（应用数学专业论文）半空间上不可压mhd方程组弱解的l2衰减.pdf

摘要 本文考虑冠( 0 ，o o ) 上的不可压m h d 方程组 毗一e a u + ( “v ) “一( b v ) b + v ( i b l 2 ) + v p = 0 ， ( z ，t ) 霹x ( o ，o o ) ， b t u a b + ( “v ) b 一( b v ) t = 0 ，( z ，t ) 碑( 0 ，c o ) ， v u = 0 ，v b = 0 ，( x ，t ) r ；( 0 ，o o ) ， u ( x ，t ) = 0 ，b ，t ) = 0 ，( z ，t ) o m + ( 0 ，o o ) u ( z ，0 ) = t l o ( z ) ，b ( o ，0 ) = b o ( 。) ，o r ； 其中n 为空问维数 让= 缸( 。，t ) = ( u 1 ( z ，t ) ，矿( z ，t ) ) ，b = b ( z ，t ) = 1 ( 而) ，b “( z ，) ) 为未知的向量函数，分别表示流体的速度场和磁场； p = p ( z ，亡) 表示未知的压力函数；t 1 0 ( z ) ，b o ( ) 表示给定的初始速度和初 始磁场 本文主要研究半空间上m h d 方程组弱解的二2 范数的衰减率，所用 方法主要是s t o k e s 算子的谱表示及能量估计，其内容分为如下三部分t 1 当u o ( x ) 瑶n l r ，b o ( x ) 瑶n l ( 1 r 2 ) 时，证明( 1 1 ) 弱解的 工2 范数的衰减率是t i ( 一 ) 2 利用第一部分的结论，在蜘( z ) ，风( z ) 瑶n ( 1sr 2 ) ，及 k i 鼽蛳( ) 1 7d y 。o ，k1y n b o ( y ) 1 7d y 0 0 的假设下，将( 1 1 ) 弱 解的l 2 范数的衰减率提高到t - 2 ( ；一 ) 一 3 利用热方程组、s t o k e s 方程组，m h d 方程组已有的弱解的衰减 率，将m h d 方程的速度流与s t o k e s 流、m h d 方程的磁场流与热流 分别作差，给出差的衰减上界估计 关键词：m h d 方程，弱解。衰减率 ( 1 1 ) a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gi n c o m p r e s s i b l em h de q u a t i o n si n 癣( 0 ，o 。) u t e a u + ( v ) u 一( b v ) b + v ( ；| b 1 2 ) + v p = 0 b t u a b + ( “r v ) b 一( b v ) u = 0 ， v 缸= 0 ，v b = 0 ， “( z ，t ) = 0 ，b ( x ，t ) = 0 ， ( o ，0 ) = u 0 0 ) ，b ( z ，0 ) = b o ( z ) ， ( 茁，t ) r ；( 0 ，o o ) ， ( 。，t ) r 华( 0 ，o 。) ， ( 。，t ) r ：( 0 ，o 。) ， ( z ，t ) a r ：( 0 ，c o ) 。肥 w h e r eni st h es p a c ed i m e n s i o n “= u ( x ，t ) = ( 1 1 ( z ，t ) ，t ，( z ，t ) ) ，b = b ( x ，t ) = ( b 1 ( ，t ) ，b “( z ，t ) ) a n dp ( x ，t ) d e n o t et h eu n k n o w nv e l o c i t yf i e l d s ，m a g n e t i c f i e l d sa n dt h es c a l a rf u n c t i o no fp r e s s u r er e s p e c t i v e l y 蛳( z ) ，b o ( ) d e n o t et h e g i v e ni n i t i a lv e l o c i t ya n di n i t i a lm a g n e t i cf i e l d s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ed e c a yr a t ef o rt h ew e a ks o l u t i o n so ft h e i n c o m p r e s s i b l em h de q u a t i o n si nh a l fs p a c e s t h ec