（计算数学专业论文）与drazin广义逆相关的条件数以及扰动界.pdf

复旦大学硕士毕业论文 5 5 6 1 6 5 ， 摘要 众所周知，相对条件数衡量着矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解对扰动的敏感性， 因此在数值计算一个矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解的时候，条件数显得非常重要。 在文章的开始，先介绍矩阵的d r a z i n 逆和加权条件数的定义，然后在第二章中对文献| 1 1 的 结论进行了推广，讨论了奇异矩阵( 包含一般矩阵和结构化的矩阵) 、奇异线性系统a x = b 的d r a i n 逆条件数的相关性质。第三章中讨论了有关奇异矩阵( 包含一般矩阵和结构化的 矩阵) 的带w 权d r a z i n 逆条件数得相关性质，并讨论了条件数的最小性。第四章是对文献 f 6 1 中结论的推广，讨论了具有相等特征投影矩阵的带w 权d r a i n 逆的扰动。 关键词：条件数；d r a z i n 逆j 带w 权d r a z i n 逆；扰动分析 星旦盔堂亟坐些堡塞 2 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h en o r m w i s er e l a t i v ec o n d i t i o nn u m b e r sm e a s u r et h e s e n s i t i v i t yo fm a t r i x i n v e r s i o na n dt h es o l u t i o no fn o n s i n g u l a rl i n e a rs y s t e m s a tf i r s t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fd r a z i n i n v e r s ea n dw e i g h t e dc o n d i t i o nn u m b e r t h e n ，i nc h a p r e r2 ，v a r i o u sn o r m w i s er e l a t i v ec o n d i t i o n n u m b e r st h a tm e a s u r et h es e n s i t i v i t yo fd r a i ni n v e r s ea n dt h es o l u t i o no fs i n g u l a rl i n e a r s y s t e m sa r ec h a r a c t e r i z e d t h es e n s i t i v i t yo fc o n d i t i o nn u m b e ri t s e l fi st h e ni n v e s t i g a t e d f i n a l l y ，u p p e r b o u n d sa r ed e r i v e df o rt h es e n s i t i v i t yo fs t r u c t u r e dp e r t u r b a t i o n i nc h a p r e r3 t h ee x p l i c i tc o n d i - t i o nn u m b e rf o r m u l a sf o rt h ew - w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s eo fa r e c t a n g u l a rm a t r i x w ea l s op r e s e n t t h es t r u c t u r e dp e r t u r b a t i o no ft h ew w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s e ，a n dc o n s i d e rt h ep e r t u r b a t i o nf o r t h ew w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s eo far e c t a n g u l a rm a t r i xa n dg i v ea ne x p l i c i t e x p r e s s i o nf o rt h e w w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s eo fap e r t u r b e dm a t r i xu n d e rs o m ec e r t a i nc o n d i t i o n f i n a l l y ，w ed i s c u s s t h em i