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模糊矩阵幂序列的收敛性 焦烨 y6 1 8 0 9 8 摘要本文研究的主要内容是模糊矩阵幂序列的收敛性，这部分内容是模糊 控制理论界较为关注的问题因为模糊控制的对象是模糊系统，而对一个模糊系 统进行模糊控制的主要目的是使其达到预期的效果，其中一个重要的方面是使系 统在有限的时间内达到稳定状态。而模糊系统是用一个与输入、输出及控制项有 关的模糊关系矩阵来描述的所以，研究模糊系统的稳定性关键之一在于研究模 糊关系矩阵的幂序列的收敛性。 本文共分三章，分别从不同方面对模糊矩阵幂序列的收敛性进行了研究，即， 对于不同的t 一模，研究了模糊矩阵幂序列基于m a z t 模复合意义下的收敛性 第一章是预备知识，介绍了有关模糊矩阵、三角模、模糊矩阵间的运算、模 糊矩阵幂序列的收敛与振荡、模糊矩阵幂序列的图论表示等概念。 第二章主要讨论了模糊矩阵在m o 。一p r o d u c t 复合意义下的收敛性及其收敛 性的分类情况。且主要得出以下两个结论： ( 1 ) 在m z z p r o d u c t 复合意义下，任意n 阶模糊矩阵a = ( o 玎) 。只有有限 收敛、无限收敛、有限振荡、无限振荡这四种情况 ( 2 ) 任意n 阶模糊矩阵a = ( n i j ) 。在m a x p r o d u c t 复合意义下的收敛情况 共分为以下七种情形： ( i ) 且。= a 1 ； ( i i ) a = a 2 ； ( 捌) a + = a 3 ； 【如) a = a 1 t 3 a 2 ( a i 口，i = 1 ，2 ) ； ( ) a = a 1 t _ j a 3 ( a 0 ，i = 1 ，3 ) ； ( 倒) a 。= a 1u a 2u a 3 ( a i 0 ，i = l ，2 ，3 ) ； ( w “) a = a 1 u a 2 u a 3 u a 4 ( a i o ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 。 在第三章中，首先，应用p r o d u c t 与z e r ot 一模的相似性：ntd n ( 0 n 1 ) ，其中t 为p r o d u c t 或z e r ot 一模，讨论了模糊矩阵在m a x z e r ot 一模 ( 以下简记为m n z t o ) 复合意义下的收敛性。然后，以一个特殊的z e r ot 一模为 例：l u k a s i e w i c z 一模，讨论了模糊矩阵在1 7 z a t l u k a s i e w i c zt 一模( 以下简记 为r l z a x l u ) 复合意义下的收敛性虽然月。不是z e r ot 一模，但其具有优良的 性质，因此，本章也讨论了模糊矩阵在m a z r o 复合意义下的收敛性。最后总结 了基于m a x r a i n 、m o z n o ，m 口z l u 、m d z p r o d u c t 这四种复合意义下的 模糊矩阵的收敛性的关系。本章主要得出以下结论： ( 1 ) 在m a x t o 复合意义下，任意n 阶模糊矩阵a = ( a | f j ) n 。只有有限收敛、 无限收敛、有限振荡、无限振荡这四种情况 ( 2 ) 在m o 。一三u 复合意义下，任意n 阶模糊矩阵a = ( ) 。只有有限收敛、 有限振荡这两种情况。 ( 3 ) 在m 。z 一复合意义下，任意n 阶模糊矩阵a = ( n 玎) 。只有有限收敛、 有限振荡这两种情况。 ( 4 ) 任意 阶模糊短阵a = ( 8 玎) 。基于m a 。一r a i n 复合意义下收敛： 基于m a x r o 复合意义下收敛= 基于m o z l u 复合意义下收敛 寸基于 m a x p r o d u c t 复合意义下收敛。 关键词：模糊系统模糊控制模糊矩阵三角模收敛振荡 i i c o n v e r g e n c e o ft h ep o w e rs e q u e n c eo faf u z z ym a t r i x j i a oy e a b s t r a c ti nt h i sa r t i c l e mm a i n l ys t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h ep o w e r so fa f u z z y m a t r i x ，t ow h i c hm u c ha t t e n t i o ni sp a i db ym a n ys c h o l a r si nt h ef i e l do ft h et h e o r yo n f u z z yc o n t r 0 1 t h eo b j e c to ff u z z yc o n t r o li sf u z z