（计算数学专业论文）解非线性对流扩散方程的部分迎风有限元法与离散极值原理.pdf

解部分迎风 原理 王庆晟 ( 南开大学数学学院，天津，3 0 0 0 7 1 夕、， 摘要 本文对二维非线性对流扩散方程建立了个线性化修正的部分 迎风有限元格式以及一个线性化修正的部 校正格式，证明其分别满足离散极值原理， 式的误差估计 o np a r t i a lu p w i n df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d d i s c r e t em a x i m u mp r i n c i p l ef o rn o n l i n e a r c o n v e c t l 0 n d i f f u s i o ne q u a t i o n s w a n gq i n g s h e n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，n a n k a iu n i v e r s i t y ，t i a n j i n ，3 0 0 0 7 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t w o d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rc o n v e c t i o n d i f l u s i o ne q u a t i o n s a r es t u d i e dah n e a r i z e dp a t t i a lu p w i n df i n i t ee l e m e n ts c h e m ea n da h n e a r i z e dp a r t i a lu p w i n df i n i t ee l e m e n tp r e d i c t o r c o r r e c t o rs c h e m ea x e c o n s t r u c t e dr e s p e c t i v e l v i ti ss h o w nt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so f t h e s es c h e m e sp r e s e r v ed i s c r e t em a x i m u m p r i n c i p l e t h ec o n v e r g e n c e a n de r r o re s t i m a t ea r ea l s og i v e nf o rb o t hs c h e m e so l 引言 在流体力学计算中，迎风有限元方法是一类适用于对流占优情形的有限垂 方法该方法易于实现，适用于多维问题，尤其是它们保留了原问题的两个尊 要性质：极值原理和质量守恒原理，显然，无论从物理或力学方面，还是从数值 分析方面，这两个性质都十分重要然而，上述迎风格式为了保持解的稳定性， 常常带有过多的人工粘性，从而抹平了解的变化，降低了解的精度文一f 4 1 分别以不同方式给出了一个部分迎风有限元格式，降低了人工粘性，进而提高 了数值解的精度 上面提到的迎风格式几乎都是针对线性对流扩散问题的，没有涉及常见的 非线性方程文f 6 】对一类二维非线性b u r g e r s 方程给出了部分迎风格式，并给 出了误差估计和收敛性证明本文针对更一般的二维非线性对流扩散方程，给 出了一类线性化修正的部分迎风格式，证明其满足离散极值原理，并给出了格 式的误差估计；在此基础上，针对上述格式中时间方向上的误差精度较低，又 构造了一类线性化的预测校正格式，证明其满足离散极值原理，并证明了只 要适当的选取迎风参数，其在时间方向上能达到二阶精度 2 问嗣与记号 考虑以下二维非线性对流扩散方程的初边值问题( p ) ： i1 上t v ( d ( u ) v t ) + 6 ( t ) v u + c t l = ，( 霉，可，t ) nx ( o ，t 】= d u ( z ，) = 0( z ，y ，t ) r 0 ，t j ； 【u ( 2 ，y ，0 ) = u 0 ( ，y )( ，f ) 磊 其中，多边形区域nc r 2 是有界的，其边界为r 记r 上的有界集： g = t ：k o ) 我们假定问题( p ) 中的系数满足如下条件： ( a 1 1 ) 存在常数r , m ，使 0 0 这里口。