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弹性凸轮系统的动态响应与分析 中文摘要 弹性凸轮系统的动态响应与分析 中文摘要 凸轮机构作为高副多组合机构，随着转速的提高将产生较大的惯性力，导致弹性 部件的变形，使实际输出偏离理论要求，更甚则引起强烈的振动、噪声，导致磨损乃 至机器的失效。对动态条件下工作的机构作更精确的定性分析与定量计算很有必要。 本文对一具体实际的高速凸轮机构通过系统、完整的分析、推导，建立了相应的 数学模型，并运用m a t l a b 平台进行了详尽的计算，获得了相应的结果，验证了理论 上分析的正确性等。 本文首先对一具体的凸轮机构通过质量、刚度、自由度等方面的等效转化和简化， 建立一个与实际等效的动力学模型。通过系统的分析比较，介绍了凸轮机构几何参数 的确定方法，并给出具体的求解公式。 其次，运用m a t l a b 软件对弹性凸轮机构的动态输出和名义输出做了比较，分析 出影响动态输出的一些因素，其中凸轮转速对动态输出的影响最大，凸轮基圆半径和 系统阻尼比等对动态输出也有很大影响。通过以上分析可以针对某一具体方面的要 求，比如运动失真要小或系统的稳定性好等具体要求，给出相应的合适的设计参数值。 随后，基于h e r t z 接触理论求解了凸轮与从动件间的接触应力，并做了大量的分 析，给出影响接触应力变化的因素，比较了三种运动规律下接触应力的分布特点，为 选择合适的运动规律提供了合理的依据。 最后，对凸轮机构这一高副机构最具影响的摩擦磨损问题做了简单的探索与介 绍，并对本文存在的不足和后续的相关研究做了简要的总结。 关键词：凸轮机构，弹性变形，动态分析，m a t l a b 软件，影响因素，接触应力，摩 擦磨损 作者：徐忠兰 指导老师：冯志华教授 a b s t r a c t d y n a m i cr e s p o n s ea n dt h ea n a l y s i so f t h ef l e x i b l ec a ms y s t e m s d y n a m i cr e s p o n s ea n d t h e a n a l y s i so ft h ef l e x i b l e c a m s y s t e m s a b s t r a c t w i t ht h ei n c r e a s eo fr o t a t i o n a ls p e e d ，c a ms y s t e ma st h ec o m b i n a t i o no fm a n y h i g h e r p a i rw i l lp r o d u c eal a r g e ri n e r t i af o r c e ，w h i c hc a u s e sd e f o r m a t i o no fe l a s t i c c o m p o n e n t s t h i sc a n tm e e tt h en e e d so fe n g i n e e r i n g e v e nw o r s e ，i tw i l ll e a dt os t r o n g v i b r a t i o n ，n o i s e ，w e a ra n du n f u n c t i o no ft h em a c h i n e s oi ti sn e c e s s a r yt od om o r ep r e c i s e q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dq u a n t i t a t i v ec a l c u l a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nn o t o n l y s e t su pt h ec o r r e s p o n d i n gd y n a m i cm o d e lt h r o u g h s y s t e m a t i ca n dc o m p l e t ea n a l y s i so nt h ec o n c r e t ep r a c t i c eo fo n eh i g h s p e e dc a m ，b u ta l s o c a l c u l a t e st h er e s p o n s eo ft h es y s t e mi nd e t a i lb a s e do nm a t l a bp l a t f o r ma n do b t a i n st h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t s ，w h i c hc a nv e r i f yt h ec o r r e c t n e s so f t h et h e o r e t i c a la n a l y s i s f i r s t ，t h ed i s s e r t a t