ys y s t e m ，a n do n eo ft h em a i np u r p o s e s t oc o n t r o lap l a n ti st om a k ei tp e r f e c ta sm u c ha sw ew a n t i ti si m p o r t a n tt om a k et h e s y s t e mt oa t t a i nt h es t e a d ys t a t ei nf i n i t et i m e w h i l eaf u z z ys y s t e mi sd e s c r i b e db ya f u z z yr e l a t i o n a lm a t r i xc o r r e s p o n d i n gt ot h ef u z z yi n p u t ，t h ef u z z yo u t p u ta n dt h ef u z z y c o n t r o l l e r s o ，t os t u d yt h ec o n v e r g e n c eo fp o w e r so faf u z z ym a t r i xi so n eo fk e y st os t u d y t h es t a b i l i t yo fa f u z z ys y s t e m w ed i v i d et h ea r t i c l ei n t ot h r e ec h a p t e r s ，a n ds t u d yt h ec o n v e r g e n c eo f p o w e r so fa f u z z ym a t r i xf r o md i f f e r e n ta s p e c t s ，i e ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo fp o w e r so faf u z z y m a t r i xu n d e rt h em a x - t n o r mc o m p o s i t i o nf o rd i f f e r e n tt - n o r m s t h ef i r s t c h a p t e ri sp r e l i m i n a r l i e s ，i nw h i c hs o m ed e f i n i t i o n s ，s u c ha sf u z z ym a t r i x ， t r i a n g u l a rn o r m ，f u z z yo p e r a t i o n s - o nf u z z ym a t r i x ，c o n v e r g e n c ea n do s c i l l a t i o no f p o w e r so f af u z z ym a t r i x ，g r a p h t h e o r yo fp o w e r so faf u z z ym a t r i xa n ds oo n ，h a v eb e e ni n t r o d u c t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，c o n v e r g e n c eo ft h ep o w e r s e q u e n c eo fa nn xn f u z z ym a t r i x u n d e rt h e m a x - p r o d u c tc o m p o s i t i o nh a sb e e ns t u d i e d ，a n dt h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r ep r o v e d ( 1 ) t h ep o w e r so fa nn xnf u z z ym a t r i xu n d e rt h em a x - p r o d u c tc o m p o s i t i o ne i t h e r c o n v e r g et oa ni d e m p o t e n tf u z z ym a t r i xw i t haf i n i t eo ri n f i n i t ei n d e x ，o ro s c i l l a t ew i t ha f i n i t eo ri n f i n i t ep e r i o d ； ( 2 ) t h e r ee x i s ts e v e nc a s e 8o nt h ec o n v e r g e n c eo fa n xnf u z z ym a t r i x ，s a ya ，u n d e r t h em a x p r o d u c tc o m p o s i t i o n ，i e ， ( 1 ) a + = a 1 ； r 2 ) a + = a 2 ； ( 3 ) a 。