o n t e n t so ft h ep a p e ri n c l u d e t h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 f i r s t ，w ep r o v et h a ti f u 0 ( x ) 瑶n 上，b o c x ) 圮n l 7 ( 1 r 2 ) ，t h el 2 d e c a yr a t eo f 口a n db i st - ( 一) 2 s e c o n d ，b a s e do na b o v er e s u l t s ，w es h o wt h a tt h el 2d e c a yr a t ec a l lb e i m p r o v e dt ot - 瓣一 ) 一u n d e ra s s u m p t i o n st h a tu o ( x ) ，b o ( x ) 瑶i q l r ( 1 r 2 ) ，a n dkly n u o ( y ) rd y o 。，kiy b o ( y ) l rd y 3 f i n a l l y , i nv i e wo fh a v i n gt h ed e c a yr a t ef o rt h eh e a te q u a t i o n s s t o k e s e q u a t i o n sa n dt h em h de q u a t i o n s ，w ee s t i m a t et h ed e c a yr a t eo fd i f f e r e n c e o ft h es t o k e sf l o w ，a n dm h d v e l o c i t yf l o w ，a n dd i f f e r e n c eb e t w e e nt h eh e a t e q u a t i o na n dt h em h dm a g n e t i cf l o w k e yw o r d s ：m h de q u a t i o n s ，w e a ks o l u t i o n s ，l 2d e c a yr a t e 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 签名称博杈， 日期：沙年勿月7 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定。 学位论文作撇：杯晒 矗 i ， 日期：内年莎月7 e l 第一章引言 m h d ( m a g n e t o - h y d r o d y n a m i c ) 是磁流体动力学的缩写半空间上不可 压m h d 方程组的初边值问题可表示为如下形式 t t e a u + ( v ) u 一( b v ) b + v ( ；i b l 2 ) + v p = 0 ， 且一v a b + ( “v ) s 一( b v ) t = 0 ， v u = 0 ，v b = 0 ， ( $ ，t ) = 0 ，口( z ，t ) = 0 ， u ( o ) = 蛳( z ) ，b ( o ) = b o ( 士) ， ( 茁，t ) 霹( 0 ，。o ) ， ( ，t ) r 2 ( 0 ，o 。) ， ( z ，) 僻( 0 ，o o ) ， ( 茁，) a r ：x ( 0 ，o 。) z 职 其中n 为空问维数 = t ( z ，t ) = ( u 1 ( z ，t ) ，矿( z ，t ) ) b = b ( z ，t ) = ( b 1 ( z ，线b “( z ，) ) 为未知的向量函数，分别表示流体的速度场和磁场； p = p ( x ，t ) 表示未知的压力函数；锄( z ) ，b o ( z ) 表示给定的初始速度和初 始磁场e = 壶，”= 彘，r e ，r m 分别表示流体雷诺数及磁场雷诺数 磁流体动力学与物理学的许多分支及化学，冶金，核能，航天等科 学技术领域都有紧密联系。