n i m u m q u a l i t yo ft h ec o n d i t i o nn u m b e r i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a t e r r i z em a t r i xw bs u c ht h a t ( w b ) ”= ( w a ) ”，a n dd e r i v ef r o mt h er e s u l t si n 【6 】 k e y w o r d s ：c o n d i t i o nn u m b e r ；d r a z i ni n v e r s e ；w w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s e ；w e i g h t e dl i n e a r l e a s ts q u a r e sp r o b l e m ；p e r t u r b a t i o n 第一章背景知识 1 1d r a z i n 逆 首先，我们来介绍一下在文章中用到的一些记号：e 表示m 维向量空间， c r “ 表示m 礼复数矩阵空间；对一个矩阵a c “”，a 片代表矩阵a 的共轭转置矩阵， r a n k ( a ) 代表矩阵a 的秩，r ( a ) 代表矩阵a 的值域，n ( a ) 代表矩阵a 的零空间，o ( a ) 代表矩阵a 的谱，r ( a ) 代表矩阵a 的谱半径，1 i a p 代表矩阵a 的f r o b e n i u s 范数； c ? ”表示矩阵集c ? “= a c “” r a n k ( a ) = r ) ；i 代表单位矩阵；范数1 1 代表范 数1 1 2 ；a b 表示a 的每一个元素均小于b 的元素 首先指出，d r a z i n 逆只对方阵有定义，下面给出方阵指标的定义。 定义1 1 1 设a c “，我们称满足 r a n k ( a 1 ) = r a n k ( a ) 的最小非负整数 为a 的指标。记做i n d ( a ) = k 若a 非异，则i n d ( a ) = 0 。若a 奇异，则i n d ( a ) 1 。 定义1 1 2 设a g “，i n d ( a ) = k 若x c “”满足 a x a = a ，x a x = x ，a x = x a ， 则称x 为a 的d r a z i n 逆，记做x = a d 对于每一个方阵，d r a z i n 逆存在且唯一，并且有下列一些基本性质。 性质1 1 1 设a c “，i n d ( a ) = k ，则 ( 1 )r ( a d ) = r ( a ) = r ( a 2 ) ，l k ( 2 )n ( a d ) = n ( a 。) = n ( a 2 ) ，f k ( 3 ) a a d = a d a = p r ( 。) ，( a 。) = p r ( a 。) ， ( a t ) ， f 南 ( 4 )j a a d = i a d a = p n ( a ) ，r ( ) 当l n d ( a ) = k 1 时，a d 不是a 的1 逆，a a d a a ，但是a a d a 在d r a z i n 逆 的讨论中仍起着重要的作用 复里达堂塑主望些堡塞5 定义1 1 3 设a c “，矩阵c a = a a 。a = a 2 a d = a d a 2 称为a 的核心部分，矩阵 a2 4 一g a 5 ( j a d a ) a 称为a 的幂零部分，分解式4 ：吼+ 批称为以的核心一 幂零分解 c - 和j 的表达式可以如下表示 性质1 1 2 4 c r ”n ，n d c a ，= e ，4 = p ( 言品) p ，其中p 和。非奇异， 幂零，则 。 。= p 【oo 严1 n a = p ( ：护1 对于任何的礼礼的矩阵a ，i n d ( a ) = 女且r 。n k ( a k ) ：r ，a 和a 的d r a z i 。逆可以 分别用下式表示 a = p ( 詈品) p z c ，。， 4 。= p ( 1 ：) p c ，。， 当，礼d ( 4 ) = 1 时，d r a z i n 逆称为群逆，记做。但是并不是所有的方阵都存在群 逆。下面给出群逆存在的一个充要条件。 性质1 1 3 设a c ”“，a 。存在的充要条件是存在非奇异阵p 和d ，使得 a ：p f d 0 1 p l 00 c l i n e 和g r e v f i l e 与1 9 8 0 年提出了长方阵的d r a z i n 逆的概念 7 ，它是方阵的d r a z i n 逆的推广 定义1 1 4 设a c “，w c ”，若对某个非负整数k ，存在x c m n 满足 ( a w ) 。十1 x w = ( a ) 。，x w a w x ：x ，a w x ：x w a 则称x 为a 的带w 权的d r a z i n 逆，记做x = a d 因为( a w ) d 和( w a ) d 总是存在的，利用它们可以构造带w 权的d r a z i 。