= a 3 ； ( 4 ) a = a 1 u a 2 ( a 口，i = 1 ，2 ) ； ( 5 ) a = a 1u a 3 ( a i 0 ，i = 1 ，3 ) ； ( 6 ) a 4 = a iu a s u a 3 ( a i d ，i = 1 ，2 ，3 0 ； ( 7 ) a 4 = a 1u a su a 3u a 4 ( a i 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ) i i i i nt h et h i r dc h a p t e r ，f i r s t l y , b e c a u s eo fo n eo ft h es a m ec h a r a c t e r so np r o d u c ta n d z e r ot - n o r m ，i e a t a a ( 0 a 1 ) ，w h e r eti sp r o d u c to rz e r ot - n o r m ，c o n v e r g e n c e o ft h ep o w e rs e q u e n c eo fa nnxn f u z z ym a t r i xu n d e rt h em a x - z e r ot - n o r m ( r e c o r d e di n b r i e fb ym a d 一t o ) c o m p o s i t i o nh a sb e e ns t u d i e d s i n c el u k a s i e w i c zt - n o r mi so n ek i n d o fz e r ot - n o r m ，c o n v e r g e n c eo ft h ep o w e rs e q u e n c eo fa nnxn f u z z ym a t r i xu n d e rt h e m a x - l u k a s i e w i c zt - n o r m ( r e c o r d e di nb r i e fb ym a x l u ) c o m p o s i t i o nh a sb e e ns t u d i e d ， t o o a l t h o u g h 凰i sn o taz e r ot - n o r m ，i tt a k e so ns o m eb e t t e rc h a r a c t e r s t h e r e f o r e ， c o n v e r g e n c eo ft h ep o w e rs e q u e n c e o fa nn x n f u z z ym a t r i xu n d e r t h em a x - 凰c o m p o s i t i o n h a sb e e ns t u d i e d i nt h ee n d ，w ec o m p a r ed e f f e r e n tr e s u l t so nc o n v e r g e n c eo fp o w e r so f a nn xn f u z z ym a t r i xu n d e rt h e s ef o u rc o m p o s i t i o n s ，r e s p e c t i v e l y ：m a x m i n 、m a x 一凰、 i n s - x - l u 、m a x p r o d u c t i nt h i sc h a p t e r ，t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r ep r o v e d ( 1 ) t h ep o w e r so f a nn xnf u z z ym a t r i xu n d e rt h em a x - t oc o m p o s i t i o ne i t h e rc o n v e r g e t oa ui d e m p o t e n tf u z z ym a t r i xw i t haf i n i t eo ri n f i n i t ei n d e x ，o ro s c i l l a t ew i t haf i n i t eo r i n f i n i t ep e r i o d ； f 2 ) t h ep o w e r so fa nn nf u z z ym a t r i xu n d e rt h em a x - l uc o m p o s i t i o ne i t h e rc