（理论物理专业论文）混沌控制和构造延迟混沌系统及应用的研究.pdf

摘要 本文主要对频域凹槽型反馈信号控制c h e n 混沌系统及延迟混沌系统，一类产生混 沌的二阶延迟系统的分析设计，延迟系统的混沌同步以及一阶延迟系统的振荡消失现象 进行了研究。 利用h o p f 分支理论及分析方法，对频域凹槽型反馈信号控制c h e n 混沌系统所呈现 出的h o p f 分支、分支方向及其稳定性等条件进行了分析，给出可控性条件。但是对于 延迟系统，仅能给出系统所产生的h o p f 分支，推算出系统可控性的必要条件。按照此 条件，数值模拟及电路实验均给出将系统控制到周期态的结果，验证了理论分析的正确 性以及该控制方法的有效性。 鉴于延迟系统具有较好的应用潜力，我们提出了一种构造非线性函数形式简单且易 于在实验中实现的二阶延迟混沌系统的思路和方法。在构造过程中依据非线性系统从倍 周期分岔到混沌的产生混沌的发生机制，事先给定一些限制条件，分析系统由h o p f 分 支所产生的极限环。然后进一步分析分支的稳定性及方向，给出系数之间的关系，沿着 延迟参数增加的方向，寻找倍周期分岔到混沌的道路，最后通过计算最大l y a p u n o v 进一 步确定系统的混沌特征。同时也给出这类二阶延迟混沌系统相应的电路，数值模拟与电 路实验结果吻合地很好。 我们还考虑了所构造的这一类延迟系统的同步问题。既分析了相同结构系统的同 步，也研究了不同结构系统的同步，并结合数值模拟及电路实验结果对系统的同步进行 了对比分析。 最后，研究了一阶延迟系统的振荡消失现象，给出了一些结果，用数值计算及绘图 方法确定出实现控制目标的临界曲线，在所确定出的振荡消失区域内取值，进一步数值 计算耦合动力学系统，很好地验证了理论分析结果的正确性。 本文的研究结果为实际控制混沌系统提供了理论依据，所构造出的延迟系统家族也 为混沌的实际应用提供了一个很好的平台。 关键词：混沌控制；频域凹槽型反馈信号；c h e n 混沌系统；延迟混沌系统；h o p f 分支； 混沌同步；振荡消失 a b s t r a c t w em a k er e s e a r c h e so nt h et h e o r ya n de x p e r i m e n tf o rc o n t r o l f i n gc h e ns y s t e ma n d t i m e - d e l a y e ds y s t e mw i t hn o t c hf i l t e rf e e d b a c ks i g n a l ，f o r m i n gs i m p l et i m e - d e l a y e dc h a o t i c s y s t e m st h r o u g hh o p fb i f u r c a t i o na n a l y s i s ，t h es y n c h r o n i z a t i o no ft i m e - d e l a y e ds y s t e m sa n d t h eo s c i l l a t i n gd e a t hi nt i m e - d e l a y e ds y s t e m w i t ht h et h e o r ya n dm e t h o do fh o p fb i f u r c a t i o n ，t h ec o n d i t i o no fh o p fb i f u r c a t i o n ，i t s d i r e c t i o na n dt h es t a b i l i t yf o rc o n t r o l l i n gt h ec h e r ts y s t e mw i t hn o t c hf i l t e rf e e d b a c ks i g n a la r e a n a l y t i c a u yd e t e r m i n e d ，b u tf o rt i m e - d e l a y e ds y s t e mw ec a no n l ya n a l y z et h ec o n d i t i o no f h o p fb i f u r c a t i o n w i t ht h ec o n d i t i o nw ec 锄c o n t r o lt h ec h a o t i cs y s t e mt op e r i o d i cs t a t e t h e c i r c u i te x p e r i m e n t sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ed o n eb a s e do nt h ec o n t r o l l a b l ep a r a m e t e r v a l u e s t h ev a l i d i t yo ft h e o r e t i ca n a l y s i sa n dt h ef e a s i b i l i t yo ft h