（微电子学与固体电子学专业论文）几何拓扑量子计算与冷原子zb效应的研究.pdf

几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 得的儿何相所含参数较少，实验上容易控制，不需要像自旋回波消除动力学相时 需要对磁场、时间严格精确控制。对于系统演化后获得的几何相只与系统演化的 拓扑数有关( 绕数和圈数) ，基于此拓扑性质，构造了拓扑量子计算方案。 除了用相位构造量子门提高量子信息处理信度外，目前发展比较完善的冷原 予物理也有应用到量子计算领域。关于冷原予物理的激光致冷和囚禁技术的不断 发展，波色一爱因斯坦凝聚体的实现，大幅度的提高了实验操控、观测原子的精 度。而冷原子因其处在极低温度下( 甚至是n k 量级) ，速度极低，有着与常温原 子不同的新的特性。冷原子本身新的特点及相关理论技术的成熟，为冷原子物理 与量子信息、量子计算的结合提供了一个很好的平台。目前，已有很多顶级实验 室和研究小组投入冷原子量子信息与计算方面的研究，也不断有新的突破性进 展。 另一方面，关于冷原子新的物理特性仍然处于研究探索中，许多理论还不完 善。因此，关于冷原子物理的理论研究如自旋轨道耦合、自旋霍尔效应、冷原子 光诱导规范势( 阿贝尔和非阿贝尔的) 、z b 效应、冷原子模拟及量子仿真等等势 在必行。 本论文的第四章将先简要介绍激光致冷技术及其发展、波色爱因斯坦凝聚、 相对论量子力学和冷原子光诱导规范势，然后介绍本论文另一工作冷原子 z b 效应。通过分析冷原子在激光外场的规范势后，结合具体的简单且重要的人 型三能级冷原子系统，以盯r b 冷原子为例，分析其z b 效应。当取其速度为 0 7 3 c m s ，用m a t l a b 进行数值模拟，研究发现与四能级三脚架结构的冷原子一样， 具有明显的z b 效应，相比四能级的z b 震荡，其震荡频率在时间尺度方而更容 易观测。这将对冷原子相对论性效应的进4 步认识有重要意义。 关键词i 几何相；拓扑相；量子计算；正交态叠加；冷原子；光诱导规范势； z b 效应 i i 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 s t u d yo ft h eg e o m e t rica n dt o p o l o glcq u a n t u m c o m p u t a tio na n dz be f f e c t so fu l t r a - c o l da t o m s a b s t r a c t m a j o r ： n a m e ： m i c r o e l e c t r o n i c sa n ds o l i de l e c t r o n i c s g a oy u m e i s u p e r v i s o r ：p r o f z h us h i l i a n g q u a n t u mc o m p u t e r c a ns i m u l a t e q u a n t u ms y s t e m sa n dh a sp o w e r f u l t h e u l t r a - f a s tc o m p u t i n ga b i l i t y , s ot h er e s e a r c h e so nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o na n d c o m p u t a t i o nh a v et r e m e n d o u sf o r e g r o u n d i nf a c t ，t h e ya r et h ei n e v i t a b l er e s u l t sf r o m t h ed e v e l o p m e n to fs o c i e t ) ra n dt e c h n o l o g y t h ed e v e l o p m e n t so rr e a l i z a t i o n sa b o u t t h er e l a t i v et e c h n o l o g yw i l la f f e c to u r p r o d u c t i o na n dl i f e h o wt oi m p r o v et h et o l e r a n c ea n dr e l i a b i l i t yo ft h eq u a n t u mg a t e si sa l w a y so n e o ft h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e m si nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t a t i o na r e a o n eo fm yw o r ki st od e s i g nt h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i cq u a n t u mg a t e si no r d e