研究m h d 方程的有关问题有较广的应用背 景 m h d 方程与流体力学中的n a v i e r s t o k e s 方程在结构上比较相似特 别她，若b = 0 ，m h d 方程组( 1 1 ) 变为不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程因此， 在解决m h d 方程出现的问题时，可借鉴研究n a v i e r - s t o k e s 方程的方法 但m h d 方程中出现了未知的磁场函数b ，及更多的非线性项和强耦合 项，因而在理论研究上也更为困难 本文主要研究半空间上m h d 方程组初边值问题( 1 1 ) 弱解的舻衰减 率n a v i e r s t o k e s 方程组关于此问题已有许多结果早在1 9 3 4 年，l e r a y f 1 1 】就对r 3 空间c a u c h y 问题进行了研究近年来，s c h o n b e k 1 2 1 5 1 又对 此网题展示出了新的结果尽管这样，但上述结论都使用的是适用于全 空间的f o u r i e r 变换方法，对半空间问题不适用 1 9 8 8 年，b o r c h e r s 和 m i y a k a w a 【2 】2 合作，利用热核和u k n i 的半空间s t o k e s 方程组解公式，推导 2 颈士毕业生毕业论文 2 0 0 7 燕 出半空闯n a v i e r - s t o k c s 方程弱解的驴衰减2 0 0 1 年，b a e 和c h o e 【3 1 又 对此衰减率进行提高关于n a v i e r - s t o k e s 方程组的时空衰减估计可参考 文献【4 1 ，( 5 1 ，【8 1 ，【9 1 ，关于m h d 方程组c a u c h y 问题衰减率的研究可参考文献 f 1 4 ， 2 1 1 ， 2 2 1 ， 2 3 】本篇文章是基于文献f 2 】，f 3 】的思想，得到m h d 方程的相 应结果 为方便起见，本文假设在( 1 1 ) 中e ：1 ，= 1 即我们考虑如下方程 ( 1 2 ) 地一a u + ( “- v ) u 一( b v ) b + v ( ；i b3 2 ) + v p = 0 ， b 一b 十似v ) _ b 一( b v ) 缸= 0 ， v 一“= 0 v b = 0 ( 为t ) = 0 ，b ( x ，t ) = 0 ， u ( x ，0 ) = t e o ( z ) ，b ( z ，0 ) = b o ( z ) ， ( z ，t ) 殿x ( o ，o o ) ， ( ，t ) 殿( 0 ，o o ) ， ( 第，t ) 。r 2 ( 0 ，o o ) ， ( z ，t ) a 瞬( 0 ，o o ) z 艘 ( 1 2 ) 中的记号与( 1 1 ) 中相同 在介绍主要结果之前，我们先介绍一些记号； 设l q ：= 口( 鲜) ，1 q o 。表示解上的l e b e s g u e 空间，其范数为； 若，l q ，当1 q o o 时，8 川q 粤( kl ，( 。) p d z ) , 1 d x ；当q = o o 时， ，| l ，粤e s s s u p m + | ，1 四。烈on + n ) = u 扣c 铲，d i v u = o ，e 表示c 器在”范数下的闭包 h e l m h o l t z 分解为= 圮。伊，1 r 0 ，问题( 1 2 ) 存在弱解u ，b 满足 ( i ) ( t ) 1 1 2 0 ，i ib ( t ) 1 1 2 0 ( i i ) 若b 0 ，u o ：n l 7 ，1 r 0 与n ，7 ，u d ，b o 无关 定理2 设t 0 ( z ) ，岛( z ) l ；n 口，1 r 2 ，且，肼i t 0 ( g ) i d y 0 与n ，r ，u o ，b o 无关 第三节主要利用第二节的结论，将m h d 方程组的弱解u 与s t o k e s 方 程组的弱解、r 。m h d 方程组的弱解b 与热方程的解h 分别作差，得出差 的衰减上界估计主要结论如下 定理3 设u ，b 是初值为蛳，岛的m h d 方程组的解，v 是初值为t o 的 s t o k e s 方程的解，h 是初值为风的热方程的解，且t o ( ) ，b o ( z ) 瑶n ， 1 r 2 且j 蠢iy u o ( y ) i d y o ， 爰瞰+ a 2 段+ p 2 ( v ) 最一p 2 ( b v ) u k = o ， t o ， u d o ) = 就o ，t ，鼠( 0 ) = 岛 其中咖，：= 以蛳= ( 1 + k - * a 2 ) u o ，b o k ：= 以岛= ( 1 + k - * a 2 ) 一1 b o y j k ：= 掣口，k ：= b k ，n = 1 + f 割，= l ，2 逼近解“k ，瞰满足以f 性质( 参考【4 j ) ( 1 ) 解，鼠在l 2 ( 0 ，r ；d ( a 2 ) ) n w l 2 ( o ，t ；瑶) 存在且唯一 ( 2 ) 逼近解，l j j k ，b k 在霹1 0 ，邳( 7 0 ) 上有界，v 饥= o ，v 6 k = 0 ， 且满足对y t 0 ，有 o 1 1 蛾( r ) 惦打j ( 8u t ( r ) 肥打，i i 埘t1 1 。