i ss c h e m et oc o n t r o lc h a o t i c s y s t e ma r ew e l lp r o v e db yt h er e s u l t s w ep r o p o s et of o r ms i m p l et i m e d e l a y e dc h a o t i cs y s t e m sw i t ho n l ys e v e r a ln o n l i n e a r p o l y n o m i a l s i nt h ew h o l ef o r m i n gp r o c e s s e s ，w ef o l l o wt h ep e r i o dd o u b l i n gb i f u r c a t i o nr o u t e t oc h a o s g i v e ns o m eb a s i ca s s u m p t i o n s ，w ec a na n a l y t i c a l l yd e t e r m i n et h ec o n d i t i o n sf o ra t i m e - d e l a y e ds y s t e mt oh a v eal i m i tc y c l es o l u t i o ng e n e r a t e df r o mh o p fb i f u r c a t i o n t h e s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i n gd i r e c t i o na r e a l s oa n a l y z e d t h e nt h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e ri s c h a n g e da l o n gt h eh o p fb i f u r c a t i n gd i r e c t i o na n dt h ec h a o t i cs t a t ei sc o n f i r m e db yc a l c u l a t i n g t h el a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t f i n a l l y ，w er e a l i z et h ef o r m u l a t e dt i m e - d e l a y e dc h a o t i c s y s t e m si nn o n l i n e a re l e c t r o n i cc i r c u i t s t h ea n a l y z i n gr e s u l t sa n dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n sa r c c o n s i s t e n tw i t l in o n l i n e a rc i r c u i te x p e r i m e n t sw e l l f u r t h e r m o r ew ec o n s i d e rt h e s y n c h r o n i z a t i o nb o t ho ft h es a m ea n dt h ed i f f e r e n t t i m e - d e l a y e ds y s t e m sa n dg i v et h er e s u l to ft h ec i r c u i te x p e r i m e n t s f i n a l l yt h eo s e i u a t i n gd e a t hi nt i m e - d e l a y e ds y s t e mi si n v e s t i g a t e d w eg i v et h ec r i t i c a l c l n n ew i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dd ot h es i m u l a t i o nb a s e do ni t t h er e s e a r c hi nt h i sp a p e rp r o v i d e st h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rc h a o sc o n t r 0 1 a n dt h e t i m e - d e l a y e ds y s t e m sa l s op r o v i d e a g o o dp l a t f o r mf o rt h ea p p l i c a t i o no fc h a o s k e yw o r d s ：c h a o sc o n t r o l ；n o t c hf i l t e rf e e d b a c ks i g n a l ；c h e ns y s t e m ；t i m e - d e l a y e dc h a o t i c s y s t e m ；h o p fb i f u r c a t i o n ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；o s c i l l a t i n gd e a t h 独创性声明 本久声羁群圣交熬学蕴论文建本入在导帮措导下滋行豹赣究工律及取褥豹研究 成果。