（光学专业论文）周期性结构的表面等离子体共振性能研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 表面等离子体激元是由金属表面自由电子和光子相互作用而形 成的倏逝波。表面等离子体激元具有低维度、高强度与亚波长三大特 性，在未来的纳米光子器件、纳米光电集成等领域有很大的应用潜力， 因而受到了广泛的重视，很多理论研究与应用研究正在展开，形成了 所谓的“等离子体光子学”( p l a s m o n i e s ) 。本论文也试图阐述表面等离 子激元在周期性金属结构中传播的基本物理特性。 本论文的主要工作包括以下三个方面： 1 使用有限时域差分方法，模拟了强耦合金属球形纳米粒子阵列 的光学特性。模拟了在不同的粒子半径以及粒子间距时的透射谱。结 果表明：这种阵列存在一个光子禁带，且在禁带中存在由等离子体共 振引起的超强透射峰。这种等离子体共振峰的波长强烈依赖于纳米粒 子的半径以及粒子之间的间距。最后通过共振峰电场分量e z 的瞬时分 布来了解等离子体共振峰的更多信息。 2 模拟了含不同面缺陷的金属纳米粒子阵列的透射谱。通过改变 特定平面粒子的半径、向不同的方向移动特定平面和移除特定平面的 方法来引入面缺陷。结果表明：面缺陷的引入会影响表面等离子体共 振波长，且缺陷模的峰值与宽度强烈依赖于缺陷的位置。 3 使用时域有限差分方法，模拟了金属纳米管薄膜体系的光学特 性以及等离子体相互作用。结果表明：等离子体共振峰的波长与强度 依赖于金属纳米管薄膜之间距离、金属薄膜的厚度以及纳米管结构 参数x ( 纳米管内外半径之t l ) 。当薄膜厚度很小时，局域化的与纳米 管相关的表面等离子体能够在薄膜上下表面都诱导镜像，因此简并态 分裂成两个态。 关键词表面等离子体激元，周期结构，透射谱，场分布 中南大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t a bs t r a c t s u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n sa r eas t a t eo fe v a n e s c e n tw a v e ，w h i c h a r el o c a l i z e do nt h es u r f a c eo fam e t a lb yt h ei n t e r a c t i o no ff r e e - e l e c t r o n s a n dp h o t o n s t h es u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n sh a v es o m ea d v a n t a g e ss u c h a ss u b w a v e l e n g t hn a t u r e ，h i g hf i e l di n t e n s i t ya n dl o wd i m e n s i o n a l i t y ， t h u si t h a st r e m e n d o u sp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nb u i l d i n gn a n o p h o t o n i c d e v i c e s ，i n t e g r a t e do p t o e l e c t r o n i cc h i p si nt h ef u t u r e t h ep r o p e r t i e so f s u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n sa r eo fc o n s i d e r a b l ei m p o r t a n c ei nb o t h t h e o r e t i cr e s e a r c ha n da p p l i e ds c i e n c e ，a n dn o wi ti saf o o t s t o n eo f p l a s m o n i c s ，w h i c hi sa ne m e r g i n gb r a n c ho fp h o t o n i c s w e r ea l s ot r y i n g t od os o m ef u n d a m e n t a lw o r k st oe x p l a i nt h ep r o p e r t i e so fs u r f a c e p l a s m o np o l a r i t o n sp r o p a g a t i n go nt h ep e r i o d i cs t r u c t u r e s i nt h i st h e s i s ，u s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ，w e i n v e s t i g a t e dt h eo p t i c a lp r o p e