rt o a c h i e v et h i st a r g e t t h ed e s i g n e dg a t e sa r eb e l i e v e dt ob ev e r yg o o da n t i - j a m m i n g c a p a b i l i t yu s i n gt h eg l o b a lg e o m e t r yo ft h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i cp h a s ew h i c hi s i n s e n s i t i v et ot h ei r r e g u l a rn o i s ea n ds m a l lf l u c t u a t i o n c h a p t e ri id e s c r i b e st h et h e o r yo ft h eg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i cp h a s e ，a n dt h e n i n t r o d u c e st h er e l a t i v eb a c k g r o u n da n dt h e o r ya b o u tq u a n t u mi n f o r m a t i o na n d c o m p u t a t i o n c h a p t e ri i id e s c r i b e si n d e t a i lm yi n v e s t i g a t i o no ng e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c q u a n t u mc o m p u t a t i o n f o rt h eg e o m e t r i cc o m p u t a t i o ns c h e m e ，t h ee q u a l w e i g h t o r t h o g o n a ls u p e r p o s e di n i t i a ls t a t e si su s e d ，a f t e ri t se v a l u a t i o n ，t h ep u r ed i a g o n a l g e o m e t r i cp h a s ei sa c q u i r e d a n dt h e n ，t h i sp u r eo n ei sa p p l i e dt ot h en m ra n d i i i 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 s u p e r c o n d u c t o rc h a r g eq u b i tt w o - l e v e ls y s t e m st oc o n s t r u c tf a u l t - t o l e r a n tq u a n t u m g a t e st oe n h a n c et h er e l i a b i l i t y t h e s eg a t e sn o to n l yh a v et h eb e n e f i bo fa d i a b a t i c q u a n t u mc o m p u t a t i o n ，b u ta l s oa r et r u en o n - a d i a b a t i cg e o m e t r i cq u a n t u mc o m p u t a t i o n w i t h o u tt h ea d i a b a t i cl i m i t t h ea c q u i r e dg e o m e t r i cp h a s ed e p e n d so naf e w p a r a m e t e r sa n de a s i l yc o n t r o l l e d ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h es p i n e c h os c h e m e st h a t n e e d e ds t r i c t l yt h ea c c u r a t em a n i p u l a t i o n f o rt h ea c q u i r e dg e o m e t r i cp h a s ed e p e n d s o n l yo nt h et o p o l o g i cn u m b e ls u c ha st h ew i n d i n ga n dk n o tn u m b e r b a s e do nt h i s t o p o l o g i cp r o p e r t y , t h et o p o l o g i cs c h e m e sa r ep r o p o s e d r e c e n t l y , t h ec o l da