（工程力学专业论文）正交各向异性复合材料非线性脱层屈曲问题的渐近解.pdf

摘要摘要脱层屈曲是复合材料层合结构力学承载能力分析的一个非常重要的组成部分。本文建立了含纤维搭桥的正交各向异性复合材料非线性脱层屈曲的基本控制方程。运用渐近迭代法，在第一步迭代中导出了正交各向异性圆板结构线性屈曲的解析解，应用该解进一步获得了屈曲载荷与中心挠度的非线性特征关系式采用此关系式，易于评价纤维搭桥因子、正交各向异性材料参数对结构脱层屈曲的影响。算例给出了不同搭桥因子、正交各向异性材料参数所引起的脱层边界屈曲应力的变化情况。关键词：正交各向异性，非线性，脱层屈曲，纤维搭桥，渐近迭代法a b s t r a c ta b s t r a c td e l a m i n a t i o nb u d d i n gi sas i g n i f i c 锄tp a r to fl o a d i n gc a p a c i t ya n a l y s i so fl a m i n a t e dc o m p o s i t e s f u n d a m e n t a lg o v e r n i n ge q u a t i o n sf o rn o n - l i n e a rd e l a m i n a f i o nb u c k l i n go fo r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l sr r ed e r i v e d t h ef i b e rb f i d g m gf a c t o r sa l t oi n c o r p o r a t e d t h ea s y m p t o t i ci t e r a t i o nm e t h o d ( a v di sa d o p t e dt os o l v et h ec o u p l i n ge q u a t i o n s i nt h ef i r s ti t e r a t i o n , 瓤a n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rl i n e a rb u c k l i n go fo r t h o t r o p i cc i r c u l a rp l a t ei so b t a i n e d o nt h eb a s i so f t h er e s u l t i n gl i n e a rs o l u t i o n , t h e擞o f f u r t h e ri t e r a t i o np r o c e s sr e s u l t si nn o n - l i n e a rc t 班r a c t e f i s t i cr e l a t i o nb c t w c c nt h eb u c k a m gl o a da n dt h ec e n t r a ld e f l e c t i o n , w h i c hc a nb ea p p l i e dr e a d i l yt oe v a l u a t et h ee f f e c to ft h ef i b e rb r i d g i n gf a c t o r sa n dt h eo r t h o t r o p i cp a r a m e t e r0 1 1t h eb u c k l i n gb e h a v i o ro ft h ec o m p o s i t em a t e r i a l s n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ec h a n g eo ft h eb u c k l i n gs t r e s sa tt h ec d g eo ft h ed e l a m i n a t i o nw i t ht h ed i f f e r e n tf i b e rb r i d g i n gf a c t o r sa n dt h eo r t h o t r o p i cp a r a m e t e r k e yw o r d s ：o r t h o t r o p i c ，n o n - l i n e a r , d e l a m i n a t i o nb u c k l i n g , f i b e rb r i d g e ,a s y m p t o t i ci t e r a t i o nm e t h o d学位论文版权使用授权书本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名：年月日同济大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：年月日第1 章引言1 1 课题背景及意义第1 章引言复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理或化学方法制成的具有新性能的材料。