r t i e so f a p e r i o d i ca r r a yo fs t r o n g l yc o u p l e d g o l dn a n o p a r t i c l e s w es h o wt h et w ok i n d sp r o p e r t i e so ft r a n s m i s s i o n s p e c t r aw i t hb o t hd i f f e r e n ti n t e r p a r t i c l es p a c e sa n dd i f f e r e n tr a d i io ft h e p a r t i c l e s i ti sf o u n dt h a ts o m ed i s t i n c te x t r ar e s o n a n c ep e a k sa p p e a ri n t h ef o r b i d d e nb a n dg a pa n dt h er e s o n a n c ef r e q u e n c yd e p e n d ss t r o n g l yo n t h es p a c eb e t w e e nt h ep a r t i c l e sa n dt h er a d i u so ft h ep a r t i c l e s b a s e do n t h el o c a l i z e dn a t u r eo ft h ef i e l dd i s t r i b u t i o n ，w ea l s os h o wc l e a r l yt h e p r e s e n c e o fl o c a l p l a s m o n s r e s o n a n tm o d e st h a t o r i g i n a t e f r o m q u a d r u p o l ep l a s m o np o l a r i t o n s a l s o ，u s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，w en u m e r i c a l l ys t u d y t h ep r o p e r t i e so f p l a n a rd e f e c ts t r u c t u r e s ，w h i c ha r ec r e a t e db yc h a n g i n g 、 m o v i n g 、r e m o v i n gas p e c i f i cp l a n e o ft h ep e r i o d i ca r r a yo fm e t a l l i c n a n o p a r t i c l e s i ti ss h o w nt h a tt h ep l a s m o nr e s o n a n c em o d ec a nb e c o n t r o l l e db yi n t r o d u c i n gt h ep l a n a rd e f e c t b e s i d e s ，t h ep e a kv a l u ea n d t h ew i d t ho ft h ed e f e c tm o d ed e p e n ds t r o n g l yo nt h ed e f e c td i s t a n c e w e i n v e s t i g a t e dt h e o r e t i c a l l y t h e o p t i c a lp r o p e r t i e s a n dt h e p l a s m o n i c i n t e r a c t i o n so fam e t a l l i cn a n o t u b e s a r r a y o u t s i d eat h i n m e t a l l i cf i l m w es h o wt h a tt h ee n e r g i e sa n di n t e n s i t i e so ft h ep l a s m o n r e s o n a n c e sd e p e n ds t r o n g l yo nt h ea s p e c tr a d i oo ft h en a n o t u b e ( t h er a d i o o ft h ei n n e rt oo u t e rr a d i i ) ，t h e s e p a r a t i o nb e t w e e nt h ec e n t e ro ft h e i i i 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t n a n o t u b ea n dt h eu p p e rs u r f a c eo ft h em e t a l l i cf i l ma n dt h et h i c