t o m i cp h y s i c si sa p p l i e dt ot h eq u a n t u mc o m p u t a t i o na r e a e x c e p tt h ep h a s e w i t ht h ec o n t i n u ed e v e l o p m e n to ft h el a s e rc o o l i n ga n dt r a p p i n g t e c h n i q u e sa n dt h er e a l i z a t i o no ft h eb e c ，t h ea c c u r a c yo fm a n i p u l a t i o na n d o b s e r v a t i o na r ei m p r o v e ds i g n i f i c a n t l y w h e nt h ec o l da t o mi s a tt h ev e r yl o w t e m p e r a t u r ee v e na tt h en a n o l ( i t sv e l o c i t yi sa l s ov e r ys m a l l ，a n dh a sm a n yn e w c h a r a c t e r sw h i c ha r ec l e a r l yd i f f e r e n tf r o mt h ea t o m sa tt h er o o mt e m p e r a t u r e s o ， b o t ht h ep e r f e c tt e c h n i q u eo nt h ec o l da t o ma n dm a n yn e wf e a t u r e si t s e l fp r o v i d ea g o o dp l a t f o r m f o rq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t a t i o n n o w , m a n yb e s t l a b o r a t o r i e sa n dr e s e a r c hg r o u p sh a v ea l w a y ss t u d i e df o ral o n gt i m e ，a n dm a n yk i n d s o fb r e a k t h r o u g hp r o g r e s s e sa r er e p o r t e dc o n t i n u a l l y o nt h eo t h e rh a n d ，t h en e wp h y s i c sf e a t u r e sa r es t u d y i n go re x p l o r i n g ，s o m e t h e o r i e sa r es t i l ln o tp e r f e c ta n dn e e d e de x c a v a t e df u r t h e r s o ，t h er e s e a r c ho nt h e p h y s i c st h e o r yb a s e do nc o l da t o m ，s u c ha ss p i n - o r b i t a lc o u p l i n g ，s p i nh a l le f f e c t , l a s e ri n d u c e dg a u g ep o t e n t i a li n c l u d i n gt h ea b e l i a r na n dt h en o n a b e l i a mo n e s ，z b e f f e c t , c o l da t o m i cs t i m u l a t i o na n dq u a n t u me m u l a t o ra n ds oo n , a r ei m p e r a t i v e d u n d e rt h es i t u a t i o n c h a p t e ri vi n t r o d u c e sb r i e f l yt h et e c h n i q u eo fl a s e rc o o l i n ga n db e c ，a n dt h e n i n t r o d u c e st h er e l a t i v i s t i cq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h eg a u g ep o t e n t i a lo ft h ec o l d a t o mw h i c hi sr e l e v a n tt om yt h eo t h e rw o r k - z be f f e c t t h e n t h es p e c i f i cg a u g e p o t e n t i a la n dt h er e l a t i v i s t i ce f f e c tb a s