为常 数 对问题( p ) 的解u ，我们假定其满足如下条件： ( a 2 ) u 。( o ，t ；日2 ( n ) ) n ( o ，? ；w 尝( n ) ) ，t t ，札“三( o ，t ；工( n ) ) u l o 。( o ，t ；日2 ( n ) ) 则问题( p ) 的弱形式为：求u ：【0 ，t 一础( n ) ，使 ( t ，u ) + ( o ( u ) v u ，v 口) + ( 6 ( u ) v u ， ) + ( c u ， ) = ( ， ) v 日j ( n ) 成立 考虑磊上的一族i 贝q - - - - 角剖分靠= o ，则相对n t 有唯一的单位外法向量哦j 冀| | j 星璺9 墅龟声结史曼的单元e 的集合设肌是在结点a 外，矗赫i 兰 定义的特征函数- 引入质量集中算予 ：”g ( 西) 一面三m 函i ，；g 。e e ： 曲( p ) = ”( a ) m ( p ) 3 特别的，在n i 上有如下关系： 西( z ) = ( a ) = t ，v z n i 在此基础上，我们引入在误差估计中起重要作用的第三次剖分( 见 4 】) ，即在 如上剖分基础上再进行一次剖分定义第三次剖分的元素为：口订= 码u 乃t ， 其中为以非退化直线段r 玎为边，以结点p l 为相应对顶点的三角形进一 步，三角形可以表示为两个三角形嗜( = 1 ，2 ) 的并，其共同边界是结点 鼽，乃连线的j 部分( 见图1 ) 记 r 嚣= r 巧n 嗡及m 嚣= m e a s l ( r 跏 易见，o u = q 0 u q g 这里口g = 嗜u 臻“( = 1 ，2 ) p j j 巡z 图1 辅助三角形嗜 我们可以得到如下关系： m e a s z ( 口字) ：2 m e a s 。( 嘴) = ；m 妒奶 其中，奶= h p j i 为点p l 与p i 之间的距离 我们有如下引理( 见 4 】) ： 引理l 在条件( a 3 ) 下，成立 s n 一 0 表示时间步长n , - = r 】 是沿时间方向的计算步数于是问题( p ) 的部分迎风有限元格式( r ) 如下：对 n = 0 ，1 ，肌一1 ，求u n + 1 h ，满足： f ( d ，( r - ，亩) + ( n ( 矿n ) v 矿n + ，v ”) + r ( 百n ，矿n + ， ) + ( e o ”十 ，o ) = ( ，n + ，o ) v v m j h lu o = i h u o 其中： d ，6 - ”= ( 驴”+ 1 一驴“) r 矿“+ = ( u “+ 1 + 矿“) 2 冠( 伊，矿n + ，。) ：n 佻( 嗡嵋+ + a 銎醇一嵋+ ) 筋 嵋+ ：矿n + 慨) q ：”慨) ， 船= 上。伊勤d 5 伊= 虱矿”) 这里厶是c ( f i ) 到v h 的插值算子在格式( p ) 中，对流项r ( 伊，u ，v ) 所含 的部分迎风参数a i ；和略可以适当选取它们应当满足以下一些条件记 哟= ( a ( 矿) v ，v 协) 并定义网格p g c l e t 数( i = 1 ，2 ，k ；i a ) ： p n ，= 露i 略i 则a ；，a 蚤的选取应满足以下两个条件： ( i ) a 3 + n 盈= l ( i i ，t 篡黔端i ：蓦耋鸳翟 一种选取的方式是( 见m 定义： ip - 。一( 扩一1 ) “当0 p f l 髓黯册 当当当 4 离散极值原理 下面我们证明格式( r ) 满足离散极值原理- f i 先x 寸b a n a c h 空间x 和定义在 离散集上的函数( t ) ： o ，r ，2 r ，肌r ) 一x ，记： “= ( n r ) 定义新范数为： * ( x ) 2 。 m 。a 0 ，取j = o “j ) k a l j = 0 a i i o “，) k j = l q = c i i 0 拉l 当岛 0 时，由于 a 銎= 1 一a 3 1 卢0 = i 。酊l 卢嚣 故 q j + b l j = a i j + a 銎髓s 0 而 c i i = 0 ，”玎= 0 ( i j ) 7 = n 一 屈 篁： 口 泓 + 髓 幻 _ i 触夺 口触 = = 因而 一 m + 鲁( n 巧+ 6 玎+ 。巧) 0 ( 1 isn ，j i ) 当船0 时，有类似的结果由条件( a 1 1 ) 及归纳假设，有 n ( u “) 帆，虬( u “) 5 耽( i = 1 ，2 ) 从而，由引理2 ，引理3 可以得到 嘲扣地+ q t ) ：f n i f 一；“4 ( 扩”) v 协，v 妒) + ( a 舀一1 ) 鳄+ 由i n i j 。 