攒我所知，除了文中特别加以标波和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写：蓬的顼究残震，也不经含为获褥东j 薅范大学或其豫教弯掇搦赘学证或逐 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何炎献均已在论文中作了 甥礁懿毒煲骧芳表零落卷。 学像论文体考签名：l 娶益l 日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完念了解东北师范大学有关保露、使用学僚论文的规定，郎：东 j 仨师范犬学有投保留并陶国家裔关部门或枫构遴交学戳论文的笈碡j 件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅，本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库遴行检索，可班采用影窜、缩露藏其它复裁手段保存、汇编学佼论文。 ( 保密的学位论文在解密质适用本授权书 l 华影i 学位做储勰狃指导教师虢垫壁 学位论文作者毕业箭去向： 工传攀经： 通讯地址： 目灞：越：乏主! 电话： 邮编： 第一章引言 混沌是在自然界和人类社会中普遍存在的现象。自2 0 世纪6 0 年代，洛伦兹在一个 简单的非线性系统中发现“蝴蝶效应”，即混沌现象后，科学工作者又经过近半个世纪 的探讨与研究，对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现有了较为广泛、深入 地认识与了解。近十几年来，特别令研究者们感兴趣的问题是如何应用混沌研究成果为 人类服务，这也成为当前包括物理、数学及信息学等诸多非线性领域关于混沌研究的重 要课题之一。 混沌是在确定性( 如由非线性常微分方程所描述的) 系统中出现的一种貌似不规则 的、内在的随机运动，它展示了事物具有复杂性的一方面。在许多实际问题中，混沌运 动存在有利的方面，例如加速流体混合，进行保密通讯等；同时也存在有害的方面，例 如在电子线路中的类噪声干扰等。因此要利用混沌，首先要掌握驾驭混沌的方法。1 9 9 0 年，美国马里兰大学的o t t 、g d b o g i 及y o r k 三位研究人员首次从理论上提出了一种参 数微扰反馈控制混沌的方法，简称o g y 方法1 1 1 。几乎与o g y 方法控制混沌的开创性工 作的同时，美国海军实验室学者p e c o r a 和c a r r o l l 发表了混沌运动轨道同步化的文章， 提出关于混沌自同步【2 1 的方案。从广义上讲，混沌同步属于混沌控制的范畴，即混沌同 步属于混沌控制的一种特殊情况，其目标态是混沌的。从这个意义上讲，随后提出的各 种控制混沌的方法，有些方法原则上也适用于同步化混沌。总的来说，混沌控制可以分 为反馈和非反馈控制这两大类。而混沌同步则有驱动一响应同步方法1 2 1 、主动一被动同 步方法1 3 】及变量反馈控制同步方法 4 1 等。 对于混沌运动的控制，人们更希望能够从实际应用出发，寻找易于实现的混沌控制 方案。最近，文【5 】作者正是基于实际应用的考虑，巧妙地利用电子线路中带通滤波器的 选频特性构造出幅频特性具有“凹”槽型分布的控制信号，提出基于反馈机制控制混沌 系统的方案，并成功地在一激光系统的混沌控制中得以实现，他们将一个腔内倍频 n d ：y a g 激光器控制到定态，成功地避免了在技术应用过程中激光器的光强波动。他们 所使用的控制信号其生成方式是将输入带通滤波器前的混沌信号与该信号通过滤波器 后的输出信号做差而得到，若将此控制信号变换到频率域，则它的幅频特性在其中心频 率及其邻域内呈现“凹”槽型分布，因此我们称这种方法为频域凹槽型反馈信号控制法。 实际上，延迟反馈控制法所使用的控制信号其幅频特性也具有“凹”槽型分布的特点， 只是这类信号有不只一个“凹”槽，即在频率轴上的某个( 基本) 频率及其倍频邻域内 均出现“凹”字形状的曲线。利用频域凹槽型反馈信号控制混沌系统，结构简单且容易 实现，无论对于低频还是高频混沌系统都适宜。但在文【5 】中主要报道的是对低维系统控 制的数值计算结果以及控制激光器的实验结果，并未进行较深入的理论分析。在本论文 中，我们主要研究将这种控制方法施加到低维混沌及高维混沌系统时，实现可控制的理 论判据，并进一步通过数值计算及电路仿真实验验证理论结果的正确性。 利用混沌系统的时间序列具有伪随机性或混沌系统间的同步性来实现保密通讯是 混沌应用的一个重要方面。研究结果表明：用低维混沌系统的时序来加密信息，存在被 破译的可能性 6 1 。