（概率论与数理统计专业论文）可数泊松点过程的随机积分以及它的应用.pdf

o ns t o c h a s t i ci n t e g r a l sw i t hr e s p e c tt oc o u n t a b l e p o i s s o np o i n tp r o c e s sa n di t sa p p l i c a t i o n s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：y o us h e n g s u p e r v i s o r ：p r o f r a n gg u a n g l i n h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：；苏矸 签名日期2 。f p 年4 月7 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：；芴甘日期：立。fp 。占夕 指剥雠：施勉稚嗍加 中文摘要 摘要 随机微分方程与倒向随机微分方程在经济中有着重要的应用，我们可以方 便地利用倒向微分方程的理论和计算方法来为投资者进行投资目标设计与管理 尽管有越来越多的此类文章在讨论他们，但是大多局限于b r o w n 远动或加上单 个p o s s i o n 点过程驱动的前提下进行讨论本文，第一章到第四章介绍了泊松点 过程的相关知识和概念；第五章我们讨论了关于可数泊松点过程的随机积分及性 质：第六章我们研究了相应的鞅表示定理；第七章讨论了由可数泊松点过程驱动的 非马尔可夫随机微分方程，讨论了此类方程的解的存在与唯一性，即在非马 尔可夫、非李普希兹系数的条件下讨论泊松点过程序列驱动的随机微分方程 的解的存在与唯一性，这个结论是对线性连续情况的推广 关键词：随机积分；鞅表示定理；非马尔可夫系数；积分不等式 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s d e s ) a n db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ( b s d e s ) h a v eai m p o r t a n c er o l ei nf i n a n c i a l w ec a nm a k eu s eo ft h et h e o r yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n ds t o c h a s t i cc a l c u l u sd e s i g na n dm a n a g e m e n tt h eo b j e c t i v e so f i n v e s tf o ri n v e s t o r s a l t h o u g ht h e r ee x i s t sag r o w i n gn u m b e ro fp a p e r sc o n s i d e r i n g g e n e r a lf i n a n c i a lm a r k e t s ，t h et h e o r yo ft h a th a sb e e nd e v e l o p e dj u s ti nt h eb r o w n i a n s e t t i n g i nt h i sp a p e r , b a s e do np r o p e r t i e so fa ni n f i n i t en u m b e ro fp o i s s o np o i n tp r o c e s s ，i nc h a p t e r1 - 4 ，w ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s s e ds t o c h a s t i ci n t e g r a l sw i t h r e s p e c tt oa l li n f i n i t en u m b e ro fp o i s s o np o i n tp r o c e s sa n d i t sp r o p e r t i e s i nc h a p t e r6 ， w ed i s c u s s e dt h em a r t i n g a l er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ，a tt h es a m et i m e ，s o m ep r o p e r - t i e so ft h em a r t i n g