（理论物理专业论文）量子光学中与经典fresnel变换对应的若干新幺正算符.pdf

摘要 摘要 经典光学( f o u r i e r 光学) 的一个重要组成部分是f r e s n e l 衍射( f r e s n e l 变换) 及关于衍射的c o l l i n s 公式。我国学者范洪义等人首先用相干态表象研究 了f r e s n e l 衍射的量子对应，利用有序算符内的积分( i w o p ) 技术他们建立了一 个量子力学f r e s n e l 算符，以实现量子光学中的f r e s n e l 变换，它与经典c o l l i n s 公 式相对应。自量子的f r e s n e l 变换提出以来，它被广泛的应用于讨论经典光学 与量子光学理论之间的关系，及与其他光学变换的关系。本文用量子光学的 观点重新审视若干经典光学变换，采用的是压缩相干态表象和相干纠缠态表 象，提出与经典f r e s n e l 变换对应的新的量子光学中的若干幺正算符，如单模 和双模广义f r e s n e l 算符，f r e s n e l h a d a m a r d 互补算符，并给出其物理意义。这些 新幺正算符的经典对应给经典光学提供了新变换的可能性。这篇论文研究的 出发点是基于如下的考虑：范洪义等人给出的f r e s n e l 算符是通过相干态在相 空间的一个代表点z = x + 厉i p - 一i 云动到另一点s z 一7 z + 而导出的，这里s s + 一r r + = 1 根据相空间的直观分析，一个相干态对应于图形上面积为危2 的小圆。量 子f r e s n e l 变换表明相空间的一个小圆移动到另一个小圆。s s + 一r r + = 1 保证了 该变换是辛变换，同时也保证了刘维定理( 相体积不变) 的满足。考虑到相 干态是压缩相干态中的一个特殊态矢，以及压缩相干态在量子光学和量子信 息等领域的广泛应用，我们从压缩相干态在相空间的代表点( 一个椭圆) 的 运动及用i w o p 技术提出了广义f r e s n e l 算符。鉴于量子纠缠的理论也渗透到量 子光学中，我们又基于相干纠缠态表象，提出了一个f r e s n e l h a d a m a r d 互补算 符，它对一个光分束器的两个输出光场亚净和址茅分别起到了h a d a m a r d 变换 和f r e s n e l 变换的作用( 该光分束器的两个输入光场光场分别为口1 与0 2 ) 。 论文具体安排如下： 第一章，首先介绍本文工作的研究背景，然后介绍经典f o u r i e r 光学中 的f r e s n e l 衍射公式，以及在经典框架内介绍了衍射的c o l l i n s 公式的推导过程。 第二章，为了建立起从经典到量子之间的”桥梁”，我们介绍了一些背景知 识。首先介绍二些常见表象如坐标、动量、粒子数、及相干态等表象。然后介 绍真正起到上述”桥梁”作用的有序算符内的积分( i w o p ) 技术的提出背景和 i 摘要 内涵。 第三章，我们介绍了范等人从量子光学的相干态表象及用i w o p 技术提 出的与f r e s n e l 变换对应的量子算符，称之为f r e s n e l 算符。从相空间的直观分 析，f r e s n e l 算符对应于相干态在相空间的代表点( 一个为面积h 2 酐j 网) 的运 动变换。我们还简单介绍范等人从量子光学的双模相干态表象及用i w o p 技术 提出的与f r e s n e l 变换对应的量子算符，称之为双模f r e s n e l 算符。 第四章，我们从量子光学的相干压缩态表象及用i w o p 技术提出了 与f r e s n e l 变换对应的量子算符，称之为广义f r e s n e l 算符。从相空间的直观 分析，广义f r e s n e l 算符对应于压缩相干态在相空间的代表点( 一个椭圆) 的运 动。 第五章，我们基于双模相干压缩态表象介绍了与双模f r e s n e l 算符对应的 双模广义f r e s n e l 算符。 第六章，基于相干纠缠态表象，我们发现了一个f r e s n e l h a d a m a r d 互补算 符，它对双模光场a 。与q 2 经过一个光分束器的输出光场 ：净和丐笋分别起到 了h a d a m a r d 变换和f r e s n e l 变换的作用。以上讨论表明，从量子光学的新表象和 有序算符内的积分( i w o p ) 技术，可以找到新的光学变换。 最后，我们给出一些总结和展望。 