逆a dw 性质1 1 4 设a c “，w c “，i n d ( a w ) ：自，则 a d ，w = a ( ( w 7 a ) d ) 2 = ( ( a i 矿) d ) 2 a 复旦大学硕士毕业论文 1 2 条件数的定义 众所周知，相对条件数衡量着矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解对扰动的敏感性， 因此在数值计算一个矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解的时候，条件数显得非常重要。 d e s m o n dj h i g h a m 在文章 1 中对条件数定义如下 c 。n d ( a ) = 。1 i m 。+ l i 。l i s ，u pi “! ! ! j 铲， ( 1 3 ) 恻i e i i a i i l ” 并且定义线性系统a x = b 的条件数为 c o n d ( a ，6 ) _ 刚l i m + s u p i i 曰e l l a i l 川e ( a + e ) 一1 ( b + ，) 一a 一1 b e | | a 一1 b ( 14 ) 下面我们将讨论奇异矩阵的d r a z i n 逆条件数，作为文章【1 ，2 中经典定义的推广，我 们在此定义奇异矩阵的d r a z i n 逆条件数为 e。凡d(a)：=。l。im。+llesll；u川p。ll笪掣 ( 1 5 ) 当矩阵范数是由向量范数诱导的时候，我们可以证明c o n d ( a ) 有下面的性质 c o n d ( a ) = ，c ( a ) ：= i i a i i i i a 口m( 1 6 ) 并且定义线性系统a x = b 的d r a z i n 逆条件数为 我们可以证明 g 砌叭一l 坠等并剑 ( 1 ，) le e l i e i i a i l ” ” i i 1 1se l | - 由( 1 6 ) 和( 1 8 ) 可以得到 州一( 卅错 c o n d ( a ) _ c o n d ( a ，b ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 6 第二章d r a z i n 条件数的性质 加权条件数一般可分为奇异矩阵的d r a z i n 逆条件数和奇异线性系统的d r a z i n 逆条件 数。当然，按采用的范数不同，加权条件数又可分为2 一范数的加权条件数和f _ r o b e n i u s 范 数的加权条件数。若按矩阵是否结构化来分，则可分为有关一般矩阵的加权条件数和有关 结构化矩阵的加权条件数。 假设p 和d 同性质1 12 中的定义。首先，我们定义 le a i i , , = l i f a p 1 2 ， i i a i 步= il p a p i i f ， 那么，可以推出 悄d 怯= i i f a d p i i 。= i i d - 1 恢 2 1一般奇异矩阵的d r a z i n 逆条件数 本节研究的主要是一般奇异矩阵的d r a z i n 逆条件数，即( 1 5 ) 中定义的c o n d ( a ) 先给出一个重要的引理： 引理2 1 1 珂设a ，e c “，其中i n d ( a ) = 如果r ( e ) r ( a ) ，r ( e + ) r ( a 扩) ， 且f a o e f | 0 令 u = ： ，v = ：，0 c - “n 容易知道u 和v 是酉阵 定理2 3 1 设b = a + e c ”“，其中i n d ( a ) = ，r a n k ( a 。) = r ，阢v 尸同上面的形式 一致如果i u 日p - 1 e p v i l u h p _ 1 a p v ia n dl i a d e p 1 那么 b d = ( ，+ a d e ) 。a d ( 2 1 2 ) 证明利用a = p ( 言品) p l ，和。= 。1 畔 a = p u ( ：品) y h p 一1 ， c z 。， 1 1 复旦大学硕士毕业论文 a 。= p ( 1 ：) p - 1 = p v ( i 1 ：) u ”p 1 做下列分解u h p - 1 e p v ：f e u pe p v “毋2 1 做下列分解= l 1 稠 u h p - 1 e p v u h p - 1 a p v h ( 言胁 得到e 1 2 = e 2 1 = 0 ，l e l l i 茎i l ，i e 2 2 i i | 并且e 1 1 是对角的，e 2 2 是幂零的 e = p u ( 1 三。) v h p - 1 = p ( 巩譬呼三。) p 一1 由( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，我们得到 a _ d e = p v ( e 一n ：) c 尸y ，一- 因为i i a d e l i , ， 1 ，即i i e 1 1 1 | 2 1 ，因此i + e e 1 1 是非奇异的 由f 2 1 6 ) ，可得 c ，+ a 。