i o ns e t su pad y n a m i cm o d e lo ft h ea c t u a le q u i v a l e n tt h r o u g ht h e e q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o na n ds i m p l i f i c a t i o no nt h em a s s ，t h er i g i d i t ya n df r e e d o m t h r o u g hs y s t e m a t i ca n a l y s i sa n dc o m p a r i s o n ，w ei n t r o d u c em e t h o d st od e t e r m i n et h e g e o m e t r i cp a r a m e t e r so ft h ec a mm e c h a n i s m ，a n df i n das p e c i f i cf o r m u l at o s o l v et h e p r o b l e m s e c o n d ，t h ed i s s e r t a t i o nc o m p a r e sd y n a m i cr e s p o n s e sw i t hn o m i n a lo u t p u to ft h e e l a s t i cc a mb ym a t l a bs o f t w a r ea n da n a l y s i s e sf a c t o r sa f f e c t i n gd y n a m i co u t p u t ，a n d r o t a t i o n a ls p e e do fc a mi st h em o s te f f e c t i o no nd y n a m i co u t p u t ，r a d i u so fb a s ec i r c l ea n d t h es y s t e md a m p i n gr a t i oh a v eas i g n i f i c a n ti m p a c to nt h ed y n a m i co u t p u tt o o f r o mt h e a b o v ea n a l y s i s ，t h ed i s s e r t a t i o ng i v e st h ec o r r e s p o n d i n ga p p r o p r i a t ep a r a m e t e rt om e e ta s p e c i f i cr e q u i r e m e n t s ，s u c ha st h ed i s t o r t i o no ft h em o v e m e n ta n dt h es t a b i l i t yo ft h e s y s t e m t h i r d ，t h ed i s s e r t a t i o nm a k e sm o r ea n a l y s i sb a s e do nh e r t z sc o n t a c tt h e o r yt os o l v e t h ec o n t a c ts t r e s sb e t w e e nt h ec a ma n df o l l o w e r ，a n df i n dt h ef a c t o rw h i c hc a nc h a n g et h e c o n t a c ts t r e s s ；a n dc o m p a r e sw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i co ft h ed i s t r i b u t i o no fc o n t a c ts t r e s s n d y n a m i cr e s p o n s ea n dt h ea n a l y s i so ft h ef l e x i b l e c a m s y s t e m s a b s t r a c t u n d e rt h r e et y p e so fm o t i o nr u l e s t h er e a s o n a b l eb a s i si sp r o v i d et os e l e c tt h es u i t a b l e m o t i o nr u l e s f i n a l l y ，p r o g r e s sa n ds h o r t c o m i n go fs t u d i e sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r i sc o n c l u d e d ，a n d o n g o i n gr e s e a r c hw o r ki