关键词i w o p 技术，f r e s n e l 算符，f r e s n e l 变换，广义f r e s n e l 算符，广 义f r e s n e l 变换，c o l l i n s 公式，双模，相干态，相干压缩态，相空间，运动，相干 纠缠态，h a d a m a r d ，光分束器 a bs t r a c t a b s t r a c t o n eo ft h ei m p o r t a n t p a r t si nc l a s s i c a lo p t i c s ( f o u r i e ro p t i c s ) i st h ef r e s n e ld i f f r a c - t i o na n di t sc o l l i n sf o r m u l a s c h o l a r so fc h i n af a nh o n g y ie t a l f i r s t l ys t u d i e dt h e q u a n t u mc o r r e s p o n d e n c eo ff r e s n e ld i f f r a c t i o nb yu s i n gt h ec o h e r e n ts t a t e b yu s i n g t h ei n t e g r a lt e c h n i q u ew i t h i no r d e r e dp r o d u c t ( 1 w o p ) o fo p e r a t o r st h e yc o n s t r u c t e da q u a n t u mf r e s n e lo p e r a t o rt or e a l i z et h ef r e s n e lt r a n s f o r m a t i o ni nq u a n t u mo p t i c sa n d i tc o r r e s p o n d st ot h ec l a s s i c a lc o l l i n sf o r m u l a s i n c et h ei n t r o d u c t i o no ft h eq u a n t u m f r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n ，i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt ot h e d i s c u s s i o no ft h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec l a s s i c a lo p t i c sa n dt h eq u a n t u m o p t i c sa n d t h er e l a t i o n sw i t ho t h e ro p t i c a l t r a n s f o r m a t i o n s i nt h i sp a p e rw i l lu s et h ev i e wo fq u a n t u mo p t i c st or e s u r v e ys o m e c l a s s i c a lo p t i c a lt r a n s f o r m a t i o nb yu s i n gt h es q u e e z e dc o h e r e n ts t a t ea n dc o h e r e n te n - t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o nt op u t f o r w a r ds o m en e wu n i t a r yo p e r a t o r s ( e g t h es i n g l e m o d ea n dt w om o d eg e n e r a l i z e df r e s n e lo p e r a t o r s ，t h ef r e s n e l - h a d a m a r dc o m p l i m e n - t a r yo p e r a t o r ) i nq u a n t u mo p t i c sc o r r e s p o n d i n gt ot h ec l a s s i c a lf r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n a n d g i v et h e i rp h y s i c a lm e a n i n g s t h ec l a s s i c a lc o r r e s p o n d e n c eo ft h e s en e wu n i t a r y o p e r a t o r sm a yp r o v i d ep r o b a b i l i t yf o rs o m en e wt r a n s f o r m a t i o n si nc l a s s i c a lo p t i c s t h es t a r t i n gp o i n to fo u rw o r ki sb a s e do nt h eb e l o wc o n s i d e r i n g ：t h ef r e s n e lo p e r a t o r g i v e nb yf a nh o n g y ie t a li sd e r i v e df r o mac o h e r e n t sm o m e n