o n v e r g e t oa ni d e m p o t e n tf u z z ym a t r i xw i t haf i n i t ei n d e x ，o ro s c i l l a t ew i t haf i n i t ep e r i o d ； f 3 ) t h ep o w e r s o fa nn n f u z z ym a t r i xu n d e rt h em a x - r 0q o m p o s i t i o ne i t h e rc o n v e r g e t oa ni d e m p o t e n tf u z z ym a t r i xw i t haf i n i t ei n d e x ，o ro s c i l l a t ew i t haf i n i t ep e r i o d ； ( 4 ) t h ep o w e r so fa nn xnf u z z ym a t r i x ，s a ya ，c o n v e r g eu n d e rt h em a x - m i nc o i n - p o s i t i o n = = 争c o n v e r g eu n d e rt h em a x r oc o m p o s i t i o n = jc o n v e r g eu n d e rt h em a x - l u c o m p o s i t i o n 车= c o n v e r g eu n d e rt h em a x - p r o d u c tc o m p o s i t i o n k e y w o r d sf u z z ys y s t e m l h l z z yc o n t r o lf u z z ym a t r i xt r i a n g u l a rn o r m c o n - v e r g e n to s c i l l a t o r y i v 日l j置 对一个系统进行控制的主要目的是使它达到预期的效果，其中一个重要的 方面是使系统在有限时间内达到稳定状态而模糊系统是用一个与输入、输出及 控制项有关的模糊关系矩阵来描述的所以，研究模糊系统的稳定性关键之一在 于研究横糊关系矩阵的幂序列的收敛性 因此，研究模糊矩阵的幂序列的收敛性是非常有意义的。而模糊矩阵之问的 运算除了并、交这两种普通运算。还有乘法运算。即按s t 复合的运算，其中 s 与t 是t 一模或。一模随s 与t 取s 一模或t 一模，模糊矩阵之间的复合有四 种tz 模一s 模复合、t 模一t 模复合、s 模一t 模复合、8 模一8 模复合而， f 一模和。一横又有许多种，因此，模糊矩阵之闻的复合是多秘多样的但文献( 1 0 | 指出5 与t 同时取s 一模或t 一模时，模糊矩阵的幂序列是单调的，所以，此时 模糊矩阵一定是收敛的因此，只需要讨论s 取s 一模，t 取t 一模及其对偶的情 形：s 取t 一模，r 取8 一模这两种情况丽又出文献嘲，我们知道这两种对偶 情形是等价的，因此我们只需研究s 取s 一模，t 取t 一模的情形。 矩阵间的运算不一定满足结合律，但是否满足结合律是研究模糊矩阵幂序列 是否收敛的一个必要的前提，因为当矩阵间的乘积运算不满足结合律时，有关幂 序列的性质( 特别是收敛性) 的讨论要相对困难的多文献 1 0 l 还提到，模糊矩阵间 的s t 复合意义下的乘积运算满足结合律的个充要条件是：s = ”。一，t = t 一 模( 或其对偶情形：疗= m m ，t = s 一横) 。而只要清楚了模糊矩阵在m n 。一t 模 复合意义下的收敛性，它的对偶情况r a i n s 模的情况自然就清楚了。所以，许 多学者主要就模糊矩阵在m o 。一t 模复合意义下的收敛性进行研究 自从文献f 3 5 】发表以来，就有许多学者致力于研究模糊集合的m a 。一r a i n 复 合。如m ，gt h o m a s o n 、h h a s h i m o t o ，hi m a i 、o k a h a r a 、mm i y a k o s h i 范周田、“j i a n 一2 饥z h ur 晰i n 9 、砒 耐d d 蕊町口非等，而且模糊矩阵在 m a z m i n 复合意义下的收敛性已经有了非常完善的结论 首先，有关对模糊矩阵幂序列讨论的文章届于m g t h 一z 他在文献 1 3 0 】中除了指出在m n z r a i n 复合意义下任意模糊矩阵要么有限收敛、要么有限振 荡之外还给出了有限收敛的充要条件m g t h n a s a n 还讨论了单增矩阵的收 敛指数，指出任意n 阶单增矩阵的收敛指数都小于n 实际上，m ，g t h a m a s o a 的结果中也有个别错误( 文献 2 修正了他的某些错误) ，他的文章最主要的意义 也许是指出了模糊矩阵收敛性这一主题在文献【5 1 中，范周田详细讨论了单增 矩阵，修正了m gt h o r n a s c z 的某些结果，给出了单增矩阵的一种梅造方法和n 阶单增矩阵的收敛指数恰好等于n 的充要条件 由于自反性、对称性和传递性是讨论二元关系时我们关心的基本性质，上述 几种矩阵最为常见也就很自然了。