_ 0 ，m h d 方程的能量不等式为 i i 乱1 1 ；4 - l lb k1 1 ；+ 。i iv u k 嵋d r + 。i iv b ki i ；d t cf it 0i l ；+ g1 1b o1 1 ； j uj u ( 2 3 ) 第二章半空问m h d 方程组弱解的l 2 衰减 5 下面，为简单我们把w 记为i t ) ，i 记为t ，b k 记为b ，b k 记为b ，研究 t ，b k 的l 2 衰减这样，当n = 2 时，1 t ，= 乱，b = b 就是m h d 方程的唯 一弱解；当n 3 时，让推出的关于 k ，鼠的p 估计关于k 一致，即令 k o o ，取极限即得主要结论 令 ，0 0 a = a d a ( a ) ，u 是层空间中a 的谱分解，其中 a ( a ) ：a o 是算子a 的谱族，满足如 下性质【l7 j ( 1 ) a ( a ) h ( v ) = a ( u ) a ( a ) ，0 p o o ， ( 2 ) a ( a ) = l i r a “叫 ( 肛) ，0 肛 a 0 ， 0a ( a ) p ( t ，v ) 0 2 c w i l 2 i lu 2 入( n + 2 ) 4 c 与i ) ，a 无关 证明；见【2 | 2 中引理4 3 引理2 已知初值为t 0 的s t o k e s 方程组，则 ( 1 ) e - t a u o 是s t o k e s 方程组的解，且0e - “t 00 2 0 当t 一。o ( 2 ) 0e - t a l l q 0 ，问题( 1 2 ) 存在弱解u ，b 满足 ( i ) 0u ( t ) 1 1 2 0 ，0b ( t ) 8 2 0 ( i i ) 若b o ，u o 谚n l ，1 r 0 “睑z ”m a ) u 惦p 0 1 “肛1 1 a ( a ) “胁 2 铷肛i i a ( a ) u | j ；) ， ( 2 ，4 ) ( 2 5 ) i i a b 俭j ( 。a d i i a ( a ) b 嬷p ( | | b i l ；一i ia ( a ) b 1 1 ；) ；( 1 1 b 惦一a ) b 国， ( 2 6 ) 代入m h d 的能量等式( 2 4 ) ，得 磊di i 圳；+ 面d i lbi ；= 一20a 2 2i ia ；b1 1 2 p8 l i ；一p0 b 瞻+ p8 a ( a ) u | | ；+ p | | a ( a w l i ； 即 翱“i 睦+ 夏d8 引睦+ p u 1 1 2 2 + p i i b i i - - - p i ia ( a ) no ；+ p i ia o ) b 1 1 2 2 m h d 方程组( 2 5 ) 等价于积分表示 ( 2 7 ) u ( ) = e - t a u o , + t e - a ( 一5 p 0 v ) b p ( v ) “1 ( s ) d s ，( 2 8 ) m h d 方程组( 2 6 ) 等价于积分表示 b ( t ) = e - t a 风，+ j ( t e - a ( t - s ) p o v ) b p ( t i 可) b 】( 8 ) d s ， ( 2 9 ) 第二章半空闫m h d 方程组弱解的驴衰减 7 则 a ( p ) t ( ) = a ( 力e - t a t 饥+ o j ( 0 pe - a ( t 一) d a ( a ) p ( b v ) b a ( p ) p ( 一v ) “1 d 。 = a ( p ) e - t a u o , k - f f e p 。一_ ) a ( p ) 【p ( 6 v ) b p ( w v ) 叫( s ) d s ， + j ( ( t s ) f o p e - w - ) ( a ) ( p p v ) b p ( v ) u 】( s ) d a l d s ( 2 1 0 ) a ( p ) b ( ) = a ( p ) e - t a 风，k + z ，z 。0 p e - a ( t - s ) d h ( a ) p ( b v ) b a ( p ) p ( 伽v ) 乱】d s = a ( 力e - $ a 玩k + z e m 一。) a ( 力l p ( b v ) 一p ( w v ) b 】( s ) d s + r o 一州f e “( 卜蛳( 州p ( 6 v ) b p - v ) 冰s ) 酬瓠( 2 | 1 1 ) 分别对( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式中的第一项估计，有 i ia ( p ) e m u o ，ki 2 0e 。