ti np h a s es p a c ef r o m p o i n tz = 警t op o i n ts z 一，w h e r e 一矿= 1 a c c o r d i n gt ot h ei n t u i t i o n a l a n a l y s i s ，ac o h e r e n ts t a t ei sg r a p h i c a l l yc o r r e s p o n d i n g t oas m a l lr o u n d t h eq u a n t u m f r e s n e lt r a n s f o r m a t i o ni n d i c a t e sas m a l lr o u n dm o v i n gt oa n o t h e rs m a l lr o u n d t h e c o n d i t i o ns s + 一7 7 = 1g u a r a n t e e st h et r a n s f o r m a t i o ni ss y m p l e c t i ca n da l s og u a r a n t e e ss a t i s f y i n gt h el i o u v i lt h e o r e m ( t h ei n v a r i a b i l i t yo fp h a s ev o l u m e ) a c c o r d i n g t ot h a tt h ec o h e r e n ts t a t ei sas p e c i a lc a s eo fs q u e e z e dc o h e r e n ts t a t ea n dt h i n k i n gt h a t t h es q u e e z e dc o h e r e n ts t a t eh a sb e e ng o tw i d e l yu s e di nq u a n t u mo p t i c sa n dq u a n t u m i n f o r m a t i o n ，t h eg e n e r a l i z e df r e s n e lo p e r a t o rw ei n t r o d u c ei nt h i sp a p e ri sj u s tb a s e d o nt h em o m e n to fs q u e e z e dc o h e r e n ts t a t e ( g r a p h i c a l l yc o r r e s p o n d i n gt oae l l i p s ei n p h a s es p a c e ) a n db yu s i n gt h e1 w o pt e c h n i q u e w h e r e a st h ef i l t e r i n go f t h et h e o r yo f n t 一星! ! 墨垒兰! q u a n t u me n c a n g l e m e n tt oq u a n t u m o p t i c s ，b a s e do nt h ec o h e r e n te n t a n g l e ds t a t e w e i n t o d u c eaf r e s n e l - h a d a m a r dc o m p l e m e n t a r yo p e r a t o r ，w h i c h c a np l a yt h er o l e so f h a d a m a r dt r a n s f o r m a t i o na n df r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n r e s p e c t i v e l yf o rt h et w oo u t d u t f i e l d so f 弩a n d 訾o f ab e a m s p l i t t e r ( t h et w oi n p u tf i e l d so ft h eb e a m s p i i t t e ri s a la n da ，) m yp h dd i s s e r t a t i o ni sa r r a n g e da sf o l i o w i n 2 ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es o m e b a c k g r o u n dk n o w l e d g eo fo u rw o r k ，t h ef r e s n e ld i f f r a c t i o nf o r m u l ai nc l a s s i c a lf o u r i e r o p t i c sa n dt h ed e r i v i n gp r o c e s st oo b t a i nt h e c o l l i n sf