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关知 成果 助的 具有对称约束两自由度碰振系统的研究 摘要 本学位论文研究了一类具有对称约束并受到周期激励力的两自由度碰 撞振动系统，从理论方面对该系统的l y a p u n o v 指数谱计算方法及双擦周期 运动进行了分析。论文的主要工作如下： 1 、在碰撞过程的不同运动状态之间引进局部映射，通过构建局部映射 的方法，建立了该系统的p o i n c a r 6 映射，进而得到了j a c o b i 矩阵的表达式， 再利用g r a m - s c h m i d t 正交化和范数归一化方法即可得该系统l y a p u n o v 指 数谱的计算方法。数值仿真给出了该系统周期吸引子和混沌吸引子的相图 以及相应的l y a p u n o v 指数谱图。为进一步验证该方法的正确性，文中还给 出了系统最大l y a p u n o v 指数随参数改变而变化的全局分岔图。 2 、运用不连续拉回映射，在该系统右侧擦边点附近建立起双擦周期轨 道的局部p o i n c a r 6 映射，并将局部p o i n c a r 6 映射表示成为一个四段的分段 向量函数。对原系统进行数值仿真，找到了两组使原系统发生双擦周期运 动的参数。进而在其它参数固定间隙6 作为分岔参数时利用局部p o i n c a r 6 映射对系统进行擦边分岔分析。映射仿真的结果显示了系统从周期1 运动 经由擦边分岔到另一种周期1 运动及由混沌区经由擦边分岔到周期1 运动 两种不同的运动形态。 关键词：局部映射l y a p u n o v 指数不连续拉回映射双擦周期轨道 r e s e a r c h0 n at w 0 一d e g r e e 一0 f f r e e d o mvib r o - im p a c t s y s t e mw it hs y m m e t r ic a lr lgids t o p s a b s t r a c t at w o - d e g r e e - o f - f r e e d o mi m p a c t v i b r a t i n gs y s t e mh a v i n gs y m m e t r i c a l l yr i g i ds t o p sa n d s u b j e c t e dt op e r i o d i c e x c i t a t i o n si s i n v e s t i g a t e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h em e t h o df o r c a l c u l a t i n gt h es p e c t r u mo fl y a p u n o ve x p o n e n t sa n das y m m e t r i c a lp e r i o d i cg r a z i n gm o t i o n w h i c hg r a z e sw i t hb o t hc o n s t r a i n sa r es t u d i e da n a l y t i c a l l y t h em a i nr e s p e c t so ft h er e s e a r c h i n v o l v e ： 1 i n t r o d u c el o c a lm a p sb e t w e e nd i f f e r e n ts t a g e so fm o t i o ni nt h ew h o l ei m p a c tp r o c e s s t h ep o i n c a r dm a po ft h i ss y s t e mi sc o n s t r u c t e db yu s i n gt h el o c a lm a pm e t h o da n dt h e nt h e f o r m u l ao fj a c o b i a nm a r xi so b t a i n e d w i t ht h eg r a m - s c h m i d to r t h o g o n a l i z a t i o na n d n o r m a l i z a t i o nm e t h o d ，w ep r e s e n tam e t h o df o rc a l c u l a t i n gt h es p e c t r u mo fl y a p u n o v e x p o n e n t so ft h i si m p a c t - v i b r a t i n gs y s t e m t h e nt h ep h a s ep o r t r a i t so fp e t i o l ea n dc h a o t i c a t t