（机械电子工程专业论文）直接面向任务的机器人系统非线性位置控制.pdf

摘要 愀v 2 06 78 燃! ib 对于关节型机器人系统，在很多情况下，我们只能确切的知道系统末端执行 器的期望运动状况，通常，需要直接在任务空间进行控制。但是，末端执行器的 状态不易测量，使得此类问题变得比较复杂。 本文首先针对在直接面向任务的机器人系统控制中，位置控制精度低的缺陷， 引入一类具有“小误差方放大，大误差饱和 性质的近似势能函数，提出了状态 反馈非线性比例微分加重力补偿( n p d ) 位置控制。 其次，本文考虑到在工程实际中关节速度信息易被污染的现实问题，提出了 只基于关节位置测量的输出反馈比例一微分加重力补偿( o p d ) 位置控制。 最后，充分考虑了在实际工程中，驱动器饱和的影响，分别提出了状态反馈 输入受限比例微分加重力补偿( s p d + ) 控制和输出反馈输入受限比例微分加重 力补偿( o s p d + ) 控制，均得到了较好的控制效果。 关键词：直接面向任务非线性位置控制渐近稳定输出反馈 输入受限 a b s t r a c t i nm o s tp r a c t i c a ls i t u a t i o n sm o t i o n so f r o b o tm a l l i p u l a t o r sw i t hr e v o l u t ej o i n t sa l e s p e c i f i e di nr o b o tt a s ks p a c e n o r m a l l y , i ti sr e q u i r e dt of o r m u l a t et h et a s ks p a c e c o n t r o ls c h e m ed i r e c t l y h o w e v e r , t h eu n c e r t a i nm e a s u r e m e n t so fr o b o te n d e f r e c t o r m a y l e a dt ov e r yc o m p l e xc o n t r o ls y s t e m a tf i r s t ，an e wc l a s so fn o n l i n e a rp r o p o r t i o n a lp l u sd e r i v a t i v e c o n t r o lw i t h r e a l - t i m eg r a v i t yc o m p e n s a t i o nf n p d ) o fr o b o t m a n i p u l a t o r si nt a s ks p a c ei sp m p o s e d t og i v eaf a s t e rr e s p o n s ea n dh i g h e rp o s i t i o nc o n t r o lp r e c i s i o no v e rt h ec o m m o n l y u s e d c o n t r o ls t r a t e g i e s t h ep r o p o s e dn p di sf o r m u l a t e dw i t hac l a s so fn o n l i n e a rs a t u r a t e d f u n c t i o nw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c so f e n l a r g e m e n to fs m a l le r r o ra n ds a t u r a t e di nl a r g e e r r o r s e c o n d ，i np r a c t i c e ，v e l o c i t ym e a s u r e m e n t sa r ep r o n et ob ec o n t a m i n a t e db yn o i s e a n dd e g r a d et h ep e r f o r m a n c eo ft h ec o n t r o l l e r t oo v e r c o m et h i sp r o b l e m ，i nt h i sp a p e r , an e w o u t p u tf e e d b a c kp d ( o p d ) c o n t r o l l e rf o rp o s i t i o nc o n t r o lo fr o b o tm a n i p u l a t o r s i nt a s ks p a c ei sd e v e l o p e dw i t h o m v e l o c i t ym e a s u r e m e n t s a tl a s t ，t a k i n gi n t oa c c o u n tt h er e q u i r e m e n t so fe n g i n e e r i n