o r m u l ai nc l a s s i c a lf r a m e i nc h a p t e rt w o ，i no r d e rt o b r i d g et h ec l a s s i c st oq u a n t u m ，w ei n t r o d u c es o m e b a c k g r o u n dk n o w l e d g e f i r s t l y , w ei n t r o d u c es o m eb a s i cr e p r e s e n t a t i o nl i k et h ec o o r d l 眦t e ，m o m e n t u m ，p a r t i c l en u m b e ra n dt h ec o h e r e n ts t a t er e p r e s e n t a t i o n s t h e nw e i n t r o d u c et h e b a c k g r o u n da n dm e a n i n go ft h ei n t e g r a lt e c h n i q u ew i t h i no r d e r e d p r o d u c t ( 研o p ) o fo p e r a t o r sw h i c hr e a l l yh a st h ea b o v e b r i d g ef u n c t i o n i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n t r o d u c et h eq u a n t u mo p e r a t o rc o r r e s p o n d i n gt ot h e c l a s s i c a f r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n ，i e t h ef r e s n e lo p e r a t o rc o n s t r u c t e d b yf a ne t a l ，w h i c hi s b a s e do nt h ec o h e r e n ts t a t er e p r e s e n t a t i o ni nq u a n t u m o p t i c sa n dt h ei w o pt e c h n i q u e a c c o r d i n gt ot h ei n t u i t i o n a la n a l y s i si np h a s es p a c e ，t h ef r e s n e lo p e r a t o rc o r r e s p o n d s t ot h em o v i n gt r a n s f o r m a t i o no ft h e r e p r e s e n t i n gp o i n t ( ar o u n dw i t hh 2a r e a ) o fc o h e r e n ts t a t ei np h a s es p a c e w ea l s oi n t r o d u c et h e q u a n t u mo p e r a t o rc o r r e s p o n d i n gt o t h ec l a s s i c a lf r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n ，i e t h et w o m o d e f r e s n e lo p e r a t o rc o n s t r u c t e db v f a ne t - a l ，w h i c hi sb a s e do nt h et w o m o d ec o h e r e n ts t a t e r e p r e s e n t a t i o ni nq u a n c u m o p t i c sa n dt h ei w o p t e c h n i q u e i nc h a p t e rf o u r , b a s e do nt h es q u e e z e dc o h e r e n ts t a t er e p r e s e n t a t i o ni nq u a n t u m o p t i c sa n dt h ei w o pt e c h n i q u e ，t h eq u a n t u mo p e r a t o rc o r r e s p o n d i n gt ot h ec l a s s i c a l f r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n ，i et h eg e n e r a l i z e df r e s n e lo p e r a t o ri si n t r o d u c e d a