r a c t o r sf o rt h i ss y s t e ma r eg i v e na sw e l la st h ec o r r e s p o n d i n gc o n v e r g e n c ed i a g r a m so ft h e s p e c t r u mo fl y a p u n o ve x p o n e n t st h r o u g ht h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t of u r t h e rv e r i f yt h e v a l i d i t yo fo u rc o m p u t i n gm e t h o d ，t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a mo f t h el a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t v a r y i n gw i t ht h ev a r i a t i o no ft h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r c oi sg i v e n 2 u s i n gt h em e t h o do fd i s c o n t i n u i t yb y p a s sm a p p i n g ，w ed e r i v et h el o c a lp o i n c a r d m a p p i n go ft h ed o u b l eg r a z i n gt r a j e c t o r yi nt h en e i g h b o r h o o do ft h er i g h t h a n ds i d eg r a z i n g p o i n t a n dt h el o c a lp o i n c a r dm a p p i n gi se x p r e s s e da saf o u r - s e c t i o np i e c e w i s ef u n c t i o n t o b e g i nw i t h , t w og r o u p so fp a r a m e t e rc o n d i t i o n si nw h i c ht h eo r i g i n a ls y s t e mu n d e r g o e s d o u b l eg r a z i n gm o t i o na r eo b t a i n e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n f u r t h e r m o r e ，t a k i n gt h e c l e a r a n c eb淞t h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e ra n df i x i n gt h eo t h e rp a r a m e t e r s ，w es t u d yt h e g r a z i n gb i f u r c a t i o nw i t ht h eh e l po f t h el o c a lp o i n c a r dm a p p i n go b t a i n e db e f o r e t w od i f f e r e n t t y p e so ft r a n s i t i o n , n a m e l yf r o mp e r i o d - 1m o t i o nt h r o u g hg r a z i n gb i f u r c a t i o nt oa n o t h e r p e r i o d 一1m o t i o na n df r o mt h ec h a o t i cb a n dt h r o u g hg r a z i n gb i f u r c a t i o nt oap e r i o d 一1m o t i o n s ， a r es h o w nb yt h em a p p i n gs i m u l a t i o n k e yw o r d s ：l o c a lm a p ；l y a p u n o ve x p o n e n t ；d i s c o n t i n u i t yb y p a s sm a p p i n g ；d o u b l e g r a z i n gt r a j e c t o r y 1 5 具有对称约束两自由度碰撞振动系统的力学模型及其运动方程7 1 6 本文的工作0 000q00 00 09 00 l o 第二章l y a p u n o v 