gas t a t ef e e d b a c k p d w i t h r e a l t i m e - g r a v i t y - c o m p e n s a t i o nc o n t r o ll a ww i t hb o u n d e di n p u t ( s p d + 1a n d a no u t p u tf e e d b a c kp d w i t h r e a l t i m e - g r a v i t y - c o m p e n s a t i o nc o n t r o ll a ww i t hb o u n d e r i n p u t ( o s p d + ) a l ep r o p o s e d b o t ht h et w op r o p o s e dc o n t r o la l g o r i t h m sa c h i e v eg o o d e o n t r 0 1p e r f o r m a n c e k e y w o r d ：t a s ks p a c e n o n l i n e a rp o s i t i o nc o n t r o l a s y m p t o t i cs t a b i l i t y o u t p u tf e e d b a c k b o u n d e d i n p u t s 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 机器人系统是一类强耦合、高度非线性且含有诸多不确定性的复杂系统，其 控制难度非常大，通常机器人系统的先进程度和功能强弱直接受到其控制技术的 影响。在过去4 0 多年间，机器人技术获得了引人瞩目的发展，机器人产业在全球 迅猛兴起，机器人的应用遍及工业、科技和国防等各个领域，并且向着智能化的 方向发展。随着机器人应用领域的不断拓展和自动化水平的不断提高，人们对机 器人系统的控制提出了新的更高的要求。同时，机器人系统作为一个典型的多输 入、多输出的非线性系统，为各种新颖控制算法的试验提供了一个很好的平台。 因此，机器人系统的高精度控制研究就成为机器人学和自动控制领域的重要分支。 ! 一 ! l 一i 图1 1 机器人闭环系统框图 机器人系统控制有开环、闭环两种方式，大多数现代机器人系统均采用闭环 控制，如图1 1 所示，驱动器常采用直流伺服马达，驱动一个转动关节，位置检 测装置一般采用增量编码器，装在马达轴上提供脉冲输出，比较器将关节轴的参 考输入与反馈信号进行比较，控制器将误差信号按控制规律进行变换，经过数模 转换及功率放大，形成控制伺服马达的信号去驱动机器人各关节。 机器人系统高精度控制作为机器人学与工业自动化领域一个重要的研究方 向，近年来得到了快速的发展，取得了丰硕的成果。其中，有代表性的有：依赖 完整系统模型信息的反馈线性化控制；依赖部分系统模型信息的p d 加前馈控制； 只依赖系统模型结构信息的自适应控制和完全摆脱系统模型信息的p i d 控制，这 些控制方法在各种控制理论书籍中都有提及【l 】。另外，还有变结构控制方法【2 1 、 基于无源性控制方法【3 1 、极点配置方法【4 1 、模糊控制【5 1 和基于神经网络控制方法【6 】， 这些成果大大的提高了机器人系统运动控制品质。 参 2 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 在实际使用中，机器人系统高精度控制大致可以分为两种情况，一种是已知 系统各关节的期望状态( 位置，速度，加速度等) ，设计算法控制各关节的控制 力和控制力矩；另一种是已知系统的术端执行器的期望状态( 位置，速度，加速 度等) ，设计算法控制各关节的控制力和控制力矩。这两个方面在相关的书籍中 都有所提及【1 】，但是它们的发展程度却相差甚远。对于前一种情况，相关控制算 法比较成熟和完善，而且已经在现实生活中得到广泛应用。而对于后一种情况， 即直接面向任务的机器人系统控制，控制算法相对较少。 y 图1 2 平面二自由度关节型机器人 直接面向任务的机器人系统控制不能简单移植现有的机器人控制算法。如图 1 2 所示，为简单的平面二连杆关节型机器人，系统的状态可以由各关节的弧度、 速度和加速度来表示。系统末端执行器的状态可以由关节状态经过简单计算得到。 然而，如果已知末端执行器的状态，却不能唯一确定各关节的状态，这一点在多 连杆、多自由度的系统中表现更明显。直接面向任务的机器人系统控制作为机器 人控制的一个方面，其有着重要的现实和指导意义。 l 、从实际使用来看，多数情况下，我们只能确切知道末端执行器的期望状态， 比如工业用的机械臂，我们关心的是它的执行机构的位置和速度。这就需要直接 在任务空间进行运动控制，需要发展这方面的控制算法。 2 、直接面向任务的机器人系统控制是机器人视觉伺服控制的理论基础。随着 机器人技术的不断发展，适用范围也在不断拓展，同时，又对机器人的性能提出 了更高的要求。视觉伺服控制是智能机器人控制领域中重要的一部分，最早基于 第一章绪论3 视觉的控制采用的是静态形式，即先采集计算，再控制运动。