c c o r d i n g t ot h ei n t u i t i o n a la n a l y s i si np h a s e s p a c e ，t h eg e n e r a l i z e df r e s n e lo p e r a t o rc o r r e s p o n d s t ot h em o v i n gt r a n s f o r m a t i o no ft h er e p r e s e n t i n gp o i n t ( a ne l l i p s ew i t hh 2a r e a ) o f s q u e e z e dc o h e r e n ts t a t ei np h a s es p a c e i n c h a p t e rf i v e ，b a s e do nt h et w o m o d es q u e e z e dc o h e r e n ts t a t er e p r e s e n t a t i o nw e i n t r o d u c e dt h et w o m o d eg e n e r a l i z e df r e s n e lo p e r a t o rc o r r e s p o n d i n g t ot h et w o m o d e r v a b s t r a c t f r e s n e lo p e r a t o r i nc h a p t e rs i x ，b a s e do i lt h ec o h e r e n te n t a n g l e ds t a t e ，w ef i n daf r e s n e l h a d a m a r d c o m p l e m e n t a r yo p e r a t o r f o rt h eo p t i c a lf i e l d s 弩a n d 学c o n s i d e r e da st w oo u t - p u tf i e l d sa f t e rt h et w om o d eo p t i c a lf i e l d s6 1 , 1 a n da 2 p a s s i n gt h r ou g hab e a m s p l i t t e r , t h ef r e s n e l - - h a d a m a r dc o m p l e m e n t a r yo p e r a t o rc a np l a yt h er o l e so fh a d a m a r dt r a n s - f o r m a t i o na n df r e s n e lt r a n s f o r m a t i o nr e s p e c t i v e l y a b o v ed i s c u s s i o ni n d i c a t e st h a t f r o mt h en e wr e p r e s e n t a t i o ni nq u a n t u mo p t i c sa n du s i n gt h ei n t e g r a lt e c h n i q u ew i t h i n o r d e r e dp r o d u c t ( i w o p ) o fo p e r a t o r sw ec a nf i n dn e wo p t i c a lt r a n s f o r m a t i o n s f i n a l l y , w eg i v es o m ec o n c l u s i o n sa n de x p e c t a t i o n s k e y w o r d s i w o pt e c h n i q u e ，f r e s n e lo p e r a t o r , f r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n ，g e n e r a l i z e df r e s n e lo p e r a t o r , g e n e r a l i z e df r e s n e lt r a n s f o r m a t i o n ，c o l l i n sf o r m u l a ，t w o m o d e ，c o h e r e n ts t a t e ，c o h e r e n ts q u e e z e ds t a t e ，p h a s es p a c e ，m o m e n t ，t h ec o h e r e n te n t a n g l e ds t a t e ，h a d a m a r d ，b e a m s p l i t t e r v 插图 插图 1 1 菲涅尔一基尔霍夫衍射积分示意图 4 1 2 空间近轴光线的传输。 