些有效的解决办法是：提高混沌系统的维数包括使用至少具有两个 大于零的l y a p u n o v 指数的超混沌系统及用多旋混沌系统 7 1 ，最近的研究报道中也有作者 提出用延迟系统作为加密系统实现保密通讯1 8 】。延迟系统的特点之一是它具有无穷维数， 同时也可能具有多个大于零的l y a p u n o v 指数，使用这类系统产生的混沌时序加密信息， 其抗破译能力较之用一般低维系统的混沌时序加密会大大加强。但是从实际应用盼角度 看，已有的延迟混沌系统非常有限，况且多数延迟系统真正在实验上实现也是困难的。 一些作者提出构造低维系统的方案【9 l ，也有作者在低维的范围内设计出多螺旋复杂 系统【1 0 】，这些工作虽集中于低维系统，但也给予了我们一些启发并力图设计并构造一类 简单、实用的延迟混沌系统。应该说明，我所在研究小组的张晓明、王琳等人曾从理论 上设计并在实验中用电路实现了一些简单的延迟系统【1 1 , 1 2 。但他( 她) 们的工作都是建立 在使用海选的方式构造出的一批模型，而在本论文中提出的构造这类系统的思路则是建 立在理论分析的基础上。 延迟系统( 也称时滞系统) 的动力学特性是这类系统除7 与当前时刻的状态有关外， 还与之前某时刻的状态有关。延迟方程相当于无穷阶自治方程或多变量自治方程组，这 使得其解比非延迟方程的解具有多样性或不确定因素，从而比较容易得到振荡解乃至混 沌解。m a c k e y 和g l a s s 首先提出了一个用于描述生理学系统的一阶延迟微分方程【1 3 j ， 该方程可以出现振荡和混沌现象。此后，人们对延迟系统进行了广泛而深入的研究，对 于延迟系统的控制【1 4 l 与同步【堋，延迟系统所产生的h o p f 分支【1 6 1 ，延迟系统的稳定性1 1 7 ，1 8 j 以及由于延迟而产生的振荡消失现象【1 9 , 2 0 都有一些报道。延迟方程可以更客观的描述一 些物理、化学和生物过程，因此成为不同领域研究者们所关注和研究的一个热点问题。 本文拟从延迟系统的h o p f 分支理论出发构造一类二阶延迟系统，并给出数值模拟结果 以及相对应的电路实现，力求为延迟系统的应用预先搭建一个良好的平台。 综上，本文将从以下几方面来开展频域凹槽型反馈信号对混沌系统的控制以及二阶 延迟系统的构造及延迟系统相关动力学性质的研究： 1 、利用频域凹槽型反馈信号控制c h c n 混沌系统的理论研究； 2 、利用频域凹槽型反馈信号控制时间延迟混沌系统的理论研究； 3 、利用h o p f 分支理论和方法，构造一类二阶延迟系统家族； 4 、研究所构造的延迟系统家族成员的同步行为； 5 、以一阶延迟系统为元胞，研究振荡消失现象。 2 第二章频域凹槽型反馈信号控制c h e n 混沌系统的理论研究 近十多年来，有关混沌控制的研究工作已有很大的进展1 2 1 , 2 7 , 2 3 州，人们不断提出新 的混沌控制方案，然而将混沌控制用于实践的方法和理论仍是有待深入研究的问题之 一。最近，文【5 】作者基于实际应用的考虑，提出基于反馈机制控制混沌系统的方案，文 中巧妙地利用电子线路中带通滤波器的选频特性构造出幅频特性具有“凹”槽型分布的 控制信号( 以下简称凹频信号) ，并成功地将一个腔内倍频n d ：y a g 激光器控制到定态， 避免了在技术应用过程中激光器的强度波动。他们所使用的控制信号其生成方式是将输 入带通滤波器前混沌系统的某一个分量信号与该信号通过滤波器后的输出信号相减而 得到。若将此控制信号变换到频率域，则它的幅频特性在其中心频率( 实际控制中取不 稳定周期目标轨道所对应的频率) 及其邻域内呈现“凹”槽型分布f 简称凹频信号或分 布) 。这种凹频信号反馈控制的基本原理是：除去中心频率及其邻域频率成分的信号， 以其它频率成分的信号作为反馈来控制混沌态使其转换到周期态或稳定不动点。实际 上，延迟反馈控制法【2 5 蕊砑】所使用的控制信号也具有凹频分布的特点，只是这类信号有 不只一个“凹”槽，即在频率轴上的某个( 基本) 频率及其倍频邻域内均出现“凹”槽。 文【5 】作者提出的方案实验结构简单且容易实现，文中的凹槽型滤波器可以由文氏电桥给 出，易于实际中的硬件模拟。这种控制方案无论对于控制低频和高频混沌系统都适宜， 该文报道了对低维r o s s l e r 混沌系统控制的结果，利用凹槽滤波器将该混沌系统分别控 制到周期态和定态。文【5 】中仅给出了一些数值模拟及实验结果，有关这类控制方案用于 自治系统混沌控制的理论分析尚无报道，本文将从理论上进一步研究该控制方案实现混 沌控制的条件。实际上，对于某些混沌系统加入凹频反馈信号后，系统能否实现稳定的 周期运动可以利用h o p f 分支理论作为一种方法进行分析和判断。在下面的讨论中，我 们以c h e n 系统泌j 为例，采用文【5 】提出的控制方案，利用h 0 p f 分支理论及分析方法确 定出系统的可控性条件，同时也依据理论结果所提供的参数条件，用电路实验和数值计 算实现对c h e r t 系统的混沌控制，进一步验证该控制方案的可行性和理论分析的正确性。 2 1 控制系统 | 三篓。艋 ， 其中4 ，b ，c 为常数。取参数口一3 5 ，b - 3 ，c 一2 8 的条件下系统是混沌的，混沌吸引 3 子如图2 1 所示。