e ，_ 1 a 。= p y ( + 孑1 1 广1 ：) u 日p ， p ( 外? ”一， 因为d + u 1 e 1 1 w 7 = 巩( + e 1 1 ) w 7 非奇异，并且n + e 2 2 幂零 b 。：尸f 帕日胛) _ 1 0 、i p _ l 00 ：p yf ( + e 1 1 ) 一1 o iu h p - 1 00 = ( j + a d e ) 一1 a d 推论2 3 1 上述定理中的条件可以放松为l p - 1 e p l 茎i p a p ，并且p ( a d e ) 1 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 口 1 2 复旦大学硕士毕业论文 定理2 3 2 同定理2 1 中的假设相同，成立 粤黪譬掣p ( a 。e ) ， ( 21 7 ) 理琴百主p j 7 其中a ；并且a i ( i = 1 ，2 ，r ) 分别是b 和a 的非零特征值。 证明因为( 2 1 6 ) 中的e - 是双对角矩阵我们可以记它的对角元为e 。并且九= a ；+ e 。( i = 1 ，2 ，r ) 容易验证 一九ii 队i队l 理譬丙l e i i j = p ( a d 勘 下面讨论d r a z i n 条件数的结构化扰动。 定理2 3 3 设a ，e c “”，且i n d ( a ) = 条件数 c 。n d p ( a ) ：= 。l 。i m 。+ i i 。，s u ；p 酬。怕“苎二；f f ：i 兰竺j k ， ( z s ) i v h p 一1 e p v i 耋i h p 一1 a p v i 满足 c o n d p ( a ) = j i a i i p i i a d i i , o ( 2 1 9 ) 证明由定理2 31 并且在展开式中忽略o ( e 2 ) 可以得到 ( a + e ) d a d = 一a d e a d 令e = e l l a l l 尸官其中l i 营忙1 那么 l i a d 啻a d | | l i a d p 0 豆i i p i i a d i i p l i a d l l 刍 如果下式成立则结论也成立 s u pl i a d 孟j a d | | = f i a d | | 刍( 2 2 0 ) l i e j | p 1 u 8 p 一1 e p v b i u “p 一1 a p v i d e l l p 1 复旦大学硕士毕业论文 取亩= p u e ，e ，v h p ，容易验证l i 啻= 1 那么 a d e a d i p = l l p v z - 1 ：) u u p - 1 p u e ，e v u p - 1 p v ( i 1 ：u n p 1 ”， 钏( i 1 罗( i 甜。 盯； = l i d _ 1 旧 = l i a d 临 如果e 赢，因为 妒f 忙2 e i i a i i ，l l a 。钆= e i i a i i ，麦 1 那么 u h p _ 1 e p y l = 刮a ”，岛e ，i ( ：品) i = l u p 一1 a p v 对于f 一范数，我们有 定理2 3 4 设a ，e c ”，且i n d ( a ) = k 条件数 满足 c 。n d i f ) ( a ) ；。骧 s u p i i e i # ! c i i af i ( p f u 8 p 一1 e p v i 茎i u ”p 一1 a p v d e j | p 1 口 世等掣( 2 2 1 ) e 怕d 咿 p 僦珈，= 嘴轳 证明证明同定理2 3 3 类似 2 4 结构化奇异线性系统的d r a z l n 逆条件数 接下来我们讨论结构化奇异线性系统a x = b 的d r a z i n 条件数。 ( 2 2 2 ) 口 1 4 复旦大学硕士毕业论文 定理2 4 1 对于奇异线性系统a x = b ，奇异线性系统的条件数 g 。n d p ( a ，。) = 。l 。i m 。+ 。i 。i ；，s ；u p 川。，旦j 二! - = ! ! ；! ；二； ：二：! ! ：! ) _ “，( z z s ) l u ”p 一1 f p v u ”p 一1 a p v 满足 那么 并且 g 。n d p ( a ，6 ) = a i l 尸l i a 。i l p + 哿 ( 2 2 4 ) 证明设$ = a d b ，并且( a + e ) ( z + a x ) = b + ， a x = a d ( ，一e x ) + 0 ( e 2 ) | 1 a d ( ，一e x ) l l ，si i a d | | ，i | ，| | ，+ l l a d | | ，i i e i i 尸l l z l l p e l | a 口i i p ( i l b t l p + i i a i l p l l x l l p ) 所以 c 。