5 1 3 复杂光学系统的程函 7 3 1 相干态在相空间中的运动示意图， 2 7 4 1压缩相干态在相空间中的运动示意图3 6 6 1 光分束器示意图 5 6 i x 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 dh 占 作者签名：雄刍查氇 力1 6 年6 月1 日 第1 奄绪论 1 1 引言 第1 章绪论 量子力学的历史记录了从量子力学建立的一开始创建者就认识到在经 典光学和量子力学之间可能存在一些联系。例如，s c h r 6 d i n g e r 认为点粒子的 经典动力学应该是线性波动方程的“几何光学近似，而射线光学可认为是 波动光学的极限近似。s c h r s d i n g e r 也发现了一些量子力学态行为上类似于经 典“粒子 ，这些态后来被确认为相干态 1 3 】，它在量子光学理论和激光物理 中起到重要的作用。如d i r a c 在他著名的量子力学著作量子力学基本原理 中写到 4 】：“对于一个具有经典类比的量子动力学系统，量子理论中的幺 正变换是经典理论中相联系的变换的类比”。根据d i r a c 的观点，在量子光学 幺正变换算符和经典变换之间存在着一种形式上的联系。事实上，在上个世 纪人们已经发现了一些存在于经典光学和量子力学之间的严格的数学类比， 比如说在光学h e l m h o l t z 方程和不含时s c h r 6 d i n g e r 方程之间的相似性。自从上 世纪六十年代以来，激光的诞生以及辐射场 1 ，2 ，5 相干态理论的出现，使 量子光学经历了快速发展时期，在揭示和解释光场特性以及光子在不同的 光原子相互作用中【6 】表现的非经典行为等方面( 例如，h a n b u r y b r o w n t w i s s 效 应，光子反弹，压缩，s u b p o i s s o n i a n 光子统计) 获得了巨大成功。m a n d e la n dw o l f 【6 】一书讨论了经典和量子相干的关系。n i e n h u i s 和a l l e n 【7 】分析了一激光束 的b e a m h e r m i t e g a u s s 或l a g u e r r e g a u s s 模可以用玻色算符几何描述。另外，根 据几何光学定律，被棱镜折射平移的近轴光束可以和相干态相类比。还有，经 典光学和量子力学之间的相空间对应，例如文献 8 】中的w i g n e r 函数理论。 另一方面，基于m a x w e l l 方程的经典光学处理了大量的物理光学实验问 题，而它本身的发展却从来没有停止过脚步，物理学家们还在不停的努力着对 光经过棱镜系统和不同的连续媒介传播现象提出不同的光学变换。量子光学 和经典光学这两个不同的研究领域分别有它们各自的物理研究对象和概念。 从数学的角度，经典光学是在群变换的框架内的，而且它们是和适当的函数空 间表象相联系。而量子光学是处理算符和态矢量的。咋一看，它们之间存在很 少的共同语言，如果我们要进一步的把它们联系在一起，就需要一些新的理 i 第l 章绪论 论方法去为它们搭建一座“桥梁”。例如，对应于f o u r i e r 光学f r e s n e l 变换的量 子力学幺正算符是什么? 是不是有作为经典f r e s n e l 变换映像的所谓的f r e s n e l 算 符? 因为f r e s n e l 变换在光学器件设计和光通过棱镜和不同媒介传播过程【9 7 一1 5 】等方面有广泛的用处，所以在量子光学的层面上研究这些变换是很有意 义的。特别的，可基于相干态，压缩态 1 6 。1 7 和一些新发现的纠缠态 1 8 2 1 1 理 论来研究。 幸运的是，最近发展起来的有序算符内的积分( r w o p ) 技术 2 1 2 5 大大的 帮助了对经典变换的量子力学对应的研究【2 6 3 3 】，反之亦然。文献【3 4 中范 等人建立了一个量子力学f r e s n e l 算符，以实现量子光学中的f r e s n e l 变换，它与 经典c o l l i n s 公式相对应。有趣的是f r e s n e l 算符是通过相干态在相空间的一个代 表点z = 业话劫到另一点 一r z + 而导出的，这里s s 一7 r + = 1 。根据相空 6 = z - - y , s 8 2 ： 间的直观分析，一个相干态对应于图形上面积为h 2 的小圆。量子f r e s n e l 变换 表明相空间的一个小圆移动到另一个小圆。条件s s + 一r r = 1 保证了该变换 是辛变换，同时满足刘维定理( 相体积不变) 。自量子的f r e s n e l 变换提出以来， 它被广泛的应用于讨论经典光学与量子光学之间的关系，及与其他光学变换 的关系。考虑到压缩相干态和相干纠缠态等表象在量子光学和量子信息等领 域中的广泛应用，本论文分别基于压缩相干态和相干纠缠态来重新审视与经 典f r e s n e l 变换相联系的量子力学对应，并讨论其物理意义。 1 2 经典f r e s n e l 变换 为了更好的理解f r e s n e l 变换的量子对应形式，这一节我们简单的介绍一 些关于经典f r e s n e l 变换【3 5 _ 4 6 】的背景知识。 