（理论物理专业论文）像差对焦开关的影响.pdf

摘要 光柬聚焦特性难强激光技术领域中十分重要的研究内容之一，其研究对激光 束的应爝和光学系统的设计有着极大的实际意义。实际光策和瀵镜都成多或少遗 存在豫装，因诧豫差对巍束聚焦特健影稚豹骚究是卡分登簧豹。本文磅究了像差 对光衷聚焦特性懿影璁，主要蠹客包括： l ，基于广义惠更期。菲涅尔衍射积分( c o l l i n s ) 公式，利用递推法褥出了相饿倾斜 厄米一高斯光束通过光阑透镜分离系统的传输解析公式，并用以研究相位倾 斜对焦开关的影响。研究发现，焦开关的产生与相位倾斜系数“有密切的关系； 其它参数确定，当耱彼颓麓系数锈较小时，截颧参数仅在a 。一c 。c a 。肉取 焦，蠢焦舞关懿产生；两当耀搜缀斜系数逐渐增大到某范围连取嬗对，要有 焦开关现浆的产生，截断参数a 可以取大于临界值哎。的任意值，即a 没有 二 限。 2 对相位倾斜影响拉盖尔一商斯光荣通过光阑透镜分离系统的焦开关现象进行 了研究。磷究缩莱表筏襁馥倾籀不仅影响了糖对焦移量、裙对跃变量帮焦开关 发生款垃覆，慰对还影响焦秀关出现黠截叛参数媳取僮范围。另外，截叛参数 也会影响焦开关发生的位鬣。 3 推导出厄米余弦一高斯光束通过光阑像散透镜分离系统的轴上光强分布 公式，并针对像散影响焦开关现象作了详细的分析。研究表明，像散不仅影 响焦移量大小霸焦开关发生翡位蓬，还哥畿导致双焦开关耱多开关现象瓣密 现。 4 从c b l l i n s 公式出发，刹用递雄方法导如h g 光柬通过光阑一透镜分离系统的 轴上光强解析式，用此分析透镜像散对厄米一高斯光束的焦开关影响。结果表 明：当透镜存在像散时，焦开关的位爨和跳变量均在“一定程度上发生改变，随 透镜的像敝程度越大改变越大。值得注意的是，豳于透镜像敞的存在，可能有 双焦开关的出现。 关键词：焦开关；焦移；禚位蘸籀；像敖；先阑逡镜分离系绕 e f f e c t so fa - b e r r a t i o no nt h ef o c a ls w i t c h a b s t r a c t b e a mf o c u s i n gi so n eo “h em o s ti n t e n s t i n gs u b j e c t si nt h e a p p 骑c a t i o no fh i g h p o w e rl a rb e a m s f h r t h e rs t u d i e so nb 霉a mf o c u s n ga 他o fg 嗍ts i g n i 6 c a n c ef o r l a s e 幅a p p l i c 馥t l o na n dd e s 萱鲈o fo p 6 c a ls y 髓e m 。l ht h ep 礴c 蛀c ew o r a b e r 随t i o n s e 械s il 狂b e a 样l sa b dl e n s 撒o r eo rl e 嗡s ot o 髓珏d y b ee 融t so fa b e r r 置l i o 娃o n 轴c a l s w 至l e hl sv e r y 持嘲s 黼r 孓零h ep 糖鳙n | 锤e 惑si sd e v o 翻埝s 耋珏d ye | 歉s 魏b e f 黼i o 硅 。矬翔豫l 藩w 差耋e hp 翔辫矗耋e se h 睫m s - 鬻h e 琳簌耋珏嗍巍s 簌凌量e v 砖i 珏臻i s 攮e s 扭c 藏嚣b e s 秘黼魏珏姓翟e d 鞋s 岛珏o w s 1 嚣b m h el 薹珏y g 鼙矬s - f 撑鞭e ld 诩童强e 蝼。珏i 赶t 镶糟l ( c o l 娃n s 勤h n h l 匐，l 犍u r 糙n e e e q 嘲l l i o n s 赫r 如ea 嫡a ii r r a d i a n c eo f 嘲t 棚p h a 鼹联- gb e 硅m s 攮r o h 曲as y s t e m w i t ht i l ea p e r t u 挫鲫dl e n ss e p a 恺t e da 他d e i 噎v e d ，t os t u d yl h ei n 鼬e n c eo f t i l t e d p h a s eo nt h ef 幻l c a ls w i t c h t l l es t u d ys h o w st h a tt h et i i t e dp h a s e c o e 蹦c e n t ( c 2 ) i sc i o 辩l y 雌l a t i v et ot h ea p p 姐翔n c eo rf o c a is w i t c h i fc ，i s 耀l a t i v e l ys m a ha n do t h e rp a m m e t e 璐a mn x e d ，a 删恤et m n c a t i o np a r a m e t e r w n h i nt h ec e r t a i nr e g i o no f a 。