4 t o 。k1 1 2 e - t a u o1 1 2 8a ( p ) e 一4 岛t1 1 2 i ie - t a b o ，kj 1 2 0e - t a b o1 1 2 利用m i n k o w s k i 7 8 不等式、引理1 及性质( 2 ) ，佰计【2 1 0 ) ，【2 1 1 ) 甲弟二 项，得 i i t e - p ( t - a ) a ( p ) 【p ( 6 v ) b p ( w v ) u 】( s ) d s1 1 2 上o a ( p ) 【尸p v ) b p ( v ) 豇】( s ) 1 1 2d s s 五8 a ( p ) l p ( b 。v ) b lj 2d s + j c p ) 【p ( v ) u i l 2 幽 e z 。i ib i i 。i i b i i ：p - 牛, 2 d s + g z 。i i i i ：i iu 舱p “”4 d 8 c 芦胸b i i u i i ；) d s ， l l z 0 0 te - p ( t - 8 ) a ( p ) i p ( b v m p ( t l ，v ) b 】扣) d s1 1 2 上i ia ( p ) 【p ( 6 v ) “一p ( w 。v ) b 】( s ) i | 2 d s s 上o a ( p ) i p ( b v ) “0 2d * + j oi i a ( p ) l p ( w v ) b i l 2d s c o “i i 。p 咩d s + c o 。i i ”1 1 2 i iu i i zp d s 8 疆士毕业生毕业论文2 0 0 7 年 印孚z 。i i b i i ，u i i 。幽 印年铷b 肌弘 利用不等式( t s ) e - 【“l j a 一，对( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 中第三项分别估计得 i i ( t - s ) f f e - 1 ( t 一。) a ( a ) i p ( 6 v ) b p ( w v ) 】( s ) d a l d s1 1 2 c o z 9 a i ia ( a ) p ( b v ) b p ( ”v ) u 】( s ) i i 。d a d s c o z 9 一i ia ( a ) p ( b v ) b i l 2 删s + g r z 9 一i ia ( a ) p ( w v ) “i i ：d 胁 c z z 9 一详i i bi i 。1 1 日d s + e f f o 一+ 孚1 1wi i 。i i “d s c p 孚f j ( 1 l 钍幢+ i i b l l ；) d s ， i i o s ) 【f e - a ( t 一。) a d ) f 尸p v ) 钍一p ( v ) b 】( s ) d a l d so ： e r r _ 1 oa ( a ) l p ( 6 v ) 一p ( t i v ) b 】( s ) d a 幽 冬c o j ( 9 a 一1 i ia ( a ) p ( b v ) “i i ：d a d s + c o a 一1 i i a ( a ) p ( w v ) b i i ：d a d s g z z 9 a 。1 + 孚i i b i i ：i i 让i i 。d m s + c o z 9 a 4 + 半i t “ i i z i ib o ：锨幽 印孚翩“肌i i b 幽 将上述分别代入( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 1 得 p ) “( 圳e - t a t 0 g 芦昏l t t1 1 ；+ i i 口l l ；) d s ， i ia ( p ) b ( 扪i i ：剑e - t a b oi i ：+ c 年o ( ui i i + i ib d s 再将( 2 z 2 ) ，( 2 1 3 ) 代入( 2 7 ) ，得 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 面d i iu l i ；+ 知驯；+ p i i l i ；+ p i i b i i ； ( 2 “) o pi ie 一a 咖肥+ c pi i e - t a 风幢+ ( 和2 + 2 【z 。i it 幅d s 】2 + g p 2 + 2 【z 。