n a p ( a ，。) s i l a i 尸l i a 。l i p + “命三当斟掣k 再设y = p u e ，则= 1 ，并且l i a d g = i i a d l i p = 去 令一训圳粗e = 一枯旷p 一= 一恍胍m p ( i 1 ：) 卿一， 那么 并且 如果e 足够小 驯尸= 雠i i u e ，( p _ 1 矿忆 ：锉t l u 吼t l p - l x l i 。 吲i p 1 “ 。 = e i i a i i p 卿。1 删l = 枯l e ，( b p - u ) ( 复旦大学硕士毕业论文 且 得到等式 l ( ：品) l ： l u ”p 一1 a p v 删，= 枯( 1 = 枯( 1 = e i i a i i p i l 1 ， ：) u 8 p 一1 p u e r x * p 一川。 ( p - l z ) + i i ： a 。( f - e x ) n p = l l a 。e 1 1 6 i l p + a 。9 矿p 一+ p 一1 z 业xp1 | p = e ( | | 6 | 1 尸+ l i a l l p l l x l l p ) i i a d l i 尸 口 对于f 一范数，有结论 定理2 4 2 对于奇异线性系统a z = b ，奇异线性系统的条件数 满足 c 。n d 箩( a ，。) = 。1 + i m 。+ 忙。# ，s u ：p 圳圳f ，旦垒j = _ 墨i ! 葛；彳 ；亍：! 兰旦且芝，( z z s ) ! c i i b l l # j u “p 一1 e p v isi u “p 一1 a p v i g 。礼d 箩( a ，6 ) = o a l i 箩| | a 。i l p + 锵 证明证明同定理2 4 1 类似。 ( 2 2 6 ) 口 第三章带w 权d r a z i n 条件数的性质 在本章中，我们讨论带w 权d r a z i n 条件数的性质。首先给出两个有用的引理。 引理3 0 1 辟设b = a + e g “，w g ”，k = m a x i n d ( a w ) ，扎d ( a ) ) ，n ( e w ) r f ( a ) j ，r ( e ) 】垦r ( a ) ”】，并且 f l a d ，w l l 2 t l w 7 e w i t 2 1 ，那么 ( 4 + e ) d ，w = f 十a d ，w w e w 一1 a d w 引理3 0 2 印设a e “，w c “。”存在两个非奇异阵p c m m ，q c n n 满足 a = p ( 之1 三。) q - 1 , w = q ( 艺1 巩0 。) p 叫 其中a n ，m l 非奇异，并且a 2 2 w 2 2 ，w 2 2 a 2 2 是上双对角阵且对角元为0 ，有 a a ，w = p ( w n a ：啊。“：) q 1 定义如下范数： i i a i ，w = f i p a w p h 2 ， 州l = 忙a w p i f 3 1 一般奇异矩阵的带w 权d r a z i n 条件数 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 定理3 1 1 设a ，e c m 。n , w c “。”，其中k = m a x i n d ( a w ) ，i n d ( w a ) ，条件数 满足 删2 姗忸姜怕。世靠希业， ( 3 s ) 1 1 e | | p 墨e i i 1 | p w 、l i 4 ，w 7 ，w r ( e w ) r 【( a ) 】 凡【( 司日jc 霞 ( ) ”l c o n d ( a ) = f i a i i p , w l l a d ，w t l p , w 1 7 ( 3 4 ) 复旦大学硕士毕业论文 证明由引理3 0 1 并且在展开式中忽略0 ( e 2 ) 可以得到 令e = e l l a l l p ，w 啻，应用i i e i ip e l l a t lp w ，有i i e l l 只1 1 i a d ，。w e w a d ，。| | p ，w = i i f 一1 a d ，。w p p 一1 e w p p 一1 a d ，。w p i l 2 si i a d ，训1 1 只w i i 啻| | 只w i i a d ，埘1 1 只w l i a d ，。i | 分w 选e = 尸 ： z 日。 紫1 ： q ，使得 l i ( a - t 啊- ) 。y l l 2 = i i ( a - ，矾。) 。恢 l i x 日( a l l 啊1 ) _ 1 | 1 2 = i i ( a 1 l 肌1 ) _ 1 恢 其中l l y l l z = i i x l l 2 = 1 我们可以得到 i i e i i ，。= l i p 一1 e w p i l 2 钏m h 。 孙z = u m h o = 1 l y x 日1 1 2 = 训。| | ： i i a d ，。w e w a d ，。