一般复合材料的性能优于其组分材料的性能，而且有些性能是原来组分材料所没有的，它可能改善组分材料的刚度、强度、热学等性能。复合材料具有高比强度、高比刚度、可设计性和制造工艺简单等众多优点因此，已被广泛应用于航天、航空、交通、建筑、医疗、体育等领域【l “在复合材料中，层合复合材料是以层合的形式制成的。传统复合材料层合板通常是通过把增强纤维按照一定的铺层角度进行铺设，然后经过层压固化所形成的二维层板结构。这种结构层与层之间仅靠基体起粘结和传递载荷的作用，层问的力学性能比较薄弱，在侧向载荷下很容易发生脱层破坏。脱层损伤是复合材料层合结构最为严重的一种损伤形式，将导致结构强度大幅度下降。复合材料层合结构在压缩载荷作用下，由于脱层损伤的存在，容易使结构在很低的载荷下就发生脱层失稳，随之发生分层扩展，同时伴随其它形式的破坏，致使结构提前发生整体失稳和破坏。另一方面，复合材料在制造过程中产生的脱层、气泡等，层合结构在装配、修理过程中的工具跌落碰撞，以及在使用期内受到的冲击( 以低速冲击为主) 等都将使复合材料层合结构内部产生大量的脱层损伤【卅。八十年代，为了改善复合材料的层间力学性能，一种三维层板结构缝纫复合材料因此而发展起来。在厚度方向上有缝纫线，或者说是纤维的增强作用，能够改善传统层合板的层间性能，因而提高其抗冲击损伤能力和冲击后的压缩强度1 7 。所以，研究缝纫层合板的脱层屈曲是评估缝纫对层问强度以及缝纫层合板冲击后压缩强度影响的一个重要课题。三维层板结构复合材料由于出现的时间不长，其力学性能的表征尚未完善。并且，由于增强体结构复杂，材料的性能受一系列因素的影响，其中包括材料的不均匀性和非各向同性，组分材料在物理、化学和力学性能上的差别，几何非线性，受载情况的多样性等等，为缝纫复合材料在力学性能方面的优化、设计、实验测试等方面带来困难。研第1 章引言究含纤维搭桥复合材料的非线性脱层屈曲问题，对于其在实际的应用中具有指导意义。1 2 研究进展层合结构中脱层的起因各不相同并且在使用过程中脱层还有可能扩展，脱层的形式和种类也多种多样。根据脱层的平面几何特性，一般可将脱层分为两种类型：即穿透脱层和埋藏脱层。前者是一种简化的理想模型，假定脱层贯穿整个宽度方向，从而使复杂的三维问题退化为二维问题，减少了计算上的烦琐，可方便地研究脱层破坏机制。后者是一种更接近实际的脱层分析模型，将脱层简化为圆形、椭圆形或矩形等规则形状来分析。按脱层位置不同可分为两大类：自由边缘脱层和内部脱层。内部脱层根据其脱层数目划分，可分为单处脱层和多处脱层两种。为了将研究工作集中于对脱层破坏机制的分析，大部分学者采用单脱层模型进行研究。然而对于实际层合结构来说，一般会含有多个脱层，因此近年来也有一些学者致力于模拟含多处脱层层合结构的破坏过程。研究表明，如果脱层损伤是由冲击引起的，则尽管其损伤也是多脱层损伤，但在压缩载荷作用下其破坏还是以离表层最近的脱层子层失稳为主，故文献 4 认为其分析仍可采用单脱层模型。从脱层所在的厚度位置，一般可分为浅脱层损伤和厚脱层损伤两种。按照简化模型及结构的不同，可分为二维脱层和三维脱层。含脱层损伤复合材料层合结构一般要承受不同形式的面内载荷( 拉伸、压缩和剪切) 和横向载荷( 弯曲) 的作用。在这些载荷作用下，都会产生因脱层屈曲而导致结构强度下降的问题。其中比较特殊的是在拉伸载荷作用下，由于复合材料特殊的耦合特性，层合结构也会发生脱层屈曲【9 , 1 0 。研究表明，在所有的载荷形式中，对含脱层损伤复合材料层合结构强度影响最大的载荷形式是面内压缩载荷因此，大部分研究工作均集中于对压缩破坏行为的分析1 2 1 脱层模型1 2 1 1 二维模型2第1 章引言图1 1 给出了含单脱层层合板在面内单向压缩载荷作用下可能发生的三种失稳模式：( 1 ) 局部失稳：予板屈曲，脱层扩展并导致层合板压缩破坏：( 2 ) 整体一局部混合失稳：子板屈曲，基板发生反向的失稳：( 3 ) 整体失稳：子板与基板一同失稳目前除对含多个贯穿脱层情况尚未充分研究之外，对于单个贯穿脱层，根据二维分析模型，可简化为利用能量原理和r a y l e i g h r i t z 法求解分层梁的弹性稳定闯题，也可以由应变能释放率准则分析脱层扩展问题。( 斓始状态一一 兰至一( b ) 局部失稳( c ) 整体一局部失稳= = = 二一( d ) 整体失稳图1 1 含脱层层合板各种压缩失稳示意图1 9 8 1 年c h a i 等人【“】研究了含局部脱层的各向同性、均匀弹性梁的屈曲，用基于断裂力学的能量释放率来研究脱层的扩展、稳定性和止裂。文中根据脱层的厚度、尺寸和数目将脱层简化为下列5 类问题：( a ) 表面脱层；( b ) 厚处脱层；( c ) 复合脱层；( d ) 对称脱层；( e ) 一般脱层。研究表明，脱层屈曲和扩展的性质与脱层的尺寸、位置、载荷以及断裂韧性有关，脱层的扩展可能是稳定的、不稳定的或不稳定扩展后紧接着稳定扩展。对于一般脱层的屈曲与扩展问题，建立了简化的分析模型同时也指出，只有当较厚分层的弯曲刚度取某些特定值时，才会出现接触现象。这是由于此时系统的偏微分控制方程可简化为普通的微分方程，而且这些普通微分方程中对应于最小特征值( 屈曲载荷)的屈曲模态( 上下脱层) 的分量一般为同一符号。所以，对于这种二维模型，可不考虑接触问题。