考虑到实际电子元件有限制信号幅值的要求，在将数学模型回归到与 其对应的实验电路前，先采用如下标量变换： x - 毛u ，y l 2 v 2 ，三- f 3 坞( 2 2 ) 恰当选择参数旬( i = 1 ，2 ，3 ) 可有效地限制元件端电压的大小，以保证这些器件均 在有效范围内工作，本文选择，一：- 5 及g ，一1 0 。对应的c h e n 电路如图2 2 ( a ) 所示。 下列方程中只要取一0 ，即为图2 2 ( a ) 电路所对应的状态方程： 6 4 2 0 之 4 5 7 砒；- 一- 志c ( g v 2 一口u ) 争去( ( c 叫h + 一) d v _ 竺3t 11_”(e16：vlv2dt r c 一地一)i 岛 j 图2 1c h e n 系统混沌吸引子 4 ( 2 3 ) ( a ) c h e n 电路 ( b ) 状态变量的带通滤波电路 图2 2 实验电路 图2 2 ( a ) 电路中各参数分别为： 墨一是。2 8 6 k f 2 ，rz1 4 2 9 k t 2 ，r 4 一l k f 2 ，b 一3 5 7 k q ， 而 民一4 k q ，冗7 3 3 3 3 k f 2 ，r = 1 0 0 k f l ，c - 1 0 n f 口。惫删m i r s ( 口- c ) 一百r 吨铲尝圳；i e l 8 2 - 百0 1 r 也5 。 控制信号按如下方式构造 u t - k ( u h m 。) ( 2 4 ) 这里可选择系统( 2 3 ) 中某个状态量的时域信号作为带通滤波器( 图2 2 ( b ) ) 的 输入信号，h 。为带通滤波器的输出信号，它们所遵从的演化规律为 5 鲁志( 警才1q 飞) 丝d 击(25)t r c o q 7 1 一。万j 式中、u g 分别为带通滤波器( 见图2 2 中的虚线框部分) 中电容的电压，q 为滤波 器的品质因数，本文中设置q i 1 ( 1 + 争。图2 2 ( b ) 中各参数的选择为 尾- l o k q ；焉一3 6 k q ；民- 9 3 k c 2 ；c o - c l o n f 图2 2 0 ) ，( b ) 两个电路中的电阻r 均相同。取一匕，并将控制信号( 2 4 ) 加入( 2 3 ) ，于 是联立式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) 给出完整的控制系统，如下： 争去c ( a v 2 吨) 警- 去( ( c 一口n + 一吼屹) 鲁- 叫1 ( e 岛l e 2 v l v 2 一如讹一南) 红志(等嵋一西1dtv )r c o q 3 qq j 堕。j 一“ a r t 冠、( 1 o 为了形式上的统一与简洁，做如下变换 一v 1 5 石2 _ v 25 屯- 码。- 而“c i 吃l 而“c 2 5 11 f - - - t r c ；毫华( i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 出 并设c o = c ，则加入控制项的系统简化成 毫a x 2 一瞄 岛i ( c 一4 h + c x 2 - e r v l x j 南一( ，s 2 s ，k 恐一幻b - k 池- x , ) 南一僻民) ( ( 1 q ) x ，- ( i q ) x , 一) 南- ( n r k 6 ( 2 6 ) 在下一节的讨论中，我们将利用h o p f 分支理论从理论上确定使系统( 2 6 ) 存在周期 解的参数k 的取值条件，也即在使用( 2 4 ) 类型的反馈信号的情况下，使得系统( 2 3 ) 可被 控制的条件。这种控制方法本身要求在设计实际控制所用的带通滤波器时，应尽量使该 带通滤波器的中心频率与目标轨道的频率相同或接近。利用文【2 9 1 提供的从混沌轨道中 提取不稳定周期轨道的算法，文献 2 8 1 已经计算出c h e r t 系统的不稳定周期轨道的基本 周期是互- 0 5 8 6 7 s ，在后面的实验和理论分析中，我们据此来选择带通滤波器的中心频 率，一i 1 ，并利用，。( 掀o c o ) 。1 的幕系式进一步确定电路中凡g 值a 2 2 理论分析的结果 2 2 1h o p f 分支的存在 系统( 2 6 ) 有三个平衡点，它们分别为 0 = ( 0 ，0 , 0 ，0 ，0 ) n ( 巫5 ，巫5 忍加o ，o 9 ) li “( _ 巫5 ，一巫5 忍加o ，o 9 ) ij 选择平衡点s + 并在此点处线性化系统( 2 6 ) ，得到如下j a c o b i a n 矩阵： ，i 其对应的特征方程为 这里 - 3 5 0 3 5 0o 一2 8 02 8 0 石面i 垢而 22 0 0 00 0o oo - 3 0 一七七0 4 7 o - - 4 7 - 1 0 7 1 0 7o a 5 + 拉1 a 4 + 口2 a 3 + 口3 a 2 + 口4 a + 如- 0 a 1 - 1 4 7 + 七，a 2 。