sp r o p o s e d k e y w o r d s ：c a mm e c h a n i s m ，e l a s t i cd e f o r m a t i o n ，d y n a m i ca n a l y s i s ，m a t l a bs o f t w a r e ，t h e i m p a c to ff a c t o r s ，c o n t a c ts t r e s s ，f r i c t i o na n dw e a l 1 1 1 w r i t t e n b yx uz h o n g l a n s u p e r v i s e db yf e n gz h i h u a 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研牲虢蚴盥日期：与灶山 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 翮虢等日 期： 期： 弹性凸轮系统的动态响应与分析第一章绪论 第一章绪论弗一早珀t 匕 1 1 本课题研究的背景及意义 凸轮机构结构简单、紧凑，维护保养方便，能实现几乎任意连续的具有周期特征 的运动规律，最大特点是只需设计凸轮的轮廓线【】，便可以使从动件获得任意的预期 效果，所以凸轮传动系统应用广泛，在机械、轻工、纺织、食品、印刷等行业应用 广泛，且与其它机构的组合能设计实现复杂的运动规律。随着生产技术的发展，机器 速度逐渐提高，对于某些凸轮机构1 2 】，由于速度高，加速度大，为了减少动力载荷， 通常将构件设计得比较轻薄，因而机构刚度被降低，使工作端的实际输出与理论要求 之间存在着明显的差异，严重时会使工作端不能完成预期的工作。所以，随着现代科 技的发展，设计出高速、高精度、高效、轻质、可靠的机器已成为机械产品发展的重 要任务。机器的高速运转给机械设计者提出了新的、严格的要求，其主要问题即为高 速时将产生较大的惯性力，导致弹性部件的变形，更甚则引起强烈的振动、噪声、导 致磨损乃至机器的失效。因此，高速凸轮机构的设计首先面临的问题即需对动态条件 下工作的机构作更精确的定性分析与定量计算。自三十年代以来，人们就在不断地研 究它，并且研究工作随着新技术、新方法的产生和应用在不断深化。特别是五十年代 以来，由于计算机技术和各种数值计算方法的发展，使得很多方面的研究得以深入， 弹性凸轮机构动力学便是其中一个重要的分支。 1 2 弹性凸轮机构动力学研究概况 国内外很多学者为凸轮机构的研究作出了贡献i 引。早在三十年代，f d f u r m a n 就 写了一本系统介绍凸轮设计的著作，当时的研究工作主要集中在低速凸轮机构，而且 主要分析的是运动规律。到了四十年代，人们开始对配气凸轮机构的振动进行深入研 究，并从经验设计过渡到有理论根据的运动学和动力学分析。四十年代末，人们已经 注意到从动件的刚度对凸轮机构动力学响应有明显的影响。五十年代初，d b m i t c h e l l 最先对凸轮机构进行实验研究。后来不少学者采用多种仪器对高速凸轮的动力学响应 进行测量，并获得了许多重要成果。随着计算机的发展，凸轮机构的c a d c a m 获 第一章绪论 弹性凸轮系统的动态响应与分析 得巨大成功，凸轮机构的研究经历了从经验设计到优化设计，从单纯的运动分析到动 力学研究，从手工加工到c a m 等发展阶段。七十年代，k o s t e r 4 j 首次对弹性凸轮机 构振动问题进行了归纳与总结。限于当时的理论水平，其理论基础带有一定的局限性， 但其中的一些动力学模型却被众多学者广泛采用。八十年代，c h e n l 5 】对弹性凸轮机构 的动力学及其设计从理论上作了更系统化的归纳和总结。随后的研究虽然取得了许多 的进展，但与弹性连杆机构动力学研究的进展相比却要逊色些。 近期对弹性凸轮机构动力学的研究，各国都有很多成果【6 1 。l i u 等【7 8 】针对一凸轮 驱动的曲柄滑块机构，在考虑连杆弯曲情况下用有限元法对系统的弹性变形进行了分 析，考虑了机构本身诸多因素后导出运动的线性微分方程，继而反推设计出凸轮的廓 线，并在此基础上考虑当输入端直流电机的速度存在波动时，求得凸轮廓线。y i l m a z 等【9 】将一直动从动件平面凸轮机构的从动件作为连续体对待，并将黏性阻尼考虑在 内，利用边界条件，得出凸轮系统的固有频率。d r e s n e 、b a r k a n m 】j 辱重点放在单输入 或多输入凸轮机构上，将其看作线性时不变系统，对判断从动件是否与凸轮脱离等工 程上所关心的问题进行了研究。b a g c i 、k u m o o l 1 对线性时不变弹性凸轮系统采用截 断的f o u r i e r 级数与l a p l a c e 变换相结合的方法，以获得系统的时域响应。y u 、l e e 1 2 】 在考虑加速度、速度等运动约束及边界条件限制情况下，对滚子直动从动件凸轮系统 的凸轮基本尺寸进行了优化。c h e w 、c h u a n 9 1 1 3 】采用广义l a g r a n g e 乘子法，对一单自 由度线性时不变凸轮系统残余振动的最小化问题进行了研究。