s i m i t s e s 等人【1 2 】建立了一种类似的二维模型来评估简支和固支梁的脱层屈曲载荷，详细地研究了脱层位置、尺寸和厚度对极限载荷的影响。以上两种脱层屈曲研究的二维模型都是将脱层结构分为4 部分，如图1 2 ，而每3第1 章引言一部分满足欧拉梁理论，除原结构两端满足边界条件外，在每一连接点满足各部分横向位移、斜率相等以及力和弯矩平衡的条件。图1 23 维模型李道奎等人【切则将含任意位置脱层的两端圃支梁分成多段子层，用厚度的三次多项式模拟脱层梁屈曲时子层的轴向位移。结果证明，三阶理论适用于长细比和脱层长度比率较小的脱层梁。文献 1 4 则模拟了两端固支单向铺层层合板的三种屈曲模态，文中指出：在相同的脱层深度下，层合板的临界屈曲载荷随着脱层长度的增加而下降；在相同的脱层长度下，层合板的临界屈曲载荷随着脱层深度的增加而上升。1 2 1 2 三维模型w h i t c o m b ”】根据冲击产生的脱层一般是位于层合板的背面较浅的部位，即脱层子板的厚度远小于层合板的总厚度这一特征，提出了分析脱层屈曲的薄膜模型，该模型假设：( 1 ) 脱层的边界可处理为理想固支条件；( 2 ) 脱层部分( 或子层板) 与基板相比很薄，因此基板不弯曲；( 3 ) 基板的应变决定了脱层边界处的变形，并假设其弹性性能与无损层合板相同；( 4 ) 脱层以自相似方式扩展。此后，很多研究工作者基于w h i t c o m b 模型对带形、矩形、圆形和椭圆形脱层模型屈曲进行了研究。目前，三维脱层屈曲问题一般引入下列假设：( 1 ) 脱层是一个靠近层板表面的浅部嵌入脱层；( 2 ) 脱层的平面周界形状为带形、矩形、圆形和椭圆形，其周界尺寸和厚度，与层板的尺寸相比为很小，如图1 3 所示；( 3 ) 脱层为任意铺层结构的子层板，子层以外的部分称为母层板。根据假设可忽略子层板对母层板的影响；( 4 ) 脱层在承受载荷之前就存在，或者层板在受载后才产生脱层；( 5 ) 层板承受面内拉压或剪切作用。具有上述脱层的层板破坏分析将归结为两个问题：首先是脱层屈曲，即求解发生脱层失稳的临界值；可根据能量原理、线性层板稳定理论和r a y l e i g h - r i t z法求解其临界值。其次是由脱层屈曲引起的脱层扩展问题。脱层失稳后在脱层前缘将产生很高的层间应力场，从而使脱层发生扩展，此即需要分析脱层扩展4第1 章引言的起始c i ) 矩形脱层( b ) 圆形脱层图1 3 子层与母层脱层示意图w h i t c o m b 建立了计算脱层板的能量释放率各分量的三维、几何非线性有限元程序。c h a i 1 刀和y i n 1 8 , 1 9 都研究了椭圆形和圆形脱层屈曲问题，然而都局限于母层板为准备向同性，而且分层为0 。和9 0 。铺层的特殊情况。s h i v a k u m a r等【2 0 】关于椭圆形脱层的屈曲位移表达式，没有包含反映拉剪耦合与弯扭耦合效应的非对称高阶项，且在临界应变的表达式中，忽略了拉剪耦合刚度a i b 、a 2 b等项，因此是不够精确的。文献 1 6 ，2 1 中，求解了任意对称层板具有浅部的矩形、椭圆形和带形脱层的屈曲问题，对母层放弃准各向同性假设，子层为任意铺层结构，且屈曲位移表达式包括了反映拉剪与弯扭耦合效应的高阶非对称性项。文献 2 1 还进行了上述各种形式脱层的屈曲与扩展的实验研究，特别是关于层板在拉伸作用下脱层屈曲及扩展特性的实验观测结果。分析脱层的后屈曲特性，包括由脱层屈曲引起的分层扩展和脱层面部分地重叠即接触问题，这比求解屈曲临界应变( 或应力) 要复杂得多，需利用几何非线性关系，来确定分层扩展的起始点和扩展方向，此时断裂力学的自相似扩展假设已不再适用，需要建立新的判据和模型并利用三维弹性理论进行分析。在文献c 1 7 中研究椭圆形脱层的扩展采用了自相似扩展模型。而在文献 2 2 中采用应变能释放率准则和虚裂纹封闭技术，分析计算了正方形和矩形脱层屈曲后前缘的应变能释放率g ，其分布是变化的。在文献 2 3 中，利用可动边界变分问题的方法，导出脱层前缘各点的能量释放率表达式，计算结果表明，能量释放率沿脱层边界有很大变化。上述理论分析结果均表明，自相似扩展模型对研究脱层扩展是不适用的。5第】章引言1 2 2 分析方法由于脱层屈曲比较复杂，通过理论推导得到解析解比较困难。目前大部分的研究工作是采用数值分析方法进行模拟。因此对这些文献进行分类总结。对脱层损伤的数值分析有多种方法，主要可分为r a y l e i g l r - r 沱法、弹性力学有限元法和结构力学有限元法三种，近年来多采用结构力学有限元法来进行数值模拟1 2 2 1r a y l e i g h - r i t z 法r a l e i g h - r i t z 法是最早用来分析含脱层复合材料层合板屈曲问题的一种数值方法，该方法可用于分析穿透脱层和埋藏脱层 2 4 - 2 s l 。早期的大部分研究工作是在薄膜模型的基础上进行的。而这种模型适合采用g a y l d g h - r i t z 法来进行研究，因此，r a y l c i g h - r i t z 法在研究各种形状( 带形、矩形、圆形和椭圆形) 脱层的屈曲行为中发挥了重要作用。随着研究的深入，学者们还对薄膜模型中的边界条件进行了改进，使这种方法脱离薄膜模型的限制，可用于研究更接近实际情况的脱层模型。