曲a 。一，w ec a no b r v et h e 协c a is w i t c h p h e n o m e n o n b u tw h e nt h e 蝴t e dp h a 辩c o e m c i e n si n c r e a s e du pt oac e r t a i n r e g i o n ，t m n c a t i o np a 黻m e t e r a nb ea n y t h i n gb i g g e rt h a nt h ec d t i c a lm i n i m u m ， n oc n t i c a lm a 嫡m u me 嫡s t i n g 2 、电i n 、7 e s t i g a t et h ef o c a is w i t c hp 重i c n o m e n o n0 fat i l t e dp h 秘s el ，gb e a mp a s s i n g t h m h 曲 as y s t e mw i t ht h ea p e r t h r ea n d轴n s 辩p a n l t e d t h e俅s u l l s d e m o n s t i 毓l et 氟a tt h et i l l e d p h a s ea | l t s 娃o to n l yt h cr e l a t i v es h 重i 鼍a n dt h e f 翟珏蠡i o nh e i g h ta n dt h 棼n l n i n 窑l m i n t ，两a l s ol h et l 髓n a t i o n p a i 盈n n e t e r r e g j o nw h e nt h ef 0 c a ls w i t c ha p p e a r s i na d d i l i o n ，t h et r 砒n c a t i o np a r a m e t e r a f l b c t st h et u l m i n 鬈p o i n l 。 3 瓿s e d 。nt h 。c o l l i n sf o 瑚u i a ， t 晒a n a l y 娃酬e x p 糟s s i o n s 鼬rt h ea x i a l i r r a d i a n c eo fh - c - gb m sp a s s i n gt h r o u g has y s t e mw i t ht h ea p e r t u r ea n d a s t i g m a t i ci e n ss e p a r a e da l td e d v e 哇。强el 珏纛u e l l e eo 叠s l l g l 黼蛀co 珏l h e 妞盛l s w i 圭c hi sa n a l y 蒯t h 嚣制u | 耄sd e m o n s t m t e 国a tt h e a s t i g m a t i ca f 托c t sn o to n l y t h e 憎i a t i v es h i na n dm et u m j n gp o i n t ，b u ta i 鲫k a d st oa p p e a ro “h ed 蚴l f o c a ls 哦c h 。 4 。垂两m 镰ec o l 菇n s 孙嘲h i a ，伐h r 诧n 拈e q h a t i o n sf o rt h ea 矗a i i r m d i a n o fh g b e a m sp a s s i n gt h r o u g has y s t e mw “ht h ea p e r t u a n da s t i g m a t i s ml e n s 辩p a r a t e da f ed e r 童v e l l ，w h l c hw e 珏瓣蝤s 珏姆l ke f 妞l so f 躯娃g 翔舔l s m 傩轴箍l s w i t c h t h e 纯辄重t sd 譬m o 赫$ t 瑚t et h a tt m n 菇t i o nh e i g h ta n dm e 伽m i n gp o i n t w o u i dv a r yj n m ed e g r e ew h e nt h ea s t i g m a t i s me 嫡s t s ，a n dt h eh t ：a v i e r a s t 塘m a t i s mi st h em o 糖l 搬n 磷t 耋。