2 4 5 3 + 2 8 o k ，a 3 5 9 4 8 0 + 1 6 8 2 5 k a 4 - 3 0 1 6 8 1 + 1 0 0 5 6 o k ， 4 5 - 5 0 5 7 8 5 2 + 1 6 8 5 9 5 1 k 7 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 设a f ，代入方程( 2 8 ) ，分离实、虚部，从分离的实、虚部的代数方程中可以解出 - 3 6 0 和t - 5 3 1 6( 2 9 ) 方程( 2 8 ) 除了存在一对纯虚根九：- 3 6 瓶外， 其它的三个根分别为 九4 - 一2 5 1 0 5 i ，气- 一6 2 7 显然它们都具有负实部。进一步计算横截条件，f l q ( 2 8 ) 对七求微商得： 塑一釜! ：釜! ：釜! ：釜! ：釜 d k 5 a 4 + 4 a l a 3 + 3 a 2 a 2 + 2 a 3 a + 4 4 将 - f 一3 6 0 ，t 一5 3 1 6 代m 2 1 1 ) 得到 r e ( 警b ) 4 州舶卜r e c 水功一吡2 综合上述的结果，有下列条件成立： ( a ) 。) 一九： 。) ； ( b ) 加 化) 一- 0 ； ( c ) a e ；q g ) - 0 ； ( d ) r e - 化) c o( 这里a 表示除一对纯虚根外的所有其它根) 。 ( 2 1 0 ) - ( 2 1 1 ) 根据h o p f ：f ) 支理论【删，参数t 能使以上条件得到满足，则系统( 2 6 ) 在s + 处，当 k k 。时，将发生h o p f 分支。类似地讨论，也可得到系统( 2 6 ) 在s 一处，当七= t 时， 也将发生h o p f 分支的结论。 2 2 2h o p f 分支的方向及其稳定性 上一节中我们只是得到系统( 2 6 ) 可以发生h o p f 分支的结果，但发生分支的方向以 及所产生周期解的稳定性还不清楚，在本节中，我们将重点讨论这两个问题。由于，不 具有 o 一 o 0 0d 的标准形式，因此需要进一步构造能将，变换成标准型的矩阵，具体 的构造方法是：在( 2 7 ) 中令七一k 。，求解出 峨，如4 一- 2 5 1 0 5 i ，及如- - 6 2 7 所 8 对应的特征向量h ，b ，r , 和r s ，p - ( r e v 。，- i m v 。, r 3 r 4 ) ，则构造出所需要的变换矩阵p 川， 如下： p 一 10111 11 0 30 9 3 + 0 3 优0 9 3 0 3 饼o 7 9 0 5 40 1 10 0 5 0 0 1 i 0 0 5 + 0 0 1 i - 1 4 5 - 0 0 10 0 8 d 5 7 0 1 0 i- 0 5 7 + 0 1 0 i0 1 1 0 0 2 0 0 10 0 4 + 0 5 7 i0 0 4 一o 5 7 l 0 0 2 设z r = s + ，做如下变换： x = 略( t ) + ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 这里，+ ( 七。) = 【6 9 ，6 9 ，2 10 0 ，0 9 】7 为系统中的一个非零平衡点。将( 2 1 3 ) 代n ( 2 6 ) ，将 得到一个关于y 的方程 其中 4 _ 0 3 6 oo 3 6 o0o oo一2 5 + 1 0 5 i 000 0 o0 f c v ) 一f 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，f 5 t 夕一4 y + f ( ) ，) o0 00 oo - 2 5 - 1 0 5 i0 0- 6 2 7 式中的f ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为非线性函数其表达式分别为： f 1 蕾0 3 2 y l z + 1 2 8 y s y l + 0 3 5 i y 3 y l + 1 2 8 y 4 y l 一1 3 1 y 2 y l 一0 3 5 i y 4 ) + 2 2 4 y 4 y 5 + 1 9 3 4 y 4 y 3 + o 9 7 y 2 0 3 5 i y 4 y 5 + 2 柳，- 0 3 5 哆 - 1 3 1 y s y z + 0 9 7 y ；+ o 3 5 y 3 y 5 + 1 2 7 ) ，；一1 3 1 y 5 y 2 + 1 5 9 y s y l - 1 3 1 y , , y 2 + o 3 5 城 f 2 - 7 0 3 y ；+ o 5 2 y , y l 一1 1 0 y 2 y x 一0 5 2 i y 4 y l 一0 5 2 i y ：一1 2 7 8 y 4 y 5 + o 5 2 耖3 y 5 + o 5 2 耖；+ 2 3 3 y 2 0 5 2 4 y 4 y 5 + 4 6 7 y 4 y 3 1 2 7 8 y 3 y 5 1 - 1 0 y 3 y 2 + 2 3 3 y 2 + 9 3 7 y 3 y a - 1 5 1 l y ；- 1 1 0 y s y 2 - 8 0 8 y s y x 一1 1 0 y 4 y 24 - 9 3 7 y 4 y l 9 ( 2 1 