指数谱计算研究 2 1 碰撞振动系统的p 0 i n c a r e 映射及其j a c o b i 矩阵1 1 2 2 碰撞振动系统的l y a p u n o v 指数谱的计算1 7 2 3 数值模拟1 8 2 4 小结”2 3 第三章擦边周期运动分析 3 1 擦边周期运动不连续映射的推导2 4 3 2 数值仿真3 1 3 3 小结3 9 参考文献4 0 致谢“4 4 攻读学位期间发表论文情况4 5 u i 广西大掌硕士学位论文具有对称约束两自由度碰振系统的研究 第一章绪论 1 1 前言 动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 是研究随时间演变的系统的一门分支学科，又称为 动力学系统、动态系统。它的研究对象是一系列的所有可能状态构成的状态空间r ，以 及由r 中的变换组成的演变规律9 。：r 专酞，( 一0 0 ， 0 0 ) ，这意味着系统的某一状态x ( 可写作x r ) ，在时刻f 遵循这一规律，演变成妒7 ( x ) 。通常演变规律必须满足妒。( x ) 是f 和x 的连续函数，为满足对初值x 的连续性，状态空间r 应具有拓扑结构，例如r 是 欧几里得空间。如果r 为，2 维欧几里得空间e ，或更一般地是其中的一个开子集g ，且 9 ( x ) 恒为对，可微，即有掣= s ( 9 。( 工) ) ，则称这个动力系统由常微分方程组 ax 、 o p ；= s ( x 1 所产生。 d t 、。 用常微分方程或常微分方程组表示的动力系统广泛存在于自然科学和工程技术领 域，其中系统中有许多非线性因素，这些非线性性可能是来自于系统物理、几何、结构、 耗散、运动以及耦合等各种因素，这些因素会影响系统特征及其运动特性 1 。如果非 线性因素小到不影响系统的运动，那么线性系统模型在一定的程度上可以说明原系统的 动力学行为，但这种线性模型的描述并不定能如实地反映实际的动力学系统。当无法忽 略系统影响大的非线性因素时，线性系统就不能再用来描述实际系统。此外，非线性系 统具有丰富而复杂的动力学特性，而这些特性往往在是线性系统所没有的。为了利用或 者是控制这些性质，人们必须进一步研究和认识非线性因素对系统性态和运动规律的影 响。因此，非线性动力学的研究引起国内外越来越多学者的关注，文献 2 - 3 就是非线 性动力学研究方面的成果。 非线性动力系统的一个重要组成部分是非光滑动力系统，许多应用科学和工程领域 中都存在此类系统。光滑动力系统的各种常规分岔可以在非光滑动力系统中出现，但非 光滑动力系统还具备了一些特有分岔，如擦边分岔、滑动分岔、角点碰撞分岔等，这些 分岔也为系统达到混沌提供了许多的可能道路。目前非光滑动力系统研究方面也已有相 当多的学术成果，这一研究领域的一些专著也陆续出版，如文献 4 - 5 。 1 2 非光滑动力系统的分类和碰撞振动系统的研究综述 具有对称约束两自由度碰振 对于如下的用微分方程描述的连续时间系统 2 = f ( t ，x ，) ， 其中x r ”，是系统参数，厂分段光滑，即光滑的曲面( 超曲面) 把系统的相空间分 成若干个区域，在各个子区域内部函数光滑，但在两个子区域相交的边界上，非光 滑。根据函数厂的非光滑程度可将动力系统分为以下三类： ( 1 ) 连续非光滑系统：指厂连续但系统j a c o b i 矩阵不连续的非光滑系统。具有一 个不连续分界面的非光滑微分系统表达式可写为 i 厂( f ，x ) x i i _ 戈= 正= 工 x ( 卜2 ) l 工( f ，x ) x 一 其中为不连续分界面，分界面把系统状态空间分成眨和圪两个子区域。弹性碰撞系 统这类非光滑系统的一个代表性模型。 ( 2 ) f i l i p p o v 系统：这类系统的向量场不连续，从而j a c o b i 矩阵也不连续。具有 一个不连续分界面的非光滑系统表达式可写为 i 正( r ，x ) x 圪 叠= 万 正，工 x ( 卜3 ) i 工( ，x )x k 这类系统的一个典型代表是干摩擦系统。 ( 3 ) 脉冲非光滑系统：这类系统的向量场含有瞬时脉冲作用，即状态空间不连续， 向量场不连续，j a c o b i 矩阵也不连续。这一类非光滑系统的代表性模型是刚性碰撞系统。 碰撞振动是由于机械部件之间具有间隙或者运动约束，运动过程中部件与约束反复 接触而产生的一种动力学现象，碰撞振动系统在日常生活及生产实际当中经常可见，其 研究涉及应用物理、应用数学、工程机械、工程力学等多个专业领域。机械系统中的碰 撞振动现象往往会带来一系列实际问题。例如对高速列车，运行时列车的车轮与钢轨之 间的碰撞，加剧了高速列车的不平稳运动，对列车运行的稳定性和舒适度造成影响；又 如在核反应堆中，由于流体的诱发，冷却管道与其支座、反应堆壳体与燃料棒，有可能 会反复相互冲击，严重威胁系统的安全。因此，减小部件损耗，延长含间隙机械系统的 寿命，提高其使用效率及安全性，是机械工程领域亟待解决的重要课题之一。另一方面， 人们又可以有效地利用碰撞振动原理设计出各种各样的冲击振动机械和装置，如小型打 桩机、冲击减振器、振动成型机、振动落砂机等 6 。 