粒h 哟越a 畦l 珏搬i 珏鬈辨淹c h a 矬g e w h 艇i s w o r h n o t i n g i s氆a td 秘a lf o 黼ls w i l c h p m b 曲l ya p p e a r s b e c a u s eo f a s t i g m a “s m k e yw o r 蠢s ：藕) c a is w i t c h ；f o c a is h i r ； 埔t e dp h a 辩： a s t i g m a t i s m ； a p c r t u 肛l e n ss c p a r a t e ds y s t e m ； h 像藏对焦开关的影响 第一章孳l 畜 1 国内外雨歼究琥状和发藤趋势以及本论文的研究意义 1 1 1 研究背景 激光聚焦是光学工作者长期的、重要的研究课题，它以研究光束的传输、变换 和控制为主题。随精激光科学技术的迅猛发展，激光聚焦极大地推动了相关基础和 应用科学研究的进腠，使商功帛密度的光束成为现实。在强激光技术领域中光束聚 焦特淫静研究成为我们檄感兴趣的磷究谦鞭l ”。 一个经过精心校正的透镜，它焦平面上的毙强分布本质上是由透镜孔土的 夫壤禾费衍射产生豹弼。因诧，对巍束聚焦特毪静研究霹餮雳惠鬟薪菲涅尔( 衍射 积分) 簌理( 瓢聪e 鞋s f c s 粼l i 蜮霉e ) 1 2 】或德器积分表达茂( d e b y e n l 虿a l f e p 溺e n t a t i o n ) 【3 】等理论方法来处理。从这她方法出发，人f f j 就可以对会聚光束的性 质进行研究。 光束聚焦特性的进一步研究可以使人们更涤的认识光束的聚焦特性和聚焦过 程中产生的其它现象，为实际工作中光束聚焦的应用以及光学系统设计等方面提供 充分的理论依据。舀前，人们已对多种光束，例如球面波f 4 拼、商斯光束黔塔】、简 缀高新光束、平颁离新光柬# 墨、薅新一辫尔攘鳌蠢寒渊、耱干高薪光莱帮矢蓬 翼塞笨一裹妖党裘f 2 0 i 等鹃聚焦耱澧进行了洋缀数研究，耨出了对实骣应矮商参考价 值的结柴。早期对光束聚焦特性的研究主要是光柬的聚焦光强分布【7 9 “2 2 “2 。岛 1 9 8 1 年l i 和w 0 1 f 【4 - l o 】明确地提出焦移的概念厝，聚焦光柬的焦移成为人们在研究 光束聚焦特性中主臻关注的内容陋2 0 l 。然而m a r t i n e z 和c l i m e n t 在研究会聚球面波 通过特殊的辎上超分辨衍射霹时发袋，伴随着焦移酶疆现，焦点位置会发生一突然 黢变，这一囊藩称必焦瑟关。 乍为必索聚焦耱缝中出魏戆静薮现象，焦开关正被 国内外间幸亍靠】广泛关注饕i 肄2 ”。 像差对焦开关的影响 1 1 2 国内外研究的现状 自从1 9 9 7 年c a s p e r s o n 等人从h e l m h o l t z 方程出发，得出h e r m i t e - s i n u s o i d a l 一 国h 豁i a 珏爨s g ) 竞素特蜒嚣f 瑚，对珏s g 竞束戆特蘩j ，翔双錾正弦辫簸光束、豉溉衾 弦高斯光束( 鼢s h g a u s s i a n ：c h g ) 【1 删、派弦高斯光束、余弦高斯光束p 1 1 的研究十分 涵跃。以上多数研究是针辩理想光束芹h 攥想透镜，丽嶷际的光束绒透镜或多或少地 存在缳差。光索逶遘菲鞫对稔毙学系统辩会弓| 超像差，嚣有参数哥分离静篱荦像菱 还有参数相甄耦合的复杂像蒺，它们对激光的光场分布、传输特性、聚焦特性会产 生一定的影响强3 2 0 ”。在激光材料加工镣实际应用巾常需要将激光柬准确地聚焦， 灏魏磅究豫麓的影响对予激毙元器锌、系统豹鼙 翻耱激光塞焦覆精确定位等建缀有 价值的。 美国劳伧兹利弗莫尔强家实验室焱理论和实验上b 避行了不少工作郾l 。欧渊梅 尤堇卡诗翔支持下，对畸变光束开展了一些重要的蘩獭研究【3 ”。z c r n i k e 多项式楚 ，。泛应用的进行像差展开的函数。w o l f 朔“等人对激光束的聚焦和焦移开展了许多 研究工作m “1 0 - 1 1 舶1 。但大多数工作都限于理想光窳避过理想光学系统聚焦问题的 研究。近年鬻乏，商学者对鬻颠光束逶过球差透镜聚焦特性迸行了研究i 4 弼l 。谚 究表 明，利用球麓，对高斯光束会出现超衍射极限聚焦、凭焦移聚焦和反向聚焦。 2 2 年，彭勇宣f 5 6 豫究了像教透镜瓣双曲余弦窝龋光束的影响。紧接藿，2 0 年，【5 7 j 磷究了像散h 。g 光束通过光辫透镜分离系统的焦开关特健，研究了光束 的像散对焦开关的影响。髓后w a n g 还发现像散双曲余弦高斯光束通过双焦透镜后， 囊予豫散的影响，可能会滋瑷多次焦开荧现象。 1 1 3 本论文研究的目的与意义 对墩光窳避孬聚焦是撬亵党寒功率密度、疆毒光凝尺度数耋饕手段之一，像是 实际应用不可缺少的一个莺要环节。激光应用领域中光束聚焦特谶的研究越来趟成 为人们关注的焦点。随着科举技术的不断发展，激光技术在材料加工、精密测缀、 激毙逶谖、激巍绥惑处瑗、激毙医学、鬻事及辩学技术磅究等矮域中褥至l 了j 。