a l er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e ma r e # v e n i nc h a p t e r7 ，w ed i s c u s s e d n o n - m a r k o v i a ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd r i v e nb ya ni n f i n i t en u m b e ro fp o i s s o n p o i n tp r o c e s s ，a tt h es a m et i m e ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s u c he q u a t i o n si sd i s c u s s e d a l s os t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd r i v e nb yt h es e q u e n c eo fp o i s s o np o i n t p r o c e s s e si sd i s c u s s e du n d e rn o n m a r k o v i a na n dn o n l i p s c h i t zc o e f f c i e n t s ，w ep r o v e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o n w h i c ho ft h er e s u l t sa r ea ne x t e n s i o no f l i n e a rc o n t i n u o u sc a s e s k e yw o r d s ： s t o c h a s t i ci n t e g r a l ；m a r t i n g a l er e p r e r e n t a t i o nt h e o r e m ；n o n - m a r k o v i a n c o e f f i c i e n t s ；i n t e g r a li n e q u a l i t i e s 一 目录 目录 摘要 i a b s t 黜虻t ( 英文摘要) i i 1 引言1 1 1 背景介绍1 2 预备知识3 2 1 随机点过程3 2 1 1 随机点过程的历史发展和现状概述 3 2 1 2 随机点过程的概念3 2 1 3 随机点过程的应用5 2 2 泊松过程5 2 2 1 泊松过程的概念5 2 2 2 泊松过程的特征7 2 2 3 泊松过程的推广7 2 3 倒向随机微分方程的研究背景8 2 3 1 倒向随机微分方程的历史发展和现状概述 8 2 3 2 倒向随机微分方程的应用9 3 可数泊松点过程的随机积分1 1 4 鞅表示定理1 5 5 由可数泊松点过程驱动的非一马尔可夫随机微分方程2 0 6 结果与展望2 5 参考文献2 6 致谢2 7 一m 1 1 背景介绍 1引言 由于金融市场包含无限个资产，每个资产价格由一个奇特的随机源以及 系统噪音所驱动，但是它不足以描述由可数个随机过程产生的市场因此，就 必须构造关于随机过程序列的随机计算，显然，半鞅，或有稍微的限制的独立增 量过程这样的计算，事实上，是柱形随机计算理论的特殊情况，是由h i t s u d am & w a t a n a b eh 在【l l 】首先写到的，随机积分，伊藤公式和关于可数个的布朗运动的 变换c a o 和h e 在【2 】2 中获得这类随机微分方程( s d e 的简称) 解的存在与唯一 性，他们是由逐次逼近获得在的非李普希兹条件下的布朗远动序列驱动的( 参见 【1 2 】) 使用类似的方法，在一般的框架下，即由柱形布朗运动和泊松点过程所驱 动，他们也得到h 值随机微分方程和倒向随机微分方程的相同结论 上述所有因素都是基于单个泊松过程，而泊松过程作为不确定源是一种模拟 稀有和随机发生事件标准工具我们可以在其他诸如产品质量的成长阶梯模型，在 内源性波动和不稳定的模型，在货币经济学中发现这些过程( 见【1 3 】以及其中 参考文献) 因此，有关带跳的随机微积分可能不适合在经济模型中使用在这篇 论文中，我们的目的是系统地建立关于泊松过程序列的随机计算理论( 为简单起 见，我们排除由布朗运动驱动的这一术语) 在大多数情况下，泊松过程通过随 机微分方程影响有关变量，我们将探讨在非马尔可夫系数条件下由可数泊松点 过程驱动的随机微分方程的解的存在与唯一性，即系数满足可积非李普希兹条 件结果是由广义b i h a r y i 型不等式获得，据我们所知，这是还没有讨论 在这篇论文中我们给出了关于无限可数的泊松点过程的随机积分和相应的 鞅表示定理，同时我们在非马尔可夫、非李普希兹系数的条件下讨论由泊松 点过程序列驱动的随机微分方程论文结构如下： 第一章是绪论 第二章介绍了有关随机点过程的历史发展和现状概述，以及随机点过程的定 义。