随着计算机技术的 发展，人们提出了基于视觉的伺服控制【7 】，提高了视觉定位或跟踪精度。如今， 基于视觉的伺服控制是机器人控制和自动化领域研究的热点问题【8 母】。 1 2 直接面向任务机器人系统控制的发展与现状 一般情况下，对于直接面向任务的机器人系统，需要先进行逆动力学运算， 将末端执行器的期望位置转换成关节的期望位置，即将期望位置由笛卡儿空间转 换到关节空间，然后设计关节控制器，对整个系统进行控制。w a n g 和x i e 应用逆 雅可比矩阵构造了计算转矩控制和自适应控制【1 0 】，并证明了其全局渐近稳定性； c h e a h 和l i a w 利用逆雅可比矩阵实现了直接面向任务的机器人系统p d 加重力补 偿控制和p d 加重力回归项控制【1 1 1 ，同样，也证明了其全局渐近稳定性。但是， 众所周知，逆动力学问题一般是无解的，为了避免这个问题，人们提出了任务空 间控制算法【1 2 - 1 4 。 经过多年的发展，对于直接面向任务的关节型非线性机器人系统，其高精度 控制算法研究，取得了令人可喜的成效。k h a t i b 提出了基于全部系统模型的控制 算法h s ；m i y a z a k i 和a r i m o t o 提出了基于能量整形和阻尼注入的雅可比矩阵加重 力补偿感觉反馈控制【l 卅；k e l l y 将这种控制策略进行了拓展，并证明了系统的全 局渐近稳定性l l7 】；c h e a h ，k a w a m u r a 和a r i m o t o 提出了使用近似雅可比矩阵和估 计重力矢量的p d 控制算、法【1 8 】；c h e a h ，h i r a n o 和k a w a m u r a 等提出了近似雅可比 矩阵非线性p d 控制策略【1 9 】；g a l i c k i 提出了近似雅可比矩阵的自适应控制 f 2 0 】；d i x o n 通过引入饱和函数，设计出振幅受限的自适应控制策略川；c h e a h ， k a w a m u r a 和a r i m o t o 使用近似雅可比矩阵，提出了直接面向任务的机器人系统 比例微分积分( p i d ) 控制【2 2 1 ；h u a n g ，w a n g 和w a n g 提出基于雅可比矩阵的非 线性比例积分加线性微分的控制方案【2 3 】；g a l i c k o 提出基于雅可比矩阵的p i d 控 制策略【2 4 1 ，并应用此策略解决了规避障碍物的问题 2 s 】；l i u ，c h a a h 和s l o t i n e 饱和比 例加线性积分控制【2 6 】；s u 和z h e n g 提出了机器人系统在工作空间的简单的p i d 控制算法【27 1 ，并且证明了其全局渐进稳定性。此外，还有g e ，h a n g 和w o o n 提 出的自适应神经网络控制【2 8 】和x i a n ，q u e i r o z ，和d a w s o n 提出的四元数反馈控制 【2 圳。与此同时，以直接面向任务机器人系统控制为理论基础的视觉伺服控制方法 不断出现。c e r v a n t e s 等提出了基于视觉伺服的p i d 控制算法 3 0 1 ；z e r g e r o g l u ， d a w s o n 和q u e i r o z 提出了不依赖系统参数的基于视觉侧量的非线性轨迹跟踪控制 【3 l j ；a k e l l a 提出了不确定系统的基于视觉测量的自适应跟踪控制算法【3 2 】；s h e n ， s u n 和l i u 实现了未校准视觉反馈机器人系统的渐近轨迹跟踪i t 3 】。 综合分析以上算法，本人认为主要存在两方面的不足。首先，无论是p d 控 4 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 制还是自适应控制，都需要已知机器人系统模型的部分参数信息或者结构信息。 p i e ) 控制虽然摆脱了对系统模型信息的依赖，但是因为控制过程要使用末端执行 器在笛卡儿空间的位置误差，所以必须增加其他观测设备来获取此信息。其次， 现有的控制算法都要使用关节的速度信息，这是我们不愿看到的情况。因为速度 的测量需要额外的设备，这会降低系统的可靠性和控制精度。针对以上的情况， 本文从简单的p d 控制入手，结合工程实际，设计出一些新的控制算法，进一步 提高控制品质。 1 3 1 论文主要内容 1 3 论文主要内容和章节安排 经过多年的发展，直接面向任务机器人系统控制已经提出了多种控制算法， 而且已经完全摆脱了对系统模型的依赖，但是，控制精度还有待进一步提高。本 文主要是从实际使用的要求出发，依据部分系统模型信息，对原有的比例一微分 加重力补偿算法进行改良。首先，引出一类具有“小误差放大、大误差饱和【3 4 】， 功能的非线性饱和函数，将其应用于控制算法的比例项来提高其阻尼因子，从而 实现高质量的控制效果。随后，本文考虑了工程实际中关节速度信息不方便获取 的实际情形，采用滤波器来近似代替实际的速度量，提出了直接面向任务机器人 系统输出反馈控制。