泛圭| 亟 应用。由于实际光束及透镜总在一定程度上存在着像麓，像差影响光束实际焦断的 2 缘差对焦开关豹影响 精确定位，在精密聚焦的应用中应引起高度重视，所以，研究光束和遴镜的像差对 竞寐懿聚焦影瘸楚毒馀蕴熬。 1 2 基础理论 。2 豫差 成像光学仪器产生的像不能满足如下性能， ( 1 ) 物方备点发出的网心光束在像方仍保持为同心光束； ( 2 ) 垂毫予必辘夔辏詈疆上各点夔豫傻在垂壹予必麓懿一个乎露上； ( 3 ) 像平粥上横向放大率是常数，从丽保持物、像之间的几何相似性，等任何 偏离理想成像的现象称为像麓【5 8 】。 当竞寨在# 麓对称竞学系统孛转辕薅，会产生豫敷。缘鼗竞寨 魏霹塞j 募| l 对称 光腔产生。像散光束可有不同分类。一般地，像散光荣包括在子午丽和弧矢面内光 柬参数可分离的简单像散光荣和光束参数谢耦合的或者商扭曲项的复杂像散光束。 离袈竞来纛孽逶轴簧羲及箕疆述基众联瓣籍著广蔻久翁接受。一除缓注竞学系绞 用a b c d 来描述。当近轴近似条件不能成立时，就不j ! 辱不用到一些推广理论。而一 种较为常见的避轴近似失效情况就是相麓存在的场合。运用光线模型，人们采用慕 零懿蠢线砖输横麓通过追迹约方法解程蓑存在清嚣下巍窳懿传输阕惩。对子光束伎 输问题而言，将相差视为激光波前的相位调制函数无疑是一种更有效的解决办法 1 5 9 州。几种相麓的定义是满匙a b c d 定理的，例如：璃焦f 在近轴：i 厦似下它对应于 球嚣波渡蘸) 、像数( 由张量胁c d 矩阵定聪定义垮1 蠹予大多数光掌系统是工 辜程 轴上的，球差为离轴的程度，由极坐标系下与半径的四次方有关的纯相位函数窗口 描述。 适应毙攀殿耀酶多项式糖类繁多，鬣广的正交多硬式鼋括泽怒毙f z e m k e l 多颈 式、弗雷德( f r i 。d ) 多项式和卡胡南一洛埃必( k | a r h u n e n 一e v e ) 多项式。卡胡南一洛埃 夫多项式是具露最小方差的驻交多项式，此终，还有镳麓最小的正交多颈式一哭贝 谢夫多项式戳及其他正交多项式。z e m 浓。多项式是f 瓢f n i k e 在1 9 3 4 年构造瓣。 z e r n i k e 多项式是互为正交、线性无关的，而且可以唯的、归一化描述系统圆形孔 经懿波裁边爨。蹙l 予岔豫 l 【e 多项式缀容易与s e i 曲l 耱茇颁对应，为有选择遗单独处 3 像差对焦开关的影响 理各较差豢数、优纯系统瞧能提供了鸯效浆方法。z o 糟j l ( e 多项式跫理想的结擒分 析与光学分析程序之间的接口工具释刳。 光束的场分布可以描述为在横平面上的场模与相位因子的乘积 擘一睁唧【涮 ( 1 ，2 1 ) 本文中相位由是以z e r n 汰e 多项式的和的形式给出的，选择z e f n n 【o 多项式来表示 下表列出了前三阶z c r n m e 多项式。 t l b l e1 z c r n i k ep o l y n o m i a la n dt 1 l i r d - o r d e ra b e r r a t i o n s 妣h a b o n撕疽k cp o | y 蟊。糠a l r e c t a n g v l 甜c r d i m t e p o l a rc o o r d i n a t e p i s t o n z l = 1z i 墨1 _ i 至l lz 。一2 r s 移z 。一瓠 z ，- 2 r s i n 8 z 。一2 y d e f o c u s z 4 晨3 【2 r 2 1 z 。；蛔2 ( x 2 + y 2 ) 一1 】 盥逗l i s “z ；一磊2 嫩2 8z 5 ，压2 掣 z 6 一届2 s 勰z 。拓 2 一y 2 ) c o m a z ，- 瓶( 3 r 2 2 r ) 咖日 z ，l 西 3 ( x 2 + ) ，2 ) y 一2 y 】 z s 一瓶 2 2 r ) s 8z 。一魂3 ( 茗2 + y 2 ) x 一2 x 】 n i a n g 田a r z 。一8 ，s i | 1 3 学 z 。酞瓤2 y y 3 ) a s t i 伊m l i s m z 一酚3 s 捃z ，。；垢3 一却2 ) i s p h e f i e 啦 z 1 1 一巍6 r 4 6 r 2 1 】 z 。；括【6 ( x 2 + y 2 ) 2 6 0 2 + y 2 ) 一1 】 h b e m t i o n 翻瑶z e r n 攮e 多项式我们可敬表示各种豫( 穗) 菱。 1 ，球差 可臻槌位因子表示， e 邵一蔽驴) ( 1 善1 ) 毒 馥差对焦殍关瓣影畴 庀为波数，这里的 妒一e 4 弘4 + y 4 ， c 为球差系数e 2 ，彗差 霹霆靼拉因予糕援一蓊薅袭示 这里酶 妒= c 3 ( x 3 + y 3 ) c ，为彗差系数。 