4 ) f 3i o 3 7 ) 彳+ o 0 3 y ；+ o 4 2 y 4 y l + o 4 2 y 3 y l - 0 6 0 y 5 ) 、+ o 0 3 i y 4 ) 、 + 0 0 5 y 2 ) 、+ o 0 砂2 ) + 0 0 5 y 3 y 2 - 0 9 3 y 4 y s - 0 9 2 y 3 y 5 + 0 1 0 y 4 y 3 + o 0 5 y s y 2 + o 0 5 y 4 y 2 - 0 0 1 i y ；+ o 0 1 耖3 y 2 + o o u y 5 y 2 一o 0 9 秒； - 0 o l i y 4 ) i - 0 0 9 耖3 ) 名- 0 0 6 i y s y l + o 0 3 y 纠v , + o o 置y ；+ o o s y , - 0 9 鹾+ o o u y 4 y 2 - 0 0 9 y 4 y 5 ，4 0 3 7 y ；一o 0 3 衍+ o 0 5 y 2 ) 一0 0 3 t ) 3 y l o o u h y , + o 4 2 y 3 ) 、 + 0 0 5 y s y 2 0 6 0 y s y , + 0 0 5 y 4 y 2 0 9 2 y 4 儿一0 9 3 y 3 y 5 + 0 4 2 y 4 y , + o 0 9 y 4 地+ o 0 9 y 3 y , + o 0 1 y , ) ，3 + o 0 6 0 名咒+ o 1 吵4 y 3 + o o 匀窖 + o 0 5 y 4 2 + o 0 9 f y l + o 0 1 f y ；+ o 0 5 y a y 2 - 0 9 印；一o 0 3 y 4 ) i 一0 0 埘3 y 2 - 0 o u y , y 2 - 0 0 1 i y 4 y 2 f 5 - - 1 o t y ? - 0 3 9 y o 1 - 2 1 2 y 3 咒- 2 1 2 y 4 m + o 3 5 i y , y 1 + 1 2 1 y 4 y 2 - 2 r a y 4 y 3 一o 3 缈4 y 5 - 1 0 6 y ；+ o 3 5 i y ：- 0 3 5 耖；一o 3 5 y 3 ) 、 + 1 2 1 y 3 y 2 + o 3 5 ) , 4 ) i - 1 0 6 y ；- 0 3 9 y 3 y 5 + 1 2 1 y 5 y 2 0 3 5 y 3 y 5 + 1 2 a y 2 m + o 6 鹾 利用上面计算出的结果以及h o p f 分支理论的计算公式，可计算出系统的一些特性 参量： 其中 。l 【+ 赡+ f ( 磕+ ：) 】4 一o 2 + 3 5 i g m 一略一堍一2 + f ( f 。2 一+ 2 f y a o , , ) 4 - 0 7 + 2 9 i g ”- 【e n 一+ 2 磅。+ f ( 瞌一一) l 4 - o 7 + 2 9 g z - _ 【磕。+ ，。+ 磅，：+ 磅，；+ f 雌。+ 砖矿，一：) 】8 0 0 + 0 o 砧t 眩+ 。) 4 一o 2 + 0 0 2 磕- 瓯+ 焉：) 4 一o 2 - 0 0 2 堍- 姬；m + f ；。) | 4 一- 0 5 3 磕- ( 硫一硗- 2 f a , ) 4 o 1 9 - 0 0 1 i 磕一( 一一峨：) 4 一o 1 8 - 0 0 4 i 磕一( 磕一赡一拼) 4 - - 0 5 3 - 0 6 0 d m l 一- h l l 和( d 一2 w o ) w 2 0 一- h d - - 2 5 4 - 1 0 5 i 00 0 2 5 1 0 5 f0 006 2 7 啊。一( 吐，碡，磕) 7 ，k 一( 磕，磕，磕) 1 由此可得： m ，一( 吨，以，记) 7 -一( 咄，眩，吒) t 一 瓯一+ 赡+ f ( 硫一磁) 1 2 一- 0 2 + 5 5 i o 一【+ + f 魄一) j 2 - 0 4 + 5 2 i 瓯| 【+ + f 魄一) 】2 扎2 - 3 4 i - 吃一+ f 鸭+ 磕) j 2 - o 9 + 4 2 瓯- 一【一+ f ( 磁+ 赡) 1 2 - 1 5 + 3 9 碲一一磕+ f ( + 磁) 】2 - 1 3 - 4 7 i g2 l g 2 l + 三2 g 。w 矗+ g 厶。k 一_ 0 0 1 + 0 1 3 i 最后得到 q c 。去( 黼t 一2 f 9 1 l | 2 一扣2 ) + 譬- 一。舭。舨 由式( 2 1 5 ) 分别计算出以下各式的结果 其中 心一一r e q ( o ) a ( o ) 一一0 3 5 区- 2 r e c l ( 0 ) 一- 0 0 9 n 薏( 1 + 吃e 2 + o ( s 4 ) ) - o 5 3 - o 呲 巳- 一( 西珏c 1 ( o ) + 1 2 0 j ( o ) ) c o o - o 0 1 口( o ) - r e a r ( k , ) - - 0 1 2 1 1 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) q 圳 咖啡触n 与；n 、li_ill_， 蚴蓉 加加m 啷瞄 o o 垃，( o ) i m 硝( 七。) - o 1 0 e ：生生+ o ( k k 。) ： p 2 根据h o p f 分支关于分支方向和稳定性的判据刚可知：当展苫o 时，系统由h o p f ， 支产生的分支周期解是不稳定的；而当岛 0 时，分支周期解是稳定的；当心，0 时，分 支方向沿大于t 的方向；而当z ： 5 3 1 6 。 