早期对碰撞振动系统的研究主要针对单自由度系统，迄今为止不管是理论、数值还 是实验研究方面，单自由度系统的研究均已取得丰富的成果。近年来，人们研究的重点 2 具有对称约束两自由度碰振系统的研究 开始转向多自由度碰撞振动系统。b i s h o p 等 7 将受迫振动柔性梁的问题抽象成刚体碰 撞模型，从理论上预测了受迫振动柔性梁周期运动的存在性，实验上也验证了其理论结 果的正确性。m e i j a a r d 8 将光滑系统中经典的h o p f 分岔理论拓展到具有约束的力学系 统中。谢建华、罗冠炜、丁旺才等 9 - 1 1 通过取p o i n c a r e 截面，把两自由度碰撞振动 系统转化为四维离散映射，又利用中心流形定理和规范形方法将其简化到二维，推导了 系统存在h o p f 分岔和次谐分岔的条件。此外，他们还对参数空间进行普适开折，研究 了余维二h o p f - f l i p 、h o p f - h o p f 等分岔，并通过数值仿真进一步讨论了系统的丁2 环面 分岔。金栋平、胡海岩、吴志强 1 2 采用间断分析方法，讨论了在两个振子对碰构成的 碰撞振动系统中参数对周期碰撞运动的影响。韩维，金栋平 1 3 研究了由弹簧振子和弹 簧摆组成的两自由度斜碰撞振动系统，给出了周期运动存在性、稳定性条件，对系统进 行数值模拟，得到阻尼可在较大范围内镇定非稳定运动及切向摩擦对系统的稳态特征影 响不大的结论。李群宏、陆启韶 1 4 研究了一类两自由度碰撞振动系统，得到了次谐单 碰周期n 运动的存在性条件及稳定性判据，并讨论了如不满足次谐单碰周期n 运动存在 性条件时可能出现的运动形式。魏艳辉、李群宏等 1 5 对两自由度碰撞振动系统进行分 析，比较了参数变化对系统周期运动的影响，发现在弱激励、强阻尼、较大恢复系数、 小质量比的情况下系统会出现较多的有规律的周期碰撞。张艳龙等 1 6 一1 7 分别对一类 具有单侧刚性约束的三自由度碰撞振动系统和具有对称约束的两自由度碰撞振动系统 进行分析，通过p o i n c a r e 映射研究了系统周期运动的稳定性和局部分岔。乐源、谢建 华 1 8 研究了一类具有对称刚性约束的三自由度碰撞振动系统，建立了系统的p o i n c a r e 映射，导出了p o i n c a r e 映射的对称性，并利用该映射讨论了系统的各种分岔和通向混 沌的道路。罗冠炜等 1 9 2 0 则对几类典型的碰撞振动系统建立p o i n c a r e 映射，利用中 心流形方法对该映射进行处理，讨论了系统在1 ：2 、1 ：4 强共振情形下的分岔。 1 3l y a p u n o v 指数计算方法研究简述 l y a p u n o v 指数，也称l y a p u n o v 特征指数，可用于判定动力系统运动稳定性和混沌特 性，它表示相空间内相邻轨线的平均指数发散率。对维系统，存在个l y a p u n o v 指 数，合称为l y a p u n o v 指数谱。上世纪八十年代，b e n e t t i n 、w o l f 等学者 2 卜2 3 分别给 出了光滑连续时间动力系统、光滑离散时间动力系统l y a p u n o v 指数谱的数值计算方法。 至此，光滑动力系统l y a p u n o v 指数谱计算方法的研究已比较成熟。下面简单介绍光滑 动力系统的l y a p u n o v 指数谱的计算。首先讨论用常微分方程组表示的动力系统的 l y a p u n o v 指数的计算 6 4 ： 对维自治动力系统 3 具有对称约束两自由度碰振系统的研究 鲁= f ( 五，w ”，h ) ，( ，2 ，) ( 1 4 ) 而言，选择起始点相近的轨线厶、厶，不妨设起始点分别为、x o + w ( 其中i | 形0 充分 小) 。记以为起始点的轨线为基准轨线，以+ 形为起始点的轨线为近邻轨线，这样 取的矢量形( ，f ) 将和欧氏范数| l 形0 一起随时间演化。矽随时间的演化可以由( 卜4 ) 式 来确定，它将在个方向上按各自不同指数规律变化，则两个邻近轨道的平均指数发散 率为 三e ( ，形) = l i m i ，1 1 1 丽w ， ( 1 5 ) 其中= w ( x o ，0 ) 。矽空间称为切空间，它是式( i - 4 ) 的线性化量。所以形必须足够 小才能满足线性化的要求。对于任意形，存在维基底 q ，i = l ，2 ，n ，由于缈空间 的n 维基底随着形的演化而改变，故三互定义的方向也随形的演化而发生改变。三e 在 每个基底p ，上都有一个分量值e ，因而维系统有个l y a p u n o v 指数。在实际计算 中，近邻轨道的要求必须保证0 矽i l 足够小。但由于相邻轨道将按指数分离，所以随着时 间的演化，0 形0 将会逐渐增大，近邻轨线会远离基准轨线，足够长时间后的形将不能再 由( 卜4 ) 式来确定。如果形偏离基准轨道太远，应该重新设定w ，以确保计算的正确 性。具体的做法如下： 为简便起见，我们仍沿用上面的记号。