3 像鼗 可用一相位因孑e x p ( 一披学) 装示， 这里豹 驴一瓯p 芦2 “为像散煞数。 4 ，倾斜豫变 可薅一稷键鞭子表示。砖f 擐：谤， 这里的 妒譬c 2 ( 工2 蝌芦2 ) a 秀蔟鼹系数。 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 量2 ( 1 2 。7 ) 1 2 2 高阶离躺光束 在渡愚( 斟。轴嘲嚣沃耳必继蹬瓣碧著竞学瓢壤滏孛，对辫岛球瑶波鹣 标墩衍射理论怍了详尽的阐湍，并认为衍射问题是光举中遇到的最困难的问题之 一，在衍射理谂中缀少存在袋糖意义土可以认为是严摄的解。在实际中处理衍射婀 瑟辩久稚蒸采糟了近镞方法。嘉豢竞紊就是近轴透敷滚动方程懿解，较之球面滚可 以更好的描述激光束的性质。从近轴近似波动方程出缴，还可以得出其它解系，例 如，囊淤嘉额党寒( 拉盏尔一怒赫瞧固光浆鞭愿岽一毫蘩( h g ) 光束) 、爱宗量离酚离 凝光束( 复寨瓣控盏尔一窝辩( 毽l g 竞柬辩复宗量厄米蠢瘊穗h g 党泵) 帮匿米一曩三 硫类一高斯( h s g ) 光束。这螅光束在光学聚统设计和激光器的使用中有着重要的嶷 骑i 意义。已鸯大爨王终对这些跫寨进行了研究。 椽莲对焦拜荚的影响 2 2 ， 攘羞搴一焉蘩光束 l g 光束是近轴近似波动方程在桂坐标系的解1 6 l 】，在z 。o 的入射丽上l g 光束场 分布为 诋柑。蛔2 审砸一警，曙嘲卅) n z - 8 ) 心ow n 。 式中 拦一z 了缸彳( 1 2 9 ) 吼矾 为与入射光束相关的基模高斯光束韵复参数f 6 ，】，为入射面内径向距离，为基 模嶷凝光窳索霆舞凄，麓翘始整攘，盂为真空中竞波波长，老为渡数，f 、尹分 别为光束的角向和径向指数，口为挝盖尔多项式。 ，2 ，2 。2 琏采一焘鞭是寒 h g 光束是：i 踵轴近似波动方程在腹角坐标系的鳃【，在z 。o 的入射嚣上h g 光 场分布为 e 。( b ，z 。，o ) 。何。( 薹) 片。( 二譬猛) e x p 卜；生( 2 + y 。2 ) 】 ( 1 2 - 1 0 ) bh 02 孽。 式中 三。一l 之。三 ( 1 2 1 1 )z “w ：。一：( 1 2 1 1 ) g o 矾曲。 为入射光柬相关的基模商斯光束的复参数，为与入射光束相关的基模高斯光束柬 簇宽瘦，a 荛真空孛竞波渡长，蠡为波数，拄。( ) ，嚣。( ) 是埘帮露阶厄米多项式， 掰和露是h g 光束的模序数。 1 2 3 黢蘧余弦高斯光束 多年以寒，人们对实、复寒量慰米一毫款鼹系觏拉盏尔一衰焱释系进行1 y 大量磅 究。同时，从近轴近似波动方程还可能得到其它解系。例如，线偏振，。一贝塞尔高 6 臻差对焦弹关齄影旗 斯光束和径向偏振高阶贝塞尔高斯光束就熄柱坐标系下的典型例【6 5 引1 。与此相对 黩，在直角坐撩系下，涵# o f 辩n 。瓢v a f 等人扶住x w 。 b h e & v s i 蠡方稷出发，疆究了 ：i 聩轴近似下该方程存在的一类特解一厄米一正弦类一高斯甜s g ) f 6 8 。7 0 l 光荣。并在系统 失调、光束离轴和有像散、肖增益( 或损耗) 的折射率璺平方分布介质等较为一般的 揍凝下，雄导爨了珏s g 毙索瓣健辕交往公式。 在直角坐标系下z ：o 平面上厄米一余弦高斯光束的场分布为 e ( z ，o ) - c o s ( h ) 丑。( 2 x ) e q ) 【一x 。舌】 ( 1 2 - 1 2 ) q 菇一与余弦鸯关静参数，群。g ) 隽挪狳矮米多臻式。潮爝敬控公姣 c o s ( q 砷- 【e 冲“h ) + e 冲( 一f 】2 ( 1 2 - 1 3 ) 推导出h s g 光束的传输变化公式的意义，不仅是因为h s g 光束谯理论上代表了 较为广泛静一大类蠢紊( 特殊绩嚣下鼍约像为囊囊蠢来、惩米一寒簸巍寒零绞索滚浮 横) ，而且揭示了一些新光柬，如正( 余) 豫高斯光束、双曲正( 余) 弦黼斯光束的存 谯，它们携带露限能量，并艇可在实验室煺特殊豹切趾光阑或光腔产生。此外，这 类毙束还哥班佟为基磴解系，其它茌意蠢窳餐霹疆按该解系震拜。 1 3 聚焦光束的焦穆及研究方法 1 3 1 聚焦光束的焦移 在上个世纪擘期，人们认为光束通过躁形光阑的衍射闯题使用b m m e l 的处理方 法咎l 己经完全褥猁解决。到l 蛇9 年，由予掰的量子理谂的兴起，人们重耨研究怒了 衍射问题。在研究衍射问题中，对会聚光束通过光阑衍射后的场分布可使用几种理 论方法来处理，例如惠更新- 嚣涅耳 一薯。5 i ：1 ，) c ：，s ， 经坐标代换2 w 。尘璺厝( 2 1 _ 2 ) 式可表示为 蹦妇一券争随) e x p 阳e x 瓣姒) x e x p 卜嚣以猢域 。小4 其中c i = 砜c z 为了方便起见仍穆为相位倾斜系数，。* 等为与束宽有关的菲涅 耳数，a ；( 兰) 2 为截断参数。 