1 2 1经典光学的惠更斯一菲涅尔原理 一切波在传播过程中遇到障碍物时，都会发生偏离直线传播的现象，即衍 射现象，光波也不例外。因此，衍射是波的一种共性，是普遍存在的。认为光 是直线传播的看法严格来说是一种近似，是有条件的，即在传播过程中没有 障碍物，或障碍物的边缘影响小得可以忽略。反之，当光在小孔、狭缝等障碍 物的边缘附近通过时，则直线传播的规律就不再成立，光的衍射现象就会十 分清楚地显示出来。 2 笫1 章绪论 在历史上，光的波动说正是在衍射问题上真正战胜了微粒说的。当时年 仅3 0 岁的科学家菲涅耳圆满地解释了圆孔、直边、狭缝等物体边缘的衍射现 象，从而赢得了法国科学院有奖征答辩论的胜利。现在就来看看非涅耳是怎么 解释的。早在1 7 世纪后期，荷兰科学家惠更斯就提出了光是+ 种波动的假设， 并阐述了关于波面如何传播的一种理论，即惠更斯原理。该原理认为，传播中 的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由这些次波源发出的次波 是球面波，这些次波的公共包络面就是卜 一时刻的波面。根据这一原理，解释 了光的反射定律和折射定律，并给出了折射率的意义：光在两介质中的速度 比。菲涅耳根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化了，他假设，各次波虽是 球面波，但这些球面只是等相面而不是等幅面，球面上各点的振幅与传播方 向有关，这就避免了次波的后向传播；同时，他认为，下一时刻空间任一点的 振动由各次波到达该点的振动叠加决定。被如此具体化了的惠更斯原理，后 人称之为惠更斯一菲涅耳原理。当然，可以看出这不仅是“具体化”的问题，菲 涅耳的思想比惠更斯有了很大的进步，他着眼的是下一时刻空间各点的振动 情况而惠更斯只着眼于下一时刻波面的形状与位置，因此惠更斯只能定性地 描述光的传播方向，而菲涅耳却能定量地描述衍射后的光强分_ 布。众所周知， 这是研究光衍射现象的理论基础。并且可以按照这一原理用作图法在一些简 单情况下求出新的波前来。但是，对于大量光衍射现象的处理，需要比较精确 的数学表述，这就是菲涅尔一基尔霍夫衍射积分方程。如图( 1 1 ) 所示：设已 知空间某一曲面s l 上的光波场为5 l ( 。l ，y a ) 可按下式求出所考查点p ( 2 ，y 2 ) 的 场2 ( 口2 ：p 2 ) irrp i k p ( 1 + c o s 2 ( z 2 ，耽) = 一六卜l ( x l ，y 1 ) 二 - 一d s l ， ( 1 1 ) ( 1 1 ) 式就是菲涅尔一基尔霍夫方程衍射积分方程。式中入为光波波长，p 为源 点0 ( z l ，y 1 ) 与场为p ( z 2 ，可2 ) 问的距离，6 为s 1 面上点0 ( 3 ；1 ，秒1 ) 处的法线与p 的交 角，d s l 为s 1 面上0 ( 1 ，y 1 ) 点处的面积元。积分沿曲面s 1 进行，( 1 + c o s o ) 称为 倾斜因子。由( 1 1 ) 式可知，如果已经知道了光标量场在空间任一曲面上的场 振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其它任意点处的场振幅和相位 分布。当曲面s 1 与考查点p ( ? 2 ，耽) 间的距离远大于衍射孔径和观察区的线度时 型l c o s0 型1 ( 1 2 ) 3 第1 章绪论 图1 1 ：菲涅尔一基尔霍夫衍射积分示意图 由( 1 1 ) 式得到菲涅尔( 文献中亦称惠更斯菲涅尔) 衍射积分 。( 可z ) = 一去扩l j s - ( 钆可- ) e 跏嘲m 2 咄) 2 k ( 1 3 ) ( 1 1 ) 和( 1 3 ) 都是描述光频电磁场的基本方程。 1 2 2 空间近轴光线传播的a b c d 定律 ( 至 = ( 萎；三薹萎! 篆) ( 兰) ， c - 4 ， 第l 章绪论 图i 2 ：空间近轴光线的传输 ( 1 4 ) 式为用几何光学方法研究空间近轴光线变换的基本方程。变换矩阵一般 为4 4 的，但对于轴对称光学系统，( z ，伊) 和( y ，妒) 经历的变化相同，只需用一 个2 x 2 矩阵( 称为轴对称光学系统的变换矩阵或a b c d 矩阵) 肚d ) 5 ， 来描述这一变换 即 可以简写为 式中 ( 孑) = ( 三三) ( z 0 ) ， ( 1 6 ) z 7 = a x + b o ，0 7 = c z + d o ，( 1 7 ) x | = mx 肚( 2 7 t ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 5 第1 章 绪论 式( 1 4 ) ，( 1 6 ) 和( 1 8 ) 都是近轴光线a b c d 定律的数字表不式。对于近轴球回 波，曲率半径r 等于 冗= 号， ( 1 1 0 ) r 7 = 丽a r + b ，( 1 1 1 ) 去= 糍a 嘲 一= = 1 lj 尼 + 鲁 、 式( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 都称为球面波的a b c d 定律。