简要介绍了随机点过程的应用 第三章介绍了齐次泊松过程以及非齐次泊松过程的概念，并且论述了泊松过 程的特征及推广 第四章介绍了倒向随机微分方程的研究背景近几年倒向随机微分方程在经 济上发挥着越来越重要的作用，我们可以方便地利用倒向微分方程的理论和计算 方法来为投资者进行投资目标设计与管理 第五章讨论了关于可数泊松点过程的随机积分及其性质 第六章讨论了鞅表示定理，同时给出了鞅表示定理的一些性质 湖北大学硕士学位论文 第七章讨论了由可数泊松点过程驱动的非马尔可夫随机微分方程，讨论了 此类方程的解的存在与唯一性 第八章是对本文工作的总结与展望 2 2预备知识 2 1 随机点过程 2预备知识 2 1 1 随机点过程的历史发展和现状概述 随机点过程实质上是一大类特殊的随机过程，在某些文献中也称为随机事件 流、随机事件序列或随机计数过程( 复合的点过程也称脉冲过程或跳跃过程) 它早期的研究差不多集中于泊松过程一一类简单而又重要的点过程，随后，对另 一类重要的点过程一更新过程的研究以及它在工程技术( 特别是在可靠性问 题) 中的应用开拓了从间距性质出发研究点过程的方向此外，在生物学，天文学 等领域中还要研究群体过程由于应用和理论上的需要，人们把这些具体过程 的各种物理背景综合抽象为一个统一的数学模型来加以研究和处理，于是，在近 几十年间随机点过程就逐渐形成随机过程的一个统一而独立的分支，目前，它的 应用已日益广泛地渗透到许多领域，但是，它的基本理论还未完全成熟，尚有待进 一步完善现代随机点过程理论的来源是多方面的，其中历史最长的是与更新理 论有关的问题我们知道，机器或设备中的零件在使用过程中会损坏如果在损坏 发生时马上用同样的零件替换，并把损坏发生的时刻看作是一个点，于是，更新理 论本质上就是对以相邻两个这样的点为端点的一系列区间的概率特性( 如分布 特征，极限形态等) 进行研究的一门理论，可以这样说，更新理论是在上世纪3 0 年代形成并发展起来的到5 0 年代它已趋成熟然而，这一理论的起源应该追溯 到更早时期有关人口统计、寿命表和保险理论的研究，其中又以寿命表和点过程 的关系最为密切现代点过程理论使用的一些术语和研究的问题( 如存活函数、 临危函数) 就是直接来自寿命表理论寿命表实质上是许多独立点过程的迭置， 其中每一点过程只包含一个对应于个体死亡时刻的点进入2 0 世纪以后，至少有 三个应用领域与点过程理论密切关系它们是：( 1 ) 排队论，特别是电话交换台理 论( 2 ) 群体增长理论这一理论最低限度可以作为古典寿命表理论和现代更新理 论之间的桥梁( 3 ) 可靠性理论第二次世界大战以后，电子工业以及与之有关的 精密仪器和制造工业的迅速发展是可靠性理论系统发展的源泉和动力这理论的 一个典型问题是串联和并联系统的寿命分布的计算，寿命表理论所用的概念和术 语在其中仍起着重要的作用上述三个领域是紧密相连的，它们是构成点过程理论 和应用的重要组成部分 2 1 2 随机点过程的概念 在客观世界中，存在着大量的随机现象，其中我们所关心的随机事件具有高度 3 湖北大学硕士学位论文 局部化的特点，亦即事件的发生可以认为是只限于在时间或空间( 记之为x ) 中的一个很小的范围，因此在数学上可以用个理想的点来表示。于是可以粗 略地说，一个按一定的统计规律在空间中随机地分布的点集就形成一随机点过 程在最简单的情形中x 通常是一维的，人们往往就把x 取为事件轴或它的一个 区间( 或子集) 于是，概括的说，一个按一定的统计规律在某空间x 中随机地分 布的点集就形成一个随机点过程( 简称点过程) 随机点过程实质上是一类特殊 的随机过程 最简单的点过程是泊松点过程，我们已经知道泊松过程是一个马氏过程但是 我们可以从另一个角度来认识它，并加以推广，得到另一类常见的随机过程一点过 程 设= 邑，t o ) 是一个泊松过程令t o ( w ) = 0 ，t n ( w ) 是的第佗次跳跃时 刻于是 k p ) ；礼= 0 ，l ) 是- - n 停时，而且 已( u ) = n ( 当如( u ) t 0 ，a ) ( 2 - 3 ) 称7 r 为一个点过程，如果对任意a ， u ( t ，a ) ；t o ) 对夕可测特别地，当 4 2 预备知识 u ( t ，) 是盯一有限测度，则也称为盯有限点过程 在很宽的条件下，存在随机测度7 r ( ，a ) ，使( v ( t ，a ) ) 2 7 r ( t ，a ) 为鞅，7 r ( 亡，a ) 成为点过程的补偿测度。 