e do nt h ea - t y p ec o l da t o mu n d e rt w os p e c i a l l a s e r sa r ea n a l y z e d ，a n dt h e nt h er e s u l t sa r es t i m u l a t e dn u m e r i c a l l yb ym a t l a b ，t h e i v 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 r e l e v a n tp a r a m e t e r sa r et a k e na st h e 8 7r b w i t hi t sv e l o c i t yo fo 7 3 c r n s a n dt h ec l e a r z be f f e c ti sd i s c o v e r e dt h r o u g ht h ep l o tb ym a t l a b c o m p a r e dt ot h ez be f f e c to ft h e t r i p o dc o l da t o m ，t h i sz be f f e c to ft h ea - t y p ec o l da t o mi se a s i l yo b s e r v e df o ri t s l o n g e rp e r i o do rl o w e rf r e q u e n c y t h i sr e s u l ti sv e r ys i g n i f i c a n tt ot h ef u l lr e a l i z a t i o n a b o u tc o l da t o m s k e yw o r d s ：g e o m e t r i cp h a s e ；t o p o l o g i cp h a s e ；q u a n t u mc o m p u t a t i o n ；t h eo r t h o g o n a l s u p e r p o s e ds t a t e ；c o l da t o m ；l a s e ri n d u c e dg a u g ep o t e n t i a l ；z be f f e c t v 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 目录 摘要i a b s t r a c t ili 1 绪论1 2 几何相、拓扑相与量子计算3 2 1 几何相3 2 1 1 b e r r y 绝热几何相3 2 1 2a - a ( a h a r o n o v - a n a n d a n ) 几何相5 2 2 拓扑相6 2 3 量子计算8 2 3 1 背景8 2 3 2 量子计算的基本原理12 2 3 3 量子门介绍17 2 3 4 量子控制19 2 3 5 量子计算机物理实现的硬件体系2 3 3 几何、拓扑相应用在量子计算的研究3 3 3 1 几何相与量子计算3 3 3 1 1 二能级系统的b e r r y 与a - a 几何相3 3 3 1 2 几何相应用于量子计算3 6 3 2 拓扑相与量子计算4 5 3 2 1 拓扑量子计算背景4 5 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 3 2 2二能级系统的拓扑量子计算4 8 参考文献5 1 4 冷原子及冷原子z b 效应5 4 4 1 激光冷却原子5 5 4 1 1 原子与激光场的作用5 5 4 1 2 激光冷却捕获原子5 9 4 2 玻色一爱因斯坦凝聚6 4 4 2 1 玻色一爱因斯坦凝聚的理论6 4 4 2 2 玻色一爱因斯坦凝聚的实验进展及应用6 5 4 3 冷原子的物理意义6 8 4 4 冷原子电磁诱导透明。：7 1 4 4 1电磁诱导透明7 1 4 4 2 暗态7 3 4 5 原子与光场作用的规范场描述7 5 4 6 冷原子z b 效应7 6 4 6 1 相对论性量子力学7 7 4 6 2z b 效应的理论描述7 9 4 7 人一型三能级冷原子z b 效应8 0 参考文献8 6 5 总结与展望9 1 致谢9 4 博士期间发表的学术论文9 5 v i l 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 1绪论 以计算机科学为核心的信息论和相对论、量子论一起，被称为2 0 世纪科学的 三大发现。信息论和量子论结合产生了量子信息理论，量子力学和计算机科学结 合并产生了量子计算，这两方面的实现是人类的一大梦想。 根据人们的需求或追求，现有经典电子计算机技术芯片集成度不断被提高、 被刷新。按m o o r 定律，n 2 0 2 0 年，计算机硅芯片高集成度必将达到存储单元小 到原子尺度，此时必须考虑元器件的波粒二象性，必须要将量子力学与计算机科 学结合；然而，高集成度从某种程度上满足人们对计算速度的追求，但是芯片上 热耗散带来的不可逆效逐渐凸显。另一方而，s h o r 算法和g r o v e r 数据库搜索等一 些超快量子算法的发现，对目前的密码系统形成极大威胁，而且在信息通讯方面， 量子不可克隆定理也证明了量子信息的传播更安全、更强大。