当我们选取k 一5 3 2 时系统将被控制至4 不动点s + ，如图2 6 所示。另外，从理论推 导出的( 2 1 8 ) 式中，若选择零级近似也可以推算出系统( 2 6 ) 的周期大小，其值与带通滤 波器的中心频率十分接近，实验和数值计算的结果也验证了这一点。 1 4 第三章频域凹槽型反馈信号控制时间延迟混沌系统 在前一章中我们讨论了利用频域凹槽型反馈信号控制c h c n 混沌系统，c h e n 系统属 于低维混沌系统。频域凹槽型反馈信号控制混沌的方法不仅适用于低维混沌系统，而且 通过我们的研究，发现这种方法同样也适用于对高维甚至无穷维混沌系统的控制。 在本章中，我们将利用这种方法对一类时间延迟系统的混沌状态实施控制，结合时 间延迟系统的h o p f 分支理论给出系统可控性的必要条件，另外还利用p s p i c e 仿真平 台对理论模型进行电路仿真实验，进一步验证理论分析和数值计算所得可控结果的正确 性。 3 1 控制系统 工。一f ) 一专盟n ! 旦d t z p ) 一e 一7 毛。) ( 3 2 ) 健：嚣王善翟乩峨 ， l 岛一1 畈+ 1 嵋+ o 卜。- 丽1 ( 一i r “：+ 惫“：p f ) - 七：尝“一：) 隧荸嚣” 卜志每一毛争+ 和 一 进一步考虑对电路系统( 3 4 ) ：j i l k 控制，所构造的控制信号为 “t k ( u 一h “) ( 3 5 ) 这里取系统( 3 4 ) d 9 的u ，或h ：，作为滤波器的输入信号，而h 。是带通滤波器的输出信 号，u 。的幅频特性具有凹槽型，生成这类信号的电路如图3 3 所示，其状态量的演化规 律为： 笆 葛 肾去学驴如飞， q 。去 ( 3 6 ) “q 丽 【王6 ) l “w 。五万 1 d0 i o “l 丹 ( a ) 实验得到的混沌吸引子( b ) 数值模拟得到的混沌吸引子 图3 1 混沌吸引子 图3 2 二阶延迟混沌电路 ； 蝣 r e ! 糁 i l 婚 厂 i 图3 3 频域凹槽型反馈信号的生成电路 其中h c l 和“c 2 分别为带通滤波器中电容c l 和c 2 上的电压，q 为滤波器的品质因数，带 通滤波器的中心频率为，ot ( 2 积o c o ) 。 图3 2 和图3 3 中各元件参数分别选择如下： r 4 1 0 0 k q ，墨一日一6 2 5 k q ，恐一坞一7 1 4 3 k q ，马：1 6 6 7 k q ，民：2 5 0 k f l ，c 一3 3 0 0 p f 毛。1 v 乒2 一一1 v , r 8 - 1 0 k f l ，马- 3 6 k q ，r - 7 1 4 6 k q ，c 1 = c 2 一c o 一3 3 0 0 p f 选- u ；一h ：，将控制信号( 3 5 ) j j h k ( 3 4 ) ，联立式( 3 4 ) 、( 3 5 ) 和( 3 6 ) 即得到完整的 控制系统： o t 志c 一舍“：+ 惫h ：o f 卜魄惫“一：， 咖1 1 甓r 一鬈r 2 + 一ru 2 m ”而1 哪 ”志学”吉u q - u c 2 ， p 叫 。丽 为了形式上的简洁，进一步令五叫，屯毗，黾。击毛。丽1 丽t 一名 和主, 妞a t 并注意到c o = c 及实验所选择的各参数值，施加控制后的系统可写成： 五。一1 6 吃4 - 0 6 p f ) 一1 4 x a x 2 岛- 1 6 _ + 1 4 砰+ o 4 砭一七o 吃一毛) 南- 啬也一而一瓯) ( 3 8 ) r 毛i 而 显然，当k 0 时，系统( 3 8 ) 中的前两个方程即为系统( 3 3 ) 。在实验过程中，只需将 图3 2 电路中的点n 与图3 3 电路中的点n 相连，即构成了完整的控制系统。 需要说明的是：若选取元件的参数值适当，贝可保证品质因数q 和中心频率，o 无 关，也可使q 值取得较大。对于我们所设计的电路系统有兀一1 ( h c 0 ) 、 q - ( 1 + 玛民) 2 和k - r r 。，民为一可变电阻，调节它可改变反馈系数七的大小文 献【1 1 】己确定系统( 3 3 ) 的基本周期为写- 4 4 8 8 s ，由此确定实验所用的中心频率为 兀一6 7 5 h z 及q - 2 3 。 3 2 可控制。眭条件的理论分析 本小节将利用延迟系统的h o p f 分支理论【3 0 1 ，从理论上给出系统( 3 8 ) 的可控性条件。 令系统( 3 8 ) 中的_ d x i 。0 ( f - 1 、2 、3 和4 ) ，则可确定出它有3 个平衡点，分别为 a t c 1 ( o ，o ，o ，0 ) ，c 2 ( 一1 l o ，o ，o ) ，c 3 ( 一o 7 二三2 i 1i ，o ，一= i 竽 ( 3 9 ) 在平衡点c 1 附近将系统( 3 8 ) 线性化，得