k n e s so f t h ef i l m i nt h et h i nf i l m ，t h eh i g h e n e r g yl o c a l i z e dt u b e r e l a t e dp l a s m o n s c a ni n d u c et h e i ri m a g e so nb o t hs i d e so ft h em e t a l l i cf i l m ，s ot h e d e g e n e r a c ys t a t es p l i ti n t ot w om o d e s k e yw o r d s ：s u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n ，p e r i o d i cs t r u c t u r e ，t r a n s m i s s i o n s p e c t r u m ，f i e l dd i s t r i b u t i o n i v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 主! l c 蕴、 日期：年一月一日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：诹导师签名：垄窒垒日期：年一月一日 中南大学硕十学位论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 1 9 9 8 年，t w e b b e s e n i j 研究组在研究金属膜上亚波长圆柱形小孔阵列的光 学特性时，发现这种金属阵列可以导致很不寻常的透射峰在e b b e s e n 的试验中， 石英的基底上沉积了厚度为0 2 , u m 的银，然后在银薄膜上打上圆柱形小孔阵列。 圆柱的直径为1 5 0 n m ，阵列周期为0 9 , u m 。从e b b e s e n 的试验结果来看，在波长大 于阵列周期的范围内出现了几个超强透射峰。由于透射峰对应的波长比阵列周期 还大的多，此时不存在由阵列或者单孔产生的衍射。特别是在波长1 0 倍于圆柱的 直径时，仍然可以观测到很尖锐的透射峰。更令人惊奇的是，绝对透射率，也就 是透射率比上小孔占整个表面所占的百分比，在最大值处竟然大于2 。换句话说， 就是比直接照射到孔中的光还要多出一倍以上。按j 嘏b e t h e t 2 j 文章中的理论来计 算e b b e s e n 试验中光的透射率，1 5 0 n m 孑l 径的小孔，透射率仅为1 0 。并且按照 b e t h e 的理论，透射率与小孔半径r 成( r 2 ) 4 关系，但是按照e b b e s e n 的试验结果， 该阵列的透射率与孔的占空比成线性关系。 为了研究这种亚波长小孔周期性阵列超强透射的物理机n t 3 - 1 2 1 ，很多作者测 试了几乎所有变量的依赖关系，如孔径，周期，厚度及金属本身1 1 3 , 1 4 1 。其中至少 两个重要线索，使这种透射现象与表面等离子激元联系起来。其一就是e b b e s e n 等人把金属替换为半导体锗在同样的波长范围做同样的实验，结果超强透射消 失。把金属替换为半导体锗，这就使材料的等离子浓度大大降低。这一实验结果 说明材料的自由电荷是超强透射的必要条件。2 0 0 0 匀e g r u p p 1 5 】等人的工作进一步 表明，导致这种超强透射的原因是金属薄膜前后两个表面上的等离子体激发。另 一个是金属样品透射谱的角度依赖性。随着角度的变化，峰值会改变，乃至分裂 出新的峰而新旧两峰向相反方向移动。这个恰是光和表面等离子激元在反射光栅 u 加2 u j 上耦合时观察到的行为。 表面等离子理论是一个既古老又新兴的理论，他的发现距今已经有1 0 0 多年 的历史。1 9 0 2 年，w o o d 2 l j 等人观测到入射光波照射到金属光栅上时引起反常衍 射现象，意识到表面等离子体波的存在，进而发现了表面等离子体共振的电磁效 应现象。1 9 5 7 年，r i t c h i e 2 2 1 在研究高能电子通过金属薄片时，发现不仅在体等离 子体频率处有能量损失峰，而且在更低频率处也有能量损失峰，他认为这与金属 薄膜的界面有关，第一次提出了“金属等离子体”的概念来描述金属内部体积电子 密度的一种纵向波动。1 9 6 0 年，s t e m 【2 3 1 首次提出了表面等离子体( s u r f a c e 中南大学硕十学位论文 第一章绪论 p l a s m o n ，s p ) 的概念。 表面等离子体激元就是局域在金属表面的一种由自由电子和光子相互作用 形成的激发态倏逝波。在这种相互作用中，金属自由电子在与其共振频率相同的 光波照射下发生集体振荡。这种表面电荷振荡与光波电磁场之间的相互作用就构 成了具有独特性质的表面等离子激元。通过金属表面的纳米尺度亚波长结构调 制，能对沿表面传播的波场进行控制，尤其是控制它与光的相互作用，在未来的 纳米光子器件、纳米芯片光电集成等领域具有巨大的应用潜力，因而受到了广泛 的重视。很多理论研究与实际应用正在展开，形成了所谓的“等离子体光子学” ( p l a s m o n i c s ) 。