再加上量子计算机 还可能有效地模拟量子力学系统，这对微观粒子本质性质的研究提供了很好的平 台。所有这些都说明，量子计算及量子信息技术的研究和发展是大势所趋。它们 的最终实现必将对计算机科学、密码学、通讯技术以及国家安全和商业应用等各 个方面都有重大影响。 量子计算和量子信息因其重要的实用背景，近2 0 年来一直都是人们研究的热 门领域。大量人力物力的投入，极大的推动相关理论及实验技术的发展，涌现了 大量突破性的理论实验成果。 量子计算机虽然有强大的吸引力，但离真正实现还有一段距离，如量子门 信息处理的容错保真能力、系统极短的退相干时间、难于大规模集成等等。在 量子门的信度容错能力方面，现在还达不到做有效量子计算及信息处理的要求。 近年来不少研究者致力于解决这个问题，无论在实验还是在理论研究上都有很 多的进展。几何相和拓扑相因其具有几何、拓扑等整体性质，对局域无规涨落 和噪声有良好的抗噪能力，而被认为用来构造高信度的量子门是很有前景的。 本论文的一个工作就是用几何相和拓扑相，研究在具体的二能级系统，如常见 的核磁共振体系和超导约瑟夫森结系统去构造高信度几何与拓扑量了门，即几 何、拓扑最子计算。 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 近l o 年来，由于激光致冷及波色爱因斯坦凝聚的实现，为微观精确操控和 囚禁冷原子提供了很好的技术平台，最直接的成果是使人类实现了低至n k 的 极低温( 人类至今能达到的最低温度) ，并因此使人类测景的精度有了数最级的 提高。而且，已经证实，冷原子在实现量子计算和量子信息通讯方面有着不可 比拟的优越性，目前基于激光冷却和囚禁冷原予技术的原子芯片的出现及快速 发展，离量子门的物理集成及实现距离更近了。这些成果都说明冷原子将在量 子计算和量子信息通讯技术发展占据重要地位。而且有3 个诺贝尔物理学奖是 与这个前沿研究领域密切相关，最近不断有报道关于冷原子在量子存储、退相 干纠缠、可扩展集成方面令人瞩目的成果。 因此，对于冷原子在激光场作用下各方面最为本质的理论实验研究显得非 常重要，目前比较具有吸引力的研究有量子输运、自旋霍尔效应、冷原子有效 规范场、冷原子相对论效应、冷原子量子仿真模拟等。本论文的另一工作就是 针对冷原子在激光外场诱导的有效规范势的作用下，具有的相对论效应尤其是? z b 效应的研究。冷原子激光诱导规范场已经在2 0 0 9 年底被美国的p i l l i p s 领导 的研究小组在实验上证实。该小组之前因在原子激光致冷和捕陷方法的杰出贡 献而获诺贝尔物理奖。 近三十年来，量子计算、量子信息学及其相关领域以其独特的魅力吸引了 大批计算机学家和物理学家的关注，相关的几何、拓扑、冷原子量子计算理论j 和实验方面的快速发展虽然令人振奋，然而，真正实现量子计算机还是比较遥 远，还有很多迫切的问题待解决，仍需更多科学家、学者们为实现量子计算机 这一梦想而持续奋斗贡献。 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 2 1几何相 2几何相、拓扑相与量子计算 对于量子体系的相位，早在1 9 7 2 年d i r a c 1 】就深刻的指出：“量子力学 的主要特征并不是不对易代数，而是概率幅的存在。概率幅的模方是我们 能观测的某种量，即得所测量到的概率。但除此以外还有相位，它是模为l 的 数，它的变化不影响模方。这个相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象的 根源，这个相位很1 5 妙地隐藏在大自然中。正是由于它隐藏得如此巧妙，人们 才未能更早建立起量子力学。” 2 1 1 b e r r y 绝热几何相 早在1 9 3 8 年，s m r y t o v 就发现：反射的极化光束偏振面的偏转。后来， s p a n c h a r a t n a m 从理论及实验方面都发现一束极化光经过多次改变极化后，初 末态之间的相位有改变。1 9 7 9 年，c m e a d 及d gt r u h l a r s 对多原子分子施用 b o m o p p e n h e i m e r 近似，发现当核相对坐标转周后，电子波函数也有一相位 因子。b s i m o n 指出该相位是h i l b e r t 空间上的纤维丛上的异和乐。1 9 8 4 年， b e r r y l 2 1 针对二能级系统，从绝热定理出发，当系统哈密顿量参数改变一周后， 波函数增加一相位因子，这一相位因子可用参数空间的一个立体角表达( 图 2 一1 ) ，可观测。这一几何相位即为b e r r y 相。因该相位是从绝热定理出发，有 几何性质，因此这个相位称为b e r r y 绝热几何相。 从几何相的最早发现到b e r r y 正式提出之前，期 间有许多文献记载有关这相位的研究，但是这些都 从局部的观点去阐述这一相位，也并未从本质上指出 它的几何性质，还有的认为这个相位可以被吸收到态 欠的定义式中，没有可观测效应，无足轻重。因此 b e r r y 相位多年来未受到普遍重视。 