最后，由于大多数控制器设计中都忽略了控制作用的大小， 很少讨论驱动器饱和的问题，然而实际上驱动器仅工作在一个有界的范围内，为 了让所设计的控制器更具有实用性，本文充分考虑了驱动器的饱和情况，提出直 接面向任务机器人系统输入受限位置控制。 1 3 2 论文的章节安排 本文的具体章节安排如下： 第一章主要介绍直接面向任务的机器人系统控制的国内外研究现状、应用前 景及其发展现状。同时介绍了本课题的主要目的和论文的组织结构。 第二章介绍了非线性系统稳定性分析的基本原理。 第三章充分分析了机器人系统中位置误差变化的非线性影响，采用一类具有 “小误差放大、大误差饱和 功能的非线性饱和函数代替传统的线性控制【3 4 】来提 高控制品质，提出了非线性比例微分( n p d ) 加重力补偿控制。应用l y a p u n o v 稳 定性理论和l a a l l e 不变性原理分析了闭环系统的全局渐近稳定性，数值仿真分 析验证了所提出的控制器具有良好的控制品质。 第一章绪论5 第四章充分考虑了工程实际中，机器人系统只能通过高精度的位置检测装置 获得精确的位置信息，而速度检测装置很容易受到噪声的干扰，而且额外的机械 装备不仅增加了机器人系统的造价使得机器人系统显得臃肿，同时使机器人系统 的可靠性大为下降，为此我们将所需要的速度信息通过滤波器来获得，从而形成 了输出反馈控制策略。应用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理分析了闭 环系统的全局渐近稳定性。平面二自由度关节机器人数值仿真验证了其有效性。 第五章在直接面向任务的机器人系统控制中充分考虑力矩大小问题，因为驱 动器的正常工作力矩必定在某一个范围内。只有把驱动器的工作力矩限定在一个 合适的范围时，控制器的设计才有意义。本文充分考虑了在输入受限情形下，如 何设计具有确定上界的控制器，从而实现渐近稳定控制，提出了直接面向任务的 机器人系统输入受限位置控制，应用l y a p u n o v 稳定性理论分析了闭环系统的渐 近稳定性并进行了仿真试验。 第六章对本文进行总结，并展望下一阶段的工作。 6 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 第二章理论基础 第二章理论基础 弟一早埋v 匕荃门面 2 1 引言 本章着重介绍非线性系统分析的一些基本理论，为后续的研究和分析提供一 些必要的理论支持。主要涉及系统平衡点、系统稳定性的概念和相关理论。这些 基本理论在许多教材上都有详细的说明，有兴趣的读者可以查阅所指出的相关资 料和文献【3 4 1 。 2 2 基本概念 本节主要介绍现代非线性控制理论中常用的基本概念，这些概念是下文分析 的基础。 定义1 非线性系统 非线性系统通常是指可用如下一组微分方程描述的动力学系统 j = f ( - x ，f )( 2 一1 ) 其中为n l 维的非线性矢量函数，x 为刀x l 维的状态变量，n 称为系统的 阶( 或自由度) 。式( 2 - 1 ) 的解在状态空间上经常被称为状态轨迹或系统轨迹。 定义2 平衡点 状态工被称为系统( 2 - 1 ) 的平衡点( 或平衡状态) 是指一旦系统的状态等 于x ，那么它就一直等于x 。在数学上，平衡点可以表示为 0 = o + ，t )( 2 - 2 ) 定义3 稳定性 对于任意的r 0 ，存在尺 0 和f 0 ，如果忙( o ) l i ，总能使成立，那么平 衡点x = 0 ，就被称为稳定的。否则，该平衡点就是不稳定的。 实际上，稳定性( 通常也被称为l y a p u n o v 意义下的稳定性，或l y a p u n o v 稳 定性) 意味着从距平衡点( 原点) 附近的点出发的系统轨迹总能保持在距平衡点 任意近的位置上。 定义4 正定函数 直接面向任务的机器人系统1 f 线性位置控制 一个连续标量函数矿( x ) 被称为局部正定，当且仅当y ( o ) = 0 和在一个球域吼 内，若x 0 ，则v ( x ) 0 。如果该函数在整个状态空间内都具有上述性质，那么 其就被称为全局正定。 定义5l y a p u n o v 函数 如果在一个球域吼= x c r “0 卅i r ) 内，一个一阶偏导连续的( 即c 1 光滑的) 标量函数矿( 功是正定的，并且其沿着系统( 2 一1 ) 的状态轨迹的微分是半负定的， 即矿( 工) 0 ，那么矿( x ) 被称为系统( 2 1 ) 的l y a p u n o v 函数。 由上述定义可以看出，一个连续的标量函数是l y a p u n o v 函数，必须满足两个 条件，即其本身是正定函数和其对时间的微分为半负定的。 定义6 不变集 一个子集g 被称为某一个动力学系统的不变集是指当且仅当从该子集g 内某 点出发的系统状态轨迹都始终保持在该子集g 内。 根据上述定义，我们可以容易地得出系统的平衡点是一个不变集；吸引域是 一个不变集。 2 3l y a p u n o v 稳定性理论 l y a p u n o v 稳定性理论是1 9 世纪俄国数学家a l e x a n d e rm i k h a i l o v i c hl y a p u n o v 引入系统稳定性分析的，现在已成为非线性系统设计与分析的基本方法。 