因此也有许多学者讨论了这些特殊矩阵的幂序 列的收敛性，如： 1 9 8 3 年，h h a s h i m o t o 在文献 1 3 】中证明了任意传递的n 阶模糊矩阵且， 都有a “= a “+ 1 ； 1 9 8 4 年，z h ur e l y i n g 在文献1 3 6 】中证明了任意对称的n 阶模糊矩阵a ，都 有a 2 “一2 = a 2 n ； 1 9 8 8 年，融k o l o d z i e j c z y k 在文献【2 0 中证明了任意强传递的n 阶模糊矩阵 a ，都有a 3 “一4 = a 3 “； 1 9 8 9 年，l ij i a n x i n 在文献【2 1 】中讨论了幂零矩阵。 这些作者当中，关于特殊类型模糊矩阵收敛的讨论，最为系统的结果是l ij i a n x i n 做出的他在文献【2 2 ，23 】中定义了一类称之为可控矩阵( c o n t r o l l a b l ef u z z m a t r i 。) 的模糊矩阵，讨论了模糊矩阵为可控矩阵的充分必要条件及其收敛性，指出了诸 如传递矩阵、强传递矩阵和对称矩阵等都是可控矩阵，但反之不一定 在此基础上，范周田在文献【1 1 】中定义了女阶主元占优的模糊矩阵a ( a 为n 阶模糊矩阵，1s n ) ，指出任意可控矩阵都是2 阶主元占优的，但反之不一 定。并讨论了阶主元占优的模糊矩阵的收敛性 然而，后来又有不少学者在他们的著作里提出，研究m n 。p r o d u c t 复合在某 些方面要比研究m n z m i n 复合更有意义如：有不少学者提出m z m i n 并不是 很理想的复合，且指出m o 一p r o d u c t 复合要优于、至少是等价于m z m i n 复合 【4 ，2 5 ，2 8 ，2 9 ，3 4 ，3 7 l ；后来，g u p t a 和g 在用t - 模进行研究之后也指出，m d 。一p r o d u c t 复合要比m a z m i n 复合反应更快【1 2 1 因此，讨论模糊矩阵在m a z p r o d u c t 复合意义下的收敛性是很有必要的文献 1 虽然在这方面做了不少工作，但它 存在着不少错误之处文献【3 ，2 6 ，2 7 】也在这方面傲了大量工作但是，在本文的 第二章里，主要从与文献1 3 , 2 6 ，2 7 】所研究的不同方面讨论了基于? t s a x p r o d u c t 复合的模糊矩阵幂序列的收敛性，且给出了比较完整的结论，如，本文指出基于 m 一p r o d u c t 复合的模糊矩阵幂序列只有有限收敛、无限收敛、有限振荡、无限 振荡这四种情况，并把它们总结为七类，同时修正了文献f 1 】中的错误。 由于p r o d u c t 与z e r ot 一模的相似性： dt o n ( 0 0 ，1 曼i ，j n ) 是a 的边集；有向边( i ，j ) 的权定义为u ( ( f j ) ) = a i j 。 今后，我们把a 和d t ( a ) 混同起来而不致于引起误解如果限于讨论特定 的t 一模t ，或在上下文中t 所表示的含义十分清楚，也可以把d r ( a ) 简记为 d ( a ) 。 定义1 2 2 设a = ( ) 。为n 阶模糊矩阵，t 为t 一模，如果对任意t ( o t 茎k ) 有a l 也+ 。 0 ，则称l ( i ，l l ，“_ 1 1 j ) 为d ( a ) 中从i 到j 的长度为k 的路径或通 路，简称为路，k 1 ，其中i = l o ，j = “，并且把l 的长度记为忙忆如果i = j ， 则称l ( i ，l l ，k _ 1 ，i ) 为d ( a ) 中通过顶点i 的长度为的回路 定义1 2 3 设a = ( a i j ) 。为n 阶模糊矩阵，t 为t 一模，如果对任意0 8 t k 都有f t ，则称l ( i ，1 1 ，“乩j ) 为d ( a ) 中从i 到j 的简单路或初级通路，否 则称为复杂路。如果对任意0 s t 兰一1 都有k c ，则称l ( i ，f 1 ，f k _ 1 i ) 为d ( a ) 中通过顶点i 的简单回路或初级回路，否则称为复杂回路。 显然，在n 阶模糊矩阵a 的有向图d ( a ) 中，任意简单路径的长度都小于或 等于n 一1 ，任意简单回路的长度都小于或等于”。 定义1 2 4 设 和j 是_ d t ( a ) 的任意两个顶点，由i 到j 的距离d ( i ，j ) 定义为i 到 6 j 的最短路径的长度，特别的 d ( i ，i ) = 0 ，v 1si n 若不存在i 到j 的路径，则约定 d ( i ，j ) = o 。 