i ib 1 1 2 2d s 】2 从能量不等式( 2 3 ) 我们可知 0 珏l | 2 f iu o g 0 8 1 1 2 0 ，再在等式两边同时乘以t “，得 爰( 尸i i 牡幅+ t 。i ib i h = ) c t a - i 【noe - t a l l 0 昭+ ni ie 一“风o ；+ n 孚t x - 选择合适的a ，使得a 2 1 ，关于t 积分，得 t 。( i h = + i ib l i d c 口z 0 t 8 a - 1 ( 8e - 1 1 2 2 + i ie - s a b oi i ；) d s + g n 孚r s 峭如 不等式左右两边消去t o ，得估计 j l “嘘+ i ib1 1 2 0 ， 肛i ib i l l c n 产j ( s ( 扩。 | | ；+ i ie 州b o | i ；) d s + a 2 】 因此，由o i 的任意性，我们得t i m s u p f 。l i t 肥+ 0 b 旧c 0 7 即t o o 时，8 “1 1 2 - + 0 ，0 b0 2 0 即( i ) 得证 下证( 观同样分两种情况： 情形i 。n 2 3 对1 r 2 1 ，由( 2 1 9 ) 得 i i i i ；+ i i b 艟c t 代入( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 式，得 i i a ( 咖剑e - t a 伽1 1 2 + 唧孚尉“l | ；+ i i b g ) e s - r le - t a u o1 1 2 + 印半线 i ia ( p ) b ( 圳e - t a 岛1 1 2 + g p 申翩ui i ；+ i t 日i i ；) d 8 - 1 1e - t a 岛1 1 2 + 印学杰 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 所以( 2 7 ) 式转变为 。面d 0 。2 t 面d i t b i ! ；+ p i iu 躬+ p i i 圳； p i | a ( a ) “艟+ p l i a ( a ) b 嵋 c p ”e - t a t l o 惦+ c pi ie - t a b oi i ；+ 印孚 c a t 一“( 一p ( i it oi i ；+ i ib oi 瞪) + ( 和字t 令上式p = n t ，再在等式两边同时乘以护，得 昙( o 口幅+ i ib 嬷) e 矿- - 1 - ( 1 一如+ 一1 】 ( 22 2 ) 第- t t 半空简m h d 方程组弱解的驴衰减1 1 对t 积分后，两边除以t “得 i i 牡i i ；+ i ib 略g 忙一“( ；一 + 一1 又因为1 r 2 ，所以n ( ；一 ) 2 ，即上式得 i i t i i i + u b 旧o t 一”( 一如 即证 i i “1 1 2 _ c t 一 ( 一 ) i ib1 1 2 _ o t 一 ( 一 ) 情形i i ，t , = 2 此时由于( 2 2 2 ) 式没有衰减，所以我们使用另外的 方法再分两种情况来考虑 情形i i 一1 ，当i r 2 时。假设u o e f l ，由( 2 , 8 ) 式，得 o t 1 1 2 忙蜘：+ r e ( 叫【p ( b - v ) b p ( u v ) 叫( s ) a s i i ： i ie - a 蛳1 1 2 + f o i ie a ( * - ) p ( b v ) b p ( “v ) u 川2 出( 2 2 3 ) 利用引理2 ，有 0e 4 “一4 【p ( b v ) s p 0 , v ) u l1 1 2 _ c ( t 一8 ) 一 i ip ( b v ) b p ( u v ) ui i 代入( 2 2 3 ) ，得 1 1 2 i ie 州训2 + g r ( 叫嘲( b v ) bl ! + i i ( “v mi i d 8 c t 一( ；一i it 0i i ， + e ( o 一8 ) 一 ( ob o 。i iv bi i 。+ ot 1 1 2 t lv u1 1 2 ) d s ，( 2 2 4 ) 1 2 疆士毕业生毕业论文2 0 0 7 年 固定2 口 ( ；一) ，利用一般的h f l d e r 不等式，有 ( 伽n ( 8 ) 1 1 ；d 8 ) $ c ( f o t 8 - q ( ) + cla f o o s ) 一 ( ob ( 8 ) o ：i iv 8 ( s ) + l in i iv ”i i ：) d si i 。 c i i 咖i i ，小 + + g z 。