“p l a s m o n i c s ”一词最早于1 9 9 9 年第一次使用1 2 引。加州理工学院 h a r r ya a t w a t e r 2 5 j 教授的研究小组认为这一领域的研究将促进全新设备的问世， 并于2 0 0 0 年将这一学科正式定义为“p l a s m o n i c s ”。h a r r ya a t w a t e r 教授将 p l a s m o n i c s ”定义为：一种可以将电磁波压缩到极小结构中，有望产生新一代超 快计算机芯片和超灵敏分子探测器的技术。随着表面等离子体理论研究的深入以 及各种结构的器件的成功制作，其在光学各领域应用具有巨大的潜力，尤其在一 些经典光学长期不能解决的问题上，其中包括金属亚波长结构的增透效应在超分 辨率纳米光刻【2 6 _ 2 纠、高密度数据存储【3 0 1 、近场光掣3 1 1 等领域的应用大放光彩。 近年来，随着扫描近场光学显微技术( s c a n n i n gn e a r f i e l do p t i c a lm i c r o s c o p y s n o m ) 的发展，使直接在材料表面观测表面等离子体激元成为可能，这极大促 进了表面激元的研究。试图阐述与发现表面等离子激元在周期性结构上传播的基 本物理现象与可能价值，是这一领域的中心，本论文也围绕这一中心展开。 1 2 金属的电子气模型( d r u d e 模型) 众所周知，光在介质中的传播过程，就是光与介质相互作用的过程。光在 介质中的吸收、色散、散射现象，实际上就是光与物质相互作用的结果。光与金 属物质的相互作用主要是来自于光波随时间与空间作周期性变化的电场与磁场 对金属物质中的电荷所产生的影响，导致电荷密度在空间分布中的变化以及极化 等效应，这些效应所产生的电磁场与外来光波的电磁场耦合在一起后，表达出各 种不同光学现象【3 引。 在这里，我们来详细讨论金属的d r u d c 模型1 3 3 , 3 4 1 。 d r u d e 模型认为除了在金属表面层受到电势外，传导电子是完全自由的。表 面电势的作用时将传导电子限制在样品内部，传导电子如同理想气体中的分子 自由电子气。d r u d e 模型包含以下几个假设： 中南大学硕士学位论文第一章绪论 ( 1 ) 不发生碰撞时，忽略电子与离子实( 自由电子近似) 、电子与电子( 独立电 子近似) 之间的相互作用。系统的总能量为动能。受到外力作用时，自由电子遵 循牛顿运动定律。 ( 2 ) 电子在运动的过程中将会与晶体中的原子核、杂质或品格缺陷产生弹性 碰撞而被散射。碰撞为电子改变速度的瞬时事件，忽略电子与电子之间的碰撞。 ( 3 ) 单位时间内电子发生碰撞的几率为l r ，该f 即为弛豫时间，驰豫时间f 与 电子的速度和位置无关。 ( 4 ) 电子与周围环境达到热平衡是通过碰撞实现的。 考虑某一时刻t ，电子的平均动量为最，) = 所哥并且受到外力彳， 作用。假若在 时刻f + 出时平均动量变为瓦。础1 。与t 时刻比较，动量的改变量可以分成两个部 分：对于没有发生散射的电子，其动量的增量即为外力的冲量矛n d t ，而对于发 生了散射的电子，散射后它们的平均动量为零，因此在t 4 - d t 时刻，它们的平均 动量即为该时间内外力的冲量，元n d t 。而根据d r u d e 模型的假设的第三条可知， 在d t 时段内电子发生碰撞的机率为d t l r ，因此在t + 衍时所有自由电子的平均动 量可表示为： ) = 等五，) d t + ( 1 一譬) ( 磊，) + f ( t ) a t ) ( 1 - 1 )敢f + 面) 2 了五f )+ ( i 一了) ( 最，) + ) 1 ) 将( 1 1 ) 式改成微分形式为： 亟d t = 一扣+ 彳。f v 7 、 ( 1 - 2 ) 考虑不同的外加电场时的情况：( 1 ) 没有外加电场，即夕= 0 时，传导电子作无 规则的运动，此时电子的平均速度= 0 。( 2 ) 外加电场为一恒定电场，即 厂= 一峨时，此时传导电子作定向运动，假设其漂移速度为吃，由( 1 2 ) 式及 豇f ) = 聊乃可得： 聊掣= 夕一所塑 ( 1 3 ) “lr 由于是稳恒电场，因此蛾西= 0 ，由此可得：吃= 一q e o r m 。电流密度歹可以 写成： j = 一玎g 吃= ( n q 2 r m ) e o( 1 - 4 ) 根据欧姆定律得到金属的电导率为； 仃= n q 2 r i m( 1 5 ) 由此可见电导率与传导电子浓度成正比，与m 成反比。( 3 ) 若外加电场随时间作 谐波振荡，亦即屋= f _ 7 0 e 一胁时。由自由电子的运动形成的电流密度也随时间做谐 波振荡( 即7 = a e 一触) ，由( 1 3 ) 式的运动方程式可以得到： 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 歹一nq2vl，m雷_,：粤豆：吼脚)雷(1-6)1l z 彩fl o o t 、 上式说明了金属的电导率将会随着外加电磁场频率的不同而改变f 3 4 1 ，也就是具 有“色散”特性。 