l y a p u n o v 稳定性理论包括两种基本方法，即l y a p u n o v 线性化方法和l y a p u n o v 直接方法。l y a p u n o v 线性化方法已经成为线性系统控制和分析的基本方法，而 l y a p u n o v 直接方法则是非线性系统控制和分析的重要方法。本文主要是应用 l y a p u n o v 直接方法进行稳定性分析的，所以在这里着重叙述一下l y a p u n o v 直接 方法。 2 3 1l y a p u n o v 直接方法 l y a p u n o v 直接方法源于对客观物力世界的直接观察。如果某个物理系统的能 量是耗散的，那么不管该系统是线性的还是非线性的，其最终都将稳定在某一个 平衡点上。因此，l y a p u n o v 直接方法直接通过构造标量的类似于“能量 的函数 来直接研究系统的稳定性问题。 l y a p u n o v 直接方法是将某个物理系统用一个标量能量函数表示，其标量函数 第二章理论基础 9 有两个重要的性质：第一，它是正定函数( 定义4 ) ；第二，是与系统方程有关的， 也就是说，其沿着系统方程的变化是单调递减的。 定理1l y a p u n o v 局部稳定性定理 对于给定的系统，在一个球域毋内，如果存在一个连续一阶部本微分标量函 数矿( x ) ，使得 ( 1 ) 矿( 石) 在吼内局部正定。 ( 2 ) 矿( 力在毋内局部半负定。 那么，系统的平衡点是稳定的。如果微分少( 石) 在球域昧内是局部负定的， 那么，系统的平衡点是渐近稳定的。其中，如常被称为稳定吸引域。 定理2l y a p u n o v 全局稳定性定理 对于给定的系统文= f ( x ，t ) ，假定存在一个关于系统状态的连续一阶可微标量 函数v ( x ) ，满足如下条件： ( 1 ) v ( x ) 正定。 ( 2 ) v ( x ) 正则( 或径向无界) 。 ( 3 ) v ( x ) 负定。 则系统的原点是全局渐近稳定的。 其中，全局渐近稳定意味着原点为系统的唯一平衡点。正则的条件是确保 l y a p u n o v 函数的轮线是闭合曲线，是必不可少的条件。 2 3 1l a s a l l e 不变性原理 对于系统的稳定性分析来说，渐近稳定性是一个比较重要的性质。但是，应 用上述l y a p u n o v 直接方法进行系统稳定性分析时，却不容易得到渐近稳定性的 结论。因为渐近稳定性要求候选l y a p u n o v 函数的微分负定( 即v ( x ) 0 ) ，而大 多数情况下，我们仅能获得矿( x ) 为半负定( 即矿( x ) 0 ) 的结果。l a s a l l e 不变性 原理就成功地解决了矿( x ) 为半负定的情况下，系统的渐近稳定性分析问题。 类似于l y a p u n o v 直接方法，l a s a l l e 不变性原理也包括局部不变性原理和全 1 0 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 局不变性原理两部分内容。 定理3l a s a h e 局部不变性原理 考虑一个时不变系统，设y ( 功为一阶偏导数连续的( 即c 1 光滑的) 标量函数， 并且， ( 1 ) 对于任意b0 ，由v ( x ) ，定义的区间q 。是有界的。 ( 2 ) 对于q 。内的所有点来说，矿( x ) 0 。 并设r 为q 。内由矿( 工) o 确定的所有点的子集；m 为r 内的最大不变集，那么任何 从q 。内出发的系统状态f ) ，当t 专o o 时都趋向于m 内。 推论3 对于一个时不变系统，y ( 功为光滑的标量函数。假定在含原点的某个 邻域q 。内： ( 1 ) 矿( z ) 局部正定。 ( 2 ) 矿( 功为半负定。 ( 3 ) 由矿( x ) = o 所确定的子集仅包含此次系统轨迹的原点。 则该原点是渐近稳定的。并且，q 内由v ( x ) r 为正则( 径向无界) 的连续可微正定 函数，并对于所有工r 使得矿( x ) 0 成立。记s = b r ”妒( x ) = o ，并假设除了 x 宣0 之外，再无其它解能够存在于s 内。那么该原点是全局渐近稳定的。 对于一个系统，如果对于所定义的正定l y a p u n o v 函数矿( x ) ，能证明最大不 变集m 仅仅包含一个平衡点，就可以应用上述的局部不变性原理，得到系统的局 部渐近稳定性。而且，矿( x ) 为正则的，那么根据l a s a l l e 全局不变性原理，可得， 系统为对于原点是全局渐近稳定的。 值得注意的一点是，l a s a l l e 全局不变性原理与l y a p u n o v 全局渐近稳定性定 理的一个最显著的区别是：释放了对连续标量函数的j 下定的要求，只要求其有下 界。这一点与l a s a r l l e 局部不变性原理中的标量函数的要求相同。 l y a p u n o v 直接方法是分析非线性系统最有效的方法，其难点是怎样找到合适 的l y a p u n o v 函数的苛刻条件有所弱化，但同样存在如何确定合适的类似l y a p u n o v 函数问题。 