1 1 只w = l i p a d ，。w p p 一1 e w p p a d ，。w p i l 2 钏卜川 塞星盔堂塑生些焦塞1 9 容易验证 并且 由 和 i e w ：p l 【 =p i l 我们可以验证 和 圳1 小 = ”卜”盯1 = 1 【( a t - w 1 ) 一1 胡p 玎( a - w - ) 一1 1 l z = i i ( a 1 。w 1 。) y l l 2 1 i x 日( 4 l l w l l ) 。1 1 1 2 = i i ( a 1 1 w 1 1 ) 。1 ( a 1 1 啊1 ) 1 | | 2 = l i f - 1 a “w p l l ； = l i a 岫幢w 计。 o o q - 1 q w 1 0 1 0 。卜 w k = q 呦一1 0 q _ 1 l 00j c 4 w ，= 尸 a “? 。： p 。1 一 r ( 雪，) r 【( a 仉7 ) 】 r ( w 亩) 日j r ( 僻7 a ) 8 崂。 -。l 1lllj 1 0 p hi，j z 0 0o k a 0 吼 r。l q一一产 a彤 复旦大学硕士毕业论文2 0 对于f 一范数，有结论 定理3 1 2 设a ，e c “，w c “”，其中k = m a x i n d ( a w ) ，i n d ( w a ) ，条件数 满足 口 c。nd(p(a)=。l。im。+li目|譬。s!up川。|笙*“!生二_i学， ( 。s ) 凡【( u ，e ) 。】r ( w a ) k 8 】 扩悱警 证明证明类似于定理3 1 1 如果我们按照如下定义范数： i i a i i p q = i i p a q i i 。， i i a i i = l i p a q i i f ， e i i q p , w = i i q _ 1 w 7 e w 7 p l l 2 e | i 器w = j i q 一1 w e w p h f ( 3 6 ) 口 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 我们将得到下面的定理。 定理3 1 3 设a ，e c ”，w c ”，其中k = m a x i n d ( a w ) ，i n d ( w a ) ，条件数 满足 舭)_帆limsu，p螋箍学，(311)ieiilq j , ，wse l i a i i p q 。”川“v r ( e w ) r ( w ) 】 凡 ( e ) ”1 n i ( w a ) * ”1 c o n d ( a ) = l i a i i p q l i a a ，w i k o 证明由引理3 0 1 并且在展开式中忽略o ( e 2 ) 可以得到 ( a + e ) d ，。一a d ，。= 一a d ，。w e w a d ，。 ( 3 1 2 ) 复旦大学硕士毕业论文 令e = e i i a i i p q e ，应用l i e i i q p , w e l l a i i p q ，可得i i e i i q p , w 1 i i a d ，。佴雪w ，a d ，。l l 尸。= i i ( p 一1 a d ，。q ) ( q 一1 w k w p ) ( p 一1 a d ，。q ) 1 1 2 i i a a ，。l ，q l l 官| | 。p w l i a d ，。i i p 。 = i i a d ，。l 曙。 选取官= p ： z 片。 譬1 ： q ，使得 i i ( w u a u w n ) _ 讹= | | ( 啊l a l l w l l ) 。1 忆 i i x h ( w u a u w n ) 。1 l | 2 = | | ( 啊l a l l w l l ) 1 怯 其中1 1 口1 1 2 = 忪l i z = 1 ，和口= ，y 1 l 亩l l q 只w = i i q 。p ： z h 。 譬1 ： q 一1 尸 = 1 1 等1z 。 ： 。h 。 譬1 ： 等1z ：z = 制川 = 1 1 口，| | z = 蚓圳z 和 1 i a d ，。w e w a d ，。1 | p 。= l i f 一1 a d ，。q q 一1 w e w p p 一1 a d ，。q i l 2 钏p 1 ： ： 。盯 l l | ( w 1 1 a l l w l l ) 。1 口 2 叫o o z 日( 眄。4 。鹏。) 一， oj lo 0 小 2 1 1 ： | | z 复旦大学硕士毕业论文 可以验证 和 = 吣慨a w 1 ) 。1 口m ”( w l - a ，) 一1 m = i i ( w 1 1 a l l m l ) 。班忪日( 胍1 a l l w l l ) 。1 1 1 2 = i l ( 啊1 a l l 眠1 ) 。1 ( 眠l a l l w l l ) 。1 = i i ( w 1 l a l l 啊1 ) 1 幢 = i i a d 。l l 刍。 