2 1 3 随机点过程的应用 对于点过程的应用，以下二定理，可以使我们对研究点过程的意义有一点概 念 定理3 1 取值于d ( 【o ，+ 。) _ 剧) 的适应过程的不连续点及在相应点的 跃度是一个点过程 定理3 2 以d ( 【o ，+ ) _ ) 为轨道空间的随机连续独立增量过程( 称 为列维过程) 的不连续点及在相应点的跃度是一个泊松点过程 由以上二定理可见，点过程对于简单过程表示具有跳跃的过程( 例如积分) 具有重要意义 此外，点过程在描述b m d ，扩散过程等从一点出发的游弋( e x c u r s i o n ) 及其 与原过程的关系等问题也是很有用的工具 点过程的另一类重要应用是在生存分析、可靠性理论与排队论中点过程能 很好地描述电话呼唤流、服务需求流、服务完成流、事故发生流等这些应用 问题中最常见的随机过程 2 2 泊松过程 2 2 1 泊松过程的概念 泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程，泊松过程在物理 学，地质学，生物学，医学等等都有广泛的应用泊松过程一种累计随机事件发生 次数的最基本的独立增量过程例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤 次数，就构成一个泊松过程在引入泊松过程概念前，我们先介绍一个重要的定义 一计数过程 定义2 2 ：称随机过程 ( 亡) ，t o ) 为计数过程，若n ( t ) 表示到时刻t 为止已发 生的事件“事件a ”的总数，且n ( t ) 满足下列条件： ( 1 ) n ( t ) o ； ( 2 ) n ( t ) 取非负正整数； ( 3 ) 若8 t ，则y ( s ) ( ) ； 5 湖北大学硕士学位论文 ( 4 ) 若8 t ，n ( t ) 一n ( s ) 等于区间( s ，t 】中“事件a ”发生的次数 若t l t 2 t 3 o ) ，事件a 发生的次数n ( t + 8 ) 一n ( t ) 仅与时间差8 有关，而与t 无关，则计数过程n ( t ) 是平稳独立增量过程 下面就引入齐次泊松过程的概念： 定义2 3 ：如果取非负整数值的计数过程【( ) ，t o ) 满足： ( 1 ) n ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) 具有独立增量； ( 3 ) 对任意0 8 t ，n ( t ) 一n ( 8 ) 服从参数为a 一8 ) 的泊松分布， p ( 亡) 一( s ) = 七) = 坠堡看皇上，尼= o ，1 ，2 ( 2 4 ) 则称 ( 亡) ，t o ) 为参数( 或平均率、强度) 为a 的( 齐次) 泊松过程 评注2 - 4 ：由条件( 3 ) 知道，泊松过程是平稳增量过程且e ( t ) 】= a t 由于 入= 型掣表示单位时间内事件a 发生的平均个数，故称a 为此过程的速率或强 度 定义2 5 ：如果计数过程 ( 亡) ，t o ) 满足下列条件： ( 1 ) n ( 0 ) = o ； ( 2 ) ( 亡) ，t20 ) 是独立增量过程； ( 3 ) p ( 亡+ at ) 一n ( t ) = 1 ) = a ( t ) at + d ( t ) ； ( 4 ) p + at ) 一n ( t ) 2 = o ( at ) ； 则称 ( t ) ，t o ) 为参数( 或平均率、强度) 为a ( t ) 的非齐次泊松过程 特别地，当入( 亡) = 入时，即为齐次泊松过程非齐次泊松过程可通过时间尺度的变 换变为齐次泊松过程对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为l 的 左( 或右) 连续阶梯函数可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立 增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学 模型之一直观上，只要随机事件在不相交时间区问是独立发生的，而且在充分小 6 一 2 预备知识 的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程在应用中很多场合 都近似地满足这些条件例如某系统在时段【0 ，t ) 内产生故障的次数，一真空管在 加热t 秒后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程 2 2 2 泊松过程的特征 描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程( 见点过程) 一个简 单而且局部有限的计数过程x ( t ) ，t o ，往往也可以用它依次发生跳跃( 即发生 随机事件) 的时刻死，n 1 来规定， 即取 t o = 0 ， = i n t ：x ( t ) n ，佗l ， 而当兀 0 的指数分布，且其中入为某一非负常数齐次 泊松过程的另一个特征是：固定t , x ( t ) 是参数为址的泊松分布随机变量，而当 x ( t ) = k 已知的条件下，x 的k 个跳跃时刻与k 个在【0 ，t ) 上均匀分布且相互独 立的随机变量的次序统计量( 见统计量) 有相同的分布泊松过程的这一特征常 作为构造多指标泊松过程的出发点 从马尔可夫过程来看，齐次泊松过程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫 链从鞅来看，齐次泊松过程x 是使 为鞅的跃度为l 的计数过程 2 2 3 泊松过程的推广 x ( t ) 一a t ，t o ) 较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是 相互独立同分布的，但不一定是指数分布这类过程常被用来描写某些设备的 累计故障次数若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称 一维点过程假如某设备在f 0 ，t ) 时段内故障的累计次数n ( t ) 是泊松过程，而每 次故障造成的耗损不尽相同，用随机变量y i 表示第i 次耗损，则在【0 ，t ) 内总的 耗损为：怔u ( 1 i ) i ，当t o 时 ( t ) ，t o ) 为齐次泊松过程， k ，i 1 ) 又是 相互独立同分布且与f ( t ) 独立时，x = x ( t ) ，t 0 ) 称为复合泊松过程由 7 湖北大学硕士学位论文 于 ( t ) ，t o ) 可以用其跳跃时刻 正，i 1 ) 来规定，因而复合泊松过程可用 ( 死k ) ，仡1 来规定，即：若对 ( 霸，碥) ，n 1 ) 的统计特性不作任何假定，这 样规定的x 便是一种般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过 程，也称多变点过程或跳跃过程 泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是众多重要随机过程的 特例独立增量过程的列维一伊藤分解表明，利用它还可构成一般的独立增量过 程，因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机 过程的基石。 2 3 倒向随机微分方程的研究背景 2 3 1 倒向随机微分方程的历史发展和现状概述 为介绍倒向随机微分方程我们需要对照一下经典的( 即正向的) 随机微分 方程正向微分方程的研究已有近半个世纪的历史，取得了辉煌的成果它不仅有 直接的应用背景，并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论 等发生了非常自然的而且常常是意想不到的联系，互相促进，相映生辉许多著名 的数学家都为之吸引，在这一领域作出了杰出的贡献其结果又反过来促进了其 它学科的进展正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程， 而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预 期的目标关于倒向随机微分方程的研究在最近几十年在刚刚开始：线性情况始 于1 9 7 8 年，而非线性情况的基本框架是1 9 9 0 年彭实戈给出并证明其解的存在 唯一性p a r d o u x 和p e n g 首先证明了带李普希兹系数的连续非线性倒向随机微分 方程的适应解的存在性，并随后将结论发展到全局李普希兹条件( 或局部但附加 条件) 下连续倒向随机微分方程的解的存在唯一性m a o 则进一步证明了此类倒 向随机微分方程在某种非李普希兹条件下的解的存在唯一性而t a n g 和l i 讨论 了布朗运动和泊松过程驱动的倒向随机微分方程，证明了方程的解为带有随机跳 跃的不连续的随机过程s i t u 则进一步证明了非李普希兹条件下由布朗运动和泊 松过程驱动的倒向随机微分方程的解的存在唯一性c a o 和h e 讨论了由可数多 个布朗运动驱动的随机微分方程，并且证明了非李普希兹条件下方程的解的存在 唯一性 众所周知，随机微分方程是在常微分方程的基础上增加一个干扰项，既是说 8 2 预备知识 系统受到随机干扰我们看下面的微分方程： 甓= 副啪“引瑚批飞叫， ( 2 ) p 以幻刊 ) ，猁。