( o 日( s ) i iv b ( s ) 1 1 2 十o u i | 2 i iv uo 。) 鲁d s 】等 cl l u o “一h + g 旺i iu 嗽i i v u 胁p + c l ( i i b 舵d s 】；【o v 日肥d s j ， 由能量不等式( 2 3 ) ，得 j ( i i v u i f ；a s _ c i iu o i i ，z i i v b l l ；d s _ c i i b o i r ； 代入上式，得 ( f o i iu ( 洲如) c i i 缸。埘- l + ；+ c i i “o i i 。眨i i “| | ! d s 】 + e 8 n o i i 。l ( 归鹏酬 ( 2 2 5 ) 屙理，可得 i ib1 1 2si ! e - t a 玩0 2 + c f o ( t 一8 ) 一 【i | ( b v ) “i i + i i ( 牡v ) b d j sc t 一( 一 i i 岛i i ， + c z 。一s ) 一。( ob | | 。i i v u1 1 2 + i i 缸i i 。i iv b o ：) 幽，( 2 2 6 ) 及 ( 伽s ( s 圳弛) ；s ci i 岛i i 书；+ c u 幻i i 。l ( ub 昭d s 】； + c i i b ou 。眨i i 让】；，( z 2 7 ) 第二章半空问m h d 方程组弱解的口衰减 1 3 将( 2 2 5 ) 与( 2 2 7 ) 相加，得 ( j o i i “蛆如) ；+ ( o i i b l l ；d s ) i 1 _ ( c i i b o i i ，+ c i i t 0 i i ，) 旁 + ( c i ib 0 1 1 2 + c i iu o i i 。) 【r8 “躬删；+ ( c i i b o + c i i t l 0 1 1 ：) l ( i i b 旧酬； 根据定理t o ) ，令c ( 1 lb 01 1 2 + 8u o1 1 2 ) ，上式变为 ( 加u 惦d s ) ；+ ( r i i 钏! d s ) ： ；一1 ，再在不等式两边乘以，得 孙d 。i ；+ 垆i i b l l 2 2 ) c ( t 一；+ 一+ 1 ) 上式对积分，两边除以曩得 i i “i i ；+ i ib 畦c c t 一；+ 1 + t 一 + 2 ) c t 一2 ( 一 1 4 即证 硬士毕业生毕业论文 i ii 1 1 2 _ c t 一( 一 i ib1 1 2 _ c t 一( 一 ) 情形i i 2 ：当r = 1 时，乱o 己；n l l c 瑶n l 利用情形i i 1 的结论，有 i i 0 2 优一( 一；) = c t 一，i ib1 1 2 _ 2 ，再在不等式两边同时乘以t 口得 要( 矿ou 惦+ 矿i ib i i ) g ( o c t a - 2 + 0 1 3 t a - 2 ) e t n 一2 仍对t 积分，两边除以t a 。得 即证 眩+ lb 畦c t _ i i t 1 1 2 _ c t 一，t l b9 2 c t 一 综上所述，定理1 得证椎 2 0 0 7 拒 第二章半空问m h d 方程组弱解的l 2 衰减 1 5 2 2半空间上m h d 弱解的胪衰减的进一步提高 本节利用定理1 的结论，提高m h d 方程组弱解的2 衰减性，将其衰 减率由t - 2 ( 一 提高到t 一( 一 ) 一 引理3 设锄为s t o k e s 方程组的初值，则e - t a u o 是s t o k e s 方程组的 解，且i ie 一“t o1 1 2 c t 一2 ( 一；) 一 证明，见 3 j 中定理3 1 定理2 设t 0 ( z ) ，b o ( x ) 瑶n p ，1sr 2 ，且j 蠢i 咖( ) i d y c o k1 w b o ( v ) l r 劫 0 ，问题( 1 2 ) 存在弱解u ，b 满足 i it ( 圳1 2 c t 一2 ( r 一) 一，i ib ( t ) 1 1 2 0 与n ，r ，咖，玩无关 证明；证明与定理1 类似首先，同定理1 证得( 2 1 4 ) 式，即 加uf i ；+ 差i i bi i ；+ p i i “f f ；训l 刚； _ c pi ie - t a 蛳1 1 + c pi i e - t a 玩肌e p ；+ 2 咖u 舳】2 + 印2 + 2 瞄i i b 幢如】2 由定理1 ，有 8 “l l z _ ( t + 1 ) 一2 ( 一射，i ib1 1 2 ( t + 1 ) 一 ( 一 再和用引理3 。