d a v i d s o n 2 5 】用r a y l e i g h r i t z 法分析了复杂载荷下椭圆形脱层的稳定性，其位移函数只取二次幂来近似。结果表明，脱层尺寸较小时，分析结果与实验结果吻合得较好，但当脱层尺寸较大时，屈曲载荷偏高，这是因为假设的位移函数已不能精确反映最低阶屈曲模态。p e c k 等和温玄玲等雎刀在选择位移函数时选取了高阶幂次，能精确反映后屈曲变形，分析结果与实验结果吻合得很好。h i r o s h is u e m a s u 等瞄荆用r a y l c i g h - r i t z 法对含多个穿透脱层的层合板进行了分析。此后还分析了含多个圆形脱层的矩形层合板的压缩行为【2 9 捌，详细讨论了脱层个数与大小对屈曲载荷和破坏载荷的影响，其分析结果与实验结果吻合得较好。s h i v a k u m a r 和w h i t c o m b l 2 0 1 使用有限元法和r a y l e i g h - v d t z 法对椭圆形脱层的局部屈曲临界载荷进行研究，指出当层合板的各向异性达到一定程度时，r a y l e i g h - r i t z 法的计算误差明显加大，其原因是由于随着脱层子板的后屈曲变形加剧，r a y l e i g h - r i t z 法位移模式仅取有限项是难以模拟这一变化的，这一结论与前人的研究结论一致。此外，采用r a y l o i g h - r i t z 法进行脱层分展分析时，只能假设脱层以自相似6第1 章引言方式扩展，且不适合于分析后屈曲行为。因此，这种方法不适于分析含脱层复合材料结构的脱层扩展和后屈曲强度问题。1 2 2 2 弹性力学有限元法根据脱层形状的不同，可采用不同的二维或三维弹性力学单元来进行分析。对于穿透分层来说，根据其几何特点，可将复杂的三维问题简化成二维问题，从而可采用平面单元进行分析。w h i t c o m b 1 5 】采用基于薄膜模型的平面四节点等参元和虚裂纹闭合技术【3 l 】( v i r t u a lc r a c kc l o s u x et e c h n i q u e ) 来计算脱层前缘的能量释放率各型分量，分析了浅部穿透脱层屈曲，并在分析中考虑了结构的几何非线性效应。k u t l u 和f u - k u oc h 锄一3 2 - 3 4 1 采用平面应变等参元研究了含多个穿透脱层的层合板的压缩行为孙先念【3 5 1 则采用准三维模型研究了含对称穿透脱层的层合板的脱层屈曲问题，该模型与平面应变模型相比，考虑了复合材料特殊的耦合效应，从而可更精确地计算脱层前缘处复杂的应力应变场，提高能量释放率各型分量的计算精度。采用三维有限元来分析埋藏脱层问题的研究工作还不多，其中w h i t c o m b ”3 7 】在这方面做了大量的工作。他分析了脱层的屈曲和后屈曲行为，并对脱层前缘的接触效应进行了研究。y j l e e 3 8 l 等则利用三维有限元法分析了多个穿透脱层问题，并与实验结果进行了比较，得到了一些实用的结论。虽然三维有限元法可较准确地分析脱层前缘处的应力应变场，但由于脱层的后屈曲问题一般要进行迭代分析，若采用三维有限元进行计算，时问过长，效率较低，所以其应用受到了很大的限制。1 2 2 3 结构力学有限元法为了提高计算效率，并获得较好的分析精度，许多学者采用结构力学方法来分析脱层问题。c h a i i t 等采用梁柱理论分析了具有浅部和一般穿透脱层的均匀各向同性层合板的脱层屈曲问题，并根据断裂力学方法，计算了脱层前缘处的能量释放率，研究了脱层扩展过程。文献 3 9 则采用组合梁理论分析了含穿透脱层层合梁的屈曲性态。此外，有的学者还利用梁理论分析了含多个穿透脱层的问题【钟j 。由于梁脱层模型和脱层梁理论只能用于分析穿透脱层，其应用受到限制，故更多的学者采用层合板理论来研究脱层问题。s a l l m 4 1 等采用经典层合板理论，7第1 章引言结合j 积分原理，对具有穿透脱层的各向异性和正交各向异性层合板作了分析。由于横向剪切效应对复合材料结构有较大影响，所以许多研究工作均是基于一阶剪切层合板理论进行的 4 2 , 4 3 。如图i 4 所示的含脱层损伤层合板，在脱层前缘处应满足如下的位移协调条件：w = m = w 2 = w 3 ，吃= 巳= 吃2 = 气，b = b l = b 2 = 蜥；鸭+ 吼3 ( 日一吒) 2 ， 2 = 吻一只3 ( 一h ) 2m = v 3 一如( 日一h t ) 1 2 ，v 2 = 0 + b ，( 日一h , ) 2式中”，、叶、w t 分别为各子板中面沿x 、y 和z 方向上的位移，气、钆分别为各子板中面法线绕x 、y 轴的转角；下标1 、2 、3 分别表示不同的子板( 如图1 4 所示) ；h 为基板厚度；h n 、h 1 分别为上下子板的厚度。一x一2 l一图1 4 含脱层层合板示意图当采用如图1 4 所示的脱层模型进行后屈曲分析时，一般要将增量法与迭代法结合起来计算。为了保证层合板发生脱层屈曲，在层合板没有达到屈曲载荷之前，在脱层中心处施加一个很小的横向扰动载荷，一旦结构发生失稳，立即去掉横向扰动载荷，进而计算其后屈曲路径。此外，还有的学者采用层合板高阶理论来研究脱层损伤问题【2 “。对于含脱层的加筋板结构可采用梁板组合单元进行分析。