图2 1b e r r y 相 b e r r y 相位因子的正式提出，使人们认识剑这一一相位纯几何性质的重要性， 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 因此立即被b s i m o n 与拓扑学的纤维丛理论联系起来。接着是光纤实验对此几 何因子予以证实。日前，b e r r y 相位的研究已经渗透到物理学的各个分支，在原 子核、原子、分子、固态、光学等领域都有实验验证。 1 9 8 6 年，gd e l a c r e t a z 等做出了多原子分子n a 3 + 离子的光谱，证明了电子 波函数的相位7 c 。a t o m i t a 及r yc h i a o 【3 1 根据c h i a o 和ys w u t 3 1 建议的螺线 光纤实验，测量了光的极化面转动角，证实了c h i a o - w u 提出的b e r r y 相位存在 几何性的观点。1 9 8 7 年，m vb e r r y 确认p a n c h a r a t n a m 的相位是b e r r y 几何相 位的一例。 对于b e r r y 相位的完全了解，前后花了近半个世纪的时间。事实上，量子 场论的发展到7 0 年代和8 0 年代，场的拓扑结构才为人们所了解，这才使物理 学者们有数学准备去接受和了解这一几何性质的量子相位及其经典对应量。在 这段时间里，除了b e r r y 和s i m o n ，以前谁也没有弄清楚它的性质和意义 4 1 。 下面从理论上简要叙述该绝热几何相。对于一个量子系统，其薛定谔方程： 访兰i y ( f ) ) = 膏( 皿( f ) ) i 少( f ) ) 。 ( 2 - 1 ) 当h a m i l t o n i a n 参数r ( t ) 与时间无关时，系统有本征值方程 疗( 且) l 刀，砷= e ( 曰) l 刀，四) ， ( 2 2 ) 其中i 刀，足) 和e ( j i c ) 分别为本征态矢和能量本征值；当系统哈密顿量疗依赖于参 数足( f ) 且与时间有关时，其能量是随时间变化的。当r ( f ) 随时间缓慢变化时， 可采用绝热龇叫割胝= 学时，系统在每一时刻都处在瞬时 本征态中，忽略从m 一 态的跃迁，体系仍处在原来的态m ： l m ，月( o ) ) _ i m ，r ( f ) ) ，其本征方程为： i ? - l ( r ，r ( f ) ) i ( ，月( f ) ) ) = e ( 足( f ) ) i 驴厶( ，胄( f ) ) ) ，( 2 3 ) 其中f ( ，胄( f ) ) ) 是属于能晕乞( 月( ，) ) 的本征矢。若，= 0 时体系处于f 虬( ，胄( o ) ) ) 态，则体系沿参数空间中一路径演化到任意时刻t 时，态矢为： ，刖) ) ：e 一泓( 肌m 吖e 帅i 虮( ，r ( 0 ) ) ) ，( 2 - 4 ) 4 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 式( 2 - - 4 ) 0 第一个相因子为动力学相因子，由体系的哈密顿量决定；第二个相因 子以( r ，f ) = i a t ( 胛，尺( n i 昙i 玎，r ( 。) ，它依赖参数中的演化路径r 和时间f 。 b e r r y 指出儿( r ，t ) 是非常有意义的，不能吸收到虬( ，矗( ，) ) 中去，是与体系演化 路径有关的不可积相因子，即b e r r y 相因子，有可能被观测到。为看出以( r ，f ) 的 物理意义，让慢变量r ( t ) 在自身的参数空间沿闭合路径c 演化一周， r ( o ) 一r ( t ) 寸r ( o ) ，即在f = t 时回到出发点，得到： 儿( c ) = i j c r d 面d ( n ，r ( f ) i v m ir ( f ) ) = 嗔彳( 凡) 曲。( 2 - 5 ) 其中彳( r ) = i ( 玎，r ( t ) l v 膏i f ，足( f ) ) 。对于自旋一l 2 粒子，当处于外磁场露( f ) = ( s i n , g e o s o ( t ) ，s i n , g s i n o ( t ) ，c o s , 9 ) 时，其b e r r y 相表示为：以( c ) = 千寻( 1 一c 。s 1 9 ) 兀= 千导q ( c ) ，表示自旋向上和自旋向下，力( c ) 是闭合曲线c 对参数空间原点( r = 0 ) 所张的立体角。这表明b e r r y 几何栩是由系统在演变 过程中所出现的量予能级微弱变化跃迁的绝热极限效应所导致的必然结果【5 1 。 2 1 2a a ( a h a r o n o v a n a n d a n ) 几何相 b e r r y 相是利用绝热近似，系统每一时刻都处在瞬时本征态的前提下得出， 条件比较苛刻。因此，a h a r o n o v 和a n a n d a n 【6 1 考虑放弃绝热近似假定，对b e r r y 绝热相进行重要推广。假定体系量子态i 少( f ) ) 按照s c h r 6 d i n g e r 方程周期演化， 岗期为f 。经历一个削期f 的循环演化后，量子态到 到初态，相差为， i y ( r ) ) = e i 沙( o ) ) 。 ( 2 6 ) 在h i l b e r t 空问中，l y ( f ) ) 与i y ( o ) ) 在o 时不是 同一矢量，因此态矢的循环演化路径c 不闭合( 如图 2 2 ) 。作含时变换， i ；f ，( ，) ) = e v ( oi 妒( f ) ) ， ( 2 7 ) f ( r ) - f ( o ) = 。而，i 驴( ，) ) 是h i l b e r t 投射空间中一 图2 2 态矢在h i l b e r t 空间与投 射窄问的演化路径图 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 矢量，l 痧( f ) ) = i 痧( o ) ) ，其循环演化路径丌( c ) 在b l o c h 球面上是个封闭曲线， 如图2 - 2 所不。l 痧( ，) ) 随时间演化不再遵守薛定谔方程。经过计算，得到动力学 相： ) = f d f ( 唰半) ；( 2 - 8 ) 几何相为： f l ( 加rd f ( 痧峥痧( f ) ) = 一) ；( 2 - 9 ) 刚总相付： = a ( r ) + p ( r ) 。 ( 2 - 1 0 ) 该几何相是普适的，投射空间中一个封闭路径h ( c ) 对应h i l b e r t 空间无穷多的 循环演化路径c ，这些无穷多演化路径对应无穷多的疗( f ) ，它们驱动状态沿着“ c 演化，但几何相是唯一的。由于它由a h a r o n o v 和a n a n d a n 首先提出，因此被 称为a h a r o n o v - - a n a n d a n 相( a a 相) 。如果回到b e r r y 讨论过的疗( 胄( f ) ) 随时 间绝热变化的情况，设体系处于詹( 露( f ) ) 的某一个瞬时本征态i ( r ( f ) ) ) ，则 嘶) = 似吣) | 半w ) ) = 一去【魂e ( 即，) ) 。( 2 - 1 1 ) j 与b e r r y 定义的动力学相是一致的。 几何相也可用中子干涉谱仪【7 】检验。而且yh a s e g a w a 等用中子干涉实验 不仅观测了对角几何相，还可观测非对角几何相嘲。 2 2拓扑相 a b 效应中，由于粒子路径处于双连通区域，具有空间非平庸性，粒子沿 闭合路径运动获得一拓扑性( 整体) 相因子，即拓扑相( t o p o l o g i cp h a s e ) 。实验网 也证明了a b 效应确实存在吲，可观测。与a b 效应类似，a c 效应是中性粒 子的非平庸拓扑效应。具有磁矩的电中性粒子在不受电场力或磁场力的作用， 而受电磁势的作用，粒子是在复连通区域中运动获得累积几何相位，具有拓扑 性质，是拓扑相。 a b 效应源于电流，声与电磁势彳卢耦合的，一a p 的规范不变性。荷电粒子在 6 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 b = e = 0 的区域运动时，a b 效应也存在。但a c 效应却源于自旋流与规范势 张量的耦合，因此，在中性磁子运动路径上必须有电场的存在。值得注意的是： a c 效应是一个微弱的效应。据a h a r o n o v 和c a s h e r 估计，在中子衍射中，要 产生7 c 2 的相位差，线电荷密度需达到每1 0 _ 1 5 c m 有一个电子。后来a c i m m i n o 等的实验被认为是a c 效应的有力证明。 对j 二a s b 效应，可认为电子或自旋为1 2 粒子的旋最波函数转动一圈后， 相位增加了。个负号，是有拓扑性质的，跟转动的圈数有关。另，实验是将干 涉仪作空间转动，测量光予干涉的量子拍( q u a n t u mb e a t ) ，测定波函数的相位 移，或者测定光子被靶核散射相位移，这一相位移可由窄问转动不变性导出 4 , 5 1 0 1 ，与光子的极化、所受动力无关，具有拓扑性质。 以下介绍拓扑相其中的一种简单二：能级系统的拓扑相。 二能级量子系统的演化由s u ( 2 1 描写，其一般表示为 叽) = ( ：嚣矿e 啼螂s i n 4 这里f = 鲁净孚胛孚和y 为 欧拉角。类似a b 和a c 等拓扑效应，二能级量子系统在循环演化下，态矢 量在b l o c h 球面的轨道为一闭合曲线，系统的波函数获得一拓s b ( 绕数) 相因子。 根据吴一杨证明【l l 1 2 1 ，任何紧致黎曼面都至少含一个奇异部分。对s u ( 2 1 群流 形，紧致黎曼面就是伪b l o c h 球，奇异性就是自旋规范势中的d i r a c 弦。对态矢 量在b l o c h 球上的多圈循环演化讲，轨道的圈数又可分为环绕d i r a c 弦的绕数 ( w i n d i n gn u m b e r ) 和不环绕d i r a c 弦平庸扭结数( k n o tn u m b e r ) 两种。实际上，二 能级系统循环演化波函数获得的拓扑相与环绕d i r a c 弦的圈数有关。 由于像a b 、a c 类的拓扑位相具有非色散性，它们更少的依赖于外界环 境，人们普遍认为拓扑位相有较强的抗干扰能力。 另一方面，研究比较多的领域是分数量子霍耳效应( f r a c t i o n a lq u a n t u mh a l l e f f e c t ) 液体系统的非阿贝尔任意子( n o n a b e l i a na n y o n ) 的拓扑相。