r , ( g w ) cr ( a w ) q r 【( i 矿啻) 日 r ( 仰7 a ) 胪 对于f 一范数，有结论 定理3 1 4 设a ，e c ”“，w c “”，其中k = m a x ( i n d ( a w ) ，i n d ( w a ) ，条件数 c 。礼d ( f ) c a ，= 。l i + m 。+ i l e l 器，。s u ；p 川a 1 1 器“5 兰：； i j ：i ：；i i ；! 竺墨，c 。s ， r ( e w ) 丘【( a w ) 冗 ( 计e ) ”】cr ( w a ) k “ 满足 扩悱觜 证明证明与定理3 13 类似。 3 2结构化矩阵的带w 权d r a z i n 条件数 ( 3 1 4 ) 口 定理3 2 1 设a ，e c ”“，w c “，其中k = m a x i n d ( a w ) ，i n d ( w a ) ，如果 i p 一1 e 仰7 p i l p 一1 a w p ，| q _ 1 w e q i i q 一1 w a q ，且1 | a d ，。i i i w e w i l 1 那么 ( a + e ) d ，。= ( ，+ a d ，。w e w ) 一1 a d ，。 复旦大学硕士毕业论文 证明假设e = pf 由引理3 02 和l 尸- 1 e w p l 显然 蜀l 啊1 = 0 ，i e 2 2 w j 2 l 墨l a 2 2 w 2 2 即，e 2 1 = 0 ，且马2 w ，2 2 是严格上双对角矩阵。 同i q _ 1 w e q i i q w a q i ，类似，可知e 1 2 = 0 和- 2 易2 是严格上双对角矩阵。 简单计算，可得 a + e ：p i a 1 1 + e 1 1 o l q ， l 0 4 2 2 + 易2j 和 ( a + e ) w ：pl 枷1 1 ) m 1 o l p _ 1 1 0 ( a 2 2 + 易2 ) w j 2l 由1 l a d ，。w e w l l 2 1 i a d ，。1 2 1 1 w e w i l 2 1 ，得到j + a d ，。e w 非奇异。 眠i + a d , 。w e w = p 吲鲥d 弦1 群奇融 所以w 五1 a _ 1 1 ( a 1 1 + e 1 1 ) 眠l 非奇异并且a 1 1 + e 1 l 也非奇异，( a 2 2 + e 2 2 ) w 2 2 严格上双 对角矩阵。 因此 ( a + e ) d ，埘= ( ( a + e ) w 】d ) 2 = p w 五l ( a 1 1 + e 1 1 ) _ 岷1p = ( j + a d ，。w e w ) 一1a d ，。 口 2 3 得 。 盯 q 引 、，v如 。 。p 毋岛 一 。胍如 m o a 一 日历叭帆墨玩 复旦大学硕士毕业论文 3 3条件数的最小性 本节讨论条件数的最小性。 定理3 3 1 设a ，e c “，w c ”。“，其中k = m a x i n d ( a w ) ，i n d ( w a ) ，= e 冗( e w 7 ) r 【( a w 7 ) 。】，r ( 1 y e ) h r ( w 7 a ) 舻 ，i i e i t p , w e 币【= = 告而) ，如果下式 总是成立 坠铲叠z ( a 黼, w ) l l e i 矗i p , w ，v e ey i , i i ad w | i 尸，w 。1 一塑气并矬裂业 n w ( a ) = i i a i i p , w l i a d ，w l l p , wsf l ( a ，w ) 其中z ( a ，w ) 是一个不依赖于e ，而是依赖于a 和w 的正数这意味着n w ( a ) 是最小的 条件数。 证明由引理3 0 1 可以得到 所以 ( a + e ) d ，w = ( j + a d ，w w e w ) 一1 a d ，w = 罄o ( 一a d ，w w e w ) a d ，w = a d ，w a d ，w w e w a d ，w + ( a d ，w w e w ) 2 婆o ( 一a d ，w w e w ) 2 a d ，w a d ，w w e w a d ，w l l p , w l i ( a + e ) d ，w a d w l l p , w + | l a d ，w | i i e i i 刍, w 墨o ( 1 l a d ，w i ip ，l | e l lp w ) 。 弦p 斟明愀，撇义一 日 z 【 1j y o _。l pe i | e 令 样 o o陈。 刎扯 复旦大学硕士毕业论文 容易验证 且 故 z h0 = e | li 。| | j z l 00j = e z 日1 1 2 r ( e w ) 兄 ( a w ) 】， r ( w 7 e ) h r ( y a ) ” a d , w w e w a d , w i i p , w 刮l 卜0r 00 1 0 liol lj ii 一圳1 ： | | 2 2 e ” a 1 1 l 坼01 ) 一1 。