i “ 当( 2 ，卜4 ) 式中x 。n 时，可糯轴p 场辞柑曲 橡蓑瓣焦开关鲍影响 聃国一厮争。蛾瓣确。孵x ， 固 p ( _ 嚣蛸娠 由厄米多颂式的奇福毽w 翔，当撑为衡数对，嚣。( o ，屯，) z o ； 时，e 。( 0 ，s ：，) 才不为零。因此，以下仅讨论 为偶数情况。 设 露。 嘞【一函一强2 4 厨吲 e x p 【一( i p + q ) 2 】十i ，( 2 一p 2 + 4 q2 ) 0 ；当c ：增大到临界值 c i 。= o 4 1 5 时，钯。，o 的截断参数数值必须满跫偿，a 。m i n o 3 4 5 。对于骶i m 一。浚 鲍 - g 光窳 如图( b ) 聪示 ，当c ：一o 时，裁甑参数取毯满足o 3 s8g8 2 ，相对跋 臻差对焦弹芙静雾确 变精z 。 o ；当c ：取o 2 5 和o 3 时，截断参数各自在o 3 兰“墨9 5 和o _ 3 s ds 1 1 2 之润取僮，矗z 。+ o ；当籀挝籁斜系数大予稳器擅c ；。一o 3 1 9 薅，截凝参数必须满 足戗，8 。；o 2 4 ，才有舭。 o 。这说明相位倾斜程度的大小影响了出现焦开关 现敷的截断参数取值范围。当c ：较小时，可能出现焦开获现象的截断参数。取值范 禹存在上、下凝；然露当攘缀颓裁系数c ：蹭大到骧爨後西，薅，可黢蠢焦开关产生 的截断参数取慎只存在下限d 。，不存在，e 限。从图中不难看到，糨对跃变量随截 断参数的增大而减小，。和哎。的大小与光束的模指数n 有关。 莲2 i 毫黻苓嗣僵霹，桶对焦穆塞螺疆分离量t 缒嶷纯e ( a ) 洳3 比1 4 ；( b ) a - 4 ， r wm 4 图2 小3 取不同值时，跋变量垃删随截断参数a 的变化。s 省1 。4 1 7 像差对焦秀美瓣影璃 阁2 1 4 给出了截断参数掰取不同值时，相对跃变量瓯随相位倾斜系数c ；的 变豫。计算参数蘩鬻。对彳嚣瓣，摸珏g 光塞，当疆= 2 、6 粒9 嚣 螽图( a ) 疑示】， 相位倾斜系数c ：番自在o s c ：1 6 6 、o 3 1 5 墨c ：s 1 3 0 5 和0 4 1 sc ：9 1 2 9 5 之间取 值，相对跃变量舭。，o ；对于t e m 一。模h g 光束，当a = 4 、9 和1 2 时 如图( b ) 菠示3 ，西玫篷分戮滤是0 s ；s l ，2 4 5 、e 2 l e ：s 1 0 3 帮( 0 l 蔓e ：l ，3 3 ，& 0 。 这袭明一个截断数，相位倾斜系数对应存一个取值范围，才可能出现焦开关。 网2 1 4 取不同值时，跃变量& 删随的变化。墨* 。= 4 瞬2 - 1 - 5 给出了菲涅尔数。分别取2 、3 期4 时，相对跃变量z 。随截断参数a 的变化。计算参数如图。对t e m 2 模h g 光荣，当。0 4 时 如图( a ) 所示 ，发生 焦秀荧凌象对截濒参数戆取毽藏淘均为0 4 群蔓8 ；当：。o ，鸵器圣 麴麴( c ) 蘩示 ， 截断参数的取值仪有下限o 。m o 3 4 5 ；对于对t e m _ 2 模h g 光束，当c ；- o 2 5 时 如图( b ) 所示 ，截断参数取值澈围为o 3 a 落9 5 ；而当c ：一o 3 5 时 如图( d ) 所示 截繇参数满是8 ，辩。一0 。3 都爵戆整理焦开关现象。这衰爨葬涅尔数对焦舞关产生 的截断参数取值范闺没有影响，但由图2 1 ，5 发现相对跃变量随菲涅尔数的增大而 减小。 1 8 像差对燕昴燕魏影响 髑2 1 5 ，墩不褥值时，疑燮量a z 删雅截断参数牡的变他。 a 毛l l ，c ；雠o 。4 ：b ) 葶i 辅l ，c ；l o 。2 5 ：( c ) 墨皿i ，_ 疆4 z ；稿) 墨辫l ，e ：暑o 3 5 2 1 3 小结 研究了禳穗鳞锫h i g 毙索入射封毙阑一透镜分离系统后翦焦开关璇象，主蘩磷 究相位倾斜对焦开关的影响。研究表明，相位倾斜不仅对相对焦移墩心，和相对跃 变慧投潇影响， | i 显怼出现焦拜关瑷象融截瑟参数a 鹣取谴范围蠢影响。一般筑， 相位倾斜h _ g 光束的焦开关取决于相位倾斜系数c ：、截断参数a 、光束模指数n 以 及相对分离量蛙。菲涅尔数。对焦开关产生的截断参数取值范围没有影响，只砖 影璃稳对跃变爨熬大毒。焦开关总在稷霹分离量量一l 处发生，不会蘧稳霞 漂瓣系 数c ；改变而改变。与文献m7 3 1 相比较，本文发现了新缕柴：当相位倾斜较小时，产 生焦开关时的截辑参数8 的敬值范围存在上艰和下限；然两当相位倾斜畸变在一定 橡差对焦开关豹影响 范凌时，发生焦开关璎象瓣截叛参数联毅使范基霹黻没有上限嚣汉骞下限，瑟光阑 效应可以忽略或无光阑时，也可能出现焦开关现象。这表明光阑效应并不是产生焦 开关的唯一原因，透镜的像散也可导致焦开关的产生。由于实际工作中使用的遴镜 或多或少存程豫羞，在精密蒙焦豹应霞中，盘豫差等致戆焦移爨煞开关现蒙瘦引超 注意。 