础彳 ) d 既 os z iy ( d ) = ， 在这里w 是d 一维布朗运动，代表了d 个互相独立的干扰源，是一个给定 的舀可测的随机变量( 关于勿可测可以理解为：它是只到t 时刻才能确定的 量) 方程( i ) 的定解条件是在初始时刻t = 0 给出，我们称之为正向随机微分 方程方程( 2 ) 的定解条件是在终了时刻t = t 给出，我们称它为倒向随机微分 方程在一定的条件( 如李普希兹条件) 下这两个方程都有唯一的解但从应用的 角度来讲，这两个方程已经有了显著的区别事实上( 1 ) 的存在唯一性是说只要知 道了系统的初始状态z o 就可以确定的计算出系统在将来任意一个时刻t 【0 ，卵 的状态我们可以这样来直观的解释( 1 ) 的解x ( t ) ：系统在现在时刻t = 0 从给 定的初始状态z o 出发按照( 1 ) 给出的规律运动它在未来时刻t 的状态x ( t ) 是一个随机变量在现在时刻t = 0 我们是无法确定出x ( t ) 的值的只有当随着 时间的变化t 变为”现在时刻”时我们才能观察到x ( t ) 的精确值( 股票的价格 是一个很好的例子) 与之相对，( 2 ) 的存在唯一则意味着我们能够计算出应该具 备怎样的起点才能使系统达到预定的目标y 意味着我们能够明确地决定现在应 怎样去做以实现一个给定的将来目标。 2 3 2 倒向随机微分方程的应用 倒向随机微分方程的理论研究的历史虽然很短但进展却很迅速，除了因为其 理论本身所具有的有趣的数学性质外，还发现了重要的应用前景：d u f f l e 和e p s t e i n 发现了可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好( 即效用函数理论，这是计 量经济学的基础) ：彭实戈通过倒向随机微分方程获得了非线性f e y n m a n k a c 公 式，从而可以用来处理诸如反应扩散方程和n a v i e r - s t o k e s 方程等众所周知的重 要非线性偏微分方程组：e lk a r o u i 和q u e n e z 发现金融市场的许多重要延生证券 ( 如期权期货等) 的理论价格可以用倒向随机微分方程解出 我们可以方便地利用倒向微分方程的理论和计算方法来为投资者进行投资 目标设计与管理例如若他计划在将来t 时刻使自己的资产达到元，则我们 9 一 湖北大学硕士学位论文 可以满足 和 d 玑= ，( 犰，z t ) d t z t d w ( t ) ，0 t 正 y t = n 的倒向随机微分方程获得唯一解( y t ，旎) 其具体含义是：他若要在t 时刻达到 目标，则必须在o 时刻投入y o 元，并且他在【0 ，t 】的投资策略也随之确定了： 在t 时刻需用z t 来买股票，犰一z t 元来买债券鉴于倒向随机微分方程在金融数 学上如此广泛的应用，本文章主要讨论在非马尔可夫系数条件下由可数泊松 点过程驱动的倒向随机微分方程的解的存在与唯一性，即系数满足可积非李普 希兹条件，以及它们的应用 1 0 3 可数泊松点过程的随机积分 3可数泊松点过程的随机积分 设空间，莎，p ) 上的玩= 玩，t o ) 满足通常条件设( 阢，锄，啦) ，i = 1 ，2 ，是一列伊有限可测空间( 不一定是相同的) 当i n ，q i = ( 吼( t i 甩) ，t ： d i ，k = 1 ，2 ，) 是定义在空间( q ，莎，p ) 上，在区域d i 中取值于阢m ( d t d x ) 是关于鼽的计数测度，即，对于u 阢， m ( m 】，u ) = c ，( 鼽( t ：) ) 。剐 t t e d i 现假设a 是固定的，因此n i ( d t d x ) 是一个补偿子为氏( d t d x ) = d t 啦( 出) ， 的计数测度，并且对于每一个u 阢，满足n ( 职) o o ， 厩( ( o ，亡】，u ) = m ( ( o ，亡】，u ) 一藏( ( o ，t ) ，矿) 是舅均方可积鞅一个实值可料函数 f ( t ，。，枷) ：r + 阢q _ r 是沪 玩可测，其中汐是由所有左连续适应过程生成的盯一代数设 矸= 是可料的并且z z 抓s 训如s 血) o 。) i 砰= 是可料的并且舰九酃舭似蚴 ) 对于f 砑，我们如下定义，关于腿的随机积分 t + f v , f ( s - , z , w ) 丽( d s , d z ) = 。e 。毡；，( 亡：，p ( t ：) ，u ) 一z z ，( s ，z ，u ) d s n t ( d z ) ， 是一个玩一鞅当f 砰时，我们可以找到可料函数序列 厶) c 曰n 砰，满足， z 。厶肛，m 1 2 d s n i ( 蚴刈吣m _ 毗 湖北大学硕士学位论文 我们可以得到关于m ，的随机积分，也可以如下表示 z 。zm 砸( d s 血) = o 。