取邻近的两条初始轨线厶、乞，它们的起始 点分别为而、乩，两个起始点间的距离= x - - l 。和将分别沿各自的轨道厶、 厶运动，经过时间& 之后，和分别运动到五和乃点，这时距离为= i 五一乃i ，在 毛和乃的连线间取一点m ，并使其满足= j 五一咒j ，且而和乃分别在轨道厶和厶上， 再以五和咒7 为初始点，经过时间a t 之后，而和舅运动到恐和咒点，这时距离为 = 1 吃一咒j ，如此循环下去，经过m - - t 时间之后得到历个形( i = 1 ，2 ，聊) ，其中 形- i x , 一咒i ，只要能够保证聊足够大，就可以用下面的公式计算出最大的娼，即有 晔l i m 越1 薹2 m a th 鲁 m 6 ， m 一 ，置 以 4 广西大学硕士掌位论文具有对称约束两自由度碰振系统的研究 其中出是积分步长。这个计算过程的示意图如下： 图卜1 光滑连续时间动力系统l y a p u n o v 指数计算示意图 f i g1 - 1s c h e m a t i cr e p r e s e n t a t i o no f c a l c u l a t i o no f l y a p u n o ve x p o n e n t s i ns m o o t hc o n t i n u o u s - t i m ed y n a m i c a ls y s t e m 对离散时间动力系统 2 吩+ l = 尸( 材j ) ，u j r ”，j = 0 ，1 ，2 ， ( 1 7 ) 为分析映射点巧及相邻映射点吩之间的距离随映射次数增加的变化，我们引入 彬 一= 吩一乃 j f = o ，1 ，2 ， ( 卜8 ) 乃与映射点叶有初始距离w o ，定义乃的l y a p u n o v 指数为 仃( 瓦，w o ) 答熙；m 丽1 1 _ 1 1 = 牌掣 c1 咖 对于充分小的i l w 川，有 ， ：钟( 乃) 一：血卿( 巧) w o 毛( ) ， _ ，：0 1 ，2 ，( 1 - 1 0 ) 将矩阵彳( ) 的特征值九( ) 按实部由大到小的顺序排序为a ，九，九，并记相应的特征 向量为仍，仍，。定义映射( 卜7 ) 沿着特征向量仇方向的l y a p u n o v 指数为 仃。竺l i m 型， 七：l ，2 ，刀 ( 卜11 ) j “ j 而对非光滑系统，由于相轨线与约束面在接触过程存在非光滑性，使得非光滑系统 的j a c o b i 矩阵不存在，因此不能直接将光滑系统的l y a p u n o v 指数的计算方法应用到非 光滑系统中。在非光滑动力系统l y a p u n o v 指数谱的计算方法研究方面，有学者做了一 些尝试性的工作，得到了一些结果。s t e f a n s k i 2 4 - 2 5 运用同步现象，计算了两个相同 5 广西大学硕士学位论文具有对称约束两自由度碰振系统的研究 的具有不连续性的离散映射的最大l y a p u n o v 指数。m u l l e r 2 6 在分段连续的非线性动 力系统的不连续瞬间，附加一定的转换条件，使得光滑动力系统l y a p u n o v 指数谱能应 用到其所研究的系统。d es o u z a 与c a l d a s 2 7 1 研究了两个不同的碰撞振动系统，在连 续两次碰撞间引进超越映射，得到系统的j a c o b i 矩阵，从而可计算出系统的l y a p u n o v 指数。金俐等 2 8 - 2 9 引入局部映射来获得p o i n c a r 6 映射，借助光滑系统指数计算方法 得到非光滑动力系统l y a p u n o v 指数谱通用的计算方法，他们还将该方法应用到一个简 单的单自由度碰撞振动系统和单自由度的斜碰撞系统。付士慧，王琪等 3 0 根据不连续 点处定义的闭上链得到一个传递矩阵，从而给出了一种带干摩擦的非光滑动力系统 l y a p u n o v 指数的数值计算方法。张晓丹等 3 1 提出一种既适用于连续系统也适用于离散 系统的，基于奇异值分解的l y a p u n o v 指数计算方法。张淑华等 3 2 3 3 将引进超越映射 计算l y a p u n o v 指数的方法分别运用到一个具有相对运动的双边碰撞系统及冲击消振器 当中。魏艳辉等 3 4 则将文 2 8 2 9 的方法推广到一个两自由度的碰撞振动系统。 1 4 非光滑分岔的分类及碰撞振动擦边分岔的研究现状 动力系统分岔的研究是非线性动力学研究的一个重要课题。对于光滑动力系统，由 于其j a c o b i 矩阵的存在性，通常用j a c o b i 矩阵的特征值来定义和区别各种光滑分岔， 如f o l d 、f l i p 、h o p f 分岔等。y a k u z n e t s o v 3 5 对光滑连续、离散时间动力系统的 余维1 、余维2 分岔做了较深入的研究，形成一整套较为完备的理论。而非光滑系统的 j a c o b i 矩阵不存在，于是与光滑分岔所不同，非光滑分岔不能再依靠j a c o b i 矩阵的特 征值来区别，通常是根据物理意义来定义。 