我国在凸轮机构的设计 方法和动力学的研究方面成果累累。对于凸轮机构c a d c a m 的研究比较广泛 1 4 】。 曹巨江，赵韩，沈世德等 1 5 1 7 】提出了各类凸轮机构通用的解析公式。郭为忠，邹慧 君、何有钧掣1 8 2 3 】提出了对凸轮廓面采用共轭曲面自适应方法进行分析和综合的解 析原理，为凸轮机构的c a d c a m 提供了理论基础。为了解决精确加工空间曲面提 出了采用等距曲面的双包络加工原理，并在实际加工中加以应用。为了适应高速分度 凸轮机构设计与制造的需要，还开展了圆柱分度凸轮机构等的动力学理论和实验研究 2 4 - 2 7 1 ，建立了动力学模型，进行了动力特性分析，这些研究有利于提高凸轮机构的 运行速度和改善凸轮机构的动态性能。彭国勋，肖正扬等1 3 】全面阐述凸轮机构的新理 论与新方法以及有关材料、制造技术问题。从满足实际需要还附有一些实用的图、表 和设计实例。赵韩，丁爵曾，梁锦华【2 8 l 在建立较为通用的解析公式和应用各种计算机 辅助设计系统均有一定的新意。石永刚、徐振华等【2 9 】提出了高速凸轮机构动态响应的 2 弹性凸轮系统的动态响应与分析第一荦绪论 区段谐波分析法，得到更为准确的结果，并介绍了凸轮机构的检测和反求。孔午光【3 0 】 较为简明地介绍了高速凸轮机构的基本概念和设计方法。此外，为进行凸轮廓线设计， 不少论文用复数矢量法导出几种常用平面凸轮机构的轮廓参数计算式。用平面曲线啮 合原理导出了适用于各类平面凸轮机构的凸轮轮廓参数通用计算公式。冯志华与胡海 岩【3 1 】对动力约束与几何约束联合作用下机构的凸轮基本尺寸优化问题进行了研究，得 出了低、中、高速下优化的准则，并且迸一步提出了系统响应与构件强度共同约束下 弹性凸轮系统动态设计的实现方法与具体步骤。邹慧君、郭为忠【3 2 】则将目光瞄向了凸 轮的间隙问题，将油膜看成是存在于凸轮与从动件间的一个质量一弹簧一阻尼系统， 建立了动力学模型和运动微分方程，分析并计算了油膜厚度、等效刚度等影响下的平 底从动件凸轮机构的动力响应问题，并在凸轮磨损方面作了很多研究。 1 3 本课题研究的内容 ( 1 ) 对一实体弹性凸轮机构，分析该机构的运动状态，用系统的自由度、等效质 量及等效弹簧刚度等有关参数表示系统的动力特性，确立动力模型。将特性参数通过 消去模型中的传动比，转化到系统的输出端数值，成为简化的多自由度系统。在不影 响原机构动力特性条件下，再进一步简化成单自由度系统。 ( 2 ) 根据凸轮系统的几何约束确定从动件运动规律、基圆半径、曲率半径等几何 参数，分析在不同运动规律下，压力角、曲率半径、最大法向力等变化特点。 ( 3 ) 采用h e r t z 接触应力计算模型，分析在不同运动规律、不同基圆半径、不同 转速等情况下，最大接触应力变化特点。通过比较，找出影响最大接触应力变化的主 要因素，改善最大接触应力。 ( 4 ) 最后对凸轮的磨损机理作了简单的陈述，在作了一些假设的情况下，用磨损 计算公式简单说明磨损量的计算。 ( 5 ) 本文最后就研究中存在的不足和后续的相关研究进行了简要的总结。 第二章弹性凸轮机构的几何模型及了e 参数化设计弹性凸轮系统的动态响应与分析 第二章弹。性凸轮机构的几何模型及其参数化设计 在进行凸轮机构分析与设计时，通常都是把构件看成刚体，不考虑有关构件的弹 性变形对系统运动的影响，把从动件系统工作端的运动规律看成仅仅取决于凸轮廓线 及传递构件尺寸等几何因素。这种处理方法，对一般刚度较大的中速或低速凸轮机构 是完全可行的。随着生产技术的发展，机器速度逐渐提高，对于某些凸轮机构，由于 速度高，加速度大，为了减少动力载荷，通常将构件设计得比较轻薄，因而机构刚度 被降低【2 】。在纺织机械中，例如有梭织机中的投梭棒；剑杆引纬机构中的投剑板；经 编机成圈机构中的一些构件等，其刚性都较小，有些还是采用非金属材料制造的。由 分析和实测的结果可以证明，这类机构在运转过程中，从动件工作端的名义位移( 即 按刚性系统分析得到的位移) 与实际位移( 即按弹性系统分析或实测得到的位移) 之 间存在着明显的差异，严重时会使工作端不能完成预期的工艺作用。上述现象说明， 在高速情况下应该将整个机构看成弹性系统来分析。 2 1 弹性凸轮机构模型的确定 研究凸轮机构动力学，通常是先导出凸轮系统的动力学模型，用来描述该系统的 动力特性。一般都是根据机构的运动特点，首先将其简化成与实际情况极为接近的多 自由度系统，为使分析问题方便起见，可以再将多自由度系统简化成单自由度系统， 作为研究动力响应的基础。 导出系统的动力模型时，必须分析机构的运动状态，从而确定系统的自由度、等 效质量及等效弹簧刚度等有关参数。下述为研究动力模型的拟制方法，为了便于研究， 现作以下假设： ( 1 ) 假设凸轮、机架为刚体，不考虑其弹性变形。 ( 2 ) 忽略一些影响因素，如凸轮轴的速度波动、凸轮廓线的加工误差以及润滑 条件等。 ( 3 ) 若传递运动的构件在一个很小的角度范围内摆动【甜，如图2 1 ，与对应端构 弹性凸轮系统的动态响应与分析 第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计 图2 1构件传动比 件的长度比较，输入与输出端的动程h i 与h 。