一般说来， 分数量子霍耳效应的元激发是“阿贝尔”( a b e l i a n ) 型的，可以互相交换。最 近的研究表明： 当束缚于半导体界面的非常纯净的二维电子气处于高磁场和极低温的条件 7 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 中，电子会产生一种集体运动，形成不可压缩的量子液体，即分数量子霍尔液 体。液体中元激发带有分数电荷，并不服从常见的费米一狄拉克统计或是玻色 一爱因斯坦统计。它们满足分数统计：交换一对任意子后，系统的波函数会产 生一个非平凡的相位。分数量子霍尔效应液体中的元激发可以被理解为电荷和 磁通组成的复合粒子。这些生活在极低温和高磁场下的二维空间中的奇异粒子 在时卒中运动而织就的辫子( b r a i d ) ，就是系统中量子态的幺正演变。该相位 类似有不受局域干扰的特点。 进一步，物理学家们认识到现实世界中可能存在非阿贝尔任意子；也就是 说，由它们的交换导致的波函数变换不能用一维的复数来描述，而必须引入高 维的矩阵表示，或者说，辫子群的幺正表示( 例如扭结理论中的琼斯多项式) 。 而分数量子霍尔液体中填充数为5 2 和1 2 5 时元激发是“非阿贝尔”的任意子， 不可对易。 2 3 量子计算 2 3 1 背景 近3 0 年，计算机的集成度发展趋势为每1 8 个月在同样尺度的计算机芯片 上的存储单元数目增加一倍，即所谓m o o r 定律1 3 】( 如图2 3 ) 。按此趋势，到 2 0 2 0 年左右，存储单元的物理尺度将小到原子尺度。在此尺度下，存储单元的 波粒二象性所服从的规律是量子力学，因此人们不得不考虑量子计算( q u a n t u m c o n p u m t i o n ) 的问题。而且经典计算机的高集成度和高速运算导致单位体积内 的散热增加，带来不可逆的热力学效应。此外，著名物理学家f e y n m a n 1 在一 篇重要论文中论证了经典计算机无法较好的模拟量子力学系统，而按照量子力 学规律工作的量子计算机可能有效的模拟量子系统，研究微观更本质的物理现 象和规律。而且量子计算机可进行超快运算等等。这些都表明量子信息及量子 计算不仅在过去，在将来仍是研究的热门领域。人们不得不从基本物理规律出 发重新研究计算机科学的某些基本问题，即研究量子计算机技术已成为必然趋 势。 8 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 c p ut r a n s i s l o rc o u n t s19 7 1 2 0 0 8 & m o o r e 9l a w 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 。0 0 0 ，0 0 0 。0 0 0 1 0 0 0 0 , 0 0 0 1 o o 1 。o 1 0 o 2 3 0 0 _ ；警：箩”一”一 - p _ ， 0 p “ 心r 。- _ - a h 神神州：略 柚mb a - _ t 删一 融p - - ，t - a 辆 。 ， 一r 。 一y ， 。， _ m “- “ 一 l 1 9 7 1 蝴l m 翻o2 饿岛 d 矧嚼啊i n l m d u c t i o n 图2 - 3m o o r 定律 按f e y m a n 的观点，量子计算机是量子力学系统，它遵循量子力学规律进 行存储、运算及读取量子信息，量子计算的过程就是量子力学系统量子态演化 的过程。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法时，它所进行 操作的就是量子计算。量子计算机采用量子比特( q u b i t s ) 存储信息，对信息 进行编码处理。 量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究，而研究可逆计算机是为了克 服计算机中的能耗问题。早在六七十年代，人们就发现，能耗会导致计算机芯 片的发热，影响芯片的集成度，从而限制了计算机的运行速度。l a n d a u e r 1 5 1 最 早考虑了这个问题，他考察了能耗的来源，指出：能耗产生于计算过程中的不 可逆操作。例如，对两比待的异或操作，因为只有比特的输出，这一过程损 失了一个自由度，因此是不可逆的，按照热力学，必然会产生一定的热量。事 实上，只要对异或门进行简单改进( 如图2 4 ) ，即保留一个无用的比特，该操 作就变为可逆的。因此物理原理并没有限制能耗的下限，消除能耗的关键是将 不可逆操作改造为可逆操作。后来，b e n n e t t 1 6 】更严格地考虑了此问题，并证明 了，所有经典不可逆的计算机都可以改造为可逆计算机，而不影响其计算能力。 9 _c葛jo驽翟懋一 几何拓扑量子计算及冷原子z b 效应的研究 口 b ob 口0b 6 图2 - 4 不可逆异或门改进为可逆异或门 自1 9 8 2 年f e y n m a n 提出量子计算机之后， b e n i o f f 1 刀提出量子图灵机 ( t u r i n g ) 的概念。1 9 8 5 年，d e u t s c h i i 8 具体