定义1 , 2 5 设a = ( n l f ) 。为n 阶模糊矩阵，t 为任意给定t 一模，称n l f 。t a t 。l 。t t 叫。，为路l ( i ，1 1 ，k “j ) 的容量，记为u ( 工( ，1 1 ，k 一1 ，j ) ) ，或简记为w ( l ) 。 如果两条不同的回路有相同的顶点，则称这两条回路相连或相关，同理，如 果一条路径与一条回路有相同的顶点，则称这条路径与这条回路相连或相关。 如果通路l l ( z o ，l l ，“1 ，“) 和回路l 2 ( a o ，o l l ，o o ) 相关，l = o t 为三1 和 岛的任意一个公共顶点，对任意的正整数p ，我们定义通路l l + 2 为t l l + p l 2 = l ( 1 0 ，f l ，一，k ，口t + l ，n o ，口1 ，一，口t ，f 。+ l ，- 一，k ) 、_ _ i _ _ _ _ _ _ - _ v _ 。- _ - _ - _ _ - 一 重复p 次 我们称五l + l 2 为工l 与工2 的和为使用方便，我们约定三l + l 2 = 三2 + l 1 设上1 与工2 为通( 回) 路，如果存在回路三3 与l 和二2 都相关，则称五l 和三2 回路相 关，此时对任意的正整数p ，通( 回) 路l l + p l a + l 2 也有类似上述的定义 命题1 2 1 f l l 】d t ( a ) 中由i 到j 的任意一条通( 回) 路工或为初级通( 回) 路或者 可以分解为一条由 到j 的初级通( 回) 路工1 与若干与工l 相连或回路相关的初 级回路之和。 上述命题的证明是显而易见的。 另外，我们约定a 及其幂序列的伴随图有相同的顶点集。在这一意义上 d t ( a ) 中的回路与d t ( a ) 中的回路之间有着内在的联系设l ( 1 0 ，f 1 ，f 一1 ，f o ) 是d t ( a ) 中的一条长为t 的回路对任意给定的k 1 ，令t l 为k 与t 的最大公 因子，t 2 = 砉，则二在d t ( a ) 中可分解为t 1 条长为t 2 的不相关的回路； l l ( 1 0 ，f i l ，一t ) c t l 一1 ) ，l o ) l 2 ( h ，z t l + l ，f ( t 2 一1 ) “1 1 ) + l ，“) 7 设c 为a 的所有简单回路的集合，c l 为a 的所有容量小于1 的简单回路的 集合，q 为 的所有容量等于1 的简单回路的集合，v 为如中每个顶点都有限 收敛到1 的简单回路的集合，简称v 为a 的收敛回路，因此称c 2 v 为a 的振荡 回路。设为丛的所有简单回路的集合，竺为丛的所有容量等于1 且其每个顶 点都有限收敛到l 的简单回路的集合容易得到以上集合有如下关系； c = c t u c 2 ，c j = ，v = 旦 命题1 2 2 1 1 设t 为t 一模，vn ，b ，c 【0 ，1 】，有： t ( a v6 ，c ) = t 扣，c ) v t ( b ，c ) 证明以下我们分类讨论： ( 1 ) 当a b 时，t ( a v b ，c ) = t ( 8 ，c ) ，而t ( a ，c ) t ( b ，c ) ，所以，t ( ，c ) v t ( b ，c ) = t ( a ，c ) ，即等式成立 口 下面定理是模糊矩阵的幂序列的图论表示 定理1 2 1 【9 】设a = ( o 玎) 。为n 阶模糊矩阵，m o $ 一t 复合意义下口为任意t 一 模) ，对任意a i j a + ，k 为任意正整数，如果从i 到j 不存在长度为k 的路，则 n 基= 0 ，否则，磕= v ( 三) l 三是从i 到j 长度为寿的路) 。 证明由定义1 2 5 ，只需证明 砖=vn m t a t ，l ，t t 啦。一l ，v l i , j n ，k 1 1 s f l ，l k l s n 下面用数学归纳法来证明： ( 1 ) 当k = 1 ，2 时。命题显然成立 ( 2 ) 假设k = m 时命题成立，即 。嚣=vo t f l t 啦! f 2 t - t n ! 。一l j l ( 1 l ，t m 一1 s “ ( 3 ) 当女= m + 1 时 n 矿1 = vo 纛t o 1 兰l m 茎” 8 = v (v o 。i l t 。h 1 2 t _ t o k 一。k ) t a t m j 由命题1 2 。2 得 。孑+ 1 =v a i l l t o f l b t t 口r 。j 1 5 f 1 ，i m s 8 所以，由( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 知，对任意自然数命题都成立。 口 1 3 基于m 凹一t 模复合意义的模糊矩阵幂序列 研究模糊矩阵幂序列的收敛性是研究模糊系统稳定性的前提和基础模糊矩 阵间的s t 复合随s 与t 取不同的s 一模或t 一模有许多不同的结果 以下命题是显然的： 命题1 3 ，1 【g 】设t 和s 分别是t 一模和3 一模，vd ，b 【0 ，1 】。