对于金属中的束缚电子而言，其对外加电磁波的反应就如同电介质一样会产 生极化效应，带电粒子依入射光频率作强迫震动。由于带正电的离子实的质量比 电子大许多，可视为正电荷的中心不动，而电子相对于离子实作振动，正、负电 荷电量的绝对值相等，构成一个电偶极子。假设在振荡的电场作用下电子偏离离 子实的位移为尹，产生的电极化强度( 单位体积的平均电偶极矩) 为声= m ( - q ) p ， 其中 表示束缚电子密度。可将电极化强度对时间微分得： i d p = n 。( - q ) 羞= n o ( - q ) 伊b = 五( 1 - 7 ) 上式中呒代表束缚电子在振荡过程中的移动速度。式( 1 7 ) 的结果说明了振荡 的电极化强度对时间的微分可视为一种电流密度【3 4 】： 以= a e a t( 1 - 8 ) 反过来说，可以把自由电子运动产生的电流密度视为一种振荡的电极化强 度。因此( 1 6 ) 式可以改写成： 歹=掣筹=昙手动(1-9)-leoo td f国 由式( 1 - 7 ) 与式( 1 8 ) 可以得到自由电子所形成的电极化强度为： 户：z o - ：) g ：一丝一豆 ( 1 - 1 0 ) 国 m ( c 0 2 + i c o y o ) 、7 式中的= f - 1 为自由电子的碰撞几率。从式( 1 - 1 0 ) 的结果可以看出，在很 小或外加电磁波频率远大于电子的碰撞几率时，金属内部自由电子所形成的随时 间振荡的电极化向量会与外加电场方向相反，因此极化产生的感应电场方向亦将 与外加电场反向，并且在电磁波频率不是很大的情形时，极化所产生的感应电场 大小几乎与外加电场相同，这个结果解释了金属内部的电场总和趋近于零，此即 为金属对于电磁场的屏蔽效应。 由电磁场理论，极化强度与电场的关系为：声= e o z 豆。将该式与式( 1 1 0 ) 进 行比较，可以得到描述介质极化特性的电极化率z 表达式，并且可以得到在电磁 波作用下金属内部自由电子所反应的介电常数形式为： ：l + z ：1 + 坠：1 一善u p p ( i - i i ) 卅屺卅+ 嚣。1 一丽 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 式中缈。= ( n q 2l i n g o ) 2 为金属的等离子体共振频率。从式( 1 - 1 1 ) n - 以看出金属的 介电常数为复数，其实部与虚部分别为： reeh=er：=imez 2 c o 矿( c o m 均 】- 岛= 彩口 2 + 店) 】 在可见光频率范围内，电磁波频率远大于y d ，因此( 1 1 2 ) 式的可以近似写 成靠= 1 - 国；c 0 2 ，此时我们可以看出，当电磁波的频率小于啡，金属的介电常 数的实部靠为一负值；并且有岛l c r i 。一般的金属物质的介电常数都符合上述 的条件。 由折射率与介电常数的关系可知，折射率也应为复数，将折射率定义成实部 和虚部的形式，商= s 1 他= ，2 + 幻，则： 即= 唼( + g + 靠) 】l ，2 ( 1 - 1 3 ) 1 i 一 、 r = 唼( + 碍一靠) 】2 我们以金属金( a u ) 为例来讨论介电常数与电磁波频率的变化关系。金属金的 绵与分别为= 1 3 7 掌1 0 m s - 1 以及郎= 4 0 8 1 0 1 3 s 。 x1 0 1 6 图1 - 1 金的介电常数的实部与虚部随电磁波频率变化关系 从图1 - 1 中可以看出，介电常数的实部的绝对值的大小随着电磁波频率的增 大先迅速减小然后缓慢增大，当电磁波的频率约小于时，介电常数的实部小 于零。并且我们知道当电磁场频率在小于啡时，复折射率的虚部将会很大，此 时入射光振幅或能量将会很快地随着传播距离呈指数衰减而无法深入穿透至金 属内部，当电磁波频率大于绵之后，金属介电常数或复数折射率的实部为小于l 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 的正数，且虚部将趋近于零，所以在此频率范围的电磁波将可以穿透金属内部而 传播。 1 3 等离子体与表面等离子体激元 这一部分我们主要考虑金属表面自由电子振荡的情形，由于电子的横向运动 受到金属表面的阻碍，所以在金属表面上电子的浓度以梯度分布，形成了局限于 金属表面的等离子体振荡，伴随着表面等离子体的振荡，产生了一种传播于金属 表面，并且振幅沿z 方向衰减的表面电磁波，我们把该电磁波称为表面等离子体 波 2 2 - 2 3 , 3 5 1 。 孙瓜谂屋 + + + 金属 + + + z 口2 乓z 、， 厂 图1 2 左图为沿着界面传播的等离子体激元的电荷及电磁场示意图。右图表明电磁场 随z 方向成指数衰减。 1 3 1 表面等离子体激元的色散关系 我们假设表面等离子体沿着x 方向传播，在垂直于x 的z 方向上衰减。因 此其电场可以写成： e = 霹e x p i ( k x x + k z z c o t ) 】( 1 1 4 ) 其中的正负分别表示z 0 以及z 0 ，后。，后：分别对应x 方向以及z 方向的波 矢，其中砭= 2 x 以，以为等离子波的波长。由于等离子波在z 方向上迅速衰 减，因此后必须为复数。 