z m 忍删d s d 沪虮池) 】 这是一个玩均方可积鞅 注意到，在这种情况下，由于上边右边每一项可能都是发散的，所以不能将 后+ 丘，( s ，名，w ) 2 v t ( d s ，d 2 ) 看做 z z 帆( d s 心) 和 z 。：二，c s ，彳，u ，d s n ；c d z ， z 。z m 石州眠池) 的差 对于uc 阢，并且m ( u ) 是纯带跳的舅- 适应增过程设【m 】= q m 】t ，亡o ) 是m 的二次变分过程，那 么 【m 】t = ( m ( t ) ) 2 = 批( 亡) 0 8 t 事实上，如果，砰，由尬表示，的随机积分，写做v ( d t ，d s ) 那么 【m t _ ( 尬) 2 = ，2 ( 卵( s ) ，叫) ， o 8 t0 a t 其中可料二次投影 ( 觋= 班九s 一舭础 接下来，我们讨论关于序列q 的随机积分，其中序列q 是独立泊松点过程 【吼) 罄1 设 2 _ y = ( y 2 ，) ：玑( s ，乞，u ) 砰江l ，2 ， 墨。后尼e l 玑( s ，筋，u ) 1 2 d s ( d 筋) o o 对任意的o t t ) 1 2 3可数泊松点过程的随机积分 现在，我们用 y n = ( y l ，y 2 ，0 ，0 ，) 代替 y = ( v l ，y 2 ，) ： 那么，我们可以定义一序列均方可积鞅 ( t , w , y n ) = 喜碰蜘川确s 根据独立假设，对任意的ac 职且n i ( a i ) o o ，i = l ，2 ，n 我们知道 ( 北( ，a ) ，( ，如) ) t = 0 ， 并且 e 呸s u 。p t ，( t ，u ，k ) 一j ( 亡，u ，y m ) 1 2 io t j 4 e i i ( t , w ，y n ) - i ( t , o a ，y m ) 1 2 ；薹。e ，! 了二y i 2 ( s 忍州跳m ， 当m ，佗_ + o 。因此，我们可以很容易看出，( 亡，u ，y n ) 在三2 中关于t 是一致收 敛的，所以，我们可以定义关于泊松点过程 吼) 罂1 的随机积分，记做j ( t ，u ，y ) ， 它是 j ( 亡，y n ) ) 甚1 的极限记 邢m = 喜z 。厶批椭a s a 施) 吲z 显然，= j ( t ，u ，y ) ，t o ) 是一个舅均方可积鞅，其中y 皿；是固定的 定理1设f ( t ，x l ，x 2 ，z n ) 是定义在【0 ，卅舯上的连续函数，使得偏 导数= 筹，e 。= 馨，艺巧= 丽0 2 f 全部都是连续的那么， f ( t ，i ( t , w , y ) ) 一f ( o ，( o ) ) = 警( ，( s , w , y ) d s + 主后+ 差( ，( s 一，可) ) 越( s ) + f ( ，( s ) ) 一f ( i ( s - ) ) 一两o f ( ，( s ) ) 五( s ) ， ，o 。、 0 a t i = 1 。 7 一1 3 一 湖北大学硕士学位论文 其中，五= ，( ，u ，k ) 并且k ；，i = 1 ，2 ，扎，是由方程3 - 1 给出的特别的是， o 。 ，矿 o o 尸 力) = 尸( 0 ) + 善z2 ( ，( 8 - ，w , y ) d 以s ) + 善( 以s ”2 = 1 2 ( o ) 2 s - , w , y 脚) + 妻i z 魄训) d s 咄- - - - 1 。u 。u i 注意到，厩和需的二次变分 藏，面】。d 连续部分是零，当i j ，既是说， 眦，拎= 0 证明：联合半鞅的伊藤公式和在求极限的过程中运用得到上面的结论( 参见 【1 l 】) 1 4 蚪 z ：i + 4 鞅表示定理 4鞅表示定理 由于鞅表示定理在随机分析及其应用中起重要作用，如在倒向随机微分方程 理论中，在这一章中，我们给出鞅表示定理以及性质， 定理4 1 设m = 【舰，t o ) 是一个钟可适应均方可积鞅，其中 砑，t 0 ) 是增的，是由直到时间t 的泊松点过程q = ( q 1 ，q 2 ，) 生成的矿代数族那么 就存在唯一的可料过程序列 y = w ( t ，z ，u ) = ( 可1 ( t ，z 1 ，) ，y 2 ( t ，z 2 ，u ) ，) ，y i 砰，i = 1 ，2 ，) 满足墨。后厶贸( s ，既，w ) d sn i ( d x i ) 。 ，使得 舰= + 材+ 厶k c 8 , z i , w 肌 这个定理的证明采用【7 】中的方法( 也可参见【9 】) ，那里只考虑连续的情况 ( 半鞅的情况参见【11 】) 为此，我们首先需要指数函数的泊松点过程的伊藤公式 设 瓜，已，厶) = e x p - 仇6 ) ，o i , 0 ， m ( t ) = m ( t ，a ) = 批( ( o ，胡a ) ，ac 阢 并目_ n i ( a i ) 0 ，j = 1 ，2 ，i n 设ac 阢，并且吼( a ) 。