则有， t ( d ，b ) o ab ，s ( a ，b ) a vb 定理1 3 1 1 0 设a ；( o 订) 。为n 阶模糊矩阵，在t s 复合意义下( 其中t 和s 均为三角模) ，有以下命题： ( 1 ) 对于任意的k 1 ，如果t 和s 均为s 一模，则a 茎a + 1 ； ( 2 ) 对于任意的女1 ，如果t 和s 均为t 一模，则a a + 1 证明( 1 ) 只需证a 且2 设t 和s 均为s 一模，则v 1 f ，j n ，有 a 2 一，卅= s n - 1 ( a i k s a k i ) = ( 啦l s d l j ) s ( 口 2 8 0 巧) s 8 ( 8 “s 口玎) s s 【毗n s 口可) 由于s 一模的单调性及vo 【0 ，1 】：3 ( 吼0 ) = a 得： a 2 _ ，州= ( q l s o i ) s ( d 2 8 0 巧) 8 s ( a i i s a t f ) s s ( a i n s a n j ) ( 0 5 0 ) 8 s ( 0 5 8 订) s s ( 0 s 0 ) = 0 玎 所以asa 2 。 同理可证( 2 ) 口 上述定理指出。s 与t 同时取s 一模或t 一模时，模糊矩阵的幂序列是单调 的，所以模糊矩阵一定是收敛的。因此，只需要讨论s 取s 一模，t 取t 一模的情 9 形或其对偶的情形；s 取一模，t 取s 一模。 定理1 3 2 n 设t 和s 是对偶的三角模，vx i 【0 ，1 ，i = 1 ，2 ，k ，其中k22 为 正整数，则有 x l s x 2 s s z = 1 一【( 1 一x 1 ) t ( 1 一z 2 ) t t ( 1 一z ) 证明下面用数学归纳法来证明； ( 1 ) 当k = 2 时，由于t 和s 的对偶性，显然可得出x l s x 2 = 1 一【( 1 一z 1 ) t ( 1 一z 2 ) ( 2 ) 假设k = m 时结论成立，即 z l s 2 s 。s z m = l 一“l z 1 ) t ( 1 一x 2 ) tr t ( 1 一。m ) 】 ( 3 ) 当k = m + 1 时， x l s x 2 s s 。m + l = ( x l s x 2 s s $ m ) s + 1 = 1 一f ( 1 一x 1 ) t ( 1 一x 2 ) t t ( 1 一g m ) 踟m + 1 = 1 一【( 1 一x t ) t ( 1 一x 2 ) t - - t ( 1 一z m ) t ( 1 一z 。+ 1 ) 】 所以，由( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 知，对任意自然数命题都成立 口 设a = ( a f 3 ) 。为n 阶模糊矩阵，u = ( 1 ) 。为每个元都为1 的n 阶模糊矩 阵。记 ( u 一且) 。= ( ( i o 玎) 。) n n ，v k 1 定理1 3 a n ( 对偶原理) 设t 和s 均为三角模，亍与君分别是t 和s 的对偶模 设a = ( o 玎) 。为n 阶模糊矩阵，则有 a = u 一( u a ) ，v 1 其中和。a 分别是a 基于s t 和君一亍复合意义下的幂序列 证明下面用数学归纳法来证明： ( 1 ) 当k = 1 时，命题成立是显然的。 ( 2 ) 假设k = m 时命题成立，即 ”a = u 一( u a ) “ 1 0 ( 3 ) 当k = m + 1 时，有 “+ 1 a , j = ( ”啦l 亍0 1 j ) 了( ”a i 2 t a 2 j ) - s - 君( ”a i n 乳可) 由定理1 3 2 得 “+ 1 a i j = 1 一 ( 1 一( ”a i l t a l j ) ) s ( 1 一( ”a i 2 t a 2 j ) ) s - - _ s ( 1 一( ”a i n t o 嘶) ) = 1 一 ( t ( 1 一“啦l 1 一口1 j ) ) s ( t ( 1 一“d l i 2 ，1 一。巧) ) s s ( t ( 1 一”a i 。，1 8 研) ) 又因为1 一“a i j = 1 一 1 一( 1 一o d ) 】= ( 1 一。玎) “， 因此， “+ 1 a i i = 1 一 t ( ( 1 一a t l ) ”，l a u ) s t ( ( 1 一o i 2 ) ，1 一a 2 j ) s - s t ( ( 1 一a i n ) ”，1 一。n j ) 】 所以“+ 1 啦j = 1 一( 1 一。