若光线顺次通过矩阵表示为 尬= a 1b 1 ) , m 2 = a 2 。b 2 ：) ， - 3 ， 的光学系统，利用矩阵乘法规则得到 ( 三：) = a ，三) ( ：) ， c 4 ， ( c ad b ) = a 2d 专2 2 ) ( a c 。1d b l l ) ， c l - 5 ， 简写为 m ：m ， ( 1 1 6 ) 式( 1 1 4 ) 又可写为 a b c d 矩阵一个重要性质是它的行列式之值仅由入射光线和出射光线所 在空间折射率叩l 和叩2 决定，即 d e tm ：a d ，b c ：坐 ( 1 1 8 ) j i l 2 当入射光线和出射光线位于折射率相同空间时 d e tm = a d b c = 1 ( 1 1 9 ) 6 第1 章绪论 1 2 3 复杂光学系统的程函公式 复杂光学系统中光学传输的程函公式是研究复杂光学系统的一个重要公 式。本节介绍用变换矩阵元表示的程i 蚕 4 0 - - 4 2 。 图1 3 ：复杂光学系统的程函 如图1 3 所示，以光轴z 上p 1 点为球心发出的球面波，经变换矩阵 ( 由兄p 1 _ 兄p 2 ) 的光学系统变换 球面波，相应的光线矢量变为( ； 球心在z 轴 ( 茇) = a ，三) ( ：) ， c t 2 。， 设l ( 了z 2 ) 表示r 只、兄b 上离z 轴分别为z l 、z 2 的两点间的光程( 即程函) ， 且r r 、r 岛外为叩= 1 的空气，由几何关系有 0 1 p 1 p 2 0 2 = r i + l ( z 1 ，辱2 j 一疡= 万2 ；1 + l ( x l , x 2 ) 一万x 2 ， 肭 a c 魄 上 d 7 2l ，l 第1 章绪论 则 0 1 q a q 2 0 2 = 0 1 q 1 + l + q 2 ( ) 2 ， ( 1 2 2 ) 式中l 为沿轴上的光程。由等光程定理知 0 l rp 2 0 2 = o l q l q 2 0 2 ，( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) r 2 + q 2 ( ) 2 _ 鑫， ( 1 2 6 ) 将( 1 2 0 ) 、( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 、( 1 2 5 ) 、( 1 2 6 ) 代入( 1 2 4 ) 式得 l ( x l , x 2 ) = l + 豆1 。( a z ；+ d z ；一2 2 1 2 2 ) ( 1 2 7 ) 这即用变换矩阵元表示的复杂光学系统的程函公式。( 1 2 7 ) 式对b = o 不 成立，这时利用( 1 2 0 ) 式得 l ( z 1 ，6 1 ) = l + 寺( a c x ；+ 2 b c x l o i + b d 甘；) ， ( 1 2 8 ) 当b = o 时( 1 2 8 ) 成为 l ( z 1 ，0 1 ) = l + 去a c i t ；， ( 1 - 2 9 ) 对于衍射空间中包含有多个折射率突变介面的复杂光学系统，设该系统的变 换矩阵为( 由r p lr p 2 ) ，类似的推导求得程函公式为 l ( 钆z 2 ) = l + 去( a 们；+ d r l 2 z ；一2 r h x l x g ) ， ( 1 3 0 ) 式中l 为沿z 轴上的光程，即和啦分别为入射和出射光线矢量( 茇) 和( 茇) 所在空间的折射率。 力 d q +r ( + ：一h 、j a 一 靖面 q = k = 0 h 叫 恕 1 r v 髓 0 一 一 h 卜 q = i | 现 扛 知 l 系关何几由又 第1 章绪论 1 2 4c o l l i n s 公式 用a b c d 矩阵元表示的复杂光学系统的衍射积分且p c o l l i n s 公式是激光 光学中一个十分重要的公式，本节简单的介绍一下c o l l i n s 公式【4 3 4 6 】当 点所在曲面s 1 与所考查点尸( z ，秒) 间不是自由空间而是用变换矩 表示的复杂光学系统时，菲涅尔衍射积分公式( 1 3 ) 不能直接应 按c o l l i n s 的方法将衍射积分指数函数上的光程用( 1 2 7 ) 代替( 为清楚起见， 设7 l = 啦= 1 ，对7 7 1 啦的情况可类推) e z ( z 2 , u 2 ) ：= w e ( z - ，) e i k l ( z 1 掣l 七2 y 2 ) d s ， ( 1 3 1 ) 对二维情况，有 l ( z 1 ，舭2 ，矽2 ) = l + 历1 a ( z ；懈) + d ( z ；+ 可；) 一2 ( z l z 2 + 蚴) 】，( 1 - 3 2 ) w 为待审常数可由能量守恒定律 ife 2 ( z 2 ，抛) e ；( z 2 ，耽) d s 2 = f e ( z ，掣t ) e ；( z ，可t ) d 5 ， ( 1 3 3 ) 7 f 1 1 ( 1 3 1 ) 、( 1 3 2 ) 式推得 于是( 1 3 1 ) 式可写为 或写成 彤一嘉 ( 1 3 4 ) e 2 ( 阮耽) = 一矗i e 1 ( m 川2 肋) d s l ( 1 3 5 ) e 2 c z