通过b c r w a l d 的联络定义的黎曼曲率的关系 式为 埘2r i 脚一考y 易；t 一，) ( 2 1 0 ) 由黎曼曲率埘表达的w e y l 曲率张量的表达式为 矽= 膨+ i b ， 心一心) + 而1 d ，( ，峨+ ) 一j ( 坩+ ) ( 2 1 1 ) 且w e y l 曲率张量为射影不变量，用y ，y l 缩并上式也可得与( 2 3 ) 式同样的结果。 关于局部射影平坦芬斯勒度量的标量曲率，还有下面重要结果： 性质2 1 1 1 6 1 局部射影平坦芬斯勒度量具有数量曲率且表达式为： p 2 一只。y k= _ = l 一 ， 其中p ；p ( x ，y ) 为射影因子且满足尸( 葺五y ) ：2 p ( x , y ) 。 2 2 芬斯勒几何中的一类重要的度量( a ，) 一度量 2 2 1 ( a ，) 度量 ( 以) 一度量其表达式为f = a 庐( j ) ，j = 口，其中口= a i j ( x ) y y 7 为黎曼度 量，= 6 ；( 工) ，为非零l 一形式，= p ( s ) 是一个定义在开区间( - t o ，6 b ) 的函数且满 足 妒( o ) = 1 ，妒( s ) 0 ，妒( s ) 一j 庐( j ) + ( 6 2 一，) ( s ) o , l s l b 2 ) 是 局部射影平坦芬斯勒度量的充要条件。 4 2 定理的证明 本部分考虑了射影平坦芬斯勒度量，通过射影不变量引入了射影联络的概念， 并利用了两个重要的射影不变量d o u g l a s 曲率和w e y l 曲率，从而考虑了通过射影 联络表示的黎曼曲率表达式的情况，得到下面结果： 定理4 1 若芬斯勒度量f 为射影平坦芬斯勒度量时，由射影联络表达的黎曼曲 率表达式为： n 脚= ( f 一r ，) 占，一( f 一r ) 占。 + ( f “一f ) 6 ，) 下面给出此定理的证明。 假设芬斯勒度量f 射影平坦，根据定理h ，有d 一心= 0 且矿= 0 ，所以根据( 2 7 ) 式，就有 b l j u = 熹峨乳峨k + 印i + 等y l 、 1 重庆大学硕士学位论文4 射影平坦芬斯勒度量 由( 2 1 1 ) 式得 埘= 一i b j ， 以一。) 一i i j ，( ，讲且+ 目) 一6 t ( 州f + p ) 通过( 2 1 ) 就可得 r 。“= ； r i j i k - - r 。占i t + f k j i i - - 1 j t + ( f “一f 。) y r 州= ； ( f 一胄。，6 l - ( r t j - r t j ) 6 t + ( r k i - r i d 6 ，+ ( f 。，一f ，) ) ，。 ( 4 2 ) 用j ，缩并础c c i 恒等式 就有 再利用恒等式 r l 潜_ = b i ；k b 1 i h 4 ， b 。肺f ；k y = 月埘。y = ( 震m y ) m r 州 l k t m y = 一胄，_ 一f ，m f ， 与 r ，_ 4 + f jj m ，y = 一( f ，m + f ，+ t m 1 j ) ， 就有 b i 腓y = 1 叫y k 6 1 m + 。y t 6 i l ，。y k 戳“r j m , i + f k j m 1 y k ) y 1 、 再f h ( 2 5 ) ，可得 e 黼y k = n f + l l y t 对( 4 1 ) 式两边同时求协变导数并用y ”缩并就有 r m y m = 磊2 t b 舢。y m 乳+ e i l ；m y m 乳+ e h ；m y m 戳+ 。y ”y 、 再由恒等式 e v 哺一e v l = e 日b p a d + e , p b p 辩 从上式可有 产，；。y ”= f 皿m ，”= 【e ：k ；m y ”】，一e j k ； 将( 4 3 ) 代入( 4 4 ) ，就有 e ，m = 等。y h 卜 进而就有 = 孚 * ：1 j k - - ，) 这样根据( 2 1 0 ) 式，就得到 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 声= ；魄) 蹦一( r 1 j - - 凡t 巾。1 小 q e d 重庆大学硕士学位论文4 射影平坦芬斯勒度最 定理4 2 当由射影联络表达的黎曼曲率= 0 ，那么射影不变量w e y l ! 曲率 w = 0 。 对于定理4 2 由于当n 。州= 0 时，有m = 0 ，所以由( 2 1 1 ) 式 矿用2 埘+ 者j 。， 心一心) + i - ( n n j k + ) 一万t ( n n j r + ) 就可知该性质是成立的。 重庆大学硕七学位论文 5 工作中的问题及展望 5 工作中的问题及展望 在第4 章我们曾提到，1 9 2 7 年，j d o u g l a s 得到 定理h 1 2 捌n 维流形上的芬斯勒度量f 伪 2 ) 是局部射影平坦的充要条件是 f 的d o u g l a s 曲率和w e y l 曲率都为0 。 基于上述定理h ，我们提出以下的问题： 维流形上的芬斯勒度量f 关于射影联络的黎曼曲率r 。= 0 能否为芬斯勒度 量f 是局部射影平坦的充要条件? 在本文中，我们对上述问题作了部分的答复，在未来的工作中，我们期望能对 它们也做一个圆满的回答。 重庆大学硕士学位论文致谢 致谢 不知不觉三年的研究生生涯就快结束了，回顾在重庆大学近三年的生活，当 然不只重大，还有重庆工学院、西南师范大学，都留下了学习求知和生活的足迹。 