文献 4 4 4 6 利用这种方法研究了含脱层的加筋板在不同载荷情况下( 机械载荷、热载荷及热- 机械载荷) 的各种屈曲模态，对脱层形状、位置和大小以及加强筋分布与屈曲状态之间的关系进行了讨论。然而，对含脱层加筋板进行后屈曲分析的报道却不多见。8扎t。；。，。111。ll尘第1 章引言对含脱层损伤层合壳的研究报道还很少，目前这方面的研究仅限于分析屈曲模态和屈曲载荷 4 7 4 8 1 。由于结构力学方法摈弃了r a y l e i g h - r i t z 法和弹性力学方法各自的缺点，且可得到与实验较为一致的结果。所以，在近期的研究工作中，大多是采用这种方法进行分析的。1 2 3 含纤维搭桥复合材料的脱层屈曲含纤维搭桥层合板的脱层屈曲是评估层合板中厚度方向纤维对层间强度以及冲击后压缩强度影响的一个重要课题。s h u 4 9 5 0 l 等人首先建立了含二维脱层缝纫均质层合梁压缩屈曲的力学模型。分析了纤维对提高压缩屈曲载荷和抑制脱层扩展的作用，他们把纤维的增强作用等效为分布的弹性约束。c o x 瞄“5 2 1 也采用了相似的分析模型研究纤维对压缩屈曲载荷的影响。g u i 5 3 等人建立了含椭圆脱层层合板压缩屈曲的分析模型，采用r a y l e i g h r i t z 法研究了椭圆脱层的几何参数和纤维参数对压缩屈曲载荷的影响。李四平 5 4 - 蚓等人结合板壳理论，研究横观各向同性复合材料，建立含纤维搭桥的圆形脱层屈曲问题模型，运用摄动法、t a y l o r 级数展开法求解屈曲临界载荷，使用加权残值法求解后屈曲问题。1 3 课题研究内容本文建立含纤维搭桥的正交各向异性复合材料非线性脱层屈曲的基本控制方程。运用渐近迭代法，求解正交各向异性圆板结构线性屈曲的临界载荷，以及后屈曲情况下屈曲载荷与中心挠度的非线性特征关系式。采用此关系式，可易于评价纤维搭桥因子、正交各向异性材料参数对结构脱层屈曲的影响。本课题以理论分析计算为主，并结合渐近迭代法的思想和力学物理意义，对问题作深入的研究分析。渐近迭代法是上世纪六十年代，叶开沅和刘人怀等人在结合钱伟长以中心挠度为摄动参数和迭代法优点的基础上提出的一种方法。该方法步骤明确而简单，能达到与摄动法同样的结果。近年，聂国华成功应用该法分析得到了弹性支承含缺陷扁壳和圆板的非线性问题的解析解【5 7 捌。9第2 章基本理论基础第2 章基本理论基础2 1 复合材料板基本力学方程的建立1 2 1 各向异性体弹性力学基本方程研究外载荷作用下处于平衡或运动的连续弹性体嗍。由载荷引起的内力集度称为应力，物体中任意一点的应力状态用应力分量表示，采用正交坐标系，取三个互相正交的平面，其法线分别平行于三个坐标轴，对于直角坐标系x , y , z三个正交平面上的应力分量是：iq ki【盯】= i o y i( 2 1 )l k 勺吒j其中，i x = f f ，f 。= f 。，= f ，因此，应力分量共6 个：盯，q ，盯。f p ，r 。同时弹性体在外载作用下发生变形，任意一点的应变状态用应变分量表示，应变张量占。可表示为：i 毛岛气l【占】= i o i( 2 2 )p 4s 口8 ；l其中= 三岛，；三，气= 三七为张量剪应变；，如，比为工程剪应变；q ，t 为线应变。应变分量也是6 个另外，任意一点在x , y , z 坐标轴方向的位移为u ，v 只。弹性体任意一点共有1 5 个未知数、6 个应力分量、6 个应变分量、3 个位移分量。首先，平衡方程为：1 0第2 章基本理论基础誓+ 鲁+ 誓+ 六= p 鲁a t苏西昆2誓+ 鲁+ 誓+ 乃= p 窘敏钿a z”1 氆z鲁+ 鲁+ 誓+ 正= p 害敏a va z “影( 2 3 ) 式中六，工，正是单位体积的体积力分量，p 是质量密度，f 是时间其次，有几何关系( 小变形) 6 个2 瓦，如2 面+ 云髟2 瓦，k2 瓦+ 瓦乞。西，2 瓦+ 石第三，变形协调方程，应变分量间有下列关系a缸a勿ao a z堕+ 堡0 2 y u咖2巩巩砂堡+ 塾：盟玉2 。勿2勿玉盟+ 塾：盟。a r 2 a z 2a 蚰勃c 等+ 誓一錾c g t hd v也謦+ 誓一鲁c 誓+ 等一誓m废卯彩其中，实际上有3 个独立的关系式。a 2 。y a za 2 氏跳a 2 丘勿苏2 2 正交各向异性复合材料的本构关系( 2 3 )( 2 4 )( 2 5 )先考虑一般的各向异性弹性体的性质，但材料仍是均匀的【5 9 1 。我们将物体置于任意选定的正交坐标系x , y , z 中，则可以将一般各向异性材料的虎克定律写为第2 章基本理论基础q = q l a i + a 1 2 0 y + a 1 3 c r z + 4 f 陌+ q 5 f 搿+ a 1 6 f r 胛巳。a 2 1 0 x + , 7 2 2 0 ，+ a 2 3 0 = + a 2 4 t y z + a 2 5 2 z z + d 2 6 t _ - ys | = n 3 | o # + a _ ，2 0 y + n 3 3 0 z + n 一日+ n 3 ，搿+ o 一w厂撺= a 4 1 0 x + a 4 2 0 y + a 4 3 c r j + a 4 4 f 弦+ 4 郫乇+ a 4 6 f x y厂辞= a 5 1 c r j4 - a 5 2 0 y + 口s 3 c l + a 5 4 f 挥+ a 5 5 f 搿+ 口5 6 f 捌，f = a 6 1 f r x + 口让盯，+ a 旬o r + a 6 4 f 弹+ 4 酷f 扛+ 口酌7 0( 2 6 )通常，勺= ( f ，= l ，2 ，6 ) 因此式中含有2 1 个独立的弹性常数。