由于我们的假定中表面等离子体沿着x 方向传播，没有y 分量，因此整个 电磁场可以写成： 在介质中，即z 0 时： 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 ，2 ( o 髟2 ，o ) e x p ( k x 2 x bk z 2 z - c o t ) 1( 1 1 5 ) 易= ( e 2 ，0 ，e z 2 ) e x p i ( k 。, 2 x + k z 2 z c o t ) 在金属中，即当z 0 时： ，2 ( o ，q - ，o ) e x p ( l , x - k , z - c o t ) 1( 1 1 6 ) 巨= ( t l ，0 ，t 1 ) e x p i ( k x l x 一砭l z c o t ) 由边界条件t l = t 2 和日，l = h ，2 ，可以得到： t i = 屯2 三戤 ( 1 1 7 ) 将( 1 1 5 ) 式和( 1 1 6 ) 式代入麦克斯韦方程，以及由边界条件q e l = 乞e 2 ，我们可 以得到一个关于吃1 和砭2 的方程： 益+ 量：0 ( 1 - 1 8 ) q 毛 由k 2 = f 徊c ) 2 我们可以得到： 砰兰砖+ 砖= 乞( 竺) 2( 1 1 9 ) 将式( 1 1 7 ) ，式( 1 1 8 ) 代入式( 1 1 9 ) 就可以得到t 和乞的表达式： 以2 詈【s - s ：( s t + s z ) 】1 7 2 ( 1 2 0 一) c，1 - 7 、 吒= 石两了乏，i ：1 ，2 i 对于金属而言，金属的色散介电常数可以用式( 1 1 1 ) 和式( 1 1 2 ) 来表示，因此我 们可以得到一个复的波矢t = k + ： k = 拿q 尺8 2 ( e 。r + 乞) 】抛 k 磊叫蚂) 】3 坨丽s i i 。2 。 cz ( 晶。j 一 其中，r 和1 分别表示复数的实部和虚部。为了得到实的吒，需要q r 乞，一般而言，金属在本征频率附近满足这个条件。因此在自由电子模型 下，金属介质表面等离子激元的色散关系为： t = 詈( ( 1 一( 缈2 + y 2 ) ) e 2 ( ( 1 一( 缈2 + 店) ) + 乞) ) 1 ，2 ( 1 - 2 2 ) 由于虚部后。，代表了表面等离子体激元沿着x 方向的衰减情况，因此我们一般用 代替颤。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 雌 q 正 夕乙叫也 一 0 图1 - 3 表面等离子体的色散关系 图1 - 3 给出的是沿着金属金以及空气界面传播的表面等离子波的色散曲线 图。从图中可以看出，位于光线左边的是辐射等离子体，其波矢要比光线的波矢 小，频率是从国。开始。位于光线右边的是非辐射表面等离子体，表面等离子体 激元要比相同频率的光具有更大的波矢，因此不能直接由光激发。并且当七，很 大时，国的值趋近于缈。4 2 。这表明表面等离子体可以以本征频率缈：0 到 缈= 国。2 的频段内以不同的波矢后。沿着金属空气界面传播。 1 3 2 表面等离子体激元的穿透深度及传播长度 表面等离子体的波矢分量屯和乞都是复数，这表明表面等离子体会沿着x 和z 方向衰减。对于垂直于界面的z 方r e ，表面等离子体激元的电场的幅度按 照e x p ( 一i k , , z 1 ) 衰减，其中，为z 方向的波矢恕的虚部。因此电磁场的振幅衰 减最大值的1 e 对应的深度为： 三= 1 k z ， ( 1 2 3 ) 对于金属空气界面，深度为： 空气中的穿透深度： 孑= 鲁i i i l ( ( q + 1 ) 2 ) ( 1 2 4 ) 金属中的穿透深度： 虿= i m ( ( 乏 ) l 坨) ( 1 - 2 5 ) 我们仍然以金为例，当波长为5 0 0 n m 时，空气中的穿透深度为2 6 6 n m ，金属 中的穿透深度为2 2 n m 。由此可见，表面等离子体激元的电磁场都局域在界面附 近。 表面等离子体激元沿着x 方向传播时，强度按照e x p ( _ 2 k x ) ，匕为x 方向 中南大学硕i ，学位论文第一章绪论 上的波矢t 的虚部。因此沿着x 方向上的传播距离 e = ( 2 k ) “ 对于金- 卒气界面而言，当波长为5 0 0 n m 时传播距离l = 7 3 a m 。 33 表面等离于体激元的激发方式 表面菩离子体激元的激发方式主要包括电子束激发以及光激发，而光激发 包括光栅耦合器激发【”刊1 和衰减全反射激发 4 5 4 1 1 。在这里我们只简单介绍一下光 激发。光激发表面等离子体激元的应用存在着一个困难，即表面薅离子体激元的 色散关系在光线右边。在给定能量 的情况下，波矢 ，c 必须增加龇以使光 子转化为表嘶等离了体激元。其中光栅耦合器是实现波矢增加的一种方法。 光线照射到由盒属层和介质层所构成的光栅表面时，将会发生衍射现象。 该衍射光线被反射，并目按照不同的衍射角度衍射，对应不同的衍射阶，如果某 一阶的波矢在界面方向上的投影与表面等离子波的波矢相匹配的话，就会发生表 面等离子体谐振，光栅耦合的表面等离子体共振传感器也可以通过检测光强分布 或波长分布两种方式来获得表面等离子体共振角谱曲线。 