很小，则可将该构件的传动比f 写成 6 曩。 1 = 一= = 。 口 红 ( 2 - 1 ) ( 4 ) 若连杆( 图2 2 中的杆2 ) 在与其铰接杆件垂直的位置附近运动，其横向运 图2 - 2连杆机构传动比 动很小，可略去不计，则可将彳点运动看成与b 点运动相同。同时，输入杆1 与输 出杆3 间的传动比f 可写成： f ：盟：旦 皑 6 ( 2 - 2 ) 式中，绒及q 分别为输出及输入件的角速度，可将看成常数。 ( 5 ) 有效外载是从动件的工作阻力，是已知的，为简化分析，只分析具有普遍 意义的空载特性。 以上假设是符合一般工程实际情况的，其分析精度也是足够的。 第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计 2 1 1 凸轮机构模型 弹性凸轮系统的动态响应与分析 图2 3 直动一摆动从动件r d r d 共轭凸轮机构 图2 3 为一对心滚子直动一摆动从动件r d r d 共轭凸轮机构【3 3 】。r d r d ( r i s e d w e l l r e t u r n d w e l l ) 即从动件运动过程为升一停一回一停。凸轮通过转子及 构件么d 、a o 、传到从动件m 升一停一回一停期分别为【o l 】、【1 一氕】、 z t - 3 7 t 2 】、 【3 兀2 2 7 r 】，假设由于共轭作用滚子与凸轮始终接触。由于直动件纵向振动的刚度比 摆动件的弯曲刚度要大得多，故近似将其作为刚体对待，此外假设运动过程中摆臂，l 的长度近似不变，则该机构具体结构参数为：e = e l = 局= 2 1x 1 0 n m 2 ，p o = 7 8 0 0 k g n 1 3 ，l = 0 1 5 m ，r t = 0 0 2 m ，r b = o 1 5 m ，m = 1 0 k g ，2 = 0 2 5 m ，t l - 2 = 0 3 ， k oc o = 0 ，m o = 1 5 k g ，h = o 0 6 m ，其中为转子与直动件等效质量，p o 为摆杆密 度，凰为凸轮基圆半径。 现将a o ( ，1 ) 杆和o b ( 如) 杆的质量分别等效到a 点和口点，按转动惯量定理 f 3 4 1 ，得等效质量聊l 和聊2 ： 朋l ：譬风，朋2 ：华岛 ( 2 3 ) 式中：彳l 、彳2 为a o 、o b 杆的横截面面积，1 、2 为a o 、o b 杆的长度，p o 为a o ， o b 杆的密度。 6 弹性凸轮系统的动态响应与分析 第二章弹性凸轮机构的凡何模型及其参数化设计 图2 4 凸轮机构模型 得到凸轮机构模型如图2 - 4 ，其中恕为a d 杆的拉伸刚度，太大可以作刚性杆处 理，k l 为a b 杆( 双臂曲柄) 间的等效弹簧刚度( 以彳点作为输入端) ，具体如下： 墨= 揣 协4 ) 当杆截面为矩形时，= 丝1 2 ，当杆截面为圆日寸，= 普。 上图c l 为双臂曲柄的等效阻尼系数。 2 1 2 凸轮机构模型的简化 对于一个实际的凸轮系统，得到的动力模型往往比较复杂，为分析计算方便起见， 可以将模型进行简化【l 2 3 5 - - 3 7 】。 l 、特性参数的转化 在动力模型中，采用等效质量、等效弹簧刚度等参数表示系统的动力特性。为了 比较同类参数的性能，可以将有关特性参数进行转化。转化的方法是消去模型中的传 动比，将各动力参数转化为机构某特殊点的数值。由于通常所关心的是系统输出端的 运动情况，故一般将全部质量转化到系统的输出端。包括： ( 1 ) 线性尺寸转化 ( 2 ) 质量转化 ( 3 ) 刚度转化 通过线性尺寸转化将y l7 等效转化到输入端彳点： 第二章弹性凸轮机构的凡何模型及其参数化设计弹性凸轮系统的动态响应与分析 得：m = 阜。 z 通过质量转化将m 、聊2 等效转化到输入端彳 点， 得：m = m 2 ； 耐= ( 其中江 ，为凸轮对转子的作用力 2 、多自由度系统的简化 通过上述简化过程，一般可以将机构的动力模 肘+ 脚2 f 斟扣 l 挑 f 露：叁 l lf 型简化成多自由度系统如图2 5a 在实际应用中，在 图2 - 5 简化后的凸轮机构模型 不影响原机构动力特性条件下，还可以进一步简化，甚至可达成单自由度系统。当 足：墨辱很大，可作刚性杆处理，则款。则将多自由度系统转化为单自由度系统。 0 3 、力尸的确定 ( 1 ) 从动杆弹性力只= 毛( m - y o ) ，式中毛为a b 杆( 双臂曲柄) 间的等效弹簧 刚度，y o 为从动件理论位移，即由凸轮廓线所产生的刚性位移，它是凸轮转角的函 数；m 为从动件实际位移，即考虑系统弹性后的位移，它也是凸轮转角的函数。 ( 2 ) 运动阻尼力疋= c ，( 或一呶) ，式中c l 为a b 杆( 双臂曲柄) 间的等效阻尼。 ( 3 ) 有效外载为空载，如：每鱼很大，可作刚性杆处理， y o 奶。 