e a f 取i 一竿f n j i i a 一功l 一警i n j f 一竽i n 。 j a “ j a i 。 f a ；l 一竿4 1 f l ；l k ：一半4 1 r i l l k 一譬 e 靠( ) 。 = 。副”警一警一字黼 因而，当r 满足 即 时，成立 z 警一半一字揖警一警一竿。 于是，由引理4 可得 。 0 ，存在常数 a 0 ，当h ( o ，h o 】成立 a h ( w h ，v h ) 刈口 幢2 n v v h v o h 这里，h o 不依赖于t 1 , a 不依赖于h 证明：记 a h ( ”h ，v h ) = 。( ，蜥) 其中： 口0 ( v ) = ( 口( 矿“) v v h ，v v h ) a 1 2 ( v h ) = i 1 【( 卜a ) u 埘一( ；一a n 巧肌妒玎n v m 2 。i e a d e a l 。 n 譬( ” ) = ( a 饥，“) 一；u 髓 一i = 1 j 由条件( a 1 1 ) 及定理1 ，我们容易得到： a 擘( ) 训晰| ；2 n 9 对于。( v h , v h ) ，利用其对称性质，并且考虑到其边界条件，将其重新组合，我 们可以将0 1 2 ( ” ) 写成： 。1 2 v h , v h ) = ； 【( 1 一a 嚣) ”h j 一( i n o ) 鹏+ ”m 。i j e a i + ( 1 啄) v h l 一( ；一n ) ” 照v h j ) = ； ( 1 一n 舀) 髓+ ( 1 一a ；：；) 露 h i v h j 。aj a i 一 【( ；一n 玎n ，p 玎n v m 2 + ( ；一a 崩nj p 西n ”柳2 】) 由a 嚣+ n 盈= 1 及髓= 一铱，可得如下关系： ( 1 一a ) 照= 一照a 0 及 ( i 1 一a ) 鲸= ( ；一略) 孵 我们可以得到： a ( ，” ) = ；( ；一a g 1 月。r r 2 v h l 一嚷一 ：0 4 i e j a 。 = 一；萋( ：一a 嚣) 船( t 一，) 2 。i e a j a 。 由a 3 ，a 盈的选取及( 2 ) 式， ( 1 ) 当踞= o ，易知： 记。格= ( ；一a i j n , ，玎n ，贝4 ： a 譬1 ( 蜥) = 0 ( 2 ) 当髓 0 ，由( 2 ) 可得： 5 玎= 一( i 1 + f ( 矧) 翳 由f ( p ) 的定义，可知f ( p ) 单调下降，且0 f ( p ) ；，因而s 玎 0 ( 3 ) 当船 0 a 舀= a 嚣+ 三 当岛= o lf ( 髓)当岛 0 在( 1 5 ) 式中，取n 嚣i na 銎为( p h ) 中的砖和a 氧e p n - j 在( 1 6 ) 式a 舀和a 蛩的选 取中 我们取 吒0 一( 口( 矿 ，。) v ”，v 协) a “= ( 口( 矿言u ) v 妒i ，v 协) 我们首先指出格式( r ，) 满足离散极值原理注意到，虫f i j l l ：加有上界k o ， 则 鳓s2 凰 从而，我们记 耽一眺m a ：x 。a ( $ ) 慨一i 耀氖6 ( ) ，“= 1 ，2 ) 尬5 搿。( 2 ) 则糊勰黯翟p 添翱粼a 1 舔1 m 触龋并定理3 如果问题( ) 的解有界，条件( ) 成立，a 舀和a 器如上远取，开 且时间步长r 满足条件 。 0 ，使v h ( 0 ，h o 】，和v v v h ，成立 a l ( 1 i h ，) 刈i l i ，2 n 这里，h 。可选择使其不依赖于r , a 不依赖于h 关于误差估计，我们有如下结果： 定理4 设问题( p ) 的解“充分正则，满足条件( a 2 ) ，且条件( a 1 1 ) ，( a 1 2 ) ，( a 1 3 ) 成立，则当格式( 耽。) 的时间步长r 充分小的时候，格式( p h ) 的解u 有误差估 计： i i r 一 i l l 。( l 2 ( n ) ) sc ( h + 1 2 ) 其中，c 为与h 无关的常数 证明我们首先来估计咿| 1 0 , 2 , f l 的误差首先讨论( 1 5 ) 式的误差估计由于 ( 1 5 ) 式相当于( r ) 式当n = l 时的情形，由定理2 的证明，我们可得： ! ! ! ，堡立尝导c h 。+ c ( 1 l , 一， 1 1 3 2 n + i l n 一。 | | 3 2 t 。 + l f t “ 一“l f 3 ，2 ，n + f f 6 一c f 旧, 3 , f 1 ) + e ( f | n f f a 2 ，n + 1 1 , d 1 1 0 ，2 ，n + i i v # l 晤，2 n + l i t 户一t ；，- 0 2 ，2 ，n ) + c ( 1 1 0 1 , o ，n + 咿n ) + 圳3 2 t n 圳舢3 a n ) 两边同乘以2 r ，当r 足够小时，整理可得： = 1 + 而2 c r 胪冁：，n + # 2 + 釜( 憎一，碾。，n i i 缸 一u ；1 1 3 a n + i l 佤 u 1 1 3 n + i l 一c 0 3 ，2 ，n ) 芒( j a 卵+ j j p 懈加+ ”即懈卵 i u o u 1 1 5 ，2 n + i i 矗。一矗 1 1 3 n ) v i + + + n22 01 0i 口 注意到( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 式及 l i u o t i i o ，2 ，n c 1 - i i , , o l l o ，2 ，n 从而最终得： 归1 , 0 n c ( h 2 + r 3 )( 1 7 ) 对于( 1 6 ) 式的估计，注意到其相当于( p h ) 式r t = o 时的情形，唯一不同的是 ( p ) 的a ( u ) ，取“) 项中用t r ，o = ；( 矿- t o + 沪) 代替了扩从而完全类似前面的讨 论，我们只需重新估计a ( ”，) 两项对a ( ” = ( 口( 矿i 1 一) ( v w i l 一v t ) ，v o w ) + ( ( 口( 矿 ，o ) 一口( u ) ) v t ，v 口) ：a ( z x ) + a ( 3 2 ) s c h 2 + c l l v 卢 1 1 0 = ，2 n + 3 ei 口 i i ，2 ，n s c l i u v 一“钏o , 2 , n l a 1 1 ，2 n c ( 1 l t r l t o i t 1 1 1 0 , 2 , n + i i 矿。一1 1 0 i i o , 2 , n + i i 卢 。i i o ，2 ，n ) l e l l 。2 ，n c h 2 + c ( t l e l t o l | 3 ，2 ，n + i i 0 0 1 1 0 2 t 2 n + 1 1 卢导1 t 2 0 ，2 ，n ) = i 【( ( 取， 9 ) 一酞u ) ) v ( u 一u ) ，口 ) o n ；】i i = 1 c l l t r ，o t , 2 11 1 0 ，2 ，n + e i f - 。i | | 0 2 ，2 ，n c h 2 + c ( 1 l # 1 , 0 i 1 0 2 盔n + | i 扫o i l 0 2 盔n + i 旧 1 1 5 置n ) 十3 1 1 # 1 1 0 2 2 n 综上，我们最终有如下估计式： ! 生i 墨生堕挚c h ：+ e ( i i ， 一， 1 1 5 2 n + i i 砬 一。 1 1 0 南n + | i t h 一“1 1 3 n + l e c l i o ，2 ，n ) + c ( 1 1 , l t 1 2 0 n + 1 1 , 日 1 1 0 2 n + i | x 啊 1 1 3 o ) + c b ) ( i 1 0 1 1 1 3 n + 咿，n ) + c 1 1 1 , o l | 3 t 2 ，n + 圳3 2 n + i j 声0 i | 3 2 ，n ) 两边同乘以2 1 - ，当r 足够小时，整理可得： i i d l i l 3 盔n ；- ! j 筹l | a 。l | 5 。+ g _ 1 1 2 + r 兰笔舞( i i ， 一， | | 3 a 。 + i i n 一u 0 3 2 n + i l a , 一, , t l l o 2 n + 1 1 e - c l i o ，2 n ) + f 兰( t 2 。，n + i i a l 1 0 2 2 n + i i v 8 1 1 0 2 n ) + r 笺轫弘5 。 p ”封 n a 驴驴 ， 由( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 及( 1 7 ) 式，最终我们可得： 咿n c ( h 2 + 下4 ) 对( 1 4 ) 式，应用归纳假设，完全类似于定理2 的推导过程，我们可得如下误差 估计式： - 。