莳) ”+ 1 ，即”+ 1 a = u 一( u a ) “+ 1 从而，由( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 知，对任意自然数命题都成立 口 从以上几个定理可得，这两种对偶情形是等价的，因此我们只需研究s 取s 一 模，t 取t 一模的情形 定理1 3 4 【10 】设r 和s 分别是t 一模和s 一模，v 8 ，b ，u f 0 ，l 】，则有： ( 1 ) t ( a ，b ) = a a6 当且仅当t ( u ，t ) = “ ( 2 ) s ( 口，b ) = 口vb 当且仅当s ( u ，u ) = u 证明因为( 1 ) 是( 2 ) 的对偶情况，所以，只需证( 2 ) ( 2 ) 号：显然。 乍：设o ，b 【o ，1 】，一方面由命题1 3 1 得o vb s ( a ，b ) ，另一方面，由三角 模的单调性有s ( a ，b ) 兰s 陋vb ，a vb ) = 口vb 所以，当s ( “，u ) = u 时，va ，b 【0 ，1 】，都有s ( o ，b ) = d vb 口 矩阵间的运算不一定满足结合律，但是否满足结合律是研究模糊矩阵是否收 敛的一个必要前提文献【1 0 】提到，模糊矩阵间的s t 复合满足结合律的一个 充要条件是s = m n 乱t = t 一模( 或其对偶情形s = r a i n ，t = s 一模) 。 定理1 3 5 1o 】设t 和s 是三角模，f m ( n ) 为所有n m 2 ) 阶模糊矩阵所组成的 集合，把f m ( n ) 中模糊矩阵间的s t 运算记为+ ，则， ( 1 ) 如果t 为t 一模，s 为8 一模，则( f m ( n ) ，+ ) 是一个半群当且仅当s = v ； ( 2 ) 如果t 为s 一模，s 为t 一模，则( f m ( n ) ，t ) 是一个半群当且仅当s = a 。 证明如果( 1 ) 得证，则由t 一模和与其对偶s 一模的对偶性就可得证( 2 ) ，因此， 只需证( 1 ) 。 ( 1 )乍：设a = ( o 玎) ，b = ( b i j ) ，c = ( ) f m ( n ) ，vi ，j ：1 i ，j n s = v ，t 为t 一模。要证( f m ( n ) ，十) 是一个半群，只需证运算+ 满足结合律。由 命题1 2 2 得 nn ( a b ) c i ，鲥= v i v ( a i l t b l k ) t c k j = li = 1 nn = vv ( a a t b t k t c k j ) ， k = l l = 1 另外，又由命题1 2 2 得 nn a ( b c ) i ，州= v 蚴t v ( b l t “) 】) l = lk = l ”n = vv ( a l t t b l k t e k j ) k = 1 1 = 1 所以( a b ) c = a ( b c ) ，即，( f m ( n ) ，+ ) 是一个半群 = ：设t 为t 一模，s 为s 一模，且( f m ( n ) ，+ ) 是一个半群。取 = ( 。a ) ，b ： ( 6 玎) ，c2 ( 叼) f m ( n ) ，不妨设a l l = n 1 2 = b l l = b 1 = 1 ，c l l = 。，坛【o ，】j ，a ，b ，c 中其它元素均为0 ，则有 ( a b ) c 1 ，1 】_ 踺：l “s 冬1 ( a l f 妁塘) 】z h l ) = ( a n t b n ) s ( a 1 2 t b 2 1 ) t c n = 1 t z = z 而 a ( b c ) 1 ，1 】_ s l a l t t 【s 冬l ( b f k t c k l ) ) = 陋1 1 t ( 6 1 l t c 儿) s 陋1 2 t ( 6 2 1 t c l l ) 】 = z s z 因为( f m ( ) ，$ ) 是一个半群，所以，( 且b ) g 【l ，1 = a ( b c ) 1 ，1 1 ，即z s z = z ，v z o ，1 ， 所以，由定理1 3 4 得：s = v 口 所以只要清楚了模糊矩阵在m o z t 一模复合意义下的收敛性，它的对偶情 况：矩阵基于m i n 一8 一模复合的情况自然就清楚了 1 2 第二章模糊矩阵在m 。z p r o d u c t 复合意义下的收敛性 2 1 引言 我们知道，选取不同的t 一模，模糊矩阵间就有许多不同的复合方式，如i i 2 a x r a i n ，m a z p r o d u c t 复合等自从文献【3 5 】发表以来，就有许多学者致力于研 究模糊集合的m n 。一m 概复合然而，有不少学者提出m o 茁一m 讯复合并不是很 理想的复合，且指出m o 。一p r o d u c t 复合要优于、至少是等价于m n z m 伽复合 【4 ，2 5 ，2 8 ，2 9 ，3 4 ，3 7 】。后来，g u p t a 和g 在用扛模进行研究之后也指出，m z p r o d u c t 复合要比m n 。一m i n 复合反应更快f 1 2 因此，有必要讨论模糊矩阵在m o 。一p r o d u c t 复合意义下的