m _ 图1 4 光拥耦舍 耦台激芨的s p p s 波矢与入射波矢的关系为： k = 叽加m 警啦”警( 1 - 2 7 ) 式中，叱，足入射光方向的单位矢量，虬，“，分别是周期性结构的单位矢量，0 是入射角，氏对于p 偏振波来说是i ，s 偏振波是0 。a 是光栅的周期。m ，n 是整数，对应于不同的衍射级次。 中南大学顼f 学 青论文 第一章绪论 逆过程也同样发生。表面等离子体激元沿光栅或者粗糙表面传播，其波矢会 变小从从而耦合成光，这非常重要”。 另外种光耦含是基于全反射的。我们知道当光从光密介质入射到光疏介 质当入射角大于临界角时，将会发生全反射。但是由十倏逝波的存在，光会部 分的进入到光疏介质中，并在光疏介质巾呈指数衰减。倏逝波的穿透深度般为 1 0 0 2 0 0 h m 。 r ，一 图i 一5 基于奎反射的耦合 如图l - 5 所示，在石英棱镜上镀上层高反射的膜其厚度小于倏逝波的穿 透深度，般为几十纳米。当光以大于全反射角临界角入射时，将会发生全反射， 闻此在会属空气界面处，仍然存在倏逝波，其波矢在水平方向的分量为： t ：竺月s i n 0 式中n 为支持体的折射率。 同样在余属一空气界面传播的表面等离子体的波矢要求满足 铲： ( 1 2 9 ) ( 1 2 9 ) 通过调节入射光的入射角0 ，使k = t 此时由于金属表面的等离子体与倏逝波 发生耦合，从而产牛表面等离子体共振。 14 本论文的主要研究内容 本文主要是基于时域有限差分( f d t d ) 方法，对周期性结构的表面等离子 体共振性能进行了研究。文章主要内容包括以下几个方面： 第一章：介绍了表面等离子体的一些基本理论，包括表面等离子的色散关系、 空间延展、传播长度以及激发方式。其整个理论建立在麦克斯韦方程组以及金属 一1 0 - 压 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 的经典电子气模型( d r u d e 模型) 上。 第二章：介绍了基于y e e 元胞的时域有限差分( f d t d ) 方法，推导了三维 情况下电场三个分量的数值迭代公式。并讨论了f d t d 方法的数值稳定性条件 和数值色散，给出了数值稳定性所要求的空间和时间离散间隔。最后介绍了我们 使用的两种边界条件：完全匹配层( p m l 层) 和周期性边界条件。 第三章：基于f d t d 方法，模拟了强耦合的金属纳米颗粒阵列的光学特性， 详细讨论了结构参数对表面等离子体共振频率以及峰值强度的影响。通过共振峰 值处电场分量的瞬时分布来对共振峰做进一步的分析。 第四章：基于f d t d 方法，模拟了含有面缺陷的强耦合金属纳米颗粒阵列 的光学特性。讨论了不同的面缺陷对表面等离子体共振频率以及峰值强度的影 响。 第五章：基于f d t d 方法，模拟了包含金属薄膜和金属纳米管阵列的复合 结构的光学特性以及等离子共振特性。 第六章：总结全文，指出下一步努力的方向。 中南大学硕士学位论文第二章时域有限差分法 第二章时域有限差分法 1 8 7 3 年，麦克斯韦( m a x w e l l ) 建立了电磁场的基本方程。目前，电磁波的研究 已经深入到了各个领域，应用十分广泛。电磁波在实际环境中的传播过程非常复 杂，例如各种复杂目标的散射，实际通信中复杂地形对电磁波传播的影响等等。 随着现代计算机技术以及信息技术的迅速发展，对于电磁场模拟的一些计算理论 和工具也迅速发展起来。当前广泛使用的电磁场模拟方法包括矩量法( m o m ) 、有 限元法( f e m ) 以及时域有限差分法【4 9 - ”1 ( f d t d ) 方法等等。并且随着电磁波的 广泛应用和计算机的迅速发展，对各种方法的研究也将更加深入。 时域有限差分方法是直接对m a x w e l l 微分方程进行数值处理，计算电场和 磁场随时间的变化，从而可以得出空间电磁场的时间演化过程，直观地表现出问 题的物理过程。这种方法首先由y e e l 4 9 j 于1 9 6 6 年提出来的，应用十分广泛。通 过对电磁场e ，h 分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，可以将含时间 变量的m a x w e l l 旋度方程转化为一组差分方程。某一时刻某个抽样空间点上的 电场值( 或者磁场值) 由该空间点上上一个抽样时间点的电场值( 或者磁场值) 以及 四个邻近抽样点的磁场值( 或者电场值) 计算而来。并通过在时间轴上逐步推进来 求解空间各点的电磁场分量。所以，如果我们知道某个结构各个抽样空间点的极 化特性以及初始电磁场值，就可以模拟出电磁场在这样一个结构中的传播过程。 y e e 提出的这种抽样方式就是大家现在熟知的y e e 元胞( y e ec e l l ) 。 在f d t d 的发展历史上，除了y e e 以外，很多数学家和工程学家也做出了 大量杰出贡献。t a y l o r l 5 2 】等提出用吸收边界来吸收外向行波，吸收边界采用简单 差值方法1 9 7 5 年，t a f l o v e l 5 3 j 用f d t d 讨论了非均匀介质在正弦波入射时的时 谐场情况的近一远场外推，以及数值稳定性条件。