o 凸轮系统动力学方程为 ( m + 垅2 7 ) 甄= c 1 ( 丸一多1 ) + 墨( 一y 1 ) ( 2 - 5 ) 设 m + 鸭= ，纷，y = 咒一 ( 2 6 ) 有 挣步+ q 夕+ 岛j ，= 一聍狨 ( 2 7 ) 凸轮与转子间的作用力，为 f = ( m o + m 1 ) y o + ，怫 = ( m o + 肌1 ) j j 0 一c l 多一向y ( 2 8 ) 弹性凸轮系统的动态响应与分析 第二章弹性凸轮机构的凡何模型及参数化设计 2 2 从动件运动规律的确定 凸轮机构作为传动机构或控制机构，最重要的特性是它的传递函数，假如所有构 件都具有理想的刚性，而且全部运动副都无间隙，则从动件的输出位移与凸轮轮廓曲 线具有相同的运动规律【j 】。在凸轮机构中，都可以归结为三种基本运动规律：双停留 d - r d ( d w e l l r e t u r n - d w e l l ) ，单停留d r r ( d w e l l r e t u r n r i s e ) ，和无停留r r r ( r i s e - r e t u r n r e t u r n ) 运动规律。双停留运动规律是凸轮机构最常用的运动规律。 j ；i 一 瞬rij ” 歹。 rpr t 图2 - 6 运动规律的类型。a ) 双停留；b ) 单停留；c ) 无停留 2 2 1 从动件基本运动规律【2 9 】 i 、多项式类型运动规律 从动件位移方程的通式为 y ( 妒) = c o + q 伊+ c 2 ( a 2 + + c 9 4 ( 2 9 ) 等速运动、等加速等减速运动、等跃动度运动、5 次项运动和7 次项运动等运动 规律均属于此种类型。这种运动规律通用性最强，可以按照任给的若干运动特性要求 来设计运动规律。运动特性的约束条件越多，多项式的项数或幂次数就越高。只要幂 次数取得足够高，对应的高介导数总是光滑的和端点连续的，因此，在高速机构中应 用广泛。 2 、三角函数类型运动规律 三角函数类型运动规律主要有简谐运动、双谐运动和摆线运动。 简谐运动规律的特点是它的加速度与位移成正比而反向，速度曲线是光滑的，但 起止点不连续，因而跃度在端点趋于无穷大。所以这种曲线不能用于要求单、双停留 的场合，多用于无停留场合。 双谐运动规律在推程起止位置无类加速度突变，且类跃动度为零，故启动平稳。 第二章弹性凸轮帆构的几何模型及e 参数化设计 弹性凸轮系统的动态响应与分析 在推程终止位置类加速度幅度最大，用于“停一升一停 类型运动时发生柔性冲击， 两用于“停一升一回”类型时可减小甚至消除柔性冲击。适用于高速工况下运转的凸 轮机构。 摆线运动规律又称正弦加速度运动规律，运动曲线是由一个小圆沿纵轴滚动时， 圆上一点的轨迹摆线向垂直轴投影而构成的。它的加速度曲线是光滑的，在端点 连续而无冲击，早期广泛用于中速凸轮机构，但是最大加速度较大，端点的跃动度又 不连续，即端点跳度将趋于无穷大，所以不适于高速场合。 3 、典型组合运动规律 上述各种多项式运动规律和三角函数类型运动规律是凸轮机构的从动件运动规 律基本形式，它们各有其优点和缺点。为了扬长避短，可将数种基本的运动规律拼接 起来，构成组合型运动规律。拼接的原则是在各段基本运动规律衔接点上的运动参数 、 保持连续。在运动的起始点和终止点上，运动参数满足边界条件。构造组合型运动规 律时，可根据凸轮机构的工作性能指标，选择一种基本运动规律为主体，再用其它类 型的基本运动规律与之组合，从而避免在运动的始末位置发生刚性冲击或柔性冲击， 降低动力参数的幅值等。因此，组合型运动规律又称为修正正性运动规律。有修正型 等速运动规律、修正型等加速等减速运动规律、组合摆线运动规律。 修正型等速运动规律是为了消除单纯的等速运动规律所导致的刚性冲击，在运动 的起始区段和终止区段上划分出一部分凸轮转角范围改用其它类型的运动规律，即构 成修正型等速运动规律。可以用2 次项、5 次项、简谐运动等来修正。 修正型等加速等减速运动规律是为了消除等加速等减速运动的始、末两个位置的 加速段与减速段衔接点处的柔性冲击。用3 次项运动规律修正等加速等减速运动规律 时，其类加速度线图呈梯形状，故称为梯形加速度运动规律。用摆线运动规律替代3 次项运动规律修正等加速等减速运动，类加速度线图呈变形梯形状，故称为修正梯形 加速度运动规律。 为了适应特殊的工作要求，或为了进一步改善凸轮机构的运动和动力特性，可应 用近年发展的七段拼接式组合运动规律，它是构成组合运动规律的通用程式。前面所 介绍的多种基本运动规律和典型的组合运动规律，也是七段拼接式组合运动规律的特 例。七段拼接式组合运动规律不再详细介绍。 1 0 弹性凸轮系统的动态响应与分析第二章弹性凸轮机构的几何模型及参数化设计 2 2 2 本机构从动件运动规律 综上所述，梯形运动规律、圆弧、摆线运动等，这些运动规律会使加速度过大或 不连续或跃度过大，造成运动不平稳。修正后的运动规律如简谐梯形组合曲线虽然可 以组合出一系列性能优良的运动规律，但一般只用在中速凸轮机构上。因为这种运动 规律的跃度在端点常常不连续，即跳度可能趋于无穷大，因而不适合于高速凸轮机构。 多项式运动规律在高速凸轮设计中已被应用。因为在这种规律中，通过改变方程式的 阶数与各项的系数，可以获得三阶、四阶、甚至更高阶导数都连续的运动规律。例如， 对于停一升一停运动规律，若采用3 4 5 次多项式，动程的起始与终止位置可以满足 n - 阶倒数连续的条件。若要满足三阶倒数连续，可以采用4 5 6 7 次多项式。