2 4 本章小结 本章主要介绍了非线性控制的基本理论，主要包括各种稳定性的概念，重点 介绍了l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理。以上各种稳定性定理和推论 为后续章节的系统稳定性证明提供理论依据。 1 2 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 第三章直接面向任务机器人状态反馈非线性位置控制 1 3 第三章直接面向任务机器人状态反馈非线性位置控制 3 1 引言 本章主要介绍直接面向任务关节机器人系统状态反馈非线性位置控制。早期 的研究中，对直接面向任务机器人控制还主要停留在线性控制阶段。r k e l l y 提出 直接面向任务机器人系统比例微分加重力补偿( p d + ) 控制【1 7 1 ，并获得了全局渐近 稳定的结论。随后，c h e a h 等提出只基于近似雅可比矩阵的直接面向任务的关节 机器人比例微分( p d ) 加实时重力补偿控制【旧】也获得了较好的控制作用。我们知道 这些都是线性反馈控制，而实际机器人系统是一个关节高度耦合的非线性系统， 这一点非常重要。 本章，为了提高传统p d 控制的控制品质，将具有“小误差放大、大误差饱 和 的非线性饱和函数 3 4 】应用于线性p d 控制中，通过对误差项的非线性调节来 改善控制品质，提出了非线性比例微分( n p d ) j j i 重力补偿控制。应用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理证明了所提出非线性控制州p d ) 的全局渐近稳 定性。数值仿真结果进一步验证了所提出的控制器具有良好的控制品质。 3 2 机器人系统模型和基本特性 含n 自由度旋转关节的非线性机器人系统的动力学模型可描述为【蚓 m ( g ) 百+ c ( q ，q ) 4 + 0 4 + g ( g ) = f ( 3 - 1 ) 其中g ，口，每孵“分别为关节位置、速度和加速度矢量，m ( g ) 孵“”为对称正 定惯性矩阵，c ( a ，毒) 婀舭“为哥氏力和离心力矩阵，d 孵雕”为关节线性阻尼摩 擦力矩阵，g ( g ) = c g u ( q ) c 3 ( q ) 识“为重力矢量，u ( a ) 为重力引起的势能，f 孵“ 为控制力矩矢量。 如式( 3 1 ) 所示的非线性机器人系统，通常具有如下的结构特性【3 4 】： 特性1 线性阻尼矩阵d 是对角正定矩阵。惯性矩阵m ( q ) 对称正定且有界， 即 d l i d d 2 i ( 3 - 2 ) 1 4 直接面向任务的机器人系统1 线性位置控制 o 丸( m ) 0 必( 酬钆( m ) 其中d l 与以为已知正常数，为单位矩阵。 特性2 哥氏力和离心力矩阵c ( g ，叠) 满足如下关系： c ( q ，孝) 1 ，= c ( q ，订孝 o - - a l l a q l l 2 其中g = q - q d 为关节误差，吼与g 分别为期望和实际的关节位置。 特性5 重力矢量g ( q ) 有界，即 i i g ( g ) 忙 ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 其中，吒为正常数。 对于( 3 - 1 ) 所示的非线性机器人系统，用x ( t ) 孵”( m 刀) 表示系统末端 执行器的位置向量，则其与关节位置向量的关系可以表示为： 工= j i l ( g )( 3 一l o ) 更进一步，其速度关系可以表示为： 文= j ( q ) q( 3 - 1 1 ) 这里( 3 1 1 ) 式表示任务空间x 与关节空间g 之间的位移关系， ，( g ) = ( a h a q ) 孵表示可微的机器人末端执行器雅可比矩阵，并有如下特性： 第三章直接面向任务机器人状态反馈非线性位置控制1 5 特性6 【2 0 1 机器人雅可比矩阵( g ) 对于任意g ( f ) 都是有界的，即 i i j ( q ) l l 4 ( 3 1 2 ) 其中，4 吼为已知正常数。当，( g ) 非奇异时，我们有2 1 1 ： 2 m j ( q ) j r ( g ) ) o ( 3 13 ) 我们定义任务空间的位置误差p ( f ) 孵”为： p = z 一为( 3 - 1 4 ) 这罩，x a 吼”为末端执行器给定的恒定期望位置。容易得出： 毒= j ( 3 1 5 ) 特性7 【2 0 】因为关节型机器人的任务空间是有界的，其有界性确保必存在一个 正常数4 孵，并满足 i i d l - 0 。在讨论过程中，我们不考虑与，( g ) 相关联的运动学奇点情况【2 。 3 3 1 控制器设计 3 3 状态反馈非线性p d 加重力补偿控制 由于线性反馈控制忽略了位置误差变化的非线性影响，当误差较大时，线性 控制器的控制力矩快速增大；而当误差变小时，控制力矩又快速减小。这不但增 大驱动器的负担，而且增加了稳定时间。然而，一种简单的非线性控制器，就能 完全补偿机器人运动时的非线性因素，从而在一个很大的工作空间及较大范围的 初始误差下实现机器人的高准确度控制。