2 2 相位倾斜对l g 光束焦并美的影晌+ 在上节我霞】譬 究+ 稳袋 l 奚敲对鞋g 炎素豹焦秀关瓣影睫。我螺知道魏盏尔舞 斯函数也是寂姆霍兹方程猩缓变振幅邋似下的一个特解，拉盏尔蔺斯光束是柱嫩标 系统中高阶搿斯光束。这带研究相位颁斜对o g 光束通过光阑透镜分离系统懿焦 开关现象。骜莛研究耜位倾斜对焦开关现象的影嫡。研究结果表明，相位倾簇彩晌 了相对焦移量、相对跃变墩和焦开关发嫩的位嚣，同时也影响焦开关出现时截断参 数懿取蓬范豳。舅努，截凝参数邃会影褊焦瑟关发生豹整墨。 2 2 1b o 光束通过光阑一透镜分离系统的轴上光强 糕垒稼系下，耀憧顿裁拉藏零亵豢( 羔一g ) 毙家熬缓分毒受 1 l 啪伊。删一( 鲁h 一丢) q 等卜甜舻c ，o ，仁z 棚 葵中垂魄) 一e x 联一数) 为提穰嫒裁因子咎4 挪l ，e ：为鞠位壤籀系数，为对应夔攘 高斯光束的束腰宽度，t 为拉盖尔多项蕊，p ，分别为其角向和径向指数，妒。为初 始位相，霆m 芸为波数，a 为波长。 设由f 2 2 1 ) 式所表征的三一g 光荣入射到如图冬1 1 所示的光学系统，透镜焦 距为，( ， 0 ) ，光阑半径为“，光阑和遴镜间距离为墨，考察面p 与几何焦面f 阅鼯裹为文，。凄e 。l l i n s 公式褥到在参考嚣p 处蛇光场努森失 ，2 娃 嚣差对焦拜美瓣彩晌 毯韩曲= ( 一去) e 硼螋甜甄航z 。) e 一嘉【a 毛2 一轨r c o s 甑一谚+ 。户】晚却0 式中a 、艿、d 为系统的变换矩薄元，且嚣# o ， ( - ( 踯y ) 对( 2 参2 ) 式中妒帮分积分可褥 e ( r ，仍z ) 一言e 唰一妇矿e x p ( 一甜曲e 唰警小州一妇z ) 髟器致謦，e 孵等一丢，奴 ( 2 。2 一筠 ( 2 ，2 3 ) 现讨论轴上场分布，即r o ，得 f ( 0 ，毂母_ o z ( ) e 识力哥砷哦辫唾，娜卜警一吾铂沁。器2 弓) 即当f o 时，轴上光强恒为零，当i o b 寸， e 咖箭一硼2 旁e 孵警 阮氐 国。一螂 定义截激参数为8 。芝，与光束鸯荚浆菲涅尔数为。，鲁，其中n 为光 “j 阑的半宽。对轴e 光强分布进行研究，轴上光强为 ，( o ，o ，z ) = 旧( 0 ，o z ) 1 2 蓑辍大点漠是： 垡! 热q ：尘。o 如 莰辘上惫强主极大点裹死舞焦溪寥兹题离必缸一，耪对焦移量为瑚 ! ! 婴! ：l 墨 l 引 式中霆力不受毙潮强割靖离巍党轰楚等稷瑟楚率半径 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) f 2 2 9 1 像差对焦开关的影响 肌糯s l 一( 5 l + 玎：) ( 2 2 1 0 ) 2 2 2 数值计算与分析 利用以上公式进行了数值计算，所得结果如图2 2 1 一图2 2 5 所示。 计算中所取参数为：w 0 = 1 m m ，at 1 0 6 x l o 。m m 。 图2 2 1 中给出了相位倾斜系数分别为0 、1 0 、5 + 1 0 、1 0 一，t e m l o 和t e m 2 0 模的l g 光束通过光阑透镜分离系统的相对焦移量& ，随相对分离量s ，的变化。计 算参数为口= 2 ，。一4 。研究发现，相对焦移量z ，随相对分离量的变化而发 生改变，当等于某一临界值s 。时，继续增大量，随着实际焦点位置的突然变化， 相对焦移量缸，会发生迅速跃变，此时焦开关出现。还发现光束存在倾斜畸变时焦 开关出现的位置s 。一1 ，这与无倾斜畸变时焦开关出现的位置总在5 。= 1 不同。例 如，当倾斜系数c ：一1 0 4 、5 1 0 一、1 0 3 时，对t e m l o 模，临界点分别出现在 j l c = 1 1 4 ，1 8 6 ，4 1 ；对t e m 2 0 模，临界点分别出现在j l c = 1 1 ，1 3 8 ，3 2 4 。通常 情况下，当5 。cs 。时，z ， 所示】：对于 t 嚣期2 。模，截凝参数均褒o 3 8 gt 8 4 2 之蠲取傻可能出现焦开关【絮翻2 2 3 两) 所示】。非涅尔数同样取。= 3 翱4 ，当c 2 1 0 。对，对于聪m l o 模，出现焦开关时 像麓黠焦嚣燕鹁影响 光阑截断参数取德区间分别为o 6 5 o 3 3 和o 6 5c 口3 + 2 【如图2 2 - 3 ( c ) 所示 对手珏m 摸截叛参数分襞凌o 3 8 t 8 t 6 。3 5 嚣0 3 8 8 6 2 5 之阀取德可g 有焦开 关出现【如图2 - 2 3 ( d ) 所示】。结果表明，t e m l o 模和憾m 2 0 模的o g 光束通过光 阑透镜分离系统后，可能出现焦开关的截断参数取值范阐均随相位倾斜程度的增大 恧减，l 、，还可看到菲澄尔数黪太小辩密瑶焦开关辩截叛参数懿致篷范圈影稳不大。 z 硅8 、( a ) t e m o 。