假设非光滑系统的轨线与分界面仅相交于一点，而不在该分界面停留，这时我们需 要对分界面进行讨论。如果分界面光滑，此时轨线与分界面相切，该轨线称为擦边轨线； 若分界面是非光滑的，该轨线称为角点碰撞轨线。又假设系统轨线与分界面相交后在该 分界面停留一段时间，这种情况可看成是轨线在短时间内无穷多次穿过分界面，则称该 轨线为滑动轨线。如果系统处于上述三种轨线的临界情况时，只要系统参数发生微小变 化，就会引起系统动力学行为的改变，产生非光滑系统特有的分岔。对应这三种情况分 岔可分别定义为：擦边分岔、角点碰撞分岔、滑动分岔。 下面将对碰撞系统擦边分岔的研究进展做一些简单的介绍。 s h a w 和h o l m e s 3 6 - 3 9 从8 0 年代初开始运用现代动力系统的理论和方法来研究碰 撞振子。他们在对一个具有刚性约束且受简谐激励的单自由度碰撞振子研究时发现零速 度碰撞将会导致p o i n c a r e 映射的奇异性，这种奇异性对于系统全局动力学行为将产生 巨大影响。n o r d m a r k 4 0 对一个单自由度碰撞系统进行分析，构建了四个局部映射，并 在擦边轨道附近对系统的解进行级数展开，将非光滑的连续时间系统转化成了一个分段 6 具有对称约束两自由度碰振系统的研究 映射的形式。c h i n 等 4 1 - 4 2 利用该映射对系统擦边分岔附近的动力学行为进行了详细 的研究，发现了从周期运动直接进入混沌、加周期运动的分岔序列等一系列非光滑系统 特有的现象。i v a n o v 4 3 进一步研究了如何使得周期解在擦边前后保持稳定的条件。 v i r g i n 4 4 对一个含摩擦的碰撞系统擦边的吸引域问题进行了详细研究，并提出了位移 擦边和速度擦边的概念，这些工作使得擦边分岔的内容更加丰富。f r e d r i k s s o n 和 n o r d m a r k 4 5 - 4 6 推广了之前的工作，在玎自由度碰撞振动系统中引入不连续拉回映射， 结合级数展开的方法得到了一个在碰撞侧具有平方根奇异性的分段映射，并给出了计算 不连续映射规范形的一般方法。b e r n a r d o 、b u d d 和c h a m p n e y s 4 7 3 采用n o r d m a r k 不连 续映射的方法推导得到了，2 维分段光滑动力系统在擦边轨道附近不连续映射的规范形， 并且运用该规范形来分析擦边分岔情况。随后，b e r n a r d o ，k o w a lc z y k 和n o r d m a r k 4 8 对带有滑动的动力系统进行研究，也推导得到了擦边轨道附近不连续映射的规范形。 f o a l e 和b i s h o p 4 9 ，h uh y 5 0 - 5 1 也对碰撞振动系统的擦边分岔进行了研究，指 出擦边分岔会使得系统周期运动的稳定性发生突变并由此导致混沌。张思进 5 2 5 5 对 一类碰摩转子的擦边运动及分岔进行了研究，并采用变量延迟反馈控制的方法对混沌运 动进行了控制。另一方面，有学者开始转向余维二的擦边分岔的研究。d a n k o w i c z 、 z h a o 5 6 - 5 8 分别对一类碰撞调节器和一类单自由度碰撞振子系统进行余维二的擦边分 岔分析，并对碰撞调节器退化的擦边动力学行为进行了普适开折。k o w a l c z y k ， b e r n a r d o 5 9 则是对f i l i p p o v 系统极限环的退化的余维二滑动分岔进行了研究。 k o w a l c z y k ，b e r n a r d o ，c h a m p n e y s 6 0 对碰撞系统和分段光滑系统极限环的非光滑余维 二分岔进行了分类，对各种分岔类型给出了具体的例子，并提出进一步研究的方法及存 在的问题。 1 5 具有对称约束两自由度碰撞振动系统的力学模型及其运动方程 图1 2 给出了具有对称约束的两自由度碰振系统的力学模型【6 l - 6 2 】质块m ，鸩与 线性弹簧和线性阻尼器相接，两弹簧的刚度为k ，阻尼器的阻尼系数为c l ，c 2 假设 m ，鸠只在水平方向运动，并且分别受到简谐激励力只s i l l ( q r + 7 ) ，( f = 1 ，2 ) 的作用以 两质块平衡位置为坐标原点，振子m 、鸩的位移分别用五、五表示。当质块m 的 位移五为b ( 或一b ) 时，质块m 将与右侧的刚性约束a ( 或左侧的刚性约束c ) 碰 撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后与约束c ( 或a ) 碰撞，如此往复假 7 广西大学硕士掌位论文具有对称约束两自由度碰振系统的研究 设这里我们所使用到的阻尼是攀1 e i g i l 型比例阻尼，即满足鲁= 卺。碰撞恢复系数为 r ，碰撞发生在一瞬间，即碰撞持续时间可看成是零 与s i n ( q 丁+ r )s i n ( q 丁+ 刁 q q 乡 蛆乡 月 | 鸩 琼峨c 沥1 o - )髟乡 卜卟厂 如n ( 1 ，777 ，777 ，7 ，777 ，777 ，?