当多 项式的次数与项数越高时，设计计算越繁琐，对加工误差的反应就越敏感，因此对加 工精度的要求也越高。所以，当选择运动规律时，不可过分强调一个方面。对于一般 只要求从动件在升、降过程中运动平稳，而对于行程两端位置精度要求不太高的凸轮 机构，可以采用5 次项( 也称3 4 5 次多项式) 运动规律。所以我们取5 次项运动规 律作为从动件运动规律。5 次项运动规律位移方程的通式为 式为 y = c o + c l 妒+ c 2 矽2 + 巳妒3 + + 巳妒” ( 2 - 1 0 ) 令式中高于5 次项的常数均为零，可按推程期的边界条件求得推程期的运动方程 ) ，o = = ， ，。 虽 3 ，5 虽 4 - 6 虽 5 c ：- ， 式( 2 1 1 ) 称为5 次项函数，图2 7 给出运动规律线图，5 次项运动规律有着良好的 运动特性，类加速度曲线无突变现象，且其幅值较小。因此该类运动规律适用于高速 凸轮机构。 第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计弹性凸轮系统的动态响应与分析 s 叶， 西 出 - d o 驴 d 2 s d 够2 、 卫2 1 l 砬 ， d3 s 缈 d 口3 伊 图2 75 次项运动规律线图( 推程) 从动件在一个周期( o 一2 兀) 内的运动方程式如下 y o ( 妒) = ( 缈) = i1 0 ( 詈) 3 一1 5 ( 等) 4 + 6 ( 早) 5f g333 小c 罕卜，5 c 罕n6 c 莩，sf lj互互 0 3 。c 孚，2 6 。c 早，3 + 3 。c 詈，4 0 厂 333 | 3 0 ( 竿) 2 c 一扣c 莩) 3 ( 一扣c 罕九一争 l 222 1 2 ( 2 1 2 ) 妒【o ，1 】 妒【1 ，7 【】 ( 2 1 3 ) r3 胙【- 兀三丌j 妒融刁 j 1叫 兀 勿 q 叫 3 2 仉 幻 3 2 9 舻 9 够 弹性凸轮系统的动态响应与分析第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计 。( 缈) = h o 6 0 ( 早) 一l8 0 ( 早) 2 + 1 2 0 ( 早) 3i 伊【o ，1 】 0 缈【l ，7 【】 | 6 0 ( 孚m 8 。c 孚只2 。c 孚戌引斗纠 l2 22 j o 缈j 导兀，2 7 【j 2 3 凸轮基圆半径风的确定 在从动件运动规律确定之后，凸轮基圆大小决定凸轮与从动件间压力角，压力角 是反映凸轮与从动件之间速度与力传递关系的重要参数。压力角的大小是衡量凸轮机 构工作性能优劣的重要参数之一。压力角过大会导致自锁而使凸轮机构无法运转。因 此，在初步确定凸轮的几何尺寸时，就要根据最大允许压力角估算凸轮基圆半径等基 本参数。在计算出凸轮轮廓矢量函数之后，还要计算出每点的压力角进行校核。若超 过允许值，须对一些几何参数进行调整，直止满足要求为止。 在进行回转凸轮的初步设计时，要确定凸轮的最小外径基圆半径i l 】。为了节 省材料，在保证凸轮轴的尺寸的前提下，应使基圆半径尽可能小一点。但在完成同样 的从动件行程的条件下，基圆半径越小，轮廓曲线就越陡，即压力角就越大。因此， 在初步设计中都根据最大允许压力角估算凸轮的基圆半径。 t a n 口：b o y 气。瓯 ( 2 1 5 ) 式中：1 , o 是一个升程或回程的总位移；风是完成一个升程或回程，凸轮所转过的角 度；v 是从动件运动的无因次速度，由选定的运动规律确定；r c o 为凸轮的向径。 假设最大压力角戤= 2 0 。，可以近似地令速度最大处压力角为最大，即矿= 时，口= 戤，对于对称的5 次项运动规律，当从动件完成行程的一半时，速度达到 最大值，这时 。：r b + h o 。 二 1 3 ( 2 1 6 ) 第二牵弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计弹性凸轮系统的动态响应与分析 因此 即 t a n 一瓦b o 甄y ( 风+ ) 瓯 耻盘一i h o ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 其中：h o = o 0 6 m ；v o = 1 8 7 5 1 1 ；8 h = l i n d ；a m 戤= 2 0 。通过计算得：r = 0 2 8 m 。 2 4 凸轮轮廓各点处的压力角 压力角是反映凸轮与从动件之间速度与力传递关系的重要参数，压力角的大小是 衡量凸轮机构工作性能优劣的重要参数之_ t 2 9 j 。压力角过大会导致自锁而使凸轮机构 无法运转。所以要计算凸轮轮廓各点处的压力角，通过调整某些参数来控制最大压力 角值。在不考虑摩擦力时，凸轮机构压力角是指高副接触点的正压力方向与从动件上 力作用点的线速度方向所央的锐角，一般记为口。 图2 - 8 滚子直动从动件平面凸轮机构压力角计算 图2 8 给出滚子直动从动件平面凸轮机构简图。图中尸点是凸轮与从动件的速度 瞬心，则有 1 4 弹性凸轮系统的动态响应与分析 第二章弹性凸轮规 句的几何模型及其参数化设汁 d s d 妒， 百2 百 因此 k = 粤 ( 2 1 9 ) 式中叫d 妒为从动件类速度，由运动规律方程式( 2 1 3 ) 计算确定。