如果物体内的每一点都存在这样一个平面，与该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的一个弹性对称面；垂直于弹性对称面的方向，称为物体的一个弹性主方向，或称主方向。此时广义虎克定律的方程可得到简化。2 1 2 1 一个弹性对称面如果物体内存在一个弹性对称面并令z 轴为物体的一个弹性主方向，则广义虎克定律的方程可写成如下形式f ，= a h o j + q 2 盯r + a 1 3 0 z + q 6 f 0q = a 2 1 0 x + 4 2 2 q + a 2 3 0 ：+ a 2 6 2 x y占z2a 3 1 0 x + a 3 2 0 y + d 3 3 0 ：+ d 3 6 z r x yy w2 d 4 4 z 镕+ a 4 5 r 47 么= a 5 4 r 馆+ 4 ”r 硝y 拶= a 6 1 0 | + a 6 2 0 r + a 6 3 0 z + a 6 6 f 带( 2 7 )常数4 - - a ”- - a “= 4 2 s = = 4 ，= = 口= o ，独立的弹性常数减至1 3 个。2 1 2 2 三个弹性对称面假如在均匀物体内的每点上都有3 个互相正交的弹性对称面，则取x ，妒轴垂直这些平面，广义虎克定律方程在这样的坐标系中简化为2 a j l o ，+ 4 1 2 盯v + a 1 3 0 r zs ，2a 2 1 0 x + a 2 2 0 ，七a 2 3 0z巳2 a 3 1 0 r x + a 3 2 0 y + q 3 3 0 z， 5 0 4 4 f y d 2 4 ，“y g2 d 6 6 f 9独立的弹性常数减为9 个。具有3 个相互正交的弹性对称面的各向异性物第2 章基本理论基础体常被称为正交各向异性体。如在其中切出一长方体元素，使它的各面平行于弹性对称面，则在一个方向拉压时，元素仍为长方体，棱的长度发生改变，但面间的夹角保持不变。实用中常以工程常数拉伸模量、泊松比和剪切模量代替弹性系数口f 。于是( 2 8 ) 可改写成q 2 击吒一卺q 一苦吒= 万1 髟2 一并q + 击巳一等巴= 击吃一等q 一兹巳+ 击q 岛= 瓦1 勺c 9 )式中蜀，易，马是沿弹性主方向的拉伸模量，( ) 是x ( y ) 方向拉伸时决定y ( x ) 方向收缩的泊松比，6 岛，g 3 ，g i ：是规定主方向y 和z ，x 和g 以及x 和y 之间夹角变化的剪切模量。由于方程( 2 9 ) 的对称性，在拉伸模量与泊松比之间有如下的关系：目i 2 l = 最y 1 2 ，e 2 屹2 = 易v 2 3 ，易v 1 3 = 巨l( 2 1 0 )在广义虎克定律( 2 8 ) 和( 2 9 ) 中出现的，对于弹性主方向x , y , z 写出的正交各向异性体的弹性常数称为主弹性常数，以区别于在任意坐标系内的广义虎克定律方程中的常数。2 1 2 3 横观各向同性面假如在物体内的每一点都有一个平面，在该平面上的所有方向都是弹性等效的。取z 轴垂直这个平面，于是广义虎克定律在该坐标系中便可写为2 a u o x + a 1 ：+ a 1 3 0 ,= a 4 4 r r 。1q = a 1 2 0 r x + q l o r y + q 3 , o r z ，0m a “f 4( 2 1 1 )巳= a 1 3 q + 口1 3 q + a 3 3 0 ，岛= 2 ( a l l q 2 ) l不同的弹性常数减至5 个。具有这种形式的各向异性物体称为横观各向同性体。垂直于各向同性面的方向和所有在各向同性面内的方向都是主方向。应用工程常数，方程( 2 1 1 ) 可写成另一形式1 3第2 章基本理论基础巳= 刍( 吒一q ) 一导吒勺= 刍峨一峨) - ；吒乞= 一号( 吒+ q ) + 专巳17 p2 i f ply “2 否f “1，”2 吾”( 2 1 2 )式中且是各向同性面的拉伸模量，层7 是垂直各向同性面方向上的拉伸模量， ，是各向同性面内拉伸时与拉伸垂直方向收缩的泊松比，是垂直各向同性面方向拉伸时在各向同性面内引起收缩的泊松比g 2 互石 万是各向同性面的剪切模量。g 是决定各向同性面内各方向与垂直此平面的方向之间夹角变化的剪切模量。2 1 2 4 各向同性体在各向同性的物体中，任意平面都是弹性对称面，而任意方向都是主方向。各向同性体的广义虎克定律方程是t = 去 q v ( q + 吒) 】= 否lkf ，= 去 q l ，( 吒+ 吒) 】比= 石l 吃乞= 去 吒一y ( 巳+ q ) 】岛= 吉( 2 1 3 )式中e ，y 是拉伸模量和泊松比，g 2 互i 是剪切模量。不同的弹性常数只有两个。对于各向同性体，假如从坐标系x ，y ，z 转换到任一坐标系石7 ，y ，z ，方程( 2 1 3 )的形式不变，式中的弹性常数e 和，保持其原来的数值。但对于各向异性体，当坐标变换时，弹性常数将由a u 变为a 二者之间的关系可根据变形能与坐标系无关的原则确定。具体地说，将变形能分别用坐标系x , y , z 中的应力分量吒k和坐标系工，y 7 ，z 中的应力分量虻吒表示。