本文为了获取更好的控制品质，首先引 进一类具有“小误差放大、大误差饱和”功能的非线性饱和函剡3 4 】： 1 6 直接面向任务的机器人系统1 线性位置控制 s ( 功= 贮+ ! ! 二竖：! 万 0 ， 万为设计参数，上式对工求导，可得到如下所示的一类类 似非线性指数函数 一h 麓功 垆s g n ( x ) 函数s ( x ) 和s ( x ) 有如下性质： 万 o 使得下式成立 s ( 功白j 2 ( x ) 0 ( 4 ) 对于工0 ，存在正常数也 0 ，使得下式成立 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) x s ( x ) 如s 2 ( x ) 0 ( 3 2 0 ) 将式( 3 1 8 ) 所示的具有“小误差放大、大误差饱和”功能的非线性饱和函数应 用于式( 3 1 ) 所示的关节型机器人系统，得到如下的非线性比例微分加实时重力补 偿( n p d ) 控n - f = g ( q ) 一j7 k 。s ( e ) 一k e l ( 3 2 1 ) 其中足。、k d 均为正定的对角矩阵，分别为比例和微分增益系数。 将( 3 2 1 ) 代入( 3 1 ) 可得闭环系统方程为： m ( g ) 牙+ c ( g ，q ) q + d 口+ j7 k 口s ( e ) + k d 圣= 0( 3 2 2 ) 第三章直接面向任务机器人状态反馈非线性位置控制 1 7 3 3 2 全局渐近稳定性分析 足理3 3 1耐( 3 - 1 ) 所不阴非线性秽l 器人糸统，应用( 3 - 2 1 ) 所不阴n p d 控制器，并选择控制器的比例和微分增益参数分别同时满足不等式( 3 - 2 3 ) 一 ( 3 2 5 ) ，则闭环系统是全局渐进稳定的，即l i m ，卅e = 0 。 k p 毛_ 匹2 2 m ( m ) i ( 3 2 3 ) d + k d 6 州6 ：m + 8 8 6 、c m l + 。岱似+ d 2 ) i ( 3 - 2 4 ) 九i ，( g ) ，7 ( g ) 江p 三磊( k 删+ d ：) j ( 3 - 2 5 ) 表示矩阵k d 中对角线元素的最大值。 证明 应用l y a p u n o v 直接分析方法和l a s a l l e 不变性原理证明上述定理。为 此，提出如下的候选l y a p u n o v 函数 y = 寺雷7 m q + ( ) s ( 色) + s 7 ( e ) ，( g ) m ( g ) 香( 3 2 6 ) 厶 i = l 其中k 为恒定对角矩阵k p 的第f 个对角线元素，e i 为位置误差p 的第f 个分量。 首先考虑下式 = 三口7 岣+ 喜( 讹m 肌彬( 拼 = 丢( 口+ 2 j 汉砌7 m ( g ) ( 口+ 2 j 坝砌 一s r ( g ) ，( g ) 肘( g ) ，7 ( g ) s ( e ) + ( 砟) s ( 白) - e ( k ) s ( e i ) - s r ( p ) ，( g ) m ( g ) ，r ( g ) s ( o 根据性质( 3 - 3 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 2 0 ) 有 窆k ，k 一4 2 “似) ：( 嘭) ( 3 - 2 7 ) 1 8 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 选择满k p 足( 3 2 3 ) 可得，对于任意的b r ，s r ( p ) r o ，有 y 丢m 嚆卅厶似批) 0 ( 3 - 2 8 ) 根据式( 3 2 6 ) 、( 3 2 8 ) 可知，式( 3 2 6 ) 是正则正定的。 式( 3 2 6 ) 沿闭环系统式( 3 2 2 ) 对时间求导，可得 矿= 互g o r 廊+ 香7 埘+ j r ( p ) k p 吾+ j 7 ( e ) j m ( 7 + j7 ( p ) 驰+ s r ( e ) j i q o + s r ( e ) 删 ( 3 - 2 9 ) 将由( 3 2 2 ) 得到的删代入( 3 2 9 ) ，得 矿= 三香7 廊+ 香r ( _ c ( g ，q ) 4 一d o 巧咄) 一k a ) ( 班，毒 + j r ( e ) j m q + s r ( e ) l 季+ j r ( e ) j m q + s r ( e ) j ( - c ( q ，q ) 4 - d 4 一j 7 k p s ( p ) 一k d 毒) 根据特性( 3 6 ) ，有 矿= 一香r ( d + 畅) 香+ j7 ( e ) j m o + s r ( e ) j m o + s7 ( e ) j c7 口 一s r ( e ) j ( d + k d ) 4 - s r ( e ) j j r k ，j ( p ) 根据其性质( 3 3 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 5 ) 、( 3 1 8 ) 有 k r ( e ) j m q 万州4 2 雪r m q 根据其性质( 3 - 3 ) 、( 3 1 8 ) 及蠡这一事实4 1 ，有 s t ( e ) ) m i t 8 n 8 a , ( m ) ioi q 根据其性质( 3 5 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 8 ) ，有 s r ( e ) j c r 亩4 ；n p 4 8 , c m o 根据其性质( 3 7 ) 、( 3 - 1 2 ) 以及应用三角不等式施互1 ( 6 2 + c 2 ) ，有 s t ( e ) ( d + k d ) d l 8 1 ( k a u + d 2 ) l b ( p ) 牙0 ( 3 - 3 0 ) ( 3 - 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) 第三章直接面向任务机器人状态反馈非线性位置控制 1 9 1 8 。( k -跏+ d ：) ( 愀哪+ 2 ) ( 3 - 3 4 ) z “” ”l l 、，l7 将( 3 3 1 ) 一( 3 3 4 ) 代入( 3 3 0 ) ，得 矿一毒r + 髟) 毒+ 4 2 香r 岣+ 却4 6 3 2 u ( m ) 0 + 痂4 8 , c 1 1 0 1 1 2 + 三西( + 酬m | j 2 + l 郇) - s t ( p ) j j r k p s ( p ) = 一i l r ( d + 一矿1 4 2 m + 痂8 岛m + , g n p 4 匹，一三4 ( “) 明 ( 烈刀7 k p 一三4 ( b + d 2 ) i ) 啦) 选择k j 口、g a 满足( 3 2 4 ) 、( 3 2 5 ) ，则 v 0 至此，因为所提出的候选l y a p u n o v 是正定的，而其微分是负定的。因此，根据 l y a p u n o v 直接方法【3 4 1 ，我们有( q = o ，p = 0 ) 为全局渐近稳定位置，即l i m ，一e = 0 。 证毕。 注解：对于式( 3 2 2 ) 所示的闭环系统，也可以应用l a s a l l e 不变性原理来分 析系统的渐近稳定性；但我们不能获得揭示系统稳定性的条件。 3 3 3 数值仿真结果 为进一步验证所提出控制器的有效性，我们对其进行数值仿真。 用式( 3 1 ) 所示的关节机器人系统动力学方程。其参数分别为【3 5 】： m ：i p l + 2 p 2c o s ( q 2 ) p 3 托o s ( 9 2 i 【p 3 + c o s ( q 2 ) p 3j c ：l 一2 p 2 s i n ( q 2 ) 香2 一p 2s i n ( q 2 ) 香2 i 【一p 2s i n ( q 2 ) 或0j d = d i a g ( p 4 ，p 5 ) r1 lp 6s i n ( q 1 ) + p 7s i n ( q l + g ，) i 铲l p 7s i n ( ”9 2 ) j 在仿真中， ( 3 - 3 5 ) 2 0 直接面向任务的机器人系统非线性位置控制 采用国际标准单位，系统模型参数的具体值为：p 。= 2 3 5 1 ，p 2 = 0 0 8 4 ， p 3 = 0 1 0 2 ，p 4 = 2 2 8 8 ，p 5 = o 1 7 5 ，p 6 = 3 8 4 6 5 ，p 7 = 1 8 2 5 。 对于二自由度机器人，其末端执行器雅可比矩阵可表示为【1 7 1 ： 讹，= i 鬻芝嚣1 ：等朵鬻1 嚣词 c 3 确， 这里，l 和乞表示机械臂的长度。在本文所涉及的仿真中，l ib e l l 2 统一取0 4 5 m 。 为进一步比较说明，我们给出了r a f i e lk e l l y 所提出的线性比例微分加实时 重力补偿( p d ) 控制器【1 7 】： f = g ( g ) 一j 1k ，e 一 乙香 ( 3 - 3 7 ) 其中k ，、k d 的定义同式( 3 - 8 ) 。 采样周期丁= 1 舢，末端执行器的期望位置吻= o 5 ；0 5 】( m ) ，其他初始条件全 部为0 。 所提出的n p - d 控制器的参数为：k ，= d i a g ( 1 0 0 0 ，8 0 0 ) 、k d = d i a g ( 1 8 ，1 5 ) ， 非线性饱和函数的参数取为：万= 0 1 、= o 3 、a = 0 3 ；p d 控制器的参数为： k ，= d z a g ( 2 0 0 0 ，15 0 0 ) ，k a = d i a g ( 12 ，10 ) 。 将上述所提出的n p d 控制与传统p d 控制用m a t l a b 进行数值仿真。两 种控制律作用下，末端执行器的位置控制误差分别如图3 - 1 和图3 - 2 所示。为了 更加直观的说明问题，给出n p d 和p d 所需的控制力矩分别如图3 3 和图3 4 所示。 第三章直接面向任务机器人状态反馈非线性位置控制2 l 0 5 0 4 0 3 目 嘉0 2 蝼 喇0 1 邋 o o 1 0 2 0 2 o 1 0 茸 删加1 赂 删- 0 2 趔 旬3 m 4 - 0 5 i 广l 一一： l n p d !”r 、一一：- 一j 一? 一：卜一j ?