由图可得凸轮机 构压力角通用计算公式为 口= t a n i ( 下害窖型二) ( 2 2 0 ) 觅2 一e 2 + 甄( 伊) 式中：y o ( c p ) 为从动件运动规律方程，e 为从动件相对于凸轮转轴的偏心距，r 。为凸 轮基圆半径。当凸轮上从动件导路与偏距圆的切点速度方向与从动件推程速度方向相 同时，r - - 1 ；相反时，r = 一1 。 对于滚子直动从动件而言，偏心距e = 0 。所以压力角计算公式修正为： 一 蒜 ，) 求得的压力角值有正负符号，必须保留。其含义由图2 - 8 说明，从压力线( 即法 线) 方向至从动件速度方向线度量锐角时，逆时针者为正值，顺时针者为负值。 图2 - 9 5 次项运动规律下的压力角。a ) r - - 0 ，2 8 m ；b ) 凡= o 4 0 m 从图2 - 9 中可见，压力角随着基圆半径的变化而变化，随基圆半径增大而减小。 所以设计凸轮机构要根据压力角的许可值来确定基圆半径。 2 5 凸轮轮廓各点的曲率半径 凸轮轮廓是由从动件运动规律和基圆半径决定的，轮廓各点处的弯曲程度不同， 第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计弹性凸轮系统的动态响应与分析 兰瑟 协2 2 ， = ( r + s ) p 坤 砌卜渤= 协剐 1 a ) 5 次项运动凸轮轮廓( r b = 0 2 8 m ) 1 2 1 1 c ) 梯形运动凸轮轮廓( r b - - 0 2 8 r n ) 1 6 凸轮转角( 度) b ) 5 次项运动凸轮轮廓曲率半径 凸轮转角( 度) d ) 梯形运动凸轮轮廓曲率半径 弹性凸轮系统的动态响应与分析 第二章弹性凸轮机构黔几何模型及其参数化设计 e ) 修正梯形运动凸轮轮廓( r = o 2 8 m ) d 修正梯形运动凸轮轮廓曲率半径图 图2 1 0 不同运动规律下凸轮轮廓曲率半径 从图2 1 0 中可以看出：基圆半径相同，运动规律不同，则曲率半径不同。 a ) 5 次项运动凸轮轮廓( 民= o 2 8 m ) b ) 5 次项运动凸轮轮廓曲率半径图 1 田0 5 c ) 5 次项运动凸轮轮廓( r b = o 4 0 m ) d ) 5 次项运动凸轮轮廓曲率半径图 1 7 第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计弹性凸轮系统的动态响应与分析 加 凸轮转角( 度) e ) 5 次项运动凸轮轮廓( 尺b = 0 6 0 m ) 05 次项运动凸轮轮廓曲率半径图 图2 1 1不同基圆半径下凸轮轮廓曲率半径 从图2 1 1 可以看出：在运动规律相同的情况下，基圆增大，凸轮局部由凹变凸， 曲率半径由副变正。基圆越大，最大曲率半径越小。 2 5 2 凸轮实际曲率半径 根据从动件运动规律设计出的凸轮轮廓曲线是凸轮的理论轮廓曲线，对于滚子直 动从动件平面凸轮实际轮廓的画法，还要考虑滚子的大小。以理论轮廓上的点为圆心， 作一系列滚子圆( 半径为群) ，滚子圆的包络线即为凸轮的轮廓曲线称为凸轮 的实际轮廓曲线。滚子圆的内包络线是外凸轮的轮廓，外包络线是内凸轮的轮廓。 对于同一理论轮廓曲线，采用不同的滚子尺寸时会得到不同的实际轮廓曲线【2 9 】。 由于凸轮的理论轮廓曲线与实际轮廓曲线是互为等距曲线( 距离为滚子半径珥) ， 因此若求得理论轮廓上某一点的曲率半径为p ( 矽) 时，则在实际轮廓上对应点的曲率 半径为 成( 缈) = 夕( 伊) 一m ( 2 - 2 4 ) 式中九为凸轮轮廓类型符号系数，外凸轮时九= 1 ，内凸轮时九= 1 。 轮廓曲线的凹凸方向可由曲率半径p ( 伊) 的正负符号来区分，曲率中心与凸轮回 转中心位于理论轮廓曲线段的同- n 时，p ( 矽) 为正值，曲线段外凸；位于异侧时， p ( 妒) 为负值，曲线段内凹。上面公式对于外凸和内凹曲线都同样适用。 2 6 凸轮轮廓各点处法向力 我们根据凸轮机构的工作载荷、运动惯性、阻尼、弹性系数的等分析可知从动件 弹性凸轮系统的动态响应与分析第二章弹性凸轮机构的几何模型及其参数化设计 上所受的垂直总载荷尸，当忽略凸轮与滚子接触点的摩擦力时，凸轮对从动件的接触 反力目作用在凸轮轮廓法线上，目称为法向力，其大小与压力角口有关。根据图 2 1 2 ，有 瓦：上 ( 2 2 5 ) c o s 口 图2 1 2 对心直动平面凸轮机构法向力 2 7 凸轮副材料 凸轮副是高副，由于接触面小，应力大。凸轮机构运转时，这种应力是交变应力， 使凸轮轮廓和从动件的工作表面磨损，导致失效。 选用凸轮副材料的基本原则【2 9 】： ( 1 ) 按凸轮副最大接触应力选用合适材料。 ( 2 ) 降低粘着磨损的损坏程度。 ( 3 ) 材料的合理配对使用 试验证明，相同的金属材料比异种金属的粘着倾向大，单相金属比多相金属的粘 着倾向大，塑性材料比脆性材料的粘着倾向大。 ( 4 ) 具有适当的硬度差 控制材料的硬度差，可使其中较软的零件先期失效，通常是将制造简便的从动件 滚子或平底镶块作为易损件定期更换，因此可以取较低的硬度。 根据以上原则，参照设