，。7 ，、 五 、 z 2 b 图1 2具有对称约束的两自由度碰振系统示意图 f i g1 - 2s c h e m a t i cr e p r e s e n t a t i o no fat w o - d e g r e e - o f - f r e e d o m v i b r o - i m p a c ts y s t e mw i t hs y m m e t r i c a lr i g i ds t o p s 在任意连续两次碰撞之间( 1 墨l b ) ，系统的运动微分方程为 骥h 品矗蚪【皇轰旧 m = p 1 s i n ( q 丁+ 丁) ，i x , i b 质块蝎的冲击方程为 矗斛= 一赋一，( 五= b ) ，a - , c + = 一赋c 一，( 五= - b ) ， ( 1 - 1 3 ) 其中一，+ 分别表示碰撞前、后的瞬间 弓i + k 无量弛胪面m 2 ，心= 鲁，以一正= 彘一q 厝， 旧压小矗， 6 ：- 垒坠， 只+ 昱 v x i k l 铲赢 无碰撞时系统的无量纲运动方程为 刹羔2 刘刚k 捌 似 = 瞄卜) ，小1 6 3 质块m 的冲击方程为 毫+ = 一瓯一一，( 五= 6 ) ，毫c + = 一戤c ，( 五= - b ) ( 1 1 5 ) 设方程( 1 1 4 ) 的正则模态矩阵为雪 6 3 ，q 和吨为无碰撞时振动系统( 1 1 4 ) 的 固有频率令皿为变换矩阵，做坐标变换x = 霍，方程( 1 1 4 ) 可解耦为 必+ c 荨- t - a 产= f s i n ( w t + 丁) ， ( 1 1 6 ) 这里x = ( 五，屯) ，= ( 妄，岛) r ，是一个2 2 阶的单位矩阵，c 和人是对角矩阵，且 c = 西口g 【2 舛，2 w ：2j ，a = 历口g 【u i 2 ，u ；】，f = ( z ，元y = 皿r 忍，e = ( 1 - f 2 ，五) 7 ，通过模 态叠加法 6 3 可得到方程( 1 1 6 ) 的通解为 薯( f ) 2 若彬州卜u ( 俨( r 一) + 舳( r 一钏岛f 刚= 1 ，2 ) + a js i n ( w t + t ) + b 2 c o s ( w t + r ) ) ， 五( f ) 2 丢w 州卜们( 乃：c 0 s ( f 一) + 蛐( f 一钏f l f 鲥= 1 2 ) ( 1 1 7 ) 其中，一气表示质块m 与约束彳碰撞后瞬时到与约束c 碰撞前瞬时，2 一表示质块 m 与约束c 碰撞后瞬时到与约束a 碰撞前瞬时吻表示正则模态矩阵皿的元素， 仉= 舛，= 厢，a j l ，a j ：，6 j 。，屯：表示由初始条件所决定的积分常数4 ，哆为 振幅常数，j = 1 ，2 ，且 4 = 击( ! 丝 ( + ) 2 +巩2 p 一。毋 一) 2 + 协2 ) ， ( 1 - 1 8 ) 南) 乃( 1 - 1 9 ) 令毫= h ，岛= ，妒= 埘( m o d2 7 r ) ，则( 1 1 4 ) 可写成下面的一阶自治动力系统 9 广西大掌硕士学位论文4 1 有对称约束两自由度碰振系统的研究 五 。巧 恐 哆 9 哆 - 2 v , + 2 v 2 一五+ x 2 + ( 1 - f 2 ) s i n ( t o + v ) 易 其中薯及e ( i = 1 ，2 ) 的解析解可以由模态叠加法通过式( 1 - 1 7 ) 得到。 ( 1 - 2 0 ) 1 6 本文的工作 本文将利用构建局部映射的方法计算一类具有对称刚性约束两自由度碰撞振动系 统的l y a p u n o v 指数谱，并对该系统双擦周期轨道的稳定性进行分析。 第一章为绪论，简述了碰撞振动系统的研究历程，连续及离散时间光滑动力系统 l y a p u n o v 指数谱的计算方法，非光滑动力系统l y a p u n o v 指数研究进展，非光滑分岔的 分类。最后，给出了本文所研究的具有对称刚性约束两自由度碰撞振动系统的力学模型 及运动方程。 第二章通过建立局部映射的方法，构建p o i n c a r 6 映射，从而得到该系统的j a c o b i 矩阵的表达式，并借助g r a m - s c h m i d t 正交化和范数归一化方法，以及离散映射的指数 计算方法，计算出该系统全体l y a p u n o v 指数谱。数值模拟验证了理论分析的正确性和 有效性。 第三章运用n o r d m a r k 不连续映射方法，在擦边周期轨道附近建立不连续映射，对 该系统的双擦周期轨道的稳定性进行分析。 i 0 广西大学硕士学位论文具有对称约束两自由度碰振系统的研究 第二章l y a p u n o v 指数谱计算研究 2 1 碰撞振动系统的p o i n c a r 6 映射及其j a e o b i 矩阵 为叙述的方便，我们先假设振子m 在1 个外激励力周期内只与两侧碰撞面分别发 生1 次碰撞。