1 9 8 1 年，m u r 【5 4 】提出了在计 算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件，这是一种非常有效的边界条件。 1 9 9 4 年，b e r e n g e r 5 5 - 5 6 j 提出将m a x w e l l 方程扩展成为场分量形式，并构成一种全 新的吸收边界一一完全匹配层。 2 1 麦克斯韦方程及其f d t d 形式 为： 在一个线性，各向同性，有损耗的媒介中，在无源区内的麦克斯韦旋度方程 中南大学硕士学位论文 第二章时域有限差分法 v 雷：望+ 歹 a v 小一詈一无 ( 2 - 1 ) 由于我们讨论的各项同性媒介，因此西= s 豆，否= 疗，1 7 = o - 爵，无= 雷。 共甲s 衣不夕f 质夕电帚双，衣不慨导系双，盯衣不电寻率，农不寻馓翠。 我们将式( 2 1 ) 写成直角坐标中的分量形式： 堡：三(里一孕一仃e)5ts 、0 3 , 8 z “ 堡：!冬一譬一盯e，)(2-2)ats 、钯瓠 弘 丝：!浮一冬一盯e)ats 、缸却 “ 譬：三( 誓一冬一以) 8 t l l j8 z两 m “ 堡：三(要一誓一日，)(2-3)-a - 二= 一i j o 一仃l tu 、融8 z m 弘 譬：三( 冬一誓一皿) a t l l 、却 a ) c m“ 对方程组( 2 3 ) 在时间上和空间上进行差分离散，便可得到关于电磁场的差 分方程组，然后通过在时间轴上的迭代推进计算，便可求出电磁场的传播过程， 坟静县时墒右瞩善锌洼的其太甩路 图2 - ly e e 元胞电磁场的分布 中南大学硕十学位论文第二章时域有限差分法 篡竺薯到i 翟：嵩 i 31 o x 3 i ：| 陆4 ， 胝m c 班鲁掣l + 等等l 一鲁挈l + 丛生盟：o f ( x ) l + 。( 办：) ( 2 - 5 ) 2 h o x i 一 、7 笪墨吐掣i l q , i 吱f ( x ) 在薯点的中心差商 笪盟型i 尘：赵竺二坐二赵竺 笪( 兰：z ：三! 剑f(i,j+2,k)-f(i,j-2,k) 丛兰：些剑f ( i , j , k + 2 ) - f ( i , j , k - 2 ) 笪! 兰! 羔：型ln + - - ：盟：生! 二塑! 生 疗一一 中南大学硕士学位论文 一个式子可以离化为f 5 7 】： 1 s ( f + ， z 第二章时域有限差分法 吲咖壁盘掣1 k ：竺：! ：圭：兰：迎二竺：! ：圭：兰二趋 少 在上式中，我们用到了： ( 2 8 ) e n + l 2 ( f + 丢，m ) = j 。n + 1 ( f + j 1 ，m ) + e ( f + i i ，m ) ) ( 2 - 9 ) 这样做是为了在式中只出现我们需要的各个分量节点。式( 2 8 ) 还可以整理为： 式中 q e x n + l l , f + 三，歹，后) = 彳o + 三，k ) f - 4 ( f + 三，后) 删1 k ， 垫2 竽垃p 蚴 彰w 2 ( f + 互1 ，歹，七+ a ( i + i z ，尼) = b ( f + j 1 ，歹，尼) = 彬训2 0 + 互1 ，七 邓+ 如砷 类似的，( 2 3 ) 中的其它两个式子可以离化成： 1 5 2 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) d l 一2 2122 + 一 一 + 盯 一 一 盯 d 一 ， ! r 万 + 一 o s 一 中南大学硕士学位论文 以及 第二章时域有限差分法 髟飞，+ 三，后) = 么( “+ i 1 ，后) e ( “+ j 1 ，后) 删“弓。 塑攀竽盥p 柳 e n + l g m + 圭) = 郇，m + 丢) 髟( f ，舭+ 圭 坝“舢争 盟避竽邋倍 磁场分量的离散方法与电场分量类似，我们不在这里做详细的推导。 在计算中常常等距离的离散空间坐标，即： 则式( 2 - 1 0 ) ，式( 2 1 3 ) ，式( 2 1 4 ) 可以写成： a x = a y = a z = 万 e n + l ( f + 兰，舭) = 卸+ 三1 ，m ) e ( f + 互1 ，肌) + b ( i +，歹，后) ( 2 - 1 5 ) 一n z n + 1 1 2 ( ，+ 抄j 1 瑚一( z + 扣( 2 - 峋 a 瑚y n + 1 1 2 + 扣后+ 尹1 坶抛c ，+ 扣一争 1 6 一2万 中南大学硕十学位论文 第二章时域有限差分法 髟n + l ( f ，j + 丢，后) = 郇，+ 三1 ，k ) e t f “+ 丢，七) +掣月：“，zcz，+三，七+丢1，一月：“，：o，歹+丢，七一三，c217) + 1 月：“坨( f ，+ 去，七+ i ) 一月：“心( f ，j f + 去，七一去) ( 2 - dlzzzz 一彬n + i 2 ( i + 三一i 1 瑚+ ，2 ( 卜吉+ 五1 瑚l e 翔n + l ( ，m + 三) = 郇，m + 三) 髟( f ，m + 三) + 兰竺兰兰；二二兰月? 卅，z ( f + 三，七+ 丢，一月哆+ - ，z c ，一丢，七+ 吉，c 2 - 8 ) 一掣，2 ( “+ 丢n 互1 ) + 掣，2 ( “_ _ ，1 j 1 ) i 2 2f d t