0 z 日( a 1 1 0 h 1 ) 一1 。0 i z llil = e 吣a - w t - ) 。1 y m 玎( a - w i - ) 。1 i f 。 = e l l ( a n w l l ) 。1 y l l 2 1 1 x h ( a 1 1 w i l ) 。f 1 2 = e l l ( a n w n ) t 2 l l ( a n w i l ) 一1 l 2 =e j i p _ 1 a 岫w p i i ； k w ( a ) = lr a i i p ，w l l a d ，w i i p , w = i r a i i 州揣瑞半 s _ j 髻+ i i a l l p wh a 却w ，i i i 五w 二 1卢( ，w ) l i e i l p ，w 1 ，wd ， p ， f i a l l p ，w 忙忙w 墨。( 1 l a a ，w w i i e i i p , w ) 2 取l i e | | p ，w = e _ 0 ，可以得到，c w ( a ) 卢( a ，w ) 口 第四章具有相等特征投影矩阵带w 权d r a z i n 逆的扰动 在参考文献 6 1 中，讨论了具有相等特征投影矩阵的d r a z i n 逆的一些性质，本章将这 些性质推广到带w 权d r a z i n 逆。设小是方阵a 的对应于零特征值的特征投影。 引理4 0 1 设a c ”“，w e “”，g c “4 那么g = ( w a ) ”当且仅当 g 2 = g ，w a g = g w a ，a ( w a g ) = 0 ，w a + g 非奇异 由引理30 ，2 中的定义，可以得到 厂00 、 ( w a ) “= 。一w a w 山，w 2 q 【o j q _ 1( 4 - 1 ) 下面我们讨论具有相等特征投影的矩阵的相关性质。 定理4 0 2 设a ，b c “，w c “”，则下列关于w b 的条件等价： 口( w b ) ”= ( w a ) ” f 2 j ( w a ) ”w b = w b ( w a ) ”，且w b ( w a ) ”幂零，w b + ( w a ) ”非奇异 俐b 1 1 可逆，w 2 2 口2 2 幂零，且z i i b i j = 0 ，当i j 时 “归+ a d ，w w ( b a ) w 非奇异，( w a ) ”w b = w b ( w a ) ”，且w b ( w a ) ”幂零 r 圳b d ，= ( i + a d ，w w ( b a ) i 矿) 一1 a d w r 印b d ，w a d ，w = a d ，w w ( b a ) w b d ，w 证明我们疰蒽到，( w 4 r w b = w d 【w 且r 蒽嵊君 w b ：q 一1 8 1 1o q _ 1 0w 2 2 8 2 2 事实上，由c w a ，“= q ( ：；) q _ 1 可得 q ( 二。：。) q 一1 = c w a ，”w 日= w b c w a ，”= q ( ： 所以， w 2 2 8 2 1 = m 1 8 1 2 = 0 一 q 、 他 船 b b 叭 复旦大学硕士毕业论文 ( 。) = ，( s ) ：因为w b + ( w a ) ”非奇异，而w b + ( w a ) ”= q ( 啊“，+ 曼。b 。) q 一1 所以 n 1 b l l 非奇异，而w - - 非奇，所以b 1 1 非奇异。 因为w b ( w a 尸幂零，而w b ( 圳”= q lo 2 8 2 2j q ，所以2 疡2 幂零t ，+ a 止w w c b a ，w = p ( 啊l a l i 啊1 ：1 啊l b l l m l1 ：) p 一， ” 因为w 1 l ，b n 均非奇异，所以，+ a d ，w w ( b a ) w 非奇异。其余部分易证。 ( 4 ) j ( 5 ) ：因为，+ a a ，w w ( b a ) w 非奇异，所以b 1 1 非奇异。 0 j lq - 1 幂零，所以w 2 。b 2 2 幂零。 w 2 2 8 2 2i ” ( ，+ a d w w ( b a ) w ) b d w = p ( w u a l l w n i l m l 口1 1 m 1 ；) ( 矾1 b 艺矾。一1 ：) q l = p ( 1 1 a i ：m 。一1 ：) q 一2 = a d w ( 5 ) 净( 6 ) ：易得。 ( 6 ) = ( 1 ) ：由a d w = ( j 一4 d ，w w 7 ( a b ) w ) b d ，w ，可知n ( w b d ，) cn ( w a d w ) ，由 b d ，w = a d ，w ( s + w ( a b ) w b d ，w ) ，可知r ( w b d ，w ) cr ( w a d ，w ) 所以， d = n u l l i t y ( w b d ，w ) + r a n k ( w b a ，w ) n u u i t ( w a d ，) + r a n k ( w a d ，