这两组应力分量之间满足弹性力学中的转轴公式，因为这两组应力给出的变形能应该相等。由此可得a ，和嘞之间的关系式。2 1 2 5 曲线型的各向异性1 4第2 章基本理论基础以上所讨论的均匀各向异性体，其各点的弹性主方向不仅是直线型，而且是互相平行的。实际上各向异性体内各点的弹性主方向不仅可以彼此互不平行，并且可以呈现为曲线型。在此情况下，称为曲线型的各向异性体。在曲线型各向异性的众多形式中，最常见和具有实用意义的是圆柱形各向异性圆柱形各向异性的物体有一条各向异性轴g ，所有与各向异性轴相交并与它垂直的方向都是等效的用经过各向异性轴的两个平面，垂直g 的两个平行平面以及由g 为轴心的两个共轴圆柱面等切出的元素a l ，a 2 ，具有完全相同的弹性性质。在研究这类物体平衡和运动问题时，最适宜于采用圆柱坐标系r , o ，：其中z 轴与各向异性轴重合，而作为计算角度0 起点的极轴x 可以是任意的。对于一般的圆柱型各向异性物体广义虎克定律在所取的圆柱坐标系中具有下列形式q = a l l c r ，+ a t 2 c r o + a t 3 0 j + 口1 4 f 4 - a t ，f 盯+ 口1 6 f ，一e = a 2 t o r , 4 - a 2 2 0 04 - n n o z + a 2 4 f 彘+ a 2 $ z 4 + a 2 6 r r 0占z = a 3 1 0 , + a 3 2 c r o + 口”c r z + a m 吃+ a 3 5 9 f + d 3 6 f r o，么= a 4 t o r r + 口4 2 c + a 4 3 0 z + 4 “f 出+ a 4 5 f f + 口4 6 f ，o，f = a 5 1 0 r + 口5 2 + a 5 3 c y ：+ a 5 4 + a 5 5 t f + a 5 6 f r o7r 8 = a 6 1 0 r + a 娩o e + a 6 3 a = + n b 一彘+ a 6 5 z r + a 6 6 l r 0( 2 1 4 )式中口，= 口。( f ，j 1 , 2 6 ) ，共有2 1 个独立的弹性常数。需要指出，如果将直线型各向异性物体的广义虎克定律写在圆柱坐标系中，它们也具有公式( 2 1 4 ) 的形式，但系数a 。不再是常数，而是随物体中的一点转移至另一点而改变。具有圆柱形各向异性的物体，也可能有各种弹性对称形式。假如物体中的每点都有与各向异性轴g 垂直的弹性对称面，则方程( 2 1 4 ) 简化为与( 2 7 )式类似的形式。因为a - - a = 4 m = = 口，= 4 = = 4 撕互o如果在每点都有三个弹性对称面，其中之一垂直于各向异性轴，另一个面通过各向异性轴，而第三个面与前两个面垂直，于是方程( 2 1 4 ) 简化成为与方程( 2 8 ) 相似的形式。在这种情况下，物体称为圆柱形正交各向异性体。正如对均匀正交各向异性体一样，引用工程常数后，圆柱形正交各向异性的广义虎克定律可以写成为1 5第2 章基本理论基础2 专巳一苦一薏吒2 瓦巳一方一毒吒6 0 - = - v q r oo , r + 万1 一管吒屯一等t 一苦+ 专吒( 2 1 5 )式中耳，易，臣是沿，统：方向( 也是弹性主方向) 的拉伸模量，( ，y ，)是c a f r ( e ，z ) 方向拉伸而在e ( z ，r ) 方向引起收缩的泊松比，g k ，g 0 ，g 0 是决定p与z ，r 与z 以及r 与0 之间夹角变化的剪切模量2 1 2 6 平面应力下应力应变关系引入如下假定：与薄层板法线方向( n 方向) 有关的应力分量与薄层板面内( l 、t 作表面) 的应力分量相比很小，可以忽略不计。于是，对薄层板的分析简化为广义平面应力问题。事实上，该假定与实际符合得很好。此时，薄层板厚度( 设厚度方向为n 方向) 和其他平面内方向( l 、t 方向)尺寸相比，一般是很小的，在平面应力状态下，存在盯。= t n l = r 。，= 0 。对正交各向异性材料，平面应力状态下应力应变关系为将面内部分分离出来，有同时有( 2 1 9 )8 1 1s 1 25 1 3$ 1 2 $ 2 2s 2 3$ 1 3s 2 3j 3 3o ooo oooo o眺斜= 陋忙)y r , 。，n = 0 ，毛28 1 3 0 l + $ 2 3 口r1 6( 2 1 6 )( 2 1 7 )( 2 1 8 )k上啄上敛上=i il t比如ooooo oooo oooooo气0q 陆、li-lrj吒kv i i 儿oo o第2 章基本理论基础其中_ - 2 瓦1 渤2 百1 如2 瓦l 一：_ v 百l t 一等s 1 3 - - v n l 。而= 一等式中也为纵向弹性模量，目为横向弹性模量，g 工，为纵横向剪切模量，屹，为相应方向的泊松比。下述关系依然成立：e l i , ，z = e r 屹r( 2 2 0 )因此，平面应力状态下的薄层板有四个独立的弹性常数：e 、易、吮，( y 。) 、卧降爱0 删- ，这就是薄层板正交各向异性复合材料主方向的应力应变关系，其中【q 】是薄层板弹性主方向的刚度矩阵。