取碰撞前瞬时的定相位面妒为p o i n c a r 6 截面 i i n = ( 五，_ ，x 2 ，吃，妒) r 4x s ll 妒一= o ) ， 1 7 = ( 而，m ，x 2 ，v 2 ，妒) r 4x s li 妒一= o ) ( 2 一1 ) 构造p o i n c a r 6 映射 尸= 尼。只， ( 2 2 ) 其中只：助_ 妒c ，尼：即一锄定义碰撞面为 = ( _ ，m ，x ：，v 2 ，妒) 尺4x s ll _ = 6 ) ， ( 2 - 3 ) c = ( 五，m ，屯，屹，妒) 尺4x s 1i 而= - b ) ( 2 - 4 ) 对一般的碰撞振动系统，轨线在相空间穿越p o i n c a r 6 截面的情形如图2 - 1 所示下 面我们将介绍通过局部映射来构造p o i n c a r e 映射的方法。首先给出局部映射的定义。设 点d ( d 7 ) n 妒n ，则局部映射可定义为点d ( d 7 ) 的邻域内的轨线从碰撞面到达切换 面妒( 或者从定相位面妒到达切换面) 所构成的映射 图2 - 1 轨线穿越p o i n c a r a 截面的情形 f i g2 - iat r a j e c t o r yc r o s s e st h ep o i n c a r es e c t i o n 广西大学硕士掌位论文- i - 有对称约束两自由度碰振系统的研究 对任意一个局部映射置，令z = ( x ，妒) 1 r 4x s l ，则系统的向量场可表示为 f ( z ) = ( 厂( z ) ，u ) 1 ，切换面方程为办( z ) = o ，于是在点d ( z o ) 处，局部映射置的j a c o b i 矩阵可写成 4 0 】 观( 小，一铡粼， 协5 ， 上一，z lz n1 ，lz i 其中，为5x 5 阶的单位矩阵 其次，根据相空间中轨线与碰撞面接触情况我们可定义下列四类映射：( i ) 在碰 撞点d 处从定相位面1 - i 妒到碰撞面一的局部映射日；( i i ) 从碰撞面一上的碰撞点d 到 达碰撞面+ 上的碰撞点d 7 的碰撞映射最；( i ) 从碰撞面+ 上的碰撞点0 7 到达定相位 面妒的局部映射b ；( i v ) 从定相位面i i 妒沿流到达下一个定相位面1 - i p 的流映射只则 根据上述方法对我们所要研究的系统，有： 足：一= = ，b ：= = 一：，忍z ：= ：一i i ，只彳：i i 锄一i i 竹 只c ：i i _ 三，罡c ：三一：，只c ：老_ ，只c ：i i 蚀一1 i 鳓 ( 2 6 ) 下面具体给出这八类映射的j a c o b i 矩阵的表达式记“一，v l z 一，屯一，v 2 _ 一，妒 一) 和 “ + ，v l 彳+ ，x 2 + ，v 2 + ，+ ) 分别表示在碰撞面上碰撞前和碰撞后瞬时，由于是瞬时碰撞 且质块鸠无碰撞，故有五一一= 五月+ ，而一= x 2 爿+ ，v 2 一= v 2 n ，n 一= + 1 、映射e 及其j a c o b i 矩阵 丑4 表示从定相位面n 到达碰撞面j 所构成的局部映射，即 丑：锄一j ，( 五n ，h n ，屯n ，v 2 n ) 7 h ( h 爿一，屯一一，吃一一，n 一) r ( 2 - 7 ) 在此，切换面是碰撞面j ，方程为办( 乃) = 一一b = 0 由公式( 2 5 ) 及向量场( 1 - 2 0 ) 可得到局部映射丑的j a c o b i 矩阵为 1 2 广西大掌硕士掌位论文具有对称约束两自由度碰振系统的研究 其中q l = a 3 i2 幽一= 口l l 10 0 一旦010 h a 3 1 001 一l00 0 2 h 一一2 v 2 爿一+ 一月一一x 2 月一一( 1 一f 2 ) s i n ( c p , 4 一+ f ) 一2 m 爿一+ 2 ( 1 + 心) v j 一一- x , 一一+ ( 1 + x 2 一- as i n ( c p _ 一十f ) p ，m 一 映射及其j a c o b i 矩阵 最_ 表示从碰撞面：到碰撞面：的碰撞映射，即 ( 2 8 ) 最彳：= = _ ：， ( v l a _ , x 2 一，v 2 彳一，一) rh ( v 1 a + , x 2 + ，v 2 + ，仍+ ) r ( 2 9 ) 啦4 = t _ i o o i l 0 0 1 o 。1 c 2 - t 。， 只4 ：= ：- - , i i ， ( v i a + , 屯彳+ ，吃+ ，+ ) rh ( 五蝴，_ n ，而n ，2 n ) 2 ( 2 - 1 1 ) 媚= o 0 0 1o0 0lo 0ol 1 3 ( 2 1 2 ) 一一钆 一 一 y - 西大掌硕士学位论文 具有对称约柬两自由度碰振系统的研究 其中吒。：丝止堡趟血兰 生坐刿， 一 = 塑进盟业气业选划。 4 、映射只彳及其j a c o b i 矩阵 映射只一表示轨线从定相位面n 沿流到达定相位面所构成的映射 只：i i 。 a _ 即，( 五n ，m n ，屯锄，吃n ) rh ( 西，h ，而垤，吃即) r 由于此时轨线不穿越碰撞面，因而该映射是光滑