想想三年紧张忙碌的日子，心中感慨万千，一路上，在老师和朋友的关心帮助下， 使我在这里度过的每一个日子丰富多彩而又充实。在这里，请让我向你们表示由 衷的谢意! 首先我要感谢我的导师程新跃教授! 能够成为程老师您的学生是我终生的幸 运，程老师您深厚的理论功底、精湛的教学艺术、丰富的实践经验、尤其是严谨 的工作和治学态度和循循善诱的教育方法和对科学的追求、强烈的事业心和责任 感使我受益非浅，无时无刻不在激励着我奋斗，在您的鼓励和指导帮助下，我才 得以顺利的完成毕业论文。您对我学业上的严格要求和生活上慈母般的关心我将 铭记在心。在此我要向您表示最忠心的感谢和深深的敬意! 我将用优秀的工作成 绩回报导师辛勤的培养与热切的期望。 感谢院系领导在我学习期间给予的关怀和支持；感谢顾永兴老师，黄小军老 师，段曦盛老师等对我学习上的帮助；感谢孙建凯、李梁、李明、崔宁伟，还有 各位师弟鲁从银、王辉、王铭锋、薛善增、么克刚等学友在生活学习中给予的无 私帮助! 在此，向所有关心和帮助过我的领导、老师、同学和朋友表示由衷的谢意! 最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授! 相舂垛 二0 0 七年四月于重庆大学 重庆大学硕十学位论文 参考文献 参考文献 1 el a n t o n e l l ia n di lm i r o n ，l a g r a n g ea n df i n s l c rg e o m e t r y a p p l i c a t i o n st op h y s i c sa n d b i o l o g y m k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ，f r p hn o 7 6 。1 9 9 6 【2 】vb a l a na n dp c s t a v r i n o s ，f i n s l e r i a n 位，卢) - m e t r i c si nw e a kg r a v i t a t i o n a lm o d e l m ，i n ”f i n s l c ra n dl a g r a n g eg e o m e t r i e s ”e d i t e db ym a n a s t a s i e ia n dp l a n t o n e l l i k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ，2 0 0 3 【3 】3 s b d c s 6a n dr y o s h i k a w a ，w e a l d y - b e r w a l ds p a c e s j p u b l m a m d e b r e c e n ，2 0 0 2 。 2 1 9 - 2 3 1 【4 】x c h e n ga n dz s h e n ，ac l a s so ff i n s l e rm e r i t sw i t hi s o t r o p i cs - c u r v a t u r e j s u b m i t t e dt o l s r a e lj o u r n a lo f m a t h e n a a t i c s 5 】x c h e n ga n dz s h e n , r a n d e r sm e t r i c sw i t hs p e c i a lc u r v a t u r ep r o p e r t i e s j o s a k aj o f m a t h ，2 0 0 3 ，8 7 - 1 0 1 6 】 s s c h e r na n dz s h e l l ，r i e m a n n - f i n s l e rg e o m e t r y m w o r l ds c i e n t i f i c 2 0 0 5 7 】x c h e n g ，o nt h ef l a gc u r v a t u r ea n ds - c u r v a t u r ei nf i n s l e rg c o m c u y , p r o c e e d i n g so ft h e i n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c e i n t e g r a lg e o m e t r ya n dc o n v e x i t y ，e d i t e db ye l g r i n b e r ge t c s w o r l ds c i e n t i f i c ，2 0 0 6 8 】x c h e n ga n ds b d c s 6 ，f i n s l e rc o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h ec u r v a t u r ei n v a r i a n t s p u b l m a t h d e b r e c e n ，7 0 1 - 2 ( 2 0 0 7 ) ，2 2 1 - 2 3 1 【9 】x c h e n ga n dz s h e n ，p r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i c sw i t ha l m o s ti s o t r o p i cs - c u r v a t