在刚度系数q i j ( i , j = l ，2 ，6 ) 与柔度系数s g ( i j = l ，2 ，6 ) 之q 1 1 = 丝- 了j 1 1 s 2 2 j 1 2q l ：= j l 下屯1 8 2 2 s 1 2q 2 2 = l f2 2 1 - 8 i 2瓯= 二g ：毫毫v l r e 一壶g l ，亿捌q 1 22 箍。嘞，瓯2rj一由于存在v 。l _ l r ：争，所以平面应力问题中正交各向异性薄层板材料有4 个第2 章基本理论基础独立弹性常数玩，辱，y 。，g 工，刚度系数和柔度系数分别都是有4 个独立的。2 2 圆板稳定性分析2 2 1 稳定性的基本概念板在外载荷作用下产生一定内力，达到线性理论求得的某一弹性平衡状态，称之为基本平衡状态。平衡状态有稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡的区分在线性弹性理论中可以证明弹性力学的基本方程的解是存在而且唯一的【删。在推导薄板方程时，用过最小位能原理，证明解是存在而且唯一既然如此，自然也是稳定的。在线性理论中略去了几何关系中的非线性项，也不考虑变形对于平衡的影响，也就是说把本质上的非线性问题线性化了，因而解也就存在而且唯一。但是，线性理论所得到的解，在许多情况下却是不稳定的。因此，研究它的稳定性就显得十分重要。弹性稳定问题的实质是一类小应变大转动的非线性问题。对于易曲的细长杆、薄壁构件、板、壳等具有很大的实用意义。当结构所受载荷达到某一个值时，若增加一微小的增量，则结构的平衡位形将发生很大的改变，这种情况就叫做结构的失稳或屈曲，相应的载荷称为屈曲载荷或临界载荷。一般说来，结构失稳后的承载能力有时可增加，有时则减小，这与载荷种类、结构的几何特征等因素有关。近代结构稳定性理论集中研究结构的屈曲形式( 分支型屈曲或极值型屈曲) 、屈曲模态、后屈曲平衡路径，因此这些概念在结构屈曲近代论中具有重要位置。此外，重要的一点是，需要建立一个稳定性的判别准则，并利用现有的数学手段建立起各种稳定性分析的有效方法。任何物体的平衡状态可能具有三种形式：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和随遇平衡状态。设物体在具有平衡位置附近作无限小偏离后，如果物体仍能回到它原来的平衡位置，则这种平衡状态称为稳定平衡；如果物体在微小偏离其平衡位置后，不能再回到它原来的位置，反而继续偏离下去，则这种状态称为不稳定平衡状1 8第2 章基本理论基础态。随遇平衡状态往往是从稳定状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态，又称临界状态。2 2 2 稳定性准则从压杆稳定可知，平衡的分歧是在同一载荷下产生无限接近的两个平衡状态，我们有理由认为基本平衡状态与邻近的另一平衡状态的差别是无限小的。因此在研究稳定问题中对所给予的干扰状态可采用线性化的理论，也就是讨论仅限于平衡位置附近无限小领域的小范围稳定。如果研究从基本状态跳跃到远离平衡状态时，那就要用到非线性理论，即要讨论大范围稳定性【6 1 1 。判别临界状态的稳定性准则可以分为两大类，即平衡的小稳定性准则和平衡的大稳定性准则。前者以小挠度线性理论为基础，后者则是研究后屈曲平衡位形的非线性大挠度理论。用小稳定性准则判别分支点失稳问题可以用三个等价的判别准则，即静力学准则，动力准则和能量准则。2 2 2 1 静力学准则用静力学准则研究弹性系统的稳定性问题，认为在分支点附近存在一个无限小的相邻平衡状态，由此列出一组平衡微分方程式，最后归结为微分方程的特征值问题。该组方程的特征值相应于临界载荷，所对应的特征函数，就是失稳波形。2 2 2 2 动力学准则动力学准则是研究有限自由度系统的稳定性而发展起来的。对于连续的弹性体系可以谨慎地予以推广。用n 个广义坐标g 忙l ，2 ，n ) 描述某个弹性体系，它的初始平衡位形是q , - - - o 当给以微小的干扰后，在其初始平衡位形的附近运动，其坐标为和系统随时间而改变的速度为或。如果系统偏离其平衡位形，但总可以选择这样的初始值q ，和玩，使得在以后的运动中，h i x i 口l q ，i 不越出某些预先给定的界限，这样就可以认为系统处于稳定平衡状态2 2 2 3 能量准则根据能量原理，当总势能n 为极小值时，平衡将是稳定的；而n 为极大值第2 章基本理论基础时，平衡是不稳定的。当n 为驻值时，弹性系统将处于临界平衡状态。由此得到判别弹性系统平衡稳定性的能量准则。为了确定弹性系统的临界载荷，先列出用广义位移表示的总势能n 的表达式，然后计算j 2 n = 0 就可得到临界载荷的计算式。在稳定性的分析方法上，现在一般可以采取如下几种方法【蚓：2 2 2 4 变分法根据能量准则，一个力学系统的平衡位置就是该系统总势能为最小的位置。也就是说，总势能为极小值是一个力学系统保持平衡的充分必要条件。这就是最小总势能原理。通过这个原理，可以求得稳定状态方程。2 2 2 5 有限元法有限元法采用把结构离散化的方法以得到问题的数值解。从目前来说，虽然有限元程序已经能用来估算出实际结构的临界载荷，但对于复杂形状或复杂载荷作用下的结构的失稳分析问题，建立可靠而有效的有限元解法仍是富有挑战性的任务。2 2 2 6 摄动法当屈曲分析需要考虑大挠度或初始缺陷时，我们立即就会遇到非线性方程的困难。采用摄动法将使我们有可能将非线性方程化为一系列线性方程来处理。摄动参数可以选择最