：d ，咿| | 3 1 2 ，n + 刈口n + 稚盔n s 【( 产+ ，a n + ) 一( ，“+ ，口“+ ) 】一【( d ，西“，”+ ) 一( u ? + ，口“+ ) 】 一( 口( 驴n ) v w n + 一口( u n + b w “+ ，v 口n + ) 一 【置( 亩， n + ，口n + ) 一( 虱矿+ ) v t ，+ ，口n + ) 】 一【( 而“+ ，n + ) 一( c 矿+ ，口“+ ) 1 5 = 删 i = 1 类似于定理2 中的讨论，注意到a ( ，a ( ”，a ( 5 ) 项与定理2 中完全相同，从而有 相同的估计我们只需重新估计余下两项首先考虑a ( 。) 项 i a ( 3 ) i = ( 口( 疗n ) ( v 矿+ 一v 矿+ ) ，v 口卅 ) + ( ( a ( 驴n ) 一口( “+ ) ) v q t 件 ，v 矿+ ) = a ( 3 1 ) + a ( 3 2 ) 由( 3 ) 式及条件( a 1 1 ) ，如同定理2 中的估计，可得： i a ( 3 1 i g 2 + c l i v 卢“+ i | 1 0 ，2 2 ，n + 3 , l e 蚪 | ； 2 ，o 又应用条件( a 1 2 ) ，可得： i a ( 3 2 ) 1 g i l 疗“一u n + l i o 2 。n i 口“+ 1 1 2 n so ( i i 驴“一面“i i o ，2 n + l i 矗“一t “+ i i o ，2 ，n ) l 口”+ l l ，2 ，n e ( ；i i p “i i 。t 2 n + ；l l e “i i 。，。，n + ；i i 矿一1 i i 。 n + ；i i f “一1 l i 。盔n + | 1 7 “i i o ，2 ，n ) 妒+ 1 1 ，2 ，n g 2 + c ( 1 l o ”1 1 3 忍n + i i o “一1 1 1 3 n + 1 1 7 ”1 1 8 2 n ) + 5 i p “+ l i ，2 ，n 综上， a ( 3 i c h 2 + c ( 1 l o ”i 3 ，2 n + i i o “一1 0 3 高n + 1 1 7 “1 1 3 a n + l l v p 。z 22 ，n ) + 8 e l e 计t 。3 ，n 对于a ( t ) 项，我们容易看出，只需重新估计小) 项 1 j ( ，j ：i n 【( ( 取疗n ) 一取，l + ) ) v ( 。n + 一0 + ) ，d n + ) 。高m 】 = l c 1 1 6 - “一u “+ 1 1 3 互n + e i i a “+ 1 1 5 ，2 n c ( 1 l o “一o “| | 0 22 ，n + i i 豇“u n + 1 1 3 盔n ) + e i i 口“+ 1 1 3 盔n c ( 1 l p “| 5 忍n + l i p “一1 | | 3 矗n + i i 口“1 1 8 忍n + i l e - - 1 1 1 3 。2 ，n + l b “惦, 2 , 1 1 ) + e 伊+ i 1 ，n c h 2 + o ( 1 l o “f f 3 五n + f f 护“1 f 1 0 2 ，2 ，o + l f r “f | 0 ，2 ，n ) + e f f 驴+ f 1 3 a n 我们最终可以得到如下误差估计式： ；d ，f | 自瞎，2 ，n s c h 2 + 口( i | 产+ 一，r 十 i | 5 ，2 ，n + f i 缸t n + 一t 0 + 彳1o o 2 n + f 8 一c f 矗2 ，n + i o “+ 一“+ | j 3 , l t n ) + c ( 1 l 口“+ | 1 3 n + i j p “+ 1 1 0 ，2 ，n + i j v 卢“+ 旨| j 0 矗o + | 7 n | 1 3 t 2 n ) + c ( 1 l # ”+ 1 i i o 盔n + i i 口“1 1 3 盔n + i l 驴一1 1 1 3 a n ) + ( 护“| | 3 2 ，n 圳p n i | 0 2 2 ，n ) 记： 丑? = l i 尹。+ 一，n + | | 3 n + h t n + 一+ i i i o n + | i e c 1 1 o 高n + i i 铲+ 一矿+ 0 3 2 n 丑；= f f a “+ f i a 2 ，n + f 护“+ l f a 2 ，n + h 侈计 f f 最2 ，n + i h ”】f f 3 2 n 两边同时乘以2 r ，化简可得