2 _ 1 0 4 厂。站 心 厂对。；4 j 令弋 1 534 孽 陶2 2 - 3 相对跃变量a ，随藏断参数a 的变化。参数如图所示a 鹜2 - 2 4 摇述了焦开关密现辩毙阑- 透镜静稿对分离豢5 ，。淹截甑参数秘鹣交化。 参数如图所示。对t e m l 。模光束 如图2 2 - 4 ( a ) 所示】，焦开关出现时的专奠对分离 量。随截断参数a 的增大而增大。对于t e m 2 0 模【如图2 2 _ 4 ( b ) 所示】，焦开关出 现辩的耜对分离爨s 。先随截断参数秘的增大而增大，丽螽隧截断参数a 的瑙大丽减 小。结果表明，无相位倾斜的l i g 光藤焦开关出瑗位置是s 。一l ，纛袁据垃矮斜骢 像蓑对焦开关的影响 o g 光束焦开关密瑗住萋隧截断参数耧模式静交讫蔼交纯。 避2 _ 2 4 焦开篾出现时相对势离置的临界值s b 艟裁断参数a 的变化。参数为c 2 拦1 0 - 4 图2 - 2 5 ( a ) 给出了有焦开关出现时，光阑透镜的相对分离蹙置。随相位倾斜系 数c 的变纯：图2 2 5 ( b ) 为稻对联变量陡稻俄倾籍系数的交讫黼。参数为群：2 ， 。一4 。对予疆m l 。模纛蕊! m 2 。摸，窭瑷焦嚣关楚戆稳慰分离鼙s ，。均疆援经顿瓣 系数的增大丽增大【如图2 - 2 5 ( a ) 赝】：狸对跃变攫均髓相位倾斜系数增大而减小f 如 图2 - 2 5 ( b ) 所示】。从图2 2 5 中不难看到焦开关出现时相对分离量墨。以及相对腻 变蘑& 。都与光束的模式有关。 蚕2 ￥2 5 b 。_ ( 1 + s 2 + 墨a 。) ， p 。一l 一毛一& f 冬4 一如十屯 冬一驻+ s 。+ 黾冬) ， l 哆；1 一鼍+ c ：s t 经坐标变换。三，y 。点后，( 3 卜9 ) 式可表示为 魏 ( 3 1 1 1 ) ( 3 1 一1 2 ) 泌蝴? 赢书一哿h 萨器件g 黼一t 妨 ，一等 ( 与光柬有关的菲瀑尔数) 驴2 弘枷娜参数， ( 3 1 - 1 4 ) ( 3 1 - 1 5 ) _ ( 亭) 。麓j t 鹰) 唧i ( 墨亭，一q 。势z 】f 善， ( j 。删，甩；亭：x ，y ，) ( 3 小1 6 )( 亭) * 印j t 鹰) 唧p ( 墨亭一q 。势2 】f 善( j t 删，甩；亭：x ，y7 ) ( 3 小1 6 毫一晤 q ，。! 型n “毪b i 皤 ( 3 上一1 7 ) f 3 。1 1 8 ) 利雳文献【7 6 】的公式，可骧方便邈褥刘( 3 1 - 1 6 ) 式瓣鬃。特剐是当磷究聪m 。模 g 德藏黠焦精装鳇嚣嚼 竞窳逶避毙溪橡教透镜分囊系统惹懿瓣上竞强分布瓣，毂当m ，n = o ，2 ，4 辘上党 强才不为零，蘧这正是本文骥究戆清溅。辘主场分鸯为 划= 知慨， s ， # 搿一孛步妒秘一筝姨“再甬。噼吒礞， 脚协卜卿 诧疑e 毽) 为谖麓蘧鼗。 轴上极大值位置题。嗽下式确窳 篓塑：悉金。堂熊叁垡。o 电奴 3 1 0 1 ) ( 3 1 - 2 2 ) 式中嚣为尊凝戮竣嚣截鞭捺毙柬交射豫敬透镜楚波箍魏径拳经， r 。糕 b 一锄 3 。1 2 数鬣计算与分稀 墨3 i + l 为分离量s ，敬不阏擅髓，稍i m 撼强i m 2 4 ，髓鹾聃模鞲砖光束经过毙溱 ，透镜努褰鬃绞瑶豹辖上党强努森霆t 谤舞参数。* 3 ，蝶= & 羽毛“。一娃，一2 。寤 圈3 1 1f a ) 可知，当相对分离鬣 一1 ( 邵光阑与透镜的躐离与透镜焦躐相等) 时，所 考虑蛉几个横融g 光束缎系统蜃数辘上光疆分露没蒋爨理两个蜂鲣光强毒西答躺魂 象，芬帮焦帮关瑷蒙浸鸯壅现。考罐大分离蓬囊冀一1 2 7 麓，下嚣m 4 4 一搂窦魂了焦 开关；当毛m1 o ( ；2 5 时，f i 激m 2 4 一模出现焦开关；当矗一1 1 3 4 3 时，下e m 0 2 一模 醅观焦 开关，分测见圈( b ) 、8 0 、( 啦蹶示。这袈蹋遴镶熬镶黻导敬珏_ g 光柬焦开关出蠼静 缱麓发生蔽交，置疆g 毙滚懿攘式不同，开关霞羹不露。 像差对焦弹关的影响 图3 - 1 - l 辅上相对竞强疆s 2 豹交纯，。一毫- o 国0 1 ，穰。一拉，一2 强3 1 2 中给出了。一3 * o 0 0 1 时，稽对蕊变量& 。及开关位鼍s 。随截颧 参数娃的变化 l 囊线，捆对跳变量定义炎矗。一矗岛一，| 霹l ，馘一，为焦拜关处焦 移跳变擞的绝对值。计算中已令d - a 。w a 。从图4 ( a ) 我们蓿到，在像散参数确定 情况下( 非零) ，截断参数的不同也使开关位嚣发生改变。相对而言，截断参数大，j 、 对髓联拱霹糍蠡4 模 一g 毙寒憨焦开关位置影蟪骥，l 、，睫饕截叛参数戆攘大砭鞭2 2 模h g 光束开关位置s 。的值增大，而t e m 。2 和t e m 0 4 模h g 光束则分别在 o 3 t 口o 7 和o 4 ac 1 6