，那么由伊藤公式4 - 1 我们有 、， 巧易 h 同 一 ，lp 旺 = k zzz ，j = 厶 4 鞅表示定理 + e 丰e = + 删e 防争q ，“r 3 ( d s , a r ( s - ) n j ( d i = 1 s n - 1州 ( ) e i 磁( e 也一1 ) ，) l 一。| | l ， j l 地) e b l m f 巩- 1 ) ( e _ k _ 1 ) 仁1f ( s - ) d 【婀川。l 。” l v4 h oj 如 由假设，上面式子厶是零因此 可缎蜘)8：r(s一)nj(ds矧kj=l 8 n 1 e l 缎( e 也一1 ) 一 ，山) l 玩一l l ， 一 j 静乃一1 ) e z 嚣乳r ( s 一) ( v j ( d s ，a j ) 8 n - - 1圳洲k ( e 一乃一 一 ， + 嘶( 4 ) d s ) i 玩一i i 一1 k ， j 善s k ( e _ 乃1 ) e sr(s一)nj(aj)d8n-1 s k 。j ， ( e 一乃一1 ) e ( s s i 玩。一。i ， i 一1 我们有下面的式子 厶= e b 蕻删姜c e - 0 j - i ) j i - 。耶柏c 训叫 = ( e 一乃一1 ) ( 4 ) e l 缓一。hf i ( q 8 。) r ( s ) 1d s ；一1 ，8 n - 1l i = 1 j ，3 竹 = ( e 也一1 ) n j ( 4 ) t ( s ) d s 彳一1 - ，8 n - 1 因此我们得到下面定积分等式： 礓 ，s n 州2(e也-1)(4)厶一。)ds，3=1 一- 从中我们知道妒三0 最后，拉普拉斯变换的一个熟悉的结论可以得到方程4 _ 3 对所有有界函数厶 都成立这样我们就完成了证明 注：我们可以用这样一个鞅表示定理得到由带跳的可数布朗远动驱动的倒向随 机微分方程是解的存在与唯一性例如【1 2 1 9 “三汹 ll 湖北大学硕士学位论文 5 由可数泊松点过程驱动的非一马尔可夫随机微分方程 这一章中我们将关注由形如下面这种形式的可数泊松点过程驱动的非一马 尔可夫随机微分方程 驴时胁a s + 材厶咖一糊灿嘛 侉- ， 这里，我们只简单考虑在r 1 中的等式，并继续沿用在前面章节出现的符号 我们还是用符号d = 口( 【o ，列) 表示在【0 ，卅上所有右连左极函数所组成的空间， 其范数是r = s u p o t rl x t l ，令2 = 2 ( q ，d ) 表示从q 到d 的均方可积函数 组成的空间，其中范数是i i x i | = ( e i x i 孚) 1 2 当z d ，x 一是z 的左极限过程 现在我们会给出关于系数b 和吼，的假设，i = l ，2 ， ( a 1 ) ： b ( t ，z ) ：【0 ，卅x d 一冗1 和吼( 亡，x ，磊) ：【0 ，t 】d 阢叫r 1 ，i = 1 ，2 ， 是不定性可测函数 ( a 2 ) ：b ( t ，z ) 和吼( 芒，z ，旎) ，i ；l ，2 ，满足可积非李普希兹条件：对任何 z ，y d ，t 0 ，列， b ( t ，z ) 一b ( t ，y ) 1 2 l l l x t 一纨1 2 + l 2f op ( 1 = 。一y , 1 2 ) d a 。，( 5 2 ) 耋丘m t , x - , z d 一盯( t , y - , z i ) 1 2 似l - i 驴妤+ l 2 f o 州一砰) d a “5 - 3 ) 其中a 为【0 ，列上的右连左极增函数，l 1 ，l 2 ：为t 常数，p 是增的凹函数，满足 厶高咖= + o o 并且p ( o ) = 0 由于p 的凹性，可积非李普希兹条件5 2 推出下面的线性增长条件( 也许对 常量有一些改动) ， 酢| 2 + 喜厶怕p 蒯弛( 1 喇m ：小喇肌 非一马尔可夫型的随机微分方程可用于信息在噪音渠道中传输理论，例如编 码和解码( 见【8 】和相关理论) ，还可以运用与随机最优控制理论这些相对应的方 2 0 5由可数泊松点过程驱动的非一马尔可夫随机微分方程 程，通常都是有反馈信息的，换言之，在时间t 输入的信息可能包括在时间t 输出 之前的所有信息这种类型的随机微分方程和倒向随机微分方程在一般设置下由 带跳的( 也可参见【9 】中实值布朗运动的情形) 已经在 3 】中被讨论了尽管【3 】具 有一般性，但条件太多不容易验证在这里，我们提供一个相对比较简洁的结果 首先，我们给出了关于方程5 1 的解的存在与唯一性的定义 定义5 1 ：如果存在一右连左极玩一适应过程x ( t ，u ) 满足方程5 一l ，同时有两个 右连左极只一适应过程z 1 ，z 2 满足方程5 1 并且e s u