得 爰i i ui i ；+ 面do 圳；却l iuo ；+ pi ib 1 1 ； 印一；+ 一1 + c p ”眨( r + 1 ) 叫叫2 ( 2 3 0 ) 顼士毕业生毕业论文 下面还是类似上面的讨论方法，分n 23 和n = 2 两种情况 第一种情况tn 23 情形1 ：如果n ( ；一；) 1 ，即惫 r 2 ，则 2 0 0 7 芷 面d8 缸9 ；+ 丢i i 引i ；+ pi i 钍1 1 2 2 + p i ibi 睦 c p 一；十2 一i + c p ；+ 2 ( 南) 2 ( t + 1 ) 2 一( 一 ) ( 2 3 1 ) 令p = 口t ，a i ，再在不等式两边乘以尸，得 爰( 俨o “蛇+ 。l ib 1 1 2 2 ) e 。t a - 2 - ；+ + e 。t a 一 一2 0 + 1 ) 2 一缸( 一如， 上式对t 积分，消去t o ，得 i it 0 ；+ 0bl l ；c ( t 一；+ 2 1 + t 一挚+ 1 ) 如果；一i + 1 挚一2 1 ，得 j i 肥+ 8 b 瞻c t p 2 1 从而忡 | 2 t - ( 一 ) 一，brr 2 挚一2 1 ，得 i i t i i ；+ i i b 瞻c t 一譬+ 1 代入( 2 2 9 ) 的第一个不等式，再利用引理3 ，得 l l a ( 加( 圳1 2 + p ) b ( ) 1 1 2 le - t a 咖”舻“玩1 1 2 + g p 警z s 2 - 挚+ l d s c t 一2 ( ；一；) _ + ( ? p 2 # t 2 一挚+ 2 ， ( 2 3 2 ) 所以 加珏眶+ 训d b 眶却i ；+ p i ib1 1 ；p p ) 札( t ) 1 1 ；+ p p ) b ( ) 眩 ( 了一n ( 一1 ) + c 詈+ 2 一譬+ n + 4 第二章半空阉m h d 方程组弱解的l 2 衰减 令p = 耐，口1 ，再在不等式两边同时乘以严，得 五d ( 矿l i ui l ；+ 尸i ib1 1 ；) c ( t a - 2 - ；+ 号+ c t 。+ 弦挚) 仍对t 积分，两边同时除以t n ，得 i i i i ；+ i i 口瞻e ( t 一1 一”( 一 + 号十3 一譬) 因为1 + ；一 譬一一3 ，即r 警，所以 即 i i t i i ；+ i i b0 ；c t 一1 一川；一 i it ( t ) 1 1 2 _ c t 一；( 一；) 一，i i 且1 1 2 _ c t 一2 ( 一) 一 情形2 ：当n ( ；一 ) = 1 ，即r = 惫时。 刘d i i ；+ 加b 肛pi i “l i ；+ p l | b8 ； _ c p t 十2 - t + 印舭l ( ( r + 1 ) 一“叫2 c p t 一；+ 一1 + ( ? p ；+ 2 l n ( t + 1 ) 2 令p = a t - - 1 ，口1 ，再在不等式两边乘以t n ，得 爰( 刊i ；舻i ib1 1 ；) - c ( t a - 2 - w 坩卡2 聍( h 1 ) ) 上式对t 积分，两边除以t a ，得 ( 2 3 3 ) 8 幢+ 0b 躬c ( t 一譬+ 詈一1 + t 一号一1 + t 一号一1 l n ( t + 1 ) + t - 譬一1 i n 2 0 + 1 ) ) 注意到；2 + 1 + 1 ，即； 1 ，此时有 t 号一1 l n ( t + 1 ) t 一号+ 詈_ 。，一号一1 i n 2 0 + 1 ) t - 2 r + 虬2l ，所以 1 8 即 硬士毕业生毕业论文2 0 0 7 年 躬+ 0 b 艟c t 一；+ 1 i t 1 1 2 _ t - 2 ( 一卜，| lbi f 2 _ 1 ，即1 r 袅时，有 加ui f ；+ 五d obi l l + pf l “i i ；+ pi i 圳； c p t 一孚+ 量一1 + 乃号+ 2 ( 7 - + 1 ) 2 - 2 “( 一 ) c p t 一；+ 2 1 + c 庐+ 2 令p = o t ，n 1 ，再在不等式两边同时乘以尸，得 爰( 矿i ；+ 伊怕幢) e ( t a - ：z - 潍+ c t 岫一2 ) 上式对t 积分，消去t 口。得 眩+ i ibi l l c ( t 一苎+ “+ 一；一1 ) 注意到；一2 + 1 十1 ，即； 1 ，我们得到 即 眩+ l l b 髓c t 一詈+ g 。 i t “i l t - g ( 一 ) ，i fb 峪一( h ) 一 ( 2 3 4 ) 第二牵半空间m i j , d 方程组弱解的l 2 衰减 1 9 第二神情况tn = 2 ，蛳( z ) ，b o ( 功瑶n l ， 情形